Tema 1. Álgebra lineal. Matrices

Save this PDF as:

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Tema 1. Álgebra lineal. Matrices"

Transcripción

1 1 Tema 1. Álgebra lineal. Matrices 0.1 Introducción Los sistemas de ecuaciones lineales aparecen en un gran número de situaciones. Son conocidos los métodos de resolución de los mismos cuando tienen dos ecuaciones y dos incógnitas que se estudian en la enseñanza secundaria: los de reducción, sustitución e igualación. Ahora se trata de ver cómo puede procederse cuando hay mayor número de ecuaciones y de incógnitas simplificando lo más posible la escritura. La forma de resolver un sistema consiste en realidad en ir sustituyendo el sistema por otro equivalente (es decir, que tenga las mismas soluciones) pero que vaya siendo cada vez más sencillo, hasta llegar a uno que sepamos resolver. Las operaciones que transforman un sistema en otro equivalente son esencialmente dos: 1. Multiplicar una ecuacion por un número distinto de Sumar una ecuación a otra. Consideremos el siguiente ejemplo: 3x +2y = 8 2x +4y = 5 (0.1) Se puede proceder así: se multiplica la primera ecuación por 2 y la segunda por 3. Se obtiene así el sistema equivalente 6x +4y = 16 6x 12y = 15 ; (0.2) sustituimos la segunda ecuación por la suma de las dos, y resulta 6x +4y = 16 8y = 1 (0.3) Este sistema se llama triangular y ya se sabe resolver: se despeja la y en la segunda ecuación, se sustituye en la primera y en ésta se despeja la x; resulta y = 1 8( 6x ) = 16 = 6x = = x = 11 4 (0.4)

2 2 Obsérvese que puede evitarse modificar la primera ecuación y actuar sólo sobre la segunda: 3x +2y = 8 3x +2y = 8 3x +2y = 8 = = (0.5) 2x +4y = 5 3x 6y = 15 ( 3) 4y = Nótese también que todo se simplifica si se omite la escritura de las incógnitas y se escriben sólo los coeficientes. Así, (0.5) puede escribirse = = (0.6) con el convenio de que la primera columna representa los coeficientes de x, la segunda los coeficientes de y y la tercera los términos independientes. De esta manera llegamos a las tablas de números que reciben el nombre genérico de matrices. 0.2 Matrices. Definición 0.1 Una matriz es una estructura rectangular de números a 11 a a 1n a A = 21 a a 2n a m1 a m2... a mn (0.7) Los valores a ij se llaman los elementos de la matriz. La matriz completa se representa por (a ij ). Si la matriz tiene m filas y n columnas, se dice que tienen dimensión m n. Definición 0.2 Dos matrices son iguales si tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales. Otros nombres que deben conocerse: Si el número de filas es igual que el número de columnas, la matriz se llama cuadrada. A ese número (el de filas o el de columnas) se le llama el orden de la matriz cuadrada. Se llama matriz fila aquélla que tiene una sola fila, por ejemplo ( ) A =

3 3 Se llama matriz columna aquélla que tiene una sola columna, por ejemplo 3 1 A = En una matriz cuadrada se llama diagonal principal al conjunto de los elementos de la forma a ii. Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A, y se representa por A t, a la que se obtiene cambiando las filas y las columnas, por ejemplo 3 1 A = = A t = Si la dimensión de A es m n, la de A t es n m. Una matriz cuadrada se llama simétrica si es igual a su traspuesta, por ejemplo A = Se llama matriz nula aquélla cuyos elementos son 0; por ejemplo A = es la matriz nula de dimensión 2 3. Se llama matriz diagonal a la matriz cuadrada que tiene nulos todos los términos que no están en la diagonal principal, por ejemplo A = o A =

4 4 Se llama matriz unidad o matriz identidad a la matriz diagonal que tiene todos los elementos de la diagonal principal igual a 1; por ejemplo A = es la matriz unidad de orden 3. Se llama matriz triangular superior (inferior) a toda matriz cuadrada que tiene nulos todos los términos que están por debajo (encima) de la diagonal principal, por ejemplo A = o A = Operaciones con matrices: suma, producto por un número y diferencia. Definición 0.3 Sean A = (a ij ) y B = (b ij ) dos matrices de la misma dimensión. Se define la suma de A y B, C = A + B, como aquella matriz C de la misma dimensión tal que c ij = a ij + b ij 1 i m 1 j n Si las matrices no tienen la misma dimensión, no se pueden sumar. Ejemplo = Definición 0.5 Sea A = (a ij ) una matriz de dimensión m n cualquiera y λ un número real. Se define el producto de λa, C = λa, como aquella matriz C de la misma dimensión tal que c ij = λa ij 1 i m 1 j n En particular, cuando λ = 1, se obtiene la matriz opuesta de A, A.

5 5 Ejemplo = Definición 0.7 Se define la diferencia entre A y B, A B = A + ( B). 0.4 Producto de matrices. Vamos a definir el producto de matrices de una forma aparentemente extraña, pero que se revela luego que es la más útil para las aplicaciones. Este producto no va a permitir multiplicar dos matrices cualesquiera. Se necesitará que el número de columnas del primer factor coincida con el número de filas del segundo; y la matriz producto tendrá tantas filas como tenía el primer factor y tantas columnas como tenía el segundo. La definición es la siguiente: Definición 0.8 Sean A = (a ij ) una matriz de dimensión m n y B = (b ij ) una matriz de dimensión n p. Se define el producto C = AB como la matriz C = (c ij ) de dimensión m p definida por c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj 1 i m 1 j p Ejemplo = 1 0 3( 2) ( 2) ( 2) + ( 2)0 = 0( 2) + ( 1) ( 1)( 2) El siguiente ejemplo muestra la utilidad del producto de matrices y la razón por la que se define de esta manera. Supongamos que deseamos hallar los números x 1, x 2 que verifican 3x 1 2x 2 = y 1 siendo 4x 1 +x 2 = y 2 5y 1 y 2 = 6 y 1 +3y 2 = 7 (0.8) Una forma de atacar el problema es, por supuesto, resolver el segundo sistema, sustituir en el primero los valores de y 1 y 2 hallados y resolver el primer sistema también. Pero más

