BLOQUE DE ÁLGEBRA: TEMA 1: MATRICES.

Save this PDF as:
Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "BLOQUE DE ÁLGEBRA: TEMA 1: MATRICES."

Transcripción

1 BLOQUE DE ÁLGEBRA: TEMA 1: MATRICES. Matrices: Se llama matriz de dimensión m n a un conjunto de números reales dispuestos en m filas y n columnas de la siguiente forma: 11 a 12 a a 1n A= a a 21 a 22 a a 2n ij a m1 a m2 a m3... a mn = a Ejemplo: La matriz A= es de dimensión 2 3. Una matriz es rectangular si m n, y es cuadrada si m=n. En una matriz cuadrada definimos: Diagonal principal: la formada por los elementos a ii. Diagonal secundaria: la formada por los elementos a ij donde i j=n 1. a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 matriz cuadrada de orden 3. diagonal principal diagonal secundaria Tipos de matrices: Matriz fila: matriz de dimensión 1 n. Ejemplo: es de dimensión 1 3. Matriz columna: matriz de dimensión m 1. 2 Ejemplo: 0 1 es de dimensión

2 Matriz nula:todos sus elementos son nulos. Ejemplo: O= es la matriz nula de dimensión 2 3. Matriz triangular superior: Matriz cuadrada en la que todos los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros. Ejemplo: es una matriz triangular superior de orden 3. Matriz triangular inferior: Matriz cuadrada en la que todos los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros. Ejemplo: matriz triangular inferior de orden Matriz diagonal: Matriz cuadrada en la que todos los elementos no situados en la diagonal principal son ceros. Ejemplo: matriz diagonal de orden 3. Matriz escalar: Matriz diagonal en la que todos los términos de la diagonal principal son iguales. Ejemplo: matriz escalar de orden 2. Matriz unidad o matriz identidad: Matriz escalar en la que todos los términos de la diagonal principal son 1. Ejemplo: I = matriz identidad de orden 3. 2

3 Método de Gauss: Se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Consiste en transformar dicho sistema en otro equivalente a él (con la misma solución). Para ello utilizaremos las siguientes transformaciones: Cambiar dos ecuaciones de orden. Multiplicar una ecuación por un número real distinto de cero. Cambiar una ecuación por una suma de ella con otra ecuación del sistema multiplicada previamente por número real distinto de cero. Ejemplos: Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: a) x 2 y z= 6 y 3 z= 1 2 z= 2} b) x 2 y z= 7 2 x 5 y 3 z= 19 3 x y z= 5 } c) 3 x y x= 4 x 2 y z= 2 2 y 5 z= 5} 3

4 d) x y z=0 2 x 3 z=7 x 3 y 4 z=1 } e) x 2 y z=3 } y 3 z= 16 2 x y z= 14 f) 2 x y 3 z= 5 4 x 2 y z= 10 x 3y =1 } 4

5 g) x y t=6 } x z t= 1 y z t=6 x y z =0 Operaciones con matrices: Suma de matrices: A B= a ij b ij = a ij b ij. Ejemplo: Producto por un número real (por un escalar) : k A=k a ij = k a ij, k R. Ejemplo: Producto de matrices: Dadas las matrices A= a ij de dimensión m n y B= b ij de dimensión n p, la matriz producto por: A B es de dimensión m p y viene dada A m n B n p =C m p n donde a ij b ij = c ik con: c ik = a ij b jk. j=1 Ejemplos: a)

6 b) Ejercicio: Dadas las matrices A= 2 0 hallar B A? 1 3 y B= , calcula A B. Se puede Propiedades del producto de matrices: Asociativa: A B C = A B C. Elemento Neutro (I= matriz identidad): A I= I A=A. Distributiva respecto a la suma: A B C = A B A C. NO CONMUTATIVA: A B B A Ejemplo: A= B= A B B A 6

7 Ejercicio: Dada la matriz A= , calcula A1999. Ejercicio: Determina la matriz X que verifique la igualdad 3 X I= A B A 2, siendo: A= , B= e I la matriz unidad de orden 3. 7

8 Ejercicio: Calcula los valores a y b que satisfagan cada una de las siguientes igualdades: a) 1 a 2 b a b 3 4 = b) a b a = Ejercicio: Estudia la conmutatividad de las siguientes matrices: A= B= C=

9 Ejercicio: Dadas las matrices A= B= x 0 1 y 1 0 determinar los valores x, y, z que hacen posible la igualdad: A B= A C , z y C= Trasposición de matrices. Matriz simétrica y matriz antisimétrica: La matriz traspuesta de una matriz A de dimensión m n es una matriz de dimensión n m que se obtiene al cambiar en A las filas por columnas. La escribiremos A t. Ejemplo: A= At = Propiedades: A t t =A A B t =A t B t k A t =k A t A B t = B t A t

10 Matriz simétrica: Matriz cuadrada tal que A t = A. Matriz antisimétrica ( o hemisimétrica) : Matriz cuadrada tal que A t = A. Ejemplo: es una matriz simétrica es una matriz antisimétrica. Ejercicio: Dadas las matrices A= y B= A B t = B t A t Comprueba que A B t B t A t Ejercicio: Encuentra todas las matrices que conmutan con A=

