Ejercicios de Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales. Álgebra 2008

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1 Ejercicios de Matrices, determinantes sistemas de ecuaciones lineales. Álgebra 8 - Dado el sistema de ecuaciones lineales 5 (a) ['5 puntos] Clasifícalo según los valores del parámetro λ. (b) [ punto] Resuélvelo para λ = - Solución: a) λ -, Compatible determinado, λ = - Compatible indeterminado; λ = Incompatible b) R con, -, -B ['5 puntos] Dadas las matrices, B, C Calcula la matri P que verifica P - B = C t (C t es la matri traspuesta de C). Solución: P - (Septiembre) Considera el siguiente sistema de ecuaciones a a a a (a) [ 5 puntos] Discútelo según los valores del parámetro a. (b) [ punto] Resuélvelo en el caso a =. Solución: a) a, Compatible determinado; a = Compatible indeterminado uniparamétrico ; a = Incompatible b) R con,, -B (Septiembre) Sabemos que el sistema de ecuaciones Tiene las mismas soluciones que el que resulta al añadirle la ecuación a = 7

2 (a) [ 5 puntos] Determina el valor de a. (b) [ 5 puntos] Calcula la solución del sistema inicial de dos ecuaciones, de manera que la suma de los valores de las incógnitas sea igual a la unidad. 6 Solución: a) a = 8 b),, (Junio) Un cajero automático contiene sólo billetes de, 5 euros. En ttotal ha billetes con un importe de euros. (a) [ 5 puntos] Es posible que en el cajero haa el triple número de billetes de que de 5. (b) [ 5 puntos] Suponiendo que el número de billetes de es el doble que el número de billetes de 5, calcula cuántos billetes ha de cada tipo. Solución: a) Resulta un sistema incompatible, por tanto, no es posible b) 8 billetes de, de de 5. 6-B (Junio) Considera la matri m m m m m m (a) [ punto] Halla los valores del parámetro m para los que el rango de es menor que. (b) [ 5 puntos] Estudia si el sistema obtenidos en el apartado anterior. tiene solución para cada uno de los valores de m Solución: a) El rango es menor que para m =, b) Para m = Incompatible,; para m = Compatible indeterminado biparamétrico,, con, R 7- Dado el siguiente sistema de ecuaciones k k k k (a) [ 5 puntos] Determina el valor del parámetro k para que sea incompatible (b) [ 5 puntos] Halla el valor del parámetro k para que la solución del sistema tenga = Solución: a) Es incompatible para k = b) k = 8-B [ 5 puntos] Halla los valores del parámetro m que hacen compatible el sistema de ecuaciones

3 m m Solución: m = - m = 9-5 [ 5puntos] Sea I la matri identidad de orden. Calcula, si eiste, el valor de k para el cual ki es la matri nula. Solución: k = -5B Dadas las matrices B (a) [ punto] Calcula, si eisten, la matri inversa de la de B. (b) [ 5 puntos] Resuelve la ecuación matricial I B X, donde I denota la matri identidad de orden. Solución: a) ; B B no tiene inversa. b) 6 6 X -6 (a) [ punto] Determina raonadamente los valores del parámetro m para los que el siguiente sistema de ecuaciones tiene más de una solución; m m m (b) [ 5 puntos] Resuelve el sistema anterior para el caso m = para el caso m = Solución: a) 7 7,, m b) Para m = Solución trivial (,, ). Para m =, (λ, -λ, λ) con λ R -6B Dada la matri k k k 7

