ANGULO TRIGONOMETRICO SISTEMA DE MEDICION ANGULAR

Transcripción

1 . ANGULO TRIGONOMÉTRICO. Es una figura generada por la rotación de un rayo, alrededor de un punto fijo llamado vértice, desde una posición inicial hasta una posición final. L.I.: Lado inicial L.F.: Lado Final ANGULO TRIGONOMETRICO SISTEMA DE MEDICION ANGULAR L.F L.I.. CONVENCIÓN : Angulos Positivos Si el rayo gira en sentido Antihorario Observación: a) Angulo nulo Si el rayo no gira, la medida del ángulo será cero. 0 b) Angulo de una vuelta Se genera por la rotación completa del rayo, es decir su lado final coincide con su lado inicial por primera vez. V 0 -V 0 0 Angulos Negativos Si el rayo gira en sentido horario. Ejemplo: c) Magnitud de un ángulo Los ángulos trigonométricos pueden ser de cualquier magnitud, ya que su rayo puede girar infinitas vueltas, en cualquiera de los sentidos. Como se muestra en el ejemplo. El ángulo mide vueltas V Nótese en las figuras: es un ángulo trigonométrico de medida positiva. - V El ángulo mide - vueltas es un ángulo trigonométrico de medida negativa. Se cumple: =-

2 . SISTEMAS ANGULARES Así como para medir segmentos se requiere de una unidad de longitud determinada, para medir ángulos se necesita de otro ángulo como unidad de medición.. Sistema Seagesimal Su unidad ángular es el grado seagesimal(º); el cual es equivalente a la 60 ava parte del ángulo de una vuelta. V º V 60º 60 Equivalencias: º=60 =60 º=600. Sistema Centesimal Su unidad angular es el grado centesimal ( g ), el cual es equivalente a la 00 ava parte del ángulo de una vuelta. V g V= 00 g 00 Equivalencias: g =00 m m =00 s g =0000 s. Sistema Radial o Circular o Internancional Su unidad es el radian, el cual es un ángulo que subtiene un arco de longitud equivalente al radio de la circunferencia respectiva. B r r rad 0 r A maob=rad V rad V=rad 6,8 Nota Como =, Entonces:, CONVERSION DE SISTEMAS Factor de Conversión Es un cociente conveniente de dos magnitudes angulares equivalentes. Magnitudes angulares equivalentes vuelta : v 60º=00 g =rad Llano Grados : : /v 80º=00 g =rad 9º =0 g Ejemplos: Convertir a radianes la siguiente magnitud angular =º Magnitud Factor de equivalente Conversión rad rad = 80º 80º rad º rad 80º 5 Convertir a radianes la siguiente magnitud angular: =5º Magnitud equivalente rad = 00 g rad 5 g 00 g rad 0 Factor de Conversión rad 00 g Convertir a seagesimal la sgte. magnitud angular: =0 g Magnitud equivalente Factor de Conversión 9º 9º = 0 g g 0

3 9º 0 g 0 g Hallar: E 6º º ' g 9º m 5 g Recordando: º=60 g = 00 m 9º = 0 g Luego: 9º 6 g 0 g º 0 B) 6 g a radianes 7º 5 Factor de conversión =,º rad 00 g Reemplazando en: E 60' ' 00 m m 0 g 5 g E = =6 Hallar: a+b sabiendo rad aºb' 8 Equivalencia: rad = 80º Luego: rad 6 g 00 g 6. rad 00 rad 5. FORMULA GENERAL DE CONVERSION Sean S, C y R los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas seagesimal, centesimal y radial respectivamente, luego hallamos la relación que eiste entre dichos números. 80º rad. 8 rad 80º 8 5º,5º = º+0,5º + =º0 0 Sº C g Rrad Luego: rad 8 Efectuando: a= b=0 Entonces: a+b = 5 º0' aºb' Nótese que para convertir un ángulo de un sistema a otro, multiplicaremos por el factor de conversión. Convertir a seagesimales y radianes la siguiente magnitud angular. =6 g A) 6 g a seagesimales Factor de conversión = 9º 0 g De la fig. Sº = Cg = Rrad... () Además 80º = 00g = rad... () Dividiendo () entre () tenemos: S 80 C 00 R Fórmula particulares: S 9 C 0 S 80 C 00 R R Fórmula o Relación de Conversión Seagesimal y Centesimal Seagesimal y Radian Centesimal y Radian

4 Ejemplos: Convertir rad 5 seagesimal. a grados respectivamente; del enunciado afirmamos. 6S + C =... () S R Sabemos que: 80 S / 5 S=6 80 rad = 6º 5 Convertir 60 g a radianes. Sabemos que: 60 R 00 R 0 60 g rad 0 C 00 R Convertir 7º a grados centesimales. Sabemos que: 7 9 C=0 C 0 S 9 C 0 7º=0 g Seis veces el número de grados seagesimales de un ángulo sumado a dos veces el números de sus grados centesimales es. Hallar el número de radianes de dicho ángulo? Si S, C y R son números que representan las medidas del ángulo en grados seagesimales, en grados centesimales y en radianes Además: S 80 C 00 R Reemplazando en (): 80R S 00R C R 00R R R 80 R R 0 Nota: Para solucionar este tipo de problemas también podríamos hacer: S 80 C 00 S 80K R K C 00K R K? Reemplazando en (): 6(80K)+(00K) = 80K = K 0 R K 0

5 EJERCICIOS. Calcular: J.C.C.H. 8 veces el número de radianes de dicho ángulo es a 5. Hallar cuanto mide el ángulo en radianes. Si: 68 g <> JCºCH a) 6 b) c) d) 0 e) 5 a) rad 5 d) rad b) rad 6 e) rad 5 c) rad. Dada la figura: 6. Del gráfico, hallar una relación entre, y. a g b Calcular: b a K a a) 5 b) 0 c) 5 d) 0 e) 5 a) - + = -60º b) + - = 60º c) + + = 60º d) - - = 60º e) + - = -60º. La medida de los ángulos iguales de un triángulo isósceles son (6)º y (5+5) g. Calcular el ángulo desigual en radianes. a) rad 5 d) rad 0 b) 5 e) rad 5 c) rad 5. Determinar la medida circular de un ángulo para el cual sus medidas en los diferentes sistemas se relacionan de la siguiente manera: 8 S 0 C 0R,5C S C S 9 a) rad b) rad c) rad d) rad e) rad Las media aritmética de los números que epresan la medida de un ángulo positivo en grados seagesimales y centesimales, es a su diferencia como 7. Siendo S y C lo convencional de un ángulo para el cual se cumple: g m º' 5S C m ' Hallar el número de grados seagesimales. a) 0 b) 8 c) 7 d) 9 e) 8 8. Sabiendo que: S =9, Hallar: C S S C M 0 a) b) c) d) e) 5 9. Del gráfico, calcular y/ a) /6 b) 6 c) 6 d) / e) / º g y y además:

6 0.Si los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas S y C, son números pares consecutivos. El valor del complemento del ángulo epresado en radianes es: a) rad 0 d) rad 5 b) rad 0 7 e) rad c) rad 5.Siendo y el factor que convierte segundos centesimales en minutos seagesimales y el factor que convierte minutos centesimales en segundos seagesimales. Calcular /y. 0a) 000 b) 000 c) 6000 d) 8000 e) 9000.Siendo S el número de grados seagesimales y c el número de grados centesimales que mide un ángulo menor que una circunferencia, calcular dicho ángulo en radianes sabiendo que. C = --0 ; S = +-56 a) 5 d) b) 7 e) c) 0.Si se cumple que: 6(C S) 00(C S) Hallar: E,R,R a) 9/5 b) 8/ c)6/5 d) 5/ e) 7/5.Sabiendo que a, b y R son los números que epresan la medida de un ángulo en minutos seagesimales, segundos centesimales y radianes respectivamente. Calcular: E (a 0,00b) R a) 5 b) 0 c) 0 d) 0 e) 0 5. Reducir: g º m E 0 m ' s a) 0 b) 0 c) 50 d) 70 e) Si S, C y R son los números que indican la medida de un ángulo en los sistemas convencionales. Hallar dicho ángulo en grados S si R es entero: C S 6S C 5R C C S Rtpa En un cierto ángulo, se cumple que: S C 7 9. Calcular el complemento del ángulo en radianes. a) 0 b) 0 c) 5 7 d) e) Al medir un ángulo positivo en los sistemas convencionales, se observó que los números que representan dichas medidas, se relacionan del siguiente modo: La diferencia del triple del mayor con el doble del intermedio, resulta ser igual a treinta veces el número menor entre, aumentado todo esto en 70, obtener la medida circular. a) rad d) 5 b) rad e) 6 c) rad

