En el siglo XVIII muchos matemáticos buscaban, sin demasiado éxito, el valor de la expresión

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1 Defiició y propiedades 5 5. Defiició y propiedades 6 5. Covergecia absoluta e icodicioal Criterios de covergecia para series de térmios o egativos Otros criterios Suma de series Ejercicios 7 E el siglo XVIII muchos matemáticos buscaba, si demasiado éxito, el valor de la expresió La primera aportació relevate fue hecha por Jacobo Beroulli e 689 cuado demostró la covergecia de dicha serie. Más tarde, e 78 79, D. Beroulli calculó su valor co ua precisió de ua cetésima. Stirlig aumetó la precisió hasta los ocho primeros decimales al año siguiete. Cuatro años después, Euler calculó el valor co dieciocho cifras decimales y se dio cueta de que coicidía co la expresió de π /6. E años posteriores, Euler o sólo demostró que, efectivamete, ese era el valor de dicha suma sio que calculó + k + 3 k + 4 k +... para k par. E este tema vamos a estudiar sucesioes de esta forma. Veremos que, e alguos casos cocretos, seremos capaces de calcular su límite. E el resto de ocasioes itetaremos, al meos, decidir sobre la covergecia o o de dichas sucesioes. 5. Defiició y propiedades Las series de úmeros reales so u caso particular de sucesioes. Comecemos co ua sucesió {a } y costruimos la sucesió s = a, s = a + a, s 3 = a + a + a 3, s = a + a + a 3 + a 4 y así sucesivamete. A las sucesioes de la forma {s } las llamaremos series y hablaremos de la suma de la serie para referiros a su límite. Defiició 5.. Sea {a } N ua sucesió de úmeros reales. Cosideremos la sucesió Serie de úmeros {s } defiida como reales s = a + a + + a = a k. A esta sucesió {s } la llamaremos serie de térmio geeral a y la otaremos a. A los térmios s se les suele llamar sumas parciales de la serie. Si {s } tiee límite, lo otaremos k= 6

2 Defiició y propiedades lim a + a + + a a k = k= a k. La pricipal dificultad para estudiar la covergecia de ua serie es que ormalmete o dispoemos de ua fórmula para las sumas parciales. E aquellos casos e que sí, la covergecia de ua serie se reduce al cálculo de u límite. Vamos a empezar por u ejemplo secillo. Ejemplo 5.. Vamos a estudiar si la serie es covergete o, lo que es lo mismo, vamos a k calcular lim Los térmios de la sucesió de sumas parciales so k= sumas parciales s Por tato, lim = Figura 5. La suma de ua progresió geométrica de razó ½ Progresioes geométricas Vale, pero de dóde ha salido la fórmula de la suma de los térmios? Gráficamete es muy fácil de ver. El segmeto [0, ] se obtiee uiedo el [0, ], y luego vamos añadiedo la mitad de la mitad que os falta. Este ejemplo se basa e la suma de los térmios de ua progresió geométrica. Recordemos cuál es la fórmula para calcular su suma. Ejemplo 5.3. Ua progresió geométrica de razó r es ua sucesió de la forma a, ar, ar,..., ar, dode cada térmio se obtiee del aterior multiplicádolo por ua catidad fija r, la razó. Esta forma particular hace que se puede calcular su suma de maera explícita. Fijémoos que 6

3 Defiició y propiedades de dode se deduce que ( r) r k = r k r a + ar + ar + + ar = a r k = r + r k = a r+ r. (5.) Por ejemplo, = + = + =. El hecho de que tegamos la fórmula (5.) os poe e badeja el cálculo del límite cuado tiede a +. Es fácil comprobar que 0, si r ], [, lim r =, si r =, o existe, e otro caso. Por tato, ar k a r+ r = a r si, y sólo si, r <. Estamos dado ua defiició de suma de ifiitos úmeros. La primera codició parece imediata: los úmeros que sumemos tiee que ser pequeños (cercaos a cero) si o queremos que el resultado fial se dispare. Proposició 5.4. Si la serie a es covergete, etoces lim a = 0. Demostració. Si {A } es la sucesió de sumas parciales, Codició ecesaria de covergecia A + = a + a + + a + a + A = a + a + + a Restamos y obteemos que A + A = a + 0. Ejemplo 5.5. Este resultado os da ua codició ecesaria para la covergecia de la serie. Si La serie armóica embargo, esta codició o es suficiete. El térmio geeral de la serie o es covergete, usualmete llamada serie armóica coverge a cero, pero la serie o es covergete. a) Vamos a comprobarlo estudiado las sumas parciales hasta u ídice que sea potecia de. = a = a ( ) ( = {}}{... + = +. ) ( ) ( ) 63

