GEOMETRÍA ANALÍTICA. PROBLEMAS AFINES Y MÉTRICOS
|
|
- Enrique Sevilla Ferreyra
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 GEOMETRÍA ANALÍTICA. PROBLEMAS AFINES Y MÉTRICOS Página 7 REFLEXIONA Y RESUELVE Punto medio de un segmento Toma los puntos P(, ), Q(0, ) y represéntalos en el plano: P (, ) Q (0, ) Localiza gráficamente el punto medio, M, del segmento PQ y da sus coordenadas. Encuentras alguna relación entre las coordenadas de M y las de P y Q? M(6, 4) Q' P (, ) M M" M' Q" Q (0, ) P" P' Haz lo mismo con los segmentos de extremos: a) P' (, ), Q' (9, 7) b) P''(0, ), Q'' (0, ) a) M'(7, 4) b) M''(, ) Basándote en los resultados anteriores, intenta dar un criterio para obtener las coordenadas del punto medio de un segmento a partir de las de sus extremos. Observamos que las coordenadas del punto medio de cada segmento son la semisuma de las coordenadas de sus extremos. Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
2 Ecuaciones de la recta Comprueba que las ecuaciones: x = + t y = 4 t corresponden también a una recta, hallando varios de sus puntos. (Dale a t los valores,, 0,,,, y representa los puntos correspondientes; comprobarás que todos están sobre la misma recta). Elimina el parámetro procediendo del siguiente modo: Despeja t en la primera ecuación. Sustituye su valor en la segunda. Reordena los términos de la ecuación resultante. Obtendrás, así, la ecuación de esa recta, en la forma habitual. t 0 (x, y ) ( 4, 6) (, ) (, 4) (, ) (, ) (, ) Y ( 4, 6) (, ) (, 4) (, ) (, ) (, ) r X x t = t = 4 y x x + 4 = 4 y x = y y = y = x + 4 Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
3 UNIDAD Distancias en el plano s Q (, 7) P (, ) r s Q(, 7) P' Q'' P(, ) r P'' Q' Halla la distancia de los puntos P y Q a las rectas r y s. d (P, r) = ; d (P, s) = ; d (Q, r) = ; d (Q, s) = Halla la distancia entre los puntos P y Q (ayúdate del teorema de Pitágoras). d (P, Q) = + 4 =, pues P y Q son dos vértices de un triángulo rectángulo de catetos y 4. Halla, también, la distancia entre: a) P' (0, ), Q' (, 0) b) P'' (, ), Q'' (7, 4) Basándote en los resultados anteriores, intenta dar un criterio para hallar la distancia entre dos puntos a partir de sus coordenadas. a) d (P', Q') = + = 69 = b) d (P", Q") = 4 + = = d (A, B) = (b a ) + (b a ), donde A (a, a ) y B (b, b ). d (A, B) = AB Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
4 Página 9. Halla las coordenadas de MN y NM, siendo M (7, ) y N (, ). MN = (, ) (7, ) = ( 9, 6) NM = (7, ) (, ) = (9, 6). Averigua si están alineados los puntos P (7, ), Q (4, ) y R (0, ). PQ = (, 4) QR = (6, ) 4 = A, B y C están alineados. 6. Calcula el valor de k para que los puntos de coordenadas A (, 7) B (, 4) C (k, ) estén alineados. AB = ( 4, ) BC = (k +, ) 4 = 4 = k 9 k = k = k + Página Dados los puntos P (, 9) y Q (, ): a) Halla el punto medio de PQ. b) Halla el simétrico de P respecto de Q. c) Halla el simétrico de Q respecto de P. d) Obtén un punto A de PQ tal que PA/ AQ = /. e) Obtén un punto B de PQ tal que PB/ PQ = /. a) M ( ( ), ) = (, 4 ) b) + x = x = 9 + y = y = P' (, ) P' (x, y) Q (, ) P (, 9) c) Llamamos Q'(x', y') al simétrico de Q respecto de P. Así: x' + = x' = y' + ( ) = 9 y' = 9 Q' (, 9) Q P Q' 4 Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
5 UNIDAD d) Llamamos A(x, y) al punto que buscamos. Debe cumplirse que: PA = AQ (x, y 9) = ( x, y) x = ( x) x = y 9 = ( y) y = A (, ) e) Llamamos B(x, y) al punto que buscamos. PB = PQ (x, y 9) = (, 0) = (, ) x = x = 4 y 9 = y = 7 B (4, 7) Página 9. Halla las ecuaciones paramétricas, continua, implícita y explícita de la recta que pasa por A y B, siendo: a) A(, ), B (, ) b) A(0, 4), B (6, 0) c) A(, ), B (, ) d) A(, ), B (, ) a) A(, ); B(, ) AB = (4, 4) x = + 4l x Paramétricas: Continua: = y = + 4l 4 Implícita: x y = 0 Explícita: y = x b) A(0, 4); B(6, 0) AB = (6, 4) x = 6l x y 4 Paramétricas: Continua: = y = 4 4l Implícita: 4x 6y + 4 = 0 Explícita: y = x c) A(, ); B(, ) AB = ( 4, 0) x = 4l x y Paramétricas: Continua: = y = 4 0 Implícita: y = 0 Explícita: y = d) A(, ); B(, ) AB = (0, ) x = x Paramétricas: Continua: = y = l 0 Implícita: x = 0 y 4 y Explícita: No existe, pues se trata de una recta vertical de ecuación x =. Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
