UNIDAD 8 Geometría analítica. Problemas afines y métricos

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1 UNIDAD Geometría analítica. Problemas afines y métricos Pág. 1 de 5 1 Se consideran los puntos A (, ) y B (4, 6). a) Calcula las coordenadas de un punto P que divida al segmento AB en dos partes 1 tales que AP = PB. b) Determina k para que el punto Q (k, ) esté alineado con A y B. c) Halla el simétrico de A respecto de B. a) A (, ), B (4, 6). Sea P (x, y): 1 1 AP = PB (x +, y ) = (4 x, 6 y) 4 x x + = x + 4 = 4 x x = 0 P(0, 4) 6 y y 6 = 6 y y = 4 y = b) Q (k, ). Para que A, B y Q estén alineados, las coordenadas de los vectores AB y han de ser proporcionales. AB = (6, ) AQ = (k +, ) 6 k + = k + 6 = 6 k = 4 1 AQ c) Si C (x, y) es el simétrico de A respecto de B, entonces B es el punto medio del segmento AC. x y + = x x = 10 (4, 6) = (, C = (10, 9) ) 1 = y + y = 9 Escribe las ecuaciones paramétricas e implícita de las rectas que cumplen estas condiciones: a) Pasa por los puntos A (, ) y B ( 5, 1). x b) Pasa por P ( 1, ) y es paralela a s: = y. a) Vector posición: p = (, ) Vector dirección: d = AB = (, 1) x = t Ecuaciones paramétricas: y = + t t = y + ; x = (y + ) = y 16 x +y + 1 = 0 Ecuación implícita: x +y + 1 = 0 b) El vector dirección de s es (, 1). x = 1 + t Ecuaciones paramétricas: y = + t t = y x = 1 + (y ) x = 1 + y 9 x y + 10 = 0 Ecuación implícita: x y + 10 = 0

2 UNIDAD Geometría analítica. Problemas afines y métricos Pág. de 5 Escribe las ecuaciones continua y explícita de las rectas que cumplen estas condiciones: a) Pasa por el punto de intersección de las rectas r: x + 4y + 1 = 0 y s: 5x + y 4 = 0 y es perpendicular a r. b) Pasa por P (0, ) y es perpendicular al eje de abscisas. a) Calculamos primero el punto de intersección, P, de r y s: x +4y +1 = 0 5x + y 4 = 0 x + 4y + 1 = 0 0x 4y + 16 = 0 17x + 17 = 0 x = 1 y = 1 El punto de intersección de r y s es P (1, 1). Como la recta buscada ha de ser perpendicular a r, su vector dirección es (, 4). x 1 y +1 Ecuación continua: = 4 4x 7 4x 4 = y + y = 4 7 Ecuación explícita: y = x b) Como ha de ser perpendicular al eje de abscisas, su vector dirección es (0, 1). x 0 y x y Ecuación continua: = = Ecuación explícita: No tiene. Es la recta vertical x = 0 (eje Y ). 4 Halla la posición relativa de las rectas r y s y de las rectas s y t. Si son secantes, calcula el punto de corte, y si son paralelas, calcula la distancia entre ellas. x = t 1 r: s: x + y 5 = 0 t: y = (x ) + y = + t Vector dirección de r: ( 1, ). Vector dirección de s: ( 1, ). Vector dirección de t: (, 1) Las rectas r y s son paralelas, ya que sus vectores dirección son iguales. Calculemos la distancia entre ellas: buscamos un punto P é r y calculamos la distancia de P a s. P (, ) é r dist (P, s) = = = = Las rectas s y t son secantes. Calculemos su punto de corte: s: x + y 5 = 0 t: y x + 4 = 0 6x +y 10 = 0 x y + 1 = 0 7x 9 = 0 x = 9/7 7 y = 5 x = 5 = s y t se cortan en el punto,. 7 7 ( )