11 Matriz inversa: La matriz inversa de una matriz cuadrada A de orden n es la matriz A 1 de orden n que verifica: A A 1 =A 1 A=I Las matrices que tienen inversa se denominan matrices regulares o no singulares, y las que no la tienen se llaman matrices singulares. Cálculo de la matriz inversa: Mediante la definición: Ejemplo: A= Mediante el método de Gauss-Jordan: Hacemos la transformación: A I I A 1 mediante operaciones elementales por filas 11

12 Ejemplos: Calcula la inversa de las matrices: a) A= b) B= c) C=

13 d) D= Ejercicio: Resuelve la ecuación matricial A X =B siendo A= y B=

14 Ejercicio: Resuelve la ecuación matricial: X A B= X, siendo: A= , B= Ejercicio: Resuelve la ecuación matricial: BX 3C =C B 3 I, siendo: B= , C= 0 1 0, e I la matriz identidad de orden

15 Rango de una matriz: Ejemplo: En la matriz A= las filas verifican que F 3 =F 1 F 2, y se dice que F 3 es linealmente dependiente de las filas F 1 y F 2. En una matriz una fila F i no nula depende linealmente de las filas F j, F k,, F t se se verifica: F i =xf j yf k... zf t donde x, y,..., z R. Ejemplo: En la matriz A= se verifica que F 3 =2 F 1 3 F 2, luego podemos decir que F 3 es linealmente dependiente de F 1 y F 2. En una matriz una fila F i no nula es linealmente independiente de las filas F j, F k,, F t si no se puede escribir en la forma anterior (no es posible escribirla como combinación lineal de las demás). Rango o característica de una matriz es el número de filas o columnas no nulas y linealmente independientes que tiene la matriz. Para calcular el rango aplicamos el método de Gauss hasta llegar a una matriz triangular superior, y dicho rango será el número de filas no nulas. Nota: Todo lo explicado para filas sería exactamente igual para columnas. Ejemplos: Calcula el rango de las matrices: a) A=

16 b) B= c) C= d) D=

17 Ejercicio: Calcula el rango, según los valores de k de la matriz: A= k 17

Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. TEMA 1.- MATRICES 1.-Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la

Más detalles

Matrices. Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones ordenados en filas y columnas.

Matrices. Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones ordenados en filas y columnas. Matrices Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones ordenados en filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento

Más detalles

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES CONCEPTO MATRICES Se llama matriz de orden (dimensión) m n a un conjunto de m n elementos dispuestos en m filas y n columnas Se representa por A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn j=1,2,,n

Más detalles

TEMA 7: MATRICES. OPERACIONES.

TEMA 7: MATRICES. OPERACIONES. TEMA 7: MATRICES. OPERACIONES. 1. MATRICES. TIPOS DE MATRICES. Se llama matriz de orden m x n (m filas y n columnas) a un conjunto de m n elementos, distribuidos en m filas y n columnas y encerrados entre

Más detalles

MATEMÁTICAS 2º BACH TECNOL. MATRICES. Profesor: Fernando Ureña Portero MATRICES

MATEMÁTICAS 2º BACH TECNOL. MATRICES. Profesor: Fernando Ureña Portero MATRICES CONCEPTO DE MATRIZ Definición: Se denomina matriz A o (a ij ) a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas : Columnas Filas Elemento a ij : Cada uno

Más detalles

MATRICES. Se denomina matriz de dimensión m n a todo conjunto cuyos elementos están dispuestos en m filas y n columnas. o simplemente A = (a.

MATRICES. Se denomina matriz de dimensión m n a todo conjunto cuyos elementos están dispuestos en m filas y n columnas. o simplemente A = (a. MATRICES Se denomina matriz de dimensión m n a todo conjunto cuyos elementos están dispuestos en m filas y n columnas A= 2 1 5 0 3 8 A es de dimensión 2 3. a a a En general una matriz de dimensión 2 3

Más detalles

Matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales.

Matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales. UNIVERSIDAD DE MURCIA Departamento de Matemáticas Óptica y Optometría Resúmenes Curso 2007-2008 Matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales. Una matriz A de orden m n es una colección de m

Más detalles

Matrices. Álgebra de matrices.

Matrices. Álgebra de matrices. Matrices. Álgebra de matrices. 1. Definiciones generales Definición 1.1 Si m y n son dos números naturales, se llama matriz de números reales de orden m n a una aplicación A : {1, 2, 3,..., m} {1, 2, 3,...,

Más detalles

Estos apuntes se han sacado de la página de internet de vitutor con pequeñas modificaciones.

