ÁLGEBRA: Ejercicios de Exámenes

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1 MATEMÁTICAS º BACH CC. Y TECNOL. CURSO 4-5.-Se pide a) (p) Enuncia breveente: qué es el rango de una atri cuándo una atri es regular. b) (5p) Discutir según los valores del paráetro el rango de la atri ( ) c) (4p) Para qué valores de, la atri A es regular? Para =, calcula A -..-Sea el siguiente sistea de ecuaciones lineales: {. Se pide: a) (6p)Discutir según los valores del paráetro a. b) (p)resolver dicho sistea para a=. c) (p)enuncia breveente el Teorea de Rouché-Fröbenius. 3.-Se sabe que Hallar indicando, en cada caso, las propiedades que utilices: a) (3p) A 3 ; (4A ) - ; A+A t ; b)(3p) ; c)(3p) d) (p) Cuándo una atri es siétrica? Y cuándo es una atri singular? 4.-Sea el sistea de ecuaciones lineales: {. Se pide: a) (4p) Cuál será el valor de a para que la única solución sea la nula? b) (p)resolver para a=- c) (4p)Deterinar una atri siétrica X de orden sabiendo que ( ) ( ) que el 3X = Sean las atrices: ( ) ( ). Se pide: a) (4p) Para qué valores de se verifica la siguiente ecuación atricial: A = A+I? b) (6p)Para =, calcula A - la atri que satisfaga la ecuación atricial: A X- B=A B. 6.-Sea el siguiente sistea de ecuaciones lineales: {. Se pide: a) (6p)Discutir según los valores del paráetro k. b) (4p)Resolver dicho sistea para k=- k=.

2 MATEMÁTICAS º BACH CC. Y TECNOL. 7.-a) (4p) Deterinar a b para que la atri ( ) tenga inversa. Calcular A - para a=3 b=. b) (6p) Sean las atrices ( ) ( ) ( ) Deterinar las atrices cuadradas de diensión, M N para que cuplan que {. 8.-a) (7p) Discutir, según los valores del paráetro a, el siguiente sistea de ecuaciones lineales: {. b) (3p) Resolver cuando el sistea sea copatible. 9.-Sea el sistea de ecuaciones lineales: {. Se pide: a) (7p.) Discutir las soluciones del sistea según el paráetro. b) (3 p.) Resolver para =. Para dicho valor, calcular (si es posible) una solución en la que =..-Dadas las atrices: ( ) ( ) ( ). Se pide: a) (3p.) Hallar a para que la atri A tenga inversa. b) (4 p.) Para a=-, calcular A -. c) (3p.) Para a=, calcula las soluciones del sistea de ecuaciones A X=B..-a) Sean las atrices ( ) ( ). Hallar la atri X que verifique que A - X A=B-A. b) Sabiendo que. Calcula: b.) ; b.).-sea la atri ( ). Se pide: a) (5 p.) Para qué valores del paráetro eiste la atri inversa de A? b) (5 p.) Hallar A - para. 3.-a) Dado el sistea de ecuaciones lineales {. Discutir según los valores del paráetro a. Resolver para a=. b) Calcular los valores de a, b c para que la atri ( ) verifique que (A-I) =. Donde I es la atri unidad de orden es la atri nula de orden.

3 MATEMÁTICAS º BACH CC. Y TECNOL. CURSO 3-4.-Dadas las atrices ( ) ( ), donde B t es la atri traspuesta de B e I la atri unidad de orden 3. a) (6p.)Estudiar según el paráetro el rango de A B t +I. b) (4p.) Calcular la atri X que verifica: A B t X-X=B..-Dadas las atrices ( ) ( ), obtener raonadaente el valor de los deterinantes siguientes, escribiendo todos los pasos del raonaiento utiliado: a) (4p.) A+B (A+B) -. b) (3p.) (A+B) - A A - (A+B). c) (3p.) A B A - A 3 B Dado el sistea de ecuaciones: { a) (7p.) Discutir la copatibilidad del sistea según los valores del paráetro a. b) (3p.) Resolver en el caso (o en los casos) en que sea copatible indeterinado. 4.-Sea la atri ( ). a) (3p.) La atri A es la atri de coeficientes de un sistea de ecuaciones hoogéneo. Discutir dicho sistea según los valores del paráetro. b) (3p.) Resolver para =- =. c) (4p.) Deterinar A - para =. 5.- a) (5p.) Calcular la atri X que cupla la siguiente ecuación atricial: X A-B=X, sabiendo que ( ) ( ). b) (5p.) Sea el deterinante. Se pide Calcular el valor de los siguientes deterinantes, eplicitando las propiedades utiliadas.