6 . Obtén las ecuaciones implícita, paramétricas y continua de la recta y = x +. y = x + Buscamos dos puntos de la recta y su vector dirección: Si x = 0 y = 0 + = A(0, ) AB = (, ) Si x = y = + = B(, ) Implícita: x y + = 0 Paramétricas: x 0 Continua: =. a) Encuentra dos puntos, P y Q, pertenecientes a la recta r : x y + 6 = 0. b) Comprueba que PQ es perpendicular a (, ). c) Escribe las ecuaciones paramétricas de r. d) Escribe su ecuación explícita y comprueba que el vector (, m) es paralelo a PQ (m es la pendiente de r). a) r: x y + 6 = 0 Si x = 0 0 y + 6 = 0 y = P(0, ) Si x = ( ) y + 6 = 0 y = 0 Q(, 0) b) PQ = (, ) PQ x = l y = + l y (, ) ï PQ (, ) = 0 (, ) (, ) = ( ) + ( ) ( ) = = 0 x = l c) r: y = l d) Despejamos y en la ecuación de r: x y + 6 = 0 x + 6 = y x + = y Explícita: y = x + m = (, m) =, ( ) El vector (, es paralelo a ) PQ si sus coordenadas son proporcionales: (, ) = l (, ) l = Los vectores son proporcionales y, por tanto, paralelos. 6 Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
7 UNIDAD Página 94. Halla la recta del haz de centro P(, ) que pasa por (, 4). Hemos de hallar la recta que pasa por P(, ) y Q(, 4). PQ = (, ) x + y r: =. Los haces de rectas cuyos centros son P(4, 0) y Q( 6, 4) tienen una recta en común. Cuál es? Es la recta que pasa por P(4, 0) y Q( 6, 4). PQ = ( 0, 4) x 4 r: = 0 y 0 4. Las rectas r: x y 7 = 0 y s: x + y + 4 = 0 forman parte de un mismo haz. Cuál de las rectas de ese haz tiene pendiente 4? El centro del haz es el punto de corte de r y s. Lo hallamos: x y 7 = 0 x + y + 4 = 0 ( y 4) y 7 = 0 y 9 = 0 y = 9 x = y 4 = 4 = 9 El centro del haz es el punto P,. Ecuación de la recta que pasa por P y tiene pendiente igual a 4: 9 y = + 4 x + x y + 7 = 0 ( ) x = y 4 ( ) 9 Página 97. Escribe las ecuaciones paramétricas de dos rectas que pasen por P(4, ) y sean paralela y perpendicular, respectivamente, a r. x = t r: y = 4 + t x = t r: Vector dirección de r: vr = (, ) y = 4 + t Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 7
8 Recta paralela a r que pasa por P. P(4, ) vs = vr = (, ) s: x = 4 t y = + t Recta perpendicular a r que pasa por P. P(4, ) vl = (, ) l: x = 4 + t y = + t. La pendiente de r es /. Halla: a) Las coordenadas de un vector paralelo a la recta r. b) La pendiente de una recta perpendicular a la recta r. c) Las coordenadas de un vector perpendicular a la recta r. a) m r = v = (, ) es paralelo a r. b) = m r m = m c) m = w = (, ) es perpendicular a r. x = t. s:. Halla: y = t a) Ecuación continua de una recta, r, perpendicular a s que pase por P (, ). b) Ecuación implícita de r paralela a s que pase por P (0, 4). c) Ecuación explícita de r perpendicular a s que pase por P (, 0). x = t s: P(, 0) é s; vs = (, ) y = t a) El vector dirección de r es vr = (, ). P (, ) é r. x y + r : = b) El vector dirección de r es el mismo que el de s: vr = (, ). P (0, 4) é r. x 0 y 4 r : = x = y + 4 x + y 4 = 0 Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
9 UNIDAD c) El vector dirección de r es el mismo que el de r : vr = (, ). P (, 0) é r. x + y 0 r : = y = x + 4. Determina las ecuaciones implícitas de dos rectas que pasen por P(, 4) y sean paralela y perpendicular, respectivamente, a r. r: x y + = 0 r: x y + = 0 x + = y y = x + La pendiente de r es m r =. Recta s paralela a r que pasa por P(, 4). m s = m r = s: y 4 = (x + ) s: x y + = 0 Recta l perpendicular a r que pasa por P(, 4). l m l = = m r l: y 4 = (x + ) l: x + y 4 = 0 Página 99. Averigua la posición relativa de estos pares de rectas: a) r: x + y = 0 b) r: x + y 6 = 0 s: 6x + 0y + 4 = 0 s: x y = 0 x = 7 + t x = + t c) r:, s: y = t y = t x = + t d) r: x y = 0, s: y = + t a) r: x + y = 0 n r = (, ) s: 6x +0y + 4 = 0 n s = (6, 0) =? Las dos rectas son paralelas Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 9
