Objetivo: Determinar la distribución de probabilidad que puede modelar un conjunto de datos de muestra

Transcripción

1 PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE NOTAS DE CLASES PROFESOR: Crlos Alberto Márquez Fernández GUÍA Objetvo: Determnr l dstrbucón de probbldd que puede modelr un conjunto de dtos de muestr Objetvos Específcos Aplcr l pruebs de bondd de juste de Ch cudrdo pr determnr cundo un conjunto de dtos sgue un dstrbucón teórc Aplcr l pruebs de bondd de juste de Kolmogoró Smrnov pr determnr cundo un conjunto de dtos sgue un dstrbucón teórc Introduccón En los sstems reles regulrmente nos encontrmos con vrbles cuyo comportmento es letoro, y son susceptbles de ser modelds por vrbles de entrd de un modelo estocástco, estás vrbles requeren de un trtmento estdístco pr su genercón de mner rtfcl, el cul se relz usulmente por medo de un modelo teórco de dstrbucón de probbldd, es sí como ls pruebs de bondd de juste es un buen herrment pr determnr el comportmento de un conjunto de dtos En muchs ocsones cundo se está smulndo un sstem, ls vrble son controlbles del modelo son estocástcs, ls vrbles de entrds ls cules tenen un comportmento letoro son muestreds con el objetvo detener un conjunto de dtos sobre dch vrble letor y encontrr el modelo de dstrbucón de probbldd que pued representr ls sere de dtos productos de l muestr. En otrs plbrs lo que se dese es probr l hpótess que un modelo de probbldd teórco (norml, exponencl, possón etc) en prtculr será un modelo stsfctoro de l poblcón en estudo. Este juste de los dtos un modelo de dstrbucón de probbldd se puede relzr por medo de ls pruebs estdístcs ms conocds como pruebs de bondd de juste tles como l ch cudrdo y l de Kolmogor-smrnov. Debe tenerse en cunt que cundo un sere de dtos se l plc culquer de ls pruebs de bondd y se encuentr que nngún modelos teórco se puede justs l sere de dtos, se trbj entonces con el modelo empírco(que no es modelo estándr conocdo)

2 PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE CHI CUADRADO x El procedmento de l prueb requere un muestr letor de tmño n provenente de l poblcón cuy dstrbucón de probbldd es desconocd. Ests n observcones se pueden dstrbur en k ntervlos de clses y pueden ser representds en hstogrms. L prueb se puede utlzr tnto pr dstrbucones dscrets como pr dstrbucones contnus L prueb se puede sntetzr en los sguentes psos. 1. Se colocn los n dtos hstórcos (muéstrles) en un tbl de frecuenc de l sguente mner:. Se busc en cuntos ntervlos de clses se puede dstrbur los dtos en estudo lo cul se puede hcer m n o lterntvmente es muy común utlzr ls encontrr el número de ntervlos se plc l regl de sturges: m 1+3,3 log n donde n es el número de dtos b. Luego encontrmos el rngo el cul es l dferenc entre el myor vlor y el menor vlor. R mx - mn c. Ampltud de cd ntervlo está ddo por: Rngo A Númerodent ervlos d. se obtenen ls frecuencs observds en cd ntervlos se clcul l med, l vrnz y ls desvcón estándr.. Se propone un dstrbucón de probbldd un dstrbucón de probbldd de cuerdo con l tbl de frecuenc o con l curv que muestre un hstogrm o polígono de frecuenc. 3. Con l dstrbucón propuest, se clcul l frecuenc esperd pr cd uno de los ntervlos (FE ) de l sguente mner: S l vrble es contnu se hll mednte l ntegrcón de l dstrbucón propuest y luego se multplc por el número totl de dtos. S l vrble es contnu se utlz de modelo mtemátco de l dstrbucón propuest y se evlún tods l ctegorís y luego se multplc por el número totl de dtos.

