1. NÚMEROS REALES. LOGARITMOS Y EXPONENCIALES. (Pendientes de Matemáticas I)

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1 . NÚMEROS REALES. LOGARITMOS Y EXPONENCIALES. (Pendientes de ). Calcula las potencias: a) -, (-), (-) -, - - (/) -, (-/), -(-/) - - (/) - 0 ( ) d) e) [sol] a) ; 7 ; ( 7; ; 7 d) e) Simplifica y da el resultado en forma radical: a) [sol] a) / / a a 6 0 a ( / / / ( 6a b ) b ( a 6 y /. Escribe en forma de intervalo y representa en la recta real, los conjuntos: a) A = { R < -} B = { R < ½ y 0,} C = { R y > } d) D = { R -, <,} [sol] a) (-, -) [-/, ½) d) [-/, 6/). Escribe la desigualdad que cumplen los números que pertenecen a los intervalos: a) (-, ] [, ] (-, ) [0, ) d) [0, ) (-, ] [sol] a) {, } {, } {, -< < } d) {, 0 } y y / / 6. Reduce a una sola potencia fraccionaria: [sol] a) a) a a ( ) 7 / 6 a / a / a d) 6. Reduce todo lo posible las sumas: a a a d) a) ( ) ( + ) ( )( + ) + ( ) [sol] a) Reduce las sumas: a) [sol] a) ( Suma, simplificando todo lo posible: a) y y + ( y) 6y a a b + ( a ( a ab + b ) + ab b

2 [sol] a) (-y+y-) y ( a a b 9. Racionaliza: a) [sol] a) d) 6 e) 8 d) e) 0. Racionaliza las fracciones: a) + + y y [sol] a) y + y y. Calcula: a) [sol] a) ; Suma y simplifica + + [sol] 7( ) Eponenciales y logarítmos.. Calcula, aplicando la definición de logaritmo, el valor de: a) log 9 8 log 8 log d) log 6 [sol] a). 7/. d) /. Sabiendo que log = 0,00, halla (sin calculadora) el valor de: a) log 0 log 00 log 0,000 d) log 00 [sol] a),00.,00;,699; d),0. Sabiendo que log = 0,77, halla (sin calculadora) el valor de: a) log 0, log 0000 / 9) log 9 + [sol] a) 0,9,77 0,9 d) 0,90 6. A partir de los valores de logaritmo de y de, halla: a) log 6 log 7 log(0,6) d) log 00 [sol] a) 0,778;,87; 0,8; d),6 log( d) ( ) Ecuaciones eponenciales y logarítmicas 7. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 0, = = 6 + = 7 d) = 6 [sol] a) 0,; ; ; d) /. 8. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) = 80 = 9 + = + d) = 0 e) 0 = 998 f) 00 = [sol] a) /7; b y. ; d) ; e) 7; f) 0,96 y

3 9. Halla el valor de en las siguientes ecuaciones: a) log 6 = log =, log 7 = 0, d) log = e) ln =, f) log = g) log 7 8 = h) log 6 = [sol] a) 6;,9; 0,6; d) 0,000; e),; f) ; g),0686; h) / 0. Resuelve: a) log 6 0 = log 00 = log 8 = 7 d) log ( + ) = 6 [sol] a),780; /0; 6; d) /.. Resuelve las ecuaciones: a) + log ( + 000) = 7 log ( + 6) log ( ) = log ( + ) log ( ) = d) log( + 7) = log( + ) [sol] a) 9000; ; : d).. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS. (Pendientes de ) Tipo I: Operaciones con polinomios. Calcula: a) ( ) ( + ) + + [sol] a) 0 + ; +. Halla: a) ( 6) ; ( ) + ; ( ) ; d) ( )( + ) [sol] a) + 6; ; + ; d) 6. Haz las siguientes multiplicaciones de polinomios: a) ( + )( ) ; ( ) 8 [sol] a) ; ; 8 8. Divide: ( + + ) : ( ) [sol] C() = ; R() = 8 +. Tipo II: Ruffini. Factorización. Utiliza la regla de Ruffini para hacer las siguientes divisiones: a) ( 7 ) entre ( + ) ( + ): ( ) ( 6) : ( + ) [sol] a) C() = ; R() = 6 + ; 0; + ; 6. Descompón en factores el polinomio P ( ) = 0 + 6, sabiendo que = es una de sus raíces. [sol] ( ) ( ). 7. Factoriza las siguientes epresiones polinómicas: a) [sol] a) ( /)( + ); ( /)( + ); ( + + 8)