6 6 directo es sustituir en el segundo sistema las expresiones de y 1 y 2 dadas por el primer sistema y así obtener lo siguiente 5(3x 1 2x 2 ) (4x 1 + x 2 ) = 6 (3x 1 2x 2 ) + 3(4x 1 + x 2 ) = 7 (5 3 + ( 1)4)x 1 +(5( 2) + ( 1)1)x 2 = 6 (( 1) )x 1 +(( 1)( 2) + 3 1)x 2 = 7 = 11x 1 11x 2 = 6 = 9x 1 +5x 2 = 7 De este modo hay que resolver un solo sistema. Pues bien, con el cálculo matricial se simplifica la escritura. El problema (0.8) se escribe: 3 2 x 1 = y 1 siendo 5 1 y 1 = 6 (0.9) x 2 y 2 y 2 Sustituyendo el término independiente del primer sistema en el segundo, resulta x 1 = 6 = x 1 = x 2 x 2 Se comprobará en los diversos ejercicios que la multiplicación de matrices no es conmutativa; por ejemplo, el producto de las dos matrices del último ejemplo en orden contrario, da una matriz cuadrada de orden 3. Sin embargo, el producto de matrices sí es asociativo, es decir, para multiplicar tres matrices (que se puedan multiplicar, es decir, de manera que el número de columnas de la primera coincida con el número de filas de la segunda y el número de columnas de la segunda coincida con el número de filas de la tercera) se puede hacer ABC = (AB)C = A(BC). 0.5 Sistemas de ecuaciones lineales. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas se puede escribir a 11 x 1 +a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 +a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 +a m2 x a mn x n = b m (0.10)

7 7 Los números a ij son los coeficientes del sistema, Los números b 1,..., b m son los términos independientes y x 1,..., x n son las incógnitas del sistema. independientes son nulos, el sistema se llama homogéneo. Cuando todos los términos Definición 0.10 Una solución del sistema es un conjunto ordenado de números {s 1,..., s n } tal que si se sustituye la letra x 1 por el número s 1, la letra x 2 por el número s 2,..., la letra x n por el número s n, se verifican las m igualdades. Si un sistema no tiene solución, se llama incompatible; por ejemplo, x 1 +x 2 = 1 x 1 +x 2 = 2 es incompatible, porque dos números no pueden sumar a la vez 1 y 2. Si un sistema tiene al menos una solución, se llama compatible. Y dentro de éstos, se llamará compatible determinado, si tiene una sola solución (como por ejemplo (0.1)) o compatible indeterminado, si tiene más de una solución (como por ejemplo el sistema formado por la ecuación x + y = 1). De hecho todo sistema compatible indeterminado tiene infinitas soluciones, como se verá después. Utilizando la notación matricial que conocemos, el sistema lineal puede escribirse del modo siguiente. Llamamos matriz del sistema a la matriz a 11 a a 1n a A = 21 a a 2n a m1 a m2... a mn formada por los coeficientes y matriz ampliada a la matriz a 11 a a 1n b 1 a A = 21 a a 2n b a m1 a m2... a mn b m Entonces (0.10) puede escribirse : a 11 a a 1n x 1 b 1 a 21 a a 2n x 2 b = a m1 a m2... a mn x n b m (0.11)

8 8 Las transformaciones de las que hablábamos en la Introducción que convierten los sistemas en equivalentes son las que se llaman transformaciones de filas, que son tres: 1. Multiplicar una fila por un número no nulo. Si la fila i se multiplica por k, escribiremos F i kf i. 2. Sumarle a una fila otra u otra multiplicada por un número no nulo. Si la fila i se sustituye por la suma de ella misma y de la fila j multiplicada por k, escribiremos F i F i + kf j. 3. Cambiar de orden dos filas. Si intercambiamos las filas i y j, escribiremos F i F j. Estas transformaciones aplicadas a la matriz ampliada de un sistema, lo transforman en otro equivalente. Así por ejemplo, las transformaciones de (0.1), (0.2) y (0.3), se pueden expresar brevemente F 1 2F 1 F 2 3F F2 F2+F (0.12) 0.6 El método de Gauss para la resolución de sistemas lineales. El método de Gauss es un método que permite conocer si un sistema lineal es compatible o incompatible y resolverlo en el primer caso. Lo hace transformando el sistema propuesto en otro que sea equivalente y triangular, que se sabe resolver de forma análoga a como hicimos en la Introducción. Explicamos el método sobre un ejemplo. Supongamos que pretendemos resolver x +y 2z = 9 2x y +4z = 4 2x y +6z = 1 (0.13) cuya matriz ampliada es

