Matrices M - 1 MATRICES. Definición.- Una tabla de mxn elementos de K dispuestos en m filas y n columnas de la forma ...

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1 Mtrices M - - Mtrices Se K un cuerpo MATRICES Definición- Un tl de n eleentos de K dispuestos en fils n coluns de l for recie el nore de tri de diensión n n n n En un tri el eleento ij ocup el lugr deterindo por l fil i l colun j Así el terino es el que está en l ª fil ª colun Arevidente un tri coo l nterior se design tién por: ( ij ) El conjunto de tods ls trices de orden n se represent por M n j n i o ien A n ( ij ) Si en un tri el núero de fils es igul l núero de coluns n se dice que es un tri cudrd de orden n El conjunto de tods ls trices cudrds de orden n se represent por M nn o ien sipleente por M n Ejeplo: tri A es un tri de diensión Definición: Dos trices son igules cundo tiene l is diensión los eleentos que ocupn el iso lugr en s son igules - Tipos de trices Mtri fil: Un tri de diensión n se dice que es un tri fil En un tri fil sus eleentos están dispuestos en un únic fil Ejeplo: D ( - ) Mtri colun: Un tri de diensión se dice que es un tri colun En un tri colun sus eleentos están dispuestos en un únic colun Ejeplo: E Mtri cudrd: Es l que tiene el iso núero de fils que de coluns En cso contrrio se ll rectngulr Ejeplo: s trices A B son dos trices cudrds de orden tres En un tri cudrd de orden n se ll digonl principl l conjunto fordo por todos los eleentos que tienen suíndices igules nn os eleentos de un tri cudrd de orden n ij con i j n forn l digonl secundri Pág

2 Mtrices M - Mtri tringulr Un tri cudrd A se ll tringulr cundo todos los térinos situdos por enci o por dejo de l digonl principl son nulos Si los térinos situdos por dejo de l digonl principl son cero se ll tri tringulr superior si lo son los que están por enci se ll tri tringulr inferior Ejeplo: tri es un tri tringulr superior Mtri digonl Un tri cudrd donde los eleentos que no están situdos en l digonl principl son todos cero se ll tri digonl Mtri esclr Es tod tri digonl en l que todos los eleentos de l digonl principl son igules Mtri unidd (identidd) es l tri esclr cuos eleentos de l digonl principl vlen uno tri unidd de orden n se design por I n Ejeplos: Mtriunidd Mtricesesclres Mtricesdigonles Mtri nul (cero) es l tri con todos los eleentos nulos - Su de trices producto de un esclr por un tri Propieddes Su de trices Pr que dos trices se puedn sur es necesrio que tengn l is diensión Definición- Sen A ( ij ) B ( ij ) dos trices de diensión n l su de A B es otr tri de l is diensión n dd por: A B ( ij ) ( ij ) ( ij ij ) Es decir l tri su A B se otiene sundo los eleentos que ocupn el iso lugr en s trices Definición:- Se K un cuerpo A ( ij ) un tri de eleentos de K de diensión n El producto de un esclr λ K por un tri A ( ij ) de diensión n es otr tri de l is diensión n dd por: λa λ( ij ) (λ ij ) Es decir l tri λa se otiene ultiplicndo por λ cd eleento de l tri A Ejeplos: Propieddes de l su de trices su de trices de orden n es un operción intern en el conjunto M n es decir ls trices de orden n se pueden sur el resultdo es otr tri n Propieddes: Asocitiv: A (B C) (A B) C A B C M n Pág