7 9.Sabiendo que la suma de los números que representan la medida de un triángulo en grados seagesimales es. Entonces la medida de dicho ángulo es: 7 a) rad b) 70g 0 c) 6º d) º e) a, b, y c son correctas

8 . ARCO Una porción cualquiera de una circunferencia, recibe el nombre de Arco de la circunferencia. 0 R R B SECTOR CIRCULAR RUEDAS Y ENGRANAJES A AB: Arco AB A: Origen del arco AB B: Etremo del arco AB O: Centro de la circunferencia R: Radio de la circunferencia Amplitud Dada por la medida del ángulo central que sostiene el arco. m 0 m m A rad rad B L L = R. L =.0,5 L = El perímetro p del sector AOB será: p = R + R + L p = m + m + m p = 0m Nota: La longitud de la circunferencia se calcula multiplicando por el radio R de la circunferencia (R) Longitud de Arco En una circunferencia de radio R un ángulo central de radianes determina una longitud de arco L, que se calcula multiplicando el número de radianes y el radio de la circunferencia R. B 0 R R rad L 0. SECTOR CIRCULAR Se llama sector circular a la región circular limitada por dos radios y el arco correspondiente. R B L C =R A L: Longitud del arco AB R: Radio de la circunferencia : Nº de radianes del ángulo central (0 ) L = R. Ejemplo: Determine el perímetro de un sector circular AOB cuyo radio tiene por longitud m, y la amplitud del ángulo es 0,5 radianes. 0 A AOB: Sector Circular AOB

9 Área del Sector Circular El área de un sector circular es igual al semiproducto de la longitud de su radio elevado al cuadrado y la medida de su ángulo central, en radianes; es decir: III. 0,5 rad 0 m B Caso I L.R S I S I m (m).(m) S I 0 R S rad R A S R Caso II R SII SII (m). S II 8m Donde: S: Área del sector circular AOB Otras fórmulas 0 R R S A B A L L.R S Caso III L SIII (m) SIII.0, 5 S III m De la figura mostrada, calcular el área de la región sombreada, si la líneas curva ABC, tiene por longitud m. 0 0 rad S L B Ejemplos: S L C 8m D m A cuerda I. Calcular el valor del área de los sectores circulares mostrados en cada caso: 0 m m m B Denotemos por: L : Longitud del arco AB, el radio R =m L : Longitud del arco BC, el radio R =m 0 II. m 8m m 0 rad m C m L L A B

10 De la figura: L R. L m m. Según el dato: LAB LBC m L L m L m L m El área del sector AOB será: L.R m.m S m Observaciones: El incremento de un mismo radio R en un sector circular inicial de Área S (fig.); produce un incremento de área proporcional a los números impares de S, que el estudiante podría comprobar (fig.). 0 R 0 S R R R S S R 5S Fig. R R R R Fig. Ejemplo: Hallar el cociente de las áreas sombreadas A y B respectivamente. R 7S Recordando la observación: A =7S B = S A 7 B AREA DE UN TRAPECIO CIRCULAR Se llama trapecio circular a aquella región circular formada por la diferencia de dos sectores circulares concéntricos. El área de un trapecio circular es igual a la semisuma de las longitudes de arcos que conforman al trapecio circular, multiplicada por su espaciamiento, es decir: B b A T.h Donde: A T = Área del trapecio circular. También: S S 5S rad b A B B b rad h 7S Ejemplos: Calcular el valor del área del trapecio, y encontrar la medida del ángulo central en la figura mostrada. m h h rad m m A B m

11 A B A T. rad AT 7m rad 0, 5 Cono r g Hallar si el área del trapecio circular es m m Desarrollo del Cono g L=r Tronco de Cono 0 9m g r Por dato: A T = Por fórmula: ( 9) A T. 9 Igualamos: +9 = = m Aplicación de la Longitud del Arco Número de Vueltas que da una Rueda(#v) El número de vueltas (# V ) que da una rueda al desplazase (sin resbalar) desde la posición A hasta B. Se calcula mediante la relación. Ec # v R Ec B R R 0 Ec: Espacio que recorre el R: Radio B m centro de la rueda. : Angulo barrido 0 R Desarrollo del Tronco de Cono EJERCICIOS. De La figura calcular: n m E p m a) 0 b) c) 0,5 d) 0, e). Del gráfico hallar +y a g R R m n p y

12 a) a b) a c) a d) a e) 5a. Del gráfico, hallar L a) b) / c) /5 d) e) 5. De la figura calcular: E ( )( ) a) b) c) 0,5 d) 0, e) 0,5 5. Un péndulo se mueve como indica en la figura. Calcular la longitud del péndulo, si su etremo recorre m. m 50 g a) 5m b) 6m c) 7m d) 8m e) 9m 6. Calcule el área de la región sombreada OA=m D 60º L L rad /. A 5 a) b) c) ( 8 ( 5 )m )m ( )m d) m e) m 7. Se tiene un sector circular de radio r y un ángulo central 6º. Cuánto hay que aumentar el ángulo central de dicho sector para que su área no varíe, si su radio disminuye en un cuarto del anterior? a) 6º b) 00º c) 6º d) 0º e) 8º 8. Calcular el área sombreada en: 5 r r r r r a) 5r b) r r c) r d) r 7r e) 9. Del gráfico adjunto, calcular el área M sombreada, si se sabe que: MN=m a) m b) m c) m d) m e) m 0.Cuánto avanza la rueda de la figura adjunta si el punto A vuelve a tener contacto otras 7 veces y al detenerse el punto B está es contacto con el piso (r=u). B 5º N O 60º C B 0º A

13 a) 88 b) 9 c) 7 d) 68 e) 8.Una grúa cuyo brazo es 5m está en posición horizontal se eleva hasta formar un ángulo de 60º con la horizontal luego conservando este ángulo gira 7º. Determinar el recorrido por el etremo libre de la grúa en estos dos momentos?. a) b) 0 c) 8 d) e) 5.Qué espacio recorre un rueda de cm de radio si da 5 vueltas al girar sin resbalar sobre un piso plano. a) 60 cm b) 90 cm c) 00 cm d) 05 cm e) 0 cm.de la figura mostrada determinar el número de vueltas que da la rueda de radio r en su recorrido de A hasta B (R=7r). r A a) b) c) d) 5 e) 6 R 5º.Los radios de las ruedas de una bicicleta, son entre sí como es a. Calcular el número de vueltas que da la rueda mayor cuando la rueda menor gire 8 radianes. a) b) c) d) 6 e) 8 5.Calcular el espacio que recorre una bicicleta, si la suma del número de vueltas que dan sus ruedas es 80. Se sabe además que los radios de las mismas miden u y 5u. a) 00 b) 00 c) 50 R B r 6.El ángulo central de un sector mide 80º y se desea disminuir en 75º; en cuanto hay que alargar el radio del sector, para que su área no varíe, si su longitud inicial era igual a 0cm. a) 0 cm b) 0 cm c) 60 cm d) 80 cm e) 00 cm 7.La longitud del arco correspondiente a un sector circular disminuye en un 0%. Qué ocurre con el área de sector circular? a) aumenta en 5% b) disminuye en 5% c) no varía d) falta información e) disminuye en 0% 8.Calcular la medida del ángulo central en radianes de un sector circular tal que su perímetro y área son 0m y 6m respectivamente. a) 0,5 b) c) 8 d) y 8 e) 0,5 y 8 9.Hallar en grados seagesimales la medida del ángulo central de un sector circular, sabiendo que la raíz cuadrada de su área es numéricamente igual a la longitud de su arco. a) /90 b) /80 c) /6 d) / e) / 0.Se tienen dos ruedas en contacto cuyos radios están en la relación de a 5. Determinar el ángulo que girará la rueda menor, cuando la rueda mayor de vueltas. a) b) 5 c) 0 d) 0 e) 0 d) 00 e) 500