Estos apuntes se han sacado de la página de internet de vitutor con pequeñas modificaciones. TEMA 1: MATRICES Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones ordenados en filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento

Más detalles

Tema 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES

Tema 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES Tema 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES 1. DEFINICIÓN Y TIPO DE MATRICES DEFINICIÓN. Una matriz es un conjunto de números reales dispuestos en filas y columnas. Si en ese conjunto hay m n números escritos

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 1 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad

Más detalles

Tema 1. Álgebra lineal. Matrices

Tema 1. Álgebra lineal. Matrices 1 Tema 1. Álgebra lineal. Matrices 0.1 Introducción Los sistemas de ecuaciones lineales aparecen en un gran número de situaciones. Son conocidos los métodos de resolución de los mismos cuando tienen dos

Más detalles

Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Matrices Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina

Más detalles

Matrices y determinantes

Matrices y determinantes Matrices y determinantes 1 Ejemplo Cuál es el tamaño de las siguientes matrices? Cuál es el elemento a 21, b 23, c 42? 2 Tipos de matrices Matriz renglón o vector renglón Matriz columna o vector columna

Más detalles

MATRICES. 2º Bachillerato. Se llama matriz a una disposición rectangular de números reales, a los cuales se les denomina elementos de la matriz.

MATRICES. 2º Bachillerato. Se llama matriz a una disposición rectangular de números reales, a los cuales se les denomina elementos de la matriz. Concepto de matriz. Igualdad de matrices MATRICES 2º Bachillerato Concepto de matriz. Igualdad de matrices Concepto de matriz. Igualdad de matrices Se llama matriz a una disposición rectangular de números

Más detalles

Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales David Ariza-Ruiz 10 de octubre de 2012 1 Matrices Una matriz es una tabla numérica rectangular de m filas y n columnas dispuesta de la siguiente

Más detalles

Matemáticas Física Curso de Temporada Verano Ing. Pablo Marcelo Flores Jara

Matemáticas Física Curso de Temporada Verano Ing. Pablo Marcelo Flores Jara Matemáticas Física Curso de Temporada Verano 2016 Ing. Pablo Marcelo Flores Jara pablofloresjara@gmail.com UNIDAD III: INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO MATRICIAL Ing. Pablo Marcelo Flores Jara pablofloresjara@gmail.com

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Sistemas de Ecuaciones Lineales Sistemas de Ecuaciones Lineales 1 Sistemas de ecuaciones y matrices Definición 1 Una ecuación lineal en las variables x 1, x 2,..., x n es una ecuación de la forma con a 1, a 2... y b números reales. a

Más detalles

Matrices y Determinantes.

Matrices y Determinantes. Matrices y Determinantes. Definición [Matriz] Sea E un conjunto cualquiera, m, n N. Matrices. Generalidades Matriz de orden m n sobre E: a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n...... a m1 a m2... a mn a ij

Más detalles

TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS.

TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS. TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. 1. MATRICES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS. DEFINICIÓN: Las matrices son tablas numéricas rectangulares

Más detalles

Tema 1: Matrices. El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico.

Tema 1: Matrices. El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico. Tema 1: Matrices El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico. 1. Terminología Comenzamos con la definición de matriz

Más detalles

Se llama adjunto de un elemento de una matriz A, al número resultante de multiplicar por el determinante de la matriz complementaria

Se llama adjunto de un elemento de una matriz A, al número resultante de multiplicar por el determinante de la matriz complementaria T.3: MATRICES Y DETERMINANTES 3.1 Determinantes de segundo orden Se llama determinante de a: 3.2 Determinantes de tercer orden Se llama determinante de a: Ejercicio 1: Halla los determinantes de las siguientes

Más detalles

MATRICES. Una matriz es un conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

MATRICES. Una matriz es un conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. MATRICES Una matriz es un conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento

Más detalles

TEMA 1: MATRICES. Una matriz de orden mxn es un conjunto de m n números reales dispuestos en m filas y n columnas ...

TEMA 1: MATRICES. Una matriz de orden mxn es un conjunto de m n números reales dispuestos en m filas y n columnas ... TEMA : MATRICES Una matriz de orden mxn es un conjunto de m n números reales dispuestos en m filas y n columnas a a a... a n a a a... an A... am am am... amn A los números reales a ij se les llama elementos

Más detalles

Matrices y Sistemas Lineales

Matrices y Sistemas Lineales Matrices y Sistemas Lineales Álvarez S, Caballero MV y Sánchez M a M salvarez@umes, mvictori@umes, marvega@umes 1 ÍNDICE Matemáticas Cero Índice 1 Definiciones 3 11 Matrices 3 12 Sistemas lineales 5 2

Más detalles

Ejemplo 1. Ejemplo introductorio

Ejemplo 1. Ejemplo introductorio . -Jordan. Ejemplo 1. Ejemplo introductorio. -Jordan Dos especies de insectos se crían juntas en un recipiente de laboratorio. Todos los días se les proporcionan dos tipos de alimento A y B. 1 individuo

Más detalles

Matrices y Sistemas Lineales

Matrices y Sistemas Lineales Matrices y Sistemas Lineales Álvarez S, Caballero MV y Sánchez M a M salvarez@umes, mvictori@umes, marvega@umes Índice 1 Definiciones 3 11 Matrices 3 12 Sistemas lineales 6 2 Herramientas 8 21 Operaciones

Más detalles

Definición de matriz Una matriz A es un conjunto de números dispuestos en filas y en columnas.

