BLOQUE DE ÁLGEBRA TEMA 1: MATRICES

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1 Álgebr Liel Memáics º chillero LOQUE DE ÁLGER TEM : MTRICES U mriz es u cojuo de úmeros reles colocdos recgulrmee ecerrdos ere préesis o corchee o doble brr. Pr or u mriz se uiliz o: u ler myúscul, por ejemplo, o mbié Pr or u mriz se uiliz o: u ler myúscul, por ejemplo, o mbié Si queremos referiros u úico elemeo o erd de u mriz, se uiliz l mism ler que l de odo l mriz si doble préesis co doble subídice el primero "i" se refiere l fil y el segudo " j" l colum. Se llm dimesió de u mriz l úmero (si efecur) de fils por colums m x dedimesióm x iee m fils y colums. Cudo m se deomi mriz recgulr y cudo m se deomi mriz cudrd de orde. x recgulr x cudrd de orde Se u mriz cudrd de orde, eso es, se deomi: Digol pricipl de u mriz cudrd los elemeos de l form ii i,,,... Digol secudri so los elemeos de l form co i j

2 Álgebr Liel Memáics º chillero Se y dos mrices, diremos que so igules cudo se del mismo orde x m y demás b i,,...m j,,... TIPOS DE MTRICES Mriz fil es l que iee u úic fil, eso es x m Mriz colum es l que iee u sol colum, eso es x Mriz rspues de u mriz dd es l que resul de cmbir fils por colums. Si l mriz dd es, oremos su rspues como Se verific que: Mriz siméric: u mriz cudrd es siméric cudo coicide co su rspues, eso es:, pr lo cuál ecesrimee ji i j Mriz isiméric o hemisiméric es quell mriz cudrd e l que l rspues es igul l opues de l dd, eso es, pr lo cuál ecesrimee y i j ii ji Mriz ul es l que iee ods ls erds uls. Mriz digol es u mriz cudrd e que ods ls erds que o so de l digol pricipl so uls. Mriz esclr es u digol e que ods ls erds so igules. Mriz uidd o ideidd es u mriz esclr e l que los elemeos de l digol vle uo. se represe por I Mriz rigulr superior es u mriz cudrd e que odos los elemeos por debjo de l digol pricipl so ulos Mriz rigulr iferior es u mriz cudrd e que odos los elemeos por ecim de l digol pricipl so ulos OPERCIONES CON MTRICES L mriz sum C = + es quell cuys erds so ls sums de ls erds, eso es c b i,,...m j,,... No: pr poder sumr dos mrices h de eer l mism dimesió. El produco de mrices o siempre esá defiido. Pr que dos mrices se muliplicbles, el úmero de colums del primer fcor iee que coicidir co el de fils del segudo fcor, y el mriz produco edrá dimesió fils del primero por colums del segudo, eso es: M m x C M c x p k ik b kj C M m x p i,,...,m j,,...,p

3 Álgebr Liel Memáics º chillero Puede exisir el produco y o, y puede exisir mbos y o ser igules. Por o, e geerl, el produco de mrices o es comuivo, eso es, e geerl, o es igul y. Teiedo e cue ls propieddes de ls opercioes co mrices viss eriormee, se puede comprobr lo siguiee: o implic ecesrimee o C siempre que exis será C o iee porqué ser o iee porqué ser o iee porqué ser Dd u mriz culquier, so rsformcioes elemeles de dich mriz ls siguiees:. Cmbir dos fils ere si: pq cmbi ere si ls fils p y q K pq cmbi ere si ls colums p y q. Muliplicr l fil o l colum por u º : p muliplicr l fil p por el º Kp muliplicr l colum q por el º. Sumr l fil (colum) p l fil (colum) q muliplicd és por el º : pq sum l fil p l fil q previmee muliplicd por Kpq sum l colum p l colum q previmee muliplicd por Ls mrices elemeles so ls mrices obeids someiedo l mriz uidd, del orde correspodiee, u rsformció elemel. INVERS DE UN MTRIZ CUDRD Sbemos que, dd u mriz cudrd de orde, diremos que iee ivers, cudo exise u mriz l que: I Pr clculr l ivers = - por el méodo de Guss ése cosise e hcer rsformcioes elemeles e l mriz pr rsformrl e l mriz uidd I. Ess misms rsformcioes elemeles mbié ls plicremos l mriz uidd I, obeiédose como resuldo l ivers de l mriz. E E E... E I s ucesivs rsformcioe elemeles l ivers de es l mriz que resul de plicr ess misms rsformcioes pero l mriz uidd I

4 Álgebr Liel Memáics º chillero clculr, por el méodo de Guss l ivers de l mriz,, I SE TIENE QUE U mriz se dice orogol cudo l ivers coicide co l rspues ECUCIONES MTRICILES Ecucioes mriciles so quells e ls que ierviee mrices e lugr de úmeros, se r de buscr u mriz X que verifique l ecució. SISTEMS MTRICILES Sisems de Ecucioes Mriciles so quellos e que ierviee mrices. Se resuelve álogmee los sisems de ecucioes uméricos. POTENCI N-ÉSIM Poeci -ésim: Dd u mriz cudrd, se r de dr u expresió pr l poeci -ésim, eso es, pr N RNGO DE UN MTRIZ El Rgo de u mriz os INORM sobre el máximo úmero de líes (fils y/o colums) que so lielmee idepediees (eso es, ls líes que o se puede expresr u como combició liel de ls demás líes prlels, diremos que el rgo de u mriz es el NÚMERO de líes impores de l mriz).

5 Álgebr Liel Memáics º chillero Segú el Teorem udmel del Rgo, el úmero de fils idepediees coicide co el de colums idepediees. Pr clculr el rgo de u mriz, se observ si hy lgu líe proporciol or, si fuer sí, efecos de rgo, se puede suprimir; si l líe se ve que es combició liel de ors efecos de rgo se puede suprimir. El méodo de Guss pr obeer el rgo de u mriz cosise e, uilizdo rsformcioes elemeles, coseguir líe(s) ul(s) y como el vecor es lielmee depediee, se suprime. Cocluido el proceso hs que quede u mriz esclod, el rgo será el úmero de líes que quede. Clculr el rgo de l mriz l vis del resuldo podemos decir que el rgo de l mriz M es, eso es: rg M, es el máximo úmero de fils o colums lielmee idepediees.

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