CAPÍTULO. La derivada

Transcripción

1 CAÍTULO 5 La derivada 5. La recta tangente Los griegos sabían que una recta en el mismo plano que una cónica (en el caso de la parábola o de la hipérbola, una recta no paralela a alguno de sus ejes) o la cortaba en dos puntos o la tocaba en un punto, o no la cortaba. A la recta que tocaba la cónica en un punto la llamaban tangente a la cónica en dicho punto. or ejemplo, en el caso de la circunferencia sabían también que el radio que pasa por el punto de contacto es perpendicular a tal tangente, por lo que no tenían problema para trazar la tangente a una circunferencia en cualquiera de sus puntos. Secante Tangente C Tangente Secante Circunferencia Elipse canek.azc.uam.m: 22/ 5/ 2008

2 2 2 Cálculo iferencial e Integral I Secante Secante Tangente Tangente arábola Hipérbola ero lo descrito no se podía etender a otras curvas. ensemos ahora que tenemos la gráfica de una función f cualquiera un punto Œ 0 ; f. 0 / fijo en ella que queremos precisar a cuál recta, de todas las que pasan por el punto, deberíamos llamarle la tangente a la curva (a la gráfica de la función f ) en el punto. Esto es, del haz infinito de rectas que pasan por el punto de la gráfica de f : f. 0 / f./ 0 A cuál de ellas denominaremos recta tangente a la curva f./ en el punto? Cuál será la pendiente m de la recta tangente a la curva f./ en el punto? ara contestar a esta pregunta es necesario calcular la pendiente de la recta tangente con el fin de conocerla. Sea f una función definida en un cierto intervalo abierto que contiene a 0 sea Œ 0 ; f. 0 / un punto fijo en la gráfica de f. Si tomamos cualquier otro punto QŒ; f./ sobre la gráfica de la función, la recta secante s que pasa por Q corta a la gráfica de la función al menos en estos dos puntos, Q, por lo que no parece

3 3 5. La recta tangente 3 sensato pensar en ella como la tangente, pero en cambio sí parece lógico pensar que si Q estuviese cerca de, entonces la recta secante s se aproimaría la tangente buscada podríamos entonces pensar en definir la pendiente m t de la recta tangente en como el límite de la pendiente de la recta secante s, cuando el punto Q tendiese al punto. Secante s f./ f./ Q f. 0 / Secante s f. 0 / f./ f./ Q 0 0 ero para que esto suceda, intuimos que debe eistir en el punto una única recta t que sea la posición límite de las rectas secantes s, cuando el punto Q tiende al punto fijo. Supongamos la eistencia de esta recta tangente t. s 3 s 2 f./ f./ t Q 3 Q 2 Q s f. 0 / f. 0 / f./ f./ Q 3 t s Q s 2 Q 2 s La pendiente de la recta secante s es m s tan f./ f. 0/ f. 0/ f./ 0 como! 0 cuando Q!, podríamos pensar que la pendiente m t de la recta tangente t es 0 f./ f. 0 / f. 0 / m t lím m s lím m s lím lím Q!!0!0 0!0 0 f./ :

4 4 4 Cálculo iferencial e Integral I f./ Q f./ f./ f. 0 / f. 0 // 0 0 Ejemplo 5.. El punto.; 3/ está en la gráfica de la función f./ 4 2. Considerando valores de alrededor (cerca) de 0, ubicar los puntos QŒ; f./ resultantes calcular las pendientes m s de las rectas secantes s que pasan por por Q. H Ésta es la gráfica de f : f./ 3.; 3/ f./ 4 2 Se genera la tabla siguiente:

5 5 5. La recta tangente 5 f./ QŒ; f./ f./ 3 m s f./ 3/ 0:5 3:75.0:5;3:75/ 0:5 0:75 :5 0:8 3:36.0:8;3:36/ 0:2 0:36 :8 0:9 3:9.0:9;3:9/ 0: 0:9 :9 0:99 3:099.0:99;3:099/ 0:0 0:099 :99 0:999 3: :999;3:00999/ 0:00 0:00999 :999 # # # # # # 3.; 3/ " " " " " " :00 2: :00;2:997999/ 0:00 0: :00 :0 2:9799.:0;2:9799/ 0:0 0:020 2:0 : 2:79.:;2:79/ 0: 0:2 2: :2 2:56.:2;2:56/ 0:2 0:44 2:2 :5 :75.:5;:75/ 0:5 :25 2:5 Se observa que las pendientes m s tienden al número m 2 cuando! 0. Intuitivamente se puede decir que m t 2 es la pendiente de la recta tangente a la curva 4 2 en el punto.; 3/. f./ f. 0 / f./ 3 m t lím m s lím m s lím lím Q!!0!0 0!.4 2 / 3 2 lím lím!! lím 2! lím. C /. /! lím. C / 2 :! Concretemos el concepto de recta tangente: Se denomina recta tangente a la curva f./ en el punto Œ 0 ; f. 0 / a aquella recta que pasa por que tiene pendiente f./ f. 0 / m t lím :!0 0

6 6 6 Cálculo iferencial e Integral I Notamos que se puede asegurar la eistencia de la recta tangente siempre cuando eista el límite anterior. Además la recta tangente tiene por ecuación: f. 0 / m t. 0 /. Ahora bien, si no eiste el número m t, podemos afirmar que de todas las rectas que pasan por el punto Œ 0 ; f. 0 / ninguna puede ser considerada como la recta tangente a la curva f./ en el punto. Esto es, la curva f./ no tiene recta tangente en el punto Œ 0 ; f. 0 /. Ejemplo 5..2 ada la función f./ ; calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en 2 el punto Œ; f./. Obtener además la ecuación de dicha recta tangente. H Calculamos primero la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos Œ; f./ & QŒ; f./ con (o sea 0): f./ f./ 2 2 C C /. / 2 : Calculamos m t que es la pendiente de la recta tangente en el punto Œ; f./.; /: La ecuación de la recta tangente es O sea, f./ f./ m t lím lím!! 2 : f./ m t. / :. /. / ) C. / ) C C ) : Lo cual nos da la recta con pendiente del 2 o 4 o cuadrante). La gráfica correspondiente es: ordenada en el origen 0 (pasa por el origen, es la bisectriz f./ 2 2.; / Tangente

7 7 5. La recta tangente 7 Ejemplo 5..3 Suponga que f./ es una recta, es decir, que f es una función lineal. Obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f./ en un punto arbitrario Œ 0 ; f. 0 /. H uesto que f es lineal, entonces f./ m C n donde m es la pendiente de la recta n su ordenada en el origen. La pendiente de la recta tangente es m t lím!0 f./ f. 0 / 0 lím!0.m C n/.m 0 C n/ 0 lím m 0 lím m m:!0 0!0 Entonces la ecuación de la tangente en el punto Œ 0 ; f. 0 /. 0 ; m 0 C n/ es f. 0 / m t. 0 / ) ).m 0 C n/ m. 0 / ) ) m m 0 C m 0 C n m C n: or lo que la tangente a una recta en cualquiera de sus puntos es la propia recta. Si una curva f./ tiene tangente en uno de sus puntos Œ 0 ; f. 0 /, llamaremos recta normal en ese punto a la recta que pasa por el punto es perpendicular a la recta tangente. Recordemos que si la pendiente de una recta es m 0, entonces una recta perpendicular a ella tiene por pendiente a la negativamente recíproca: m. Si m 0, la recta es horizontal una perpendicular a ella es vertical por lo que su ecuación es de la forma 0 (constante), donde 0 es la abscisa del punto por donde pasa la normal. f./ f. 0 / Si eiste m t lím, entonces la ecuación de la recta normal a una curva f./!0 0 en el punto Œ 0 ; f. 0 / será: f. 0 /. 0 / si m t 0 I m t 0 si m t 0 : Ejemplo 5..4 Obtener la ecuación de la recta normal a la curva en el punto de abscisa 0 2.

