Comparación de Líneas de Regresión

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1 Comparación de Líneas de Regresión Resumen El procedimiento de Comparación de Líneas de Regresión esta diseñado para comparar líneas de regresión relacionas con Y y X en dos o mas niveles de un factor categórico. Pruebas son realizadas para determinar si hay o no distancias significativas entre el intercepto y la pendiente en diferentes niveles. Las líneas de regresión son graficadas, residuos inusuales son identificados, y predicciones son hechas usando el modelo ajustado. Ejemplo StatFolio: compare reg.sgp Datos del Ejemplo: El ejemplo soap.sf6 contiene datos de la cantidad de desperdicio producido por dos líneas de producción como una función de la velocidad en la cual las líneas están corriendo. Los datos, de Neter et al. (1996), son mostrados abajo: Line (Línea) Scrap (Desperdicio) Speed (Velocidad) por StatPoint, Inc. Comparación de Líneas de Regresión - 1

2 Se desea determinar si la relación entre Desperdicios (Y) y Velocidad (X) es diferente para las dos líneas. Entrada de Datos La caja de dialogo de entrada requiere los nombres de las variables de entrada: Variable Dependiente: Columna numérica que contiene los n valores de Y. Variable Independiente: Columna numérica que contiene n valores de X. Códigos de Nivel: Columna numérica o no numérica que identifica el nivel del factor categórico. Un intercepto y pendiente separados serán estimados para cada valor único en esta columna. Selección: Selección de un subconjunto de los datos por StatPoint, Inc. Comparación de Líneas de Regresión - 2

3 Resumen del Análisis El Resumen del Análisis muestra información sobre el modelo ajustado. Comparación de Líneas de Regresión - Scrap vs. Speed Variable dependiente: Scrap Variable independiente: Speed Códigos de Nivel: Line Número de casos completos: 27 Número de líneas de regresión: 2 Análisis de Regresión Múltiple Error Estadístico Parámetro Estimado Estándar T Valor-P CONSTANTE Speed Line= Speed*Line= Coefficients Line Intercepto Pendiente Análisis de Varianza Fuente Suma de Cuadrados Gl Cuadrado Medio Razón-F Valor-P Modelo Residuo Total (Corr.) R-Cuadrada = porcentaje R-Cuadrada(ajustada por g.l.) = porcentaje Error Estándar del Est. = Error medio absoluto = Estadístico Durbin-Watson = (P=0.2120) Autocorrelación residual de retardo 1 = STATGRAPHICS Rev. 9/14/2006 Análisis de Residuos Estimación n 27 MSE MAE MAPE ME E-14 MPE Validación Incluidos en la salida están: Resumen de Datos: Un resumen de los datos de entrada. En el ejemplo, hay un total de n = 27 observaciones. El factor categórico contiene m = 2 niveles. Coeficientes: Los coeficientes estimados, errores estándar, t-estadísticas, y P-valores. La ecuación general para el modelo es Y = β 0 + β 1 X + β 2 I 1 + β 3 I 1 X + β 4 I 2 + β 5 I 2 X + + β 2m-2 I m-1 + β 2m-1 I m-1 X (1) 2006 por StatPoint, Inc. Comparación de Líneas de Regresión - 3

4 donde I 1, I 2,..., I m-1 son las variables indicadoras para los factores categóricos, donde I j = 1 si el factor categórico esta en su (j+1) i-esimo nivel y 0 en otro caso. Los términos envuelven solo las variables categóricas que permiten a los interceptos variar entre los niveles del factor categórico, mientras los términos contienen los productos cruzados de las variables indicadoras con X que permite a las pendientes variar. Las estadística t prueba las hipótesis nulas que corresponden a que el parámetro del modelo sea igual a 0, versus las hipótesis alternativa que no son igual a 0. P-Valores pequeños (menores que 0.05 si se opera a un nivel de confianza del 95%) indican que un coeficiente del modelo es significativamente distinto de 0. Análisis de Varianza: Descomposición de la variabilidad de la variable dependiente Y en suma de cuadrados del modelo y una suma cuadrados del error o residuos. La suma cuadrados residuos es particionada en una componente de falta-de-ajuste y un componente de error puro. De interés particular es la prueba F y el P-valor asociado. La prueba F en la línea del modelo prueba la significancia estadística del modelo ajustado. P-Valores pequeños (menores que 0.05 si se opera a un nivel de confianza del 95%) indican que una relación significante existe entre Y y X. Estadísticas: Resumen de las estadísticas para el modelo ajustado, incluyendo: R-cuadrada Representa el porcentaje de variabilidad en Y el cual ha sido explicado por el modelo ajustado, en una escala de 0% a 100%. Para los datos del ejemplo, la regresión ha acumulado alrededor del 94.5% de la variabilidad entre las cantidades observadas del Desperdició. R-cuadrada Ajustada El estadístico R-cuadrada, ajustado por el número de coeficientes en el modelo. Este valor es frecuentemente usado para comparar modelos con diferente número de coeficientes. Error Estándar de Est. La desviación estándar estimada de los residuos (la desviación estándar alrededor del modelo). Este valor es usado para crear límites de predicción para observaciones nuevas. Media del Error Absoluto El valor absoluto promedio de los residuos. Estadístico Durbin-Watson Una medida de la correlación serial en los residuos. Si los residuos varían aleatoriamente, este valor debería ser cercano a 2. Un P-valor pequeño indica que un patrón no aleatorio existe en los residuos. Para datos registrados en el tiempo, un P- valor pequeño indicaría que alguna tendencia en el tiempo no ha sido tomada en cuenta. Lag 1 Autocorrelación Residual La correlación estimada entre residuos consecutivos, en una escala de 1 a 1. Valores lejanos de 0 indican que una estructura significante permanece no tomada en cuenta por el modelo. Análisis de Residuos Si un subconjunto de renglones en la hoja de datos ha sido excluido del análisis usando el campo Seleccionar en la caja de dialogo de entrada, el modelo ajustado usado para hacer predicciones de los de Y para estos renglones. Esta tabla muestra estadísticas en los errores de preedición, definida por 2006 por StatPoint, Inc. Comparación de Líneas de Regresión - 4

