Tema 1. Álgebra lineal. Matrices

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1 1 Tema 1. Álgebra lineal. Matrices 0.1 Introducción Los sistemas de ecuaciones lineales aparecen en un gran número de situaciones. Son conocidos los métodos de resolución de los mismos cuando tienen dos ecuaciones y dos incógnitas que se estudian en la enseñanza secundaria: los de reducción, sustitución e igualación. Ahora se trata de ver cómo puede procederse cuando hay mayor número de ecuaciones y de incógnitas simplificando lo más posible la escritura. La forma de resolver un sistema consiste en realidad en ir sustituyendo el sistema por otro equivalente (es decir, que tenga las mismas soluciones) pero que vaya siendo cada vez más sencillo, hasta llegar a uno que sepamos resolver. Las operaciones que transforman un sistema en otro equivalente son esencialmente dos: 1. Multiplicar una ecuacion por un número distinto de Sumar una ecuación a otra. Consideremos el siguiente ejemplo: 3x +2y = 8 2x +4y = 5 (0.1) Se puede proceder así: se multiplica la primera ecuación por 2 y la segunda por 3. Se obtiene así el sistema equivalente 6x +4y = 16 6x 12y = 15 ; (0.2) sustituimos la segunda ecuación por la suma de las dos, y resulta 6x +4y = 16 8y = 1 (0.3) Este sistema se llama triangular y ya se sabe resolver: se despeja la y en la segunda ecuación, se sustituye en la primera y en ésta se despeja la x; resulta y = 1 8( 6x ) = 16 = 6x = = x = 11 4 (0.4)

2 2 Obsérvese que puede evitarse modificar la primera ecuación y actuar sólo sobre la segunda: 3x +2y = 8 3x +2y = 8 3x +2y = 8 = = (0.5) 2x +4y = 5 3x 6y = 15 ( 3) 4y = Nótese también que todo se simplifica si se omite la escritura de las incógnitas y se escriben sólo los coeficientes. Así, (0.5) puede escribirse = = (0.6) con el convenio de que la primera columna representa los coeficientes de x, la segunda los coeficientes de y y la tercera los términos independientes. De esta manera llegamos a las tablas de números que reciben el nombre genérico de matrices. 0.2 Matrices. Definición 0.1 Una matriz es una estructura rectangular de números a 11 a a 1n a A = 21 a a 2n a m1 a m2... a mn (0.7) Los valores a ij se llaman los elementos de la matriz. La matriz completa se representa por (a ij ). Si la matriz tiene m filas y n columnas, se dice que tienen dimensión m n. Definición 0.2 Dos matrices son iguales si tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales. Otros nombres que deben conocerse: Si el número de filas es igual que el número de columnas, la matriz se llama cuadrada. A ese número (el de filas o el de columnas) se le llama el orden de la matriz cuadrada. Se llama matriz fila aquélla que tiene una sola fila, por ejemplo ( ) A =

3 3 Se llama matriz columna aquélla que tiene una sola columna, por ejemplo 3 1 A = En una matriz cuadrada se llama diagonal principal al conjunto de los elementos de la forma a ii. Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A, y se representa por A t, a la que se obtiene cambiando las filas y las columnas, por ejemplo 3 1 A = = A t = Si la dimensión de A es m n, la de A t es n m. Una matriz cuadrada se llama simétrica si es igual a su traspuesta, por ejemplo A = Se llama matriz nula aquélla cuyos elementos son 0; por ejemplo A = es la matriz nula de dimensión 2 3. Se llama matriz diagonal a la matriz cuadrada que tiene nulos todos los términos que no están en la diagonal principal, por ejemplo A = o A =

4 4 Se llama matriz unidad o matriz identidad a la matriz diagonal que tiene todos los elementos de la diagonal principal igual a 1; por ejemplo A = es la matriz unidad de orden 3. Se llama matriz triangular superior (inferior) a toda matriz cuadrada que tiene nulos todos los términos que están por debajo (encima) de la diagonal principal, por ejemplo A = o A = Operaciones con matrices: suma, producto por un número y diferencia. Definición 0.3 Sean A = (a ij ) y B = (b ij ) dos matrices de la misma dimensión. Se define la suma de A y B, C = A + B, como aquella matriz C de la misma dimensión tal que c ij = a ij + b ij 1 i m 1 j n Si las matrices no tienen la misma dimensión, no se pueden sumar. Ejemplo = Definición 0.5 Sea A = (a ij ) una matriz de dimensión m n cualquiera y λ un número real. Se define el producto de λa, C = λa, como aquella matriz C de la misma dimensión tal que c ij = λa ij 1 i m 1 j n En particular, cuando λ = 1, se obtiene la matriz opuesta de A, A.

