Convergencia. 1.1 Introducción

Transcripción

1 Capítulo 1 Covergecia 1.1 Itroducció E este capítulo estudiaremos el comportamieto asitótico de sucesioes de variables aleatorias, daremos distitas defiicioes de covergecia y demostraremos dos de los Teoremas más importates de la Teoría de robabilidad, de hecho los dos resultados que podríamos decir le diero vida a esta área del coocimieto. Ates de estudiar las distitos modos de covergecia, es importate pregutarse de dóde surge estos resultados? cuál es la motivació para el estudio del comportamieto e el límite de sucesioes de variables aleatorias. Desde la prehistoria de la robabilidad, se ha deseado dar ua iterpretació a la robabilidad, ituitivamete, se cosideraba que la probabilidad de u eveto era algo así como u límite de frecuecias relativas (de hecho la escuela frecuetista la defie así), es decir si A es u eveto [A] A dode A es el úmero de veces que ha ocurrido el eveto A e esayos idepedietes del mismo experimeto. A esta propiedad se le llamó (como lo hemos ya mecioado e??) Regularidad Estadística. Aú cuado ya hemos visto que esta defiició frecuetista de la robabilidad o tiee setido, sería importate saber si desde el puto de vista del Modelo Axiomático de la robabilidad existe ua Ley emaada de sus axiomas que sea la cotraparte teórica de la regularidad estadística. 1

2 2 CAÍTULO 1. CONVERGENCIA Esta Ley coocida como La Ley de los Grades Números será estudiada e las Seccioes 2 y 3 de este Capítulo y esecialmete dice los siguiete: Teorema 1.1 Ley de los Grades Números. Sea (X ) 1 ua sucesió de variables aleatorias idepedietes e idéticamete distribuidas co esperaza µ. Etoces k=1 X k, coverge e algú setido a µ. Este Teorema o sólo os dice que efectivamete existe ua Ley emaada de los axiomas sio que provee de lo que e Estadística se cooce como u estimador de µ. Defiiremos y demostraremos esta propiedad para dos tipos de covergecia, a saber, la covergecia casi segura y la covergecia e probablidad. Si embargo, el hecho de que k=1 X k µ, e ocasioes o es suficiete. Más precisamete, por ejemplo, e u cotexto de iferecia sea (X ) 1 ua sucesió de variables aleatorias idepedietes e idéticamete distribuidas segú F 0 co media µ descoocida. Supogamos que para cada 1, S = k=1 X k y supogamos que queremos probar co la ayuda de S que µ > 5. La Ley de los Grades Números os dice que este cociete es muy cercao a µ para suficietemete grade, así es que e primera istacia podríamos pesar que o es ta descabellado. Si embargo, se quiere más, es decir, se quiere dar u criterio que os diga algo e el siguiete setido: Rechace la Hipótesis de µ > 5 si S excede a u cierto úmero. Si se coociera la distribució de S se podría exhibir ese cierto úmero que garatizara que este cociete lo excede sólo co probabilidad α (por ejemplo, α = 0.05). Si embargo, lo que ocurre es que o coocemos su distribució, supogamos que alguie demostró que su distribució coverge a ua distribució coocida cuado. Etoces se podría usar la distribució límite como ua aproximació. El Teorema de Límite Cetral es e este setido y dice lo siguiete:

3 1.2. CONVERGENCIA CASI SEGURA 3 Teorema 1.2 Sea (X ) 1 ua sucesió de variables aleatorias idepedietes, idéticamete distribuidas co media µ y variaza σ 2, etoces [ ] lim S µ σ x = [X x], dode X es ua variable aleatoria N(0, 1). El límite del Teorema aterior es u límite de las fucioes de distribució y se cooce como covergecia e distribució. E todo este Capítulo deotaremos por S = k=1 X k. 1.2 Covergecia Casi segura E toda esta secció cosideraremos (Ω, F, ) u espacio de probabilidad fijo. Las sucesioes de variables aleatorias estará defiidas e este espacio. Defiició 1.1 Covergecia utual. Ua sucesió de variables aleatorias (X ) 1 se dice que coverge e el puto ω Ω si la sucesió de úmeros reales (X (ω)) 1 coverge. Defiició 1.2 Cojuto de Covergecia. El cojuto de putos ω Ω para los cuales la sucesió (X (ω)) 1 coverge será llamado el cojuto de covergecia. Sea (X ) 1 ua sucesió de variables aleatorias y C su cojuto de covergecia. Cosideremos la fució X : Ω R defiida por: { lim X X(ω) = (ω), si ω C, c, si ω C c (1.1) {variablelimite}. ara ω Ω fijo tal que X (ω) o coverge a X(ω), etoces de la defiició de covergecia de sucesioes de úmeros reales, existe ε > 0 tal que Obsérvese que para cada ε > 0 X X > ε, para ua ifiidad de s. {ω Ω X (ω) X(ω) > ε, para ua ifiidad de s} = {ω Ω X l (ω) X(ω) > ε} = =1 l= =1 l= [ X l X > ε] (Notació). (1.2)

4 4 CAÍTULO 1. CONVERGENCIA Luego etoces, el complemeto del cojuto de covergecia C estará dado por: [ [ C c = X l X > 1 ] ]. (1.3) {cojutocove k k=1 =1 l= Claramete el cojuto de covergecia es u eveto y podemos cocluir etoces que la sucesió (X ) 1, coverge a X sobre C. Defiició 1.3 Covergecia Casi Segura. Ua sucesió de variables aleatorias (X ) 1 se dice que coverge casi seguramete si su cojuto de covergecia tiee probabilidad 1. La covergecia casi segura la deotaremos por X c.s. X dode X es la variable aleatoria defiida por la expresió (1.1). Obsérvese que: X c.s. X, [X, o coverge a X] = [C c ] = 0 Ejemplo 1.1 Cosideremos el experimeto de elegir u puto al azar e el itervalo (0, 1). ara cada 1, defiimos dode [ ] deota la parte etera de. Es claro que or lo tato, X c.s. X. X (ω) = 1 [ω], lim X (ω) = X(ω) = ω, para toda ω Ω. Ejemplo 1.2 Sea (X ) 1 ua sucesió de variables aleatorias idepedietes, idéticamete distribuidas, co fució de distribució F. Supogamos que F (x) < 1 para toda x < x 0, x 0 R. ara cada 1 sea X () defiida por: X () = max{x 1,..., X } Etoces lim X () = x 0, casi seguramete

5 1.2. CONVERGENCIA CASI SEGURA 5 ara cada ω Ω fijo, la sucesió (X () (ω)) 1 es ua sucesió creciete. or lo tato, si x 0 =, coverge a u límite fiito si y sólo si está acotada. Sea C = {ω Ω (X () (ω)) 1 coverge a u límite fiito} = {ω Ω (X () (ω)) 1, está acotada}. Demostraremos que [C] = 0. Obsérvese que C = [X () < M, 1], M=1 por lo tato, es suficiete probar que para cada M IN, [X () < M, 1] = 0 Así, para toda k 1 y puesto que las variables aleatorias X, 1 so idepedietes [X () < M, 1] [X () < M, 1 k] = F k (M). or hipótesis F (x) < 1 para toda x R, lo que implica que F k (M) 0 cuado k. or lo tato, [X () < M, 1] = 0. Si x 0 <, para cada ω Ω la sucesió coverge, ya que [X ()) x 0 ] = 1. y el límite es meor o igual que x 0. ara cada M < x 0, sea C M = {ω Ω lim X () (ω) M}, lim X ()(ω) M, si y sólo si X () < M, 1. Siguiedo la misma demostració que e el caso aterior, teemos que por lo tato el límite es igual a x 0. [C M ] = 0, para toda M < x 0,

