Tasa de variación media. Concepto de derivada

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1 Unidd 7. Derivd de un unción lsmtemtics.eu Pedro Cstro Orteg mteriles de mtemátics Mtemátics I - º Bchillerto Ts de vrición medi. Concepto de derivd L ts de vrición medi de un unción L TVM de en en un intervlo, b, designd TVM, b b TVM, b, b es l pendiente del segmento que une los puntos A,, b, es el cociente: B b b. A veces, l intervlo se le design medinte l epresión, h nombrndo, sí, un etremo del intervlo,, su longitud, h. En tl cso, l ts de vrición medi se obtiene sí: h TVM, h h El crecimiento de un unción en un punto viene ddo, de orm nturl, por el crecimiento (l pendiente) de l rect tngente l curv en ese punto. Relción entre el crecimiento en un punto l TVM L TVM de un unción en un intervlo se interpret como l pendiente de l cuerd correspondiente. Y t X X X A X Si nos ijmos en l igur nterior será TVM, TVM, AX, etcéter. pendiente de AX ; TVM, pendiente de AX ; pendiente de L rect tngente, t, se obtiene como límite de ls secntes AX, AX, AX, Por tnto, su pendiente es el límite de ls secntes AX i, cundo Xi A Derivd de un unción en un punto El crecimiento de un unción en un punto se mide por l pendiente de l rect tngente l gráic de l unción en ese punto. Se obtiene medinte el siguiente límite: lim A este límite, cso de eistir ser inito, se le llm derivd de en el punto se design simbólicmente por '. Si el límite nterior no eiste o es, se dice que no eiste l derivd de en el punto, o que no es derivble en. Derivd de un unción Págin

2 Unidd 7. Derivd de un unción Ejemplos. Hllr l derivd de l unción Vemos si eiste el límite lim 7 lsmtemtics.eu Pedro Cstro Orteg mteriles de mtemátics en el punto de bscis., cundo. 4 0 lim lim lim 0 lim lim Hllr l derivd de l unción Vemos si eiste el límite lim en el punto de bscis., cundo.. Por tnto. lim lim lim lim lim lim lim 0. Por tnto Hllr l derivd de l unción en el punto de bscis 5. Vemos si eiste el límite lim, cundo 5. Mtemátics I - º Bchillerto lim lim lim lim lim lim lim lim 5 4. Por tnto ' Hllr l derivd de l unción en el punto de bscis 4. Vemos si eiste el límite lim, cundo lim lim lim lim lim lim lim lim Por tnto '4 Derivd de un unción Págin

3 Unidd 7. Derivd de un unción lsmtemtics.eu Pedro Cstro Orteg mteriles de mtemátics Función derivd Mtemátics I - º Bchillerto Supongmos que es un unción se A es conjunto de puntos en los que l unción es derivble. Entonces l unción se le llm unción derivd de. : A Derivd de un unción Págin Pr hllr l unción derivd en un punto genérico, volvemos estudir l eistenci del límite Ejemplos. Hllr l derivd de l unción lim en un punto culquier de su dominio. 0 lim lim lim 0 lim lim 4 Por tnto, l derivd en un punto culquier 4. Esto es lo mismo que decir que si, entonces 4., es. Hllr l derivd de l unción en un punto culquier de su dominio. 0 0 lim lim lim lim lim lim Por tnto, l derivd en un punto culquier, es. Esto es lo mismo que decir que si, entonces en un punto culquier de su dominio. 0 lim lim lim lim lim lim 0 Por tnto, l derivd en un punto culquier, es. Esto es lo mismo que decir que si, entonces.. Hllr l derivd de l unción Utilizndo l técnic vist en los ejemplos nteriores se pueden recopilr uns regls práctics con ls que se puede hllr, mu ácilmente, l derivd de culquier unción elementl. En l siguiente sección se propone un tbl de derivds uns regls elementles de derivción. Tmbién se dn ls derivds de ls unciones compuests. Pr ello h que tener en cuent l siguiente regl, conocid por derivd de l unción compuest o regl de l cden. g ' g g '

4 Unidd 7. Derivd de un unción lsmtemtics.eu Pedro Cstro Orteg mteriles de mtemátics Tbl de derivds regls de derivción Mtemátics I - º Bchillerto Tbl de derivds Función Derivd Función compuest Derivd k ' 0 ' ' n ' ' ' e ' n n n e ' ln ln log ' ' e n ' n ln ln sen ' cos cos ' sen tg log ' ' ' ' ' e ' ln ' ' ' ln ' ln sen ' cos cos ' sen tg ' tg cos ' tg cos rcsen rccos rctg ' ' ' rcsen rccos rctg ' ' ' Derivd de un unción Págin 4

