TEMA 1 Matrices MATRICES A... es una matriz de dos filas y tres columnas. El elemento a 2,3 = -3

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1 . DEFINICIÓN. TE trices TRICES Un mtriz de m fils n columns es un serie ordend de m n números ij, i=,,...m; j=,,...n, dispuestos en fils columns, tl como se indic continución:... n... n m m m... mn Un mtriz como l nterior con m fils n columns, diremos que es de orden mn o de dimensión mn Por ejemplo: es un mtriz de dos fils tres columns. El elemento, = - LGUNOS TIPOS DE TRICES.. TRIZ FIL Es un mtriz que tiene un sol fil n columns = (,,, 8, -) que tiene un fil cinco columns... TRIZ COLUN. Es un mtriz que tiene m fils un column. tiene tres fils un column... TRIZ NUL. Es l mtriz cuos elementos son todos nulos... TRIZ TRNSPUEST Dd un mtriz se represent por t se obtiene cmbindo fils por columns en l mtriz. Si es de orden mn, entonces t será de orden nm: ( ij ) t = ( ji ) pág. ISN DEPÓSITO LEGL CS-99

2 TE trices = su trnspuest t =. TRIZ ESCLOND Es quell (no necesrimente cudrd) donde ij = si i>j.. TRIZ CUDRD Es un mtriz que tiene el mismo número de fils que de columns. Ejemplos: C 8 Digonles de un mtriz cudrd. Se llm digonl principl de un mtriz cudrd l conjunto de elementos del tipo ii. El conjunto de elementos del tipo ij con i + j = n + formn l digonl secundri. En l mtriz C 8 9 l digonl principl es {,, } l secundri {,, 9 }... TRIZ UNIDD. Es un mtriz cudrd en l que todos sus elementos son cero, ecepto los de l digonl principl que está formd por unos. Es decir: ii = ij = ij I.8. TRIZ TRINGULR. Es un mtriz cudrd en l que todos sus elementos por encim o por debjo de su digonl principl son nulos. pág. ISN DEPÓSITO LEGL CS-99

3 TE trices S T 8.9 TRIZ SIÉTRIC Se dice que un mtriz es simétric si coincide con su trnspuest. Tod mtriz simétric es cudrd. = t Ejercicios: Ejercicios complementrios nº,. TRIZ NTISIÉTRIC Se dice que un mtriz es ntisimétric si coincide con su trnspuest cmbid de signo. Tod mtriz ntisimétric es cudrd. = - t. IGULDD DE TRICES. Dds dos mtrices, se dice que son igules cundo: Tienen mism dimensión = b, ij ij i, j I J. OPERCIONES CON TRICES... SU DE TRICES. Dds dos mtrices del mismo orden, mn, se define l sum de mbs como otr mtriz, del mismo orden, que se obtiene sumndo los elementos que ocupn el mismo lugr. Se trt de un operción intern del conjunto de ls mtrices de orden o dimensión mn:, mn + mn Eplicr producto crtesino de conjuntos pág. ISN DEPÓSITO LEGL CS-99

4 TE trices... n b b... bn... b b... b + = n + n = b b... b m m mn m m mn b b... n bn b b... n bn = b b... b m m m m mn mn... PROPIEDDES DE L SU - socitiv - Elemento neutro ( mtriz cuos elementos son todos nulos) - Elemento simétrico, el simétrico de l mtriz ij, es ij (llmd mtriz opuest). - Conmuttiv Culquier conjunto con un operción intern que tiene ests propieddes, se dice que tiene estructur de Grupo belino.. PRODUCTO DE UN ESCLR POR UN TRIZ. Dd un mtriz, de orden m n, un elemento α (esclr) del cuerpo, se define el producto de α por como otr mtriz del mismo orden cuos elementos se obtienen multiplicndo α por cd uno de los elementos de l mtriz. Se trt de un operción etern : mn mn... n... n = m m... mn m Ejercicios: Complementrios nº Selectividd nº,... m n n... mn. PRODUCTO DE TRICES Pr multiplicr dos mtrices es imprescindible que el número de columns de l primer se igul l número de ls fils de l segund. Por eso los órdenes tienen que ser mn np, respectivmente, su producto es de orden mp. Si dos mtrices =( ij ) =(b i,j ) son multiplicbles (nº de columns de = nº fils de ) los elementos de l mtriz producto, P= (p i,j ), se obtienen medinte l le simbólic: p i,j = [FIL i] C O L U N j n = i, k b k k, j pág. ISN DEPÓSITO LEGL CS-99

5 TE trices EJEPLO: ;.. ( )..... ( ) ( ). ( ). ( ).. ( ).... ( ) ( ) ( ). ( ). Reliz los siguientes productos: ; Ejercicios: Complementrios nº:,, Selectividd nº:,... PROPIEDDES DEL PRODUCTO I )... No se cumple l propiedd conmuttiv. EJEPLO: Sen ls mtrices del ejemplo nterior: = Pero no se puede efectur pues, dim()= dim()= Ejercicios: Selectividd nº 8 II ) (. C ) = (. ) C III ) ( + C ) = + C IV ) ( +C ) = +C V ) = = VI ) Eiste elemento unidd (es l mtriz unidd). I=I =(solo pr mtrices cudrds). Por tnto, I n = I VII ) = (siendo l mtriz nul) VIII ) El producto de dos mtrices puede ser cero sin ser nuls ls mtrices (divisores de cero). pág. ISN DEPÓSITO LEGL CS-99