6 6 CAÍTULO 1. CONVERGENCIA Ejemplo 1.3 Cosideremos ua sucesió ifiita de esayos Beroulli idepedietes co probabilidad p (< 1) de éxito. Sea {, si los primeros esayos fuero fracaso, X (ω) = k, si el primer éxito ocurrió e el esayo k, k. Etoces, X parámetro p. c.s. X, dode X es ua variable aleatoria Geométrica co ara cada ω Ω la sucesió (X (ω)) 1 es o-decreciete, por lo tato, la sucesió o coverge si y sólo si tiede a ifiito. robaremos que la probabilidad del cojuto de las ω Ω tales que la sucesió tiede a tiee probabilidad cero: [ ] [lim X = ] = [X = ] [X = ] = (1 p) Es claro de la defiició que si (X (ω)) 1 coverge, esto implica que es costate a partir de ua cierta k 1, dode k es el esayo e el que ocurre el primer éxito. or lo tato la variable aleatoria límite es ua variable aleatoria Geométrica co parámetro p. Fialmete demostraremos La Ley de los Grades Números mecioada e la Itroducció. Teorema 1.3 Ley Fuerte de Los Grades Números. (Kolmogorov). Sea (X ) 1 ua sucesió de variables aleatorias idepedietes e idéticamete distribuidas. Etoces S coverge casi seguramete, si y sólo si las variables aleatorias X tiee esperaza fiita y dode S = k=1 X k. S c.s. E[X 1 ],

7 1.2. CONVERGENCIA CASI SEGURA 7 La demostració de la Ley Fuerte de los Grades Números es complicada y está más allá de los coocimietos del ivel de este libro, por lo que os cotetaremos co demostrar ua Ley Fuerte diferete cuya demostració es muy simple. El resultado que probaremos aú cuado impoe codicioes más fuertes sobre la existecia de los mometos de las variables aleatorias, o requiere que éstas sea idéticamete distribuidas. Recuérdese que de la expresió 1.3 demostrar la covergecia casi segura es equivalete a probar que la probabilidad del complemeto del cojuto de covergecia C es igual a cero. El Lema siguiete coocido como el Lema de Borel-Catelli será fudametal e la demostració. Lema 1.1 Lema de Borel-Catelli. Sea (A ) 1 ua sucesió de evetos tal que 1 [A ] <. Etoces [A, ocurra para ua ifiidad de s] = [ A l ] = 0. Demostració De la defiició se tiee que para toda 1, =1 l= [ ] [ ] A l A l =1 l= l= [A l ] l= or hipótesis =1 [A ] <, por lo tato, l= [A l] 0 cuado, de dode [ =1 l= A l] = 0. Teorema 1.4 Ua Ley Fuerte de los Grades Números. Sea (X ) 1 ua sucesió de variables aleatorias idepedietes, co cuarto mometo fiito. Supogamos que para toda 1, E[X ] = µ, V ar(x ) = σ 2 y E[(X µ) 4 ] = ρ. Etoces dode S = k=1 X k. Demostració S c.s. µ,

8 8 CAÍTULO 1. CONVERGENCIA De la expresió 1.3, es suficiete demostrar que para toda ε > 0, [ ] S µ > ε, o.i. = 0. or el Lema aterior basta probar que [ ] S µ > ε <. =1 De la Desigualdad de Bieaymé-Chebyshev y puesto que las variables aleatorias X k so idepedietes, co variaza y cuartos mometos cetrales comues se tiee [ ] [ ] S µ > ε = (X k µ > ε = K 2, k=1 1 (ε) E[( (X 4 k µ)) 4 ] k=1 1 (ε) 4 [E[(X 1 µ) 4 ] + ( 1)(E[(X 1 µ) 2 ]) 2 dode K es ua costate. Ya que 1 1 = π2, se obtiee que 2 6 [ ] S µ > ε <. =1 Ua cosecuecia de la Ley de los Grades Números es la aproximació de la distribució de ua variable aleatoria por lo que llamaremos el roceso Empírico y que defiimos a cotiuació: Sea (X ) 1 ua sucesió de v.a.i.i.d. ara cada x R y N defiimos y 1 [X x] = N (x) = S (x) { 1, si X x, 0, si X > x, = 1 i=1 1 [X x].