4 Defiició y propiedades Como cosecuecia + = = +. b) Tambié podemos usar el Ejercicio 4.. Recordemos que + lim log() y que, por tato, lim = +. c) Tambié podemos utilizar itegrales para calcular la suma. Fijado u atural, cosideremos la fució f (x) = /x e el itervalo [, ] y cosideremos la partició P = {,, 3,...,, } de dicho itervalo. Cuáto vale las sumas superiores e iferiores? = f (x) = x f (x) = x Figura 5. Sumas superiores e iferiores de la fució /x e el itervalo [, ] Sumado las área de los rectágulos de la Figura 5., podemos acotar la itegral superiormete por e iferiormete log() = De la desigualdad (5.), obteemos que y desigualdad (5.3) se deduce que E resume, dx x (5.) dx = log(). (5.3) x log( + ) log(). log( + ) log(). Como la fució logaritmo diverge positivamete e +, obteemos que la serie o es covergete, auque la aterior desigualdad os da más iformació sobre el valor de las sumas parciales del que hemos coseguido e los dos apartados ateriores. 64

5 Covergecia absoluta e icodicioal Dado que ua serie de úmeros reales o es más que ua sucesió, las propiedades que ya coocemos de límites de sucesioes sigue siedo ciertas e este ambiete. La siguiete proposició os dice que el límite de ua serie es lieal: parte sumas y saca fuera escalares. Proposició 5.6. Sea a y b dos series covergetes. Sea λ y µ úmeros reales. Etoces la serie (λa + µb ) es covergete y (λa + µb ) = λ a + µ b. = = = Liealidad Trabajado co sucesioes es imediato comprobar (de hecho, ya lo hemos usado e varias ocasioes) que ua sucesió {a } N es covergete si, y sólo si, lo so sus colas {a +k } N. Además, ambas tiee el mismo límite. Si cosideramos la serie asociada a cada de ua ellas, la covergecia de ambas está tambié muy relacioada. Proposició 5.7. Sea {a } ua sucesió de úmeros reales y k u úmero atural fijo. Etoces la serie a es covergete si, y sólo si, lo es la serie a +k. Además, caso de que sea covergetes, se cumple que o lo que es lo mismo, k a = a + a +k, = = = = = k a = a + a. De uevo obteemos que la covergecia de ua serie depede de las colas de dicha serie auque la suma total sí depede de que añadamos o o los primeros térmios. 5. Covergecia absoluta e icodicioal =k Defiició 5.8. a) Diremos que la serie a es absolutamete covergete si la serie a es covergete. Covergecia absoluta b) La serie a es icodicioalmete covergete si para cualquier aplicació biyectiva σ : N N, la serie a σ() es covergete y Covergecia icodicioal a = a σ(). = Observació 5.9. La covergecia icodicioal de ua serie es el aálogo a la propiedad comutativa para ua suma ifiita. Ua serie es icodicioalmete covergete si se puede sumar e cualquier orde y el resultado siempre es el mismo. Este es el motivo de que e alguos textos se hable de series comutativamete covergetes. La covergecia absoluta y la covergecia icodicioal so codicioes más fuertes que la covergecia de ua serie. El siguiete resultado os dice que está relacioadas. = 65