14 . RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Las razones trigonométricas son números que resultan de dividir dos lados de un triángulo rectángulo. c A RAZONES TRIGONOMETRICAS EN TRIANGULOS RECTANGULOS NOTABLES TRIANGULO RECTANGULO C a t e t o b B C a Teorema de Pitágoras La suma de cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. a + b = c Teorema Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios. A + B = 90º Hipotenusa Cateto. DEFINICION DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS PARA UN ANGULO AGUDO. Dado el triángulo ABC, recto en B, según la figura, se establecen las sgts definiciones para el ángulo agudo : A Sen = Cos = Tg = Ctg = Sec = Csc = Cat.op. Hip. Cat.ady. Hip. Cat.op. Cat.ady Cat.ady. Cat.op. Hip. Cat.ady Hip. Cat.op c b c a a b Cos a c b a b c Sen C tg Tg Csc Sec Ejemplo: En un triángulo rectángulo ABC (recto en C), se sabe que la suma de catetos es igual k veces la hipotenusa. Calcular la suma de los senos de los ángulos agudos del triángulo. Nótese que en el enunciado del problema tenemos: B c a a Sen Sen c C a + b = k.c Nos piden calcular b b c A a b c c B a b C k. c Luego: Sen Sen k c Los tres lados de un triángulo rectángulo se hallan en progresión aritmética, hallar la tangente del mayor ángulo agudo de dicho triángulo.

15 Nótese que dado el enunciado, los lados del triángulo están en progresión aritmética, de razón r asumamos entonces: Cateto Menor = r Cateto Mayor = Hipotenusa = + r Teorema de Pitágoras (-r) + =(+r) -r+r + = +r+r -r=r =r =r Importante -r A mayor cateto, se opone mayor ángulo agudo. Luego, reemplazando en la figura tenemos: r Nos piden calcular Tg= r Calcular el cateto de un triángulo rectángulo de 0m de perímetro, si la tangente de uno de sus ángulos agudos es,. 5r a) Sea un ángulo agudo del triángulo que cumpla con la condición: Tg, 0 5 Ubicamos en un triángulo rectángulo, cuya relación de catetos guardan la relación de a 5. La hipotenusa se calcula por pitágoras. r r +r Triáng. Rectangulo Particular Triáng Rectángulo General b) El perímetro del es: Según la figura: 5k+k+k = 0k Según dato del enunciado =0m Luego: 0k = 0 K =m d) La pregunta es calcular la longitud del menor cateto es decir: Cateto menor = 5k = 5.m = 55m. PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS. Razones Trigonométricas Recíprocas. Al comparar las seis razones trigonométricas de un mismo ángulo agudo, notamos que tres partes de ellas al multiplicarse nos producen la unidad. 5 k Las parejas de las R.T. recíprocas son entonces: Sen. Csc = Cos. Sec = Tg. Ctg = Ejemplos: Indicar la verdad de las siguientes proposiciones. I. Sen0º.Csc0º = ( ) II. Tg5º.Ctg50º = ( ) III. Cos0º.Sec0º= ( ) 5k k Nótese que las parejas de R.T. recíprocas, el producto es ; siempre que sean ángulos iguales. Luego: Sen0º.Csc0º ; s No son iguales Tg5º.Ctg50º ; s No son iguales Cos0º.Sec0º= ; s Sí son iguales

16 Resolver agudo que verifique: Tg(+0º+).Ctg(+70º+)= Nótese que en la ecuación intervienen, R.T. trigonométricas; luego los ángulos son iguales. Tg(+0º+).Ctg(+70º+)= ángulos iguales +0º+ = +70º+ =60º =0º Se sabe: Sen.Cos.Tg.Ctg.Sec= 7 Calcular: E=Cos.Tg.Ctg.Sec.Csc Recordar: Cos.Sec = Tg.Ctg = Sec.Csc = Luego; reemplazando en la condición del problema: Sen.Cos.Tg.Ctg.Sec = 7 Sen = 7...(I) Nos piden calcular: E = Cos.Tg.Ctg.Sec.Csc E = Csc =, Sen pero de (I) tenemos: Sen 7 E= 7. Razones Trigonométricas de Angulos Complementarios. Al comparar las seis R.T. de ángulos agudos, notamos que tres pares de ellas producen el mismo número, siempre que su ángulo sean complementarios. Nota: Una razón trigonométrica de un ángulo a la co-razón del ángulo complementario. RAZON CO-RAZON Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante Dado: +y=90º, entonces se verifica Sen =Cosy Tg = Ctgy Sec = Cscy Así por ejemplo: Sen0º = Cos70º (0º+70º=90º) Tg50º = Ctg0º (50º+0º=90º) Sec80º = Csc0º (80º+0º=90º) Ejemplo: Indicar el valor de verdad según las proposiciones: I. Sen80º = Cos0º ( ) II. Tg5º = Cgt5º ( ) III. Sec(80º-) = Csc(0º+) ( ) Nótese que dado una razón y co-razón serán iguales al elevar que sus ángulos sean iguales. I. Sen80º Cos0º (80º+0º90º) II. Tg5º = Cgt5º (5º+5º=90º) III. Sec(80º-)= Csc(0º+) (80º-+0º+=90º) Resolver el menor valor positivo de que verifique: Sen5 = Cos Dada la ecuación Sen5=Cos; luego los ángulos deben sumar 90º: 5+=90º 6=90º =5º Resolver el menor positivo que verifique: Sen Cosy = 0 Tgy.Ctg0º - = 0

17 k Nótese que el sistema planteado es equivalente a: Sen=Cosy +y=90º...(i) Tgy.Ctg0º= y=0º...(ii) y=5º Reemplazando II en I +5º = 90º =75º = 5º II. 5º y 5º k 5º k k 5º Se sabe que e y son ángulos complementarios, además: Sen = t + Cosy = t +, Hallar Tg Dado: +y=90º Sen=Cosy Reemplazando t+ = t+, -, = t Conocido t calcularemos: Sen=(-,)+ Sen=0,8 Sen= 5... (I) Nota: Conocida una razón trigonométrica, luego hallaremos las restantes; graficando la condición (I) en un triángulo, tenemos:. Triángulos Rectángulos Notables Aproimados I. 7º y 5º II. 6º y 7º k 7k 5º 7º k k 5k TABLA DE LAS R.T. DE ANGULOS NOTABLES 7º 5k 6º 5 Tg= Cat.Op. Cat.Ady.. RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS AGUDOS NOTABLES. Triángulos Rectángulos Notables Eactos I. 0º y 60º k 60º k 0º R.T. 0º 60º 5º 7º 5º 6º 7º Sen / / / /5 /5 7/5 /5 Cos / / / /5 /5 /5 7/5 Tg / / / 7/ /7 Ctg / / / /7 7/ Sec / 5/ 5/ 5/ 5/7 Csc / 5/ 5/ 5/7 5/ Ejemplo:.Sen0º.Tg60º Calcular: F 0.Cos7º.Sec5º Según la tabla mostrada notamos:.. 5 F F