6 TE trices EJEPLO:. Ejercicios: Selectividd nº:,,, Complementrios nº,.. PROPIEDDES DE L TRNSPOSICIÓN DE TRICES I) ( t ) t = II) (+) t = t + t III) (k ) t = k t IV) ( ) t = t t Ejercicio. Comprueb ls propieddes nteriores con ls mtrices: =. TRIZ INVERS Se llm mtriz invers de quell que multiplicd por d como resultdo l mtriz unidd I. l mtriz invers de se l denot por -. De modo que. - = -. =I. EJEPLO. Clculr l mtriz invers (Por sistem de ecuciones) de l mtriz Ejercicios: Complementrios nº 8,, 9,,, voluntrios, Selectividd nº 9,,,, pág. ISN DEPÓSITO LEGL CS-99

7 TE trices pág. ISN DEPÓSITO LEGL CS-99 EJERCICIOS SELECTIVIDD.- Encuentr un mtriz C que verifique: + C=, donde: (99) Sol: C= 8.- Clculr -= Siendo Sol:C = Clcul el producto de mtrices: 8 9, utiliz el producto nterior pr obtener l solución del sistem: z z z (Sep 998) Sol: I.- Dd l mtriz clcul ls mtrices,,. Obtén rzondmente l mtriz n pr n>. (Junio ) Sol: n =.- Consideremos l mtriz. Demostrr que +I =, siendo I l mtriz identidd l mtriz nul. Clcul rzondmente. Sol: = - Hll l invers de l mtriz de los coeficientes del sistem: Resuelve el nterior sistem de ecuciones con l mtriz invers hlld (99).- Demostrd que si es l mtriz enter siguiente:

8 TE trices pág. 8 ISN DEPÓSITO LEGL CS-99 entonces n - n -.=, n..- Se l triz. Hllr. I I n n n n Hll los vlores de, pr que conmute con. 8.- Consideremos ls mtrices reles se pide: )Obtener ls mtrices = (+) N= ++ b) Si en el prtdo nterior hs obtenido = N, reps de nuevo tus operciones c) Si hs obtenido que N son mtrices distints, Justific que esto es consecuenci de que ls mtrices.. son distints. 9.- ) Clculr ls mtrices reles cudrds de orden, X e Y, que stisfcen ls ecuciones siguientes: C Y X Y X donde = C = b) Si X e Y son ls mtrices nteriores, clculr l mtriz (X+Y)X (X+Y) (Y). (Junio ). Sol ) X ; Y= b).- Obtener todos los vlores,, z, t pr los que se verific X=X, siendo t z X (, p) Sep.- En el mercdo podemos encontrr tres limentos preprdos pr gtos que se fbricn poniendo, por kilo, ls siguientes cntiddes de crne, pescdo verdur: limento igto: g de crne, g de pescdo g de verdur. limento Ctomel: g de crne, g de pescdo g de verdur. limento Comect: g de crne, g de pescdo g de verdur. Si queremos ofrecer nuestro gto g de crne, g de pescdo g de verdur por kilo de limento, qué porcentje de cd uno de los compuestos

9 TE trices nteriores hemos de mezclr pr obtener l proporción desed? (, puntos). Septiembre.- Dds ls mtrices X, se pide: ) Obtener rzondmente los vlores de pr los que es l únic solución de l ecución mtricil X = X. (, puntos) b) resolver l ecución mtricil X =X. (,8 puntos) Sep 9.- Sen I ls mtrices cudrds siguientes: I=, =. Se pide clculr, escribiendo eplícitmente ls operciones necesris: ) Ls mtrices. (, puntos) b) los números reles pr los que se verific (I+) = I+. (,8 p) Junio8.- Dd l mtriz = el vector X=, se pide obtener rzondmente: ) El vector X tl que X = X. (, puntos) b) Todos los vectores X tles que X = X. (, puntos) c) Todos los vectores X tles que X = X. (, puntos) Septiembre 8. pág. 9 ISN DEPÓSITO LEGL CS-99

10 TE trices pág. ISN DEPÓSITO LEGL CS-99 EJERCICIOS COPLEENTRIOS TRICES.- Escribe ls mtrices trnspuests de: F E D C.-Escribe un mtriz X tl que X t = X.- Sen ls mtrices: 8 D C Clcul E = - +C D.- Efectú todos los productos posibles entre ls siguientes mtrices: D C.- Clcul,,z,t pr que se cumpl: t z.- Sen Encuentr X que cumpl: X =.- verigu como h de ser un mtriz X que cumpl l siguiente condición: X X 8.- Dd l mtriz, clcul,,, Un compñí de muebles fbric butcs, mecedors sills, cd un de ells de tres modelos: E(económico), (medio) L (lujo). Cd mes produce modelos E, L de butcs; modelos E, 8 L de mecedors, 8 modelos E, L de sills. Represent est informción en un mtriz clcul l producción de un ño.

11 TE trices pág. ISN DEPÓSITO LEGL CS-99.- En un edificio h tres tipos de viviends: L, L L. Ls viviends L tienen ventns pequeñs grndes; ls L tienen ventns pequeñs grndes, ls L, pequeñs grndes. Cd ventn pequeñ tiene cristles bisgrs, ls grndes, cristles bisgrs. ) Escribe un mtriz que describ el número tmño de ventns de cd viviend otr que eprese el número de cristles bisgrs de cd tipo de ventn. b) Clcul l mtriz que epres el número de cristles de bisgrs de cd tipo de viviend..- Un industril fbric dos tipos de bombills: trnsprentes (T) opcs (O). de cd tipo se hcen modelos:,,,. T O Est tbl muestr l producción semnl de bombills de cd tipo modelo. El porcentje de bombills defectuoss es del % en el modelo, el % en el, el 8% en el el % en el. Clcul l mtriz que epres el número de bombills trnsprentes opcs, buens defectuoss, que se producen..- Clcul X ey que verificn el sistem: Y X Y X - Clcul X tl que X = siendo:.- Resuelve: 8

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