9 1.3. CONVERGENCIA EN ROBABILIDAD 9 A Las variables aleatorias N (x), x R se le cooce como el roceso Empírico. Corolario 1.1 Sea (X ) 1 ua sucesió de v.a.i.i.d. co fució de distribució F. Etoces, para cada x R N (x) c.s. F (x), cuado La demostració se sigue imediatamete de la Ley Fuerte de los Grades Números. De hecho se tiee u resultado más fuerte que o demostraremos: Teorema 1.5 Teorema de Gliveko-Catelli. Sea (X ) 1 ua sucesió de v.a.i.i., co distribució F. etoces sup N (x) F (x) c.s. 0, cuado. x R 1.3 Covergecia e robabilidad U tipo de covergecia más débil que la covergecia casi segura es la llamada covergecia e probabilidad. Ates de dar la defiició cosideremos el siguiete ejemplo que es muy ilustrativo. Ejemplo 1.4 Cosideremos uevamete el experimeto de elegir u puto al azar e el itervalo (0, 1) y sea (X k ) 1,0 k 1 ua sucesió de variables aleatorias defiidas de la de siguiete maera: {ejecovprob} { 1, k X k (ω) = ω < k+1, si 0 k 1, 0, e otro caso. Esto es, teemos el siguiete arreglo: X 10 X 20, X 21 X 30, X 31, X X 0, X 1, X 2,, X

10 10 CAÍTULO 1. CONVERGENCIA GRAFICAS Es posible escribir el arreglo como ua sola sucesió, (Y m ) m 1 de la siguiete maera: Y ( 1)/2+k+1 = X k, Obsérvese que para cada ω (0, 1) hay ua ifiidad de parejas (, k) para las que X k = 0 y tambié ua ifiidad para las que X k = 1. or lo tato, para toda ω (0, 1) la sucesió (Y m (ω)) m 1 o coverge, es decir, su cojuto de covergecia tiee probabilidad cero. Si embargo, es claro que para suficietemete grade, las variables aleatorias X k so muy parecidas a la variable aleatoria X 0. De hecho so iguales a cero excepto e u cojuto de probabilidad 1, lo que sugiere la siguiete defiició: Defiició 1.4 Covergecia e robabilidad. Ua sucesió (X ) 1 de variables aleatorias se dice que coverge e probabilidad a la variable aleatoria X si para cada ε > 0 se satisface: lim [ X X > ε] = 0 La covergecia e probabilidad será deotada por X X. Claramete la sucesió de variables aleatorias (Y m ) m 1 del Ejemplo 1.4 coverge e probabilidad a la variable aleatoria X 0. A cotiuació presetamos alguas de las Leyes Débiles de los Grades Números. El apellido Débiles se refiere a la covergecia e probabilidad y o casi segura que como hemos visto co el Ejemplo 1.4 es más débil. Teorema 1.6 Sea (X ) 1 ua sucesió de variables aleatorias, etoces 1. Ley Débil de los Grades Números de Beroulli. Si X 1, X 2,..., X,... so variables aleatorias idepedietes idéticamete distribuidas, co distribució Beroulli co parámetro p, etoces S p. 2. Ley Débil de los Grades Números. Si X 1,..., X,... so variables aleatorias idepedietes idéticamete distribuidas co E[X 1 ] = µ, etoces S µ.

