94' = 1º 34' 66.14'' = 1' 6.14'' +

Transcripción

1 UNIDAD : Trigonometría I. INTRODUCCIÓN. SISTEMAS DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Trigonometría proviene del griego: trigonos (triángulo) y metrón (medida). También a veces se usa el término Goniometría, que proviene de gonia (ángulo). En sus orígenes esta rama de la matemática se utilizó para resolver problemas de agrimensura y astronomía, pero con el desarrollo de la ciencia se ha convertido en un instrumento indispensable en la física, la ingeniería, la medicina y todo otro proceso en el que se encuentren comportamientos que se repiten cíclicamente. Posee numerosas aplicaciones, entre las que se encuentran: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas globales de navegación por satélites. Definición: Angulo es la porción del plano limitada por dos semirrectas que tienen un origen común. Según el sentido del giro decimos que: - Un ángulo es positivo si el giro para describirlo es de sentido contrario al de las agujas del reloj. - Un ángulo es negativo si el giro para describirlo es del mismo sentido que el giro de las agujas del reloj. Los ángulos más conocidos son: - El giro o ángulo completo. - El ángulo llano. - El cuadrante o ángulo recto. ( alpha), ( beta), ( gamma ), ( omega ), ( phi) Los ángulos se suelen representar con las letras griegas: Para medir ángulos pueden adoptarse distintas unidades. Los sistemas más usados son a) Sistema sexagesimal La unidad de medida angular es el grado sexagesimal, que es la noventa-ava parte del ángulo recto (ó bien, el ángulo completo son 6º grados sexagesimales) y se simboliza º. Cada grado tiene 6 minutos: º = 6 Cada minuto tiene 6 segundos: = 6 A partir de los segundos se usa sistema decimal Un ángulo llano mide 8º y un giro completo mide 6º. Un ángulo recto son 9º Ejemplo: Son ángulos =7º5'.'', =-6º' Operaciones con ángulos en sistema sexagesimal Veamos mediante ejemplos como se efectúan la suma y diferencia de ángulos, así como el producto por un nº entero o la división por un nº entero. = =57º 5'.'' Ejemplo: Dados los ángulos, =67º 59' '' y, calcular: a) + = 57º 67º + 9' = º ' 66.'' = ' 6.'' 66.'' = ' 6.'' + 5º 5' 6.'' Por tanto, + 5º 5' 6.''. + º 5º =5º 5' '' 5' 59' '.''.'' UNIDAD : Trigonometría I

2 b) = = = 67º 57º º 59' 5' '.''.'' 9.86'' =º ' 9.86'' Por tanto,. Observamos que todas las cantidades de minutos y segundos del minuendo ( ) son superiores a los correspondientes del sustraendo ( ), con lo cual se puede realizar la diferencia sin problemas c) En este caso, el nº de grados de, es mayor que el de, por tanto el resultado es un ángulo negativo y la forma de proceder es calcular y cambiarle el signo, pues = -º ' 9.86''. Por tanto por el apartado anterior, como ya lo tenemos hecho, d) En este caso los minutos y segundos del minuendo son inferiores a los minutos y segundos del sustraendo, por lo que debemos aumentar los del minuendo para poder realizar la resta. = = (pasamos un grado a minutos) (pasamos un minuto a segundos) = = (ya podemos restar) 57º 56º 56º 5º º 5' 95' 9' 5' '.''.'' 8.''.'' 9.'' Por tanto, º ' 9.'' e) 8 = 8 = 8 = (pasamos minutos a grados) 8 = (pasamos segundos a minuto) 8 = 57º 56º 56º 6º 6º 5' 8' 8' = 6' + ' = º + ' ' '.'' 85.'' 85.'' 85.'' = 6'' + 5.'' = ' + 5.'' 5.'' Por tanto, 8 = 6º ' 5.'' UNIDAD : Trigonometría I

3 f) 5 Para hacer la división procedemos como en una división normal y los restos los vamos añadiendo a la unidad inmediatamente inferior 67º 59' '' 5-65º ' º 5' 56.6'' º = ' (sumamos) 79' '' -75' '' ' = '' (sumamos) 8'' -8'' Por tanto, = º 5' 56.6'' 5 NOTA: Todos estos cálculos se pueden realizar en la calculadora de manera fácil. La calculadora se ha de encontrar en modo DEG b) El radián Definición: Un radián es el ángulo cuyo arco mide igual que el radio con el que ha sido trazado. Como podemos observar en el dibujo, el ángulo mide radián pues el radio r de la circunferencia coincide con la longitud del arco que determina. Diremos que rad = L r Como sabemos la longitud de una circunferencia es, es decir, el radio se repite veces. Como rad abarca un arco que mide un radio, un ángulo completo (6º ) es radianes. Ya tenemos la primera equivalencia entre los dos sistemas: rad = 6º Ejemplo: Pasar a radianes los siguientes ángulos en sistema sexagesimal: a) b) 9º 8º a) 6º rad 8º rad UNIDAD : Trigonometría I