18 EJERCICIOS. Calcular en : Sen( - 0º) = Cos( + 0º) a) b) c) d) 6 e) 5. Si : Tg (8 5º) Tg ( + 5º) = Hallar: K = Sen Ctg a) b) c) - d) - e). Hallar en : Cos (60º - ) Csc (70º - ) = a) 5º b) 5º c) 5º d) 0º e) 5º. Si : Cos = 5, Calcular Sen a) d) b) c) 5 e) 5. Si : Tg = 5, Calcular : P = Sen Cos + Cos Sen 0 a) 9 0 d) 8 0 b) 9 6. Dado: Sec = 5 e) 8 0 c) 8 Sen Cos Calcular : E = Cos Sen 8 9 a) b) c) 0 d) e) 0 a) 0,5 b) c),5 d) e) 8. Si : Tg = a, Sen Calcular : K Tg a) c) e) ( a ) a a a a b) a a d) ( a ) 9. En un triángulo rectángulo ABC, 0 TgA=, y la hipotenusa mide 58cm, Hallar el perímetro del triángulo. a) 56cm. b) 6cm. c) 6cm. d) 0cm. e) 5cm. 0. Si en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a 5 los del producto de los catetos, Hallar la tangente del mayor de los ángulos agudos de dicho triángulo. a) b),5 c) d) e) 6.Calcular : Senº+Senº+Senº+...+Sen89º E= Cosº+Cosº+Cosº+...+Cos89º a) 0 b) c) d) e) Si: Sec =, Calcular : P = (Tg Sen) + ( Cos)

19 .En un triángulo rectángulo recto en A. Calcular el cateto b, si se tiene que: 6 SenBSenCTgB= a 7.Si: AC = DC, Hallar Ctg A H a) 6 b) 8 c) d) e)9.en un triángulo rectángulo el semiperímetro es 60m y la secante de unos de los ángulos es,6 calcular la mediana relativa a la hipotenusa. a)5 b) c) d) e) 6 a) d) B b) 7 c) e) 7 7 D 7 C.De la figura, Hallar si: Tg76º = X 6 6 6º a) 6 b) 8 c) d) 8 e) 8.Calcular Ctg. a) b) c) d) e) O 5.En un cuadrado ABCD ; se prolonga el lado AB, Hasta un punto E, tal que : AB 5BE Calcular la tangente del ángulo EDC 9.Del gráfico, calcular Tg(Sen) si el área sombreada es igual al área no sombreada. a) 5 d) 5 6 b) 5 e) 6 5 c) 6.Hallar el valor reducido de: E= Tg7º-Tg60º+Sen 5º+Sen0º a) d) b) e) O c) a) Tg7º b) Sen0º c) Tg60º d) Sen7º e) Tg7º

20 . AREA DE UN TRIANGULO a) Area en términos de dos lados y el ángulo que éstos forman: A AREAS DE TRIANGULOS Y CUADRILATEROS ANGULOS VERTICALES Sabemos que: S = p(p a)(p b)(p c) C Sea: S el área del triángulo a.h. a Sabemos que: S = Pero: h a = bsenc ab Entonces: S = SenC Análogamente: S= bc Sen A S= ac SenB b) Area en términos del semiperímetro y los lados: Entonces: ab S = SenC = b h a ab S = absen C Cos C a c C R B Entonces: a b c p = 85 Luego: S= 85(85 7)(85 09(85 95) S = 85()(8)(90) S = (57)(5)(9)()() S = 590 cm Dos lados de un miden cm y cm, el ángulo que forman mide 50º. Calcular el área del triángulo. A C 50º B S = p (p a)(p b)(p c) c) Area en términos de los lados y el circunradio (R): Sabemos que: C R SenC SenC ab ab C S = SenC R C R S = a bsenc S= ()()Sen50º= ()() S = 6cm El área de un ABC es de 90 u y los senos de los ángulos A, B y C son proporcionales a los números 5,7 y 8 respectivamente. Hallar el perímetro del triángulo. S = abc R Ejemplos: Hallar el área de un triángulo cuyos lados miden 7cm, 0cm y 95 cm.

21 Datos: S = 90 u SenA=5n, SenB=7n y SenC=8n Sabemos que: a b SenA SenB c SenC...(Ley de senos) Sea S el área del cuadrilátero y p su semiperímetro entonces: S (p a)(p b)(p c)(p d) abcdcos es igual a la semisuma de dos de sus ángulos opuestos. Entonces: a = 5n, b=7n y c=8n P = 0n 90 (0n)(0n 5n)(0n 7n)(0n 8n) (0n)(5n)(n)(n) 0n n = Luego el perímetro es igual a p p=(0)() p = 60u El diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC mide 6 cm y la media geométrica de sus lados es del triángulo. 9. Calcular el área La media geométrica de a,b y es: abc Del dato: abc = 9 abc = 78 º Area de un cuadrilátero conveo en términos de sus diagonales y el ángulo comprendido entre estas. A B Sea: AC = d y BD = d Entonces: dd. Sen S...() º Area de un cuadrilátero inscriptible (cuadrilátero cíclico) B C D C El radio de la circunferencia Circunscrita mide abc 78 Entonces: S = R cm. CUADRILATEROS º Area de un cuadrilátero conveo en términos de sus lados y ángulos opuestos a B b C c A S = ( p a)(p b)(p c)(p d)...() º Area de un cuadrilátero circunscriptible. a B b C D c A d D A d D

22 Si un cuadrilátero es circunscriptible se cumple que: a+c=b+d (Teorema de Pitot) entonces el semiperímetro (p) se puede epresar como: p = a+c o p=b+d De éstas igualdades se deduce que: p-a=c, p-c=a, p-b=d y p-d=b Reemplazando en la fórmula () se obtiene: S = abcd abcdcos S = abcd( Cos ) S = S = abcd.sen abcd Sen () No olvidar que es la suma de dos de sus ángulos o puestos. 5º Area de un cuadrilátero inscriptible y circunscriptible Si un cuadrilátero es circunscriptible ya sabemos que la semisuma de sus ángulos opuestos es igual a 90º y como a la vez es inscriptible aplicamos la fórmula () y obtenemos: S = abcd Ejemplos: Los lados de un cuadrilátero inscriptible miden cm, 9cm, 7cm y cm. calcular su área. Resolución D C 7 9 Sea: a =, b=9, c=7 y d= entonces 9 7 p = p = 65 B A Luego: S = ( p a)(p b)(p c)(p d) S = ( 65 )(65 9)(65 7)(65 ) S = ()(6)(8)() S = 008cm Las diagonales de un paralelogramo son m y n y un ángulo es. Hallar el área del paralelogramo (s), en términos de m, n y. Resolución Recordar que el área del paralelogramo es: S = absen...() Aplicamos la ley de cosenos: BAD: n = a +b -ab.cos ADC: m = a +b -ab.cos(80-) Rescatando: n -m = -ab.cos-abcos (n -m ) = -ab.cos m n ab = Cos Reemplazando en () S = A a B m n Cos S = (m -n )Tg n b Sen m 80- b D C a

23 EJERCICIOS. La figura muestra un triángulo ABC cuya área es 60m, determinar el área de la región sombreada. B a) 0m b) 5m c) m d) 8m e) m. En el cuadrilátero ABCD, el área del triángulo AOD es m. Hallar el área del cuadrilátero ABCD. a) 0m b) 58m c) 0m d) 5m e) 5m D A a A. Del gráfico, si ABC es un Triángulo y AE = BC =EB. Hallar: Sen. a 6a a o a B b a b C C. ABCD es un cuadrilátero y AE = EB. Hallar Sen. a) d) A D 5 b) e) 7 7 c) En la siguiente figura determinar Tg a) 6 / b) 6 /6 c) 6 / d) 6 /5 e) 6 / En el cubo mostrado. Hallar Sen E B C a) 0 0 C b) c) d) e) A E B a) d) 9 b) e) 7 c) 9