11 1.3. CONVERGENCIA EN ROBABILIDAD Ley Débil de los Grades Números de oisso. Si X 1,..., X,... so variables aleatorias idepedietes, y para cada i, X i tiee distribució Beroulli co parámetro p i, i 1, etoces S E [ S ] Ley Débil de Chebyshev. Si X 1,..., X,... so variables aleatorias o correlacioadas, es decir, Cov(X i, X j ) = 0 para i j, y V ar(x i ) M < para toda i 1, etoces S E [ S ] Ley Débil de Markov. Si X 1,..., X,... so variables aleatorias co segudo mometo fiito tales que: ( ) S V ar 0, Codició de Markov, Etoces S E [ ] S 0. Demostració De estas Leyes puede demostrarse fácilmete que (i) La Ley Débil de Markov es más fuerte que la de Chebyshev y que la Ley Débil. (ii) La Ley Débil de Chebyshev es más fuerte que la de oisso. (iii) La Ley Débil de oisso es más fuerte que la de Beroulli. (iv) La Ley Débil es más fuerte que la de Beroulli. Luego etoces, es suficiete demostrar la Ley de Markov, la cual se sigue de la Desigualdad de Bieaymé-Chebyshev: Dada ε > 0, se tiee: [ S E [ ] S > ε] V ar ( S ). ε 2

12 12 CAÍTULO 1. CONVERGENCIA La Codició de Markov implica así la covergecia e probabilidad. Como hemos visto e el Ejemplo 1.4 la covergecia e probabilidad o implica la covergecia casi segura, si embargo, el recíproco si es válido: Teorema 1.7 Sea (X ) 1 ua sucesió de variables aleatorias. Si X c.s. X etoces X X. Demostració c.s. Supogamos que X X y sea C su cojuto de covergecia. Etoces para 1 y ε > 0: [ X X > ε] k [ X k X > ε]. Sea B(ε) = 1 [ X k X < ε], k= etoces B(ε) C c, por lo tato [B(ε)] = 0. or otro lado, 0 = [B(ε)] = lim [ [ X k X > ε], k de dode se obtiee el resultado. Volviedo al Ejemplo 1.4 se puede observar que si bie el cojuto de covergecia de la sucesió tiee probabilidad 0 se puede cosiderar ua subsucesió que coverge casi seguramete a la variable aleatoria X = 0, por ejemplo la subsucesió (X 1 ) 1. Esto o es casual, de hecho es u resultado geeral, que euciamos a cotiuació pero que omitimos su demostració. Teorema 1.8 Sea (X ) 1 ua sucesió de variables aleatorias. Si X c.s. etoces existe ua subsucesió (X k ) k 1 tal que X k X. X

13 1.4. CONVERGENCIA EN DISTRIBUCIÓN Covergecia e Distribució E las defiicioes de covergecia casi segura y e probabilidad, se cosideró u espacio de probabilidad (Ω, F, ) fijo e dode estaba defiidas todas las variables aleatorias. La covergecia e distribució que se defiirá a cotiuació es u cocepto que se refiere o a ua propiedad de covergecia de las variables aleatorias sio de las fucioes de distribució. Así, las variables aleatorias e cosideració e esta secció puede estar defiidas e distitos espacios de probabilidad. Defiició 1.5 Sea (X ) 1 ua sucesió de variables aleatorias y (F ) 1 la sucesió correspodiete de fucioes de distribució. Diremos que X coverge e distribució a (la variable aleatoria) X co fució de distribució F, si lim F (x) = F (x), para todo x R, puto de cotiuidad de F. La covergecia e distribució la deotaremos X D X (o F D F ). Ejemplo 1.5 ara cada 1 sea X ua variable aleatoria uiforme sobre el itervalo ( 1, 1 ). Etoces X D X, dode [X = 0] = 1. La fució de distribució F de X está dada por 0, si x 1, 1 F (x) = (1 + x), si 1 < x < 1, 2 1, si x 1. Cuado la sucesió de fucioes F tiede a G, dode 0, si x < 0, 1 G(x) =, si x = 0, 2 1, si x > 0. La fució G o es ua fució de distribució ya que o es cotiua por la derecha. Cosideremos la fució de distribució F de la variable aleatoria X que es la costate igual a 0, es decir, { 0, si x < 0, F (x) = 1, si x 0,

