BLOQUE DE ÁLGEBRA: TEMA 1: MATRICES.

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1 BLOQUE DE ÁLGEBRA: TEMA 1: MATRICES. Matrices: Se llama matriz de dimensión m n a un conjunto de números reales dispuestos en m filas y n columnas de la siguiente forma: 11 a 12 a a 1n A= a a 21 a 22 a a 2n ij a m1 a m2 a m3... a mn = a Ejemplo: La matriz A= es de dimensión 2 3. Una matriz es rectangular si m n, y es cuadrada si m=n. En una matriz cuadrada definimos: Diagonal principal: la formada por los elementos a ii. Diagonal secundaria: la formada por los elementos a ij donde i j=n 1. a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 matriz cuadrada de orden 3. diagonal principal diagonal secundaria Tipos de matrices: Matriz fila: matriz de dimensión 1 n. Ejemplo: es de dimensión 1 3. Matriz columna: matriz de dimensión m 1. 2 Ejemplo: 0 1 es de dimensión

2 Matriz nula:todos sus elementos son nulos. Ejemplo: O= es la matriz nula de dimensión 2 3. Matriz triangular superior: Matriz cuadrada en la que todos los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros. Ejemplo: es una matriz triangular superior de orden 3. Matriz triangular inferior: Matriz cuadrada en la que todos los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros. Ejemplo: matriz triangular inferior de orden Matriz diagonal: Matriz cuadrada en la que todos los elementos no situados en la diagonal principal son ceros. Ejemplo: matriz diagonal de orden 3. Matriz escalar: Matriz diagonal en la que todos los términos de la diagonal principal son iguales. Ejemplo: matriz escalar de orden 2. Matriz unidad o matriz identidad: Matriz escalar en la que todos los términos de la diagonal principal son 1. Ejemplo: I = matriz identidad de orden 3. 2

3 Método de Gauss: Se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Consiste en transformar dicho sistema en otro equivalente a él (con la misma solución). Para ello utilizaremos las siguientes transformaciones: Cambiar dos ecuaciones de orden. Multiplicar una ecuación por un número real distinto de cero. Cambiar una ecuación por una suma de ella con otra ecuación del sistema multiplicada previamente por número real distinto de cero. Ejemplos: Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: a) x 2 y z= 6 y 3 z= 1 2 z= 2} b) x 2 y z= 7 2 x 5 y 3 z= 19 3 x y z= 5 } c) 3 x y x= 4 x 2 y z= 2 2 y 5 z= 5} 3

4 d) x y z=0 2 x 3 z=7 x 3 y 4 z=1 } e) x 2 y z=3 } y 3 z= 16 2 x y z= 14 f) 2 x y 3 z= 5 4 x 2 y z= 10 x 3y =1 } 4

5 g) x y t=6 } x z t= 1 y z t=6 x y z =0 Operaciones con matrices: Suma de matrices: A B= a ij b ij = a ij b ij. Ejemplo: Producto por un número real (por un escalar) : k A=k a ij = k a ij, k R. Ejemplo: Producto de matrices: Dadas las matrices A= a ij de dimensión m n y B= b ij de dimensión n p, la matriz producto por: A B es de dimensión m p y viene dada A m n B n p =C m p n donde a ij b ij = c ik con: c ik = a ij b jk. j=1 Ejemplos: a)

6 b) Ejercicio: Dadas las matrices A= 2 0 hallar B A? 1 3 y B= , calcula A B. Se puede Propiedades del producto de matrices: Asociativa: A B C = A B C. Elemento Neutro (I= matriz identidad): A I= I A=A. Distributiva respecto a la suma: A B C = A B A C. NO CONMUTATIVA: A B B A Ejemplo: A= B= A B B A 6

7 Ejercicio: Dada la matriz A= , calcula A1999. Ejercicio: Determina la matriz X que verifique la igualdad 3 X I= A B A 2, siendo: A= , B= e I la matriz unidad de orden 3. 7

8 Ejercicio: Calcula los valores a y b que satisfagan cada una de las siguientes igualdades: a) 1 a 2 b a b 3 4 = b) a b a = Ejercicio: Estudia la conmutatividad de las siguientes matrices: A= B= C=

9 Ejercicio: Dadas las matrices A= B= x 0 1 y 1 0 determinar los valores x, y, z que hacen posible la igualdad: A B= A C , z y C= Trasposición de matrices. Matriz simétrica y matriz antisimétrica: La matriz traspuesta de una matriz A de dimensión m n es una matriz de dimensión n m que se obtiene al cambiar en A las filas por columnas. La escribiremos A t. Ejemplo: A= At = Propiedades: A t t =A A B t =A t B t k A t =k A t A B t = B t A t

10 Matriz simétrica: Matriz cuadrada tal que A t = A. Matriz antisimétrica ( o hemisimétrica) : Matriz cuadrada tal que A t = A. Ejemplo: es una matriz simétrica es una matriz antisimétrica. Ejercicio: Dadas las matrices A= y B= A B t = B t A t Comprueba que A B t B t A t Ejercicio: Encuentra todas las matrices que conmutan con A=

11 Matriz inversa: La matriz inversa de una matriz cuadrada A de orden n es la matriz A 1 de orden n que verifica: A A 1 =A 1 A=I Las matrices que tienen inversa se denominan matrices regulares o no singulares, y las que no la tienen se llaman matrices singulares. Cálculo de la matriz inversa: Mediante la definición: Ejemplo: A= Mediante el método de Gauss-Jordan: Hacemos la transformación: A I I A 1 mediante operaciones elementales por filas 11

12 Ejemplos: Calcula la inversa de las matrices: a) A= b) B= c) C=

13 d) D= Ejercicio: Resuelve la ecuación matricial A X =B siendo A= y B=

14 Ejercicio: Resuelve la ecuación matricial: X A B= X, siendo: A= , B= Ejercicio: Resuelve la ecuación matricial: BX 3C =C B 3 I, siendo: B= , C= 0 1 0, e I la matriz identidad de orden

15 Rango de una matriz: Ejemplo: En la matriz A= las filas verifican que F 3 =F 1 F 2, y se dice que F 3 es linealmente dependiente de las filas F 1 y F 2. En una matriz una fila F i no nula depende linealmente de las filas F j, F k,, F t se se verifica: F i =xf j yf k... zf t donde x, y,..., z R. Ejemplo: En la matriz A= se verifica que F 3 =2 F 1 3 F 2, luego podemos decir que F 3 es linealmente dependiente de F 1 y F 2. En una matriz una fila F i no nula es linealmente independiente de las filas F j, F k,, F t si no se puede escribir en la forma anterior (no es posible escribirla como combinación lineal de las demás). Rango o característica de una matriz es el número de filas o columnas no nulas y linealmente independientes que tiene la matriz. Para calcular el rango aplicamos el método de Gauss hasta llegar a una matriz triangular superior, y dicho rango será el número de filas no nulas. Nota: Todo lo explicado para filas sería exactamente igual para columnas. Ejemplos: Calcula el rango de las matrices: a) A=

16 b) B= c) C= d) D=

17 Ejercicio: Calcula el rango, según los valores de k de la matriz: A= k 17

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