4 b) También se puede hacer mediante una regla de tres simple 6º rad 9º rad Construimos una tabla con las equivalencias más importantes: SEXAGESIMAL º 9º 8º 7º 6º º 5º 6º º 5º 5º º 5º º º 5º º RADIÁN De manera similar se puede pasar de radianes a grados, pero casi siempre nos hará falta el uso de la calculadora. Ejemplo: Pasar a grados sexagesimales los siguientes ángulos: 8º a. rad = = (ahora hay que usar la calculadora) = º5'9.6'' b. c. rad = 8º 8º rad = = 6º 5 5 = (ahora hay que usar la calculadora) = 57º7'.8'' UNIDAD : Trigonometría I

5 . RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS Vamos a usar un triángulo rectángulo para definir las razones trigonométricas de un ángulo agudo. Sea el triángulo rectángulo siguiente: En él tenemos que: - - a es la hipotenusa - b es el cateto opuesto a, o bien, el cateto contiguo a - c es el cateto opuesto a, o bien, el cateto contiguo a Se definen las razones trigonométricas como sigue: - SENO sen = cateto opuesto de hipotenusa b a - COSECANTE cosec = hipotenusa cateto opuesto de a b - COSENO cos = cateto contiguo de hipotenusa c a - SECANTE sec = hipotenusa cateto contiguo de a c - TANGENTE tg = cateto opuesto de b cateto contiguo de c - COTANGENTE cotg = cateto contiguo de c cateto opuesto de b NOTA: Estas razones dependen sólo del ángulo y no de las medidas de los lados del triángulo construido Propiedad: Se cumple que: a) tg = sen cos b) cotg = cos sen tg c) sec = cos d) cos ec = sen Demostración: a) sen cos b a b tg c c a Las demás son análogas, y las dejo como ejercicio Propiedad fundamental: Se tiene que: O bien sen cos ó sen cos cos sen Demostración: Tenemos que b c b c sen cos (como estamos en un triángulo rectángulo, a a a a se verifica el teorema de Pitágoras, luego a b c ) a 5 UNIDAD : Trigonometría I

6 Consecuencias de la propiedad fundamental: Se verifica que: a) tg sec cos Demostración: se n cos se n tg sec cos cos cos b) Demostración: cotg cosec sen cos se n cos cotg cosec sen sen sen c) sen, y cos Ejercicio: Demostrar la siguiente igualdad trigonométrica: Partimos del segundo miembro y sustituimos por seno y coseno cos cotg cos cos cos ec sen cot g sen cos ec sen sen sen sen. CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA UNIDAD. SEGMENTOS TRIGONOMÉTRICOS con lo cual queda demostrado Vamos a considerar una circunferencia de radio y sobre ella dibujamos un ángulo. Dependiendo del cuadrante donde se encuentre vamos a ver que segmentos representan las razones trigonométricas y los signos de éstas. I CUADRANTE Vemos que: 6 UNIDAD : Trigonometría I

7 AC AC sen AC OB OC. La distancia OB es positiva, luego sen es positivo OA OA cos OA OC. La distancia OA es positiva, luego cos es positivo AC HD HD sen tg HD. Como tg, luego es positiva OA OH cos. Como cosec, al ser el seno positivo, cosec es positivo sen OC OG OG cosec OG AC OF OC OD OD sec OD OA OH OA FG FG cotg FG AC OF II CUADRANTE. Como. Como sec cos cotg tg tg, al ser el coseno positivo, sec es positivo, al ser la tangente positiva, cotg es positiva De forma análoga, se tiene que: sen OB. La distancia OB es positiva, luego cos OA. La distancia OA es negativa, luego tg HD. Como cosec OG sec OD. Como sen tg cos, luego tg sen cos es negativa es positivo es negativo. Como cosec, al ser el seno positivo, cosec es positivo sen sec cos, al ser el coseno negativo, sec es negativo cotg FG. Como cotg, al ser la tangente negativa, cotg es negativa tg 7 UNIDAD : Trigonometría I