5 e i STATGRAPHICS Rev. 9/14/2006 = y yˆ (2) i i Incluidos están: el error cuadrado medio (MSE), el error absoluto medio (MAE), el error del porcentaje absoluto medio (MAPE), el error medio (ME), y el error porcentaje medio (MPE). Esta estadística de validación puede ser comparada con las estadísticas para el modelo ajustado para determinar que tan bien el modelo predice observaciones fuera de los datos que se usaron para ajustar Para los datos del ejemplo, el modelo ajustado es Scrap = *Speed *(Line=2) *Speed*(Line=2) donde Line=2 toma el valor 1 para la línea #2 y 0 para la línea #1. Para ver que esto corresponde a 2 líneas de regresión separadas, el modelo puede ser escrito separadamente para cada línea: Line #1: Scrap = *Speed Line #2: Scrap = ( ) + ( )*Speed Los coeficientes tercero y cuarto en el modelo completo representan la diferencia en los interceptos y pendientes entre las dos líneas. Gráfico del Modelo Ajustado El panel Gráfico del Modelo Ajustado muestra las dos líneas de regresión: Gráfica del Modelo Ajustado Line 1 2 Scrap Speed Hay una compensación notable entre las líneas, con la línea #1 produciendo más Desperdicio en todas las velocidades. Adicionalmente, la pendiente para la línea #2 el algo mas grande que para la línea # por StatPoint, Inc. Comparación de Líneas de Regresión - 5

6 Sumas de Cuadrados Condicionales El panel Suma de Cuadrados Condicionales despliega una tabla de análisis de varianza que puede ser usada para determinar si los interceptos y pendientes de las líneas son significativamente diferentes: ANOVA Adicional para Variables Según el Orden de Introducción Fuente Suma de Cuadrados Gl Cuadrado Medio Razón-F Valor-P Speed Interceptos Pendientes Modelo De interés primario son la prueba F y los P-valores para los Interceptos y Pendientes. 1. La prueba F para las Pendientes prueba las hipótesis: Hipótesis nula: Las pendientes de las líneas son iguales Hipótesis Alt. : Las pendientes de las líneas no son iguales Si el. P-Valor es pequeño (menores que 0.05 si se opera a un nivel de confianza del 95%), entonces las pendientes de las líneas varían significativamente entre los niveles del factor categórico. 2. La prueba F para los Interceptos prueba las hipótesis: Hipótesis nula: Los intercepto de las líneas son iguales Hipótesis Alt. : Los intercepto de las líneas no son iguales Si el. P-Valor es pequeño (menores que 0.05 si se opera a un nivel de confianza del 95%), entonces las interceptos de las líneas varían significativamente entre los niveles del factor categórico. En los datos de la muestra, un P-valor grande para las Pendiente que las pendientes de la línea #1 y la línea #2 no son significativamente diferentes. Aunque, los interceptos de las dos líneas son significativamente diferentes. Opciones del Análisis Asumir Interceptos Iguales: Seleccione esta opción para ajustar un modelo con interceptos iguales en todos los niveles del factor categórico por StatPoint, Inc. Comparación de Líneas de Regresión - 6