4 MATEMÁTICAS º BACH CC. Y TECNOL. 6.-Dado el sistea de ecuaciones { a) (7p.) Discutir la copatibilidad del sistea según los valores del paráetro a. b) (3p.) Resolver en el caso (o casos) en que sea copatible indeterinado. 7.- a) (3p.) Sea M una atri cuadrada donde M =- -M =8. Calcula el orden la atri cuadrada M. b) (4p.) Sea la atri ( ). Deterinar la atri B para que se cupla: A+B=A B. c) (3p.) Sean las atrices: ( ) ( ). Se pide: B - A B 3 A t 8.- Dado el sistea de ecuaciones: {. Se pide: a) (6p.) Discutir la copatibilidad según los valores de. b) (4p.) Resolver para 9.-Se sabe que las atrices A B cuplen las siguientes condiciones: ( ) ( ). Se pide calcular: a) A-B b) A c) B..-Sean las atrices ( ) ( ) ( ). Se pide: a) (3p.) A - ; b) (5 p.) la atri X, sabiendo que A X = B t C; c) (p.) A 3 B t B.-Sean las atrices: ( ) ( ) ( ). Se pide: a) (5p.) Rango de la atri A según los valores de. b) (3p.) Discutir el sistea forado por A X=B según los valores de. c) (p.) Resolver la ecuación A X=B para =..-Sean las atrices ( ) ( ). Se pide: a) (3p.) Calcular λ para que la ecuación X A=B tenga solución (única). b) (3p.) Calcular la atri X para λ=4. c) (4p.) Calcular A B en función de λ.

5 MATEMÁTICAS º BACH CC. Y TECNOL. CURSO -3.-a) Sea la atri ( ), calcular el Rango de A según los valores del paráetro a. b) Para a=, calcular A t A -. c) Sean A B atrices cuadradas de orden n, tales que B=A -. Se sabe que A =3, raona cuánto vale B. Cuál es el rango de B?.- a) Calcula todas las atrices cuadradas de orden de la fora ( ) que satisfagan la ecuación atricial A +A+3I=, epresando c en función de a. b) Deostrar que las atrices del apartado anterior (a) son invertibles calcular su inversa. 3.- a) Sea A una atri cuadrada de orden colunas C C deterinante 5, la atri B cuadrada de orden deterinante. Si D es la atri cuadrada de orden colunas 4C C -C. Calcular el deterinante de la atri B D -. b) Sea la atri ( ). Calcular e para que se cupla B - =B t. 4.-Sean las atrices ( ) ( ) ( ). Se pide: a) Deterinar la atri, sabiendo que se cuple: A =7 A B=C. b) Sean las atrices anteriores que verifican las condiciones del apartado anterior. Decide cuál de las igualdades siguientes se cuple. Justifica la respuesta. b.) A=C B - ; b.) B=A - C; b.3) A - =B C - 5.-Dadas las atrices: A= ( ) ( ) ( ) ( ). Se pide: a) (5p) Hallar el rango de A en función del paráetro k. b) (,5p) Para k=, hallar si eiste solución en el sistea A X=B. c) (,5p) Para k=, hallar si eiste la solución del sistea A X=C. 6.-Dadas las atrices ( ) B una atri de orden no nula que verifica que B =-7B+. Se pide: a) (4p) Calcular los paráetros a b para que se cupla que A =a A+b. b) (3p) Calcular los paráetros p q para que se cupla que B - =p B+q. Justificar que eiste B -. c) (3p) Calcular los paráetros e que verifique que B 3 = B+. 7.-Sean las atrices: ( ) ( ) ( ). Se pide: a) (p) Deterinar para qué valores de a b, la atri A es regular. b) (3p) Deterinar para qué valores de a b se cuple que A=A -. c) (5p) Para a= b=, deterinar las atrices C que verifican A C=C A. 8.-Dado el sistea de ecuaciones: { }. Se pide: a) (7p) Estudiar la copatibilidad del sistea en función del paráetro a. b) (3p) Resolver para a=