10 b) r: x + y 6 = 0 n r = (, ) s: x y = 0 n s = (, )? Las dos rectas se cortan. x = 7 + t c) r: v r = (, ) y = t x = + t s: v s = (, ) y = t? Las dos rectas se cortan. d) r: x y = 0 n r = (, ) v r = (, ) x = + t s: v s = (, ), P s = (, ) y = + t Como v r = v s y P s è r, las rectas son paralelas. Página 00. Halla el ángulo que forman los siguientes pares de rectas: x = t x = 4t a) r :, r : y = 7 + t y = 4 + t x = t b) r :, r : x y + 4 = 0 y = 7 + t c) r : y = x, r : y = 4x + a) vr = (, ); v r = ( 4, ) (, ) ( 4, ) cos a = = 0,96990 a = 0 ' 7,4'' (, ) ( 4, ) ( ) () b) vr = (, ); v r = (, ) (, ) (, ) 7 cos a = = 0,6749 a = 7 ' 4,7'' (, ) (, ) ( ) ( 4) c) m r = ; m r = 4 4 tg a = = 0, a = 4' 4,7'' Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
11 UNIDAD Página 0. P( 6, ), Q(9, ) r: x 4y + 9 = 0, s: x +=0 Halla la distancia entre los dos puntos. Halla también las distancias de cada uno de los puntos a cada recta. P( 6, ), Q(9, ) r: x 4y + 9 = 0 s: x + = 0 dist (P, Q) = PQ = (, ) = + = 9 = 7 ( 6) 4( ) + 9 dist (P, r) = = +( 4) ( 6) + dist (P, s) = = = dist (Q, r) = = dist (Q, s) = = =. a) Halla el área del triángulo de vértices A(, ), B(, ), C(, ) con la fórmula de Herón. b) Hállala, también, mediante la fórmula habitual S = b h b /, siendo b el lado AC. Hay otra forma más sencilla? a) A(, ), B(, ), C(, ) Fórmula de Herón: S = p(p a)(p b)(p c) a = BC = (, 0) = b = AC = (, 6) = + ( 6) = 0 c = AB = (0, 6) = p = = S = ( ) ( 0) ( 6) = 4 6 = 76 = 4 u b h b) S = b b = AC = 0 (del apartado anterior) Hallamos la ecuación de la recta que pasa por A(, ) y C(, ): 6 Pendiente: m = = y = (x ) r: x + 4y = Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
12 ( ) + 4() h b = dist [B, r] = = (4/) S = = 4 u Habría sido más sencillo si hubiéramos dibujado el triángulo. Observa: 4 A Es claro que AB = 6 y BC =. B C Como el triángulo es rectángulo: AB BC 6 S = = = 4 u Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
13 UNIDAD Página 06 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Coordenadas de puntos Determina en los siguientes casos si los puntos A, B y C están alineados a) A(, ), B(, ), C(, ) b) A(, ), B(, 7), C(, ) c) A(0, ), B(, ), C(4, ) a) AB = (, ) (, ) = (, 0) BC = (, ) (, ) = (, 0) Las coordenadas de AB y BC son proporcionales, por tanto, A, B y C están alineados. b) AB = (, 7) (, ) = (, 9) BC = (, ) (, 7) = (, ) Las coordenadas de AB y BC no son proporcionales, por tanto, A, B y C no están alineados. c) AB = (, ) (0, ) = (, ) BC = (4, ) (, ) = (, ) Las coordenadas de AB y BC coinciden, por tanto, los puntos están alineados. Determina k para que los puntos A(, ), B(, ) y C(6, k) estén alineados. Debe ocurrir que AB y BC sean proporcionales. AB = (, 4) BC = (4, k ) 4 = k = 6 k = 4 k El punto P(, ) es el punto medio del segmento AB, del que conocemos el extremo A(, ). Halla B. x + y + Si B = (x, y), (, ) = (, ). Si B = (x, y) Como P es punto medio de AB x + = 0 x = B = (, 7) y + = 4 y = 7 x + y + (, ) = (, ) Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
14 4 Halla el punto simétrico de P (, ) respecto del punto H(, 0). H es el punto medio entre P y su simétrico. Si P'(x, y) es simétrico de P (, ) respecto de H (, 0) H es el punto medio de PP' x + y (, ) x + = 6 x = = (, 0) P' (, ) y = 0 y = Da las coordenadas del punto P que divide al segmento de extremos A(, 4) y B (0, ) en dos partes tales que BP = PA. Sea P (x, y). Sustituimos en la condición que nos imponen: BP = PA (x 0, y ( )) = ( x, 4 y) x = ( x) x = 6 x x = 6 y + = (4 y) y + = y y = 6 x = P (, ) y = 6 Halla las coordenadas del vértice D del paralelogramo ABCD, sabiendo que A(, ), B(, ) y C(6, ). Sea D (x, y). D (x, y) Debe cumplirse: AB = DC (, ) = (6 x, y) C (6, ) A (, ) 4 = 6 x x = D (, 6) = y y = 6 B (, ) Ecuaciones de rectas 7 Escribe las ecuaciones vectorial y paramétricas de la recta que pasa por A y tiene una dirección paralela al vector d. a) A(, 7), d(4, ) b) A(, 0), d(0, ) Obtén puntos en cada caso. a) Ecuación vectorial: (x, y) = (, 7) + k(4, ) x = + 4k Ecuaciones paramétricas: y = 7 k Dando valores al parámetro k, obtenemos puntos: (, 6); (, ); (9, 4); (, ); (7, ). 4 Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