5 Unidd 7. Derivd de un unción Regls de derivción lsmtemtics.eu Pedro Cstro Orteg mteriles de mtemátics Mtemátics I - º Bchillerto Derivd de un número por un unción Función k ' k Derivd de un sum o de un dierenci g ' g ' Derivd Derivd de un producto g g g ' Derivd de un cociente Regl de l cden g g ' g g g ' g ' L regl de l cden viene decir que si un unción está compuest por vris se v derivndo desde uer hci dentro. De tl mner que se deriv l primer unción que se observe. Luego se multiplic por l derivd de l unción que h dentro de l nterior sí sucesivmente. Observ ls dos últims columns de l tbl de derivds. Ejemplos. Si 4 Derivmos primero l potenci luego se multiplic por l derivd de l unción que h dentro ln Derivmos primero l ríz luego el logritmo.. ln ln Derivmos primero l eponencil luego l ríz. ln ln 4. ln Derivmos primero l ríz, luego lo que h dentro de l ríz, que es un producto de dos unciones (hemos de utilizr l regl de l derivd de un producto). ln ln ln ln ln ln e Esto es un cociente de unciones, por tnto se plic l regl de derivción de un cociente. Observ que l unción del numerdor es un eponencil de bse e, luego su derivd es ell mism multiplicd por l unción de rrib. 5. e e e e 6 5 Derivd de un unción Págin 5

6 Unidd 7. Derivd de un unción lsmtemtics.eu Pedro Cstro Orteg mteriles de mtemátics Mtemátics I - º Bchillerto IMPORTANTE Es mu importnte simpliicr el resultdo trs derivr, de tl mner que l derivd quede lo más mnejble posible. Pr ello tenemos que plicr todos los recursos conocidos que estén nuestro lcnce: operciones con rcciones, scr ctor común, propieddes de ls potencis de ls ríces, rcionlizr, propieddes de los logritmos, etcéter. 6. ln Se deriv l ríz, luego el logritmo por último el cociente, utilizdo l regl de l derivd de un cociente. ln ln ln ln ln ln ln ln sen cos 7. Se trt de un producto de dos unciones. Aplicmos pues l regl de derivción de un producto. Además el primer ctor es sen sen. Pr derivrlo se plic l regl de l cden: ' sen cos. Por tnto: sen cos cos sen sen sen cos sen 8. tg Derivmos l ríz luego l tngente. tg tg tg tg Derivmos primero el rcotngente luego l unción, que es un cociente de unciones. 9. rctg 0. cos ln Se trt de un cociente de unciones. Hemos de plicr l regl de derivción de un cociente. sen ln cos ln ln sen ln cos Derivd de un unción Págin 6

7 Unidd 7. Derivd de un unción lsmtemtics.eu Pedro Cstro Orteg mteriles de mtemátics Rect tngente un unción en un punto Mtemátics I - º Bchillerto Un de ls plicciones de ls derivds es l posibilidd de clculr l rect tngente l gráic de un unción en un punto ddo. En concreto, dd un unción de l cul conozcmos su derivd, un número rel donde l unción esté deinid, sbemos que l gráic de l unción ps por el punto l gráic de l unción que pse por el punto,,. Podremos pues trzr l rect tngente. Observ l gráic de l derech. Sbemos que un rect tiene ecución m n, que l número m se le llm pendiente de l rect. Pues bien, l derivd de l unción en, el punto,, tiene l propiedd de que es justmente l pendiente de l rect tngente en. Además l ecución de l rect tngente es: ' Por ejemplo, supongmos que tenemos l unción, cu gráic es l siguiente: Si tommos el número rel l gráic de l unción ps por el punto, observmos que su imgen es,,,8 7 9,8. O se, que 6 5 5, el cul se h mrcdo en l gráic con un puntito lgo más grueso. Ahor queremos hllr l rect tngente l gráic de l unción que ps por este punto. Procedemos del siguiente modo: Primero, derivmos l unción l simpliicmos en l medid de lo posible: Derivd de un unción Págin 7