3 UNIDAD Geometría analítica. Problemas afines y métricos Pág. de 5 5 Calcula el ángulo que forman los siguientes pares de rectas: r: x = 0 r: x + y = 0 a) b) s: y = x +1 s: x y = 0 a) El vector dirección de r es d r (0, 1). El vector dirección de s es d s (1, ). d 0 + cos a = r d s = = a = 6 ' 54,1'' d 1 r d s 5 5 b) vr = (, 1) r vs = (, 1) s v cos a = r v s = = = = a = 45 v r v s 6 Considera las rectas r: y = x 1 y s: y = kx +. Determina el valor de k para que estas rectas se corten formando un ángulo de 45. Las pendientes de r y s son, respectivamente, m r = y m s = k. m tg 45 = 1 = s m r k = 1 + m r m s 1 + k k = 1 + k k = k = 1 k k = 1/ 7 Determina b para que la distancia entre la recta r: x + 4y + b = 0 y el punto P ( 1, 1) sea igual a 0,4. ( 1) b b +1 dist (P, r) = = = 0, b +1 = b = 1 b +1 = b = Calcula el valor de k para que la distancia entre A (k, ) y B sea igual a 101, siendo B el punto de corte de las rectas r: x = y s: x + y + = 0. Calculamos el punto de corte, B, de r y s: x = x + y + = 0 x = y = x = 7 B (, 7) dist (A, B) = ( k) + ( 7 ) = 4 + k 4k = 101 k 4k = 101 k 4k + = 0 k = k = 1

4 UNIDAD Geometría analítica. Problemas afines y métricos Pág. 4 de 5 9 Calcula un punto cuya primera coordenada sea un tercio de la segunda y cuya distancia a la recta r: x 4y + = 0 sea. y El punto P buscado es de la forma P (, y. ) y/ 4y + y + dist (P, r) = = 5 = +4 y + = 15 y = 4 P ( 4/, 4) y + = 15 y = 6 (, 6) 10 En un triángulo de vértices A (, 1), B (, ) y C (1, ), determina: a) La ecuación de la recta que contiene a la altura que pasa por C y la medida de esa altura. b) La ecuación de la recta que contiene a la mediana que pasa por C. c) El área del triángulo. d) Los ángulos del triángulo. a) La recta que contiene a la altura que pasa por C es perpendicular a AB. Calculamos primero la recta r que contiene a AB: AB (1, ) A (, 1) x + y 1 r: = r: x + y + = 0 1 La recta s, perpendicular a AB que pasa por C, es: d s (, 1) C (1, ) x 1 y s: = s: x y + 5 = 0 6 Recta que contiene a la altura que pasa por C. 1 La medida de la altura pedida es PC, donde P es el punto de intersección de las rectas r y s. x + y + = 0 y = x P = r» s x y +5 = 0 9 x ( x) +5 = 0 10x + 9 = 0 x = y = + = P, h C = CP = = 4, b) La mediana que pasa por C pasa también por M, punto medio del segmento AB M = (, C (1, ) MC, ) ( ) Tomamos como vector dirección (7, 5). La ecuación de la recta que buscamos es: x 1 7 ( 1 ) + ( ) y = 5x 5 = 7y 14 5x 7y + 9 = 0 5 ( 7 10 )

5 UNIDAD Geometría analítica. Problemas afines y métricos Pág. 5 de 5 AB h 1 +( ) 4,11 c) Área del triángulo = c 6,5 u d) El ángulo a, formado por los lados AB y AC, es el ángulo formado por los vectores AB y AC : AB = (1, ) AB = 10 AC = (4, 1) AC = 17 AB AC cos a = = = a = 5 6' 4,66'' AB AC Análogamente calculamos el ángulo b, formado por BA y BC: BA = ( 1, ) BA = 10 BC = (, 4) BC = cos b = = b = 55 1' 17,45'' Al ángulo formado por CA y CB lo llamaremos g: CA = ( 4, 1) CA = 17 CB = (, 4) CB = cos g = = g = 9 5' 7,9''