4 8. Factoriza los siguientes polinomios: a) P() = P() = + 0 P() = 0 0 [sol] a) ( + ); ( + ); 0( + )( ); Tipo III: Fracciones algebraicas 9. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: a) 7 d) 8 [sol] a) ; 0. Simplifica: e) + ( ) ; ; d) a) [sol] a) ; ; Halla, simplificando el resultado: a) [sol] a) ; + ; + ; ( + ). Calcula, factorizando si conviene, el resultado de: 6 + a) 6 + [sol] a) ; + ( ) f) ; e) ( ) ; f) ( ) : ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES. (Pendientes de ) Tipo I: Ecuaciones de primer grado. Resuelve las ecuaciones: a) + = 6 [sol] a) 6/ / = + + ( + ) + = 6. Se mezclan 0 litros de aceite de girasol de 0,99 /l con aceite de 0,78 /l, obteniéndose una mezcla de 0,9 /l. Cuántos litros se han empleado del aceite más barato? [sol] 7,.- Un automóvil parte de Sevilla a una velocidad constante de 90 km/h. Veinte minutos después parte otro coche en su búsqueda, alcanzándole a las dos horas. A qué velocidad circuló el segundo coche? [sol] 0 km/h

5 Tipo II: Ecuaciones de segundo grado. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas: a) + = 0 ( + ) = 7 = 0 d) ( ) 8 = 0 [sol] a) 0 y /; y ; 7/ y /; d) no tiene sol.. Dos operarios realizan una obra en días, trabajando conjuntamente. Uno de ellos emplea 0 días más que el otro si trabaja sólo. Cuántos días necesita cada obrero para completar la obra en solitario? [sol] 0 y 0 Tipo III: Ecuaciones con raíces, racionales, etc 6. Resuelve las ecuaciones: a) = = 6 [sol] a) ±; 9; d) y / - = d) 6 = 7. Halla la solución y comprueba los resultados: a) + = = + [sol] a) / y / 8. Calcula las soluciones de: a) 9 = 0 + = 0 ( )( + ) = 0 d) = 0 [sol] a) 0, y - ± y ±, -, 0 y - d) y - 9. Resuelve: + a) = 0 = 0 = d) + = + + [sol] a) ¼ No sol. 8/ d) ± y ± 8 + Tipo III: Sistemas de ecuaciones + y y = = y + 0. Resuelve: a) 6 y = y = [sol] a) /6, /8 /, / + y + z =. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: + y z = 9 y + z = [sol],,.. Halla las dimensiones de un rectángulo sabiendo que el lado mayor es / del menor y que si éste aumenta en m la relación se convierte en /. [sol] 0 por 8 m y + =. Resuelve los sistemas: a) 6 y = y = y = [sol] (a) y ; y ( ± y ±; ± /, ±/, ; -/, -7/ (d),

6 6. INECUACIONES. (Pendientes de ) Tipo I: Inecuaciones de primer grado. Resuelve las inecuaciones: a) < 0 d) [sol] a) <0 - / d) > <. Halla el intervalo solución de las inecuaciones: a) + + > + + < + 6 [sol] a) > 0 6/ 7/ < Tipo II: Inecuaciones de grado superior. Resuelve las inecuaciones siguientes: a) (+) < > 6 + > 0 [sol] a) < < 0 (-, -) (0, ). Halla la solución de las inecuaciones cuadráticas: a) + 9 < 0 7 > 0 ( + )( ) > 0 [sol] a) ( 9/, 0) R [, ] R [, ] Tipo III: Otras inecuaciones. Halla la solución de: + a) 0 [sol] a) < / (-, ½) [, ) Tipo IV: Inecuaciones con dos incógnitas 6. Halla en el plano la solución de: a) y + y y 0 7. Halla la solución: a) 0 [sol] a) 0 0 < 8. Resuelve los sistemas: y a) 6 0 ( ) y y 0