24 7. ABCD es un rectángulo BA=m, BC = m Hallar Tg. 0. En la figura se tiene que A-C=, AM=MC=a, halle el área de la región triangular ABC A B B B D a),57 b),5 c),7 d), e),5 C C M a a A 8. En un triángulo rectángulo (C= 90º) se traza la bisectriz de A que corta a BC en el punto M. Luego en el triángulo ACH se traza CN mediana. Hallar el área del triángulo CNM. a) 0,5b Cos (0,5A)Sen(0,5A) b) 0,5b Sec (0,5A) c) 0,5b Sec (0,5A)CosA d) 0,5b Sec (0,5A)SenA e) 0,5b²Cos²(0,5A) 9. Hallar en la figura, en función de a y. BM: mediana BH: altura B A H M a C a) a²sen b) a²cos c) a²tg d) a²ctg e) a²sec. En la figura o es el centro de la circunferencia cuyo radio mide r ; determine. a) rcos b) rsen c) rtg d) rsen e) rcos. Determine el Sen, si ABCD es un cuadrado o a) asen.ctg b) asen.tg c) asen.tg d) asen.ctg e) asen.ctg a) d) b) 5 e) 0 0 c) 5 5

25 . ÁNGULOS VERTICALES Un ángulo se llama vertical, si está contenida en un plano vertical por ejemplo es un ángulo vertical.. Angulo de Depresión () Es un ángulo vertical que está formado por una línea horizontal que pasa por el ojo del observador y su línea visual por debajo de esta. Plano Vertical Plano Horizontal Horizontal. Angulo de Elevación () Es un ángulo vertical que está formado por una línea que pasa por el ojo del observador y su visual por encima de esta. Visual Horizontal Ejemplo: Desde la parte más alta de un poste se observa a dos piedras A y B en el suelo con ángulos de depresión de 5º y 7º respectivamente. Si el poste tiene una longitud de m. Hallar la distancia entre las piedras A y B. Poste Visual Ejemplo: Una hormiga observa al punto más alto de un poste con un ángulo de elevación. La hormiga se dirige hacia el poste y cuando la distancia que las separa se ha reducido a la tercera parte, la medida del nuevo ángulo de elevación para el mismo punto se ha duplicado. Hallar. Resolución Poste A B Luego: Hormiga Luego: = =

26 EJERCICIOS. Al observar la parte superior de una torre, el ángulo de elevación es 5º, medido a 6m de ella, y a una altura de m sobre el suelo. Hallar la altura de la torre. a) m b) 8m c) 50m d) 60m e) 0m. Desde una balsa que se dirige hacia un faro se observa la parte más alta con ángulo de elevación de 5º, luego de acercarse 56m se vuelve a observar el mismo punto con un ángulo de elevación de 0º. Determinar la altura del faro. a) m b) m c) 8m d) 0m e) 6m. Al estar ubicados en la parte más alta de un edificio se observan dos puntos A y B en el mismo plano con ángulo de depresión de 7º y 5º. Se pide hallar la distancia entre estos puntos, si la altura del edificio es de 0m. a) 70m b) 90m c) 0m d) 60m e) 00m. Un avión observa un faro con un ángulo de depresión de 7º si la altura del avión es 0 y la altura del faro es 0m. Hallar a que distancia se encuentra el avión. a) 50m b) 70m c) 80m d) 90m e) 50m 5. Obtener la altura de un árbol, si el ángulo de elevación de su parte mas alta aumenta de 7º hasta 5º, cuando el observador avanza m hacia el árbol. 6. Desde puntos colineales en tierra A, B y C (AB = BC) se observa a una paloma de un mismo lado con ángulos de elevación de 7º, 5º y respectivamente. Calcule Tg, si vuela a una distancia de m. a) b) c) 6 d) 8 e) 0 7. Un avión que vuela a Km sobre el nivel del mar es observado en instantes; el primer instante a una distancia de,km de la vertical del punto de observación y el otro instante se halla,km de la misma vertical. Si el ángulo de observación entre estos dos puntos es. Calcular: E = Ctg - Ctg Considere,;, 7 a) b) c) 5 d) 7 e) 0 8. Desde lo alto de un edificio se observa con un ángulo de depresión de 7º, dicho automóvil se desplaza con velocidad constante. Luego que avanza 8m acercándose al edificio es observado con un ángulo de depresión de 5º. Si de esta posición tarda en llegar al edificio 6seg. Hallar la velocidad del automóvil en m/s. a) b) c) 6 d) 8 e) 0 9. Se observan puntos consecutivos A y B con ángulos de depresión de 7º y 5º respectivamente desde lo alto de la torre. Hallar la altura de la altura si la distancia entre los puntos A y B es de 00m a) 00m b) 00m c) 00m d) 500m e) 600m a) b) 6 c) 8 d) 9 e) 0

27 GEOMETRIA ANALITICA I. Sistema de Coordenadas Rectangulares (Plano Cartesiano o Bidimensional) Este sistema consta de dos rectas dirigidas (rectas numéricas) perpendicular entre sí, llamados Ejes Coordenados. Sabemos que: X X : Eje de Abscisas (eje X) Y Y : Eje de Ordenadas (eje Y) O : Origen de Coordenadas X (-) IIC IIIC O IC IVC Ejem: Del gráfico Y (-) determinar las coordenadas de A, B, C y D. Y B - D Coordenadas de A: (;) Coordenadas de B: (-;) Coordenadas de C: (;-) Coordenadas de D: (-;-) Y(+) X(+) Nota Si un punto pertenece al eje, su ordenada igual a cero. Y si un punto Pertenece al eje y, su abscisa es igual a cero.. Distancia entre Dos Puntos A C X raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de su diferencia de abscisas y su diferencia de ordenadas. P P ( ) (y y) Ejm: Hallar la distancia entre los puntos A yb si: A(;8) y B(;6). Resolución AB= ( ) (8 6) AB= 5 Ejm: Hallar la distancia entre los puntos P y Q. P( -;5) y Q(;-) Resolución PQ= P ( ; y ) ( ) (5 ( )) PQ= ( 5) (6) 6 y P ( ; y ) Observaciones: Si P y P tienen la misma abscisa entonces la distancia entre dichos puntos se calcula tomando el valor absoluto de su diferencia de ordenadas. Ejm: A(5;6) y B(5;) AB= 6- AB= C(-;-) y D(-;5) CD= --5 CD=6 E(5;8) y F(5;-) EF= 8-(-) EF=0 Si P y P tienen la misma ordenada entonces la distancia entre estos se calcula tomando el valor absoluto de su diferencia de abscisas. La distancia entre dos puntos cualesquiera del plano es igual a la

28 Ejm: A(8;-) y B(;-) AB= 8- AB=7 C(-;7) y D(-9;7) CD= --(-9) CD=5. Hallar el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son: A(-;-), B(0;), C(;) y D(;-). Ejemplos:. Demostrar que los puntos A(-;-), B(;) y C(5;-) son los vértices de un triángulo isósceles. Resolución Calculamos la distancia entre dos puntos. AB AC BC (,) ( ) ( 5) ( ( )) ( 5) ( ( )) Observamos que AB =BC entonces ABC es un triángulo isósceles.. Hallar el área de la región determinada al unir los puntos: A(-;), B(;) y C(0;). Resolución Al unir dichos puntos se forma un triángulo. (ver figura) 5 Resolución AB ( 0) ( ) 5 BC (0 ) ( ) 0 CD ( ) ( ( )) 6 DA ( ( )) ( ( )) 7 El perímetro es igual a: 6 0. División de un Segmento en una Razón Dada. Y P ( ; y ) P(;y) P ( ; y ) Sean P ( ; y ) y P ( ; y ) los etremos de un segmento. X A AB.h S ABC... () AB= - - =8 h= - = Reemplazando en (): C - 0 B Sea P(;y) un punto (colineal con P P en una razón) tal que divide al segmento P P en una razón r. es decir: P P r PP entonces las coordenadas de P son: r. r y r.y y r (8)() S ABC S ABC 8u