9 9 Utilizando el término a 11, transformamos el sistema en uno equivalente que tenga nulos los elementos de la primera columna que están por debajo de él: F 2 F 2 2F 1 F 3 F 3 2F 1 Utilizando ahora el término a 22, transformamos el sistema en uno equivalente que tenga nulos los elementos de la segunda columna que están por debajo de él: El sistema es, pues, equivalente a F 3 F 3 F 2 x +y 2z = 9 3y +8z = 14 2z = 5 que se resuelve de abajo a arriba obteniéndose la solución única, (0.14) z = 5 2 y = 2 x = 6. El sistema es compatible determinado. Aplicamos el método al ejemplo siguiente 2x y +z = 3 4x 4y +3z = 2 2x 3y +2z = 1 (0.15) Quedaría: F 2 F 2 2F 1 F 3 F 3 F 1 El sistema es equivalente a F 3 F 3 F x y +z = 3 2y +z = 4. (0.16) 0z = 2

10 10 La última ecuación es claramente imposible de verificar. El sistema es incompatible. Apliquemos por último el método al sistema x 3y +z = 4 x 2y +3z = 6 2x 5y +4z = 10 (0.17) Resultaría: F 2 F 2 F 1 F 3 F 3 2F F 3 F 3 F La última ecuación se verifica de forma trivial de modo que el sistema es equivalente a x 3y +z = 4 (0.18) y +2z = 2 Para resolver este sistema, se introduce el parámetro λ = z y se resuelve el sistema x 3y = 4 λ (0.19) y = 2 2λ cuya solución es El sistema es compatible indeterminado. z = λ, y = 2 2λ, x = 10 7λ λ R El término de la diagonal que se utiliza para anular los términos de la columna que están por debajo de él, recibe el nombre de pivote. 0.7 Determinantes. A las matrices cuadradas se les asocia un número, llamado determinante de la matriz, que resulta muy útil para bastantes cuestiones. Este número se representa escribiendo los elementos de la matriz entre dos barras verticales (en vez de entre paréntesis). Lo definiremos para las matrices cuadradas de orden 2 y 3 e indicaremos cómo se calcula para matrices de mayor orden.

11 11 Si A es una matriz cuadrada de orden 2, se define a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 (0.20) Si A es una matriz cuadrada de orden 3, se define a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 a 31 a 32 a 33 (0.21) Si A es una matriz cuadrada de cualquier orden triangular, su determinante es el producto de los términos de la diagonal. Para calcular el determinante de una matriz cuadrada cualquiera, se aplican las transformaciones de filas F i F i + kf j hasta convertirla en una matriz triangular; entonces, el determinante de la matriz triangular es el determinante de la matriz original. Cuando un sistema lineal tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas, la matriz de ese sistema es cuadrada. Pues bien, si su determinante es distinto de 0, el sistema es compatible determinado independientemente de cómo sean los términos independientes; estos sistemas se llaman sistemas de Cramer. Si el determinante es 0, entonces el sistema es compatible indeterminado o incompatible según sean los términos independientes; en particular, en el caso del sistema homogéneo, resulta ser compatible indeterminado. El resultado exacto que detalla todo lo que sucede es el Teorema de Rouché-Frobenius que se estudia en Bachillerato.

Matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales.

Matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales. UNIVERSIDAD DE MURCIA Departamento de Matemáticas Óptica y Optometría Resúmenes Curso 2007-2008 Matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales. Una matriz A de orden m n es una colección de m

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Sistemas de Ecuaciones Lineales Sistemas de Ecuaciones Lineales 1 Sistemas de ecuaciones y matrices Definición 1 Una ecuación lineal en las variables x 1, x 2,..., x n es una ecuación de la forma con a 1, a 2... y b números reales. a

Más detalles

BLOQUE DE ÁLGEBRA: TEMA 1: MATRICES.

BLOQUE DE ÁLGEBRA: TEMA 1: MATRICES. BLOQUE DE ÁLGEBRA: TEMA 1: MATRICES. Matrices: Se llama matriz de dimensión m n a un conjunto de números reales dispuestos en m filas y n columnas de la siguiente forma: 11 a 12 a 13... a 1n A= a a 21

Más detalles

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas de ecuaciones lineales Este tema resulta fundamental en la mayoría de las disciplinas, ya que son muchos los problemas científicos y de la vida cotidiana que requieren resolver simultáneamente

Más detalles

Ejemplo 1. Ejemplo introductorio

Ejemplo 1. Ejemplo introductorio . -Jordan. Ejemplo 1. Ejemplo introductorio. -Jordan Dos especies de insectos se crían juntas en un recipiente de laboratorio. Todos los días se les proporcionan dos tipos de alimento A y B. 1 individuo

Más detalles

Tema 2. Sistemas de ecuaciones lineales

Tema 2. Sistemas de ecuaciones lineales Tema 2. Sistemas de ecuaciones lineales Estructura del tema. Definiciones básicas Forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales Clasificación de los sistemas según el número de soluciones. Teorema

Más detalles

Matriz sobre K = R o C de dimensión m n

Matriz sobre K = R o C de dimensión m n 2 Matrices y Determinantes 21 Matrices Matriz sobre K = R o C de dimensión m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Tipos de matrices: Cuadrada: n n = (a ij) i=1,,m j=1,,n Nula: (0) i,j 1 0

Más detalles

Matrices. p ij = a ik b kj = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj.