5 5 Ejemplo = Definición 0.7 Se define la diferencia entre A y B, A B = A + ( B). 0.4 Producto de matrices. Vamos a definir el producto de matrices de una forma aparentemente extraña, pero que se revela luego que es la más útil para las aplicaciones. Este producto no va a permitir multiplicar dos matrices cualesquiera. Se necesitará que el número de columnas del primer factor coincida con el número de filas del segundo; y la matriz producto tendrá tantas filas como tenía el primer factor y tantas columnas como tenía el segundo. La definición es la siguiente: Definición 0.8 Sean A = (a ij ) una matriz de dimensión m n y B = (b ij ) una matriz de dimensión n p. Se define el producto C = AB como la matriz C = (c ij ) de dimensión m p definida por c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj 1 i m 1 j p Ejemplo = 1 0 3( 2) ( 2) ( 2) + ( 2)0 = 0( 2) + ( 1) ( 1)( 2) El siguiente ejemplo muestra la utilidad del producto de matrices y la razón por la que se define de esta manera. Supongamos que deseamos hallar los números x 1, x 2 que verifican 3x 1 2x 2 = y 1 siendo 4x 1 +x 2 = y 2 5y 1 y 2 = 6 y 1 +3y 2 = 7 (0.8) Una forma de atacar el problema es, por supuesto, resolver el segundo sistema, sustituir en el primero los valores de y 1 y 2 hallados y resolver el primer sistema también. Pero más

6 6 directo es sustituir en el segundo sistema las expresiones de y 1 y 2 dadas por el primer sistema y así obtener lo siguiente 5(3x 1 2x 2 ) (4x 1 + x 2 ) = 6 (3x 1 2x 2 ) + 3(4x 1 + x 2 ) = 7 (5 3 + ( 1)4)x 1 +(5( 2) + ( 1)1)x 2 = 6 (( 1) )x 1 +(( 1)( 2) + 3 1)x 2 = 7 = 11x 1 11x 2 = 6 = 9x 1 +5x 2 = 7 De este modo hay que resolver un solo sistema. Pues bien, con el cálculo matricial se simplifica la escritura. El problema (0.8) se escribe: 3 2 x 1 = y 1 siendo 5 1 y 1 = 6 (0.9) x 2 y 2 y 2 Sustituyendo el término independiente del primer sistema en el segundo, resulta x 1 = 6 = x 1 = x 2 x 2 Se comprobará en los diversos ejercicios que la multiplicación de matrices no es conmutativa; por ejemplo, el producto de las dos matrices del último ejemplo en orden contrario, da una matriz cuadrada de orden 3. Sin embargo, el producto de matrices sí es asociativo, es decir, para multiplicar tres matrices (que se puedan multiplicar, es decir, de manera que el número de columnas de la primera coincida con el número de filas de la segunda y el número de columnas de la segunda coincida con el número de filas de la tercera) se puede hacer ABC = (AB)C = A(BC). 0.5 Sistemas de ecuaciones lineales. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas se puede escribir a 11 x 1 +a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 +a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 +a m2 x a mn x n = b m (0.10)

7 7 Los números a ij son los coeficientes del sistema, Los números b 1,..., b m son los términos independientes y x 1,..., x n son las incógnitas del sistema. independientes son nulos, el sistema se llama homogéneo. Cuando todos los términos Definición 0.10 Una solución del sistema es un conjunto ordenado de números {s 1,..., s n } tal que si se sustituye la letra x 1 por el número s 1, la letra x 2 por el número s 2,..., la letra x n por el número s n, se verifican las m igualdades. Si un sistema no tiene solución, se llama incompatible; por ejemplo, x 1 +x 2 = 1 x 1 +x 2 = 2 es incompatible, porque dos números no pueden sumar a la vez 1 y 2. Si un sistema tiene al menos una solución, se llama compatible. Y dentro de éstos, se llamará compatible determinado, si tiene una sola solución (como por ejemplo (0.1)) o compatible indeterminado, si tiene más de una solución (como por ejemplo el sistema formado por la ecuación x + y = 1). De hecho todo sistema compatible indeterminado tiene infinitas soluciones, como se verá después. Utilizando la notación matricial que conocemos, el sistema lineal puede escribirse del modo siguiente. Llamamos matriz del sistema a la matriz a 11 a a 1n a A = 21 a a 2n a m1 a m2... a mn formada por los coeficientes y matriz ampliada a la matriz a 11 a a 1n b 1 a A = 21 a a 2n b a m1 a m2... a mn b m Entonces (0.10) puede escribirse : a 11 a a 1n x 1 b 1 a 21 a a 2n x 2 b = a m1 a m2... a mn x n b m (0.11)