8 8 8 Cálculo iferencial e Integral I H Se puede verificar que el punto considerado es.2; / que la pendiente de la recta tangente t a la curva f./ en es 8. Luego por ser m t 8 0, la pendiente de la recta normal n a la curva f./ en es m n m t 8 8 : or lo tanto la ecuación de la recta normal a la curva en el punto.2; / es f. 0 /. 0 / ). /. 2/ ) m t 8 ) C 8 C 2 8 ) 8 C ) : 2 f.2/ Recta normal Recta tangente f./ Ejemplo 5..5 eterminar las ecuaciones de las rectas tangente normal a la curva en el punto de abscisa 0. H La ordenada del punto considerado es 0. 0 / / : El punto considerado es. 0 ; 0 /.; 4/, que es precisamente el vértice de la parábola (pues C 4. / 2 4). La pendiente m t de la recta tangente t a la curva f./ en el punto.; 4/ es f./ f./ /. 4/ m t lím lím!! 2 2 C. / 2 lím lím!! lím. / 0 :!

9 9 5. La recta tangente 9 La ecuación de la recta tangente t a la curva en el punto.; 4/ es. 4/ 0. / ) C 4 0 ) 4 ; que representa a la recta horizontal que pasa por.; 4/. La ecuación de la recta normal n a la curva en el punto.; 4/ es 0 ) que representa a la recta vertical que pasa por el punto.; 4/ Recta tangente 4 Recta normal Ejercicios 5.. Soluciones en la página??. La función h tiene la siguiente tabla de valores: h./ 2:99 769:605 2: :755 2:999 86: :08 3:00 827:366 3: :58 3: :907 Calcule la pendiente de dos rectas secantes a la gráfica de h que pasen por el punto Œ3; h.3/.

10 0 0 Cálculo iferencial e Integral I 2. La función h tiene la siguiente tabla de valores: h./ :9 20:970 :99 26:3638 :999 26: :00 27:064 2:0 27:6438 2: 33:790 Calcule la pendiente de dos rectas secantes a la gráfica de h que pasen por el punto QŒ 2; h. 2/. 3. La gráfica de la función f.t/ t 2 C 2t C 3 pasa por los puntos Œ:999; f.:999/ Œ2:00; f.2:00/. Obtenga el valor de la pendiente de las dos rectas secantes a la gráfica de f que pasan por el punto.2; 3/ por los puntos dados. 4. La recta tangente a la curva 3 C 2 en el punto. ; / tiene pendiente 3. Obtener las ecuaciones de las rectas tangente normal a la curva en el punto. 5. La recta normal a la curva 2 en el punto Q.; 2/ tiene pendiente. eterminar las ecuaciones de las rectas normal tangente a la curva en el punto 2 Q. 6. La recta tangente a la curva 2 2 en el punto R.; / tiene pendiente cero. Obtener las ecuaciones de las rectas tangente normal a la curva dada en el punto R. 7. La recta normal a la curva 2 4 C 4 en el punto de abscisa 2 es vertical. eterminar las ecuaciones de las rectas tangente normal a la curva dada en el punto. 8. Obtener las ecuaciones de las rectas tangente normal a la curva 3 2 en el punto. ; 2/. 9. eterminar las ecuaciones de las rectas tangente normal a la curva en el punto Q de abscisa.

11 5. La recta tangente Ejercicios 5.. La recta tangente, página??. La secante que pasa por los puntos.2:999; 86:80/.3; 822:08/ tiene pendiente 5 279; la secante que pasa por los puntos.3:00; 827:366/.3; 822:08/ tiene pendiente : 2. La secante que pasa por los puntos Œ 2; h. 2/ Œ ; h. /, :999 tiene pendiente 64:38; la secante que pasa por los puntos Œ 2; h. 2/ Œ 2 ; h. 2 /, 2 2:00 tiene pendiente 64: m :999; m 2 2:00 : 4. Recta tangente: 3 C 4; recta normal: 3 C Recta normal: 2 C 3 2 ; recta tangente: 2 C Recta tangente: ; recta normal:. 7. Recta normal: 2; recta tangente: Recta tangente: 2 C 4; recta normal: 2 C Recta tangente: 3; recta normal:.