DERIVADAS PARCIALES. El conjunto D es llamado el dominio de la función y el conjunto de todos los valores de la función es el rango de la función.
|
|
- Nieves Giménez Toro
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 Funciones de dos o más Variables DERIVADAS PARCIALES Existen magnitudes que dependen de dos o más variables independientes por ejemplo el área del rectángulo depende de la longitud de cada uno de sus lados, el costo de producción de una artículo depende del costo de los materiales y de la mano de obra, la temperatura que tiene un gas depende del volumen que ocupa y de su presión, la concentración de una sustancia en cualquier punto de la vena luego de haber suministrado una inyección depende del tiempo, la velocidad de la sangre y la distancia en que se encuentra el punto de la inyección, Las funciones de dos variables se simbolizan f: R 2 = f(x; y) R y se representan generalmente z Definición.- Sea D un conjunto de pares ordenados, (x, y), de números reales, D R 2. Una función real de dos variables reales es una regla que asigna a cada par ordenado (x, y) en D un único número real, denotado por f (x, y). El conjunto D es llamado el dominio de la función y el conjunto de todos los valores de la función es el rango de la función. Ejercicios 38 Evalué las siguientes funciones para los valores dados de las variables independientes 1. z = x 2 +4xy+y 2 ; x=1, y=-1 z = (1) 2 +4(1) (-1)+(-1) 2 z = z = z = 4x 2 y-3xy 3 ; x=2, y=2 z = 4(2) 2 (2)-3(2)(2) 3 z = z = ; x=4, y=-3 2. C(x1,x2)=600+4x1+6x2; x1=400, x2=50 C(x1,x2)=600+4(400)+6(50) C(x1,x2)= C(x1,x2)= encuentre q(40,35) 4. encuentre z(3.-3) 1
2 5. z=3x + 4y; x=-1, y=2 7. ; x=3, y=2 9., encuentre q(50, 10) 11. con(1, 3, 1) 6. z=2x 3 y-xy 2 ; x=-1, y=1 8. C(x1,x2)=500+5x1-7x2; C(200, 300) con (2, 3, 1, -1) Problemas El costo (en dólares) de una pequeña compañía de muebles por fabricar una unidad de varios artículos distinto de maderas está dado por C(x, y)= 5 + 5x +22y, donde x representa el número de píes de tablas utilizados y y expresa el número de horas de trabajo necesarias para ensamblado y acabado. Si para hacer un librero se necesitan 20 píes de tabla y 2.5 horas de trabajo, encuentre el costo de fabricación. Por datos x=20 y y=2.5 remplazando C(20,2.5)= 5 + 5(20) +22(2.5) C(20,2.5)= C(20, 2.5)=160 dólares El costo de fabricación de un librero será de 160 dólares 2. Suponga que la producción de Q unidades del producto de una compañía se determina mediante la función de producción de Cobb-Douglas, donde K representa la inversión de capital en dólares y L las horas de trabajo. a. Encuentre Q si K= dólares y L=625 horas. Remplazando Cuando el capital invertido es dólares y se trabajan 625 horas las unidades producidas serán b. Qué pasa sí la inversión y las horas trabajadas se reducen a la mitad? Entonces K=5 000 dólares y L=312.5 horas. Remplazando 2
3 UNIDADES PRODUCIDAS (Q) Cuando el capital invertido y las horas trabajadas se reducen a la mitad la producción también se reduce a la mitad. c. Si se mantiene la inversión de capital en dólares, trace la gráfica de Q como función de L. La ecuación sería HORAS TRABAJADAS (L) 3. Suponga que la función de utilidad de dos bienes X y Y estás dada por U=XY 2. a. Determinar la utilidad si un consumidor adquiere 9 unidades de X y 6 de Y. b. Si el consumidor compra 9 unidades de Y, cuántas unidades de X se deben comprar para mantener el mismo nivel de utilidad. c. Si el consumidor compra 81 unidades de X, cuántas unidades de Y se deben comprar para mantener el mismo nivel de utilidad. 4. En economía la cantidad Q de bienes (televisores, vestidos, litros de pintura, etc.) más económica que pude pedir una tienda se obtiene con la fórmula de tamaños de lote de Wilson: Q= f(k, M, h)=, donde K es el costo del pedido, M el número de artículos vendidos por semana y h el costo de almacenamiento por artículo (servicios, impuestos, seguridad, etc.). Encuentre f(200, 625, 1). Interprete la respuesta. 5. Suponga que la producción de Q unidades del producto de una compañía se determina mediante la función de producción de Cobb-Douglas, donde K representa la inversión de capital en dólares y L las horas de trabajo. a. Encuentre Q si K= dólares y L= 512 horas. b. Qué pasa sí la inversión y las horas trabajadas se duplican? 3
4 c. Si la inversión de capital se mantiene en dólares, trace la gráfica de Q como función de L. 6. Suponga que el número de unidades producidas de una mercancía, z, está dada por z=20xy, donde x es el número de máquinas que funcionan de manera apropiada y y el número promedio de horas de trabajo por máquina. Encuentre la producción para una semana en la que: a. 12 máquinas funciona de manera adecuada y el número promedio de horas de trabajo por máquina es 30 b. Cuántas horas en promedio de trabajo deben mantenerse en funcionamiento 10 máquinas que funcionan de manera adecuada para producir 7200 unidades de mercancía? c. Cuántas máquinas en buen estado se deben tener para producir 7200 unidades trabajando en promedio 24 horas? 7. La Kirk Kelly Kandy Company elabora dos tipos de dulces, Kisses y Kreams. La ganancia, en dólares, para la empresa está dada por P(x, y) = 100x + 64y 0.01x y 2, donde x es la cantidad de libras de Kisses y y el numero de libras de Kreams vendidos por semana. a. Cuál es la ganancia si se venden 20 libras de Kisses y 10 libras de Kreams? b. Cuántas libras de Kisses se deben vender si se mantiene la venta de 10 libras de Kreams y se desea obtener ganancias de dólares? c. Cuántas libras de Kreams se deben vender si se mantiene la venta de 20 libras de Kisses y se desea obtener ganancias de dólares? Diferenciación Parcial La derivada de una función de una variable mide la rapidez de cambio de la variable dependiente respecto a la variable independiente. Para funciones de dos variables x e y podemos medir dos razones de cambio: una según cambia y, dejando a x fija y otra según cambia x, dejando a y fija. Suponga que dejamos variar sólo a x, dejando a y fija, digamos y=b, en donde b es una constante. Entonces, en verdad estamos en presencia de una función de una sola variable x, a saber g(x)=f(x, b). Si g tiene una derivada en a entonces la llamamos la derivada parcial de f con respecto a x en (a, b). De forma análoga podemos hacerlo para y variable y x fija. En general, si z=f(x, y) la derivada parcial de z respecto a x se expresa como derivada parcial de z respecto a y se expresa como. Obsérvese que representa la 4 y la