8 Unidd 7. Derivd de un unción lsmtemtics.eu Pedro Cstro Orteg mteriles de mtemátics Ahor hllmos l derivd de en el punto, es decir, ' : Ahor sustituimos en este cso tenemos:,,8, ', 44 Mtemátics I - º Bchillerto, que, recordemos, es l epresión de l rect tngente. En ' ',44. Entonces:,8, 44,8, 44,8, 44 4,, 44,5 Por tnto l rect tngente l gráic de en el punto,,8 es,44,5. Vmos dibujrl pr ver que, eectivmente, est rect es tngente en,,8. rect tngente en,,8, 44,5 Est plicción de ls derivds es mu importnte. Trtr con ciertos enómenos en determinds áres del conocimiento, que se justn modelos o unciones más o menos complicds es bstnte común. Además, en ocsiones nos interes sber qué le ocurre ese enómeno en cierto momento o en cierto punto. Podemos hcer proimciones válids utilizndo l rect tngente en dicho punto. Bst con observr que, en ls cercnís del punto de tngenci, l gráic de l unción se prece mucho l rect tngente. Tnto que llegn conundirse. Y l rect, l ser un polinomio de grdo uno, es mucho más ácil de trtr que un unción cu epresión mtemátic siempre será más complicd. Derivd de un unción Págin 8

9 Unidd 7. Derivd de un unción lsmtemtics.eu Pedro Cstro Orteg mteriles de mtemátics Monotoní etremos reltivos de un unción Mtemátics I - º Bchillerto Ls derivds proporcionn inormción sobre l monotoní de un unción, es decir, en qué intervlos es creciente o en qué intervlos es decreciente. L ide intuitiv de crecimiento decrecimiento es mu clr. Formlizrl cuest lgo más: un unción deinid en un intervlo es estrictmente creciente si ls imágenes conservn el orden de los originles, es estrictmente decreciente si ls imágenes invierten el orden de los originles (ver igur). estrictmente creciente Se dice que un unción es constnte en un intervlo si ls imágenes permnecen constntemente igules en ese intervlo. L gráic se trtrá pues de un rect horizontl. Es decir, l unción será de l orm k, donde k es un número rel ijo, pr todo del intervlo menciondo. estrictmente decreciente A veces, busndo del lenguje, diremos que un unción es creciente en vez de estrictmente creciente se denotrá simbólicmente con dos lechs hci rrib:. Del mismo modo diremos que un unción es decreciente en vez de estrictmente decreciente se denotrá simbólicmente con dos lechs hci bjo:. En los puntos donde l unción pse de ser decreciente creciente diremos que h un mínimo reltivo, en los puntos donde l unción pse de ser creciente decreciente diremos que h un máimo reltivo. Otr vez, l ide intuitiv de máimo mínimo es clr, pero hemos de ormlizrl desde el punto de vist mtemático: un unción lcnz en un punto un mínimo reltivo si su imgen es menor o igul que l de todos los puntos de su lrededor, mínimo reltivo máimo reltivo,,,, lcnz un máimo reltivo si su imgen es mor o igul que l de todos los puntos que están su lrededor. Derivd de un unción Págin 9

