Teoría de Matrices. Julio Yarasca. 30 de junio de Julio Yarasca

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1 30 de junio de 2015

2 Matriz de m por n Definimeros a una matriz A de orden m por n como un arreglo de números de m filas y n columnas. a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A = a 31 a 32 a 33 a 3n.... a m1 a m2 a m3 a mn Donde a ij : es el elemento de la fila i y columna j. Denotaremos a las matriz A de orden m por n como A = (a ij m n m n

3 Ejemplos 1. A = Donde a 11 = 1 a 31 = 5 a 21 = 4 a 22 = B = Donde ( a 11 = 1 a 22 = 3 a 23 = 7 2 3

4 Ejemplo Sea Entonces A = i j, i < j A = (a ij 3 3 /a ij = 2, i = j i + j, i > j =

5 Igualdad Sean A = (a ij m n y B = (b ij m n, diremos que son iguales A = B si sus elementos son iguales, es decir a ij = b ij. Ejemplo A = y B = son iguales.

6 Clases de Matrices: Matriz Nula Cuando todos los elementos de la matriz son ceros, es decir A = (a ij m n es nula si a ij = 0 i, j. Ejemplos 1. A = B =

7 Clases de Matrices: Matriz Rectangular Si el número de filas es distinto del número de columnas A = (a ij m n es rectangular si m n. Ejemplos 1. A = B = (

8 Clases de Matrices: Matriz Cuadrada Cuando el número de filas es igual al número de columnas Ejemplos 1. A = ( A = (a ij m n es cuadrada si m = n. 2. B = Nota: En una matriz cuadrada la diagonal principal es el conjunto de términos a ij tal que i = j, en el ejemplo 2 tenemos que la diagonal principal es {1; 8; 6; 3}. Nota: Llamaremos a una matriz de orden n por n, como matriz cuadrada de orden n..

9 Clases de Matrices: Matriz diagonal Una matriz cuadrada es diagonal si los elementos de distinto índice son ceros, es decir Ejemplos 1. A = A = (a ij n n es diagonal si a ij = 0 i j. ( B =

10 Clases de Matrices: Matriz identidad Si los elementos de la diagonal principal son 1 y los demás son ceros. A = (a ij n n es identidad si a ij = { 1, i = j 0, i j i j. Nota: Denotaremos a las matrices de orden n que sean identidades como I n. Ejemplos 1. I 2 = ( I 4 =

11 Clases de Matrices: Matriz Triangular Superior Una matriz cuadrada es es triangular superior si todos los elementos que estan por debajo de la diagonal principal son ceros. Ejemplos 1. A = A = (a ij n n es triangular superior si a ij = 0 i > j. ( B =

12 Clases de Matrices: Matriz Triangular Inferior Una matriz cuadrada es es triangular inferior si todos los elementos que estan por encima de la diagonal principal son ceros. Ejemplos 1. A = A = (a ij n n es triangular superior si a ij = 0 i < j. ( B =

13 Operaciones Podemos definir la SUMA de matrices y el Producto por escalar. Sean A = (a ij m n, B = (b ij m n y λ R definimos 1. A + B = (a ij + b ij m n 2. λa = (λ a ij m n

14 Ejemplo Sean A = y B = Entonces A + B = 5A = = =

15 Propiedades Sean A = (a ij m n, B = (b ij m n, = (0 m n y λ R se cumple 1. A + B = B + A 2. (A + B + C = A + (B + C 3. A + = A 4. A + ( A = 5. (α + βa = αa + βa 6. (αβa = α(βa 7. α(a + B = αa + αb 8. 1 A = A 9. 0 A = 10. λa = entonces A = λ = 0

16 Multiplicación-Previo Las matrices de una sola fila son llamadas matrices filas, analogamente las matrices de una sola columna son llamadas matrices columnas por ejemplo A = ( B = A es una matriz fila y B es una matriz columna.