Matrices. p ij = a ik b kj = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj. Matrices Introducción Una matriz de m filas y n columnas con elementos en el cuerpo K es un rectángulo de elementos de K (es decir, números) del tipo a a 2 a n a 2 a 22 a 2n A = (a ij ) = a m a m2 a mn

Más detalles

Matrices, Determinantes y Sistemas de ecuaciones lineales

Matrices, Determinantes y Sistemas de ecuaciones lineales Tema 1 Matrices, Determinantes y Sistemas de ecuaciones lineales 1.1. Matrices Definición: Una MATRIZ es un conjunto de números reales dispuestos en forma de rectángulo, que usualmente se delimitan por

Más detalles

Tema 5: Sistemas de Ecuaciones Lineales

Tema 5: Sistemas de Ecuaciones Lineales Tema 5: Sistemas de Ecuaciones Lineales Eva Ascarza-Mondragón Helio Catalán-Mogorrón Manuel Vega-Gordillo Índice 1 Definición 3 2 Solución de un sistema de ecuaciones lineales 4 21 Tipos de sistemas ecuaciones

Más detalles

CAPÍTULO 3: DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

CAPÍTULO 3: DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES CAPÍTULO 3: DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES Parte A: determinantes. A.1- Definición. Por simplificar, consideraremos que a cada matriz cuadrada se le asocia un número llamado determinante que se

Más detalles

Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales David Ariza-Ruiz 10 de octubre de 2012 1 Matrices Una matriz es una tabla numérica rectangular de m filas y n columnas dispuesta de la siguiente

Más detalles

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales Tema 1 Sistemas de ecuaciones lineales 11 Definiciones Sea K un cuerpo Una ECUACIÓN LINEAL CON COEFICIENTES EN K es una expresión del tipo a 1 x 1 + + a n x n = b, en la que n es un número natural y a

Más detalles

ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA

ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA 1.- Discutir el siguiente sistema, según los valores de λ: Resolverlo cuando tenga infinitas soluciones. Universidad de Andalucía SOLUCIÓN: Hay cuatro ecuaciones y tres incógnitas,

Más detalles

Un sistema formado por dos ecuaciones y dos incógnitas, se puede escribir como sigue:

Un sistema formado por dos ecuaciones y dos incógnitas, se puede escribir como sigue: MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE SISTEMAS LINEALES Juan Jesús Pascual SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES A. Introducción teórica B. Ejercicios resueltos A. INTRODUCCIÓN TEÓRICA Sistemas de ecuaciones lineales

Más detalles

Matrices y Sistemas Lineales

Matrices y Sistemas Lineales Matrices y Sistemas Lineales Álvarez S, Caballero MV y Sánchez M a M salvarez@umes, mvictori@umes, marvega@umes 1 ÍNDICE Matemáticas Cero Índice 1 Definiciones 3 11 Matrices 3 12 Sistemas lineales 5 2

Más detalles

1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS

1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS 1.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado 1, con una o varias incógnitas. Dos ecuaciones son equivalentes

Más detalles

MENORES, COFACTORES Y DETERMINANTES

MENORES, COFACTORES Y DETERMINANTES MENORES, COFACTORES Y DETERMINANTES 1. Introducción. 2. Determinante de una matriz de 3 x 3. 3. Menores y cofactores. 4. Determinante de una matriz de n x n. 5. Matriz triangular. 6. Determinante de una

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE SISTEMAS LINEALES

EJERCICIOS RESUELTOS DE SISTEMAS LINEALES EJERCICIOS RESUELTOS DE SISTEMAS LINEALES 1. Dado el sistema de ecuaciones lineales: 2x + 3y 3 4x +5y 6 a) Escribir la expresión matricial del sistema. b) Discutir el sistema. c) Resolver el sistema por

Más detalles

Matrices y Sistemas Lineales

Matrices y Sistemas Lineales Matrices y Sistemas Lineales Álvarez S, Caballero MV y Sánchez M a M salvarez@umes, mvictori@umes, marvega@umes Índice 1 Definiciones 3 11 Matrices 3 12 Sistemas lineales 6 2 Herramientas 8 21 Operaciones

Más detalles

Conjuntos y matrices. Sistemas de ecuaciones lineales

Conjuntos y matrices. Sistemas de ecuaciones lineales 1 Conjuntos y matrices Sistemas de ecuaciones lineales 11 Matrices Nuestro objetivo consiste en estudiar sistemas de ecuaciones del tipo: a 11 x 1 ++ a 1m x m = b 1 a n1 x 1 ++ a nm x m = b n Una solución

Más detalles

Matrices. Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones ordenados en filas y columnas.

Matrices. Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones ordenados en filas y columnas. Matrices Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones ordenados en filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento

Más detalles

Tema 1: Matrices y Determinantes

Tema 1: Matrices y Determinantes Tema 1: Matrices y Determinantes September 14, 2009 1 Matrices Definición 11 Una matriz es un arreglo rectangular de números reales a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A = a n1 a n2 a nm Se dice que una matriz

Más detalles

Ing. Ramón Morales Higuera

Ing. Ramón Morales Higuera MATRICES. Una matriz es un conjunto ordenado de números. Un determinante es un número. CONCEPTO DE MATRIZ. Se llama matriz a un conjunto ordenado de números, dispuestos en filas y Las líneas horizontales

Más detalles

Una matriz es una tabla ordenada (por filas y columnas) de escalares a i j de la forma: ... ... a... ...

Una matriz es una tabla ordenada (por filas y columnas) de escalares a i j de la forma: ... ... a... ... MATRICES Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Tienen también muchas aplicaciones

Más detalles

1 ÁLGEBRA DE MATRICES

1 ÁLGEBRA DE MATRICES 1 ÁLGEBRA DE MATRICES 1.1 DEFINICIONES Las matrices son tablas numéricas rectangulares. Se dice que una matriz es de dimensión m n si tiene m filas y n columnas. Cada elemento de una matriz se designa

Más detalles

Matrices y Determinantes.