29 Nota Si P es eterno al segmento P P entonces la razón (r) es negativa. Ejm: Los puntos etremos de un segmento son A(;) y B(8;-). Hallar las coordenadas de un puntos P tal que: AP PB Sean (;y) las coordenadas de P, entonces de la fórmula anterior se deduce que: r. r 8 6 y r.y y r y P 6; (8) ( ) y Ejm: Los puntos etremos de un segmento son A(-;) y B(6;8). Hallar las coordenadas de un punto P tal que: BP. PA r. r 6 ( ) 7 y r.y y r 8 () y 7 y 7 7 P ; Ejm: A(-;), B(6;-) y P(;y) son tres AP puntos colineales, si. PB Hallar: +y Del dato: r=-, r. r ( )(6) ( ) = y y r ( )( ) y ( ) y=-9 + y = 5 entonces: Observación Si la razón es igual a es decir P P, significa que: PP P P=PP, entonces P es punto medio de P P y al reemplazar r= en las formas dadas se obtiene: y y y

30 Ejm: Hallar las coordenadas del punto medio P de un segmento cuyos etremos son: A(;) y B(;7). Sea P(; y) el punto medio de AB, entonces: = 7 y y = 5 P(; 5) Ejm: Si P(; y) es el punto medio de CD. Hallar: -y. C(-5; 6) y D(-;-0). 5 ( ) =- 6 ( 0) y y=- P(-;-) -y = - Ejm: El etremo de un segmento es (;-9) y su punto medio es P(-;-). Hallar las coordenadas del otro etremo. Sean ( ;y ) las coordenadas del etremo que se desea hallar como P(-;-) es el punto medio, se cumple que: =- 9 y y =5 Las coordenadas del otro etremo son: (-;5) Baricentro de un Triángulo Sea A( ;y ), B( ;y ), C( ;y ) los vértices del triángulo ABC, las coordenadas de su baricentro G son: G(;y)= y y y ; Área de un Triángulo Sea A( ;y ), B( ;y ), C( ;y ) los Vértices de un triángulo ABC, el área (S) del triángulo es: S y y y y S.y +.y +.y -.y -. y -.y EJERCICIOS. Calcular la distancia entre cada uno de los siguientes pares de puntos: a) (5;6) (-;) b) (;6) (;-) c) (;) (;-) d) (-;-) (-8;-7). Un segmento tiene 9 unidades de longitud si el origen de este segmento es (-8;0) y la abscisa del etremo del mismo es, calcular la ordenada sabiendo que es un número entero positivo. a) b) c) 8 d) e). Hallar las coordenadas cartesianas de Q, cuya distancia al origen es igual a u. Sabiendo además que la ordenada es 7u más que la abscisa. a) (-; 5) b) (; 5) c) (5; ) d) (-5; -) e) a y b son soluciones

31 . La base menor de un trapecio isósceles une los puntos (-;8) y (-;), uno de los etremos de la base mayor tiene por coordenadas (;-). La distancia o longitud de la base mayor es: a) 6u b) 7u c) 8u d) 9u e) 0u 5. Calcular las coordenadas de los baricentros de los siguientes triángulos: a) (:5); (6;); (7;9) b) (7;-8); (-;); (-6;) 6. Calcular las coordenadas del punto p en cada segmentos dada las condiciones: a) A(0;7); B(6;) / AP = PB b) A(-;); B(;9) / AP = PB c) A(-;-); B(7;) / 5AP = PB 7. En un triángulo ABC las coordenadas del baricentro son (6:7) el punto medio AB es (;5) y de CB(;) determinar la suma de las coordenadas del vértice C. a) b) 0 c) d) e) 5 8. Se tienen un triángulo cuyos vértices son los puntos A(;); B(;-); C(-5;). Hallar la distancia de A hasta el baricentro del triángulo. a) b) c) / d) e) 9. En la figura determinar: a+b a) 9 b) 9 c) d) 8 e) -0 (-;) (;6) (-,) (a;b) sabiendo que B pertenece al eje, hallar el área del triángulo. a) 0u b) u c) u d) u e) u.reducir, M si: A=(;) B=(5;6) C=(8;0) D=(0;0) E=(;) M. AB.BC.AD.BE.CE 5. AE a) b) 6 c) 7 d) 5 e).el punto de intersección de las diagonales de un cuadrado es (;), hallar su área si uno de sus vértices es: (;8). a) 0 b) 80 c) 00 d) 0 e) 60.Los vértices de un cuadrilátero se definen por: (; ), (-; ), (; -), (-; -). Hallar la diferencia de las longitudes de las diagonales a) b) c) 0 d) e).del gráfico siguiente determine las coordenadas del punto P. a) (-7; ) b) (-8; ) c) (-5; ) d) (-; 5) e) (-;) P a (-9;) 5a (-;8) o y 0.La base de un triángulo isósceles ABC son los puntos A(;5) y C(-;)

32 GEOMETRIA ANALITICA II. PENDIENTE DE UNA RECTA Se denomina pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente de su ángulo de inclinación. General-mente la pendiente se representa por la letra m, dicho valor puede ser positivo o negativo, dependiendo si el ángulo de inclinación es agudo u obtuso respectivamente. Y Demostración: Y y y P P a L L b X Demostración: Pendiente de L :m =Tg En este caso m > 0 (+) Y L Observamos de la figura que es el ángulo de inclinación de L, entonces: M=Tg...() De la figura también se observa que: Tg= b a...() X Pero: a=y y ; b= Reemplazando en () se obtiene: Pendiente de L : m =Tg En este caso m < 0 (-) Nota: La pendiente de las rectas horizontales es igual a cero (y viceversa) las rectas verticales no tienen pendiente. Otra manera de hallar la pendiente de una recta es la siguiente: Sean P ( ; y ) y P ( ; y ) dos puntos de la recta, entonces la pendiente (m) se calcula aplicando la fórmula: y y m, Si m Ejemplo: y y Hallar la pendiente de una recta que pasa por (;-) y (-;). Sea P (;-) y P (-;); entonces ( ) m ( ) () 6 m=-

33 Una recta pasa por los puntos (;) y (6;8) y (0;b). Hallar el valor de b. Como la recta pasa por los puntos (;) y (6;8) entonces su pendiente es: 8 m 6 5 m... () Como la recta pasa por (,) y (0,b) entonces su pendiente es: Pero m=-, entonces: 7 n =7-n n=5. ANGULO ENTRE DOS RECTAS Cuando dos rectas orientadas se intersectan, se foorman cuatro ángulos; se llama ángulo de dos rectas orientadas al formado por los lados que se alejan del vértice. L b m 0 b m... () 8 De () y (): b 8 5 b= El ángulo de inclinación de una recta mide 5º, si pasa por los puntos (-; n) y (-5;7). Hallar el valor de n. Y es el ángulo que forma las rectas L y L L L L -5-7 n 5º Como el ángulo de inclinación mide 5º entonces la pendiente es: es el ángulo que forman las rectas L y L. Observar que cuando se habla de ángulo entre dos recta se considera a los ángulos positivos menores o iguales que 80º. a. Cálculo del Angulo entre dos Rectas Conociendo las pendientes de las rectas que forman el ángulo se puede calcular dicho ángulo. L m=tg5º m=- Conociendo dos puntos de la recta también se puede hallar la pendiente: L 7 n m = 5 ( ) 7 n m=

34 m m Tg m.m m es la pendiente de la recta final (L ) y m es la pendiente de la recta inicial (L ). Denominamos a L Recta Final, porque de acuerdo con la figura el lado final del ángulo está en L, lo mismo sucede con L. -+m =--m m =- m Observaciones: Si dos rectas L y L son paralelas entonces tienen igual pendiente. L //L m =m Ejemplo: Calcular el ángulo agudo formado por dos rectas cuyas pendientes son: - y. Y L L Si dos rectas L y L son perpendiculares entonces el producto de sus pendientes es igual a. L L m. m = -. RECTA La recta es un conjunto de puntos, tales que cuando se toman dos puntos cualesquiera de ésta, la pendiente no varía. Por ejemplo: Si A, B, C y D son puntos de la recta L, Sea: m = - y m = Entonces: Tg= Tg= ( )() X B C D E entonces se cumple que: m AB = m CD = m BD... = m L =5º Dos rectas se intersectan formando un ángulo de 5º, sabiendo que la recta final tiene pendiente igual a -. Calcular la pendiente de la recta final. Sea: m = Pendiente inicial y m = Pendiente final=- Entonces: Ecuación de la Recta Para determinar la ecuación de una recta debemos de conocer su pendiente y un punto de paso de la recta, o también dos puntos por donde pasa la recta. m Tg5º= ( )m m -= m