5 derivada de una función de una variable, x, y función de dos o más variables. representa la derivada parcial de una Las notaciones empleadas para representar la derivada parcial de z=f(x, y) respecto a x son: Si x permanece constante en la función z=f(x, y) y se toma la derivada respecto a y, tenemos la derivada parcial de z respecto a y, que se denota Ejercicios 39 Para cada función hallar las derivadas parciales por cada variable 2. z= x 4 +3y 3 3. z= 3xy +y 2 4. z=(x 3 +2y 2 ) 3 5. C(x,y)=600-4x + 10x 2 y
6 8. z=5x 2-2y 9. z= x 5-6x+4y 3 -y C(x, y)=1000-4xy+xy Ejercicios 40 Encuentre la derivada parcial de cada función según las condiciones dadas 1. f(x, y)=4x 3 5xy + y 2, respecto a x en el punto(1, -2) 2., respecto a y en el punto (2, -1) b. c., como x=1 y y=-2 remplazamos, como x=2 y y=-1 remplazando y resolviendo d. 6
7 3., respecto a x en el punto (1, 1) 1., respecto a y en el punto (0, 1), como x=0 y y=1, remplazando y resolviendo, como x=1 y y=1, remplazando y resolviendo 1. Si z=2x + 3y, demuestre que 3z x 2z y =0 2. Si, demuestre que xz x + yz y = 0 3. Si, demuestre que xz x + yz y = 2z 5. Si, demuestre que xz x - yz y = 4. Si z= x 3 + y 3, demuestre que xzx + yzy = 3z 6. Si, demuestre que xz y yz x = Costo Conjunto y Costo Marginal Suponga que una empresa fabrica dos bienes de consumo utilizando las mismas materias primas en distintas proporciones. En este caso, la función de costo de conjunto tiene la forma C=Q(x, y) donde x y y representan la las cantidades de cada bien y C expresa el costo total de ambos bienes. Entonces es el costo marginal respecto al producto x y es el costo marginal respecto al producto y. Problemas El costo (en dólares) de fabricar un artículo está dado por C(x, y)= x + 5y, donde x es el costo de una hora de mano de obra y y es el costo de una libra de material. Si el costo de la mano de obra es de $4 por hora y el de material $3 por 7
8 libra. Calcule el costo marginal respecto a la mano de obra y al costo de material e intérprete los resultados. Respecto a la mano de obra hallamos Por tanto, si el costo de la mano de obra es de $4 por hora y el de material $3 por libra el costo de fabricar el producto se incrementará en 3 dólares por cada 1 dólar que se incremente la mano de obra, si el precio del material permanece constante. Respecto a la mano de obra hallamos Por tanto, si el costo de la mano de obra es de $4 por hora y el de material $3 por libra el costo de fabricar el producto se incrementará en 5 dólares por cada 1 dólar que se incremente la libra material, si el precio de la mano de obra permanece constante. 2. El costo total de producir un artículo es C(x, y)= x y xy, donde x es la tarifa por hora de la mano de obra y y el costo por libra de materia prima. La tarifa actual por hora de la mano de obra es de $15 y la materia prima cuestan $6 por libra Cómo afectará el costo total un incremento de a. $1 por libra de materia prima? Hallamos la derivada parcial del costo respecto a la materia prima Remplazando Si se incrementa la materia prima en $7 el costo de producción se incrementa en $5 b. $1 por hora en los costos de mano de obra? Remplazando Si se incrementa la mano de obra en $16 el costo se incrementa en $ La función costo conjunto para dos productos es C(x, y)= 50 + x 2 + 8xy + y 3 a. Calcule el costo marginal respecto a x y respecto a y en (5, 3). b. Intérprete los resultados. 8
9 4. El costo total de producir un artículo es C(x, y)= x + 6y +, donde x es el costo por libra de las materias primas y y representa el costo por hora de la mano de obra. De qué manera afectará el costo total un aumento de a. $1 por libra de materia prima? b. $1 por hora en los costos de mano de obra? 5. El costo conjunto (en dólares) de los producto X y Y esta dado por C(x, y)= x 2 +y 2 +xy, donde x expresa la cantidad del producto X y y la cantidad del producto Y. a. Calcule el costo marginal respecto a x si se producen 20 unidades del producto X y 15 del producto Y. b. Calcule el costo marginal respecto a y si se producen 20 unidades del producto X y 15 del producto Y. c. Interprete los resultados. 6. Si la función costo conjunto para dos procductos es C(x, y)= a. Encuentre la función costo marginal respecto a x. b. Encuentre la función costo marginal respecto a y. Productividad Marginal La producción total de un producto depende de varios factores, los cuales la empresa puede modificar. Los dos factores más importantes son la mano de obra y el capital invertido. Consideremos L el número de unidades de mano de obra empleada y K el monto de capital invertido, entonces el número de unidades del producto producidas en un mes (la producción total) P se denota P = f(l, K) esta función se conoce como función de producción de la empresa y las variables L y K son ejemplos de factores de insumos de producción La derivada parcial se denomina productividad marginal de la mano de obra y productividad marginal del capital. Problemas Dadas las funciones de producción P(K, L), calcule e intérprete las productividades marginales para los valores dados de L y K. L esta dado en miles de horas 9