6 MATEMÁTICAS º BACH CC. Y TECNOL. 9.-Sea el sistea de ecuaciones: { }. Se pide: a) (5p) Calcular el valor de k para que tenga ás de una solución. b) (p) Calcular el valor de k para no tenga solución. c) (3p) Resolver para k=..-sean las atrices ( ) B=3 3 (donde 3 es la atri identidad o unidad de orden 3). Calcular: a) (3p) A n, cuando n es par. b) (7p) Resolver la ecuación atricial: 6 A X=B-3 A X. (tener en cuenta A en función de lo calculado anteriorente).-sabiendo que. Calcular, indicando las propiedades utiliadas, el valor de: a) (5p) ; b) (5p).-Dado el sistea de ecuaciones: { }. Se pide: a) (4p) Cuánto ha de valer el paráetro a para que al añadirle la ecuación a++=9 sea un sistea de ecuaciones copatible deterinado? b) (3p) Resolver para a=. c) (3p) Cuánto ha de valer el paráetro a para que el sistea de 3 ecuaciones anterior no tenga solución? 3.-Dada la atri ( ) sea B la atri que verifica que ( ). a) (4p) Deostrar que A B tiene inversas. b) (6p) Resolver la ecuación atricial A - X-B=B A. 4.-Sean las atrices: ( ) ( ). a) Hallar una atri X tal que A X A - =B. b) Calcular A. c) Hallar todas las atrices M que satisfacen (A+M) (A-M)=A -M. 5.-Dado el sistea de ecuaciones: {. a) (7 p.) Discutirlo según los valores de k. b) (3 p.) Resolverlo cuando el sistea sea copatible. 6.-Dada la atri ( ). a) (5 p.) Deterinar el rango de M según valores del paráetro. b) (5 p.) Deterinar para qué valores de, eiste la atri inversa de M. Calcular dicha inversa para =.

7 MATEMÁTICAS º BACH CC. Y TECNOL. CURSO -.-a) (5p.) Sean A B atrices cuadradas de orden 3, cuos deterinantes son A =½ B =-. Hallar: a.) A 3 ; a.) A - ; a.3) -A ; a.4) A B t ; a.5) Rango de B b) Utiliar las propiedades los deterinantes para calcular el valor de: b.)(p. ) A = ; b.) (3p.) B =.-Dada la atri A=( ). Se pide: a) (5p.) Rango de A según los valores del paráetro a. b) (5p.) Para a=, discutir el sistea A ( ) ( ) en función de los valores del paráetro b resolverlo cuando sea posible. 3.-Dado el sistea de ecuaciones {. Se pide: a) (6p.)Discutir según los valores del paráetro. b) (4p.)Resolver el sistea de ecuaciones para. 4.-a) Dada la atri A=( ). Se pide: a.) (,5p.)Deterina los valores de para los que A +3A no tiene inversa. a.) (,5p.)Para, hallar la atri X que verifique que A X+A=I. b) (5p.)Dada la atri A=( ). Calcular a b para que A - =A t. 5. Sean las atrices ( ) ( ). Se pide: a) (4p.) Para qué valores de la atri A no tiene inversa? b) (4p.) Para =, calcular la inversa de A. c) (p.) Resolver la ecuación atricial A X=B para =. 6.-(6p.)Sea la atri ( ) cuo deterinante vale 4. Se pide, indicando las propiedades que utilias: a) -3A t ; b) ; c) A - A t ; d) Si B es una atri cuadrada B 3 =I, calcula B Dadas la atri ( )e I la atri unidad de orden. Resolver el sistea de ecuaciones atricial: {

8 MATEMÁTICAS º BACH CC. Y TECNOL. 7.-Sea el sistea de ecuaciones {. Se pide: a) (6p.)Discutir según los valores del paráetro a. b) (3p.)Resolver para a=. c) (p.) Enuncia breveente el Teorea de Rouché-Fröbenius. 8.- a) (5p.)Dadas las atrices ( ) ( ), raonar para qué valores de t el sistea hoogéneo A X=, tiene ás de una solución. b) (4p.)Dadas las atrices ( ) ( ), calcular a, b c, sabiendo que no pueden valer a la ve, para que las atrices M N tengan, siultáneaente, rango. c) (p.)enuncia breveente qué es el rango de una atri. 9.- a) (5p.)Dadas las atrices ( ) ( ), se pide: a.) Deterinar para qué valores de k la atri B t A t tiene inversa. a.) Resolver la ecuación atricial (A B) t X=I para k=. { b) (5p.)Dadas la atrices ( ) ( ). Resolver el sistea de ecuaciones atricial:.- a) (5p.) Sea la atri ( ), se pide: a.) Estudiar el rango de la atri A según los valores del paráetro. a.) Para =-, calcular A -. b) (5p.) Discutir la copatibilidad del siguiente sistea según los valores a resolver cuando el sistea sea copatible indeterinado: {.-Indicando las propiedades de los deterinantes utiliadas en cada caso, se pide: a) (6p.)Si, calcular a.) =; a.) ; a.3)