8 8 Las transformaciones de las que hablábamos en la Introducción que convierten los sistemas en equivalentes son las que se llaman transformaciones de filas, que son tres: 1. Multiplicar una fila por un número no nulo. Si la fila i se multiplica por k, escribiremos F i kf i. 2. Sumarle a una fila otra u otra multiplicada por un número no nulo. Si la fila i se sustituye por la suma de ella misma y de la fila j multiplicada por k, escribiremos F i F i + kf j. 3. Cambiar de orden dos filas. Si intercambiamos las filas i y j, escribiremos F i F j. Estas transformaciones aplicadas a la matriz ampliada de un sistema, lo transforman en otro equivalente. Así por ejemplo, las transformaciones de (0.1), (0.2) y (0.3), se pueden expresar brevemente F 1 2F 1 F 2 3F F2 F2+F (0.12) 0.6 El método de Gauss para la resolución de sistemas lineales. El método de Gauss es un método que permite conocer si un sistema lineal es compatible o incompatible y resolverlo en el primer caso. Lo hace transformando el sistema propuesto en otro que sea equivalente y triangular, que se sabe resolver de forma análoga a como hicimos en la Introducción. Explicamos el método sobre un ejemplo. Supongamos que pretendemos resolver x +y 2z = 9 2x y +4z = 4 2x y +6z = 1 (0.13) cuya matriz ampliada es

9 9 Utilizando el término a 11, transformamos el sistema en uno equivalente que tenga nulos los elementos de la primera columna que están por debajo de él: F 2 F 2 2F 1 F 3 F 3 2F 1 Utilizando ahora el término a 22, transformamos el sistema en uno equivalente que tenga nulos los elementos de la segunda columna que están por debajo de él: El sistema es, pues, equivalente a F 3 F 3 F 2 x +y 2z = 9 3y +8z = 14 2z = 5 que se resuelve de abajo a arriba obteniéndose la solución única, (0.14) z = 5 2 y = 2 x = 6. El sistema es compatible determinado. Aplicamos el método al ejemplo siguiente 2x y +z = 3 4x 4y +3z = 2 2x 3y +2z = 1 (0.15) Quedaría: F 2 F 2 2F 1 F 3 F 3 F 1 El sistema es equivalente a F 3 F 3 F x y +z = 3 2y +z = 4. (0.16) 0z = 2

10 10 La última ecuación es claramente imposible de verificar. El sistema es incompatible. Apliquemos por último el método al sistema x 3y +z = 4 x 2y +3z = 6 2x 5y +4z = 10 (0.17) Resultaría: F 2 F 2 F 1 F 3 F 3 2F F 3 F 3 F La última ecuación se verifica de forma trivial de modo que el sistema es equivalente a x 3y +z = 4 (0.18) y +2z = 2 Para resolver este sistema, se introduce el parámetro λ = z y se resuelve el sistema x 3y = 4 λ (0.19) y = 2 2λ cuya solución es El sistema es compatible indeterminado. z = λ, y = 2 2λ, x = 10 7λ λ R El término de la diagonal que se utiliza para anular los términos de la columna que están por debajo de él, recibe el nombre de pivote. 0.7 Determinantes. A las matrices cuadradas se les asocia un número, llamado determinante de la matriz, que resulta muy útil para bastantes cuestiones. Este número se representa escribiendo los elementos de la matriz entre dos barras verticales (en vez de entre paréntesis). Lo definiremos para las matrices cuadradas de orden 2 y 3 e indicaremos cómo se calcula para matrices de mayor orden.

11 11 Si A es una matriz cuadrada de orden 2, se define a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 (0.20) Si A es una matriz cuadrada de orden 3, se define a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 a 31 a 32 a 33 (0.21) Si A es una matriz cuadrada de cualquier orden triangular, su determinante es el producto de los términos de la diagonal. Para calcular el determinante de una matriz cuadrada cualquiera, se aplican las transformaciones de filas F i F i + kf j hasta convertirla en una matriz triangular; entonces, el determinante de la matriz triangular es el determinante de la matriz original. Cuando un sistema lineal tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas, la matriz de ese sistema es cuadrada. Pues bien, si su determinante es distinto de 0, el sistema es compatible determinado independientemente de cómo sean los términos independientes; estos sistemas se llaman sistemas de Cramer. Si el determinante es 0, entonces el sistema es compatible indeterminado o incompatible según sean los términos independientes; en particular, en el caso del sistema homogéneo, resulta ser compatible indeterminado. El resultado exacto que detalla todo lo que sucede es el Teorema de Rouché-Frobenius que se estudia en Bachillerato.

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