Definición de matriz Una matriz A es un conjunto de números dispuestos en filas y en columnas. 1.- CONCEPTO DE MATRIZ. TIPOS DE MATRICES Definición de matriz Una matriz A es un conjunto de números dispuestos en filas y en columnas. 1 3 4 Por ejemplo, A = es una matriz de 2 filas y 3 columnas 0 5

Más detalles

Tema 1: Matrices. El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico.

Tema 1: Matrices. El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico. Tema 1: Matrices El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico. 1. Terminología Comenzamos con la definición de matriz

Más detalles

MATRICES. Matriz de los coeficientes. Matriz de las incógnitas. Matriz de los términos independientes. Matriz ampliada. Información general

MATRICES. Matriz de los coeficientes. Matriz de las incógnitas. Matriz de los términos independientes. Matriz ampliada. Información general MTRICES Sistema de ecuaciones lineales 2x+ 3y z= 5 5x 2y+ 2z= 10 x y+ 3z= 8 Expresión matricial 2 3 1 x 5 5 2 2 y = 10 1 1 3 z 8 2 3 1 5 2 2 1 1 3 Matriz de los coeficientes 3 filas 3 columnas matriz 3

Más detalles

Tema 1: Matrices. October 13, 2016

Tema 1: Matrices. October 13, 2016 Tema 1: Matrices October 13, 2016 1 Matrices Las matrices se usan en muchos ámbitos de las ciencias: sociología, economía, hojas de cálculo, matemáticas, física,... Se inició su estudio en el siglo XIX

Más detalles

Definición Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas.

Definición Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas. Tema 1 Matrices 1.1. Conceptos básicos y ejemplos Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas. NOTA:

Más detalles

Una matriz es una tabla ordenada (por filas y columnas) de escalares a i j de la forma: ... ... a... ...

Una matriz es una tabla ordenada (por filas y columnas) de escalares a i j de la forma: ... ... a... ... MATRICES Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Tienen también muchas aplicaciones

Más detalles

CONTENIDOS MATEMÁTICAS II SEGUNDA EVALUACIÓN CURSO 2017/2018 MATRICES

CONTENIDOS MATEMÁTICAS II SEGUNDA EVALUACIÓN CURSO 2017/2018 MATRICES CONTENIDOS MATEMÁTICAS II SEGUNDA EVALUACIÓN CURSO 2017/2018 Unidades: - Matrices (Bloque Álgebra) - Determinantes (Bloque Álgebra) - Sistemas de ecuaciones lineales (Bloque Álgebra) - Vectores (Bloque

Más detalles

Matrices, Determinantes y Sistemas Lineales.

Matrices, Determinantes y Sistemas Lineales. 12 de octubre de 2014 Matrices Una matriz A m n es una colección de números ordenados en filas y columnas a 11 a 12 a 1n f 1 a 21 a 22 a 2n f 2....... a m1 a m2 a mn f m c 1 c 2 c n Decimos que la dimensión

Más detalles

Matrices 1. Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Matrices 1. Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Matrices 1 Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se

Más detalles

1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS

1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS 1.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado 1, con una o varias incógnitas. Dos ecuaciones son equivalentes

Más detalles

Matrices. Primeras definiciones

Matrices. Primeras definiciones Primeras definiciones Una matriz es un conjunto de elementos números ordenado en filas y columnas. En general una matriz se nombra con una letra mayúscula y a sus elementos con letras minúsculas indicando

Más detalles

BOLETÍN DE MATRICES 2 IES A Sangriña Curso 2016/ Calcula la matriz inversa, si existe, usando el método de Gauss:

BOLETÍN DE MATRICES 2 IES A Sangriña Curso 2016/ Calcula la matriz inversa, si existe, usando el método de Gauss: *** OBLIGATORIOS *** 1. Efectúa todos los posibles productos: 2. Calcula la matriz inversa, si existe, usando el método de Gauss: 3. Sean y. Encuentra X para que cumpla: 3 X 2 A = 5 B 4. Encuentra dos

Más detalles

2 - Matrices y Determinantes

2 - Matrices y Determinantes Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 2 - Matrices y Determinantes 1 Matrices 11 Definición Una matriz A es cualquier ordenamiento rectangular de números o funciones a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A a m1

Más detalles

MATEMÁTICA LIC. Y PROF. EN CS. BIOLÓGICAS

MATEMÁTICA LIC. Y PROF. EN CS. BIOLÓGICAS Definición: se llama matriz de m filas y n columnas sobre un cuerpo K (R ó C), a una ordenación rectangular de la forma Notación: a11 a...... a1n a21 a...... a2n A = M M M donde cada elemento a ij Є K

Más detalles

Es una tabla bidimensional de números consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse.