6 Criterios de covergecia para series de térmios o egativos Teorema de Riema Teorema 5.0. Sea a ua serie de úmeros reales. La serie coverge icodicioalmete si, y sólo si, coverge absolutamete. E la práctica, es sumamete difícil comprobar la covergecia icodicioal de ua serie directamete. No es secillo trabajar co todas las reordeacioes posibles de ua sucesió de úmeros reales. Lo que sí haremos es estudiar la covergecia absoluta. El primer criterio y, posiblemete, el más importate que vamos a utilizar e el estudio de la covergecia de series de úmeros reales es el criterio de comparació. Esecialmete os dice que si ua serie se puede sumar tambié se puede sumar otra más pequeña y, recíprocamete, si ua serie o se puede sumar, otra mayor tampoco se puede. Criterio de Teorema 5.. Sea {a } y {b } dos sucesioes de úmeros reales verificado que a b comparació para todo N. a) Si b es covergete, etoces a es covergete. b) Si a es divergete, etoces b es divergete. Si aplicamos el criterio de comparació tomado b = a, se obtiee que las series absolutamete covergetes so covergetes, esto es, ua de las implicacioes del teorema de Riema. El recíproco del criterio de comparació o es cierto. Ejemplo 5.. La serie ( ) es covergete pero o absolutamete covergete. Dado que la serie ( ) o es icodicioalmete covergete, si la sumamos e distito orde os puede dar u resultado diferete pero cuátos?. La respuesta es que muchos. Más cocretamete, la serie se puede reordear de forma que su suma sea el úmero real que queramos. Teorema de Riema Teorema 5.3. Sea a ua serie covergete pero o absolutamete covergete. Dado u úmero real x cualquiera, existe ua biyecció σ : N N tal que a σ() = x. = 5.3 Criterios de covergecia para series de térmios o egativos Criterio de comparació por paso al límite El primer criterio es ua versió del criterio de comparació usado límites. Proposició 5.4. Sea {a }, {b } sucesioes de úmeros reales verificado a 0, y b > 0. Etoces se verifica las siguietes afirmacioes: a a) Si lim = L 0 etoces, a coverge b coverge. b a b) Si lim = 0 etoces, b coverge = a coverge. b a c) Si lim = + etoces, a coverge = b coverge. b Ejemplo 5.5. Las series y tiee el mismo carácter de covergecia. La vetaja 3 +7 del criterio de comparació por paso al límite es que o hace falta saber que ua de ellas es mayor que la otra. Es suficiete co que sea aproximadamete iguales: lim = 3. Por ahora o sabemos si ambas series so covergetes o o (detro de poco veremos que sí lo so) pero sí podemos aplicarlo a otras series. Por ejemplo, y tiee el mismo carácter. Como 66

7 Criterios de covergecia para series de térmios o egativos sabemos que es covergete, tambié lo es. Observa que el criterio de comparació o os resuelve este mismo problema: es mayor que y, por tato, el criterio de comparació o da iformació. Proposició 5.6. Sea {a } ua sucesió de úmeros positivos. Criterio de la raíz o de Cauchy a) Si a L <, etoces a es covergete. b) Si a, etoces a o es covergete. Corolario 5.7. Sea {a } ua sucesió de úmeros positivos. a) Si lim a = L <, etoces a es covergete. b) Si lim a >, etoces a o es covergete. Ejemplo 5.8. de la raíz. Para ello calculamos el límite ( ) + lim Vamos a estudiar la covergecia de la serie ( 7+3) + utilizado el criterio ( Como dicho límite es meor que uo, la serie es covergete. ) + = 7. Para calcular el límite de ua raíz -ésima podemos aplicar el criterio de la raíz (véase Proposició 4.3). Proposició 5.9. Sea {a } ua sucesió de úmeros positivos. Criterio del cociete o de D Alembert a) Si a + a L <, etoces a es covergete. b) Si a + a, etoces a o es covergete. Corolario 5.0. Sea {a } ua sucesió de úmeros positivos. a + a) Si lim <, etoces a es covergete. a b) Si lim a + a >, etoces a o es covergete. Ejemplo 5.. Vamos a estudiar la covergecia de la serie cociete. lim (+) ( + ) =. Como el límite es meor que uo la serie es covergete. utilizado el criterio del Proposició 5.. Sea {a } ua sucesió de úmeros positivos. Criterio de Raabe a) Si ( ) a + a L >, etoces la serie a es covergete. b) Si ( ) a + a, etoces la serie a o es covergete. Corolario 5.3. ( Sea {a } ua sucesió de úmeros positivos. a) Si lim a ) + >, etoces la serie a es covergete. ( a b) Si lim a ) + <, etoces la serie a o es covergete. a Ejemplo 5.4. Vamos a estudiar la covergecia de la series cuyo térmio geeral es a = ()!!! ( + ). 67

8 Criterios de covergecia para series de térmios o egativos Aplicamos, e primer lugar, el criterio del cociete. Criterio de codesació Serie armóica geeralizada Como a + lim a (+)! ((+)!) (+3) + ()! (!) (+) ( + )( + )( + ) 4( + )( + )( + 3) ( + ) ( + )( + 3) = el criterio del cociete o da iformació útil. Aplicamos ahora el criterio de Raabe: ( lim a ) + a ( ) = 6 4 >, y, por tato, el criterio de Raabe os dice que la serie es covergete. Proposició 5.5. Sea {a } ua sucesió de úmeros o egativos tal que {a } es ua sucesió decreciete a cero. Etoces se verifica que a es covergete a es covergete. Ejemplo 5.6. Vamos a estudiar la covergecia de la serie, co a R. a a) Si a 0, el térmio geeral a o tiede a cero y, por tato, la serie o es covergete. b) Si a > 0, el térmio geeral es decreciete y coverge a cero. Podemos aplicar el criterio de codesació: las series a y ( ) a tiee el mismo comportamieto. Como ( ) a = (a ), aplicamos el criterio de la raíz: (a ) = < a >. a Resumiedo, si a > la serie es covergete. Si a <, la serie o es covergete y si a = ya sabíamos que o era covergete. A esta serie se la suele llamar serie armóica geeralizada de expoete a. El ejemplo aterior será clave e muchos ejercicios para poder aplicar el criterio de comparació. Es por esto que lo resaltamos: Proposició 5.7. es covergete si, y sólo si, a >. a 68