3 Mtrices M - - Eiste eleento neutro: tri nul de diensión n que tiene todos los eleentos igules cero es el eleento neutro de l su de trices que : A A A A M n - Tod tri A M n tiene opuest A ( ij ) M n : A (A) (A) A - Conuttiv: A B B A (M n ) es un grupo conuttivo o elino Propieddes del producto de un esclr por un tri ) α(a B) αa αb ) (α β)a αa βa c) (αβ)a α (βa) d) A A De lo visto nteriorente se deduce que (M n K) es un espcio vectoril sore K - Producto de trices - Mtri invers Definición: El producto de un tri fil A ( n ) de diensión n por un tri colun B n de diensión n se define de l siguiente for: AB n n El resultdo es un tri cudrd de orden Pr poder ultiplicr un tri fil por un tri colun s deen tener el iso núero de eleentos Ejeplo: ( ) (-) Dds dos trices A B direos que son ultiplicles en este orden se escrie A B ó AB si el núero de coluns de A es igul l núero de fils de B Definición - El producto de un tri A ( ij ) de diensión n por un tri B ( ij ) de diensión np es otr ti AB (c ij ) de diensión p tl que cd eleento c ij se otiene ultiplicndo l fil i de l prier tri por l colun j de l segund tri Si A A A son ls fils de l tri A B B B p ls coluns de l tri B: p AB AB AB P AB AB AB AB p A B A B A B Pág

4 Mtrices M - Ejeplo: ( ) ( ) ( ) Propieddes del producto de trices: Asocitiv: Si A B C son tres trices tles que A(BC) está definid entonces (AB)C tién lo está se tiene: A(BC) (AB)C Ejeplo: Sen A - - B - C ( ) Entonces: - - BC A(BC) (AB)C - - ; AB Distriutiv respecto de l su: Si A B C son tres trices tles que l operción A(B C) está definid se verific que A( B C) AB AC El producto de trices en generl no es conuttivo: No ce hlr en generl de conuttividd del producto pues si A es de diensión n B de np el producto BA es iposile no ser que p Pero en este cso se otendrín los resultdos: AB de diensión BA de diensión n n que no son coprles slvo que n esto es que ls trices sen cudrds del iso orden Pero incluso en este cso el producto de trices no es conuttivo coo lo prue el ejeplo siguiente: ; En el conjunto M n de trices cudrds de orden n l tri I n neutro (unidd) pr el producto que si A M n se tiene: A I I A A es el eleento Definición- Se A un tri cudrd de orden n; si eiste otr tri cudrd de orden n B tl que AB BA I se dice que l tri A es inversile ó regulr l tri B se ll invers de A se represent por A - Proposición- Si un tri cudrd tiene invers est es únic Deostrción: Si B C fuern inverss de A se tendrí AB BA I AC CA I AB AC Multiplicndo por C: C(AB) C(AC) (CA)B (CA)C IB IC B C Proposición- El producto de dos trices inversiles es inversile su invers es: (AB) B A Ejercicio : Sen M N ) Clcul e pr que MN NM Pág

5 Mtrices M - Pág ) Clcul M 99 M 99 ) MN ; NM ) M I M M M I M M Se ve que si el eponente es pr es igul l tri unidd si es ipr es igul M por lo tnto M 99 M M 99 I - Mtri trspuest Mtri siétric tri ntisiétric Mtri trspuest Dd un tri A se ll tri trspuest de A se represent por A t l tri que se otiene cindo ls fils por coluns prier fil de A es l prier colun de A t l segund fil de A es l segund colun de A t etc Si A es un diensión de diensión n l tri A t es de diensión n Propieddes: - (A t ) t A - (A B) t A t B t - (ka) t k A t - (AB) t B t A t Mtri siétric Un tri cudrd de orden n se ll siétric si coincide con su trspuest Ejeplos: tri es siétric En un tri siétric los eleentos que son siétricos respecto de l digonl principl son igules Mtri ntisiétric (heisiétric) Un tri cudrd de orden n se ll ntisiétric o heisiétric si coincide con l opuest de l trspuest: A A t En un tri ntisiétric los eleentos que son siétricos respecto de l digonl principl son opuestos los eleentos de l digonl principl son nulos Ejeplo: tri es un tri ntisiétric - Rngo de un tri Rngo de un conjunto de vectores Se ll rngo de un conjunto de vectores { } v r r u u u n l áio núero de vectores linelente independientes