Es una tabla bidimensional de números consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse. Definición de matriz Es una tabla bidimensional de números consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse. Una matriz es un cuadrado o tabla de números ordenados. Se llama matriz

Más detalles

Matrices. Una matriz es una forma de representar un conjunto de números que guardan una relación entre sí, dando un orden mediante filas y columnas.

Matrices. Una matriz es una forma de representar un conjunto de números que guardan una relación entre sí, dando un orden mediante filas y columnas. Matrices. Una matriz es una forma de representar un conjunto de números que guardan una relación entre sí, dando un orden mediante filas y columnas. Ejemplo: Consideremos la siguiente selección de gustos

Más detalles

Matrices y Sistemas Lineales

Matrices y Sistemas Lineales Matrices y Sistemas Lineales Natalia Boal María Luisa Sein-Echaluce Universidad de Zaragoza Matrices sobre IR ó C. Definición Dado un conjunto K (IR ó C) y dos conjuntos finitos de índices I = {,, m} J

Más detalles

Tema 1: Matrices y Determinantes

Tema 1: Matrices y Determinantes Tema 1: Matrices y Determinantes September 14, 2009 1 Matrices Definición 11 Una matriz es un arreglo rectangular de números reales a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A = a n1 a n2 a nm Se dice que una matriz

Más detalles

Matemáticas 2ºBachillerato Aplicadas a las Ciencias Sociales

Matemáticas 2ºBachillerato Aplicadas a las Ciencias Sociales Matemáticas 2ºBachillerato Aplicadas a las Ciencias Sociales 1era evaluación. Matrices Definición: Una matriz es un conjunto de números ordenados en filas y columnas. Para definirla se utilizan letras

Más detalles

Teoría Tema 7 Operar con matrices

Teoría Tema 7 Operar con matrices página 1/12 Teoría Tema 7 Operar con matrices Índice de contenido Concepto de matriz...2 Matriz traspuesta, simétrica y diagonal...3 Suma de matrices y producto de escalar por matriz...6 Producto de matrices...8

Más detalles

DEFINICIONES TIPOS DE MATRICES DETERMINANTES Y PROPIEDADES OPERACIONES MATRICIALES INVERSA DE UNA MATRIZ SISTEMAS DE ECUACIONES

DEFINICIONES TIPOS DE MATRICES DETERMINANTES Y PROPIEDADES OPERACIONES MATRICIALES INVERSA DE UNA MATRIZ SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRA DE MATRICES DEFINICIONES TIPOS DE MATRICES DETERMINANTES Y PROPIEDADES OPERACIONES MATRICIALES INVERSA DE UNA MATRIZ SISTEMAS DE ECUACIONES DEFINICIONES 2 Las matrices y los determinantes son herramientas

Más detalles

MATRICES Y DETERMINANTES DEFINICIÓN DE MATRIZ. TIPOS

MATRICES Y DETERMINANTES DEFINICIÓN DE MATRIZ. TIPOS Índice Presentación... 3 Matrices... 4 Tipos de matrices I... 5 Tipos de matrices II... 6 Suma de matrices... 7 Multiplicación por un escalar... 8 Producto de matrices... 9 Trasposición de matrices...

Más detalles

Matriz sobre K = R o C de dimensión m n

Matriz sobre K = R o C de dimensión m n 2 Matrices y Determinantes 21 Matrices Matriz sobre K = R o C de dimensión m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Tipos de matrices: Cuadrada: n n = (a ij) i=1,,m j=1,,n Nula: (0) i,j 1 0

Más detalles

Conjuntos y matrices. Sistemas de ecuaciones lineales

Conjuntos y matrices. Sistemas de ecuaciones lineales 1 Conjuntos y matrices Sistemas de ecuaciones lineales 11 Matrices Nuestro objetivo consiste en estudiar sistemas de ecuaciones del tipo: a 11 x 1 ++ a 1m x m = b 1 a n1 x 1 ++ a nm x m = b n Una solución

Más detalles

Matriz A = Se denomina MATRIZ a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Matriz A = Se denomina MATRIZ a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. MATRICES Matriz Se denomina MATRIZ a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n A = a i1 a ij a in a m1 a

Más detalles

Ecuaciones matriciales AX = B y XA = B. Cálculo de la matriz inversa

Ecuaciones matriciales AX = B y XA = B. Cálculo de la matriz inversa Ecuaciones matriciales AX = B y XA = B Cálculo de la matriz inversa Objetivos Aprender a resolver ecuaciones matriciales de la forma AX = B y XA = B Aprender a calcular la matriz inversa con la eliminación

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Capítulo 4 Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices El problema central del Álgebra Lineal es la resolución de ecuaciones lineales simultáneas Una ecuación lineal con n-incógnitas x 1, x 2,, x n es una

Más detalles

Tema 1 CÁLCULO MATRICIAL y ECUACIONES LINEALES

Tema 1 CÁLCULO MATRICIAL y ECUACIONES LINEALES Tema 1 CÁLCULO MATRICIAL y ECUACIONES LINEALES Prof. Rafael López Camino Universidad de Granada 1 Matrices Definición 1.1 Una matriz (real) de n filas y m columnas es una expresión de la forma a 11...