10 Unidd 7. Derivd de un unción lsmtemtics.eu Pedro Cstro Orteg mteriles de mtemátics Mtemátics I - º Bchillerto En el siguiente resultdo se pone de mniiesto l relción entre ls derivds l monotoní los etremos reltivos. Supongmos que es un unción deinid en un intervlo. Entonces: Si 0 en todo punto del intervlo, entonces es estrictmente creciente en ese intervlo. Si 0 en todo punto del intervlo, entonces es estrictmente decreciente en ese intervlo. Si lcnz un máimo o un mínimo reltivo en un punto del intervlo, entonces 0. En l práctic Pr estudir l monotoní los etremos reltivos de un unción, se procede de l siguiente mner: ) Se ecluen del estudio los siguientes puntos: Los puntos que no pertenecen l dominio de l unción (puntos de discontinuidd de, que tmbién lo son de, pues si un unción no es continu en un punto tmpoco es derivble en el mismo). Los puntos en los que no esté deinid l derivd (el resto de puntos de discontinuidd de ). Los puntos críticos o singulres de, es decir, quellos que hcen l derivd 0 : tles que 0. b) Se divide l rect rel en distintos intervlos, seprdos por los puntos nteriores. Es posible demostrr que en cd uno de estos intervlos el signo de no cmbi. Por tnto, según el resultdo nterior, es siempre estrictmente creciente, o estrictmente decreciente, en cd uno de ellos. c) Teniendo en cuent lo nterior, construimos un tbl donde ls columns serán dichos intervlos los puntos que los seprn. Añdimos un il pr los signos de otr pr l monotoní de. d) En los puntos que seprn los intervlos, si no son puntos de discontinuidd de, observmos l monotoní de l izquierd l derech. Si h cmbio de estrictmente decreciente estrictmente creciente, o de estrictmente creciente estrictmente decreciente, tendremos respectivmente un mínimo o un máimo reltivo, en dicho punto. Ejemplo Como ejemplo estudiremos l monotoní los etremos reltivos de l unción El dominio de es. 0 que 0 nul el denomindor. Entonces 0 es un punto de discontinuidd de. De hecho, en 0 h un síntot verticl: Ahor derivmos l unción: Observción de importnci lim 0 lim 0 4 Es vitl pr l eistenci humn () simpliicr decudmente l derivd. Pr ello se recomiend etrer ctor común epresr, siempre que se pued, tnto el numerdor como el denomindor, como producto de ctores. Así será siempre mucho más ácil tnto resolver l ecución 0, que es l que posibilit etrer los puntos críticos o singulres, como estudir el signo de l derivd, pr conocer el crecimiento o decrecimiento de l unción. Está clro que 0 tmbién es un punto de discontinuidd de que en este punto no está deinid l derivd. Vemos hor los puntos que nuln l derivd sí obtendremos los puntos críticos o singulres. Derivd de un unción Págin 0

11 Unidd 7. Derivd de un unción lsmtemtics.eu Pedro Cstro Orteg mteriles de mtemátics Mtemátics I - º Bchillerto Así pues, los puntos obtenidos pr dividir l rect rel son 0 (que no pertenecí l dominio ni de ni de, es decir, puntos de discontinuidd de l unción de su derivd), estos dos últimos, los puntos críticos o singulres:,. Construimos pues un tbl tl como se h eplicdo en el procedimiento nterior:,, 0 0 0,, 0 no eiste 0 no es ni máimo, ni mínimo no eiste máimo Los signos de l derivd se hn obtenido dndo un vlor culquier dentro del intervlo. Así, pr el intervlo,, escogemos un número que pertenezc dicho intervlo, por ejemplo, evlumos l derivd en dicho punto: 4 4 ' Es conveniente destcr que lo importnte no es el resultdo en sí (/ en este cso), sino su signo (positivo en este cso, obsérvese que hemos colocdo un en l tbl). Por tnto, como l derivd es positiv, l unción es estrictmente creciente ( ) en el intervlo,. De l mism orm se procede con el resto de intervlos. En el punto no h ni máimo ni mínimo porque l unción es creciente tnto l izquierd como l derech del mismo. Estos son los csos donde l unción es probble que cmbie de curvtur (se llmn puntos de inleión). En el punto h un máimo reltivo porque l unción ps de ser decreciente ser creciente. Si en l unción originl, hllmos el vlor numérico pr tendremos l coordend del máimo reltivo: 7 6,75 4 Así pues, ls coordends del máimo reltivo son, 6,75. Con estos dtos lgunos que conoces (cálculo de síntots puntos de corte con los ejes) se puede relizr un mu buen representción gráic de l unción. Recuerd que hbímos obtenido que 0 (el eje Y ) es un síntot verticl (por eso, en l tbl se escribe no eiste en l column correspondiente l vlor 0 ). si En este cso, demás, l unción no tiene síntots horizontles pues lim lim, si pero est inormción, sin embrgo, nos proporcion l tendenci de l unción hci menos ininito hci más ininito. Vemos si h lgun síntot oblicu de l orm m n : lim lim m lim n lim m lim lim lim Derivd de un unción Págin

12 Unidd 7. Derivd de un unción Por tnto l síntot oblicu es. lsmtemtics.eu Pedro Cstro Orteg mteriles de mtemátics Mtemátics I - º Bchillerto Los puntos de corte con los ejes son los siguientes: Eje X. Igulmos l imgen 0 : Por tnto el punto de corte con el eje X es el, 0. Eje Y. Tenemos que hllr l imgen pr 0 que el dominio de l unción er. Pero esto es imposible (recuerd 0 0 nterior, l representción gráic de l unción qued de l siguiente mner:. Así pues, no h puntos de corte con el eje Y.Con todo lo mínimo:, 6,75 Derivd de un unción Págin

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