15 UNIDAD b) Ecuación vectorial: (x, y) = (, 0) + k(0, ) Ecuaciones paramétricas: x = + 0 k y = k Puntos: (, ); (, 4); (, 6); (, ); (, 0). Escribe la ecuación de la recta que pasa por P y Q de todas las formas posibles. a) P(6, ) y Q(0, ) b) P(, ) y Q(, 6) c) P (0, 0) y Q(, 0) Halla, en todos los casos, un vector de dirección unitario. a) PQ = ( 6, 7) Ec. vectorial: (x, y) = (6, ) + t( 6, 7) x = 6 6t Ec. paramétricas: y = + 7t x 6 y + Ec. continua: = 6 7 Ec. implícita: 7x + 6y 0 = 0 7 Ec. explícita: y = x + 6 b) PQ = (0, 4) Ec. vectorial: (x, y) = (, ) + t(0, 4) Ec. paramétricas: x y Ec. continua: = 0 4 Ec. implícita: x = 0 c) PQ = (, 0) Ec. vectorial: (x, y) = (0, 0) + t(, 0) Ec. paramétricas: x = y = + 4t x = t y = 0 x 0 y 0 Ec. continua: = 0 Ec. implícita y explícita: y = 0 Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
16 9 Halla las ecuaciones paramétricas de cada una de las siguientes rectas: a) x y = 0 b) x 7 = 0 c) y 6 = 0 d) y = x x y + + x e) = f) = y x = t a) Si x = t t y = 0 y = t r: y = t x = 7 b) y = t c) x = t y = 6/ = d) y = x Obtenemos un punto y un vector de esta ecuación, P(0, 0), v (, ), y a partir de ellos, las ecuaciones paramétricas: x = t y = t x y + e) = Obtenemos un punto, P, y un vector dirección, v : P(, ); v (, ). Las ecuaciones paramétricas son: x = + t y = + t + x x + y f) = y = Obtenemos un punto, P, y un vector dirección, v : P(, ); v (, ). Las ecuaciones paramétricas son: x = + t y = t 0 Halla la ecuación continua de cada una de las siguientes rectas: x = t x = a) r : b) r : y = t y = t c) r : x + y = 0 d) r 4 : y + = (x ) x + t = x = t x + a) = y y = t y t = 6 Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
17 UNIDAD x = 0 x = x b) y = y = t t = 0 y y x c) x + y = 0 x = y x = = x d) y + = (x ) = y + y + Determina la ecuación implícita de cada una de las siguientes rectas: x + x = t + a) r : = y b) r : y = t c) r : x = t d) r 4 : y = x + y = Obtén, en cada caso, un vector normal a la recta. x + a) = y x + = y + x +y = 0 Vector normal: n(, ) x = t + x y + b) = x = y x + y = 0 y = t Vector normal: n(, ) x = t c) y = 0 y = Vector normal: n(0, ) d) y = x + 0y = x + 4 x + 0y 4 = 0 Vector normal: n(, 0) Escribe las ecuaciones paramétricas e implícitas de los ejes de coordenadas. Ambos ejes pasan por el origen de coordenadas y sus vectores directores son los vectores de la base. O(0, 0) é eje X x = t Eje X: Eje X: y = 0 d y = 0 X = (, 0) O(0, 0) é eje Y x = 0 Eje Y: Eje Y: x = 0 d y = t Y = (0, ) Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 7
18 Obtén, para cada una de las siguientes rectas, un vector de dirección, un vector normal y su pendiente: a) r : x = t x + y b) r : = y = t 4 c) r : x + = 0 d) r 4 : y = x + a) Vector dirección: v = (, ) b) Vector dirección: v = (, 4) Vector normal: n = (, ) Vector normal: n = ( 4, ) 4 Pendiente: m = Pendiente: m = = c) Vector dirección: v = (0, ) d) Vector dirección: v = (, ) Vector normal: n = (, 0) Vector normal: n = (, ) Pendiente: No tiene, es una Pendiente: m = recta vertical. 4 Comprueba si el punto P(, ) pertenece a alguna de las siguientes rectas: x = + t r : x y + = 0 r : y = + t x = r : y + 4 = 0 r 4 : y = 0 t r : x y + = 0 + +? 0 P è r r : x = + t = + t t = y = + t = + t t = P è r r : y + 4 = 0 ( ) + 4 = 0 P é r x = = r 4 : y = 0 t = 0 t t = P é r 4 Halla, en cada caso, el valor de k para que la recta x + ky 7 = 0 contenga al punto dado: a) (, ) b) (7, ) c) (, 4) a) (, ) + k( ) 7 = 0 k = k = b) (7, ) 7 + k 7 = 0 k = 0 k = 0 c) (, 4) + 4k 7 = 0 4k = 0 k = Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