Matrices y Determinantes. Matrices y Determinantes. Definición [Matriz] Sea E un conjunto cualquiera, m, n N. Matrices. Generalidades Matriz de orden m n sobre E: a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n...... a m1 a m2... a mn a ij

Más detalles

Sistema de ecuaciones algebraicas

Sistema de ecuaciones algebraicas Sistema de ecuaciones algebraicas Curso: Métodos Numéricos en Ingeniería Profesor: Dr. José A. Otero Hernández Correo: j.a.otero@itesm.mx web: http://metodosnumericoscem.weebly.com Universidad: ITESM CEM

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Capítulo 4 Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices El problema central del Álgebra Lineal es la resolución de ecuaciones lineales simultáneas Una ecuación lineal con n-incógnitas x 1, x 2,, x n es una

Más detalles

Fundamentos matemáticos. Tema 2 Matrices y ecuaciones lineales

Fundamentos matemáticos. Tema 2 Matrices y ecuaciones lineales Grado en Ingeniería agrícola y del medio rural Tema 2 José Barrios García Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna jbarrios@ull.es 2017 Licencia Creative Commons 4.0 Internacional J.

Más detalles

Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. TEMA 1.- MATRICES 1.-Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la

Más detalles

Matrices, Determinantes y Sistemas Lineales.

Matrices, Determinantes y Sistemas Lineales. 12 de octubre de 2014 Matrices Una matriz A m n es una colección de números ordenados en filas y columnas a 11 a 12 a 1n f 1 a 21 a 22 a 2n f 2....... a m1 a m2 a mn f m c 1 c 2 c n Decimos que la dimensión

Más detalles

MATEMÁTICAS II: MATRICES Y DETERMINANTES

MATEMÁTICAS II: MATRICES Y DETERMINANTES MATRICES Llamaremos matriz de números reales de orden (o dimensión) m n a un conjunto ordenado de m n números reales, dispuestos en m filas y n columnas: A a 11 a 12 a 13 a 1j a 1n a 21 a 22 a 23 a 2j

Más detalles

Una matriz es una arreglo rectangular ordenado de elementos, comúnmente llamados escalares, dispuestos en m renglones y n columnas.

Una matriz es una arreglo rectangular ordenado de elementos, comúnmente llamados escalares, dispuestos en m renglones y n columnas. MATRICES Las matrices tienen una importancia fundamental en el análisis económico sobre todo en el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, como en el modelo insumo-producto. Cuando trabajamos con modelos

Más detalles

Matrices. Primeras definiciones

Matrices. Primeras definiciones Primeras definiciones Una matriz es un conjunto de elementos números ordenado en filas y columnas. En general una matriz se nombra con una letra mayúscula y a sus elementos con letras minúsculas indicando

Más detalles

Isabel Eguia Ribero Aitziber Unzueta Inchaurbe Elisabete Alberdi Celaya

Isabel Eguia Ribero Aitziber Unzueta Inchaurbe Elisabete Alberdi Celaya FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA LINEAL. EJERCICIOS Y CUESTIONES. SOLUCIONES CON MATHEMATICA Isabel Eguia Ribero Aitziber Unzueta Inchaurbe Elisabete Alberdi Celaya ISBN: 978-84-606-6054-5 Depósito legal: BI-355-2015

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones y Matrices

Sistemas de Ecuaciones y Matrices Sistemas de Ecuaciones y Matrices 0.1 Sistemas de ecuaciones Consideremos las gráficas de dos funciones f y g como en la figura siguiente: P Q y = fx y = gx En la práctica, en ocasiones hay que encontrar

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una ecuación es un enunciado o proposición que plantea la igualdad de dos expresiones, donde al menos una de ellas contiene cantidades desconocidas llamadas variables

Más detalles

Definición Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas.

Definición Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas. Tema 1 Matrices 1.1. Conceptos básicos y ejemplos Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas. NOTA:

Más detalles

TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS.

TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS. TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. 1. MATRICES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS. DEFINICIÓN: Las matrices son tablas numéricas rectangulares

Más detalles

Mat r i z in v e r s a

Mat r i z in v e r s a Unidad 2 Método de GaUss Mat r i z in v e r s a M U lt i pli cat i va Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno: Representará un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas mediante una matriz

Más detalles

Matrices y Sistemas Lineales

Matrices y Sistemas Lineales Matrices y Sistemas Lineales Natalia Boal María Luisa Sein-Echaluce Universidad de Zaragoza Matrices sobre IR ó C. Definición Dado un conjunto K (IR ó C) y dos conjuntos finitos de índices I = {,, m} J

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Método de reducción o de Gauss. 1º DE BACHILLERATO DPTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS AUTORA: Teresa González.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Método de reducción o de Gauss. 1º DE BACHILLERATO DPTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS AUTORA: Teresa González. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Método de reducción o de Gauss 1º DE BACHILLERATO DPTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS AUTORA: Teresa González. SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS.

Más detalles

MATRICES OPERACIONES BÁSICAS CON MATRICES

MATRICES OPERACIONES BÁSICAS CON MATRICES MATRICES OPERACIONES BÁSICAS CON MATRICES ANTECEDENTES En el año 1850, fueron introducidas por J.J. Sylvester El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A.

