Pruebas de Bondad de Ajuste

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1 1 Facultad de Ingeniería IMERL PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA Curso 2008 Pruebas de Bondad de Ajuste En esta sección estudiaremos el problema de ajuste a una distribución. Dada una muestra X 1, X 2,, X n de variables i.i.d. con distribución F, un problema básico en estadística es encontrar un modelo para los datos. Por ejemplo, supongamos que nos interesa ver hasta qué punto es razonable suponer que los datos provienen de una cierta distribución F 0. Las pruebas estadísticas destinadas a la resolución de este tipo de problemas son las llamadas Pruebas de Bondad de Ajuste. La mayoría de ellas se basa en la convergencia de la función de distribución empírica de la muestra: F n (x) = 1 {Xi x}, a la función de distribución subyacente a la muestra F. Dicha convergencia está garantizada en condiciones muy generales por el Teorema de Glivenko- Cantelli, también llamado Teorema Fundamental de la Estadística. En esta sección se incluyen algunas pruebas muy generales y conocidas (χ 2, Kolmogorov-Smirnov), y otras pruebas más específicas (Lilliefors, D Agostino). 1 La Prueba χ 2 de Pearson La primera prueba de bondad de ajuste fue propuesta por Karl Pearson en el año Pearson propuso evaluar el ajuste de una función de distribución F 0 a una muestra de variables i.i.d., mediante el uso de un estadístico de tipo cuadrático. Este planteamiento constituye la primera evaluación rigurosa de la calidad del ajuste a una distribución. Anteriormente a Pearson sólo se intentaron comparaciones subjetivas. Citemos como ejemplo el del uso de la distribución normal en la teoría de errores. Dicha distribución fue introducida por Gauss en 1801 para modelar los errores en la determinación de la posición del asteroide Ceres. Años después Laplace y Poisson llegaron a ella en versiones primigenias del Teorema

2 2 LA PRUEBA DE KOLMOGOROV Y SMIRNOV 2 Central del Límite. Poisson agregaría contraejemplos con límites no gaussianos. La primera justificación de la aplicabilidad del modelo fue dada por un ingeniero alemán: G. Hagen, en Pero hubo que esperar casi un siglo hasta que alguien (Pearson) propusiera verificar la adecuación del modelo. En el caso de hipótesis nula compuesta, en que es necesario estimar parámetros, las distribuciones asintóticas de los estadísticos del tipo χ 2 dependen del método de estimación utilizado. Fundamentación de la prueba Dada una muestra X 1, X 2,, X n de variables i.i.d., con función de distribución F, y una distribución F 0, Pearson considera la partición en k clases A 1, A 2,, A k del soporte de F 0 y a partir de ella propone el estadístico k (X ni np i ) 2 S = np i donde X ni = 1 Ai (X j ) y p i = F (A i ). La distribución de S depende en general del número de clases j=1 k, del vector de probabilidades (p 1,, p k ) y del tamaño de muestra n. En un artículo de 1973, Katti da tables exactas para el caso uniforme. De acuerdo al siguiente teorema, que enunciamos sin demostración, S tiene, bajo la hipótesis nula distribución χ 2 con k 1 grados de libertad, mientras que bajo la alternativa F F 0, S tiende casi seguramente a infinito. Teorema Sea p 1, p 2,, p k una k-upla de números no negativos que suman 1, y sean Z 1, Z 2, vectores multinomiales e independientes con parámetros {1, (p 1, p 2,, p k )}. Si definimos X n = Z m, el estadístico k (X ni np i ) 2 S = np i tiene distribución asintótica χ 2 con k 1 grados de libertad m=1 2 La Prueba de Kolmogorov y Smirnov Esta prueba de ajuste se basa en el llamado Teorema Fundamental de la Estadística, que enunciamos a continuación Teorema Fundamental de la Estadística (Glivenko-Cantelli) Sea X 1, X 2,, X n, una sucesión de variables aleatorias i.i.d. con distribución F, y sea F n la función de distribución empírica para la muestra de tamaño n, es decir F n (x) = 1 (Xi,+ )(x) = 1 [,x) (X i )