7 7. TRIGONOMETRÍA. (Pendientes de ) Tipo I: Relación entre las razones trigonométricas de un ángulo. Si cos ec α = y α es del cuarto cuadrante, calcula sin hallar el valor de α, sus restantes razones trigonométricas. [sol] sen α = ; cos α = ; sec α = ; tg α = ; cot g α =.. Si cos α = 0,76 y α es del segundo cuadrante, calcula sin hallar el valor de α, sus restantes razones trigonométricas. [sol] secα =, ; sen α = 0, 6; cos ec α =, ; tg α = 0, 86 ; cot g α =, 7.. [S] De un ángulo α del primer cuadrante se conoce que sen α =. Calcula el valor eacto de: a) tg α sen (α) [sol] a). Si α es un ángulo del segundo cuadrante y a) sen α [sol] a), 9 sen α =, calcula: sen α cos ( π + α) d) tg ( π α) + ; 6 ; d) ; 9. Sin utilizar calculadora, determina el valor numérico de la epresión: sen 0 o - tg o + cos 70 o tg 0 o. [sol] Tipo II: Ecuaciones y sistemas trigonométricos 6. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) sen = tg = cos =, d) sen = 0 [sol] a) º + k 80º = ; 7º + k 80º π k π = + ; 0º + k 70º = 600º + k 70º ; d) π = 0 + k. 7. Resuelve las siguientes ecuaciones: π o a) cos = sen + = 6 k π 80º + k 60º [sol] a) = π ; = + k π 70 + k 60º + ( )

8 8 8. Resuelve la ecuación: cos = sen [sol] = 90º + k 80º; = 0º + k 60º; = 0º + k 60º ( k Z). 9. Resuelve la ecuación: tg = cos [sol] = º + k 60º; = º + k 80º ( k Z). 6. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS. (Pendientes ) Tipo I: Resolución de triángulos rectángulos. Áreas de triángulos. Calcula la altura de un edificio que, desde una distancia de 00 m, se ve bajo un ángulo de 0 o. [sol] 7,7 m.. Calcula la altura de un edificio que proyecta una sombra de 8 m cuando los rayos solares forman un ángulo de 60 o con el suelo. [sol],86 m.. [S] Desde una cierta distancia, el ángulo que forma la horizontal con el punto más alto de un árbol es de 60º. Si nos alejamos 0 metros el ángulo anterior es de 0º Cuál es la altura del árbol? [sol] = 8, 66 m. Cada uno de los lados iguales de un triángulo isósceles mide 60 cm y el ángulo que forman o. Calcula la base, la altura y el área del triángulo. [sol] b =, m; h =,97 cm; S = 09,79 cm.. Calcula la apotema de un octógono regular de lado 8 cm. [sol] 9,66 cm. 6. [S] Los tres lados de un triángulo miden cm, cm y cm. Calcula sus ángulos y su área. [sol] ángulos: 6º, º 7 8 y 90º; S = 6 cm 7. Halla el área de un pentágono regular de 0 cm de lado. [sol] 8,7 cm. 8. Las ramas de un compás miden cm. Qué ángulo tendrán que formar para dibujar una circunferencia de cm de radio? [sol] º 8. Tipo II: Resolución de un triángulo cualquiera 9. De un triángulo ABC se conoce a = 8 cm, c = cm y B = 0º. Halla los ángulos que forma su mediana m a con el lado BC. [sol] 6º y º Desde el pueblo A se ven los pueblos B y C, que distan entre sí 6 km, bajo un ángulo de 6º. Si la distancia entre A y B es de km, calcula lo que distan A y C. [sol] 6,6 km. [S] Calcula el área del triángulo ABC representado en la figura siguiente:

9 9 [sol] 06,88 cm.. [S] Las agujas de un reloj de pared miden 0 y centímetros, respectivamente. a) Cuál es la distancia que hay entre sus etremos cuando el reloj marca las cuatro? Cuál es la superficie del triángulo que determinan a esa hora? [sol] a) 9,08 cm;,96 cm.. Calcula los lados y el área de un triángulo de 80 cm de perímetro si sus ángulos están en progresión geométrica de razón. [sol],8 cm; 8, cm y,60 cm; S = 0,6 cm. Tipo III: Problemas geométricos y cálculo de distancias a puntos inaccesibles. Halla el área de un heágono regular de 7 cm de lado. [sol] 7,6 cm. Las diagonales de un rectángulo miden 7 cm y uno de los ángulos que forman al cortarse es de 6º. Calcula el perímetro y el área. [sol] 6,7 cm; 8,67 cm. 6. La aguja en que termina el edificio Chrysler de Nueva York se ve, desde cierto punto del suelo, bajo un ángulo de 70º. Si retrocedemos 06 m se ve bajo un ángulo de º. Calcula la altura del edificio. [sol], m. 7. Para salvar un barranco de m de profundidad se quiere construir un puente. Desde cada una de las orillas se ve la misma piedra del fondo bajo ángulos de º y 7º respectivamente. Calcula la longitud del puente. [sol] 7,88 metros. 8. Dos aviones que se encuentran a 7 y 9 km de un aeropuerto se observan desde éste bajo un ángulo de 9º. Qué distancia separa a los aviones? [sol],66 km 9. Desde nuestro lugar de observación vemos dos hoteles, situados en la orilla de un lago, bajo un ángulo de 6º. Calcula la distancia entre los dos hoteles si distan de nuestro lugar de observación, y,6 kms respectivamente. [sol],6 km. 7. NÚMEROS COMPLEJOS. (Pendientes ). Representa gráficamente el opuesto y el conjugado de: a) + i + i i d) i [Sol] a) i, i; i, i; + i, - + i; d) + i, + i.