35 a) Ecuación de una recta cuya pendiente es m y un punto de paso es p ( ;y ). y y = m( ) b) Ecuación de una recta conociendo dos puntos de paso p (,y ) y p ( ;y ) y y y y ( ) c) Ecuación de una recta cuya pendiente es m e intersección con el eje de ordenadas es (0;b). Y y=m+b A By C 0 en donde la pendiente es: A m= - (B0) B Ejemplo: Hallar la ecuación general de una recta que pasa por el punto (,) y su pendiente es /. y y =m( ) y = ( ) y 6= La ecuación es: y + =0 b X La ecuación de una recta es: +y 6 = 0, hallar su pendiente y los puntos de intersección con los ejes coordenados. d) Ecuación de una recta conociendo las intersecciones con los ejes coordenados. (a,0) a y b Y (0,b) A esta ecuación se le denomina: Ecuación Simétrica de la recta. L X Ecuación: + y 6 = 0 La pendiente es: m = + y = 6 y 6 y Los puntos de intersección con los ejes coordenados son: (; 0) y (0; ) e) Ecuación General de la Recta La foma general de la ecuación de una recta es:

36 EJERCICIOS. Una recta que pasa por los puntos ; 6 y ; tiene como pendiente y ángulo de inclinación a: a),60 b),0 c),5 d) 5,7 e),60. Hallar la pendiente de la recta: +7y = 0. a) b) c) d) e) 7. Señale la ecuación de la recta que pase por (; ) y cuyo ángulo de inclinación sea de 7º. a) -y- = 0 b) +y- = 0 c) -y- = 0 d) +y+ = 0 e) + y = 0. Señale la ecuación de la recta que pase por los puntos P (;5) y Q (-;). a) +y 7 = 0 b) -+7=0 c) --7 = 0 d) +y+ = 0 e) +y-=0 5. Señale la ecuación de la recta que pasando por (;) sea paralela a la recta de ecuación: + y = 0. a) +y-5 = 0 b) -y-5 = 0 c) -y+5 = 0 d) +y-5 = 0 e) +y-=0 6. Señale la ecuación de la recta que pasando por (-;5) sea perpendicular a la recta de ecuación: -y+7=0. a) +y+7 = 0 b) +y+ = 0 c) +y+8 = 0 d) +y- = 0 e) +y- = 0 8. Hallar el área del triángulo rectángulo formado por los ejes coordenados y la recta cuya ecuación es: 5+y+0 = 0. a) 5 b) 0 c) 5 d) 0 e) 5 9. Señale la suma de coordenadas del punto de intersección de las rectas: L : -y-7 = 0 con L :-y-= 0 a) b) c) d) e) Dada la recta L con ecuación +y- =0 y el punto P(-,-5), encontrar la distancia más corta de P a la recta L. a) b) c) 6 d) 8 e) 0. Calcular el área del triángulo formado por L : = L : + y = 8 y el eje. a) b) c) 6 d) 8 e) 0. Calcular el área que se forma al graficar: y = ll, y =. a) b) 68 c) 9 d) 6 e) 5. Señale la ecuación de a recta mediatriz del segmento AB : Si A(-;) y B(5;5). a) + y 5 = 0 b) +y-5 = 0 c) +y- = 0 d) -y-5 = 0 e) +y-7 = 0. Dado el segmento AB, con etremos: A = (; -), B = (6; ) Determinar la ecuación de la recta con pendiente positiva que pasa por el origen y divide el segmento en dos partes cuyas longitudes están en la relación 5 a. a) -9y = 0 b) + 9y = 0 c) 9+ y = 0 d) 9 y = 0 e) y = 0 7. Dada la recta L: + y - 6 = 0 Cuál es la longitud del segmento que determina dicha recta entre los ejes cartesianos? a) 5 b) 5 c) 5 d) 5 e) 5 5

37 RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL Un ángulo trigonométrico está en Posición Normal si su vértice está en el origen de coordenadas y su lado inicial coincide con el lado positivo del eje X. Si el lado final está en el segundo cuadrante, el ángulo se denomina Angulo del Segundo Cuadrante y análogamente para lo otros cuadrantes. Si el lado final coincide con un eje se dice que el ángulo no pertenece a ningún cuadrante. Ejemplos: a. Y 5. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL Si es un ángulo cualquiera en posición normal, sus razones trigonométricas se definen como sigue: P(;y) r Y 0 r y =Abscisa y=ordenada r=radio vector X, r 0 0 X Nota: El radio vector siempre es positivo Sen y r ORDENADA RADIO VECTOR Cos X r ABSCISA RADIO VECTOR IC IIC IIIC Tg y ORDENADA ABSCISA b. Y C tg y ABSCISA ORDENADA 0 90º X Sec Csc r r y RADIO VECTOR ABSCISA RADIO VECTOR ORDENADA 90º a ningún cuadrante no está en posición normal

38 Ejemplos: Hallar Y Como y esta en el tercer cuadrante entonces tiene que ser negativo. y=-5 (; ) X Aplicamos la Fórmula: r y Que es lo mismo r y +y =r 6. SIGNOS DE LA R.T. EN CADA CUADRANTE Para hallar los signos en cada cuadrante eiste una regla muy práctica Regla Práctica Son Positivos: 90º Reemplazamos y por y r por en la igualdad anterior + = +=69 =5 =5 80º Sen Csc Tg Ctg Todas Cos Sec 0º 60º Como esta en el segundo cuadrante entonces tiene que ser negativo = -5 Hallar y 7 (-8; y) Y Análogamente aplicamos +y =r Reemplazamos por 8 y r por 7 en la igualdad anterior. (-8) +y =7 6+y =89 y =5 y=5 X Ejemplos: Qué signo tiene? Sen00º. Cos00º E Tg00º 00º IIC Sen00º es (+) 00º IIIC Cos00º es (-) 00º IVC Tg00º es (-) Reemplazamos 70º ( )( ) E ( ) ( ) E ( ) E=(+) Si IIC Cos = 9. Hallar Cos.

39 Despejamos Cos de la igualdad dada. Cos = 9 Cos Como III entonces Cos es negativo, por lo tanto: Cos Si IVC Tg = 5. Hallar Tg Despejamos Tg dada: Tg = 5 Tg= 5 de la igualdad Como IVC entonces la Tg es negativa, por lo tanto: Propiedades Si es un ángulo en posición normal positivo y menor que una vuelta entonces se cumple: (0º < < 60º) Si IC 0º < < 90º Si IIC 90º < < 80º Si IIIIC 80º < < 70º Si VIC 70º < < 60º Ejemplos: Si IIIC. En qué cuadrante está /. Si IIIC 80º < < 70º 60º < < 90º 0º < < 80º Como / está entre 0º y 80º, entonces pertenece al II cuadrante. Tg = 5 7. ÁNGULO CUADRANTAL Un ángulo en posición normal se llamará Cuadrantal cuando su lado final coincide con un eje. En consecuencia no pertenece a ningún cuadrante. Los principales ángulos cuadrantes son: 0º, 90º, 80º, 70º y 60º, que por comodidad gráfica se escribirán en los etremos de los ejes. Si IIC. A qué cuadrante pertenece º 70 Si IIC 90º < < 80º 5º < < 90º 5º < º 70 <80º Como º 70 esta entre 5º y 60º, entonces pertenece al II Cuadrante. 90º IIC IC 80º 0º 60º IIIC IVC 70º

