UNIDAD DIDÁCTICA 3: Matrices y determinantes

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1 CURSO PAU : MATEMÁTICAS Tem UNIDAD DIDÁCTICA : Mtrices y determinntes. ÍNDICE ) Introducción ) Definición de mtriz ) Algunos tipos de mtrices 4) Operciones de mtrices ) Invers de un mtriz 6) Trspuest de un mtriz 7) Otros tipos de mtrices 8) Determinntes 9) Aplicciones del cálculo mtricil. INTRODUCCIÓN GENERAL A LA UNIDAD Y ORIENTACIONES PARA EL ESTUDIO En est unidd didáctic vmos introducir ls mtrices, los principles tipos de mtrices y ls operciones lgebrics con sus respectivs propieddes. Aunque los conceptos se introducirán pr mtrices de culquier tmño, sólo trbjremos con mtrices en ls que ni el número de fils ni el de columns excedn de tres. Tmbién introduciremos el cálculo de determinnte pr mtrices de tmño x y x. Finlmente, introduciremos dos plicciones del cálculo de mtrices.. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Conocer lgunos tipos de mtrices. Conocer ls principles operciones con mtrices Conocer lguns plicciones del cálculo mtricil. 4. DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS. Introducción El concepto de mtriz lcnz múltiples plicciones tnto en l representción y mnipulción de dtos como en el cálculo numérico y simbólico que se deriv de los modelos mtemáticos utilizdos pr resolver problems en diferentes disciplins como, por ejemplo, ls ciencis sociles, ls ingenierís, economí, físic, estdístic y ls diferentes rms de ls mtemátics entre ls que destcmos ls ecuciones diferenciles, el cálculo numérico y, por supuesto, el álgebr.

2 CURSO PAU : MATEMÁTICAS Tem. Definición de mtriz Se llm mtriz de orden m n todo conjunto rectngulr de elementos ij dispuestos en m línes horizontles (fils) y n verticles (columns) de l form: Abrevidmente suele expresrse en l form A ( ij ), con i,,..., m, j,,..., n. Los subíndices indicn l posición del elemento dentro de l mtriz, el primero denot l fil (i) y el segundo l column (j). Por ejemplo el elemento será el elemento de l fil y column. 8 4 Por ejemplo: Se M entonces el orden de M es ( fils y columns) y sus elementos son: m 8, m, m 4, m, m, m. Dos mtrices A( ij ) y B( b ij ), de orden n m, son igules si b ij ij pr todo i,,... n y j,, m. Es decir, dos mtrices son igules si tienen l mism dimensión y los elementos que ocupn l mism posición en mbs mtrices coinciden.. Algunos tipos de mtrices Mtriz Cudrd: Es quell que tiene igul número n de fils que de columns (nm). En ese cso se dice que l mtriz es de orden n. Por ejemplo, l mtriz es cudrd de orden. Denotremos el conjunto de tods ls mtrices cudrds de orden n por M n. Así, en el ejemplo nterior, A M. Los elementos de l digonl principl de un mtriz cudrd son quellos que están situdos en l digonl que v desde l esquin superior izquierd hst l inferior derech. En otrs plbrs, l digonl principl de un mtriz A ( ij ) está compuest por los elementos K nn. En el ejemplo nterior l digonl principl está compuest por los elementos:. Mtriz Nul: Un mtriz es nul si todos sus elementos son igules cero. En el siguiente ejemplo se muestr l mtriz nul de orden.

3 CURSO PAU : MATEMÁTICAS Tem Más delnte veremos que l mtriz nul, respecto l dición y multiplicción de mtrices, jueg un ppel similr l número cero respecto l dición y multiplicción de números reles. Mtriz Digonl: Un mtriz cudrd, A ( ij ) es digonl si ij pr i j. Es decir, si todos los elementos situdos fuer de l digonl principl son cero. Por ejemplo, l siguiente mtriz es digonl: Mtriz Unidd o identidd: Es un mtriz digonl cuyos elementos de l digonl son todos. A continución mostrmos l mtriz unidd de orden. Más delnte veremos que l mtriz unidd, respecto l multiplicción de mtrices, jueg un ppel similr l número respecto l multiplicción de números reles. Mtriz tringulr: Es un mtriz cudrd en l que todos los elementos situdos por debjo (o por encim) de l digonl principl son cero. Por ejemplo, l siguiente mtriz es tringulr: Este tipo de mtrices tmbién se conoce como mtriz esclond. En lgunos csos se hce l distinción entre ls mtrices tringulres superiores o inferiores en dependenci de los elementos nulos de l mtriz; los que están por debjo o por encim de l digonl principl. 4. Operciones de mtrices Adición de mtrices Sen A B M S,. L mtriz ( s ij B ( b ij ) se denot, SA+B si sus elementos cumplen: es l sum de ls mtrices A ( ) sij ij + bij i,, K m j,, K, n Ejemplo Consideremos ls siguientes mtrices: ij y