9 MATEMÁTICAS º BACH CC. Y TECNOL. b) (p.)si, calcular c) (p.) Sabiendo que,, u son valores no nulos, justificar sin efectuar su desarrollo que.-dadas las atrices ( ) ( ). a) Discutir el rango de A según los valores de. b) Para =, resuelve el sistea de ecuaciones (o la ecuación atricial) A X=B. 3.- Sean las atrices ( ) ( ) a) Calcula los valores de para los que la atri inversa de A es A. b) Para =-3, deterina la atri X que verifica la ecuación A t X=B, siendo A t la atri traspuesta de A. 4.- a) Discutir, según los valores de, el sistea: { b) Resolver para = =.

10 MATEMÁTICAS º BACH CC. Y TECNOL. CURSO -.-Sean las atrices: ( ) ( ) ( ). a) Matri inversa de otra. Por qué no tiene inversa la atri C? b) Matri inversible o regular. Es invertible la atri D? c) Hallar los valores de para que eista B -. d) Hallar B - para =. e) Calcular la atri X para que cupla que X B+C=D para =..-Sabiendo que ( ) que A =4. Indicando en cada caso las propiedades utiliadas, se pide: a) ; ;. b) Calcular A, si A ( )=I. c) Si ( ) qué relación eiste entre b, c d para que se verifique B - =I-B. d) Menor copleentario de un eleento de un deterinante 3.-El sistea A X=B tiene diferentes soluciones según sea la atri B, sabiendo que: A ( ) ( ) a) Rango de atri b) Deterinar si eisten valor/es de a para los que el sistea sea copatible. c) Si a=4 B ( ), deterinar, si eisten, el valor/es de b para los que el sistea es incopatible. d) Si a=4 B ( ), deterinar, si eisten, el valor/es de c para los que el sistea es copatible indeterinado. Resolver el sistea. 4.-a) Discutir según los valores del paráetro a resolver cuando sea posible: { b) Sean ( ) ( ). Calcular: (B.A) t - B. c) Qué es un adjunto en un deterinante? 5.-Sea la atri ( ). Se pide: a) Estudiar el rango de A según los valores de a. b) Hallar el valor de a para que A sea una atri regular. c) Hallar A - para a=. d) Enunciar breveente el Teorea de Rouché-Fröbenius 6.-a) Sea ( ), encontrar todas las atrices ( ) tal que se verifique B P=P B. b) Sea Se pide el valor de: C 4 C -,.

11 MATEMÁTICAS º BACH CC. Y TECNOL. 7.-Sea el sistea de ecuaciones: { a) Discutir según los valores de a. Tiene siepre solución? b) Resolver para a=-. c) Qué es un sistea hoogéneo? Cuándo será incopatible? 8.-a) Dadas las atrices P ( ) A ( ), hállese raonadaente la atri B, sabiendo que B P=A. b) Sea el sistea de ecuaciones {. Discutir resolver según a. 9.-Dadas las atrices ( ) ( ) ( ). c) Para qué valores de eiste B -? d) Para =, calcular B -. e) Para =, hallar la atri X tal que X B+C=D..-Deterina, según los valores de, el rango de la atri ( ). Cuándo tiene inversa A? Para =, soluciona el sistea ( ) ( )..- a) Discutir, según los valores de a, el sistea: { b) Resolver para a=..-sea la atri ( ). Se pide: a) Deterinar los valores de λ para que la atri A +3A no tenga inversa. b) Para λ= hallar una atri X que verifique que A X+A=I. 3.- Discutir según los valores de a el siguiente sistea: {