10 trabajadas por semana, K en millones de pesos y P miles de artículos producidos por semana a. P(L, K)= 7L + 5K + 2LK L 2 2K 2 ; L=3 y K=10 La productividad marginal de mano de obra se obtiene por K), derivando P(L, Si se labora 3 mil horas de trabajo a la semana y se invierten 10 millones de pesos entonces el número de unidades producidas P se incrementa en 21 por cada incremento unitario en L. Es decir por cada unidad de hora trabajada que se incremente (1 000) semanal la producción se incrementa en 21 un mil unidades, manteniendo la inversión de capital K fija. La productividad marginal de capital se obtiene por, derivando P(L, K) Si se labora 3 mil horas de trabajo a la semana y se invierten 10 millones de pesos entonces el número de unidades producidas P disminuye 29 por cada incremento unitario en K. Es decir por cada millón de pesos adicional que se incremente el monto de capital la producción disminuye en 29 unidades manteniendo el número de horas laboradas L fija. b. P(L, K)= 18L 5L 2 + 3LK+7K - K 2 ; L=4 y K=8 c. P(L, K)= 50L + 3L 2 4L 3 + 2LK 2 3L 2 K 2K 3 ; L=2 y K=5 b. P(L, K)= 25L + 2L 2 3L 3 + 5LK 2 7L 2 K+ 2K 2 K 3 ; L=3 y K=10 Funciones de Demanda Suponga que dos productos se venden a los precios p1 y p2 (ambos en dólares), la cantidad demanda de cada uno de los productos depende de los precios de ambos productos en el mercado, Si q1 representa la demanda del primer producto entonces q1=f(p1,p2) es la función demanda de dicho producto y si q2 representa la demanda del segundo producto entonces q2=g(p1,p2), por lo tanto las derivadas parciales de q1 y q2 se conocen como funciones de demanda marginal Problemas La función demanda par dos productos están dadas por q1=300 8p1-4p2 q2=400 5p1-10p2 a. Encuentre la demanda para cada uno de ellos si el precio del primero es p1= 10 y del segundo p2=8 10
11 q1=300 8(10) 4(8)=188 q2=400 5(10) 10(8)=270 A los precios dados la demanda del producto 2 es mayor b. Encuentre la demanda marginal de q1 respecto al precio p1 Por cada $1 que se incremente el precio del producto 1 la demanda del producto 1 disminuye en 8 unidades, manteniendo constante el precio del producto 2 c. Encuentre la demanda marginal de q2 respecto al precio p2 Por cada $1 que se incremente el precio del producto 2 la demanda del producto 2 disminuye en 10 unidades, manteniendo constante el precio del producto 1 c. Encuentre la demanda marginal de q1 respecto al precio p2 Por cada $1 que se incremente el precio del producto 2 la demanda del producto 1 disminuye en 4 unidades, manteniendo constante el precio del producto 1 2. La función demanda par dos productos están dadas por q1=900 9p1 + 2p2 q2= p1-10p2 a. Encuentre la demanda para cada uno de ellos si el precio del primero es p1= 10 y del segundo p2=12 b. Encuentre la demanda marginal de q1 respecto al precio p1 c. Encuentre la demanda marginal de q1 respecto al precio p2 d. Encuentre la demanda marginal de q2 respecto al precio p2 d. Encuentre la demanda marginal de q2 respecto al precio p1 3. Dadas las funciones qa, qb, pa y pb las demandas y los precios (en dólares) de dos productos A y B calcule las demandas marginales: de qa respecto al precio pa, qa respecto al precio pb, qb respecto al precio pb y qb respecto al precio pa a. qa=400 3pA - 2pB y qb=250-5pa - 6pB b. qa=600 4pA + 6pB y qb= pA - 4pB c. d. 11
12 12
Cap. 1 Funciones de Varias variables. Moisés Villena Muñoz
Cap. Funciones de Varias variables. Definición de Funciones de dos variables. Dominio. Grafica..4 Curvas de nivel. Derivadas Parciales.6 Funciones Homogéneas.7 Funciones Nomotéticas.8 Diferencial Total.9
Más detallesAPLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL EN LA ADMINISTRACIÓN Y EN LA ECONOMÍA
APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL EN LA ADMINISTRACIÓN Y EN LA ECONOMÍA Valor promedio Problemas de Aplicación 1. Suponga que el costo en dólares de un producto está dado por C(x)= 400+x+0.3x 2, donde
Más detallesΔx = x2 x1. Δy = y2 y1. Δy = f(x2) - f(x1)
INCREMENTO Y TASAS El cálculo diferencial es el estudio del cambio que ocurre en variables dependientes cuando hay variaciones en variables independientes Por ejemplo El cambio del costo de operación de
Más detallesMatemática I - Problemas de Máximos y Mínimos
Conceptos previos de la materia a considerar: Concepto de Función. Dominio, codominio, imagen. Formas de expresar una función: mediante tablas, mediante gráficas y analíticamente. Funciones crecientes
Más detallesRegla de la Potencia para la Integración
Regla de la Potencia para la Integración Ejercicios Resuelva cada Integral Problemas de Aplicación 1. El costo marginal ( en dólares) de una compañía que fabrica zapatos esta dado por, en donde x es el
Más detallesEJERCICIOS APLICACIONES ECONÓMICAS DEL CÁLCULO DIFERENCIAL TEMA 5 (curso )
1. Continuidad. Estudiar en función del valor del parámetro la continuidad de la función: x ( xy, ) (0,0) 3 3 f ( x, y) x y 0 ( xy, ) (0,0). Continuidad. Llamemos C(x) el coste por semana que una empresa
Más detallesGuía - Funciones de Varias Variables (II)
Universidad de Talca Cálculo (Contador público y auditor) Instituto de Matemática y Física Mayo de 2015 Guía - Funciones de Varias Variables (II) Regla de la cadena 1. En los siguientes problemas, obtenga
Más detallesAPLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL EN LA ADMINISTRACIÓN Y EN LA ECONOMÍA. Valor promedio =
APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL EN LA ADMINISTRACIÓN Y EN LA ECONOMÍA Valor promedio El valor promedio de una función continua y=f(x) sobre un intervalo [a, b] es Valor promedio = Ejercicio. 1. El costo
Más detallesProgramación Lineal y Optimización Primer Examen Parcial :Solución Profr. Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Programación Lineal y Optimización Primer Examen Parcial : Profr. Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011 Matrícula: Nombre: 1. Una pequeña empresa fabrica sustancias de dos tipos a partir de tres materias primas,
Más detallesTEMA 2: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
TEMA : DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Tasa de variación Dada una función y = f(x), se define la tasa de variación en el intervalo [a, a +h] como: f(a + h) f(a) f(a+h) f(a) y se define la tasa de variación media
Más detallesEJERCICIOS PAU MAT II CC SOC. ARAGÓN Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro Más ejercicios y soluciones en fisicaymat.wordpress.com.