7 Asumir Pendientes Iguales: Seleccione esta opción para ajustar un modelo con pendientes iguales en todos los niveles de el factor categórico Ejemplo Ajustando líneas de regresión paralelas Seleccionar Asumir Pendientes Iguales para forzar que las líneas de regresión sean paralelas: Gráfica del Modelo Ajustado Line 1 2 Scrap Speed Esto es llevado a cabo removiendo los términos el en modelo que contiene productos cruzados entre las variables indicadoras y X. En el ejemplo actual, el nuevo modelo es: Scrap = *Speed *(Line=2) El ultimo coeficiente en el modelo indica que la línea #2 produce unidades de desperdicio menos que la línea #1. Pronósticos El modelo puede ser usado para predecir Y en valores seleccionados de X. Pronósticos 95.00% 95.00% Speed Predicción de Límites de Predicción Límites de Confianza Line Scrap Inferior Superior Inferior Superior Incluidos en la tabla están: 2006 por StatPoint, Inc. Comparación de Líneas de Regresión - 7

8 X El valor de la variable independiente en el cual la predicción será hecha. Y Predicha- El valor predicho de la variable dependiente usando el modelo ajustado. Limites de Predicción- Limites de predicción para nuevas observaciones en el nivel de confianza seleccionado Limites de Confianza- Limites de confianza para el valor medio de Y en el nivel de confianza seleccionado Por ejemplo, el desperdicio predicho para la línea #1 en una velocidad = 200 es aproximadamente 327. Nuevas observaciones de esta línea se pueden esperar que estén entre 282 y 372 con 95% confianza. En promedio, el desperdicio de la línea en esta velocidad es estimado estar entre 315 y 338. Opciones del Panel Nivel de Confianza: Porcentaje de confianza para los intervalos. Pronosticar en X: Hasta 10 valores de X en los cuales se harán predicciones. Intervalos de Confianza El panel Intervalos de Confianza muestra el error de estimación potencial asociado con cada coeficiente en el modelo. Intervalos de confianza del 95.0% para los estimados de los coeficientes Error Parámetro Estimado Estándar Límite Inferior Límite Superior CONSTANTE Speed Line= Speed*Line= por StatPoint, Inc. Comparación de Líneas de Regresión - 8

9 Opciones del Panel STATGRAPHICS Rev. 9/14/2006 Nivel de Confianza: Porcentaje de confianza para los intervalos. Observado contra Predicho El gráfico Observado contra Predicho muestra los valores observados de Y en el eje vertical contra los valores predichos Yˆ en el eje horizontal. Gráfica de Scrap Line 1 2 observado predicho Si el modelo ajusta bien, los puntos deberían estar aleatoriamente esparcidos alrededor de la línea diagonal. Algunas veces es posible ver curvatura en esta grafica, lo cual indicaría la necesidad de un modelo curvilíneo en lugar de uno lineal. Cualquier cambio en la variabilidad de valores pequeños de X a valores grandes de X puede también indicar la necesidad de transformar la variable dependiente antes de ajustar el modelo. Gráficos de Residuos Como en todos los modelos estadísticos, es una buena practica examinar los residuos. En una regresión los residuos son definidos por e = y yˆ (3) i i i i.e., los residuos son la diferencia entre los valores observados y el modelo ajustado El procedimiento Comparación de Líneas de Regresión posee varios tipos de gráficos de residuos, dependiendo de las Opciones del Panel por StatPoint, Inc. Comparación de Líneas de Regresión - 9

10 Dispersión contra X Este grafico ayuda a visualizar la necesidad de un modelo curvilíneo. Gráfica de Residuos Residuo Estudentizado Line Speed Grafico de Probabilidad Normal Este grafico puede ser usado para determinar si las desviaciones alrededor de la línea siguen o no una distribución normal, los cual es una suposición usada para calcular los intervalos de predicción. Gráfica de Probabilidad Normal para Scrap porcentaje Residuo Estudentizado Si las desviaciones siguen una distribución normal, ellas deberían caer a lo largo de la línea recta por StatPoint, Inc. Comparación de Líneas de Regresión - 10

11 Auto-correlaciones de Residuos Este grafico calcula la auto-correlación entre residuos como una función del número de renglones en la hoja de datos entre ellos. 1 Autocorrelaciones Residuales para Scrap 0.6 autocorrelación retraso Esto solamente es relevante si los datos han sido coleccionados secuencialmente. Cualquier barra que se extienda más allá de los limites de probabilidad indicaría dependencia significante entre los residuos separados por el lag indicado, lo cual violaría la suposición de independencia cuando se ajuste el modelo. Opciones del Panel Gráfico: los tipos de residuos a graficar: 1. Residuos Los residuos de el ajuste de mínimos cuadrados por StatPoint, Inc. Comparación de Líneas de Regresión - 11