4 (a) [ 5 puntos] Estudia el rango de en función de los valores del parámetro k. (b) [ 5 puntos] Para k =, halla la matri inversa de. Solución: a) k, rango() ; k -, rango() b) 9 7 Álgebra 9 - Tratamos de adivinar, mediante ciertas pistas, los precios de tres productos, B C. Pista : Si compramos una unidad de, dos de B una de C gastamos 8 euros. Pista : Si compramos n unidades de n+ de B tres de C gastamos 9 euros. (a) (,75 puntos) Ha algún valor de n para el que estas dos pistas sean incompatibles? (b) ( punto) Sabiendo que n = que el producto C cuesta el triple que el producto, calcula el precio de cada producto. Sol: a) n = ; b) : euros/unidad; B: euros/unidad C: 69 euros/unidad -B Sean, B, C X matrices cualesquiera que verifican XB = C. (a) ( punto) Si las matrices son cuadradas de orden, se sabe que el determinante de es, el de B es - el de C es 6, calcula el determinante de X X. (b) (,5 puntos) Si, B C calcula la matri X Solución: a) X ; X X 6 b) 8 X (Septiembre) (a) (,75 puntos) Discute según los valores del parámetro λ el siguiente sistema (b) (,75 puntos) Resuélvelo para λ = Solución: a) λ R - {, 6} compatible determinado, λ = compatible indeterminado uniparamétrico, λ = 6 incompatible b) =, = -- λ, = λ con λ R -B (Septiembre) (,5 puntos) Sean las matrices

5 , B C Determina la matri X que verifica X B t = C (B t es la matri traspuesta de B). Solución: X (Junio) Sean F, F F las filas primera, segunda tercera, respectivamente, de una matri B de orden, cuo determinante vale -. Calcula, indicando las propiedades que utilices: (a) (,75 puntos) El determinante de B -. (b) (,5 puntos) El determinante de (B t ) (B t es la matri traspuesta de B). (c) (,5 puntos) El determinante de B. (d) ( punto) El determinante de una matri cuadrada cuas filas primera, segunda tercera son, respectivamente, 5F F, F, F. Solución: a) B,b) 6 t F F B, c) B 6, d) F F 6-B (Junio) (,5 puntos) Una empresa envasadora ha comprado un total de 5 cajas de pescado en tres mercados diferentes, a un precio por caja de, euros respectivamente. El coste total de la operación ha sido de 5 euros. Calcula cuánto ha pagado la empresa en cada mercado, sabiendo que en el primero de ellos se ha comprado el % d las cajas. Solución: En el primer mercado se compran 5 cajas se paga 5 euros En el segundo mercado se compran 75 cajas se paga 5 euros En el tercer mercado se compran cajas se paga euros. 7- Dadas las matrices 7 B (a) ( punto) Calcula, si eiste, la matri inversa de. (b) (,5 puntos) Calcula las matrices X e Y que satisfacen las ecuaciones matriciales X = + B Y = + B. Solución: a) 7 b) X 9 67, 59 Y B Dado el sistema de ecuaciones lineales

6 5 (a) (,75 puntos) Discútelo según los valores del parámetro λ. (b) (,75 puntos) Resuélvelo en el caso de λ =. Solución: a) λ R - {, } compatible determinado, λ = compatible indeterminado uniparamétrico, λ = incompatible b),, 7 con λ R 9-5 (a) (,5 puntos) Resuelve el sistema de ecuaciones (b) (,5 puntos) Calcula λ sabiendo que el siguiente sistema tiene alguna solución común con el del apartado (a) Solución: a) = μ, = - μ, = μ con μ R b) λ = - -5B Considera las matrices X (a) punto) Calcula, si eiste -. (b) (,5 puntos) Resuelve el sistema X = X e interpreta geométricamente el conjunto de sus soluciones. Solución: a) b) () = λ, = -λ, = λ. Tres planos que se cortan en una recta que tiene de ecuación paramétrica (). -6 Se consideran las matrices B = ki, donde k es una constante e I es la matri identidad de orden. (a) (,75 puntos) Determina los valores de k para los que B no tiene inversa.

