MATRICES Y DETERMINANTES SISTEMAS DE ECUACIONES

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1 MTRICES Y DETERMINNTES SISTEMS DE ECUCIONES Matemáticas º de achillerato Ciencias Tecnología Profesor: Jorge Escribano Colegio Inmaculada Niña Granada

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3 TEM 9. MTRICES Y DETERMINNTES. INTRODUCCIÓN Se llama matri de orden m n a todo conjunto rectangular de elementos a ij dispuestos en m líneas horiontales (filas) n verticales (columnas) de la forma: breviadamente suele epresarse en la forma (a ij ), con i,,..., m, j,,..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matri, el primero denota la fila (i) el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a 5 será el elemento de la fila columna 5. Por ejemplo:, es de orden 5 5, es de orden La dimensión de una matri se suele indicar: 5 Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión (u orden) los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.. TIPOS DE MTRICES Vamos a describir algunos tipos de matrices que aparecen con frecuencia debido a su utilidad, de los que es conveniente recordar su nombre. Matemáticas II: Matrices Determinantes

4 Matemáticas II: Matrices Determinantes tendiendo a la forma Matri fila: Es una matri que solo tiene una fila, es decir m por tanto es de orden n. Ejemplo Matri columna: Es una matri que solo tiene una columna, es decir, n por tanto es de orden m. Ejemplo Matri cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m n. En estos casos se dice que la matri cuadrada es de orden n, no n n. Los elementos a ij con i j, o sea a ii forman la llamada diagonal principal de la matri cuadrada, los elementos a ij con i j n la diagonal secundaria. Ejemplo 5 Matri traspuesta: Dada una matri, se llama traspuesta de, se representa por t, a la matri que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de es la primera columna de t, la segunda fila de es la segunda columna de t, etc. De la definición se deduce que si es de orden m n, entonces t es de orden n m. Ejemplo 5 5 t Matri simétrica: Una matri cuadrada es simétrica si t, es decir, si a ij a ji. Ejemplo 5 5 6

5 Matemáticas II: Matrices Determinantes tendiendo a los elementos Matri nula: Es aquella que todos sus elementos son se representa por. Matri diagonal: Es una matri cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos. Ejemplo ; Matri escalar: Es una matri diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales. Ejemplo ; Matri unidad o identidad: Es una matri escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a. Ejemplo ; I I Matri Triangular: Es una matri cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos: Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, a ij i<j. Ejemplo Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, a ij j<i. Ejemplo

6 . OPERCIONES CON MTRICES Suma Diferencia de Matrices La suma (o diferencia) de dos matrices (a ij ) mn, (b ij ) mn es otra matri con término genérico (a ij b ij ) mn. Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión. sí, para el caso de dimensión : Ejemplo: 5 Propiedades de la suma de matrices. ( C) ( ) C (propiedad asociativa). (propiedad conmutativa). ( es la matri nula). La matri, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de, recibe el nombre de matri opuesta de, a que ( ). Producto de una Matri por un Número El producto de una matri (a ij ) mn por un número real k es otra matri (b ij ) mn de la misma dimensión que tal que cada elemento b ij de se obtiene multiplicando a ij por k, es decir, b ij k a ij. Ejemplo: Propiedades del producto de una matri por un escalar. k ( ) k k (propiedad distributiva ª). (k h) k h (propiedad distributiva ª). k [h ] (k h) (propiedad asociativa mita). (elemento unidad) Matemáticas II: Matrices Determinantes

7 Producto de Matrices Sean una matri de orden mn una matri de orden np: El producto de las matrices () es otra matri C de orden mp con m filas p columnas, cuo elemento c ij es el producto de la fila i de la matri por la columna j de la matri : a b c ij ij mn ij np mp donde: Ejemplos: Propiedades del producto de matrices. ( C) ( ) C. El producto de matrices en general no es conmutativo:... Si es una matri cuadrada de orden n se tiene I n I n.. El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir: ( C) C 5 Matemáticas II: Matrices Determinantes

8 6 Matemáticas II: Matrices Determinantes Ejercicios:. Siendo 5 5, calcula. Dadas las matrices:, 5, calcular. Dadas las matrices:, Calcular:,,,. Dadas las matrices:, 5, calcular, si es posible,... MTRIZ INVERS Dada una matri cuadrada n, se dice que es inversible o regular si eiste una matri cuadrada n tal que : n n n n n I. dicha matri se le llama matri inversa de la notaremos por Propiedades de la inversión de matrices. La matri inversa, si eiste, es única. I. ( ). ( ) 5. (k) (/k) 6. ( t ) ( ) t