FUNCIONES 1- a) Dada la función:, Definida para 0, 0, encontrar el punto (x,y) que maximiza f sujeto a la restricción x+y=36. b) Calcular: Aragón 2014 Opción A Junio 2- Dada la función: Calcular: a) Dominio
Más detallesEjemplo Traza la gráfica de los puntos: ( 5, 4), (3, 2), ( 2, 0), ( 1, 3), (0, 4) y (5, 1) en el plano cartesiano.
Plano cartesiano El plano cartesiano se forma con dos rectas perpendiculares, cuyo punto de intersección se denomina origen. La recta horizontal recibe el nombre de eje X o eje de las abscisas y la recta
Más detallesMódulo Programación lineal. 3 Medio Diferenciado
Módulo Programación lineal 3 Medio Diferenciado Profesor: Galo Páez Nombre: Curso :. Sabemos que una ecuación lineal de dos variables tiene la forma con ó y representa siempre una recta en el plano. Ahora
Más detalles3. Funciones y gráficas
Componente: Procesos físicos. Funciones gráficas.1 Sistemas coordenados En la maoría de estudios es necesario efectuar medidas relacionadas con los factores que intervienen en un fenómeno. Los datos que
Más detallesMatemáticas Febrero 2013 Modelo A
Matemáticas Febrero 0 Modelo A. Calcular el rango de 0 0 0. 0 a) b) c). Cuál es el cociente de dividir P(x) = x x + 9 entre Q(x) = x +? a) x x + x 6. b) x + x + x + 6. c) x x + 5x 0.. Diga cuál de las
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS DE DERIVADAS DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL
EJERCICIOS RESUELTOS DE DERIVADAS DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL Ejercicio nº 1.- Calcula (), utilizando la definición de derivada, siendo: f () + 5 f ( + ) f () ( + ) + 5( + ) 18 (4 + 4 + )
Más detalles3. Especialización y necesidad de coordinación.
2º BACHILLERATO Ester Ponsoda 3. Especialización y necesidad de coordinación. LA DIVISIÓN TÉCNICA DEL TRABAJO genera INTERDEPENDENCIA ECONÓMICA lo que plantea la necesidad de crear INSTRUMENTOS PARA COORDINAR
Más detallesEJERCICIO 16 LA COMPETENCIA PERFECTA. La función de demanda siguiente es la misma para todos los compradores: P = -20q + 164
EJERCICIO 16 LA COMPETENCIA PERFECTA El modelo de competencia perfecta es uno de los modelos de mercado más importantes en microeconomía. En este ejercicio analizamos dicho modelo. * Consideremos una situación
Más detallesEJERCICIOS PAU MAT II CC SOC. ARAGÓN Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro Más ejercicios y soluciones en fisicaymat.wordpress.com
PROGRAMACIÓN LINEAL 1- Un deportista solamente puede tomar para desayunar barritas de chocolate y barritas de cereales. Cada barrita de chocolate proporciona 40 gramos de hidratos de carbono, 30 gramos
Más detallesEjercicios Tema 5. La sociedad además debe soportar los siguientes gastos: Por el seguro: 450 euros y por derechos arancelarios: 980 euros
Ejercicios Tema 5 Ejercicio 1. La sociedad ANEOR, SA adquiere 1.000 uds de mercancías por 18.000 euros, siendo los gastos de transporte de 550 euros. El proveedor concede a la sociedad un descuento por
Más detallesFormulación de un Modelo de Programación Lineal
Formulación de un Modelo de Programación Lineal Para facilitar el planteamiento del modelo matemático general de la PL considere el siguiente problema: La planta HBB fabrica 4 productos que requieren para
Más detallesCÆlculo intgral UdeM March 19, 2015
1 1. (a) Dada la función z = 4 (x+y) 2, graficar en un plano cartesiano la curva de nivel para z = 2 (b) Sea z = y 2 e y x comprobar que xz x +yz y = 2z 2. (a) Hallar el límite de la función, si existe
Más detallesECONOMÍA DE LA EMPRESA PROBLEMAS DE UMBRAL DE RENTABILIDAD
ECONOMÍA DE LA EMPRESA PROBLEMAS DE UMBRAL DE RENTABILIDAD 1 Los alumnos de 2º curso del IES San Saturnino, con objeto de recabar fondos para su viaje de estudios, se plantean la posibilidad de vender
Más detallesTEMA 5 FUNCIONES ELEMENTALES II
Tema Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO TEMA FUNCIONES ELEMENTALES II Rectas EJERCICIO. Halla la pendiente, la ordenada en el origen y los puntos de corte con los ejes de coordenadas
Más detallesTema 5. La actividad económica
1. Actividad económica: definición y agentes económicos Actividad económica es el proceso mediante el cual se obtienen e intercambian los bienes y servicios que cubren las necesidades de las personas.