19 UNIDAD Página 07 6 Dada la recta r: x = t, escribe las ecuaciones (en forma explícita) y = + t de las siguientes rectas: a) Paralela a r que pasa por A(, ). b) Perpendicular a r que pasa por B(, ). r: x = t v r = (, ) y = + t a) v s = (, ), A(, ) s: y = (x + ) s: y = x b) v s = (, ), B(, ) s: y = (x + ) + s: y = x Halla, en cada caso, la ecuación de la recta que pasa por el punto P(, ) y es: a) Paralela a la recta x y + = 0. En forma paramétrica. b) Perpendicular a la recta x + y = 0. En forma continua. c) Paralela a la recta y = 0. d) Perpendicular a la recta x + = 0. a) v x = + t r = (, ), P (, ) r: y = t b) v x r = (, ), P (, ) r: = y + c) v x = + t r = (, 0), P(, ) r: r: y = y = d) v x = + t r = (, 0), P(, ) r: r: y = y = Halla la ecuación de la paralela a x y = 0 cuya ordenada en el origen es. La recta pasa por el punto (0, ). r: x y = 0 s // r la pendiente de s ha de ser igual a la de r P(0, ) é s m s = m r = / y = x x y 6 = 0 P (0, ) é s ECUACIÓN EXPLÍCITA ECUACIÓN IMPLÍCITA Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 9
20 9 Dada la recta 4x + y 6 = 0, escribe la ecuación de la recta perpendicular a ella en el punto de corte con el eje de ordenadas. El eje de ordenadas es el vertical: x = 0. Veamos primero cuál es el punto de corte, P (x, y), de la recta con el eje de ordenadas. 4x + y 6 = 0 r: y 6 = 0 y = 6 y = Eje Y: x = 0 Luego P (0, ) ér y también debe ser P (0, ) és, donde s r. Como s r sus pendientes deben cumplir: m s m r = m s = = = 4/ Como P (0, ) és y m s = y = x + x 4y + = Escribe las ecuaciones paramétricas de las siguientes rectas: a) Su vector de posición es a(, ) y su vector de dirección es perpendicular a v(0, ). b) Pasa por A(, ) y es paralela a: x = t y = t c) Pasa por A(, ) y es perpendicular a la recta de ecuación x y + 6 = 0. d) Es perpendicular al segmento PQ en su punto medio, siendo P(0, 4) y Q( 6, 0). a) La ecuación vectorial será: OX = a + t v (x, y) = (, ) + t (, 0) x = + t y = b) El vector dirección de la recta buscada debe ser el mismo (o proporcional) al de la recta x = t (pues debe ser paralela a ella). y = t Luego: d (, ) Como debe pasar por A(, ) x = t y = + t c) La pendiente de la recta r: x y + 6 = 0 es: m r = m s = (pues m r m s = por ser r s) Un vector dirección puede ser s = (, ). Además, A (, ) é s. m r 4 Por tanto, s: x = + t y = t 0 Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
21 UNIDAD 6 4 d) El punto medio de PQ es m (, ) PQ = ( 6, 4) = (, ) m (, ) é s d (4, 6) es un vector dirección de s, pues d PQ Luego, s: x = + 4t y = 6t De una cierta recta r conocemos su pendiente m =. Halla la recta s en cada caso: a) s es paralela a la recta r y pasa por el origen de coordenadas. b) s es perpendicular a la recta r y contiene al punto (, ). a) Al ser paralela, tiene la misma pendiente. Además, pasa por (0, 0): s: y = x b) Al ser perpendicular, su pendiente es = : m 7 y = (x ) + y = x + Haz de rectas Consideramos el haz de rectas de centro (, ). a) Escribe la ecuación de este haz de rectas. b) Halla la ecuación de la recta de este haz que pasa por el punto (, ). c) Cuál de las rectas del haz es paralela a x + y = 0? d) Halla la recta del haz cuya distancia al origen es igual a. a) a(x ) + b(y + ) = 0; o bien y = + m(x ) b) Si pasa por (, ), entonces, sustituyendo en y = + m(x ), obtenemos: 7 = + m( ) 7 = 4m m = ; es decir: 4 7 y = (x ) 4y = 7x + 7x + 4y = 0 4 c) Si es paralela a x + y = 0 tendrá pendiente. Por tanto, será: y = (x ) y = x + 6 x + y 4 = 0 Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
22 d) Una recta del haz tiene por ecuación: y = + m(x ) y = + mx m mx y m = 0 Su distancia al origen ha de ser igual a : m = ; es decir: m + m = m +. Elevamos al cuadrado y operamos: 9m + m + 4 = 9(m + ) 9m + m + 4 = 9m + 9 m = m = Por tanto, será: x y = 0 x y 9 = 0 Determina el centro del haz de rectas de ecuación: kx + y k + 4 = 0 Llamamos (x 0, y 0 ) al centro del haz. Vamos a escribir la ecuación que nos dan de la forma: a(x x 0 ) + b(y y 0 ) = 0 kx + y k + 4 = 0 k(x x 0 ) + (y y 0 ) = 0 kx kx 0 + y y 0 = 0 kx + y kx 0 y 0 = 0 Han de ser iguales las dos ecuaciones. Por tanto: kx 0 = k x 0 = y 0 = 4 y 0 = El centro del haz es el punto (, ). 4 Las rectas r: y = y s: y = x forman parte del mismo haz de rectas. Halla la ecuación de la recta de dicho haz de pendiente. Si r: y = y s: y = x están en el mismo haz de rectas, el centro de dicho haz es el punto de corte de estas rectas: P(, ). Buscamos la recta que pasa por P(, ) y tiene pendiente m = : y = (x ) + y = x + 7 Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