14 14 CAÍTULO 1. CONVERGENCIA {costate} Claramete, de la defiició de covergecia e distribució X D X, pues F (x) coverge a F (x) para toda x 0 y el 0 o es u puto de cotiuidad de la fució F. Obsérvese que e este ejemplo las variables aleatorias X puede estar defiidas e distitos espacios de probabilidad. Ejemplo 1.6 ara cada 1 sea X la variable aleatoria costate igual a, es decir, [X = ] = 1. La fució de distribució F de X está dada por: F (x) = 1 [, ) (x), Luego, etoces lim F (x) = 0, para toda x R. Si embargo, la fució idéticamete cero o es ua fució de distribució. Esto es, aú cuado para toda x R el lim F (x) existe, el límite o es fució de distribució, por lo tato la sucesió (X ) 1 o coverge e distribució. Ejemplo 1.7 Sea X ua variable aleatoria N(0, 1). ara cada 1 sea X la variable aleatoria defiida por: X (ω) = ( 1) X(ω). La distribució de X es tambié N(0, 1), por lo tato, X D X. De este ejemplo se puede cocluir que aú cuado las variables aleatorias esté defiidas e el mismo espacio de probabilidad, la covergecia e distribució o os da iformació acerca de la covergecia de las variables aleatorias, pues e este caso, { 2X, si es par, X X = 0, si es impar. Ejemplo 1.8 Sea (X ) 1 ua sucesió de variables aleatorias idepedietes e idéticamete distribuidas Expoeciales co parámetro λ > 0. Sea M = max {X 1,..., X } y Z = λm log,

15 1.4. CONVERGENCIA EN DISTRIBUCIÓN 15 eotoces, para cada x R y tal que x + log > 0 F (x) = [Z x] = [M 1 (x + log )] λ = (1 exp( λ 1 (x + log )) λ = ) (1 e x. or lo tato, La fució lim F (x) = exp( e x ). F (x) = exp( e x ), es ua fució de distribució llamada la distribució Gumbel. Es decir D Z, dode Z es ua variables aleatoria co distribució Gumbel. Z Ejemplo 1.9 Sea (X ) 1 ua sucesió de variables aleatorias uiformes e (0, 1). Sea M = max {X 1,..., X } y Z = (M 1). Claramete las variables aleatorias Z toma valores e (, 0). Etoces, para cada x > 0, [Z x] = 1, para toda 1. ara x < 0 y tal que x + 1 (0, 1), teemos F (x) = [Z x] = [M x + 1] = ( x + 1 ). De dode La fució lim F (x) = exp( ( x)), si x < 0. F (x) = { 1, si x > 0, exp( ( x)), si x 0,

16 16 CAÍTULO 1. CONVERGENCIA es ua fució de distribució llamada Distribució Weibull co parámetro α = 1, es decir Z D Z, dode Z es ua variable aleatoria co distribució Weibull co parámetro α = 1. E geeral, es bastate difícil demostrar la covergecia e distribució pues la forma de estas fucioes e ocasioes (como por ejemplo, e el caso Gaussiao) o es cerrada, es decir, se expresa e térmios de ua itegral. No sólo eso sio que como veremos más adelate e lo que llamaremos el Teorema de Límite Cetral, los resultados importates de covergecia e distribució se refiere o a sucesioes particulares de variables aleatorias, sio a sucesioes de variables aleatorias idepedietes e idéticamete distribuidas co la úica codició adicioal de la existecia de segudo mometo fiito. or otro lado, recuérdese que la fució característica caracteriza a la fució de distribució, por lo que ituitivamete se podría esperar algua relació etre la covergecia de las fucioes características de ua sucesió de variables aleatorias y su covergecia e distribució. El siguiete Teorema (de Lévy-Cramer o Teorema de Cotiuidad de Lévy) es e este setido. Teorema 1.9 Teorema de Lévy-Cramer o de Cotiuidad de Lévy. Ua sucesió de variables aleatorias (X ) 1 coverge e distribució a la variable aleatoria X si y sólo para toda t R la sucesió (Φ (t)) 1 de sus corespodietes fucioes características coverge a la fució característica Φ(t) de X. Obsérvese que e el Ejemplo 1.6 la fució característica de X está dada por: Φ (t) = e it, y lim e it o existe, pues e it = cos(t) + ise(t), por lo que tato su parte real como imagiaria oscila cuado. Teorema 1.10 Teorema de Límite Cetral (Clásico). Sea (X ) 1 ua sucesió de variables aleatorias idepedietes idéticamee distribuidas co esperaza µ y variaza σ 2. Etoces S µ σ D X, dode X es ua variable aleatoria N(0, 1).