9 Otros criterios Por ejemplo, si comparamos a co a teemos que estudiar el cociete a a = a a. El siguiete resultado recoge las diferetes posibilidades que se puede presetar. Proposició 5.8. Sea {a } ua sucesió de úmeros o egativos. Criterio de Prigsheim a) Si existe a > tal que la sucesió { a a } está acotada etoces a es covergete. b) Si existe a tal que { a a } coverge a L 0 o es divergete etoces a o es covergete. 5.4 Otros criterios La pricipal herramieta para estudiar la covergecia de series de térmios cualesquiera será los criterios de Dirichlet y Abel. Teorema 5.9. Sea {a } y {b } dos sucesioes de úmeros reales. a) Si {a } es moótoa, coverge a cero y la serie b tiee sumas parciales acotadas, Criterio de Dirichlet etoces a b coverge. b) Si {a } es moótoa, acotada y la serie b coverge, etoces a b es covergete. Criterio de Abel La sucesió {( ) } o es covergete pero sus sumas parciales siempre vale o 0 y, e particular, está acotadas. Tomado b = ( ) e el criterio de Dirichlet obteemos lo siguiete. Proposició Sea {x } ua sucesió de úmeros reales o egativos. Si la sucesió {x } Criterio de Leibiz es decreciete a cero, etoces la serie alterada ( ) x es covergete. Ejemplo 5.3. La serie alterada ( ), que ya cometamos e el Ejemplo 5., es covergete porque es decreciete y covergete a cero. 5.5 Suma de series Sólo e cotadas ocasioes es factible calcular de maera explícita la suma de ua serie. La mayoría de las veces será ecesarios medios idirectos como veremos, por ejemplo, e la siguiete secció. La dificultad radica e el cálculo explícito del valor de las sumas parciales. Si sabemos cuáto vale, el problema de estudiar la covergecia de la serie se reduce a u problema de cálculo de límites, cosa ormalmete mucho más secilla. Observació 5.3. Hasta ahora sólo hemos estudiado la covergecia y o el valor de la suma de la serie. No es lo mismo a que a. Hay u sumado de diferecia! 5.5. telescópicas 0 Las series telescópicas so aquellas series a cuyo térmio geeral se puede escribir de la forma a = b b + para algua sucesió {b }. El cálculo de su suma equivale al cálculo del límite de la sucesió {b }. Para verlo sólo tiees que calcular las sumas parciales: Resumiedo, a + a + + a = (b b ) + (b b 3 ) + + (b b + ) = b b +. 69

10 Suma de series Proposició Sea {b } ua sucesió de úmeros reales. Etoces la serie que tiee como térmio geeral a = b b + es covergete si, y sólo si, {b } es covergete. E ese caso a = b lim b. Ejemplo i= = Vamos a calcular el valor de = ( + ) Como (+) = +, las sucesió de sumas parciales es i(i + ) = i ( i + = ) ( + 3 co lo que = i= 5.5. geométricas ( + ) + =. ) ( ) = + +, La serie r se puede sumar utilizado que coocemos sus sumas parciales, como ya hicimos e el Ejemplo 5.3. Sabemos que r k = r+ r y tomado límites cuado tiede a ifiito obteemos el siguiete resultado. Proposició La serie r es covergete si, y sólo si, r <. E ese caso =0 r = r. Demostració. Sólo hay que usar la fórmula de la suma de ua progresió geométrica que vimos e el Ejemplo 5.3: r r k r + = r r, ya que lim r = 0 si r <. E cualquier otro caso el térmio geeral de la serie o coverge a cero y, por tato, la serie o es covergete. Veamos u ejemplo Si la serie o comieza e = 0, = =0 4 5 = 4 = [m = ] = m=0 =0 5 = 4 5 m+ = 4 m=0 = 5. m = 4 =. 70