3 4. Se clcul el estdístco de prueb C m 1 ( FE FO) FE Not: El estdístco de prueb tene dstrbucón Ch cudrdo con, m-k-1 grdos de lbertd, sempre que ls frecuencs esperds sen 5 o más pr tods ls ctegorís 5. S el estmdor C es menor o gul l vlor correspondente con m-k-1 grdos de lbertd (K números de prámetros estmdos de l dstrbucón propuest estmd por los estdístcos muéstrles) y un nvel de confbldd de 1-α, entonces no se puede rechzr l hpótess de que los dtos sguen l dstrbucón que se propuso. DETERMINACIÓN DE LOS GRADOS DE LIBERTAD EN UNA PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE. S queremos clculr el número propdo de grdos de lbertd en un prueb de bondd de juste ch cudrdo, contmos el números de clses ( representdos por m) pr los cules hemos comprdos ls frecuencs observds y ls esperds, entonces plcmos l regl (m-1) y luego se rest un grdo dconl de lbertd pr cd prámetro de l poblcón que teng que ser estmdo de los dtos de l muestr. Debe notrse que est regl es gul l que tenemos en el punto 5. m-k-1 RECOMENDACIONES IMPORTANTES Un specto que debe notrse en l plccón de este procedmento de prueb es el relconndo con l mgntud de ls frecuencs esperds. S ests frecuencs son muy pequeñs, entonces el estdístco x no reflejrá el lejmento entre lo observdo y lo esperdo, s no solo l pequeñ mgntud de ls frecuencs esperds. No hy nngún cuerdo generl con respecto l vlor mínmo de ls frecuencs esperds, pero los vlores 3, 4 y 5 son los que ms se utlzn como mínmos. Algunos utores sugeren que l frecuenc esperd puede ser tn pequeñ como 1 o, con tl que muchs de ells sen myores que 5. S se esper que un frecuenc se demsdo pequeñ, entonces puede combnrse con l frecuenc esperd en un ntervlo de clse dycente. Ls frecuencs observds correspondentes tmbén se combnn, por lo que m debe dsmnurse en uno. No es necesro que los ntervlos de clses tengn el msmo ncho. L prueb de bondd de juste ch cudrdo tl vez nos se el mejor procedmento cundo l vrble es contnu.

4 PRUEBA CHI CUADRADO PARA UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL En un estudo dseñdo pr determnr l tolernc de los pcentes un nuevo nlgésco, 100 médcos selecconron cd uno un muestr de 5 pcentes pr prtcpr en el estudo. Cd pcente después de hber tomdo el nuevo nlgésco durnte un perodo especfcdo, fue nterrogdo pr sber s preferí éste o el que hbí tomdo regulrmente con nterordd. El nterés consste en determnr s los dtos son comptble con l hpótess de que extrjeron de un un poblcón que sgue un dstrbucón Bnoml. Aplccón Anlcemos un dstrbucón dscret Pr nlzr el número de rtículos defectuosos en un fbrc en l cudd de Medellín, tommos un muestr letor de n60 rtículos y se observó el número de defectuosos y se obtuveron los sguentes resultdos: Números de rtículos defectuosos Frecuenc Observd Totl n 60 Se propuso un dstrbucón de possón y que est se defne pr x0,1,,3,... mednte el sguente modelo. P() x l x! Al proponer est dstrbucón es clro que debemos conocer l med, l cul l estmmos prtr de los dtos de l muestr. L estmcón del número promedo de rtículos defectuosos, es el promedo mestrl (3x0+15x1+9x+4x3)/ P ( 0) l 0! l P ( 1) 1! l P ( )! P ( 3) 1 ( p0 + p1 + p) 0.041

5 Ls frecuencs esperds se clculn multplcndo el tmño de l muestr n60 Por ls probblddes p, esto es, FE n * p Nº de defectos prob. Posson FE 0 0,47 8,3 1 0,354 1,4 0,133 7,98 3( o más) 0,041,46 Puesto que l frecuenc esperd el l últm celd es menor que 5 se combnn ls dos últms celds: L estdístc de prueb Ch cudrdo tene m-k grdos de lbertd, debdo que l med de posson fue estmd prtr de los dtos de muestr. Al plcrse le procedmento pr l prueb α 0.05, de l sguente mner. 1. L vrble de nterés es l form de l dstrbucón de los defectos en ls trjets de crcuto mpreso.. H o : El número de defectos en l trjets de crcuto mpreso tene un dstrbucón de Posson. 3. H : El número de defectos en l trjets de crcuto mpreso no tene un dstrbucón de Posson. 4. α El estdístco de prueb es: 6. Se rechz H o s > 0.05, Cálculos k 1 ( Fo FE) ( 3 8.3) ( ) ( ) FE Conclusones: Nº de defectos Fo FE 0 3 8, ,4 ( o más) 13 10, < 0.05,1.94<3.84 No es posble rechzr no es posble rechzr l hpótess nul de que l dstrbucón de los defectos en ls trjets de crcuto mpreso sgue un dstrbucón de Posson