4 CURSO PAU : MATEMÁTICAS Tem Ls mtrices A y B son de orden, mientrs l mtriz M es cudrd de orden. Por tnto, no podemos clculr l sum de A y M y tmpoco l sum de B y M, en cmbio, sí podemos sumr A y B y que tienen el mismo orden. Esto es, Es fácil deducir ls siguientes propieddes de l dición de mtrices de orden : Conmuttiv: A + B B + A A, B M Asocitiv: ( ) A + B + C ( A + B) + C A, B, C M Elemento neutro (l mtriz nul) A + O O + A A M Elemento opuesto A M ( A) M A + ( A) ( A) + A Multiplicción de un mtriz por un número Se denomin producto de un número λ por un mtriz A un mtriz ( c ij M C cuyos elementos son de l form cij λij i,, K, m j,, K, n. Es decir, l mtriz producto, C, es l que se obtiene multiplicndo el número λ por cd uno de los elementos de A. De quí en delnte considerremos que λ es un número rel. Ejemplo Consideremos l mtriz y el número - entonces, el producto de A por - es: El producto de un número por un mtriz stisfce ls siguientes propieddes: Distributiv mixt del producto respecto l sum de números reles Asocitiv mixt Elemento neutro 4

5 CURSO PAU : MATEMÁTICAS Tem Multiplicción de mtrices Se denomin mtriz producto de l mtriz A ( ij B ( b ij nxp un mtriz C ( c ij mxp ij n k por l mtriz cuyos elementos son de l form c b b + b + L + ik kj i Es decir, los elementos que ocupn l posición, ij en l mtriz producto, se obtienen sumndo los productos que resultn de multiplicr los elementos de l fil i en l primer mtriz por los elementos de l column k de l segund mtriz. Observemos en detlle como se obtiene el elemento c en el siguiente ejemplo: j i j in b nj Dos mtrices se pueden multiplicr sólo cundo el número de column de l primer mtriz se igul l número de fils de l segund. En el siguiente ejemplo podemos ver demás cuál es el orden de l mtriz producto.

6 CURSO PAU : MATEMÁTICAS Nótese, demás, que no podemos clculr. BA Tem Hy csos, como veremos en el siguiente ejemplo, en los que se pueden clculr mbos productos unque se obtienen resultdos diferentes. Consideremos ls siguientes mtrices: Entonces, por un ldo, y por otro ldo, Según se pudo comprobr trvés de los ejemplos nteriores, pr l multiplicción de mtrices no se cumple l propiedd conmuttiv. Vemos lguns propieddes de est operción: Asocitiv Elemento neutro (Es l mtriz unidd) Distributiv (mixt) Otrs observciones importntes: existen divisores de cero, es decir, en generl, ABO no implic que AO o BO. Por ejemplo, 6

7 CURSO PAU : MATEMÁTICAS Tem No se cumple l propiedd cnceltiv: en generl, ABAC no implic CB. Por ejemplo, No se cumple l fórmul del binomio: en generl, ( ) A + B A + AB + B y que el producto no es conmuttivo.. Invers de un mtriz Un mtriz cudrd A es invertible si existe un mtriz, que denotremos por, cumple A que donde I es l mtriz identidd. En ese cso se dice que Por ejemplo, l mtriz A es l invers de A. es invertible y su invers es y que 6. Mtriz trspuest T L trspuest de un mtriz A ( ij es l mtriz es l mtriz A ( ji nxm que se obtiene prtir de l mtriz A l intercmbir ls fils por ls columns. L trspuest de 7