9 Ha varios métodos para calcular la matri inversa de otra. (No todas las matrices tienen inversa. Las matrices que no tienen inversa se llaman singulares) Uno de ellos es usando directamente la definición. Ejemplo: Dada la matri buscamos una matri que cumpla I, es decir Para ello planteamos el sistema de ecuaciones: La matri que se ha calculado realmente sería la inversa por la "derecha", pero es fácil comprobar que también cumple I, con lo cual es realmente la inversa de. El problema de este método es que a veces, especialmente para matrices más grandes, los cálculos se complican. Método de GaussJordan para el Cálculo de Matrices Inversas Este método se basa en transformar la matri cuadrada correspondiente en la matri identidad (de su mismo orden, claro) hacer las mismas transformaciones con la matri identidad. La matri obtenida al final del proceso será la matri inversa. Las transformaciones elementales permitidas son: a) Intercambiar entre sí las filas de la matri b) Multiplicar o dividir una fila por un número distinto de c) Sustituir una fila por el resultado de multiplicar otra fila por un número sumársela Vemos primero un ejemplo de cómo transformar una matri en la identidad: ª( ) ª 6 ª ª Matemáticas II: Matrices Determinantes

10 hora multiplicamos la ª fila por dividimos la ª por 6 para que nos quede una diagonal de unos: ª: 6 6 ª 6 Nos basamos ahora en el elemento a para hacer ceros en la ª columna después en el a para hacer cero el a : ª( 6) ª ª ª 6 ª( ) ª Si hubiéramos hecho a la ve las mismas operaciones con la matri identidad, habríamos llegado a una matri que sería la inversa de. Vemos un ejemplo completo de cálculo de inversa: Calculamos la inversa de En primer lugar triangulariamos inferiormente: Dividimos por la segunda fila para que quede la diagonal de unos: Una ve que hemos triangulariado superiormente lo hacemos inferiormente: 8 Matemáticas II: Matrices Determinantes

11 Y por tanto la matri inversa de será: 5 5 Nota: si al intentar triangulariar se nos convierte una fila entera en ceros, significará que la matri no tiene inversa. Ejercicio: Calcular las matrices inversas de ; ; C ; D ; E 5. RNGO DE UN MTRIZ Tanto las filas como las columnas de una matri pueden ser consideradas de manera separada como vectores. Recordemos que un conjunto de vectores eran linealmente independientes si ninguno de ellos se podía poner como combinación lineal de los demás, es decir, si no se podía obtener haciendo operaciones (suma producto por un número) con ellos. sí, por ejemplo, en la matri 5 el vector correspondiente a la tercera fila se puede obtener como combinación lineal de las otras dos multiplicando el vector de la primera fila por sumándole el vector de la segunda fila. Esta matri tiene por tanto dos filas linealmente independientes. Se llama Rango de una matri al número máimo de filas o columnas de que son linealmente independientes sí, la matri anterior tiene Rango, se epresa: Rg() veces se puede obtener el rango a ojo, pero no siempre es fácil 9 Matemáticas II: Matrices Determinantes

12 Método de GaussJordan para el Cálculo del Rango de una Matri Consiste en usar las transformaciones vistas anteriormente para convertir la matri en triangular o escalonada (todos los elementos por debajo de la diagonal principal deben ser ) observar el número de filas en la matri resultante que son distintas de. Ejemplo: Calcular el rango de Vamos a triangulariar la matri: 5 7 ª ª 5 7 ª ª Por tanto el Rg() a que se obtienen dos filas linealmente independientes. Conviene tener en cuenta que el rango de una matri no varía si: Permutamos entre sí dos filas o columnas Suprimimos una fila o columna de ceros Suprimimos una fila o columna proporcional a otra Suprimimos una fila o columna que sea combinación lineal de otras paralelas a ella sí, en la matri podemos eliminar la ª fila al ser el doble de la ª también podemos eliminar la ª fila al ser la suma de la ª la ª, de donde: 6 8 Rg() Rg Rg Y al hacerla escalonada: Por lo que Rg() ª( 6) ª Matemáticas II: Matrices Determinantes

13 Ejercicio: Calcular el rango de las matrices 6 5 ; 5 ; C ; D Teorema Una matri cuadrada de orden n tiene inversa su rango es n Esto significa que, a veces, conviene calcular el rango de una matri antes de ponernos a calcular su inversa, pues nos podemos evitar esos cálculos si su rango no coincide con su orden. 6. DETERMINNTES Un determinante es un número real que se la asocia a una matri cuadrada. Le det llamaremos Dependiendo del orden de la matri, los determinantes se calculan de una u otra forma: Determinantes de orden : Determinantes de orden : Ejemplo: Matemáticas II: Matrices Determinantes