Más detallesLección 49. Funciones I. Definición
Lección 49 Funciones I Definición Sean A y B conjuntos. Una función f de A en B es una regla que asigna a cada elemento x A exactamante un elemento y B. El elemento y B, se denota por f (x), y decimos
Más detalles1. Conocimientos previos. 1 Funciones exponenciales y logarítmicas.
. Conocimientos previos. Funciones exponenciales y logarítmicas.. Conocimientos previos. Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos básicos: Intervalos y sus definiciones básicas.
Más detallesUnidad V. Ingeniería en administración. Cuestionario de la Unidad 5: Teoría de la empresa: producción y costos
Unidad V Catedrática: L.A. Jorge Velasco Castellanos Ingeniería en administración Cuestionario de la Unidad 5: Teoría de la empresa: producción y costos ING. EN GESTIÓN EMPRESARIAL CUESTIONARIO 1. Defina
Más detallesTema 1 Las Funciones y sus Gráficas
Tema Las Funciones y sus Gráficas..- Definición de Función y Conceptos Relacionados Es muy frecuente, en geometría, en física, en economía, etc., hablar de ciertas magnitudes que dependen del valor de
Más detallesDERIVADAS: APLICACIONES A LA ECONOMIA
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS, ADMINISTRATIVAS Y CONTABLES DEPARTAMENTO DE MÉTODOS CUANTITATIVOS Métodos Cuantitativos IV DERIVADAS: APLICACIONES A LA ECONOMIA
Más detallesCÁLCULO DIFERENCIAL (SEMESTRE 01-2010) EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS SECCIÓN 1.1 DEL TEXTO GUÍA
CÁLCULO DIFERENCIAL (SEMESTRE 01-2010) EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS SECCIÓN 1.1 DEL TEXTO GUÍA 1. Expresar el área de un triángulo equilátero como función de la altura h del triángulo. 2. Se va a construir
Más detallesMATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CLASE #16. f : A! B x 7! y = f(x):
MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CLASE #16 Función Sean A y B conjuntos. Una función f de A en B es una regla que asigna a cada elemento x 2 A exactamante un elemento
Más detallesINECUACIONES: Ejercicio 1.- Resuelve las siguientes inecuaciones lineales con una incógnita:
RELACIÓN DE EJERCICIOS TEMA 4.- Inecuaciones 1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I INECUACIONES: Ejercicio 1.- Resuelve las siguientes inecuaciones lineales con una incógnita:
Más detallesUNIDAD 3 LOGARITMOS EJERCICIOS RESUELTOS. Objetivo general.
. UNIDAD LOGARITMOS EJERCICIOS RESUELTOS Objetivo general. Al terminar esta Unidad comprenderás la importancia histórica de los logaritmos y resolverás ejercicios y problemas en los que apliques los logaritmos
Más detalles9. Rectas e hipérbolas
08 SOLUCIONARIO 9. Rectas e hipérbolas Representa gráficamente las siguientes ecuaciones. Di cuáles son funciones y clasifícalas: 8. y =. FUNCIONES CONSTANTES LINEALES PIENSA CALCULA y = Halla mentalmente
Más detallesMAXIMOS Y MINIMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS, ADMINISTRATIVAS Y CONTABLES DEPARTAMENTO DE MÉTODOS CUANTITATIVOS Métodos Cuantitativos IV MAXIMOS Y MINIMOS DE FUNCIONES DE DOS
Más detallesEjercicios Resueltos de Derivadas y sus aplicaciones:
Ejercicios Resueltos de Derivadas y sus aplicaciones: 1.- Sea la curva paramétrica definida por, con. a) Halle. b) Para qué valor(es) de, la curva tiene recta tangente vertical? 2.- Halle para : a) b)
Más detalles3. LA COMBINACION DE FACTORES Y LA PRODUCTIVIDAD DE LA EMPRESA
3. LA COMBINACION DE FACTORES Y LA PRODUCTIVIDAD DE LA EMPRESA Como se sabe, la producción es el proceso mediante el cual se generan los bienes y servicios que las sociedades compran con el fin de consumirlos
Más detallesCAPITULO 5 LA DETERMINACIÓN DEL INGRESO DE EQUILIBRIO
Documento elaborado por Jaime Aguilar Moreno Docente área económica Universidad del Valle Sede Buga CAPITULO 5 LA DETERMINACIÓN DEL INGRESO DE EQUILIBRIO OBJETIVO DEL CAPÍTULO Lograr que el estudiante
Más detallesRepresentación gráfica de funciones. De la fórmula a la tabla. Resolución de problemas
REPRESENTACIÓN DE PUNTOS EN EL PLANO RELACIÓN ENTRE DOS MAGNITUDES Ejes de coordenadas y coordenadas de puntos FUNCIÓN Tipos: - Lineal. - Afín. - Constante. - De proporcionalidad inversa. - Cuadrática.
Más detallesTEMA N 2 RECTAS EN EL PLANO
2.1 Distancia entre dos puntos1 TEMA N 2 RECTAS EN EL PLANO Sean P 1 (x 1, y 1 ) y P 2 (x 2, y 2 ) dos puntos en el plano. La distancia entre los puntos P 1 y P 2 denotada por d = esta dada por: (1) Demostración
Más detallesSELECTIVIDAD. (Hasta modelo 2012) PROBLEMAS UNIDAD 5
SELECTIVIDAD (Hasta modelo 2012) PROBLEMAS UNIDAD 5 13. Supongamos una empresa que produce un determinado bien X y que para ello genera los siguientes costes mensuales: Retribución fija a los empleados:
Más detallesEL PUNTO DE EQUILIBRIO
EL PUNTO DE EQUILIBRIO El punto de equilibrio sirve para determinar el volumen mínimo de ventas que la empresa debe realizar para no perder, ni ganar. En el punto de equilibrio de un negocio las ventas
Más detalles5.3 El equilibrio a corto y a largo plazo en los distintos tipos de mercado
5.3 El equilibrio a corto y a largo plazo en los distintos tipos de mercado Hay equilibrio cuando no hay motivación para alterar las conductas, pues ya no se puede aumentar ganancias o disminuir pérdidas.