8 CURSO PAU : MATEMÁTICAS Tem Propieddes: 7. Otros tipos de mtrices Mtriz simétric: se dice que un mtriz es simétric si es igul su trspuest. Un ejemplo de mtriz simétric es el siguiente: Ls mtrices simétrics tienen ese nombre debido que presentn simetrí respecto l digonl principl. En otrs plbrs, un mtriz A ( ij es simétric si cumple que i,, K, m j,, K n. ij ji, Mtriz ntisimétric: Es un mtriz igul l opuest de su trspuest. En otrs plbrs, L siguiente mtriz es ntisimétric: Mtriz ortogonl: Es quell cuy trspuest es igul su invers. Es decir, es quell que multiplicd por su trspuest d como resultdo l mtriz unidd. Esto es, 8

9 CURSO PAU : MATEMÁTICAS Ls mtrices ortogonles de orden son de l form: Tem donde y b son números reles tles que. Es evidente que est mtriz tmbién es ortogonl. Mtriz idempotente: Es un mtriz igul su cudrdo. Es decir, L siguiente mtriz es idempotente: Mtriz nilpotente: Si A es un mtriz cudrd A k O pr lgún número nturl, k se dice que A es nilpotente. A continución mostrmos un mtriz nilpotente. 8. Determinntes A tod mtriz cudrd le podemos signr un número rel que denominremos determinnte Determinntes de orden Determinntes de orden 9

10 CURSO PAU : MATEMÁTICAS Tem L fórmul nterior pr el cálculo del determinnte de orden se conoce como Regl de Srrus. 9. Aplicciones del cálculo mtricil Mtrices input-output Ls mtrices input-output (entrd-slid) se plicn l considerr un modelo simplificdo de l economí de un pís en el que l ctividd de culquier empres puede considerrse en lgunos de los sectores básicos: l industri (I), l gricultur (A), el turismo (T) y los servicios (S). Ls empress comprn (inputs), trnsformn los productos y luego venden (outputs). Pr tener un ide del modelo, supongmos que los dtos de l economí de un pís ficticio son los de l tbl siguiente, donde ls cntiddes se dn en lgún tipo de unidd monetri. industri, el vlor de ls vents interns fue de, el vlor de ls vents l sector grrio fue de, en el cso del turismo fue de 4, y en los servicios de 6. El vlor de ls vents efectuds los consumidores y otros píses (demnd) fue de. Entonces el output totl fue de 8. A prtir de l tbl nterior se definen ls siguientes mtrices:

11 CURSO PAU : MATEMÁTICAS Tem Y prtir de los elementos de ls mtrices M y O se puede construir un mtriz tecnológic, T, que represent l proporción de ls trnscciones intersectoriles respecto l output totl de cd sector. Tod l informción de l tbl se puede expresr en form mtricil trvés de l siguiente relción: OTO+D, es decir, Est fórmul permite hcer estudios destindos plnificr l economí. Modelo metlúrgico Supongmos que un empres fbric tres modelos de máquins herrmients, M, M y M, y como mteri prim fundmentl utiliz tres tipos de metles, Hierro (H), Níquel (N) y Coblto(C). L cntidd de mteri prim que necesit pr fbricr cd máquin, expresd en tonelds, se muestr en l siguiente tbl l cul le hcemos corresponder l mtriz.

12 CURSO PAU : MATEMÁTICAS Tem Ls mejores oferts de l mteri prim corresponden los proveedores P, P y P. Los precios por toneld (expresdos en ciert unidd monetri) impuestos por cd uno de los proveedores cd uno de los metles precen en l siguiente tbl Queremos hcer un tbl de doble entrd que muestre el gsto en mteri prim por modelo de máquin y proveedor. Dich tbl se obtiene trvés del siguiente producto mtricil: L tbl obtenid es:. RESUMEN Tipos de mtrices Mtriz Cudrd: el número de fils es igul l número de columns. Mtriz nul: todos sus elementos son ceros Mtriz digonl: mtriz cudrd, ( ) ij A con pr i j. Mtriz identidd: Es un mtriz digonl cuyos elementos de l digonl son todos. Mtriz tringulr: Es un mtriz cudrd en l que todos los elementos situdos por debjo (o por encim) de l digonl principl son cero. ij