14 Matemáticas II: Matrices Determinantes Determinantes de orden : En este último caso, para acordarnos de todos los productos posibles sus correspondientes signos se suele usar la Regla de Sarrus, que consiste en un esquema gráfico para los productos positivos otro para los negativos: Ejemplo: Ejercicio: Calcula los determinantes de las matrices: ; ; 7 5 ; D C

15 Determinantes de orden superior a : ntes de ver cómo se calculan estos determinantes, son necesarias una serie de definiciones: Dada una matri cuadrada de orden n, se llama submatri complementaria del elemento a a la matri de orden n que se obtiene al suprimir en la fila i ij la columna j. Esta matri se epresa como Dada una matri cuadrada de orden n, se llama menor complementario del elemento a ij al determinante de su submatri complementaria, es decir, ij ij sí, si 6 8, el menor complementario del elemento a será: Dada una matri cuadrada de orden n, se llama adjunto del elemento número ij definido por la siguiente epresión: ij i j ij aij al sí, en el ejemplo anterior, el adjunto del elemento a será: 5 ( 8) 8 la matri que se obtiene al sustituir cada elemento de una matri por su adjunto correspondiente se le llama matri djunta de : dj() Calcula como ejercicio la matri adjunta de la matri anterior. hora a estamos en condiciones de abordar el cálculo de determinantes de orden n: Si es una matri cuadrada de orden n, su determinante es igual a la suma de los productos de cada uno de los elementos de una línea (fila o columna) por sus respectivos adjuntos: Matemáticas II: Matrices Determinantes

16 sí, si el desarrollo por los elementos de la fila i es: a a a a i i i i i i... in in Ejemplo: Vamos a calcular el siguiente determinante de orden, utiliando el desarrollo por los elementos de su primera fila: Como: ; ( ) ; 9 El determinante será: 7 5 Ha que tener en cuenta que a la hora de desarrollar por los adjuntos de una línea, conviene elegir aquella que más ceros tenga (menos adjuntos que hacer). En este caso hubiera sido más sencillo desarrollar el determinante por los elementos de la tercera columna (hacerlo). Matemáticas II: Matrices Determinantes

17 Ejercicio: calcular 7. PROPIEDDES DE LOS DETERMINNTES. El determinante de una matri cuadrada es igual que el de su traspuesta: t. El determinante de producto de dos matrices es igual al producto de sus determinantes:. El determinante de una matri triangular es igual al producto de los elementos de su diagonal principal. Si una matri cuadrada tiene una línea (fila o columna) de ceros, su determinante es 5. Si una matri cuadrada tiene dos líneas paralelas iguales o proporcionales, su determinante es 6. Si se permutan dos líneas paralelas de una matri cuadrada, su determinante cambia de signo 7. Si se multiplica una fila o columna de una matri cuadrada por un número, su determinante queda multiplicado por dicho número 8. Si una matri cuadrada tiene una línea que es combinación lineal de otras paralelas, su determinante es 9. Si todos los elementos de una fila o de una columna de una matri cuadrada se descomponen en suma de dos sumandos, su determinante se descompone en suma de dos determinantes de la siguiente forma: a b a a a a a b a a a c a a a a a c a a a d a a a a a d a a. Si a una línea de una matri cuadrada se le suma una combinación lineal de las otras paralelas, su determinante no varía 5 Matemáticas II: Matrices Determinantes

18 Ejercicios:. Justifica, sin desarrollar, las siguientes igualdades: 7 7 a) b) 9 8 c) Sabiendo que 5, calcular: 5 9 a) 5 b) c) 5 8. CÁLCULO DEL RNGO DE UN MTRIZ POR DETERMINNTES Hemos visto antes que el Rango de una matri es el número máimo de filas o columnas de que son linealmente independientes vimos cómo calcularlo usando el método de Gauss. De las propiedades anteriores de los determinantes, se deduce un método más sencillo para calcular el Rango de una matri: El Rango de una matri es el orden del maor menor no nulo Recordemos que un menor era el determinante de cualquier submatri cuadrada dentro de. Vemos un ejemplo: Vamos a calcular el Rango de 5 Como la matri es de orden, el rango como mucho puede ser (no ha dentro de ella submatrices cuadradas de orden ). Calculamos todos los menores posibles de orden. Si alguno de ellos no da, el rango de la matri será : ; 5 ; 5 ; 5 6 Matemáticas II: Matrices Determinantes