Más detallesEl alumno deberá contestar al bloque de respuesta obligada y elegir una de las dos alternativas. BLOQUE DE RESPUESTA OBLIGADA
El alumno deberá contestar al bloque de respuesta obligada y elegir una de las dos alternativas. BLOQUE DE RESPUESTA OBLIGADA Una empresa industrial fabrica un único producto que vende al precio de 375
Más detallesEJERCICIOS DE CONTINUIDAD Y APLICACIONES DE LA DERIVADA
EJERCICIOS DE CONTINUIDAD Y APLICACIONES DE LA DERIVADA 1º) Estudia la continuidad de la siguiente función: x+3 si x < 2 fx = x +1 si x 2 La función está definida para todos los reales: D(f)=R Tanto a
Más detallesLIMITE. Si f(x)= x 2 -x 6 = (x 3) (x + 2) = x + 3 x + 2 x + 2
LIMITE Qué se entiende por límite? De ordinario hablamos del precio límite de la velocidad límite del límite de nuestra propia resistencia los límites de la tecnología moderna o de estirar un muelle hasta
Más detallesACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Sigla Curso MAT330 Nombre Curso Cálculo I Créditos 10 Hrs. Semestrales Totales 5 Requisitos MAT200 o MAT2001 Fecha Actualización Escuela o Programa Transversal Programa de Matemática
Más detallesEcuaciones de Primer Grado con una Incógnita
Tema 5 Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita Una ecuación es una igualdad ( = ) que sólo se verifica para unos valores concretos de una variable, generalmente llamada x. Cuando sólo aparece una
Más detallesINTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA. 6.1. La Demanda de Bienes. 6.1. La Demanda de Bienes TEMA 6. DEMANDA AGREGADA
INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA TEMA 6. DEMANDA AGREGADA Índice 6.1. Modelización agregada de los componentes de la Demanda Interior: Consumo, Inversión, Gasto Público. 6.2. Determinación del equilibrio; Multiplicadores.
Más detalles2. LA FUNCIÓN PRODUCTIVA DE LA EMPRESA
2. LA FUNCIÓN PRODUCTIVA DE LA EMPRESA PRODUCCIÓN: Concepto: Elaboración de productos terminados (bienes y servicios) a partir de la combinación de los factores productivos (recursos naturales, trabajo
Más detallesUNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS DEPARTAMENTO DE METODOS CUANTITATIVOS METODOS CUANTITATIVOS II
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS DEPARTAMENTO DE METODOS CUANTITATIVOS METODOS CUANTITATIVOS II Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los siguientes puntos
Más detallesAPLICACIÓN. TEMARIO: excedente del consumidor, excedente del productor, impuestos, precios máximos y mínimos.
APLICACIÓN TEMARIO: excedente del consumidor, excedente del productor, impuestos, precios máximos y mínimos. Excedente del consumidor (EC): podemos definirlo como el beneficio o valor total que reciben
Más detallesModelos de input-output y cadenas de Markov
MaMaEuSch Management Mathematics for European Schools http://www.mathematik.unikl.de/~mamaeusch/ Modelos de input-output y cadenas de Markov Ao. Univ.-Prof. Werner Peschek El proyecto MaMaEuSch ha sido
Más detallesClase 9 Sistemas de ecuaciones no lineales
Clase 9 Instituto de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Universidad Diego Portales Marzo, 2013 Problemas resueltos Problema 4: Considere el sistema de ecuaciones x y = 3 (x 2) 2 +y = 1 Problemas resueltos
Más detallesdemandada. Es decir, observar si una variación del precio afecto mucho o poco a la cantidad que los consumidores están dispuestos a comprar.
La elasticidad de la demanda La elasticidad de la demanda (1) El precio ejerce una influencia sobre la cantidad demandada del bien. Cuando varía el precio del bien, los consumidores reaccionan demandando
Más detallesMicroeconomía Intermedia
Microeconomía Intermedia Colección de preguntas tipo test y ejercicios numéricos, agrupados por temas y resueltos por Eduardo Morera Cid, Economista Colegiado. tema 08 La minimización de los costes Enunciados
Más detallesFunciones constantes, lineales y afines 1.
Funciones constantes, lineales y afines 1. 1.- Rectas horizontales y verticales. Ej.1.- A continuación tienes la gráfica de la recta y = 0. Qué puntos de corte tiene con los ejes? Qué posición tiene respecto
Más detallesMUNICIPIO DE MEDELLÍN ÁREA DE MATEMÁTICAS: GEOMETRÍA ANALÍTICA. 3. Determinar analíticamente cuando dos rectas son paralelas o perpendiculares.
ESTUDIO ANALÍTICO DE LA LÍNEA RECTA Y APLICACIONES SEMESTRE II VERSIÓN 03 FECHA: Septiembre 29 de 2011 MUNICIPIO DE MEDELLÍN ÁREA DE MATEMÁTICAS: GEOMETRÍA ANALÍTICA LOGROS: 1. Hallar la dirección, la
Más detallesrad, y rad = 360 Ejercicio 1 Realizar las conversiones de grados a radianes y de radianes a grados de los siguientes ángulos:
Trigonometría 1.- Ángulos En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean dos unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el grado sexagesimal, en matemáticas es el radián
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA DEL PLANO
GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL PLANO 1 UNIDAD DIDÁCTICA 5: Geometría analítica del plano 1. ÍNDICE 1. Sistemas de referencia y coordenadas puntuales 2. Distancia entre dos puntos del plano 3. Coordenadas del
Más detallesLección 10: Representación gráfica de algunas expresiones algebraicas
LECCIÓN Lección : Representación gráfica de algunas epresiones algebraicas En la lección del curso anterior usted aprendió a representar puntos en el plano cartesiano y en la lección del mismo curso aprendió
Más detallesClase 9 Sistemas de ecuaciones no lineales
Clase 9 Instituto de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Universidad Diego Portales Marzo, 2016 con dos incógnitas Un sistema de dos ecuaciones en el que al menos una ecuación es no lineal, se llama
Más detallesTEMAS 10 LAS FUNCIONES ELEMENTALES 1º BACH MATE I
TEMA 0 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I º Bach. TEMAS 0 LAS FUNCIONES ELEMENTALES º BACH MATE I Son funciones? Ejercicio : Indica cuáles de las siguientes representaciones corresponden a la gráfica
Más detalles1. Aplique el método de inducción matemática para probar las siguientes proposiciones. e) f) es divisible por 6. a) b) c) d) e) f)
1. Aplique el método de inducción matemática para probar las siguientes proposiciones. a) b) c) d) e) f) es divisible por 6. g) 2. Halle la solución de las siguientes desigualdades de primer orden. g)
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2008 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 3: PROGRAMACIÓN LINEAL
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2008 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 3: PROGRAMACIÓN LINEAL Junio, Ejercicio 1, Opción B Reserva 1, Ejercicio 1, Opción B Reserva 2, Ejercicio
Más detallesParte I. 1. (V/F) Dos curvas de indiferencia de un consumidor solo pueden cortarse en un punto.