7 (b) (,5 puntos) Calcula B - para k = -. (c) (,5 puntos) Determina las constantes α β para las que se cumple + α = βi. Solución: a) B tiene inversa para, R k b) B c) α = β = - -6B Sea el sistema de ecuaciones m - m m m (a) (,5 puntos) Determina los valores de m para los que el sistema es compatible. (b) ( punto) Resuelve el sistema en el caso m = -. Solución: a) m R - {-, } Sistema incompatible, m {-, } Sistema compatible indeterminado b),, Álgebra..- Considera el sistema 5 (a) [ 5 puntos] Calcula raonadamente un valor de λ para que el sistema resultante al añadirle la ecuación + + λ = 9 sea compatible indeterminado. (b) [ punto] Eiste algún valor de λ para el cual el sistema resultante no tiene solución? Solución: a) λ compatible determinado, λ = compatible indeterminado uniparamétrico b) Según (a) no eiste.b.- Sean las matrices B (a) [ 5 puntos] Determina los valores de α para los que tiene inversa. (b) [ 5 puntos] Calcula la inversa de para α =. (c) [ 75 puntos] Resuelve, para α =, el sistema de ecuaciones X = B. Solución: a) Para α / α b) 5 c) 5 B X

8 ..- (Junio) Sean las matrices m m B 5 C (a) [ 5 puntos] Indica los valores de m para los que es invertible. (b) [ puntos] Resuelve la ecuación matricial X B t = C para m =. (B t es la matri traspuesta de B) Solución: a) m m b) 6 X.B.- (Junio) Sea el siguiente sistema de ecuaciones (a) [ 75 puntos] Discútelo según los valores de λ. Tiene siempre solución? (b) [ 75 puntos] Resuelve el sistema para λ =. Solución: a) λ - compatible determinado, λ = - compatible indeterminado uniparamétrico, Siempre tiene solución b) ; t ; t 5..- Considera las siguientes matrices B (a) [ 75 puntos] Calcula -. (b) [ 75 puntos] Resuelve la ecuación matricial X t B = I, donde I es la matri identidad de orden t es la matri traspuesta de. Solución: a) b) t B I X 6.B.- [ 5 puntos] Obtén un vector no nulo v = (a, b, c), de manera que las matrices siguientes tengan simultáneamente rango. c b a c b a B Solución: c b ; c a c c c c b a v,,,,, para c = v = (,, )

9 7..- Sea la matri 5 (a) [ 5 puntos] Comprueba que se verifica = I. (b) [ 5 puntos] Calcula -. (Sugerencia: Puedes usar la igualdad del apartado (a)). Solución: a) ; ; b) I I I I I I 5 8.B.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones m m m (a) [ 75 puntos] Discútelo según los valores de m. (b) [ 75 puntos] Resuélvelo para el caso m =. Solución: a) m - m compatible determinado, m = - incompatible, m = compatible indeterminado uniparamétrico. b) = λ; = λ; = - + λ (Septiembre) (a) [ 75 puntos] Discute, según los valores del parámetro λ, el siguiente sistema de ecuaciones 6 (b) [ 75 puntos] Resuelve el sistema anterior para λ=. Solución: a) λ λ 8 compatible determinado, λ = compatible indeterminado, λ = 8 incompatible b) = t; = t; = - t

10 .5B.- (Septiembre) [ 5 puntos] Sean las matrices ; B C Calcula la matri X que cumpla la ecuación XB = C. Solución: X.6.- Considera el sistema de ecuaciones 6 6 (a) [ 75 puntos] Discútelo según los valores del parámetro _. (b) [ 75 puntos] Resuélvelo para λ=. Solución: a) λ - λ compatible determinado, λ = - incompatible, λ = compatible indeterminado uniparamétrico b) = t ; = t ; = -.6B.- De la matri d c b a se sabe que det() =. Se pide: (a) [ 5 puntos] Halla det( t ) det c d a b. Indica las propiedades que utilias. ( t es la matri traspuesta de ). (b) [ 75 puntos] Calcula det( - t ). (c) [ 5 puntos] Si B es una matri cuadrada tal que B = I, siendo I la matri identidad, halla det(b). Solución: a) det( t ) = 6, det c d a b b) det( - t ) = c) det(b) = Álgebra - Considera las matrices (a) [ punto] Ha algún valor de para el que no tiene inversa? (b) ['5 puntos] Para =, resuelve la ecuación matricial - X = B.