40 R.T. de Ángulos Cuadrantales Como ejemplo modelo vamos a calcular las R.T. de 90º, análogamente se van a calcular las otras R.T. de 0º, 80º, 70º y 60º. Y r Del gráfico observamos que =0 r=y, por tanto: Y (; ) 0 90º X Sen( / ) Cos Calcular: E= C tg( / ) Sec Los ángulos están en radianes, haciendo la conversión obtenemos: 90º =80º 70º =60º Reemplazamos: Sen90º Cos80º E C tg70º Sec60º y (0; y) 0 90º X () ( ) E 0 E= Sen90º = r y = y y = Cos90º = r = y 0 = 0 Calcular el valor de E para =5º Sen Cos6 E Tg Cos8 Tg90º = y = 0 y = No definido=nd 0 Ctg90º = = = 0 y y r y Sec90º = = = No definido=nd 0 r y Csc90º = = = y y R.T 0º 90º 80º 70º 60º Sen Cos 0-0 Tg 0 ND 0 ND 0 Ctg ND 0 ND 0 ND Sec ND 0 ND Csc ND ND - ND Reemplazamos =5º en E: Sen90º Cos70º E Tg80º Cos60º 0 E 0 E E= Ejemplos:

41 EJERCICIOS. Del gráfico mostrado, calcular: E = Sen * Cos Y E=Ctg - Csc Y X ; X (5; -8) a) d) b) e) c). Del gráfico mostrado, calcular: E=Sec + Tg (-; 5) Y 6 5 a) b) c) / d) / e) /5 5. Si (; ) es un punto del lado final de un ángulo en posición normal. Hallar el valor de: Sen E Cos a) b) c) / d) e) / a) / b) / c) / d) / e). Del gráfico mostrado, calcular: Csc E Y Sec 0 X X 6. Si el lado de un ángulo en posición estándar pasa por el punto (-; ). Hallar el valor de: E = Sec. Csc a) 5/ b) 5/ c) /5 d) /5 e) 7. Si el punto (-9; -0) pertenece al lado final de un ángulo en posición normal. Hallar el valor de: E = Csc + Ctg (-7; -) a) /7 b) 7/ c) 5/7 d) /7 e) 7/ a) /5 b) 5/ c) /5 d) 5/ e) /. Del gráfico mostrado, calcular:

42 8. Dado el punto (0;-) correspondiente al lado final de un ángulo en posición normal. Hallar el valor de: E = Tg + Sec a) /5 b) /5 c) d) 5/ e) 5/.Si Ctg=0,5 III. Hallar Sec. a) 7 b) 7 c) d) e) Si Ctg =70º<<60º. Hallar Sen 9. Si Csc <0 Sec > 0. En qué cuadrante está?. a) I b) II c) III d) IV e) Es cuadrantal a) / b) / c) d) e) 6. Si Csc =6 <<. 0.Si II. Hallar el signo de: Hallar el valor de: E 5 Tg Sen E Sen 5Cos Tg C tg a) / b) / c) 5/ d) 5/ e) 0 a) + b) c) + ó d) + y e) No tiene signo.hallar el signo de: E=Ctgº.Tg º.Csc º.Sec 60º a) + b) c) + d) + e) No tiene signo.si Sen.Cos > 0. En qué cuadrante está?. a) I b) II c) III d) I III e) II III.Si Sen= II. Hallar Tg. a) d) e) b) c) 7.Calcular el valor de: Tg60º E= (Cos70º ) Sen90º Cos0º (Sec80º ) Ctg70º a) 0 b) c) d) e) 8.Calcular el valor de: E TgSenCos CosTg(Sen) a) 0 b) c) d) e) 9.Si (5; ) es un punto del lado final de un ángulo en posición normal. Hallar el valor de Sen E Cos a) 5 b) 5 c) /5 d) /5 e) 0

43 0.Del gráfico calcular: P = ctg + Csc Y 0 X (7; -) a) / b) / c) d) / e) /

44 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 8. FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA Se denomina Función Trigonométrica al conjunto de pares ordenadas (, y), tal que la primera componente es la medida de un ángulo cualquiera en radianes y la segunda componente y es la razón trigonométrica de. Es decir: F.T. = {(; y) / y = R.T.()} 9. DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA Si tenemos una función trigonométrica cualquiera. y = R.T.() Se llama Dominio (DOM) de la función trigonométrica al conjunto de valores que toma la variable. DOM = { / y = R.T.()} Se llama Rango (RAN) de la función trigonométrica al conjunto de valores que toma la variables y. RAN = {y / y = R.T.()} Recordar Álgebra La gráfica corresponde a una función y=f() donde su Dominio es la proyección de la gráfica al eje X y el Rango es la proyección de la gráfica al eje Y. Y DOM(F)= ; y RAN(F)=y ; y 0. FUNCIÓN SENO a. Definición Sen = {(; y) / y = Sen} DOM (SEN): <-; > o IR RAN (SEN): Y [-; ] Gráfico de la Función SENO Una parte de la gráfica de la función seno se repite por tramos de longitud. Esto quiere decir que la gráfica de la función seno es periódica de período. Por lo tanto todo análisis y cálculo del dominio y rango se hace en el siguiente gráfico: X 0 / / Y=Sen Y Y / / X X RANGO y 0 X DOMINIO Gráfica de Y=F() Nota El período de una función se representa por la letra T. Entonces el período de la función seno se denota así: T(Sen=)

45 b. Propiedad Si tenemos la función trigonométrica y=asenk, entonces al número A se le va a llamar Amplitud y el período de esta función es /k. Es decir: y = ASenk Gráfico: Amplitud Y A 0 -A Ampitud A Tramo que se repite T(Senk) k k X Período Gráfico de la Función COSENO Y Una parte de la gráfica de la función coseno se repite por tramos de longitud. Esto quiere decir que la gráfica de la función coseno es periodo. Por la tanto todo análisis y cálculo del dominio y rango se hace en el siguiente gráfico: Y / / X X Ejemplo: Graficar la función y=sen. Indicar la amplitud y el período. y = Sen Graficando la función: Y Ampitud T(Sen) X 0 / / Y=Cos 0-0 Nota El período de una función Coseno se denota así: T(Cos=) b. Propiedad Si tenemos la función trigonométrica y=acosk, entonces al número A se le va a llamar Amplitud y el período de esta función es /k. Amplitud 0 - /8 / /8.FUNCIÓN COSENO a. Definición Cos = {(; y) / y=cos} DOM (COS): <-; > o IR RAN (COS): Y [-; ] X Período Es decir: y = ACosk Gráfico: Amplitud Y A 0 -A Ampitud A Tramo que se repite T(Cosk) k k X Período

46 Ejemplo: Graficar la función y=sen. Indicar la amplitud y el período. b. Para la Función COSENO Y y = Cos Ampitud T(Cos) b=cosa (a;b ) 0 a X Graficando la función: Y Ejemplo: Graficamos la función: y=cos Amplitud Y 0 - /6 / / X Período /=Cos60º (60;/) º -=Cos80º (80º;-) X.PROPIEDAD FUNDAMENTAL a. Para la Función SENO Si (a; b) es un punto que pertenece a la gráfica de la función y=sen. Entonces se cumple que: Y b=sena EJERCICIOS. Si el dominio de la función y=sen es 0; / hallar su rango. a) 0; b) 0;/ c) 0; d) ; e) ; b=sena 0 a (a;b) X. Si el rango de la función y = Sen es /; Ejemplo: Graficamos la función: y=sen Y =Sen0º (0º; ) 0 -=Sen70º 0º 70º (70º;-) X a) 0; /6 b) 0; 6/ c)/6;/ d) /6; 5/6 e) /; 5/6. Si el dominio de la función y=cos es /6; /. hallar el rango, sugerencia: graficar. a) 0; b) 0; c) ; d) ; e) ;