12 2. Residuos Estandarizados La diferencia entre los valores observados y i y los valores predichos ŷ i cuando el modelo es ajustado usando todas las observaciones excepto la i- ésima, dividida por el error estándar estimado. Los residuos son algunas veces llamados residuos borrados externamente, ya que ellos miden que tan lejos este cada valor del modelo ajustado, cuando este modelo es ajustado usando todos los datos excepto los puntos que son considerados. Esto es importante, ya que un valor atípico grande puede afectar el modelo de tal forma que no parecería un valor inusual. Tipo: El tipo de grafico que será creado. Un gráfico de dispersión es usado para probar la curvatura. Un Gráfico de Probabilidad Normal es usado para determinar si los residuos provienen de una distribución normal. Una Función de Auto-correlación es usada para probar dependencia entre residuos consecutivos. Graficar Contra: Es un gráfico de dispersión, la variable a graficar en el eje horizontal. Número de Lags: Para una Función de Auto-correlación, el número máximo de lags. Para conjuntos pequeños de datos, el número de lags graficado puede ser menor este valor. Niveles de Confianza: Para una Función de Auto-correlación, el nivel usado para crear límites de probabilidad. Residuos Inusuales Una vez que el modelo ha sido ajustado, es usual estudiar los residuos para determinar si algunos datos atípicos existen que deberían ser removidos de los datos. El panel Residuos Inusuales lista todas las observaciones que tienen residuos Estandarizados de 2.0 o más grandes en valor absoluto. Residuos Atípicos Y Residuo Fila Y Predicha Estudentizado Residuo Residuos Estandarizados más grandes que 3 en valor absoluto corresponden a puntos con mas de 3 desviaciones estándar del modelo ajustado, lo cual es un evento raro para una distribución normal. Nota: Puntos pueden ser removidos del ajuste mientras se examina el Gráfico del Modelo Ajustado haciendo clic en el punto deseado y presionando el botón Excluir/Incluir en la barra de herramientas del análisis. Puntos excluidos son marcados con una X. Puntos Influyentes En un modelo de regresión, todas las observaciones no tiene la misma influencia en los estimadores de los parámetros del modelo ajustado. En una regresión simple, puntos localizados en valores muy bajos o muy altos de X tienen mayor influencia que aquellos que están localizados cerca de la media de X. El panel Puntos Influyentes despliega cualquier observación que tiene alta influencia en el modelo ajustado: 2006 por StatPoint, Inc. Comparación de Líneas de Regresión - 12

13 Puntos Influyentes Distancia de Distancia Fila Leverage Mahalanobis DFITS de Cook Leverage promedio de un solo punto = Los puntos son puestos en esta lista por alguna de las siguientes razones: Ponderación - Mide que tan distante una observación esta de la media de todas las n observaciones en el espacio de las variables independientes. Cuanto mas alto es la ponderación, mas grande es el impacto de los puntos en los valores ajustados ŷ. Puntos son puestos en la lista si su ponderación es mayor que 3 veces un punto promedio. Distancia de Mahalanobis Mide que tan distante una observación esta de el centro de la colección de puntos en el espacio multivariado de las variables independientes. Ya que esta distancia esta relacionada a la ponderación, este no es usado para seleccionar puntos para la tabla. DFITS Mide la diferencia entre los valores predichos ŷ i cuando el modelo es ajustado con o sin el punto i-ésimo. Puntos son puestos en la lista si el valor absoluto de DFITS excede 2 p / n, donde p es el numero de coeficientes en el modelo ajustado. Guardar Resultados Los siguientes resultados pueden ser guardados en una hoja de datos: 1. Valores Predichos El valor predicho de Y correspondientes a los n valores de X. 2. Errores Estándar de las Predicciones Los errores estándar correspondientes a los n valores predichos. 3. Límites Inferiores de Predicciones Los límites inferiores para predicción para cada valor predicho. 4. Límites Superiores de Predicciones Los límites superiores para predicción para cada valor predicho. 5. Errores Estándar de Medias- Los errores estándar para el valor medio de Y en cada uno de los n valores de X. 6. Límites Inferiores para las Medias Pronosticadas Los limites de confianza inferiores para el valor medio de Y en cada una de n valores de X. 7. Límites Superiores para las Medias Pronosticadas Los limites de confianza superiores para el valor medio de Y en cada una de n valores de X. 8. Residuos Los n residuos. 9. Residuos Estudentizados Los n residuos Estandarizados. 10. Leverages Los valores ponderados correspondientes a los n valores de X 11. Estadísticas DFITS El valor del estadístico DFITS correspondientes a n valores de X. 12. Distancias de Mahalanobis Las distancias de Mahalanobis correspondientes a n valores de X. 13. Coeficientes Los coeficientes del modelo estimados por StatPoint, Inc. Comparación de Líneas de Regresión - 13

14 Cálculos Detalles de los cálculos en este procedimiento pueden ser encontrados en la documentación Regresión Múltiple por StatPoint, Inc. Comparación de Líneas de Regresión - 14