Estimados estudiantes: esta es una guía que pretende ayudarlos a estudiar. Si la trabajan a conciencia, con cada pregunta o ejercicio podrán reforzar conceptos y les ayudará a comprender el tema. Los trabajos
Más detallesPROYECTO DE REFUERZO ACADÉMICO PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN MEDIA PRAEM 2015
MINISTERIO DE EDUCACIÓN DIRECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓN Prueba de Diagnóstico de Matemática Segundo Año de Bachillerato PROYECTO DE REFUERZO ACADÉMICO PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN MEDIA PRAEM 2015 NOMBRE
Más detalles1.- CONCEPTO DE FUNCIÓN
.- CONCEPTO DE FUNCIÓN Actividades del alumno/a Explica porqué la siguiente gráfica no corresponde a una función: Porque a un valor de x, por ejemplo x =, le corresponde más de un valor de y. .- CONCEPTO
Más detallesColegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. Análisis y programación lineal
Análisis y programación lineal Problema 1: La gráfica de la función derivada de una función f es la parábola de vértice (0, 2) que corta al eje de abscisas en los puntos ( 3, 0) y (3, 0). A partir de dicha
Más detallesunidad 8 Funciones lineales
Cuando dos magnitudes son proporcionales Página Dos magnitudes son proporcionales cuando los valores de una de ellas se obtienen a partir de los de la otra, multiplicándolos por un número fijo llamado
Más detallesTEMA 4 PROGRAMACIÓN LINEAL
Tema Programación lineal Ejercicios resueltos - Matemáticas CCSSII º Bach TEMA PROGRAMACIÓN LINEAL INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA EJERCICIO : a) Halla la inecuación que corresponde al siguiente
Más detallesPor Sustitución: y= 2x+6 x + 3 (2x+6) = 4 x + 6x + 18 = 4 7x = -14 x= -2 y=2 (-2)+6 y=2. Por Igualación: 6x+18=4-x 7x=-14 x= -2 y=2 (-2)+6 y=2
Tema 5: Sistemas de Ecuaciones y de Inecuaciones. Programación lineal. 5.1 Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es de la forma: Un par de valores
Más detallesUNIDAD DIDÁCTICA 5: Geometría analítica del plano
UNIDAD DIDÁCTICA 5: Geometría analítica del plano 1. ÍNDICE 1. Sistemas de referencia y coordenadas puntuales 2. Distancia entre dos puntos del plano 3. Coordenadas del punto medio de un segmento 4. La
Más detallesPROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA. Sesión 5 (En esta sesión abracamos hasta tema 5.8)
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA Sesión 5 (En esta sesión abracamos hasta tema 5.8) 5 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS Y MUESTRALES 5.1 Distribución de probabilidades de una variable aleatoria continua
Más detallesPROBLEMAS PARA RESOLVER CON ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.
Matemáticas º ESO Federico Arregui PROBLEMAS PARA RESOLVER CON ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. 1. Cuál es el número cuyo quíntuplo aumentado en es igual a su cuadrado?. Qué número multiplicado por 3 es 0
Más detallesLA RECTA. Recuerda: Ejercicios de autoaprendizaje 1. Sea la gráfica siguiente:
LA RECTA Recuerda: Una recta es una función de la forma y = mx + n, siendo m y n números reales m es la pendiente de la recta y n es la ordenada en el origen La ordenada en el origen nos indica el punto
Más detallesTEMA: FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. TIPOS DE FUNCIONES.
TEMA: FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. TIPOS DE FUNCIONES. Definición: Una función es una relación entre dos variables x e y de manera que a cada valor de la variable x le corresponde un único valor
Más detallesRazones y Proporciones
Razones y Proporciones Razon: Una razón es el cuociente entre dos cantidades. Se escribe a b donde a se denomina antecedente y b se denomina consecuente. o a:b y se lee: a es a b en Proporción: Una proporción
Más detallesPROBLEMA DE FLUJO DE COSTO MINIMO.