19 Como todos los menores posibles de orden dan, el rango de la matri puede ser como mucho. Para ver si es así buscamos un menor de orden que no de : Por lo tanto Rg() Ejercicio: calcular el rango de las siguientes matrices: ; ; C ; D CÁLCULO DE L MTRIZ INVERS POR DETERMINNTES Si es una matri cuadrada tal que, entonces su matri inversa se puede calcular mediante la fórmula: t dj() dj() t Nota: Es mu importante comprobar antes si el determinante de la matri es o no, pues si lo es directamente la matri no tiene inversa. Ejemplo: Calcular la matri inversa de Calculamos primero su determinante: Calculamos los adjuntos de cada elemento: 7 Matemáticas II: Matrices Determinantes

20 ,, 7,,,, 6 Luego la matri adjunta será: 7 dj() 6 Y su traspuesta: dj t () 7 6 Y por tanto la matri inversa: t dj() (Es fácil comprobar que I Ejercicios:. calcular, si es posible, las matrices inversas de las siguientes matrices:,, C 5. a Dada la matri a a) Calcular los valores de a para los que eiste la inversa de b) Halla su inversa para a 8 Matemáticas II: Matrices Determinantes

21 9 Matemáticas II: Matrices Determinantes. ECUCIONES MTRICILES Son ecuaciones en las que la incógnita es una matri. Se resuelven como las ecuaciones normales, con la salvedad de que no se pueden dividir matrices. C X C X C X Esto último con matrices no se puede hacer. En lugar de dividir por una matri, que no se puede, lo que haremos es multiplicar la ecuación por la inversa de esa matri: X X I I Como X X ) ( Es importante que ha que multiplicar por por el lado en el que esté (en el caso anterior por la iquierda) para que quede la identidad, a que el producto de matrices no es conmutativo. Por ejemplo: C X C I X C X C X C X Ejercicio: Resolver la ecuación: X C, siendo: C

22 Matemáticas II: Matrices Determinantes EJERCICIOS. Dadas las matrices. Calcula,,,,,. Efectúa todos los productos posibles con las siguientes matrices: C. Dadas las matrices, 7, C Calcula: a) (.) (.C) b) ().C c)..c. Calcula las inversas, si eisten, de las siguientes matrices por el método de Gauss: 5. Halla los valores a b en la matri a b a de forma que se cumpla:, siendo 6. Dada la matri, halla el valor que deben tener e para que se cumpla la igualdad: I

23 7. Dada la matri, calcular el valor de para que se verifique la ecuación: 6 9I 8. Raonar si eiste algún valor de tal que siendo 9. Calcula el rango de las siguientes matrices mediante el método de Gauss primero después por menores: ; 6 ; 6 8 C 6 6 D ; E. Estudiar, según los valores de a, el rango de la matri. Dada la matri 5, calcular a a a 5 6 8,,,,,...,. Halla todas las matrices X de la forma X X a b c tales que. Estudia el rango de las siguientes matrices según el valor del parámetro k: ; k k C 6 k ; D 8 k Matemáticas II: Matrices Determinantes

24 a b c. Si p q r 5, calcular raonadamente u v w a c b u w v p r q 5. Si 5, calcular raonadamente 6. Calcular, si es posible, la inversa de la matri Dada la matri a) Calcular los valores de para los que no eiste la inversa de b) Calcular su inversa para 6 8. Qué valores de a hacen que la matri inversa? a a a a a a 7 no tenga 9. Resuelve la ecuación:. sen cos Dada la matri cos sen sen cos sen cos a) Para qué valores de eiste la matri inversa de? b) Calcular dicha matri inversa. Calcula el rango de a 5 a según los valores de a Matemáticas II: Matrices Determinantes

25 . Comprueba que si es una matri cuadrada de orden dos que verifica la relación I, entonces tiene inversa. Cuál es la inversa de?. Dada las matrices: a) Calcular, b) Calcular la inversa de, c) Comprobar que. Resuelve la ecuación X donde: 5. Resuelve la ecuación matricial X C, siendo:,, C 5 6. Sea la matri a) Comprueba que se verifica: I b) Usando la igualdad anterior, calcula raonadamente 7. Resolver la ecuación matricial XC, siendo: a) 7 5 C b) C 8. Si 5, calcular raonadamente: a) ) b Matemáticas II: Matrices Determinantes