17 1.4. CONVERGENCIA EN DISTRIBUCIÓN 17 Demostració or el Teorema de Lévy-Cramer es suficiete demostrar que las fucioes características coverge. ara cada 1, sea Y = X µ, etoces σ S µ σ = 1 Y j. Las variables aleatorias Y 1, Y 2,... so idepedietes e idéticamete distribuidas co media cero y variaza uo. Luego etoces [ ( Φ (t) = E exp it S )] [ ( )] µ σ = E exp it 1 Y j j=1 [ ( = E exp it 1 )] Y j j=1 j=1 ( Φ Y1 ( t )). dode Φ Y1 es la fució característica de Y 1 (de hecho de todas las variables aleatorias Y ). De la expasió de la fució característica?? se obtiee: ( )] Φ (t) = [1 t o. [ Cuado, 1 t2 + o ( 1 2 ) ] e t2 /2 que es la fució característica de ua variable aleatoria N(0, 1). Ejemplo 1.10 Ua Aplicació a Muestreo. E u lote de focos hay ua fracció descoocida p de focos defectuosos. Utilizado el muestreo co reemplazo, se desea ecotrar p co u error o mayor de Obsérvese que Número de focos defectuosos p = Número de focos e el lote. Sea X 1,..., X variables aleatorias idepedietes Beroulli co parámetro p. De la Ley de Fuerte de los Grades Números, teemos que S c.s. p, por

18 18 CAÍTULO 1. CONVERGENCIA lo que para grade se puede cosiderar a S como u estimador de p. La Ley de Los Grades Números o da suficiete iformació pues o dice cuál es la velocidad de covergecia. Más precisamete se desea ecotrar tal que [ ] S p < > 0.95, Obsérvese que [ ] [ S p < 0.05 S p = < p(1 p) or el Teorema de Límite Cetral se tiee que S p p(1 p) D X, ] p(1 p) dode X es ua variable aleatoria N(0, 1). Así, sea z 0 tal que N(z 0 ) N( z 0 ) = 0.95, dode N( ) = [X ]. (Este valor se puede ecotrar e las tablas de la distribució Gaussiaa) y suficietemete grade tal que 0.05 p(1 p) z 0, esto es, 400p(1 p)z 2 0. E esta última expresió iterviee p que es decoocida, si embargo, idepedietemete de su valor 1 4 p(1 p). Luego etoces basta tomar 100z Evolució del roblema La Ley de los Grades Números y el teorema de Límite Cetral presetados so resultados sobre la covergecia de sumas ormalizadas de variables aleatorias idepedietes e idéticamete distribuidas, las primeras