11 Solución: no lo ha. b) -B Dadas las matrices (a) ['75 puntos] Calcula el rango de según los diferentes valores de t. (b) ['75 puntos] Raona para qué valores de t el sistema homogéneo X = tiene más de una solución. Solución: a) Si t ± t ± - rang() = ; si t = rang() =, si t = - rang() =. b) El sistema homogéneo tiene la solución X = O, para que tenga más soluciones rang() < para los valores t = - para t =. - Dadas las matrices (a) ['75 puntos] Calcula el rango de dependiendo de los valores de α. (b) ['75 puntos] Para α =, resuelve la ecuación matricial X = B. Solución: a) Si α ± - α ± rang() = : si α = - rang() = : si α = rang() =. b) -B Sean las matrices (a) ['5 puntos] Calcula los valores de α para los que la matri inversa de es. (b) ['5 puntos] Para α = -, determina la matri X que verifica la ecuación t X = B, siendo t la matri traspuesta de. Solución: a) α = - b) 5- Sean B dos matrices que verifican: (a) [ punto] Halla las matrices ( + B)(- B) - B. (b) ['5 puntos] Resuelve la ecuación matricial X - XB - ( + B) t = I, siendo I la matri identidad de orden ( + B) t la matri traspuesta de + B.

12 Solución: a) b) 6-B Sea la matri (a) [ punto] Determina los valores de α para los que la matri - I tiene inversa, siendo I la matri identidad de orden. (b) ['5 puntos] Para α = -, resuelve la ecuación matricial X = X + I. Solución: a) Para α α I tiene inversa. b) 7- Considera el sistema de ecuaciones (a) ['75 puntos] Discútelo según los valores del parámetro a. (b) ['75 puntos] Resuélvelo cuando sea posible. Solución: a) Si a el sistema es incompatible. Si a = el sistema es compatible indeterminado. b) La solución es: = µ, = µ, = -µ 8-B Dada la matri (a) [ punto] Demuestra que + = I que - = + I, siendo I la matri identidad de orden. (b) ['5 puntos] Calcula la matri X que verifica la ecuación + X + 5 = I. Solución: a) b) 9-5 Sean B dos matrices cuadradas de orden cuos determinantes son. Halla: (a) ['5 puntos]. (b) ['5 puntos]. (c) ['5 puntos].

13 (d) ['5 puntos], siendo B t la matri traspuesta de B. (e) ['5 puntos] El rango de B. Solución: a) b) c) d) - e) rang(b) = -5B Dada la matri (a) ['5 puntos] Demuestra que se verifica la igualdad = -I, siendo I la matri identidad de orden. (b) ['5 puntos] Justifica que es invertible halla su inversa. (c) ['75 puntos] Calcula raonadamente. Solución: a) b) c) -6 Dado el sistema de ecuaciones lineales λ λ λ (a) ['75 puntos] Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ. (b) ['75 puntos] Resuelve el sistema para λ =. Solución: Si λ λ S. C. D. El sistema tiene una solución. b) Si λ = S.C.I. El sistema tiene infinitas soluciones. Si λ = S. I. El sistema no tiene solución. -6B Dada la matri = (a) ['5 puntos] Determina los valores de λ para los que la matri + no tiene inversa. (b) ['5 puntos] Para λ =, halla la matri X que verifica la ecuación X + = I, siendo I la matri identidad de orden. Solución: a) λ = - λ = - b) - ['5 puntos] Considera las matrices: Álgebra

14 Determina, si eiste, la matri X que verifique X B = C t siendo C t la matri traspuesta de C. Solución: -B Dado el sistema de ecuaciones (a) ['75 puntos] Estudia el sistema para los distintos valores del parámetro k. (b) ['75 puntos] Resuélvelo para k =. Solución: a) Si k -7 k el sistema tiene solución única. Para k = -7 el sistema es incompatible. Si k = el sistema tiene muchas soluciones. b) = + µ, = -µ, = µ. - Considera el sistema de ecuaciones (a) ['75 puntos] Clasifícalo según los distintos valores de k. (b) ['75 puntos] Resuélvelo para el caso k =. Solución: a) Para k k El sistema es compatible determinado (solución única). Si k = el sistema no tiene solución. si k = el sistema tiene infinitas soluciones uniparamétrico. b) = µ, = - + µ, = 5-5µ -B ['5 puntos] Encuentra la matri X que satisface la ecuación X+ B =, siendo Solución: X = 5- Considera el siguiente sistema de ecuaciones con dos incógnitas (a) ['5 puntos] Prueba que el sistema es compatible para cualquier valor del parámetro k.

