Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II

Transcripción

1 Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales de Matemáticas plicadas a las iencias Sociales II ntonio Francisco Roldán López de Hierro * onvocatoria de 8 Las siguientes páginas contienen las soluciones de los ejercicios propuestos para las pruebas de acceso a la Universidad en ndalucía de la asignatura Matemáticas aplicadas a las iencias Sociales II sobre Matrices y Sistemas de ecuaciones lineales. ada uno lleva un código como el siguiente que signi ca ejercicio de la opción del modelo 6 de la convocatoria de 8. Ejercicio 8---) a) punto) Dada la matriz de a para que sea la matriz nula. b) puntos) Dada la matriz M a a calcule la matriz M M t. calcule el valor Solución partado a). alculamos la matriz a a a a a + a a a a Para que esta matriz sea la matriz nula todos sus elementos deben ser cero es decir debemos buscar los números que cumplen 8>< a + a ; a ; > a Evidentemente la única solución de este sistema es * Profesor del I.E.S. cci de Guadix Granada) - http//

2 Matemáticas plicadas a las iencias Sociales II a partado b). El determinante de la matriz M es det M omo este determinante es distinto de cero sabemos que M posee inversa y ésta es M det M adj M t La matriz traspuesta de M es M t t El producto de la matriz inversa de M por su traspuesta es M M t Y el cuadrado de ésta última es M M t 8 Por tanto M M t 8 Ejercicio 8---) a) 5 puntos) Plantee y resuelva el sistema de ecuaciones dado por + x x b) 5 puntos) alcule la matriz inversa de y 5 4. Solución partado a). Multiplicando las matrices obtenemos + x + x) + y x y x y 9x + y + x y ndalucía ntonio Roldán

3 Matemáticas plicadas a las iencias Sociales II Para que dos matrices sean iguales además de ser del mismo orden deben poseer los mismos elementos colocados en las mismas posiciones. Por tanto + x 5 9x + y + 5 x y 4 x y 4 9x + y + 5; 9x + y ; 9x + y ; x y 4 x y 4 6x y 8 9x + y ; 5x De aquí x 5 y sustituyendo en la primera ecuación y 9x 9 Por tanto la única solución del sistema es 6 4 x ; y partado b). Existen diversos métodos para calcular la matriz inversa de una matriz. Por ejemplo vamos a aplicar el método de Gauss-Jordan por las. ji ) F F F F F F F F F iv F F ndalucía ntonio Roldán

4 Matemáticas plicadas a las iencias Sociales II Por consiguiente la matriz inversa de la matriz dada es Ejercicio 8---) Sean las matrices y a b 6. a) 5 puntos) alcule los valores de a y b para que. b) 5 puntos) Para a y b resuelva la ecuación matricial X I. Solución partado a). alculemos los productos y a b ; 6 a b a b 6 b a Para que estas dos matrices sean iguales deben coincidir elemento a elemento y ello ocurrirá únicamente si a y b de donde concluimos que y conmutan si y sólo si a y b 4. partado b). Por otro lado si a y b la matriz es 6 De esta forma el determinante de la matriz es distinto de cero de hecho det ) lo que signi ca que es una matriz regular y precisamente su matriz inversa es det et 6 6 sí la ecuación matricial se resuelve despejando la matrix X X I X + I X + I ) X " + # 6 ndalucía 4 ntonio Roldán

5 Matemáticas plicadas a las iencias Sociales II La matriz X es la única solución de la ecuación matricial dada. Ejercicio ) a) punto) Dadas las matrices F 5 calcule los productos F y F. b) puntos) Dadas las matrices calcule la matriz X que veri que la ecuación X. y y Solución partado a). Los productos que se piden son F 5 F 5 5 ; F y F 9 partado b). Despejamos la matriz X observando que la matriz tiene inversa ya que su determinante es distinto de cero es importante el lado por el que multiplicamos por para que se obtenga la matriz identidad) X X + X + ) X I + ) X + ) omo obtenemos + + X + ) ; ndalucía 5 ntonio Roldán

6 Matemáticas plicadas a las iencias Sociales II Por consiguiente la matriz buscada es X 4 Ejercicio ) a) puntos) Halle la matriz X que veri ca la ecuación 5 X 4 b) punto) Determine los valores de x e y que cumplen la igualdad x y x y Solución partado a). El segundo miembro de la ecuación es omo esta matriz posee inversa y es 5 det ; 5 5 Por tanto sólo hay que despejar X X " 4 # X partado b). alculamos los productos x x ; y x y x y y x ndalucía 6 ntonio Roldán

7 Matemáticas plicadas a las iencias Sociales II Si los igualamos tenemos el sistema x ; x y y x x ; 4x y x ; y x x ; y 6 Por consiguiente los números buscados son x ; y 6 Ejercicio ) Sean y las matrices siguientes ; 4 a) punto) alcule + ) ). b) puntos) Determine la matriz X cuadrada de orden en la ecuación matricial + ) X I Solución partado a). Es inmediato que " # " + ) ) # partado b). alculamos la matriz El determinante de esta matriz es 9 distinto de cero) por lo que posee inversa y ésta es + ) Podemos entonces despejar X como + )X I X + ) I ) X + ) I + ) Por tanto X + ) ndalucía 7 ntonio Roldán

8 Matemáticas plicadas a las iencias Sociales II sí la matriz buscada es X 4 ndalucía 8 ntonio Roldán