26 9. Calcular el determinante:. Se consideran las matrices m, m a) Calcula los valores de m para los que la matri es inversible b) Para m, calcula la inversa de Dadas las matrices a) Estudia si eiste la inversa de, en caso afirmativo, calcúlala b) Estudia si eiste la inversa de, en caso afirmativo, calcúlala c) Siendo I la matri identidad de orden, calcula una matri X que verifique I X. Dadas las matrices,, C a) Calcular la inversa de la matri C b) Resolver la ecuación matricial: X C X. Se consideran las matrices P, Q a) La matri P b) La matri X cuadrada de orden tal que P X P Q c) La matri P Q P Matemáticas II: Matrices Determinantes

27 TEM. SISTEMS DE ECUCIONES LINELES. INTRODUCCIÓN Una ecuación lineal es una epresión del tipo: a a a... a b n n Por ejemplo: Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales: Donde las i son las incógnitas, las a ij los coeficientes de las incógnitas las b j los términos independientes. El sistema anterior tiene m ecuaciones n incógnitas. Por ejemplo: 5 Todo sistema tiene asociada una matri: Que no es sino una forma más sencilla de escribir el sistema. En el ejemplo anterior, la matri asociada al sistema sería: Una solución de un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de valores que cumplen a la ve todas las ecuaciones del sistema. Matemáticas II: Sistemas de Ecuaciones

28 sí, una solución del sistema cualquiera de los métodos conocidos) es (,) (, ) (Es fácil resolver por Dos sistemas se dice que son equivalentes si tienen las mismas soluciones. 5 sí, los sistemas tienen como solución (,) 6 7 son equivalentes puesto que ambos. CLSIFICCIÓN DE UN S.E.L. Según su número de soluciones, los sistemas de ecuaciones lineales se clasifican en: Los ejemplos anteriores son sistemas Compatibles Determinados pues tienen una única solución. El sistema es un sistema Compatible Indeterminado pues tiene infinitas soluciones (ha infinitas parejas de números que sumen ) como se puede comprobar al resolverlo. El sistema es un sistema Incompatible a que no tiene solución (es imposible que dos números sumen a la ve sumen ) Discutir un sistema es averiguar si tiene o no tiene solución, caso de tenerla, saber si es única o si no lo es. Es decir, es establecer si es compatible o incompatible, en caso de ser compatible, si es determinado o indeterminado. Matemáticas II: Sistemas de Ecuaciones

29 . SISTEMS ESCLONDOS Un sistema escalonado o triangular es un sistema de ecuaciones lineales del tipo: Es decir, son sistemas cua matri asociada es una matri triangular. 7 Por ejemplo: 6 La ventaja de estos sistemas es que son mu fáciles de resolver. En el ejemplo anterior, despejando de la última ecuación sale, de la segunda sale de la tercera ecuación sale.. MÉTODO DE GUSS DE RESOLUCIÓN DE S.E.L. (REDUCCIÓN) El método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales (también llamado método de reducción) consiste en transformar un sistema en otro escalonado que sea equivalente a él (es decir, tenga las mismas soluciones). Nota: al usar este método usaremos la matri asociada al sistema para facilitar las operaciones. Las transformaciones que se pueden para que el sistema resultante sea equivalente al inicial son las mismas que vimos el emplear el método de Gauss para calcular la matri inversa de otra. saber: Transformaciones Válidas: a) Intercambiar entre sí las filas de la matri b) Multiplicar o dividir una fila por un número distinto de c) Sustituir una fila por el resultado de multiplicar otra fila por un número sumársela Durante el proceso, o al finaliarlo, podemos encontrarnos con los siguientes casos: Una fila de ceros: es una ecuación trivial podemos prescindir de ella Dos filas iguales o proporcionales: corresponden a ecuaciones equivalentes podemos eliminar inmediatamente una de ellas Matemáticas II: Sistemas de Ecuaciones

30 Una fila de ceros, salvo el último número: evidentemente, se trata de una ecuación imposible, con lo que el sistema será incompatible. Ejemplo : Resolver el sistema: Obtenemos su matri asociada: Hemos señalado la diagonal de la matri para darnos cuenta de que los elementos que ha que hacer para que el sistema se transforme en uno escalonado son justamente los que ha por debajo de ella (el, el el 5). Para ello usaremos las transformaciones que hemos indicado: Hemos conseguido transformarlo en un sistema escalonado equivalente que sería: 7 69, cua solución, como es fácil ver, es (,,) Este método permite además discutir el sistema a la ve que se resuelve. En este caso se trata de un Sistema Compatible Determinado (una única solución) Matemáticas II: Sistemas de Ecuaciones