Más detalles

Matrices y Sistemas de Ecuaciones lineales

Matrices y Sistemas de Ecuaciones lineales Matrices y Sistemas de Ecuaciones lineales Llamaremos M m n (K) al conjunto de las matrices A = (a ij ) (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n) donde los elementos a ij pertenecen a un cuerpo K. Las matrices,

Más detalles

MATRICES OPERACIONES BÁSICAS CON MATRICES

MATRICES OPERACIONES BÁSICAS CON MATRICES MATRICES OPERACIONES BÁSICAS CON MATRICES ANTECEDENTES En el año 1850, fueron introducidas por J.J. Sylvester El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A.

Más detalles

1. Determinantes de orden dos y tres:

1. Determinantes de orden dos y tres: 1. Determinantes de orden dos y tres: TEMA 8: DETERMINANTES. A una matriz cuadrada le vamos a asociar un número que servirá para resolver sistemas, calcular matrices inversas y rangos de matrices. A det

Más detalles

Álgebra Lineal, Ejercicios

Álgebra Lineal, Ejercicios Álgebra Lineal, Ejercicios MATRICES 1 Se llama traza de una matriz cuadrada a la suma de los elementos de su diagonal principal Sea G el conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n con traza nula

Más detalles

MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 5 de Abril de 2 MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (Clase ) Departamento de Matemática Aplicada Facultad de Ingeniería Universidad Central de Venezuela Puntos a tratar. Definición

Más detalles

ÁLGEBRA MATRICIAL. 1. La traspuesta de A es A; (A ) = A. 2. La inversa de A 1 es A; (A 1 ) 1 = A. 3. (AB) = B A.

ÁLGEBRA MATRICIAL. 1. La traspuesta de A es A; (A ) = A. 2. La inversa de A 1 es A; (A 1 ) 1 = A. 3. (AB) = B A. ÁLGEBRA MATRICIAL. 1. La traspuesta de A es A; A = A. 2. La inversa de A 1 es A; A 1 1 = A. 3. AB = B A. 4. Las matrices A A y AA son simétricas. 5. AB 1 = B 1 A 1, si A y B son no singulares. 6. Los escalares

Más detalles

Matrices 2º curso de Bachillerato Ciencias y tecnología

Matrices 2º curso de Bachillerato Ciencias y tecnología MATRICES Índice:. Introducción-------------------------------------------------------------------------------------- 2. Definición de matriz-----------------------------------------------------------------------------

Más detalles

Matrices: repaso. Denotaremos con M m n el conjunto de matrices de tamaño m n, o sea, de m filas y n columnas. Una matriz A M m n es de la forma A =

Matrices: repaso. Denotaremos con M m n el conjunto de matrices de tamaño m n, o sea, de m filas y n columnas. Una matriz A M m n es de la forma A = Matrices: repaso Denotaremos con M m n el conjunto de matrices de tamaño m n, o sea, de m filas y n columnas Una matriz A M m n es de la forma a 11 a 1n A = a m1 a mn Denotaremos A ij = a ij el coeficiente

Más detalles

MATEMÁTICAS 2º BACH CIENCIAS MATRICES. Profesor: Fernando Ureña Portero

MATEMÁTICAS 2º BACH CIENCIAS MATRICES. Profesor: Fernando Ureña Portero La palabra Álgebra proviene del libro Al-jabr wa l muqabalah, del matemático árabe Al-Jowarizmi (siglo IX). Con dicho nombre se designó en occidente en posteriores siglos a la ciencia que aprendieron del

Más detalles

Una ecuación lineal de n-incógnitas es una igualdad de la forma:

Una ecuación lineal de n-incógnitas es una igualdad de la forma: página 1/39 Teoría Tema 6 Ecuación lineal Una ecuación lineal de n-incógnitas es una igualdad de la forma: a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 +...+a n x n =c Donde a 1,a 2, a 3,..., a n,c son números reales. En

Más detalles

Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones.

Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones. Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones. Álgebra Lineal Escuela Politécnica Superior Universidad de Málaga Emilio Muñoz-Velasco (Basado en los apuntes de Jesús Medina e Inmaculada Fortes)

Más detalles

Una matriz es un arreglo rectangular de números. Los números en el arreglo se llaman elementos de la matriz. ) ( + ( ) ( )

Una matriz es un arreglo rectangular de números. Los números en el arreglo se llaman elementos de la matriz. ) ( + ( ) ( ) MATRICES Una matriz es un arreglo rectangular de números. Los números en el arreglo se llaman elementos de la matriz. Ejemplo 1. Algunos ejemplos de matrices ( + ( ) ( + ( ) El tamaño o el orden de una

Más detalles

Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones.

Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones. Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones. Álgebra Lineal Escuela Politécnica Superior Universidad de Málaga Emilio Muñoz-Velasco (Basado en los apuntes de Jesús Medina e Inmaculada Fortes)

Más detalles

1. Utilizar el método de Gauss para clasificar y resolver cuando sea posible los siguientes sistemas: x 3y + 7z = 10 5x y + z = 8 x + 4y 10z = 11

1. Utilizar el método de Gauss para clasificar y resolver cuando sea posible los siguientes sistemas: x 3y + 7z = 10 5x y + z = 8 x + 4y 10z = 11 Teorema de Rouché Frobenius: Si A es la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales y AM la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales. Si r(a = r(am = número de incógnitas =

Más detalles

Álgebra Lineal y Estructuras Matemáticas. J. C. Rosales y P. A. García Sánchez. Departamento de Álgebra, Universidad de Granada

Álgebra Lineal y Estructuras Matemáticas. J. C. Rosales y P. A. García Sánchez. Departamento de Álgebra, Universidad de Granada Álgebra Lineal y Estructuras Matemáticas J. C. Rosales y P. A. García Sánchez Departamento de Álgebra, Universidad de Granada Capítulo 4 Matrices con coeficientes en un cuerpo 1. Matrices Sean I = {1,

Más detalles

Matrices 2º curso de Bachillerato Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales

Matrices 2º curso de Bachillerato Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales MATRICES Índice:. Introducción-------------------------------------------------------------------------------------- 2. Definición de matriz-----------------------------------------------------------------------------

Más detalles

CAPÍTULO 3: DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

CAPÍTULO 3: DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES CAPÍTULO 3: DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES Parte A: determinantes. A.1- Definición. Por simplificar, consideraremos que a cada matriz cuadrada se le asocia un número llamado determinante que se

Más detalles

1 ÁLGEBRA DE MATRICES

1 ÁLGEBRA DE MATRICES 1 ÁLGEBRA DE MATRICES 1.1 DEFINICIONES Las matrices son tablas numéricas rectangulares. Se dice que una matriz es de dimensión m n si tiene m filas y n columnas. Cada elemento de una matriz se designa

Más detalles

Problemas Sesión 5: Matrices I

Problemas Sesión 5: Matrices I Problemas Sesión 5: Matrices I P) Sean A 2 3 6 sin embargo B C. ; B 3 8 2 3 y C 5 2 2. Comprueba que AB AC y que El resultado de calcular los productos es: AB AC 7 2 2 6 P2) Considera las matrices A y

Más detalles

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales Introducción Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley

Más detalles

Matrices y sistemas de ecuaciones

Matrices y sistemas de ecuaciones Matrices y sistemas de ecuaciones María Muñoz Guillermo maria.mg@upct.es U.P.C.T. Matemáticas I M. Muñoz (U.P.C.T.) Matrices y sistemas de ecuaciones Matemáticas I 1 / 59 Definición de Matriz Matrices

Más detalles

Dada la proporción =, calcula el producto de extremos menos el producto de medios. 4. Halla los determinantes de las siguientes matrices: Solución:

Dada la proporción =, calcula el producto de extremos menos el producto de medios. 4. Halla los determinantes de las siguientes matrices: Solución: 3 Determinantes. Determinantes de orden y 3 por Sarrus Piensa y calcula 3 6 Dada la proporción =, calcula el producto de extremos menos el producto de medios. 4 8 3 8 6 4 = 4 4 = 0 Aplica la teoría. Calcula

Más detalles

MATRICES. M(n) ó M nxn A =

MATRICES. M(n) ó M nxn A = MTRICES Definición de matriz. Una matriz de orden m n es un conjunto de m n elementos pertenecientes a un conjunto, que para nosotros tendrá estructura de cuerpo conmutativo y lo denotaremos por K, dispuestos

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una ecuación es un enunciado o proposición que plantea la igualdad de dos expresiones, donde al menos una de ellas contiene cantidades desconocidas llamadas variables

Más detalles

MATRICES Y DETERMINANTES II.

MATRICES Y DETERMINANTES II. MATRICES Y DETERMINANTES II. Matriz adjunta es la matriz cuadrada que se obtiene al sustituir cada elemento por su adjunto correspondiente. Calcula la matriz adjunta: 2 2 2 A =( 2 1 0 ) 3 2 2 Primero calculamos

Más detalles

Matrices. p ij = a ik b kj = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj.

Matrices. p ij = a ik b kj = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj. Matrices Introducción Una matriz de m filas y n columnas con elementos en el cuerpo K es un rectángulo de elementos de K (es decir, números) del tipo a a 2 a n a 2 a 22 a 2n A = (a ij ) = a m a m2 a mn

Más detalles

3. Matrices. 1 Definiciones básicas. 2 Operaciones con matrices. 2.2 Producto de una matriz por un escalar. 2.1 Suma de matrices.