3 2 LA PRUEBA DE KOLMOGOROV Y SMIRNOV 3 entonces sup x IR F n(x) F (x) 0 con probabilidad 1. Supongamos entonces que tenemos una muestra X 1, X 2,, X n proveniente de una distribución F y queremos realizar la prueba de hipótesis H 0 : F = F 0 y H 1 : F F 0 para una cierta distribución F 0. El teorema anterior sugiere el uso del siguiente estadístico KS = sup x IR F n(x) F 0 (x) Bajo la hipótesis nula KS (que depende de n) tenderá a cero, mientras que, bajo la hipótesis alternativa, la descomposición KS = sup x IR F n(x) F 0 (x) = sup x IR F n(x) F (x) + F (x) F 0 (x) nos muestra que KS tiende a sup x IR F (x) F 0(x) 0 de modo que la prueba es consistente frente a cualquier alternativa. Observaciones 1. Nótese en primer lugar que, por la forma de la función de distribución empírica, si el supremo involucrado en el cálculo del estadístico KS no se alcanza en alguno de los puntos de la muestra, entonces tomará en valor i para alguno de los puntos de la muestra. Calcular KS se reduce entonces a calcular: = lim x X F n (x) F 0 (X i ) i } KS = max {max 1 i n { F n (X i ) F 0 (X i ) }, max 1 i n { i } = max {max 1 i n { i/n F 0 (X i ) }, max 1 i n { (i 1)/n F 0 (X i ) }}} 2. La distribución bajo H 0 del estadístico KS no depende de la distribución subyacente a la muestra. Sea la muestra X 1, X 2,, X n de variables i.i.d. con distribución F = F 0. Si hacemos el cambio de variables U i = F 0 (X i ) y u = F 0 (x) tendremos n KS = sup x IR F n(x) F 0 (x) = sup x IR 1 {Xi x} F 0 (x) = n sup x IR 1 {F0 (X i ) F 0 (x)} F 0 (x) = sup u [0,1] 1 {Ui u} u Es decir que la distribución del estadístico de Kolmogorov y Smirnov para la muestra X 1, X 2,, X n

4 3 LA PRUEBA DE NORMALIDAD DE LILLIEFORS 4 es igual a la del estadístico para la muestra uniforme U 1, U 2,, U n (recuérdese que las variables U i tienen distribución uniforme en [0,1]). Para tamaños muestrales pequeños una tabla de Montecarlo basada en la distribución uniforme, da los percentiles para poder aplicar la prueba de Kolmogorov-Smirnov. 3. En el caso asintótico, los percentiles para la aplicación de la prueba vienen dados por un famoso resultado debido a Donsker (1952). 4. En caso en que la distribución dependa de algunos parámetros desconocidos, si la muestra es suficientemente grande, podemos dividirla en dos, usando una primera parte para estimar los parámetros y la segunda para aplicar la prueba de ajuste a la distribución en la que se sustituyen los parámetros por sus respectivos estimadores. Esta forma de proceder involucra varias decisiones sobre la división de la muestra. En particular, decidir qué parte de la muestra se usará para estimar los parámetros y qué parte para aplicar la prueba, es una arbitrariedad; para evitarla, se puede volver a aplicar el procedimiento estimando los parámetros con la segunda parte de la muestra y aplicando la prueba de ajuste con la primera (en este caso es razonable rechazar si alguna de las dos pruebas arrojara un resultado significativo). 3 La Prueba de Normalidad de Lilliefors Esta prueba de normalidad utiliza el estadístico de Kolmogorov y Smirnov, en el caso en que la media y el desvío de la distribución (desconocidos) se estiman utilizando toda la muestra. Es decir que el estadístico vale KSL = sup x IR F n(x) Φ( x X n s n ) donde Φ es la función de distribución normal típica, Si determinamos la región crítica usando la tabla de Kolmogorov y Smirnov, el resultado es una prueba muy conservadora. Lilliefors ha tabulado por el método de Montecarlo los percentiles de este estadístico. De la misma forma, existe un prueba de exponencialidad de similares características. 4 La Prueba de Normalidad de D Agostino Este estadístico compara (a menos de una constante) un estimador lineal del desvío típico en el caso de una distribución normal, con el desvío muestral. Para la muestra aleatoria simple X 1, X 2,, X n y la prueba cuya hipótesis nula es H 0 : la muestra tiene distribución normal y cuya hipótesis alternativa es la complementaria, el estadístico de D Agostino vale: donde s 2 n = 1 n n (X i X) 2. D = ( i n+1 2 n 2 s n 1 El valor esperado de este estadístico es aproximadamente 2. Para tamaños muestrales pequeños se π ) X i

5 4 LA PRUEBA DE NORMALIDAD DE D AGOSTINO 5 dispone de una tabla de simulación que da un criterio de decisión. Para muestras de tamaño grande, la variable n D 1 2 π ( π 24π se puede aproximar por una variable normal típica. ) 1 2

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