Más detalles

Lección 5.1: Matrices y determinantes. Primeros conceptos. Objetivos de esta lección

Lección 5.1: Matrices y determinantes. Primeros conceptos. Objetivos de esta lección Matemáticas Tema 5: Conceptos básicos sobre matrices y vectores Objetivos Lección 5.: y determinantes Philippe Bechouche Departamento de Matemática Aplicada Universidad de Granada 3 4 phbe@ugr.es 5 Qué

Más detalles

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales Introducción Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley

Más detalles

Una ecuación lineal de n-incógnitas es una igualdad de la forma:

Una ecuación lineal de n-incógnitas es una igualdad de la forma: página 1/39 Teoría Tema 6 Ecuación lineal Una ecuación lineal de n-incógnitas es una igualdad de la forma: a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 +...+a n x n =c Donde a 1,a 2, a 3,..., a n,c son números reales. En

Más detalles

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS. Tema 6 MATRICES Y DETERMINANTES

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS. Tema 6 MATRICES Y DETERMINANTES FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS Tema 6 MATRICES Y DETERMINANTES 6.1 Definición de matriz de números. Una matriz orden (m n) es un conjunto de m n números ordenados en una tabla: en donde podemos apreciar horizontalmente

Más detalles

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas de ecuaciones lineales 1 Definiciones Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto de expresiones de la forma: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = a 21 x 1 + a 22 x 2 + +

Más detalles

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Departamento de Economía Tema 1: Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Empezaremos por recordar conceptos ya conocidos de álgebra lineal como las matrices, determinantes,

Más detalles

Ejercicio 1: Realiza las siguientes divisiones por el método tradicional y por Ruffini: a)

Ejercicio 1: Realiza las siguientes divisiones por el método tradicional y por Ruffini: a) Tema 2: Ecuaciones, Sistemas e Inecuaciones. 2.1 División de polinomios. Regla de Ruffini. Polinomio: Expresión algebraica formada por la suma y/o resta de varios monomios. Terminología: o Grado del polinomio:

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Sistemas de Ecuaciones Lineales Sistemas de Ecuaciones Lineales El sistema de ecuaciones lineales como modelo matemático de problemas Los sistemas de ecuaciones lineales permiten el planteamiento de problemas y soluciones que toman en

Más detalles

Una matriz es un arreglo rectangular de números. Los números en el arreglo se llaman elementos de la matriz. ) ( + ( ) ( )

Una matriz es un arreglo rectangular de números. Los números en el arreglo se llaman elementos de la matriz. ) ( + ( ) ( ) MATRICES Una matriz es un arreglo rectangular de números. Los números en el arreglo se llaman elementos de la matriz. Ejemplo 1. Algunos ejemplos de matrices ( + ( ) ( + ( ) El tamaño o el orden de una

Más detalles

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES CONCEPTO MATRICES Se llama matriz de orden (dimensión) m n a un conjunto de m n elementos dispuestos en m filas y n columnas Se representa por A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn j=1,2,,n

Más detalles

Matrices y determinantes. Sistemas de ecuaciones lineales

Matrices y determinantes. Sistemas de ecuaciones lineales Tema 0 Matrices y determinantes Sistemas de ecuaciones lineales 01 Introducción Definición 011 Se llama matriz a un conjunto ordenado de números, dispuestos en filas y columnas, formando un rectángulo

Más detalles

Matrices y determinantes

Matrices y determinantes Matrices y determinantes 1 Ejemplo Cuál es el tamaño de las siguientes matrices? Cuál es el elemento a 21, b 23, c 42? 2 Tipos de matrices Matriz renglón o vector renglón Matriz columna o vector columna

Más detalles

MATEMÁTICAS 2º BACH TECNOL. MATRICES. Profesor: Fernando Ureña Portero MATRICES

MATEMÁTICAS 2º BACH TECNOL. MATRICES. Profesor: Fernando Ureña Portero MATRICES CONCEPTO DE MATRIZ Definición: Se denomina matriz A o (a ij ) a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas : Columnas Filas Elemento a ij : Cada uno

Más detalles

Tema 1: Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes

Tema 1: Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes Tema 1: Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes José M. Salazar Octubre de 2016 Tema 1: Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes Lección 1. Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes

Más detalles

Matrices y determinantes

Matrices y determinantes Matrices y determinantes Matrices y determinantes Matrices Una matriz es un grupo de números organizados en filas y columnas, limitados por un paréntesis: 1 2 3 n columnas a11 a12 a13 a1 n a21 a22 a23

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 1 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad

Más detalles

Matrices. Una matriz es una forma de representar un conjunto de números que guardan una relación entre sí, dando un orden mediante filas y columnas.

Matrices. Una matriz es una forma de representar un conjunto de números que guardan una relación entre sí, dando un orden mediante filas y columnas. Matrices. Una matriz es una forma de representar un conjunto de números que guardan una relación entre sí, dando un orden mediante filas y columnas. Ejemplo: Consideremos la siguiente selección de gustos

Más detalles

Tema 1: Matrices. El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico.

Tema 1: Matrices. El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico. Tema 1: Matrices El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico. 1. Terminología Comenzamos con la definición de matriz

Más detalles

UNIDAD I: SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS

UNIDAD I: SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS UNIDAD I: SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Método de igualación. Método de reducción. Método de sustitución Método de eliminación Gaussiana.

Más detalles

Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Capítulo 4 Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales DEFINICIÓN DE MATRIZ DE NÚMEROS REALES Una matriz de números reales de tamaño m n es un conjunto ordenado por filas y columnas de números

Más detalles

Sistemas lineales y matrices

Sistemas lineales y matrices resumen04 1 Sistemas lineales y matrices Sistemas de ecuaciones lineales Un sistema de ecuaciones lineales es de la orma indicada a la izquierda y se suele representar por una matriz una tabla como la

Más detalles

P. A. U. LAS PALMAS 2005

P. A. U. LAS PALMAS 2005 P. A. U. LAS PALMAS 2005 OPCIÓN A: J U N I O 2005 1. Hallar el área encerrada por la gráfica de la función f(x) = x 3 4x 2 + 5x 2 y la rectas y = 0, x = 1 y x = 3. x 3 4x 2 + 5x 2 es una función polinómica

Más detalles

TEMA 7: MATRICES. OPERACIONES.