13 CURSO PAU : MATEMÁTICAS Tem Operciones con mtrices Adición o sum de mtrices: ls mtrices ( ) ij A y ( ) s b ij A B M S s ij M es l sum de,. L mtriz ( ) B se denot, SA+B si sus elementos cumplen: + b i,, K m j,, K ij ij ij, Multiplicción de un mtriz por un número: el producto de un número λ por un mtriz M C c ij M cuyos elementos son de l form c ij ij A es un mtriz ( ) λ i,, K, m j,, K, n. Multiplicción de mtrices: se denomin mtriz producto de l mtriz A ij M B b ij M C c ij M cuyos ( ) por l mtriz ( ) nxp un mtriz ( ) mxp elementos son de l form ij n k c b b + b + L + Mtriz trspuest. L trspuest de un mtriz ( ) T mtriz A ( ji nxm ik kj i j i j n A ij M es l mtriz es l que se obtiene prtir de l mtriz A l intercmbir ls fils por ls columns. Otros tipos de mtrices Mtriz simétric: in b nj Mtriz ntisimétric: Mtriz ortogonl: Mtriz idempotente: Mtriz nilpotente: Si A es un mtriz cudrd dice que A es nilpotente. Determinntes Determinntes de orden Determinntes de orden A k O pr lgún número nturl, k se + +

14 CURSO PAU : MATEMÁTICAS Tem 4 6. BIBLIOGRAFÍA Emilio Bujlnce y otros. Mtemátics especiles. Editoril Snz y Torres (998). ª Edición Mrí E. Bllvé y otros. Problems de mtemátics especiles. Editoril Snz y Torres (996). ª Edición. José T. Pérez Romero y José A. Jrmillo Sánchez. Mtemátics. Pruebs de cceso l universidd pr myores de ños. Editoril MAD. () ACTIVIDADES. Dds ls mtrices 4 4 D C B A Determinr ls siguientes mtrices: ) A-D b) AB c) CD d) A -D. Determin el determinnte de ls siguientes mtrices: D C B A. Dds ls mtrices 4 B A ) No podemos sumrls b) Podemos sumrls sin problems

15 CURSO PAU : MATEMÁTICAS Tem c) Sólo podemos sumr ls dos primers fils de cd un 4. Dds A y B dos mtrices del mismo tmño podemos firms que A+BB+A? ) Siempre b) Nunc c) Alguns veces 4. Se A B C 4 ) A+BB+C b) (A+B)+CA-(B+C) c) (A+B)+CA+(B-C) 6. Se puede multiplicr k7 por A( )? ) Si b) No c) Sólo si A es l mtriz nul 7. Ddo k, A y B tenemos que 7(A+B)7A+7B? 4 4 ) Si b) No, no es posible c) Sólo si k fuer igul 8. Cuál es el número k tl que kaa? ) el b) el c) Ninguno de los nteriores 9. Ddo k- A y B, es cierto que A-BA+kB? 4 4 ) Si b) No c) Sólo si A y B son igules. Dds ls mtrices A B ( )

16 CURSO PAU : MATEMÁTICAS Tem 6 ) Se puede clculr AB b) Se puede clculr BA c) No se pueden clculr ni AB ni BA. Dds dos mtrices A y B se puede clculr AB ) Si el número de fils de A es igul l número de columns de B b) Si el número de columns de A es igul l número de fils de B c) En ninguno de los dos csos nteriores. Dds B A ) ABBA b) AB es distinto de BA c) A y B no se pueden multiplicr 9. EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACIÓN. Dds ls mtrices 7 D C B A Determinr ls siguientes mtrices: ) A+D b) AB c) CB d)a -D. Sen y b números reles, entonces (+b) +b+b y (-b) -b+b se puden utilizr ests igulddes en el supuesto que y b sen reemplzds por mtrices Ay B cudrds del mismo orden?. Determinr el determinnte de cd un de ls siguientes mtrices: B A 4. Determinr el vlor del prámetro pr que l siguiente mtriz teng determinnte nulo A +

17 CURSO PAU : MATEMÁTICAS Tem. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN ) b) c) d) L solución se drá en clse. ) 4 b) ó - 7

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