10 0. Realiza las siguientes operaciones: a) i + + i 6i + i ( i) + i d) ( i ) + i e) ( i ) + i f) ( i) ( + i) [Sol] a) i ; i ; 8 + i ; d) + i ; e) i ; f). Calcula: a) i 0 + i + i ( ) [Sol] a) ; i; + i ; d) 7 i.. Dados z = i, z = + i y z = i, calcula: a) z + z + z z z z z z d) z + z z z z [Sol] a) i ; i i + i d) ( + i) 6 + z ( z + z ) + z e) ( )( ) 6 ; + 9i ; d) + i ; e) 9i.. Efectúa las siguientes operaciones: + i a) i i [Sol] a) + i ; i. i 6. Calcule los números e y de modo que = y + i. + i [Sol] = -6, y = Calcula en cada caso el valor que ha de tener k para que el resultado de la operación correspondiente sea un número imaginario puro: a) ( i )( + ki) ( k + i) k i 8 + i [Sol] a) k = ; k = ± ; k =. 8. Calcula en cada caso el valor que ha de tener k para que el resultado de la operación correspondiente sea un número real: k i + i a) ( + ki)( 6 i) 6i k + i [Sol] a) k = ; k = ; k =. 9. Epresa en forma binómica: a) (cos º + i sen º) (cos º + i sen º) [ (cos 0º + i sen 0º)]

11 (cos 0º + i sen 0º ) (cos [Sol] a) 6; 0º + i sen 0º ) 6 + 6i ; i ; d) i π π π π d) cos + i sen cos + i sen Realiza las siguientes operaciones y epresa el resultado en forma binómica: a) 0º : 0º ( ) π π [Sol] a) 60º i ; + i ; 6i 8 8. Si z = 60º y z = º calcula: z a) z + z z z z [Sol] a) ( ) + ( + ) i 0º + ; 8 0º ; º ; d) 6º ; e) 7 ; f) 8 8º d) z z e) z z f) (-z) z. Halla las soluciones, reales o complejas, de las ecuaciones: a) z z + = 0 z 6 = 0 z ( i) + = 0. [Sol] a) + i, i;, -, i, -i; ( ) ( ) ( ) 0º, 0º, 0, ( ) º 00º. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) z - = 0 z + 8 = 0 [Sol] a) 0º ; 7º ; º ; 6º y 88º ; 60º ; 80º y 00º ; 8. GEOMETRÍA ANALÍTICA. (Pendientes ) Tipo I: Vectores. Un vector fijo tiene su origen en el punto A(, ) y es equipolente al vector CD (, ). Determina las coordenadas de su etremo y su módulo. [Sol] B(, ); AB = 7..Tres vértices consecutivos de un paralelogramo son los puntos A(, ), B(, ) y C(, 0). Calcula las coordenadas del cuarto vértice. [Sol] D(-, -). Halla el producto escalar u r v r en los siguientes casos: r r r r r r r r a) u =, v = ; ( u, v ) = 60º u =, v = (, ); u, v = r r u =,, v = (,) [Sol] a) 6 ; = ; ( ) º. Si u r (, a) y v r (, -) determina el valor de a para que: a) u r y v r sean perpendiculares; u r y v r tengan el mismo módulo, u r v r = 0. [Sol] a) = a ; a = ± ; a =