TEMA 7: MATRICES. OPERACIONES. TEMA 7: MATRICES. OPERACIONES. 1. MATRICES. TIPOS DE MATRICES. Se llama matriz de orden m x n (m filas y n columnas) a un conjunto de m n elementos, distribuidos en m filas y n columnas y encerrados entre

Más detalles

Vectores en el plano UNIDAD I: MATRICES. Dirección de un vector. Sentido de un vector

Vectores en el plano UNIDAD I: MATRICES. Dirección de un vector. Sentido de un vector UNIDAD I: MATRICES Vectores en el plano Un vector,, es un segmento con una dirección que va del punto A (origen) al punto B (etremo).un vector es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto

Más detalles

1 de 6 24/08/2009 9:54 MATRICES Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853 En

Más detalles

Ecuaciones matriciales AX = B y XA = B. Cálculo de la matriz inversa

Ecuaciones matriciales AX = B y XA = B. Cálculo de la matriz inversa Ecuaciones matriciales AX = B y XA = B Cálculo de la matriz inversa Objetivos Aprender a resolver ecuaciones matriciales de la forma AX = B y XA = B Aprender a calcular la matriz inversa con la eliminación

Más detalles

Lo rojo sería la diagonal principal.

Lo rojo sería la diagonal principal. MATRICES. Son listas o tablas de elementos y que tienen m filas y n columnas. La dimensión de la matriz es el número se filas y de columnas y se escribe así: mxn (siendo m el nº de filas y n el de columnas).

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Sistemas de Ecuaciones Lineales Sistemas de Ecuaciones Lineales José Vicente Romero Bauset ETSIT-curso 2009/200 José Vicente Romero Bauset Tema 2.- Sistemas de Ecuaciones Lineales Sistema de ecuaciones lineales Un sistema de ecuaciones

Más detalles

Dada la proporción =, calcula el producto de extremos menos el producto de medios. 4. Halla los determinantes de las siguientes matrices: Solución:

Dada la proporción =, calcula el producto de extremos menos el producto de medios. 4. Halla los determinantes de las siguientes matrices: Solución: 3 Determinantes. Determinantes de orden y 3 por Sarrus Piensa y calcula 3 6 Dada la proporción =, calcula el producto de extremos menos el producto de medios. 4 8 3 8 6 4 = 4 4 = 0 Aplica la teoría. Calcula

Más detalles

Se llama adjunto de un elemento de una matriz A, al número resultante de multiplicar por el determinante de la matriz complementaria

Se llama adjunto de un elemento de una matriz A, al número resultante de multiplicar por el determinante de la matriz complementaria T.3: MATRICES Y DETERMINANTES 3.1 Determinantes de segundo orden Se llama determinante de a: 3.2 Determinantes de tercer orden Se llama determinante de a: Ejercicio 1: Halla los determinantes de las siguientes

Más detalles

Expresiones algebraicas

Expresiones algebraicas Expresiones algebraicas Expresiones algebraicas Las expresiones algebraicas Elementos de una expresión algebraica Números de cualquier tipo Letras Signos de operación: sumas, restas, multiplicaciones y

Más detalles

Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B,..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b,...

Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B,..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b,... INTRO. MATRICES Y DETERMINANTES Prof. Gustavo Sosa Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas

Más detalles

de la forma ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a i j ).

de la forma ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a i j ). INTRODUCCIÓN. MATRICES Y DETERMINANTES Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales.

Más detalles

Matemáticas 2ºBachillerato Aplicadas a las Ciencias Sociales. Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma:

Matemáticas 2ºBachillerato Aplicadas a las Ciencias Sociales. Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma: Matemáticas 2ºBachillerato Aplicadas a las Ciencias Sociales 1era evaluación. Sistemas de Ecuaciones Lineales 1) SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones

Más detalles

MATRICES. 2º Bachillerato. Se llama matriz a una disposición rectangular de números reales, a los cuales se les denomina elementos de la matriz.

MATRICES. 2º Bachillerato. Se llama matriz a una disposición rectangular de números reales, a los cuales se les denomina elementos de la matriz. Concepto de matriz. Igualdad de matrices MATRICES 2º Bachillerato Concepto de matriz. Igualdad de matrices Concepto de matriz. Igualdad de matrices Se llama matriz a una disposición rectangular de números

Más detalles

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales 6 Sistemas de ecuaciones lineales 61 Sistemas de ecuaciones lineales Se llama ecuación lineal en n incógnitas sobre R a una expresión de la forma a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b con los a i en R para

Más detalles

Una ecuación lineal de n-incógnitas es una igualdad de la forma:

Una ecuación lineal de n-incógnitas es una igualdad de la forma: página 1/13 Teoría Tema 6 Ecuación lineal Una ecuación lineal de n-incógnitas es una igualdad de la forma: a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 +...+a n x n =c página 2/13 Sistema de ecuaciones lineales Un sistema

Más detalles

1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. CONCEPTOS GENERALES

1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. CONCEPTOS GENERALES Sistemas de ecuaciones lineales MTEMÁTICS II 1 1 SISTEMS DE ECUCIONES LINELES. CONCEPTOS GENERLES Definición: Se llama ecuación lineal con n incógnitas x 1, x 2, x 3,., x n a toda ecuación que puede escribirse

Más detalles

El Método de Gauss. Hallar el conjunto solución del siguiente sistema de ecuaciones. (1.1)

El Método de Gauss. Hallar el conjunto solución del siguiente sistema de ecuaciones. (1.1) El Método de Gauss. Hallar el conjunto solución del siguiente sistema de ecuaciones. x + 5y + z = x y + z = 8 x + y = 10 (1.1) Una manera de resolver este problema consiste en aplicar el método de reducción