6 Problem Aplccón de l dstrbucón de Posson El gerente de un bnco de l cudd de Medellín busc sgnr l cntdd de cjers l cntdd de tl mner que se brnde un buen nvel de servco y l msmo tempo mntener un nvel rzonble en el costo totl de mno de obr. Pr llevr cbo el estudo un vrble mportnte es l llegds de los clentes, sobre l cul relzmos un muestreo, luego se nlz s l dstrbucón de probbldd de Posson puede modelr este conjunto de dtos. Pr llevr cbo el proceso de muestreo defnremos ls entrds de los clentes en térmnos de l cntdd de clentes que entrn bnco durnte ntervlos de cnco mnutos. En consecuenc, ls hpótess nul y lterntv sguentes son ls decud pr el estudo del bnco. H o : L cntdd de clentes que llegn l bnco durnte ntervlos de 5 mnutos tene un dstrbucón de Posson de probblddes H : L cntdd de clentes que llegn l bnco durnte ntervlos de 5 mnutos no tene un dstrbucón de Posson de probblddes. Pr probr l hpótess de un dstrbucón de Posson pr l cntdd de entrds un empledo del bnco seleccon l zr un muestr de 18 ntervlos de 5 mnutos, en dís hábles y durnte un perodo de tres semn, puede ser en ls hors de l mñn. Pr cd ntervlo se not l cntdd de clentes que llegn. Y se determn l cntdd de ntervlos de 5 mnutos donde no hubo entrds, l cntdd de ntervlos de 5 mnutos donde con un entrd, l cntdd de ntervlos de 5 mnutos donde con dos entrds, y sí sucesvmente. Los dtos los podemos representr en un tbl de frecuencs. Cntdd de clentes Fo Totl 18

7 Cntdd de clentes f(x) FEf()*18 0 0,0067 0, ,0337 4,313 0,084 10, , , ,1755, ,1755, ,146 18, , , ,0653 8, ,0363 4, o más 0,0318 4,0740 Ls ctegorís de frecuencs menores de 5 no cusn dfcultd, porque se puede sumr con ctegorís dycentes pr stsfcer el requsto de cundo menos 5 pr l frecuenc esperd. En este cso combnremos 0 y 1 en un sol ctegorí, y demás combnremos 9 con 10 o más pr formr otr ctegorí. Con ello stsfcemos l regl de de unfrecuenc esperd de mínm de 5. ( ) Cntdd de clentes Fo FE Fo FE FE 0 o ,1747 4, ,7807 0, ,9679 1, ,4598 0,8856 5,4598 0, ,7165 0, ,3689 0, ,3556 1, o más 6 8,7160 0,8463 Totl 18 18, ,968 Fnlmente k 1 ( Fo FE) FE Pr determnr los grdos de lbertd decudos, socdo con est prueb de bondd de juste tene m-k-1 grdos de lbertd, sendo m l cntdd de ctegorís, k l cntdd de prámetros poblconles estmdos con los dtos de muestr. Pr nuestro cso tenemos entonces m-k grdos de lbertd pr l dstrbucón ch cudrdo en el estudo del bnco. Al plcrse le procedmento pr l prueb α 0.05, de l sguente mner.

8 Número de unddes con defecto Número de muestrs ó más 9 l bnco 1. L vrble de nterés es el número de clentes que entrn. H o : El número de clentes que entrn l bnco tene un dstrbucón de Posson. 3. H : El número de clentes que entrn l bnco no tene un dstrbucón de Posson. 4. α El estdístco de prueb es: 6. Se rechz H o s > 0.05,73.84 k 1 ( Fo FE) FE 7. Los cálculos se relzn smlr l ejercco nteror 8. Conclusones: 0 < 0.05, <14.07 No es posble rechzr no es posble rechzr l hpótess nul de que ls entrds de clentes puede modelrse por medo de Posson Ejemplo: S un ngenero de control de cldd tom un muestr de 10 neumátcos que slen de un líne de ensmblje y él dese verfcr sobre l bse de los dtos que sguen, los números de llnts con defectos observds en 00 dís, s es certo que el 5% de todos los neumátcos tenen defecto; es decr, s el muestre un poblcón bnoml con n 10 y p 0.05