12 Tipo II: Determinación de rectas. Posición relativa. Perpendicularidad. Escribe todas las ecuaciones de la recta que: a) pasa por A(, ) y tiene por vector director el u r (, ), pasa por los puntos A(, ) y B(, ), pasa por A(, ) y tiene por pendiente m =. = + λ + y [Sol] a) ; = y = λ = λ y + ; = y = + λ + y + = 0; y = ( ) y ; ; + y =0; = ( + ) ; + y 8 = 0; y = ( ) + ; y = + ; y + 8 = = + y = + λ y = λ 6. Estudia la posición relativa de cada uno de los siguientes pares de rectas: y + y a) r: y + = 0, s : = r: + y + = 0, s : = [Sol] a) Se cortan en P(, ); Paralelas. 7. Determina el ángulo que forman los siguientes pares de rectas: d) r: y = 0, s: y = 0 r : y + = ( ), s: y = + [Sol] a) 6º ; 8º 6 6. ; y + = 8. Calcula el área del triángulo que determinan la recta y + 8 = 0 y los ejes coordenados. [Sol] S = 6u 9. Dos lados de un paralelogramo están sobre las rectas r: + y = 0 y s: y = 0. Uno de sus vértices es el punto A(, -). Halla los otros vértices. 7 [Sol] B, ; C, y D,. ; Tipo III: Distancias 0.[S] Sea el triángulo de vértices A(, ), B(, ) y C(6, 6). a) Hallar la ecuación de la altura que pasa por el vértice C. Calcular la longitud de los dos segmentos en que la altura anterior corta al lado AB. [Sol] a) + y = 0; 0. Los puntos A(, ) y B(, ) son vértices de un triángulo rectángulo en A. Determina el tercer vértice que está situado sobre la recta + y = 0. [Sol] (8, 7)

13 9. CÓNICAS. (Pendientes de ) Tipo I. Circunferencias. Escribe la ecuación de la circunferencia de centro C(, -) y radio [Sol] ( ) + (y + ) =.. Determina el radio y el centro de las siguientes circunferencias: a) + y 0 + y = 0, + y + y = 0, + y + +y = 0. [Sol] a) C(, -), r = 9 ; C,, r = Tipo II: Elipses e hipérbolas 7 ; C,, r =. Halla la ecuación reducida de las siguientes elipses: a) distancia focal y semieje menor, semidistancia focal y eje mayor 0, + y 9 + y. 6 [Sol] a) = ; =. [S] Calcula la ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos F(-, ) y F (, ), y su ( ) ( y ) ecentricidad es igual a. [Sol] + = 6. Determina los elementos de las siguientes elipses: y a) + = + y = 0 6 [Sol] a) Centrada en el origen; eje mayor el eje OX; a =, b = 6, c = 08 ; Centrada en el origen; eje mayor el eje OX; a =, b =, c = ; 6. Halla la ecuación reducida de las siguientes hipérbolas: a) distancia focal 0 y eje imaginario 6, semidistancia focal y eje real, y 6 9 y. [Sol] a) = ; = Tipo III: Parábolas 7. En cada caso, halla la ecuación y los restantes elementos de las parábolas: a) directriz = 0, vértice (, ), foco F(, ), vértice V(, -), directriz y =, foco F(0, ), [Sol] a) F(, ); eje, y = ; p = ; (y ) = 8( ); directriz, y = -8; eje, = ; p = 0; ( ) = 0(y + ); eje, = 0; V 0, ; p = ; = y.

14 0. FUNCIONES REALES. (Pendientes de ) Tipo I. Funciones. Dominio y recorrido.. Halla el dominio y recorrido de las funciones cuya gráfica se da a continuación: [sol] a) Dom = [, ]; Im = [0, ]; [0, ], [, ]; R, {, } + <. Dada la función f ( ) = + 0 <. + > a) Indica el dominio correspondiente para cada una de las funciones que intervienen.. Indica su dominio de definición. Haz su representación gráfica. A la vista de su gráfica, indica los puntos (o intervalos) en los que la función no es continua. [sol] a) (, ), [0, ) y (, + ). (, ) [0, ) (, + ); d) [, 0], =. Tipo II. Composición de funciones. Función inversa.. Dadas f ( ) = y g ( ) =, halla: a) f (g(0)) ; f ( g( )) ; g ( f ()). [sol] a), 9/; 7/.. Para las mismas funciones determina f ( g( )) y g ( f ( )) [sol] ( ( )) = f g ; g ( f ( )) =. Calcula la función inversa de f ( ) = +. Comprueba que = f ( f ()) f ( f ()) =. [sol] f ( ) = Tipo III. Gráficas de funciones. Transformaciones gráficas. 6. Halla los puntos de corte con los ejes de coordenadas de las parábolas: a) y = ; y = + 8 ; [sol] a) (0, 0) y (, 0); (0, 0); (, 0); si 0 7. [S] Representa la función f ( ) = + si 0 < 0,. A partir de su gráfica indica: + si > 0, a) En qué puntos es discontinua? Cuándo es creciente y cuándo decreciente? [sol] a) 0 y 0,; Crece: (0, 0,); decrece: (, 0) (0,, + ).