31 Ejemplo : Discutir resolver el sistema 6 El elemento redondeado es el en el que nos basamos para hacer cada transformación (hacer ceros) llamado elemento pivote. Vemos que en la última matri queda una fila entera de ceros, lo que indica que esa fila se puede eliminar. Esto significa que como nos queda un sistema con más incógnitas que ecuaciones tendrá infinitas soluciones. Por tanto se trata de un Sistema Compatible Indeterminado. Para resolver este tipo de sistemas tratamos a una de las tres incógnitas como si fuese un número (le llamamos, por ejemplo, ), despejamos las restantes incógnitas: Dándole distintos valores a, podríamos obtener las infinitas soluciones del sistema. Por ejemplo, si, una solución sería (,5,), si, otra solución sería (5,,), si, otra solución sería (,,), Ejemplo : Discutir resolver el sistema 8 Intercambiando la ª fila por la ª: 5 Matemáticas II: Sistemas de Ecuaciones

32 Como vemos la última ecuación no tiene sentido ( 5), por tanto se trata de un Sistema Incompatible. Ejercicios:. Discutir resolver los sistemas: 5 a) b) c) t t d) e) t t. Dado el sistema: a a (a ) 6 a a) Discútelo resuélvelo para a b) Discútelo resuélvelo para a 5. REGL DE CRMER El método de Gauss que acabamos de ver es sencillo efica para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Pero tiene un inconveniente. Si de un sistema de incógnitas tan sólo nos interesan 7, siguiendo el método de Gauss, habríamos de seguir el proceso de triangulación como si nos interesaran todas ellas. La regla de Cramer, que ahora veremos, aprovecha con astucia las propiedades de las matrices sus determinantes para despejar, separadamente, una cualquiera de las incógnitas de un sistema de ecuaciones lineales. ntes de enunciar la regla de Cramer, hemos de darnos cuenta que un sistema del tipo: 6 Matemáticas II: Sistemas de Ecuaciones

33 se puede epresar en forma matricial, usando el producto de matrices de la forma: De modo simplificado suele escribirse m,n X n, m,, donde la matri se denomina matri de coeficientes. Es decir, se puede epresar como una ecuación matricial: X Regla de Cramer: Un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas tiene una única solución si la matri de los coeficientes es regular, es decir, si demás, cada solución j del sistema viene dada por el cociente de dos determinantes: en el denominador, el determinante de la matri de los coeficientes, en el numerador, el determinante que se obtiene al sustituir en la columna j por la columna de los términos independientes Demostración: Si es regular tendrá inversa, por tanto: X X X j b b... b j j n j n (()) dj t O sea: 7 Matemáticas II: Sistemas de Ecuaciones

34 Nota: Los sistemas que tienen el mismo número de ecuaciones que de incógnitas cua matri de coeficientes es regular, se denominan sistemas de Cramer, es a este tipo de sistemas, no a otros, a los que podemos aplicarles esta regla. Los sistemas de Cramer son siempre, por tanto, sistemas compatibles determinados. En caso de querer resolver una sistema compatible indeterminado, se pasan las incógnitas sobrantes al segundo miembro se convierte en un sistema de Cramer, como veremos más adelante. Ejemplo: Resolvamos el sistema: Como mn 7. Luego, es un sistema de Cramer por tanto es compatible determinado: 7 7 ; ; Por tanto, la solución del sistema es: 7 9,, Ejercicio: Resolver por Cramer el siguiente sistema: 9 8 Matemáticas II: Sistemas de Ecuaciones

35 6. CLSIFICCIÓN DE SISTEMS. TEOREM DE ROUCHÉFRÖENIUS La regla de Cramer es un método de resolución de sistemas (sólo un tipo especial de ellos), pero no permite clasificarlos. Vamos a estudiar un teorema que permita clasificar sistemas basándose en rangos de matrices, si bien para resolverlos utiliaremos o bien el método de Gauss o bien la regla de Cramer. Dado un sistema del tipo: Llamamos a la matri de los coeficientes ' a la matri ampliada, es decir, a Teorema de RouchéFröbenius Si Rg()( ')( Rgº) n n incógnitas El sistema es Compatible Determinado Si Rg()( ') Rg n El sistema es Compatible Indeterminado Si Rg()( ') Rg El sistema es Incompatible Veamos un ejemplo de cómo discutir un sistema usando el Teorema de Rouché: Ejemplo : Discutir resolver el sistema: La matri de coeficientes es 9 Matemáticas II: Sistemas de Ecuaciones