9 Estblecer l hpótess Ho: L poblcón es bnoml H: L poblcón no es bnoml Estblecer l estdístc de prueb χ k 1 [ f f ] o f e e O Vlor observdo en l -ésmo dto. E Vlor esperdo en l -ésmo dto. K Ctegorís o celds. m Prámetros Defnr el nvel de sgnfcnc y l zon de rechzo 5.99 g,l k- m 1 (3 0-1) χ Nvel de sgnfcnc 0.05 Zon de rechzo { χ / χ 5.99) m 0 porque no se necesto estmr nngún prámetro k 1 [ f f ] o f Clculmos el estdístco de prueb e e Pr poder clculr ls frecuencs esperds tenemos que clculr ls probblddes utlzremos l formul de l bnoml

10 f ( x) n x x nx P( x) p (1 p) donde n 10 p ( ) 0.05 ( f (0) 0 ) ( ) 0.05 (10.05 f (1) 1 ) y l probbldd de ó más Ahor y podemos encontrr ls frecuencs esperds: 00 (0.599) (0.315) (0.086) 17. Número de unddes con defecto Número de muestrs Observds Vlor Esperdo , ó más 9 17, Totl Al plcr l formul se tene: ( ) χ ( ) + 63 (9 17.) Como 8.6 es myor que 5.99, se rechz l hpótess nul con un nvel de sgnfcnc de Conclusón Se concluye que el porcentje verddero de neumátcos con defecto no es el 5%.

11 Ejemplo. S el número de errores que comete un secretr l trnscrbr un documento es un vrble letor que tene un dstrbucón de Posson. Se revso 440 trnscrpcones hechs por ell y rrojo los sguentes resultdos: Vrble números de errores Número de errores Frecuenc Probr s los dtos de los errores se justn un dstrbucón de Posson. Use α H 0 : L poblcón se comport como un dstrbucón de Posson H : L poblcón no se comport como un dstrbucón de Posson. El estdístco de prueb que usremos es: χ f E ) ( f O f E Nvel de sgnfccón α 0,05 gl χ 0,05;7 14,067 Regón de rechzo { χ χ 14,067} Pr poder clculr ls frecuencs esperds tenemos que clculr ls probblddes utlzremos l formul de l dstrbucón de Posson: x e p( x; ) x! Como no se conoce l med de l dstrbucón de Posson l estmmos con l med de los dtos, que es 3,04 luego, 3,04

12 errores Frecuenc Prob. Frecuenc esperd observd ,0478 1, , , ,10 97, ,39 98, ,170 74, , , ,054 3,056 7 ó ms 13 0, ,796 Totl Aplcmos los dtos l estdístco de prueb (18 1,03) (53 63,976) (13 15,796) χ ,03 63,976 15,796 5,6766 Como 6,7566 es menor 14,076 no se rechz l hpótess nul. Conclusón: L poblcón se comport como un dstrbucón de Posson con med 3,04 Ejemplo 3. El Deprtmento de Pscologí, bsándose en nformcones nterores, l fnl del semestre ntepsdo, el 80% de los lumnos probron tods ls mters nscrts, un 10% probó l mtd, un 6% reprobó tods ls mters y un 4% se retro. Al fnl del semestre psdo el deprtmento seleccono 400 lumnos, resultdo 87 probron tods ls sgnturs, 49 probron l mtd, 30 reprobron tods ls sgnturs y 34 se retrron. Podemos conclur, ríz de los resultdos, que l nformcón del semestre ntepsdo se h vuelto repetr el semestre psdo? Hpótess nul: de que los porcentjes del semestre psdo son los msmos que en el semestre ntepsdo. Atrbutos Dtos observdos Probbldd Dtos esperdos Aprobó todo 87 0,80 30 Aprobó l mtd 49 0,10 40 Reprobó todo 30 0,06 4 Se retró 34 0,04 16 Totl χ 7,178 Como tenemos 4 ctegorís y nngún prámetro estmdo los grdos de lbertd serán:

13 χ 0,05;3 1,84 Como 7,178 es myor que 1,84 se rechz l hpótess nul. Conclusón: Los porcentjes no se repteron el semestre psdo PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE DE KOLMOGOROV SMIRNOV - Es plcble solmente vrbles letors contínus - Comprr l gráfc de l dstrbucón empírc cumuld con l correspondente gráfc de l funcón de densdd cumuld de l dstrbucón teórc propuest. -S hy un cercmento entre ls gráfcs exste un probbldd de que l dstrbucón teórc se just los dtos. El hecho de que utlz l dstrbucón de probbldd cumuld l hce un poco más efcente que l prueb nteror L metodologí de l prueb es l sguente: 1. Se colocn los n dtos hstórcos en un tbl de frecuencs con m n ntervlos o utlzndo l formul de de Struges: K1+3.3log n ; donde n es el número de dtos de l muestr. 1.1Encuentre l mpltud del ntervlo de clse por medo de l sguente relcón Rngo Ampltud k 1. Pr cd ntervlo se tendrá l frecuenc observd (FO). Se clcul l med y l vrnz de los dtos. Se encuentr l probbldd observd (PO ), dvdendo l frecuenc observd de cd ntervlo por el número totl de dtos. 3. Se clcul l probbldd cumuld observd de cd ntervlo (PAO) del pso 4. Se propone un dstrbucón de probbldd de cuerdo con l form de tbl de frecuenc obtend en 1. O con l grfc de los dtos. 5. Con l funcón cumuld de l dstrbucón propuest, se clcul l probbldd esperd cumuld pr cd ntervlo (PEA ) mednte l ntegrcón de l dstrbucón propuest.

14 6. Se clcul l probbldd cumuld (PAE ) pr cd ntervlo de clse. 7. Se clcul el vlor bsoluto entre l dferenc de PAO y PAE pr cd ntervlo y se seleccon l máxm dferenc, llmándol MD 8. El estmdor MD se comport con un vlor lmte correspondente l (tbl que contene los vlores crítcos de kolmogorov-smrnov). Con n dtos y un nvel de confnz de 1 α. S el estmdor MD es menor o gul l vlor lmte de l tbl, entonces se cept h hpótess de que l nformcón hstórc sgue l dstrbucón propuest. EJERCICIOS DE APLICACIÓN CUANDO SE PROPONE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD UNIFORME. Un muestreo relzdo sobre l demnd de televsores en un lmcén del centro de Medellín durnte 40 ds tene el sguente comportmento Hllmos el rngo R mx mn. Encontrmos el vlor de R k log 41 k 6.3y se proxm Luego k 6 R 1 3. Hllr l mpltud A K 6 4. El lmte nferor es 1 y l superor se le sum l mpltud y sí sucesvmente, como se not en l tbl de frecuencs 5. Luego se complet l tbl de frecuencs 6. Se quere proponer l hpótess que los dtos en estudo sguen un dstrbucón unforme de lo cul procedemos de l sguente mner:. Integrmos l funcón de densdd de l dstrbucón unforme 6

15 1 s x b Lfuncón de densdd de un vrble letor unforme es : f ( x) b o pr otros vlores L funcón dedstrbucón cumuld se encuentr nt egrndo f ( x) de l sguente mner : LS 1 1 LS 1 LS LS 1 F( x) dx dx 1 1 b b 1 b 1 1 LS 1 luego F( x) 1 Con est formul se encuentr l POA(Pr obbldd observd cumuld) 3 1 Pr el prmer nt ervlo POA Pr el segundo nt ervlo POA y sí sucesvmente 1 LS Lmte superor decd nt ervlo pr cd nt ervlo de l s L Ls Fo FOA POA PEA POA PEA ,175 0,167 0, ,35 0,333 0, ,475 0,5 0, ,675 0,667 0, ,85 0, Podemos observr que l máxm dferenc de l column POA PEA es 0.05 L cul l ser comprd con l tbl de los vlores crítcos de kolmogorov Smrnov el cul es d 0.150, con l cul se cumple l 5 %,40 hpótess, luego no se rechz l hpótess que este conjunto de dtos se pueden modelr por medo de un dstrbucón unforme entre 1 y 13 televsores demnddos por dís A un nvel de confnz de del 95%. Luego que se h encontrdo que los dtos se pueden modelr por un dstrbucón unforme se busc entonces generr vrbles letors unformes como entrds estocástcs pr un modelo de smulcón trvés l formul + ( b ) * R Lmtenf eror b Lmte superor R Un número letoro unforme(0,1)