6 Mtrices M - Rngo de un tri Dd un tri A de diensión n se puede interpretr coo vectores (que son ls fils) o coo n vectores colun (que son ls coluns) Por tnto si consideros ls fils ls coluns de un tri coo vectores podeos hlr de dependenci e independenci linel de ls iss de rngo por fils rngo por coluns Se puede deostrr que el rngo por fils de un tri es igul l rngo por coluns (El núero de fils linelente independientes es igul l núero de coluns linelente independientes) Definición- El rngo o crcterístic de un tri A es igul l áio núero de fils o coluns linelente independientes Cálculo del rngo por el étodo de Guss s trnsforciones eleentles de fils o coluns que dejn invrinte el rngo de un tri son: - Si se perutn entre si dos fils (o coluns) prlels se otiene un tri del iso rngo - Si se ultiplicn o se dividen todos los eleentos de un fil (o colun) por un iso núero no nulo el rngo no vri - Si un fil (o colun) se le su o se le rest otr prlel el rngo no vrí - El rngo de un tri no vrí si se suprien : - s fils (o coluns) nuls - s fils (o coluns) proporcionles otrs - s fils (o coluns) que sen coinción linel de otrs s trnsforciones nteriores nos periten clculr el rngo de un tri por el étodo de Guss Este étodo consiste en esclonr un tri ( ij si i < j ) un ve esclond el rngo será igul l núero de fils no nuls que coincide con el núero de fils linelente independientes Ejeplo : Clculr el rngo de l tri: A Rngo rngo rngo rngo rngo A Ejeplo : Clculr el rngo de l tri A Rngo A rngo rngo rngo Ejeplo : Estudi el rngo de l tri M vlor de pr el que se rngo (M)? según los vlores del práetro Eiste lgún Pág

7 Mtrices M - Pág Rngo M rngo rngo rngo ± Si Rngo M rngo Si Rngo M rngo Si ± rngo M No eiste ningún vlor de pr el cul el rngo M pues pr el rngo es dos pr ± el rngo es tres Ejercicios: Hll el rngo de l siguiente tri según los vlores del práetro Tiene invers cundo? En cso firtivo hálll A Vos clculr el rngo utilindo el étodo de Guss Rngo A rngo ± Si Rngo A rngo Si Rngo A rngo Si rngo A ± Pr tiene invers pues rngo A ls tres fils (coluns) son linelente independientes A Consider l ecución tricil: X A B donde con un práetro rel Se pide: A B

8 Mtrices M - Pág ) Pr que vlor del práetro eiste un únic tri X que verific l ecución nterior? ) Si es posile resuelve l ecución tricil pr ) Si el rngo de A es dos l tri A tiene invers es decir eiste un únic tri A que cuple: (X A) A B A X (A A ) B A X I B A X B A por lo tnto l solución será únic Veos pr que vlores de el rngo de A es dos rngo rngo A rngo Si rngo A l solución es únic Si rngo A rngo no tiene invers Si rngo A rngo no tiene invers ) Pr l tri A tiene invers por lo tnto l ecución tricil tiene solución únic: A X B A X / / / Otr for: Se X d c d c c d c c d c c d X Sen ls trices A B C D donde son desconocidos / ) Clculr ls trices (AB) C D ) Siendo que (AB) C D plnter un siste de ecuciones pr encontrrlos vlores de c) Encontrr si es posile un solución )(AB) C ; / D ) Qued: c) Por Guss : ; Soluciones: Pr cd vlor rel de t se otiene un solución Por ejeplo si t sle t t

9 Mtrices M - 9 Pág 9 Dds ls trices A B C D hll: 9 ) tri invers de C ) tri X que verifique: AB CX D ) C / / ) AB CX D CX D AB C (CX) C (D AB) (C C)X C (D AB) X C (D AB) AB ; D AB 9 X / / Otr for: AB CX D d c 9 d c d c 9 d c d c c c X c d d d