36 Como () Rg La matri ampliada será entonces Rg( ') ', como está contenida en, Por tanto Rg()( ') Rg º n incógnitas... S C D Para resolverlo utiliamos la regla de Cramer: ; ; Y por tanto la solución del sistema es (,,) Ejemplo : Discutir resolver el sistema: t t Calculamos el rango de la matri de coeficientes Como () Rg Como el rango de no puede ser está incluida en Rg( ') Por tanto Rg()( ') Rg º n incógnitas... S C I Podemos resolverlo por Cramer o por Gauss. Elegimos una incógnita (por ejemplo t) la tratamos como si fuera un número: t, el sistema quedaría: Resolvemos este sistema por Cramer es fácil ver que: Matemáticas II: Sistemas de Ecuaciones

37 ; ; Luego las infinitas soluciones del sistema serán de la forma:,,, Ejercicio:. Discutir resolver los sistemas: 6 t a) ) b ) c 5 5 t 7. CSO PRTICULR: SISTEMS HOMOGÉNEOS Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es homogéneo si todos sus términos independientes son nulos, es decir, un sistema del tipo: Por ejemplo: Estos sistemas siempre son compatibles, pues al menos tienen la solución (,,), llamada solución trivial. La cuestión es si sólo tiene esa solución o tiene infinitas soluciones además de ésa. Se resuelven de la misma manera que todos los sistemas, si bien su clasificación es un poco distinta: Incompatibles ( sólo la solución trivial) Sistemas Lineales Homogéneos Compatibles ( soluciones) Matemáticas II: Sistemas de Ecuaciones

38 Ejemplo: Discutir resolver el sistema: Lo hacemos por ejemplo por Gauss: 5 En este caso nos quedan dos ecuaciones tres incógnitas por tanto el sistema tendrá infinitas soluciones, por tanto se trata de un Sistema Homogéneo Compatible: Las infinitas soluciones del sistema son de la forma:,, Como podemos ver, si se obtiene la solución trivial (,,) 8. DISCUSIÓN DE SISTEMS CON PRÁMETROS Hasta ahora hemos discutido sistemas de los que conocíamos todos los valores de los coeficientes de los términos independientes. Sin embargo, es frecuente encontrar sistemas en los que uno o más coeficientes o términos independientes toman valores desconocidos o parámetros. La discusión de estos sistemas consiste en hallar los valores de dichos parámetros para los que el sistema es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible. Si bien esta clasificación puede hacerse por el método de Gauss, que discute resuelve el sistema a la ve, suele ser más sencillo hacer la discusión por el teorema de Rouché, para luego resolverlo en casos particulares por Cramer o Gauss. Veamos con un ejemplo cuál es el procedimiento a seguir: Matemáticas II: Sistemas de Ecuaciones

39 Ejemplo: Discute resuelve el siguiente sistema según los valores de a: a a a a En primer lugar obtenemos la matri de los coeficientes: a Su rango, que en este caso puede ser como máimo, depende de si su determinante es o no. Calculamos por tanto su determinante al igualarlo a obtendremos los valores de a que nos servirán para su clasificación: a a a a a a Si lo igualamos a : a a a, Tenemos por tanto tres posibilidades para a: o es, o es, o es distinto de de. naliamos cada caso usando el Teorema de Rouché: Si a a En este caso Rg(), como la matri ampliada tiene como mucho rango e inclue a, su rango también será. Por tanto: Rg()( ') Rg º n incógnitas... S C D Para resolverlo podemos usar por ejemplo la regla de Cramer: a a a a a a a ( )( ) a ()() a a a Y de la misma manera: a a ; a Si a La matri de coeficientes es, que no tiene rango. Como () Rg Matemáticas II: Sistemas de Ecuaciones

40 Veamos ahora el de la ampliada: ' uscamos un menor de orden distinto de : ( ') Rg Luego Rg()( ') Rg Sistema Incompatible Si a La matri de coeficientes es, que no tiene rango. Como () Rg Veamos ahora el de la ampliada: ' Como la ª ª filas son iguales, no ha ningún menor de orden distinto de, por tanto Rg( ') Luego en este caso: Rg()( ') Rg º n incógnitas... S C I Para resolverlo en este caso usamos por ejemplo el método de Gauss: ª ª 5 ª ª 5 ª ª 5 Y por tanto el sistema resultante es: 5 Resolvemos llamando : Luego las infinitas soluciones serían de la forma: 5,, Matemáticas II: Sistemas de Ecuaciones

41 Ejercicio: Discutir clasificar los siguientes sistemas según los parámetros: a a) a ) b m ) c ( ) m m m 5 k m d) a ) e m m a 9. RESOLUCIÓN MTRICIL DE UN S.E.L. Ya hemos visto que un sistema de ecuaciones lineales del tipo: se puede epresar en forma matricial, usando el producto de matrices de la forma: Es decir, se puede epresar como una ecuación matricial:.x, por tanto se puede resolver como: X Ejemplo: Resolver matricialmente el sistema Matricialmente se puede epresar como: 5 Matemáticas II: Sistemas de Ecuaciones