15 (b) [ punto] Especifica para qué valores del parámetro k es determinado para cuáles indeterminado. (c) [ punto] Halla las soluciones en cada caso. Solución: a) Si es la matri ampliada la matri de coeficientes rang() = rang( ). b) Si k - el sistema es determinado si k = - el sistema es indeterminado. c) Para k - la solución es = =. Para k = - = - µ, = µ. 6-B Considera el sistema de ecuaciones con tres incógnitas (a) ['5 puntos] Clasifícalo según los distintos valores del parámetro. (b) ['5 puntos] Resuélvelo para = =. Solución: a) Si S. C. D. Si = ó = - S. C. I.. b) Para = = =, = µ Para = - = - + µ, = µ, = -µ 7- Sea la matri = (a) [ punto] Para qué valores del parámetro k no eiste la inversa de la matri? Justifica la respuesta. (b) ['5 puntos] Para k =, resuelve la ecuación matricial (X +I) = t, donde I denota la matri identidad t la matri traspuesta de. Solución: a) es singular para k = / b) X = t - I = 8-B Considera el sistema de ecuaciones (a) [ punto] Resuelve el sistema para =. (b) [ punto] Halla los valores de para los que el sistema tiene una única solución. (c) ['5 puntos] Eiste algún valor de para el que el sistema admite la solución? Solución: a) El sistema tiene infinitas soluciones uniparamétrico = µ; = +µ; = -µ b) Si el sistema tiene solución única c) Para

16 9-5 Considera el sistema de ecuaciones (a) ['5 puntos] Determina los valores de k para los que el sistema tiene más de una solución. (b) ['5 puntos] Eiste algún valor de k para el cual el sistema no tiene solución? (c) ['75 puntos] Resuelve el sistema para k =. Solución: a) k = -, k = k = b) El sistema siempre tiene solución c) = - µ; = + µ; = µ -5B Dada la matri =, sea B la matri que verifica que B = (a) [ punto] Comprueba que las matrices B poseen inversas. (b) ['5 puntos] Resuelve la ecuación matricial - X - B = B. Solución: a) ; por tanto las dos tienen inversa b) X = -6 Un estudiante ha gastado 57 euros en una papelería por la compra de un libro, una calculadora un estuche. Sabemos que el libro cuesta el doble que el total de la calculadora el estuche juntos. (a) ['5 puntos] Es posible determinar de forma única el precio del libro? Y el de la calculadora? Raona las respuestas. (b) ['5 puntos] Si el precio del libro, la calculadora el estuche hubieran sufrido un 5 %, un % un 5% de descuento respectivamente, el estudiante habrá pagado un total de euros. Calcula el precio de cada artículo. Solución: a) El del libro si 8. El de la calculadora no porque el sistema tiene infinitas soluciones. b) El libro 8, la calculadora 5 el estuche. -6B Considera el sistema de ecuaciones (a) [ punto] Clasifica el sistema según los valores del parámetro k. (b) ['75 puntos] Resuélvelo para k =. (c) ['75 puntos] Resuélvelo para k = -.