8 III CUADRANTE De forma análoga, se tiene que: sen OB cos OA tg HD. La distancia OB es negativa, luego sen es negativa. La distancia OA es negativa, luego. Como cosec OG. Como sec OD. Como cotg FG. Como IV CUADRANTE sen tg cos, luego cosec sen sec cos cotg tg tg cos es positiva es negativo, al ser el seno negativo, cosec es negativo, al ser el coseno negativo, sec es negativo, al ser la tangente positiva, cotg es positiva De forma análoga, se tiene que: sen OB. La distancia OB es negativa, luego sen es negativo cos OA. La distancia OA es positiva, luego cos es positivo sen tg HD. Como tg, luego tg es negativa cos 8 UNIDAD : Trigonometría I

9 cosec OG sec OD cotg FG. Como. Como cosec sen sec cos, al ser el seno negativo, cosec es negativo, al ser el coseno positivo, sec es positivo. Como cotg, al ser la tangente negativa, cotg es negativa tg CUADRO RESUMEN DE SIGNOS DEL SENO, COSENO Y TANGENTE I Cuadrante II Cuadrante III Cuadrante IV Cuadrante Seno Coseno tangente Ejercicio: Sabiendo que un ángulo II CUADRANTE y que trigonométricas. Solución: Por la igualdad fundamental tenemos que: 5 cos cos cos 9 9 sen, calcula las restantes razones cos sen cos sen 5 5 cos cos 9 5 Como estamos en el II Cuadrante, el coseno es negativo, por tanto, cos Ya tenemos el seno y el coseno, por lo cual podemos conocer todas las demás razones: TANGENTE sen tg tg cos 5 5 Racionalizamos, bien sabemos, pues estamos en el II Cuadrante. COSECANTE cosec sen SECANTE 5 5 tg tg sec sec sec cos COTANGENTE 5 cos 5 cotg tg sen, que sale negativa, como 9 UNIDAD : Trigonometría I

10 . RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES Vamos a calcular las razones trigonométricas de los ángulos más usados. a. Ángulo º rad Vamos a basarnos en la circunferencia unidad y sólo cálculos el seno y el coseno y a partir de ellas todas las demás sen AC radio AA (como A y C coinciden) OA cos radio tg 6 b. Ángulo º rad cosec (diremos que no existe o bien que es ) sec cotg (diremos que no existe o bien que es ) 6 Para calcular las razones trigonométricas del ángulo º rad vamos a utilizar un triángulo equilátero de lado como el de la figura siguiente: UNIDAD : Trigonometría I

11 AD sen 6 AC CD cos 6 AC cosec = 6 sec 6 AD tg CD cotg 6 CD 6 AD c. Ángulo 5º rad Para calcular las razones trigonométricas del ángulo 5º rad la figura siguiente: vamos a utilizar un cuadrado de lado como el de BC sen AC AB cos AC BC tg AB cosec = sec = cotg d. Ángulo 6º rad Para calcular las razones trigonométricas del ángulo 6º rad vamos a utilizar un triángulo equilátero de lado como el usado anteriormente: UNIDAD : Trigonometría I

12 CD sen AC AD cos AC CD tg AD cosec sec = AD cotg CD e. Ángulo 9º rad Vamos a basarnos en la circunferencia unidad y sólo cálculos el seno y el coseno y a partir de ellas todas las demás UNIDAD : Trigonometría I

13 AC sen radio OA cos radio AA (como A y O coinciden) cosec tg (diremos que no existe o bien que es ) f. Ángulo 8º rad sec (diremos que no existe o bien que es ) cotg AC sen radio AA (como A y C coinciden) OA cos radio tg g. Ángulo 7º rad cosec (diremos que no existe o bien que es ) sec cotg (diremos que no existe o bien que es ) UNIDAD : Trigonometría I

14 AC sen radio OA cos radio AA (como A y O coinciden) cosec tg (diremos que no existe o bien que es ) sec (diremos que no existe o bien que es ) cotg h. Ángulo 6º rad Al dar una vuelta completa, las razones son iguales y empiezan a repetirse, luego las razones trigonométricas de son iguales a las de rad rad AC sen radio AA (como A y C coinciden) OA cos radio tg cosec (diremos que no existe o bien que es ) sec cotg (diremos que no existe o bien que es ) Hagamos una tabla resumen con el seno, coseno y tangente de los ángulos notables: SENO COSENO TANGENTE º rad º rad 6 5º rad 6º rad UNIDAD : Trigonometría I