42 6 Matemáticas II: Sistemas de Ecuaciones Es decir,.x, donde, X Como X, calculamos la inversa de : 7 (comprobarlo9 Y por tanto: 7 7 X Es decir, es un sistema Compatible Determinado cua solución es: 7,, Nota: si la matri no tiene inversa, el sistema no se puede resolver de forma matricial. Ejercicio: resuelve matricialmente los sistemas: a) b)

43 7 Matemáticas II: Sistemas de Ecuaciones EJERCICIOS. Estudia resuelve, cuando sea posible, los siguientes sistemas: a) b) c) 6 d) e) 5 5 f) t t _ g) h) 6 i) j) 5 k) l) m)

44 . Considera el sistema: ñade una ecuación de manera que el sistema resulte: a) Incompatible b) Compatible Indeterminado c) Compatible Determinado. Discute, según los valores de los parámetros, los siguientes sistemas: a) a a b) a a a a c) a a a d) t t e) 5 a f) a a a g) k k h) ( ) 5. Calcula a para que los siguientes sistemas sean compatibles a a a a) a b) _ a a a (a ) c) a a a 8 Matemáticas II: Sistemas de Ecuaciones

45 5. En el siguiente sistema halla μ para que: a) No tenga solución b) Tenga infinitas soluciones c) Tenga solución única 6. Indica cuál de las siguientes afirmaciones es cierta para el sistema a 6 9 a) para cualquier valor del parámetro a tiene infinitas soluciones b) cualquiera que sea a no tiene solución c) tiene solución única d) ninguna de las anteriores 7. Discute el siguiente sistema según los valores del parámetro m: m m m () m m m m Resuélvelo, si es posible, para m 8. Discute resuelve, según los valores de los parámetros, los siguientes sistemas: ( k ) k m a) k ) 5 5b ) 6m c m k ( k ) k 7 a ( ) a a k k d) )( ) e a ) ( a) f k ( ) a a 9. Un cajero automático contiene en billetes de, de de m. Ha, en total, 97 billetes, el número de billetes de es el doble que el número de billetes de. a) Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar cuántos billetes ha de cada tipo m 5,5,,,5 el sistema es compatible b) Prueba que si determinado c) Raona si en el cajero puede haber billetes de. 9 Matemáticas II: Sistemas de Ecuaciones

46 . Halla qué relación deben cumplir los parámetros a, b, c d para que el siguiente sistema tenga una solución distinta de la trivial: at bt ct dt. En un sistema de n ecuaciones con n incógnitas el rango de la matri de los coeficientes es h ( h < n ). Di cuál debe ser el rango de la matri ampliada para que el sistema sea: a) Compatible Indeterminado b) Incompatible c) Compatible Determinado. Qué podemos decir sobre la compatibilidad de un sistema de cuatro ecuaciones tres incógnitas en el que el rango de la matri ampliada es cuatro? Raona tu respuesta.. Resuelve los siguientes sistemas matricialmente (en caso de que sea posible) a) b) 8 c) d). a) Discute, en función de a, el sistema: a a a ( a ) a a b) Resuélvelo para el caso a 5. Demuestra que no ha valores de m para los que el siguiente sistema no tenga solución: 5 m 7 Matemáticas II: Sistemas de Ecuaciones

47 6. Discute resuelve el siguiente sistema en función de los valores del parámetro m: m m Raona si eiste algún valor de m para el que tenga una solución con 7. Sean S S dos sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas que difieren sólo en los términos independientes: a b c a b d S : ; S ': a ' b' c ' a ' b ' d ' Si S es un sistema compatible indeterminado, puede ser S compatible determinado? Raona la respuesta 8. Una compañía tiene tres camiones (P, Q R) en los que caben eactamente un cierto número de contenedores de tres tipos (, C) de acuerdo con la siguiente tabla: C P 5 Q 5 5 R 6 Si se han de transportar 5 contenedores del tipo, del tipo 58 del tipo C, cuántos viajes ha de hacer cada camión si todos los viajes se efectúan totalmente llenos? 9. Discute el sistema: a) Por Gauss b) Por Rouché Una persona ha obtenido 6. de beneficio por invertir un total de 6. en tres empresas, C. La suma del dinero invertido en fue m veces el invertido en C, los beneficios fueron del 5% en, el % en el % en C. a) Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar la cantidad invertida en cada empresa b) Prueba que si m > el sistema es compatible determinado c) Halla la solución para m 5 Matemáticas II: Sistemas de Ecuaciones