23 UNIDAD Posición relativa de dos rectas Halla el punto de corte de las rectas r y s en cada caso: a) r: x y + = 0; s: x + y + 4 = 0 b) r: x y 4 = 0; s: x = + t y = t x = x = + t c) r: ; s: y = + t y = t r: x y + = 0 a) Resolviendo el sistema: P(, ) s: x + y + 4 = 0 b) s: x = + t y x = x + = y x + y = 0 y = t r: x y 4 = 0 s: x + y = 0 Resolviendo el sistema: P(, ) c) Por las ecuaciones de r: x = (*) s: x = + t (*) x = + y Ä = + y y = y = t Por tanto, P,. ( ) 6 Calcula el valor de los parámetros k y t para que las siguientes rectas se corten en el punto A(, ): r: kx ty 4 = 0 s: tx + ky = 0 A é r k t 4 = 0 A é s t + k = 0 k t 4 = 0 k + t = 0 Resolviendo el sistema: k = ; t = 7 Determina el valor de k para que las rectas r y s sean paralelas. x y r: = x + y s: = 6 k Para que sean paralelas, sus vectores dirección han de ser proporcionales; es decir: 6 = k = 4 k Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
24 Halla el valor de k para que las siguientes rectas sean coincidentes: r: x + y + = 0 s: x = 6t + k y = 4t + Expresamos ambas rectas en forma implícita: r: x + y + = 0 s: 4x + 6y 4k = 0 Para que r = s, estas ecuaciones tienen que ser proporcionales, y por tanto: 4k = 0 k = = 4 Página 0 9 Estudia la posición relativa de los siguientes pares de rectas: a) r: x + y + 7 = 0 b) r: x + y + 0 = 0 s: x = t + s: x + y + 0 = 0 y = 0t x = t c) r: x = t s: y = t + y = t a) Buscamos un vector dirección de cada recta: r: x + y + 7 = 0 n r = (, ) v r = (, ) s: x = t + v s = (, 0) y = 0t Como los vectores dirección son proporcionales ( v s = v r ), las rectas o son paralelas o son coincidentes. Como P(, ) é s y P è r, las rectas son paralelas. b) Buscamos un vector dirección de cada recta: r: x + y + 0 = 0 n r = (, ) v r = (, ) s: x + y + 0 = 0 n s = (, ) v s = (, ) Como los vectores dirección no son proporcionales, las rectas son secantes. c) Buscamos un vector dirección de cada recta: r: x = t v r = (, ) y = t + s: x = t v s = (, ) y = t Como los vectores dirección no son proporcionales, las rectas son secantes. 4 Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
25 UNIDAD Ángulos 0 Halla el ángulo que forman los siguientes pares de rectas: a) y = x + x y + 7 = 0 b) y = x + 0x + 6y = 0 x = t x = t x y = 0 c) d) y = t y = 4 + t y + = 0 r: y = x + a) sus pendientes son: s: y = x + m r = m s = b) m r m s tg a = = = = a = 4 + m r m s v = (, ) r w = (0, 6) r ( ) + ( ) ì ì a ~ r r = v, w v w 0 0 cos a = = = 0 a = 90 v w v w c) Los vectores dirección de esas rectas son: d = (, ) y d = (, ) Entonces: d d + cos a = = = = = a = 4 0 d d d) a = (, ) r a = (0, ) r ì a ~ r r = a, a cos a = a a = a a 0 = = = = 0,447 a = 6 6'," 4 Qué ángulo forma la recta x y + 6 = 0 con el eje de abscisas? No es necesario que apliques ninguna fórmula. Sabes que la pendiente de r es la tangente del ángulo que forma r con el eje de abscisas. Halla el ángulo con la pendiente de r. Y r La pendiente de r es m r =. La pendiente de r es, además, tg a: a X m r = tg a tg a = a = 6 '," Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
26 Qué ángulo forma la recta x y + = 0 con el eje de ordenadas? El ángulo pedido es el complementario del ángulo que la recta forma con el eje de abscisas. El ángulo pedido, a, es complementario de b tg b = tg a Por otro lado, tg b = m r = : tg a = = a = 6 ' 4," tg b Y r a b X Calcula n de modo que la recta x + ny = 0 forme un ángulo de 60 con el OX. Y 60 r X tg 60 = Como tg 60 = m r, se tiene que: m r = n = n = = = n 4 Calcula m y n en las rectas de ecuaciones: r: mx y + = 0 s: nx + 6y = 0 sabiendo que r pasa por el punto P (, 4) y que r y s forman un ángulo de 4. Las coordenadas de P deben verificar la ecuación de r. Así calculas m. Expresa tg 4 en función de las pendientes de r y s para obtener n. O bien mira el problema resuelto número. P é r m 4 + = 0 m = r: x y + = 0 y = x + m r = n s: nx +6y = 0 y = x + m s = n Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