3. Matrices. 1 Definiciones básicas. 2 Operaciones con matrices. 2.2 Producto de una matriz por un escalar. 2.1 Suma de matrices. Tema I Capítulo 3 Matrices Álgebra Departamento de Métodos Matemáticos y de Representación UDC 3 Matrices 1 Definiciones básicas Definición 11 Una matriz A de dimensión m n es un conjunto de escalares

Más detalles

MATRICES Y DETERMINANTES

MATRICES Y DETERMINANTES Capítulo 6 MATRICES Y DETERMINANTES 6.. Introducción Las matrices y los determinantes son herramientas del álgebra que facilitan el ordenamiento de datos, así como su manejo. Los conceptos de matriz y

Más detalles

Francisco José Vera López

Francisco José Vera López Álgebra y Matemática Discreta Matrices. Sistemas de ecuaciones. Francisco José Vera López Dpto. de Matemática Aplicada Facultad de Informática 2015 1 Matrices 2 Sistemas de Ecuaciones Matrices Una matriz

Más detalles

1 de 6 24/08/2009 9:54 MATRICES Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853 En

Más detalles

Ing. Ramón Morales Higuera

Ing. Ramón Morales Higuera MATRICES. Una matriz es un conjunto ordenado de números. Un determinante es un número. CONCEPTO DE MATRIZ. Se llama matriz a un conjunto ordenado de números, dispuestos en filas y Las líneas horizontales

Más detalles

Tema 5. Matrices y Determinantes

Tema 5. Matrices y Determinantes Tema 5. Matrices y Determinantes 1. Definiciones 2. Operaciones Propiedades 3. Determinantes Orden 2 Orden 3: Regla de Sarrus Orden mayor de 3 Propiedades 4. Matriz inversa Ecuaciones matriciales 5. Rango

Más detalles

Matrices y determinantes

Matrices y determinantes Matrices y determinantes Las matrices y los determinantes son herramientas del álgebra de gran utilidad en muchas disciplinas. Los campos de aplicación de la teoría de las matrices y de los determinantes

Más detalles

Matrices y determinantes

Matrices y determinantes Matrices y determinantes 1 Matrices Una matriz de orden m n es un conjunto de m n números ordenados en m filas y n columnas Por ejemplo, 1 1 2 0 2 0 2 1 1 1 2 1 3 0 2 es una matriz de orden 3 5 Una matriz

Más detalles

Una matriz es una arreglo rectangular ordenado de elementos, comúnmente llamados escalares, dispuestos en m renglones y n columnas.

Una matriz es una arreglo rectangular ordenado de elementos, comúnmente llamados escalares, dispuestos en m renglones y n columnas. MATRICES Las matrices tienen una importancia fundamental en el análisis económico sobre todo en el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, como en el modelo insumo-producto. Cuando trabajamos con modelos

Más detalles

MATEMÁTICAS II: MATRICES Y DETERMINANTES

MATEMÁTICAS II: MATRICES Y DETERMINANTES MATRICES Llamaremos matriz de números reales de orden (o dimensión) m n a un conjunto ordenado de m n números reales, dispuestos en m filas y n columnas: A a 11 a 12 a 13 a 1j a 1n a 21 a 22 a 23 a 2j

Más detalles

Tema 2. Sistemas de ecuaciones lineales

Tema 2. Sistemas de ecuaciones lineales Tema 2 Sistemas de ecuaciones lineales Ecuaciones lineales ( x,, x n ) Una ecuación lineal tiene variables 1 término independiente (b) y coeficientes (reales o complejos) a a x a x a x b 1 1 2 2 n n,,

Más detalles

Resumen 3: Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones

Resumen 3: Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones Resumen 3: Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales 1 Matrices Una matriz con coeficientes sobre un cuerpo K (normalmente K R) consiste en una colección de números (o escalares) del cuerpo

Más detalles

Matrices y determinantes

Matrices y determinantes Matrices y determinantes A = ( aij)=a mxn m = nº filas y n = nº columnas Orden o dimensión = mxn Matriz cuadrada m=n Matriz rectangular m n Matriz fila A 1xn Definiciones de Matrices a 11 a 12...a 1n a

Más detalles

Determinantes. Determinante de orden uno. a 11 = a 11 5 = 5

Determinantes. Determinante de orden uno. a 11 = a 11 5 = 5 DETERMINANTES Determinantes Concepto de determinante A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por A o por det (A). A = Determinante de orden uno

Más detalles

Algebra lineal Matrices

Algebra lineal Matrices Algebra lineal Matrices Una matriz A un arreglo rectangular de números dispuestos en m renglones (filas) y n columnas. Fila 1 La componente o elemento ij de A, denotado por es el número que aparece en

Más detalles

Matrices. Definiciones básicas de matrices. José de Jesús Angel Angel.

Matrices. Definiciones básicas de matrices.  José de Jesús Angel Angel. Matrices Definiciones básicas de matrices wwwmathcommx José de Jesús Angel Angel jjaa@mathcommx MathCon c 2007-2009 Contenido 1 Matrices 3 11 Matrices cuadradas 5 12 Matriz transpuesta 5 13 Elementos de

Más detalles

TEMA 7. Matrices y determinantes.

TEMA 7. Matrices y determinantes. TEMA 7 Matrices y determinantes. 1. Matrices. Generalidades Definición 1 Sea E un conjunto cualquiera, m, n IN. Definimos matriz de orden m n sobre E a una expresión de la forma: a 11 a 12... a 1n a 21

Más detalles