17 Sean las matrices fila y columna A = ( a 1 a 2 a 3 a n y B = b 1 b 2 b 3. El producto de estas matrices es AB = c = n k=1 a kb k. Por ejemplo: A = ( y B = = AB = = 36 b n

18 Multiplicación El producto de las matrices A = (a ij m p, B = (b ij p n es definido como la matriz C = (c ij m n donde c ij es el producto de la i-ésima fila de A y j-ésima columna de B. Es decir : donde c ij = p k=1 a ikb kj. AB = C = (c ij m n

19 Ejemplo Entonces ( C = c 11 = ( c 21 = ( ( c11 c = 12 c 21 c 22 = 17, c 12 = ( = 29, c 22 = ( = 7 = 17 Por lo tanto ( C = 7 29

20 Ejemplo ( 1 2 C = ( ( c11 c = 12 c 13 c 21 c 22 c Entonces c 11 = ( 1 2 ( 3 1 c 13 = ( 1 2 ( 2 1 c 22 = ( 3 4 ( 1 4 = 1, c 12 = ( 1 3 ( 1 4 = 4, c 21 = ( 3 4 ( 3 1 = 15, c 11 = ( 3 4 ( 2 1 = 9 = 5 = 10 Por lo tanto ( C =

21 Importante Sean las matrices y Tenemos AB = BA = ( ( A = B = ( ( ( ( = = ( (

22 Propiedades Sea cumple 1. A(BC = (ABC 2. I n A = I n A = A 3. NO siempre AB = BA 4. AB = no implica A = B = 5. AB = AC no implica B = C

23 Transpuesta Si A = (a ij m n, A t = (a t ij n m es la matriz obtenida al intercambiar las filas por columnas de la matriz A, es decir: Ejemplos 1. A = 2. B = a t ij = a ji = A t = 3 3 ( = B t = Nota:Si la matriz A es de orden m por n la matriz A t es de orden n por m. 3 3

24 Propiedades Sea A, B dos matrices de orden m por n y λ R, se cumple: 1. (A + B t = A t + B t 2. (λa t = λa t 3. (AB t = B t A t 4. (A t t = A

25 Matriz simétrica y antisimetrica Sea A = (a ij m n diremos 1. A es simétrica si A t = A 2. A es antisimetrica si A t = A Por ejemplo Sea A = es una matriz simétrica Sea B = es una matriz antisimetrica.

26 Propiedades Sean A, B matrices simétricas, C, D matrices antisimetricas y λ R, se cumple 1. (A + B es simétrica. 2. (C + D es antisimetrica. 3. λa es simétrica. 4. λc es antisimetrica.

27 Propiedades Sea A una matriz, se cumple 1. A + A t es una matriz simétrica. 2. A A t es una matriz antisimetrica. 3. Toda matriz se puede expresar como suma de una matriz simétrica y antisimetrica. 4. La matriz que es simétrica y antisimetrica a la vez es la matriz nula.

28 Traza Se define la traza de una matriz cuadrada como la suma de los elementos a ii y lo denotaremos como tr(a es decir tr(a = n i=1 a ii Ejemplo A = B = ( = tr(a = = 4 = tr(b = = 14

29 Propiedades Sean A y B dos matrices cuadradas de orden n y λ R, se cumple 1. tr(a + B = tr(a + tr(b 2. tr(λa = λa 3. tr(ab = tr(ba 4. tr(a t = tr(a

30 Matriz invertible Sea A una matriz cuadrada de orden n, es invertible si existe una matriz B de orden n tal que AB = BA = I n Denotaremos a la matriz B como A 1. Con esta notación tenemos A 1 A = AA 1 = I n

31 Ejemplo Sea la inversa de A es A = A 1 = ( ( Ya que ( ( ( ( = = ( (

32 Como encontrar la inversa Sea La inversa de A es A 1 = ( a b A = c d 1 ad bc ( d b c a

33 Ejemplo Sea Entonces A 1 = A = ( ( ( =

34 Propiedades Sean A, B matrices invertibles y λ R\{0}, se cumple: 1. (AB 1 = B 1 A 1 2. (λa 1 = λ 1 A 1 3. (A t 1 = (A 1 t 4. (A n 1 = (A 1 n 5. No se siempre (A + B es invertible.

35 Determinantes 2 2 Sea ( a11 a A = 12 a 21 a 22 Definimos el determinante de A como det(a = a 11 a 22 a 21 a 12 Notación: Ejemplo A = det(a = a 11 a 12 a 21 a = = 2

36 Determinantes 3 3 Sea A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Definimos el determinante de A como a det(a = a 22 a a 32 a 33 a 12 a 11 a 13 a 31 a 33 + a 13 a 21 a 22 a 31 a 32

37 Ejemplo

38 Propiedades Sea A, B una matrices cuadradas de orden n y λ R se cumple 1. det(i n = det(a t = det(a. 3. det(ab = det(adet(b. 4. det(a 1 1 = det(a. 5. det(λa = λ n det(a. 6. A es invertible si y solo si det(a 0. Si una matriz es invertible la llamaremos no singular, caso contrario se llamara singular.

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