12 MATEMÁTICAS º BACH CC. Y TECNOL. CURSO 9-.-Dada la atri ( ) a) Estudia, según los valores de, el rango de A. b) Para =-, calcula la atri X que verifica XA+A=I 3..-Sea el sistea { a) Discutir las soluciones del sistea anterior en función de a. b) Resolver para el valor de a que hace al anterior sistea copatible indeterinado. 3.-Se consideran las atrices ( ) a) Halla los valores de,, para los que la atri A no tiene inversa. b) Deterina los valores de a para los que el sistea que se fora de B A=C tiene solución. c) Resuelve el sistea anterior cuando sea posible. 4.-Realia las cuestiones siguientes: a) Sea ( ). Halla A n, siendo. b) Busca una atri B tal que B A=( ), siendo ( ). c) Sean las atrices ( ) ( ). Estudia en función de los valores de k, si la atri B A tiene inversa. 5.-Sean A, B, C X atrices cualesquiera que verifican A X B=C. a) Si las atrices son cuadradas de orden 3, se sabe que A =3, B =- C =6, calcula X X. b) Si ( ), ( ) C ( ), calcula la atri X. 6.-Sea el sistea de ecuaciones { a) Deterina los valores de para los que el sistea es copatible. b) Resuelve el sistea para =-. 7.-Se consideras las atrices ( ) B=A-kI, donde k es una constante. a) Deterina los valores de k para los que B no tiene inversa. b) Calcula B - para k=-. c) Deterina las constantes para las que se cuple A +A=I.

13 MATEMÁTICAS º BACH CC. Y TECNOL. 8.-Sean las atrices ( ) ( ). a) Calcula, si eiste, la inversa de la atri A. b) Resuelve el sistea A X=3X. 9. Dadas las atrices: ( ) ( ) a) Encontrar las condiciones que debe cuplir a, b, c para que se verifique A B=B A. b) Para a=b=c=, calcular B. c) Calcular A -.. Dado el sistea { a) Clasificarlo según los valores de k. b) Resolverlo para k=-. Se considera el sistea { } a) Discutir según los valores de. b) Resolver para =.. Dada la atri ( ). Obtener A Dadas las atrices ( ) ( ). Obtener una atri cuadrada X que verifique A X B=A+B.

14 MATEMÁTICAS º BACH CC. Y TECNOL. CURSO a) Calcular raonadaente los valores del paráetro para los que el siguiente sistea de ecuaciones tiene ás de una solución: 4 b) Resuelve el sistea anterior para el caso = para el caso =..-Dadas las atrices 4 B A a) Calcula, si eisten, la atri inversa de A la de B. b) Resuelve la ecuación atricial: A X+B=A+I, donde I denota la atri identidad de orden Sabeos que el sistea de ecuaciones: 3. Tiene las isas soluciones que el que resulta al añadir la ecuación a++7=7. a) Deterina el valor de a. b) Calcula la solución del sistea inicial de dos ecuaciones, de anera que la sua de las incógnitas sea igual a la unidad. 4.-Considera la atri A a) Halla los valores del paráetro para los que el rango de A es enor que 3. b) Estudia si el sistea A tiene solución para cada uno de los valores de obtenidos en el apartado anterior. Si tienen solución hállalas. 5.-Dada la atri k k k A a) Estudia el rango de A en función de los valores del paráetro k. b) Para k=, halla la atri inversa de A. 6.-Dado el siguiente sistea de ecuaciones: ) ( k k k k a) Deterina el valor del paráetro k para que sea incopatible. b) Halla el valor del paráetro k para que la solución del sistea tenga = 7.-Dadas las atrices: ; C B A Calcula la atri P que verifica AP-B=C t.

15 MATEMÁTICAS º BACH CC. Y TECNOL. 8.-Considera el siguiente sistea de ecuaciones: a a a a a) Discútelo según los valores del paráetro a. b) Resuélvelo en el caso a=. 9.-Considérese el sistea de ecuaciones lineales en fora atricial A X=B, donde X B a a a A, 3, Siendo a un paráetro real. Se pide: a) Clasifica el sistea en función del paráetro a. b) Para a=, obtén las soluciones ediante el cálculo X=A - B..-Calcula una atri cuadrada X, sabiendo que verifica: X A +BA=A siendo: B A.-Estudiar el rango de la atri: ) ( A según los valores del paráetro..-sean las atrices: B A Hallar una atri X, tal que X A X - =B.