27 UNIDAD m tg 4 = s m r (n/6) (/) n = = = + m s m r (n/6)(/) n Hay dos posibilidades: n = n = n n = 0 n n 6 = n = + n n = n Distancias y áreas Halla la distancia entre los puntos P y Q en cada caso: a) P(, ), Q(, 7) b) P(, 4), Q(, ) c) P( 4, ), Q(0, 7) a) PQ = ( ) + (7 ) = = 4 b) PQ = ( + ) + ( 4) = + = c) PQ = (0 + 4) + (7 + ) = = 60 = Calcula k de modo que la distancia entre los puntos A(, k) y B(, ) sea igual a. A(, k), B(, ), AB = (, k) dist (A, B) = AB = ( ) + ( k) = k + k = 4 k + 4k + 4 = 0 k = 7 Halla el valor que debe tener a para que la distancia entre A(a, ) y B(, ) sea igual a. AB = ( a) + ( ) = ( a) + 9 = ( a) = 4 a = a = a = a = Halla la longitud del segmento que determina la recta x y + = 0 al cortar a los ejes de coordenadas. Hay que calcular la distancia entre los puntos de corte de la recta con los ejes de coordenadas. Calculamos primero dichos puntos: x y + = 0 y + = 0 y = x = 0 A ( ) 0, es el punto de corte con el eje Y. Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 7
28 x y + = 0 x + = 0 x = y = 0 B (, 0) es el punto de corte con el eje X. Luego AB = dist (A, B) = ( 0) + ( 0 ) = + = = Halla la distancia del punto P(, ) a las siguientes rectas: a) x = t 9 b) y = c) x + = 0 y = t 4 a) Veamos primero la ecuación implícita de la recta: t = x/ x = y x + y = 0 t = y Entonces: + ( ) 6 4 dist (P, r) = = = = b) y = y = Por tanto: ( ) 9/4 9/4 dist (P, r) = = = c) dist (P, r) = = Calcula la distancia del origen de coordenadas a las siguientes rectas: a) x 4y + = 0 b) y 9 = 0 c) x = d) x y = a) dist (0, r) = = + ( 4) 0 9 b) dist (0, r) = = c) dist (0, r) = = = d) dist (0, r) = = = 0 + (es decir, la recta x y = 0 pasa por el origen). 9 Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
29 UNIDAD 4 Determina c para que la distancia de la recta x y + c = 0 al punto (6, ) sea de 0 unidades. (Hay dos soluciones). 6 + c c c dist (P, r) = = = = Hay dos soluciones: c = 0 c = 0 0 c 0 = 0 c = 0 Las dos rectas solución serán dos rectas paralelas: 0 x y + 0 = 0 P x y 0 = 0 4 Halla la distancia entre las rectas r: x y + = 0 y r': x + 4y 7 = 0. Comprueba que son paralelas; toma un punto cualquiera de r y halla su distancia a r'. Sus pendientes son m r = = m r' Son paralelas. Entonces, la distancia entre r y r' será: dist (P, r') donde P ér Sea x = 0. Sustituyendo en r y = = 4 P (0, 4) ér Así: dist (r, r') = dist (P, r') = = = = ( ) En el triángulo cuyos vértices son O(0, 0), A(4, ) y B(6, ), calcula: a) La longitud del lado OB. b) La distancia de A al lado OB. c) El área del triángulo. a) OB = 6 + ( ) = 0 A(4, ) b) Ecuación de OB: m = = ; y = x x + y = 0 6 O Distancia de A a OB: B(6, ) d = = (es la altura del triángulo) c) Área = 0 = 0 u 0 Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 9
30 44 Comprueba que el triángulo de vértices A(, ), B(0, ) y C(4, ) es rectángulo y halla su área. Veamos si se cumple el teorema de Pitágoras: AB = (0 + ) + ( ) = AC = (4 + ) + ( ) = 0 BC = 4 + ( ) = 0 + = ( ) Por tanto, el triángulo es rectángulo. Área = AB BC = =, u 4 Halla el área del triángulo cuyos vértices son P(, ), Q(4, 7), R(7, 0). PR = (7 + ) + (0 ) = 6 = 7 (Base del triángulo) Ecuación de PR: 0 m = = y = 0 (x 7) y = x +7 x +4y 7 = Altura: d (Q, PR) = = +4 7 Área = 7 = u 7 P(, ) O Q(4, 7) R(7, 0) Página 09 PARA RESOLVER 46 Halla las ecuaciones de las rectas r, s, t y p. Y 0 t s X t Y 0 p s r p 0 a b 0 b X r 0 Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