11 Suma de series aritmético-geométricas Las series aritmétrico-geométricas so series de la forma p()r, dode p es u poliomio. Para calcular su suma, trasformamos la serie e otra e la que el grado del poliomio es meor hasta obteer ua serie geométrica. Si =0 p()r = S, etoces ( r)s = p()r p()r + =0 = p(0) + =0 (p() p( )) r. = Observa que p() p( ) sigue siedo u poliomio, pero co grado estrictamete meor que el grado de p(). Repitiedo este proceso las veces ecesarias, acabamos obteiedo ua serie geométrica. Veamos u ejemplo. Ejemplo Vamos a calcular la suma de la serie ( )r. Si su suma es S, etoces o, lo que es lo mismo, ( r)s = 0 [ ( ) (( ) ( )) ] r = = Repetimos el proceso aterior, si S = Por tato, ( r)s = r + = Cocietes de poliomios = S = r r. = r, etoces = r, = [ ( )]r = r + r r = r r. ( )r = r r r = r ( r). E alguos casos se puede sumar descompoiedo el térmio geeral e fraccioes simples. Tambié puede ser de utilidad alguas idetidades como, por ejemplo, la que defie la costate de Euler. La costate de Euler-Mascheroi E el Ejercicio 7.3 vimos que x < log( + x) < x + x se cumple para cualquier x positivo. E particular, para x = N obteemos que 7

12 Ejercicios ( ) + log( + ) log() = log ( = log + ) < y que + = + ( < log + ). Si defiimos a = y a = log( + ) log(), las desigualdades ateriores se escribe como a + < a < a, N, o, lo que es lo mismo, la sucesió {a } es decreciete. El criterio de Leibiz os da que la serie ( ) + a es covergete, o sea que existe el límite lim a + a + + ( ) a ( log() log() ) + ( log(3) log() ) ( log( + ) log() ) log( + ). Costate de Euler-Mascheroi Este límite recibe el ombre de costate de Euler-Mascheroi y se deota por γ: γ log(). 5.6 Ejercicios 5.6. Covergecia de series uméricas Ejercicio 5.. series: a) ( ) + b) ( 3 3 ) c) (+) Aplicar el criterio de la raíz para estudiar la posible covergecia de las siguietes d) e ( +) e) ( + ) Aplicar el criterio del cociete para estudiar la posible covergecia de las si- Ejercicio 5.. guietes series: a) b) ( 5) c) (+) 3! d) 5 8 (3 ) 5 9 (4 3) e)! 7

13 Ejercicios Ejercicio 5.3. Aplicar el criterio de comparació para estudiar la posible covergecia de las siguietes series: a) log() b) e) ( ) f) (+) c) d) g) 3 (+) Ejercicio 5.4. Aplicar el criterio de codesació para estudiar la posible covergecia de las siguietes series: a) log() b) (log()) c) (log()) log(log()) Ejercicio 5.5. a) b) + + c) log() Discutir la covergecia de las siguietes series de úmeros reales: d) (3 ) e) 3 ( ) Ejercicio 5.6. Discutir la covergecia de las siguietes series de úmeros reales: a)! b) d) ( ) 3 3+ (3 )(3+) c) e) + 4 ( ) (+) (+) Ejercicio 5.7. a) 3 e b) ( + 3+ ) c) (!) ()! d) 3 5 (+) Estudiar la covergecia de las series e) ( + ) f) 3 5 ( ) 4 6 (+) g) (+3) Ejercicio 5.8. Discutir la covergecia de las siguietes series de úmeros reales: a) ( ) 0 + b) d) log ( ) +3 ( 3 5 ( ) ) c) log ( e) 3 log() ) + + f) ( ) e E E Ejercicio 5.9. a) ( + +5). b) +log(). Ejercicio 5.0. a) a a b) a a Estudia el carácter de las siguietes series: Estudiar, segú los valores de a > 0 la covergecia de las siguietes series: 73

14 Ejercicios 5.6. Suma de series Ejercicio a) 0 =0 b) ( + ) = ( ) c) = 3 Sumar, si es posible, las siguietes series Ejercicio 5.. Sumar, si es posible, las siguietes series a) ( + 3)( + 4) =0 b) +3 = + 3 c) = 5 Ejercicio 5.3. Sumar la serie de úmeros reales Ejercicios complemetarios Covergecia de series uméricas = + +! Ejercicio 5.. Discutir e fució del parámetro a la covergecia de la serie de úmeros reales ( log + ) ( ) log + (log()) a Ejercicio 5.. Estudiar la covergecia de las siguietes series: a) ( ) log() c) ( ) + log() b) ( ) 0 +ta( log ) d) ta( ) 3 Ejercicio 5.3. Estudiar la covergecia de las siguietes series: a) log ( ) + d) log(+ ) b) + ( ( )) cos 3 e) (log(+) log()) 3 (log()) c) (+ )! () Ejercicio 5.4. Estudiar la covergecia de las siguietes series: 74

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