17 Solución: a) Si K el sistema es compatible determinado, tiene una única solución. b Tiene infinitas soluciones uniparamétrico = µ; = -µ; = µ c) Álgebra - Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales, a) [ 75 puntos] Discute el sistema según los valores del parámetro m. b) [ 75 puntos] Resuélvelo, si es posible, para m =. Solución: a) Si m - m el sistema es compatible determinado, tiene una única solución. Si m = - el sistema no tiene solución. Si m = el sistema tiene infinitas soluciones uniparamétrico. b) -B Sea M una matri cuadrada de orden tal que su determinante es det(m) =. Calcula: a) [ 5 puntos] El rango de M. b) [ 75 puntos] El determinante de M t (M t es la matri traspuesta de M). c) [ 75 puntos] El determinante de (M - ). d) [ 5 puntos] El determinante de N, donde N es la matri resultante de intercambiar la primera segunda filas de M. Solución: a) rango (M ) = b) c) det[(m - ) ] = ¼ d) - Considera las matrices a) [ punto] Halla, si es posible, - B -. b) [ 5 puntos] Halla el determinante de B t siendo t la matri traspuesta de. c) [ 5 puntos] Calcula la matri X que satisface X B = B. Solución: a) B no tiene inversa b) c)

18 -B Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales, a) [ 75 puntos] Discute el sistema según los valores del parámetro m. b) [ 75 puntos] Resuélvelo para m =. Para dicho valor de m, calcula, si es posible, una solución en la que =. Solución: a) Si m m el sistema es compatible determinado, tiene una única solución. Si m = el sistema es incompatible (no tiene solución. si m = el sistema tiene infinitas soluciones b) = -+µ = µ = - µ (-,, ) 5- Sean a) [ 5 puntos] Determina el rango de según los valores del parámetro m. b) [ 75 puntos] Discute el sistema X = B según los valores del parámetro m. c) [ 5 puntos] Resuelve el sistema X = B para m =. Solución: a) Si m m / rango () =. Si m = rango () = si m = / también el rango () = b) Si m m / rango () = = rango (`) el sistema tiene solución única. Si m = rango () = = rango (`) el sistema tiene infinitas soluciones uniparamétrico si m = / rango () = < = rango(`) c) = - µ = - µ = µ 6-B Sean B las matrices a) [ 5 puntos] Calcula las matrices X e Y para las que X Y = X Y = B. b) [ 5 puntos] Halla la matri Z que verifica B + Z + B t = I (I denota la matri identidad B t la matri traspuesta de B. Solución: a) b) 7- Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales a) [ 5 puntos] Determina el valor de m para el que al añadir la ecuación + m + = al sistema anterior se obtenga un sistema con las mismas soluciones.

19 b) [ punto] Calcula la solución del sistema para la que la suma de los valores de las incógnitas sea 6. Solución: a) m = -6 b) = - = = 8-B Considera las matrices a) [ 5 puntos] Calcula X e Y tales que X Y = t X Y = B ( t es la matri traspuesta de ). b) [ 5 puntos] Calcula Z tal que Z = BZ +. Solución: a) 9-5 Considera las matrices a) [ 75 puntos] Halla -. b) [ 5 puntos] Calcula la matri X que satisface X = B t C (B t es la matri traspuesta de B). c) [ 5 puntos] Halla el determinante de B t ( - ). Solución: a) b) c) -5B Sabiendo que el determinante de una matri es, calcula los siguientes determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilias: a) [ punto] det( ) det( - ). b) [ 5 puntos] Solución: a) det( ) = - det( - ) = / b) = - -6 Sea a) [ 75 puntos] Determina los valores de m para los que los vectores fila de M son linealmente independientes.

20 b) [ punto] Estudia el rango de M según los valores de m. c) [ 75 puntos] Para m =, calcula la inversa de M. Solución: a) Para m m - b) Si m m - el rango(m) = si m = ó m = - el rango(m) = c) -6B Sea. a) [ 5 puntos] Comprueba que = I calcula -. b) [ punto] Calcula su inversa Solución: a) b) = Álgebra - Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales; a) [ 5 puntos] Calcula α de manera que al añadir una tercera ecuación de la forma α + 7 = el sistema resultante tenga las mismas soluciones que el original. b) [ punto] Calcula las soluciones del sistema dado tales que la suma de los valores de las incógnitas sea. Solución: a) α = b) = 5/ = -/ = -/ -B [ 5 puntos] Considera las matrices. Determina, si eiste, la matri X que verifica X + B =. Solución:

21 - Se sabe que el determinante de la mati es -. Calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes: a) [ punto] det (-) det( - ). b) [ 5 puntos] Solución: a) ( n es el orden de la matri ) (det( - ) = /det()) b) (Si se permutan dos líneas el determinante cambia de signo. Si una línea se multiplica por un número el determinante se multiplica por ese número) -5 (Si una línea se multiplica por un número el determinante se multiplica por ese número. Si una línea se descompone en dos sumandos el determinante es la suma de dos determinantes con cada una de las líneas. Si un determinante tiene dos columnas proporcionales el determinante es ) -B Considera las matrices, a) [ 5 puntos] Calcula -. b) [ puntos] Hallar la matri X que verifica, siendo I la matri identidad t la matri traspuesta de. Solución: a) b) 5- Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales: a) [ 75 puntos] Discute el sistema según los valores del parámetro m. b) [ 75 puntos] Resuélvelo para m =. Para dicho valor de m, calcula, si es posible, una solución en la que =. Solución: a) Si m / m rango() = rango( ) = = número de incógnitas, el sistema es compatible determinado tiene solución única. Si m = / rango() = rango( ) =, el

22 sistema es incompatible, no tiene solución. Si m = rango() = rango( ) = < número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones uniparamétrico. b) = m = -5 + m = 7-5m (, -, ). 6-B Considera las matrices:. a) [ 75 puntos] Para qué valores de m se verifica b) [ 75 puntos] Para m =, calcula -, la matri X que satisface. Solución: a) m = ± b) 7- Considera el siguiente sistema de ecuaciones: a) [ 75 puntos] Halla los valores del parámetro m para los que el sistema tiene una única solución. b) [ punto] Halla los valores del parámetro m para los que el sistema tiene alguna solución distinta de la solución nula. c) [ 75 puntos] Resuelve el sistema para m = -. Solución: a) Si el sistema tiene solución única = = =. b) Si m = m = el sistema tiene infinitas soluciones. c) 8-B Sabiendo que el determinante de la matri es, calcula los siguientes determinantes: a) [ 5 puntos] det() b) [ 5 puntos] det( - ) c) [ 75 puntos]. d) [ 75 puntos].

23 Solución: a) 5 b) / c) - d) Considera el siguiente sistema de ecuaciones: a) [ 5 puntos] Discute el sistema según los valores del parámetro λ. b) [ 5 puntos] Resuelve el sistema para λ =. c) [ 5 puntos] Para λ =, si es posible, da tres soluciones distintas. Solución: a) Si λ -, λ λ, det() =, rango() = rango(*) = = nº de incógnitas. El sistema es compatible determinado tiene solución única. Si λ = - rango() = rango( ) = Sistema incompatible. Si λ = rango() = = rango( ) Sistema compatible indeterminado, infinitas soluciones uniparamétrico. Si λ = rango() = = rango( ) Sistema compatible indeterminado, infinitas soluciones uniparamétrico. b) = µ = - µ = µ -5B [ 5 puntos] Considera las matices. Halla la matri X que verifica:. Solución: -6 Se sabe que el determinante de la matri es, halla los siguientes determinantes, indicando, en cada caso, las propiedades que utilices: a) [ punto] det( ), det( - ) det( + t ) ( t indica la matri traspuesta de ). b) [ 75 puntos]. c) [ 75 puntos]. Solución: a) det( ) = det() det() det() = 7 det( - ) = /det() = / = t det( + t ) = det() = det() = b). c) -det = -