EL PROBLEMA DE TRANSPORTE PROBLEMA DE FLUJO DE COSTO MINIMO. 1. Una empresa energética dispone de tres plantas de generación para satisfacer la demanda eléctrica de cuatro ciudades. Las plantas 1, 2 y
Más detalles1.2 Funciones y grafícas. Presentación 2 MATE 3002
1.2 Funciones y grafícas Presentación 2 MATE 3002 Correspondencias entre conjuntos Una ecuación y un gráfica expresa la idea de una correspondencia entre dos conjuntos. Ejemplo: Si vemos un relámpago y
Más detallesTrabajo Práctico Nº 4: Funciones de varias variables Asignatura: Matemática II (Lic. Economía) - U.N.R.N. Año: 2014
Trabajo Práctico Nº 4: Funciones de varias variables Asignatura: Matemática II (Lic. Economía) - U.N.R.N. Año: 2014 1) Para la función f(x,y)= xy + (x /y), determinar: (i) f ( 0.5, 3) ; f (1, -1); (ii)
Más detallesPROBLEMAS de Programación Lineal : Resolución Gráfica
PROBLEMAS de Programación Lineal : Resolución Gráfica Ej. (1.1) Mostrar gráficamente porque los 2 PL siguientes no tienen una Solución Optima y explicar la diferencia entre los dos. (C) (A) Max z = 2x
Más detallesLA EMPRESA, LA TEORIA DE LA PRODUCCION Y DE LOS COSTOS
LA EMPRESA, LA TEORIA DE LA PRODUCCION Y DE LOS COSTOS En un sistema de economía de mercado, la empresa privada realiza la función productiva fundamental. La empresa es la unidad económica de producción
Más detallesFUNCIONES CUADRÁTICAS. PARÁBOLAS
FUNCIONES CUADRÁTICAS. PARÁBOLAS 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS Representemos, en función de la longitud de la base (x), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro 1 metros. De ellos, cuáles son las medidas
Más detallesGuía Práctica de la Unidad I. Economía I - 2013.
Resuelva la presente guía teniendo en cuenta estos puntos: En caso de Verdadero o Falso (V/F) Justifique sus respuestas. En caso de múltiple choice existe una única opción. 1. (V/F)Si las manzanas y las
Más detallesADMINISTRACIÓN DE OPERACIONES EJERCICIOS No 1. PRIMERA PREGUNTA Un vendedor puede comprar pantalones a precios referenciales.
ADMINISTRACIÓN DE OPERACIONES EJERCICIOS No 1 PRIMERA PREGUNTA Un vendedor puede comprar pantalones a precios referenciales. Si compra 100 unidades, el costo unitario es $ 11; Si compra 200 unidades, el
Más detallesProblemas de Sistemas de Inecuaciones lineales con dos incógnitas.
Problema 1. Se considera la región factible dada por el siguiente conjunto de restricciones: + 5 + 3 9 0, Representar la región factible que determina el sistema de inecuaciones anterior hallar de forma
Más detalles4,2 + 0,67 Y c) R 2 = 0,49. 3.- En la estimación de un modelo de regresión lineal se ha obtenido:
INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA. Relación 4: REGRESIÓN Y CORRELACIÓN 1.- En una población se ha procedido a realizar observaciones sobre un par de variables X e Y. Xi 4 5 4 5 6 5 6 6 Yi 1 1 3 3 3 4 4 ni
Más detallesTema 3: Cálculo de Probabilidades Unidad 2: Variables Aleatorias
Estadística Tema 3: Cálculo de Probabilidades Unidad 2: Variables Aleatorias Área de Estadística e Investigación Operativa Licesio J. Rodríguez-Aragón Noviembre 2010 Contenidos...............................................................
Más detallesUNIDAD 2. Elasticidades. Objetivo. Al finalizar la unidad, el alumno:
UNIDAD 2 Elasticidades Objetivo Al finalizar la unidad, el alumno: Identificará qué elementos son indispensables considerar al tomar decisiones de mercado. Analizará la elasticidad-precio de la demanda
Más detallesACTIVIDADES INCLUIDAS EN LA PROPUESTA DIDÁCTICA: DE AMPLIACIÓN
Pág. ENUNCIADOS Resuelve: a) b) 4 c) d) 4 4 e) f ) 7 g) h) Resuelve las ecuaciones siguientes: a) b) 7 c) d) 4 Resuelve las ecuaciones siguientes: a) b) ( ) ( ) ( ) ( 4) 7 c) [( ) ( ) ] d) 4 ( ) e) 0,(
Más detallesAlgunos conceptos microeconómicos. Tema: Elasticidad.
UNIVERSIDAD DEL VALLE FACULTAD DE CIENCIAS DE LA ADMINISTRACIÓN MICROECONOMÍA rograma de Contaduría ública rofesor: Uvencer Alexander Gómez I. Marzo de 008. Algunos conceptos microeconómicos. Tema: Elasticidad.
Más detallesla posición de inventario no será igual al inventario disponible cuando se coloca un pedido en términos de los inventarios disponibles 4.
1.- Una empresa que se dedica a la venta de bebidas gaseosas tiene una demanda anual de 3600 cajas, Una caja de bebidas le cuesta a la empresa $3.00, el costo de cada pedidos es de $ 20.00, y los costos
Más detallesUniversidad Icesi Departamento de Matemáticas y Estadística
Universidad Icesi Departamento de Matemáticas y Estadística Solución del examen final del curso Cálculo de una variable Grupo: Once Período: Inicial del año Prof: Rubén D. Nieto C. PUNTO. (x ) sen(x )
Más detallesECONOMÍA I MICROECONOMÍA PRODUCCIÓN Y COSTES. El ingreso total es la cantidad que recibe una empresa por la venta de su producción.
TEMA 4 PRODUCCIÓN Y COSTES En este tema vamos a estudiar la conducta de la empresa, lo que nos permitirá conocer mejor la curva de oferta de un mercado. También analizaremos una parte de la economía denominada
Más detallesParcial. lim. 4. Dada la función z = f (x, y) = x 2 y 2x 2 4y 2 determinar los puntos críticos y clasificarlos como máximos, mínimos o puntos silla
1. (a) Halle el límite, si existe, o muestre que no existe lim (x,y) (2,2) x 3 + x 2 y 2xy 2 3x 3 + xy 2 3x 2 y y 3 (b) Utilizar la regla de la cadena para calcular z s ó z t si z = xe y + ye x, x = e
Más detallesOBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS. Variables. Relación funcional.
86 _ 069-078.qxd 7//07 : Página 69 Funciones INTRODUCCIÓN El concepto de función es uno de los más importantes que se tratan en este curso y, aunque no reviste una especial dificultad, plantea a veces
Más detallesCURSOS CENEVAL TOLUCA
Precálculo Propiedades de los números reales Los números que se utilizan en el álgebra son los números reales. Hay un número real en cada punto de la recta numérica. Los números reales se dividen en números
Más detalles