Más detalles

BLOQUE 1 : ÁLGEBRA. EJERCICIO 1 Resuelve la ecuación : EJERCICIO 4 Dado el sistema de ecuaciones :

BLOQUE 1 : ÁLGEBRA. EJERCICIO 1 Resuelve la ecuación : EJERCICIO 4 Dado el sistema de ecuaciones : EJERCICIO 1 Resuelve la ecuación : BLOQUE 1 : ÁLGEBRA = 0 EJERCICIO 2 Dado el sistema de ecuaciones : a) Discutirlo según los distintos valores de k. b) Resolverlo en los casos en que sea posible. EJERCICIO

Más detalles

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas de ecuaciones lineales TIPOS DE SISTEMAS. DISCUSIÓN DE SISTEMAS. Podemos clasificar los sistemas según el número de soluciones: Incompatible. No tiene solución Compatible. Tiene solución. Compatible

Más detalles

MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 5 de Abril de 2 MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (Clase ) Departamento de Matemática Aplicada Facultad de Ingeniería Universidad Central de Venezuela Puntos a tratar. Definición

Más detalles

MATRICES. Matriz de los coeficientes. Matriz de las incógnitas. Matriz de los términos independientes. Matriz ampliada. Información general

MATRICES. Matriz de los coeficientes. Matriz de las incógnitas. Matriz de los términos independientes. Matriz ampliada. Información general MTRICES Sistema de ecuaciones lineales 2x+ 3y z= 5 5x 2y+ 2z= 10 x y+ 3z= 8 Expresión matricial 2 3 1 x 5 5 2 2 y = 10 1 1 3 z 8 2 3 1 5 2 2 1 1 3 Matriz de los coeficientes 3 filas 3 columnas matriz 3

Más detalles

Sistemas de ecuaciones

Sistemas de ecuaciones Sistemas de ecuaciones Sistemas de ecuaciones Resolución de un sistema de dos ecuaciones lineales Un sistema de dos ecuaciones lineales es un conjunto de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

Más detalles

Estos apuntes se han sacado de la página de internet de vitutor con pequeñas modificaciones.

Estos apuntes se han sacado de la página de internet de vitutor con pequeñas modificaciones. TEMA 1: MATRICES Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones ordenados en filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento

Más detalles

Teoría Tema 6 Discusión de sistemas por el método de Gauss

Teoría Tema 6 Discusión de sistemas por el método de Gauss página 1/9 Teoría Tema 6 Discusión de sistemas por el método de Gauss Índice de contenido Método de Gauss...2 Discusión de sistemas por el método de Gauss...4 Sistemas que dependen de parámetros desconocidos...6

Más detalles

Definición de matriz Una matriz A es un conjunto de números dispuestos en filas y en columnas.

Definición de matriz Una matriz A es un conjunto de números dispuestos en filas y en columnas. 1.- CONCEPTO DE MATRIZ. TIPOS DE MATRICES Definición de matriz Una matriz A es un conjunto de números dispuestos en filas y en columnas. 1 3 4 Por ejemplo, A = es una matriz de 2 filas y 3 columnas 0 5

Más detalles

Tema 1: Matrices. El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico.

Tema 1: Matrices. El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico. Tema 1: Matrices El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico. 1. Terminología Comenzamos con la definición de matriz

Más detalles

Resumen 3: Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones

Resumen 3: Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones Resumen 3: Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales 1 Matrices Una matriz con coeficientes sobre un cuerpo K (normalmente K R) consiste en una colección de números (o escalares) del cuerpo

Más detalles

Sistemas de ecuaciones lineales 4

Sistemas de ecuaciones lineales 4 4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 4.1. DEFINICIONES Y CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS. La ecuación de una recta en el plano tiene la forma ; su generalización a variables es:, y recibe el nombre de ecuación

Más detalles

Definición: Dos matrices A y B son iguales si tienen el mismo orden y coinciden los elementos que ocupan el mismo lugar.

Definición: Dos matrices A y B son iguales si tienen el mismo orden y coinciden los elementos que ocupan el mismo lugar. UNIDAD 03: MATRICES Y DETERMINANTES. 3.1 Conceptos de Matrices. 3.1.1 Definición de matriz. Definición: Se lama matriz de orden m x n a un arreglo rectangular de números dispuestos en m renglones y n columnas.

Más detalles

Tema 1 CÁLCULO MATRICIAL y ECUACIONES LINEALES

Tema 1 CÁLCULO MATRICIAL y ECUACIONES LINEALES Tema 1 CÁLCULO MATRICIAL y ECUACIONES LINEALES Prof. Rafael López Camino Universidad de Granada 1 Matrices Definición 1.1 Una matriz (real) de n filas y m columnas es una expresión de la forma a 11...

Más detalles

Vectores y Matrices. Tema 3: Repaso de Álgebra Lineal Parte I. Contenidos

Vectores y Matrices. Tema 3: Repaso de Álgebra Lineal Parte I. Contenidos Tema 3: Repaso de Álgebra Lineal Parte I Virginia Mazzone Contenidos Vectores y Matrices Bases y Ortonormailizaciòn Norma de Vectores Ecuaciones Lineales Algenraicas Ejercicios Vectores y Matrices Los

Más detalles

Teoría Tema 4 Notación matricial en la resolución de sistemas de ecuaciones por Gauss

Teoría Tema 4 Notación matricial en la resolución de sistemas de ecuaciones por Gauss página 1/6 Teoría Tema 4 Notación matricial en la resolución de sistemas de ecuaciones por Gauss Índice de contenido Matriz del sistema y matriz ampliada...2 Método de Gauss...3 Solución única, ausencia

Más detalles