16 Pr estmr los prámetros y b utlzmos los métodos de los momentos en bse los dtos hstórcos. Como se tenen dos momentos se deben usr los dos prmeros de l med y l vrnz. Es decr, gulmos l med y l vrnz de l poblcón ) ( σ µ y l med de l muestr S y Se sbe que l med pr un dstrbucón unforme b + µ y que l vrnz es 1 ) ( S b σ Despejndo y b de ls dos expresones nterores: De l prmer ecucón despejmos b, b De l segund despejmos b, ) ( 1 ) ( S b S b S b S b + Ahor gulmos ls dos ecucones S S S + En resumen l ecucones pr estmr y b requeren que se estme l med y ls vrnz de l muestr 3 S 3 S b +

17 EJERCICIOS DE APLICACIÓN CUANDO SE PROPONE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD EPONENCIAL. Un muestreo relzdo sobre l demnd de cfé en el eje cfetero trvés del tempo, medd por crgs es Hllmos el rngo R mx mn R Encontrmos el vlor de 9. Hllr l mpltud A R K A 3 k log50 k 6.6 y se proxm Luego k L Ls Mc Fo FOA POA PEA POA PEA 0 3 1, ,4 0,39 0, , ,64 0,63 0, , ,78 0,78 0, , ,86 0,86 0, ,5 45 0,9 0,9 0, , ,9 0,95 0, > 18 19, L Dm0,03008 se compr con d lo cul ndc que los dtos de 5 %,50 cfé en el eje cfetero sguen un dstrbucón exponencl con med de 6 tonelds/ds. Es decr, Demnd Exp ( 6) tonelds/ds

18 Recordemos que el prámetro que defne l dstrbucón de probbldd exponencl es l med l cul se encuentr cundo los dtos están grupdos de l sguente mner: Mc * Fo n Mc Mrc de clses Fo Frecuenc observd n Tmño de l muestr ( Mc ) * Fo s n Mc Mrc de clses med muestrl Fo Frecuenc observd n Tmño de l muestr Con est formul se puede comprobr que 6 y se puede demostrr por el estmdor de máxm verosmltud de es l med muestrl, es decr Luego 6 Recuérdese que l ntegrr l funcón de densdd exponencl f ( x) l 0 x pr pr otros x 0 vlores Se obtene LS LS 1 F( x) l dx 0 Luego F( x) 1l LS dx Con l cul encontrmos PEA Pr nuestro ejemplo LS 6 F( x) 1l Pr cd nt ervlo 0 LS 1 l LE l LE LS 0 ( l LE l 0 ) 1l LE

19 EJERCICIOS DE APLICACIÓN CUANDO SE PROPONE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL. Un lmcén encuentr que el tempo de entreg de los peddos por prte de su proveedor es letoro, el proveedor leg que sempre entreg su mercncí en 7 dís o menos. L evtr el debte el gerente del lmcén hzo un muestreo de ls últms entregs y obtuvo l sguente nformcón: Demuestre prtr de l prueb de bondd so los dtos se pueden modelr prtr de un dstrbucón de probbldd norml. Hllmos l med y l vrnz muéstrles plcndo ls formuls pr dtos grupdos utlzdos en el ejercco nteror. 8,4 Y S3 L Ls Mc Fo FOA POA Z PEA POA PEA 0 1 0, ,5 0, , ,5 0,04-1,8 0, , , ,18-1,1 0,1515 0, ,5 1 0,39-0,5 0, , , ,75 0,19 0, , , ,93 0,86 0,8057 0, , ,98 1,53 0, , , , 0,986 0, , ,87 0, , L DM0,17403 se compr con d 0,18338, y y que DM es menor, 5 %,56 entonces no se puede rechzr l hpótess de que los dís de entreg de los peddos sguen un dstrbucón norml con med de 8,4 Y S3 con un nvel de confnz de 95% Tempo de entreg N (8.4,3) dís