19 1.5. EVOLUCIÓN DEL ROBLEMA 19 demostracioes (e el caso de variables aleatorias Beroulli) data del siglo XVIII co los trabajos de Beroulli, Laplace y De Moivre. Los resultados que se preseta aquí so los llamados clásicos, y como hemos visto se impoe codicioes fuertes sobre las distribucioes de las variable aleatorias. Obsérvese que e los casos descritos las variables aleatorias se cetra co respecto a la media y se ormaliza co respecto a la variaza, además de que se supoe que so idepedietes e idéticamete distribuidas. Si embargo, dada ua sucesió arbitraria de variables aleatorias podríamos pregutaros si es posible la existecia de ua Ley de Grades Números y u Teorema de Límite Cetral e algú setido. Más precisamete este problema podría platearse de la siguiete maera: Dada ua sucesió (X ) 1 de variables aleatorias, existe costates (a ) 1, (b ) 1 tales que S a b, coverja (e probabilidad) a ua costate, o (e distribució) a ua distribució Gaussiaa? Alguas de las respuestas a estas pregutas puede cosultars e??, por ejemplo, cuado las variables aleatorias so idepedietes más o idéticamete distribuidas. Resultados e este setido existe tambié cuado se debilita la codició de idepedecia?? E este siglo, Lévy platea u problema más geeral: Ecotrar la familia de posibles distribucioes límites de sumas ormalizadas de variables aleatorias idepedietes e idéticamete distribuidas, es decir, si impoer codicioes sobre la existecia de los mometos. Lévy cosidera el caso de segudo mometo ifiito y primer mometo fiito o ifiito. Naturalmete, el problema de posibles distribucioes límites de sumas ormalizadas de variables aleatorias idepedietes o ecesariamete idéticamete distribuidas surge al mismo tiempo puede cosultarse??.

20 20 CAÍTULO 1. CONVERGENCIA Tarea III robabilidad II 1. Demuestre que la Ley Débil de oisso es u caso particular de la Ley Débil de Chebyshev. 2. ara cada 1 sea X ua variable aleatoria N(, σ 2 ). Las variables aleatorias X, 1 coverge e distribució?. 3. ara cada 1 sea X ua variable aleatoria N(µ, 1 ). Las variables aleatorias X, 1 coverge e distribució?. 4. Sea (X ) 1 ua sucesió de variables aleatorias idepedietes, idéticamete distribuidas co distribució areto co parámetros α, K > 0 dada por: { 0, si x < K F (x) = 1/α, 1 Kx α, si x K 1/α. Sea M = max {X 1,..., X } y Z = M. Demuestre que Z (K) 1/α dode Z es ua variable aleatoria co distribució dada por: D Z F Z (x) = { 0, si x < 0, exp( x α ), si x 0. A F Z se le cooce como la distribució Fréchet co parámetro α > ara los icisos (i)-(iv) geere (e el programa de computació que sepa usar) muestras de variables aleatorias X 1,..., X, idepedietes e idéticamete distribuidas. (a) Calcule S = i=1 X i, (b) Calcule S compárelo co el resultado de la Ley de los Grades Números, para = 10, 100, 1000,. (c) Calcule para la muestra geerada el proceso empírico N(x) defiido e las otas, compare los resultados co la distribució de las variables aleatorias. (Teorema de Gliveko-Catelli). (i) Variables aleatorias Beroulli co parámetro p (para tres distitos valores del parámetro).

21 1.5. EVOLUCIÓN DEL ROBLEMA 21 (ii) Variables aleatorias Biomiales co parámetros k, p (para tres valores distitos de (k, p)). (iii) Variables aleatorias Expoeciales co parámetro λ > 0 (para tres valores distitos del parámetro). (iv) Variables aleatorias Gamma co parámetros α, λ. (para tres distitos valores de los parámetros.) 6. Compare la distribució de i=1 X i co la aproximació del Teorema de Límite Cetral, para las variables aleatorias (i)-(iv) del ejercicio aterior. Es decir, cosidere X 1,..., X v. a.i.i.d. S = i=1 X i, etoces [ [S x] X x µ ], σ 2 dode E[X i ] = µ,v ar(x i ) = σ 2 y X es ua variable aleatoria N(0, 1). No use simulacioes e este ejercicio sio la distribució exacta. ara = 10, 30, 50.