24 -6B Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales: a) [ 75 puntos] Discute el sistema según los valores del parámetro m. b) [ 75 puntos] Si es pasible, resuelve el sistema para m = - Solución: a) Si rango() = rango( ) = = número de incógnitas, el sistema es compatible determinado, tiene solución única. Si m = rango() = rango( ) =, el sistema no tiene solución. Si m = - rango() = rango( ) =, el sistema es compatible indeterminado uniparamétrico. b) - Considera el sistema de ecuaciones Álgebra 5 a) [ 5 puntos] Determina, si eisten, los valores de α para los que el sistema dado tiene solución única. b) [ 5 puntos] Determina, si eisten, los valores de α para los que el sistema dado tiene al menos dos soluciones. Halla todas las soluciones en dichos casos. Solución: a) Si rango () = rango ( ) = número de incógnitas, el sistema tiene solución única. b) Si α = - rango () = rango ( ) = > número de incógnitas, el sistema tiene más de una solución. -B Considera las matrices a) [ punto] Halla el determinante de una matri X que verifique la igualdad. b) [ 5 puntos] Determina, si eiste, la matri Y que verifica la igualdad Solución: a) det (X) = - b) - Considera el sistema dado por, a) [ 75 puntos] Determina, si eisten, los valores de α para los que el sistema tiene solución única.

25 b) [ 75 puntos] Determina, si eisten, los valores de α para los que el sistema no tiene solución. c) [ punto] Determina, si eisten, los valores de α para los que el sistema tiene al menos dos soluciones. Halla todas las soluciones en dichos casos. Solución: a) Si rango () = rango ( ) =, el sistema tiene solución única. b) Si α = 5 rango () = rango ( ) = el sistema no tiene solución. c) Si α = rango () = rango ( ) = < número de incógnitas, el sistema tiene más de una solución. -B Considera las matrices a) [ 75 puntos] Halla la matri X que verifica (siendo I la matri identidad de orden ). b) Calcula el determinante de la matri Solución: a) b) 5- (septiembre) Considera las siguientes matrices:,. a) [ 5 puntos] Determina la matri X para le que ( t es la traspuesta de ). b) [ punto] Calcula el determinante de (C t es la traspuesta de C). Solución: a) b) det ( = 6-B (septiembre) Considera el siguiente sistema de ecuaciones a) [ punto] Resuelve el sistema para α =. b) [ 5 puntos] Determina, si eiste, el valor de α para el que (,, ) = (,, α) es la única solución del sistema dado.

26 Solución: a) b) α = 7- (junio) Considera el siguiente sistema de ecuaciones: a) [ 5 puntos] Discute el sistema según los valores de b) [ punto] Resuelve el sistema para =. Solución: a) si λ, rango() = rango(*) =, el sistema es incompatible no tiene solución. Si λ = rango () = rango(b) =, el sistema es compatible e indeterminado con infinitas soluciones, b) 8-B (junio) Considera las matrices a) [ 5 puntos] Encuentra el valor, o los valores, de m para los que B tienen el mismo rango. b) [ punto] Determina, si eisten, los valores de m para los que B tienen el mismo determinante. Solución: a) Si m m - rango (B) = rango (). Si m = rango (B) = = rango (). Si m = - rango (B) = rango () = b) m = - m = [ 5 puntos] Halla la matri X que verifica la igualdad X - + B = C - sabiendo que, Solución: -5B Considera el siguiente sistema de ecuaciones a) [ 75 puntos] Discute el sistema según los valores de λ. b) [ 75 puntos] Determina, si eisten, los valores de λ para los que el sistema tiene alguna solución en la que. Solución: a) Si λ λ El sistema tiene solución única = = =. Si λ = o λ = el sistema es compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones. b) Si λ = las soluciones son: Si λ = las soluciones son: No ha solución donde

27 -6 Considera la matri a) [ 75 puntos] Halla el valor, o valores, de m para los que la matri tiene rango. b) [ 75 puntos] Para m =, determina 5. Solución: a) Si m = o m = rango () = b) 5 es la mati nula de orden tres. -6B Considera el siguiente sistema de ecuaciones a) [ 75 puntos] Discute el sistema según los valores de α. b) [ 75 puntos] Resuelve el sistema para α =. Solución: a) Si α α el sistema es compatible determinado por lo que tiene solución única. Si α = el sistema no tiene solución. Si α = el sistema no tiene solución b).

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