15 . LÍMITES. CONTINUIDAD. ASÍNTOTAS. (Pendientes de ). Halla, por sustitución (si se puede), los siguientes límites: a) ( + lím ) lím lím d) lím e) lím f) lím g) lím ( e ) h) lím ( + ) i) lím sen j) lím cos k) lím tag π / π / π / (Sol. a) ; 9/; ; d) No eiste; e) ; / ; g) e; h) ; i) ; j) 0; k).. Halla el límite de: si < 0 si < a) f ( ) =, cuando 0; f ( ) =, cuando si 0 /( ) si Sol. a) 0; No eiste. ( )( + ). Dada la función f ( ) =, halla su límite cuando tiende a, 0,, y ( )( )( + ). (Sol. /; 0; 0; ;.) +. Halla: a) lím lím lím d) lím 0 0 / (Sol. a) ; /; /; d).) Halla: a) lím lím lím d) lím ( ) (Sol. 0; ± ; ± ; d) ) 6. Halla: a) lím lím (Sol. a) ; 0; ; d) 6.) 7. Calcula: a) lím lím 0 + lím + d) lím e) lím 9 (Sol. a) ¼; ; ; d) /; e) /8; f).) 8. Halla: a) lím ( ) lím ( + 7) d) lím e) lím ± (Sol: a) ; ; ; d) 0; e) 0; f) 0.) ± Halla: a) lím lím d) lím e) lím (Sol. a) 0; /; /; d) + ; e) ; f) +.) + 6 d) lím + lím f) lím lím ( ). f) lím ± + lím + 8 f) lím +

16 Halla: a) lím + + (Sol. a) ; 0;.) lím + lím + + Cálculo de asíntotas. Determina las asíntotas de las funciones: a) f ( ) = f ( ) a) = ; y =. = 0; y =. y = 0.). Calcula las asíntotas de las funciones: a) (Sol. = ; y = +. = ; y = +.) Continuidad de funciones y aplicaciones. Estudia la continuidad de las siguientes funciones: + = f ( ) = f ( ) = + + f ( ) = + + a) f ( ) = f ( ) = f ( ) = + Sol. a) R; R {, }; R... (PAU) Calcula la constante k para que la siguiente función sea continua en todos los puntos: si < f ( ) = + k si (Sol..). (PAU) Calcula la constante k para que la siguiente función sea continua en todos los puntos: si < f ( ) = + k si (Sol. 6.) 6. (PAU) Dada la función y =, se pide: ( +) a) Estudia razonadamente su continuidad. Estudia razonadamente sus asíntotas. (Sol. a) R { }; = ; y =.). DERIVADAS. (Pendientes de ) Tipo I: Práctica de derivadas Deriva y simplifica los cálculos cuando sea posible.. a) y = + 6 y = y = + d) y = [sol] a) y = ; y = ; y = + ; d) y =. a) y = + 7 y = y = d) y = ( + 7)

17 7 [sol] a) y = + 7 ; y = + 7 ; + 7 y = ; d) y = +. a) [sol] a) y = ( + ) y = ( + ) ; y = ( ) y = ( ) ; y = ( + ) d) y = 6( + ) ; d) y = ( 7) y = ( 7) ;. a) y = y = + y = + d) y = 6 [sol] a) y = ; y = ; y = ; d) y = ( + ) ( + ) ( ) +. a) y = + y = y = ( + ) + + [sol] a) y = ; y = ; y = + ; a) = y y = + y = e d) y = e [sol] a) y = ln ; y = ( ) ln ; + y = e ; d) y = 0e 7. a) log( 7 y = + ) y = log( + ) y = ln( + ) + [sol] a) y = loge ; y = ; y = + + +