15 9º rad 8º rad 7º rad 6º rad 5. RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE DISTINTOS CUADRANTES a. Ángulos complementarios Son aquellos ángulos cuya suma es 9º. Es decir, si un ángulo es, su complementario es 9º. O bien, usando radianes, y, son complementarios. En este tipo de ángulos el seno de uno es el coseno del otro y viceversa. Y por tanto la tangente y la cotangente también. Se observa fácilmente en la figura siguiente: Como se observa: sen = cos cos = sen tg = cotg b a c a b c Ejemplo: Los ángulos de 6º y º son complementarios, y como hemos visto ya, el seno de uno es el coseno del otro. b. Ángulos suplementarios Son aquellos ángulos cuya suma es 8º. Es decir, si un ángulo es, su suplementario es 8º. O bien, usando radianes, y, son suplementarios. En este tipo de ángulos los senos coinciden pero los cosenos son opuestos, y por tanto las tangentes también son opuestas. Veámoslo gráficamente: 5 UNIDAD : Trigonometría I

16 A' C ' AC sen = = = sen radio radio OA' OA cos = = = -cos radio radio sen sen tg = = = -tg cos -cos Ejemplo: Calcula las razones trigonométricas de º Nos damos cuenta que 6º es el suplementario de º, luego como ya conocemos las de 6º, ya tenemos que: sen º = sen 6º = cos º = - cos 6º = - tg º = - tg 6º = - c. Ángulos que se diferencian en 8º Son ángulos de la forma, y 8º, que si los restamos da 8º. O bien usando radianes, y Estos ángulos tienen el seno y el coseno cambiado de signo, y por tanto la tangente es la misma. A' C ' AC sen = = = - sen radio radio OA' OA cos = = = -cos radio radio sen - sen tg = = = tg cos - cos Ejemplo: Calcular la secante, la cosecante y la cotangente de 5 rad En primer lugar pasamos el ángulo dado a grados, pues nos puede resultar más fácil. 6 UNIDAD : Trigonometría I

17 5 5 8º rad 5º y ahora nos damos cuenta que 5º y 5º difieren 8º, pues 5º 8º 5º o lo que es lo mismo, 5º 8º 5º. Esto expresado en radianes sería que Por tanto, empleando radianes como es el dato del problema, 5 5 sen = - sen = - cosec 5 sen cos = - cos = - sec 5 cos - 5 tg = tg 5 d. Ángulos que suman 6º Son aquellos ángulos cuya suma es 6º. Es decir, si un ángulo es, el otro es 6º. O bien, usando radianes, y, suman.. En este tipo de ángulos los cosenos coinciden pero los senos son opuestos, y por tanto las tangentes también son opuestas. A' C ' AC sen = = = - sen radio radio OA' OA cos = = = cos radio radio sen - sen tg = = = - tg cos cos Ejemplo: Calcular la tangente del ángulo de º Nos damos cuenta que º y º suman 6º, luego aplicando lo anterior, tenemos que sen º - sen º tg º = = = - tg º = cos º cos e. Ángulos opuestos Son ángulos de signo opuesto, es decir, y anterior, ángulos que suman 6º. Como vemos en el dibujo su comportamiento es análogo al 7 UNIDAD : Trigonometría I

18 A' C ' AC sen = = = - sen radio radio OA' OA cos = = = cos radio radio sen - sen tg = = = - tg cos cos Ejemplo: Calcular el coseno de cos = cos = f. Ángulos que se diferencian en un nº enteros de vueltas Son ángulos que superan los 6º o inferiores a 6º, es decir, realizan vueltas completas. Son de la forma o bien si es en radianes. Se suele poner como Hay que dividir el ángulo dado por 6, y el cociente es el nº de vueltas y el resto es el ángulo con el coinciden todas las razones trigonométricas. Las razones coinciden con la de k 6º con k Ejemplo: Calcular el coseno de 855º k con k sen cos tg k 6º = sen k 6º = cos k 6º = tg k con k Hacemos la división de 855 entre 6 y nos da de cociente y de resto 5, es decir, 855º 5º 6º. Por tanto, cos 855º = cos 5 6º = cos 5º = (5º y 5º son suplementarios) = - cos 5º = 8 UNIDAD : Trigonometría I