31 UNIDAD p: Pasa por los puntos (, ) y (, 4). Así, su pendiente es: Por tanto: 4 ( ) m = = ( ) 7 p: y = + (x 4) 7x 4y + 9 = 0 4 r : Su pendiente es 0 y pasa por el punto ( 0, ). Por tanto: r : y = s: Su vector dirección es (0, ) y pasa por (, 0). 7 4 Por tanto: s: x = y = t t: Pasa por los puntos (, 0) y (, ). Así, su pendiente es: 0 m = = = 4 Por tanto: t: y = (x ) x + y = 0 47 Dada la recta: r: x = + t y = + kt halla un valor para k de modo que r sea paralela a la bisectriz del segundo cuadrante. La bisectriz del segundo cuadrante es x = y x = t y = t Su vector dirección es d = (, ). (en paramétricas). El vector dirección de r es r = (, k). Como queremos que r // bisectriz del segundo cuadrante, entonces sus vectores dirección deben ser proporcionales: = k = k Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
32 4 En el triángulo de vértices A(, ), B(, ), C(, 4), halla las ecuaciones de: a) La altura que parte de B. b) La mediana que parte de B. c) La mediatriz del lado CA. a) La altura que parte de B, h B, es una recta perpendicular a AC que pasa por el punto B: h B AC (, 7) el vector dirección de h B es h B (7, ) B (, ) é h B x t = x = + 7t 7 x y h B : = h B : x 7y = 0 y = + t y 7 t = b) m B (mediana que parte de B) pasa por B y por el punto medio, m, de AC: + 4 m (, ) = (, ) é m B B (, ) é m B m B (, + ) = (, ) es vector dirección de m B. Luego: 9 x 0 x = + t x = 0 + 9t t = 9 m B : y t = y y = + t t = x 0 y = m B : 6x y = 0 9 c) La mediatriz de CA, z, es perpendicular a CA por el punto medio del lado, m'. Así: CA = (, 7) z vector dirección de z: z(7, ) 4 + m' (, ) = (, ) é z x x = +7t t = 4 x y + z: = y y = +t t = 0 z: 0x y 4 = 0 z: x 7y 6 = 0 9 Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
33 UNIDAD 49 La recta x + y 6 = 0 determina, al cortar a los ejes de coordenadas, el segmento AB. Halla la ecuación de la mediatriz de AB. Después de hallar los puntos A y B, halla la pendiente de la mediatriz, inversa y opuesta a la de AB. Con el punto medio y la pendiente, puedes escribir la ecuación. Y A B X x + y 6 = 0 A = r» eje Y: x = 0 y 6 = 0 y = A (0, ) x + y 6 = 0 B = r» eje X: y = 0 x 6 = 0 x = B (, 0) AB = (, ) m AB (mediatriz de AB) m AB = (, ) M AB (, ) = (, ) (punto medio de AB) é mediatriz y = ( x ) y = x m AB : 6x 4y = 0 0 Determina los puntos que dividen al segmento AB, A(, ), B(, 4), en tres partes iguales. Si P y Q son esos puntos, AP = AB. Escribe las coordenadas de AP y de AB, y obtén P. Q es el punto medio de PB. B 4 A P Q AP = AB (x +, y ) = (7, ) 7 7 x + = x = = P (, ) y = y = + = Q es el punto medio de PB Q ( / + + 4, ) Q (, ) Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
34 Qué coordenadas debe tener P para que se verifique que PQ QR = 0, siendo Q(, ) y R(, )? PQ = QR ( x, y) = ( 4, ) 9 x = x = 7 P (, 0 6 y = 6 ) Los puntos medios de los lados de cualquier cuadrilátero forman un paralelogramo. Compruébalo con el cuadrilátero de vértices: A(, ) B(, ) C(, 0) D(, 6) A S D P R B 7 y = 0 Q C + + P (, ) = (4, ) Q (, ); R (0, ); S (, 7) PQ = ( 4, ) = (, 4) SR = (0, 7) = (, 4) SP = (4, 7) = (, ) RQ = ( 0, ) = (, ) Halla el pie de la perpendicular trazada desde P(, ) a la recta: r: x y + 4 = 0 Escribe la perpendicular a r desde P y halla el punto de corte con r. PQ SP = = SR RQ P (, ) r : x y + 4 = 0 P' (x, y) Sea s la recta perpendicular a r desde P y r = (, ) vector director de r. s Así, PP ' r ò el vector dirección de s, s, también es perpendicular a r( s r), luego podemos tomar s(, ). Como P (, ) é s: x = + t t = x y + s: y + x = x + = y + y = t t = s: x + y = 0 4 Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
35 UNIDAD El punto P' (x, y) es tal que: s: x + y = 0 y = x P' = s» r r: x y + 4 = 0 Sustituyendo en la segunda ecuación: x ( x) + 4 = 0 x + 4x + 4 = 0 4 Luego: P' (, ) 4 4 x = y = ( ) = 4 Halla el área del cuadrilátero de vértices: A( 4, ) B(0, ) C(4, ) D(, ) Traza una diagonal para descomponerlo en dos triángulos de la misma base. A ( 4, ) B (0, ) D (, ) C (4, ) La diagonal AC divide el cuadrilátero en dos triángulos con la misma base, cuya medida es: AC = (, ) = 9 Sean h B y h D las alturas desde B y D, respectivamente, a la base: h B = dist (B, r) y h D = dist (D, r) donde r es la recta que contiene el segmento AC. AC, la ecuación de dicha rec- Tomando como vector dirección de r el vector ta es: x + y + k = 0 Como ( 4, ) é r k = 0 ò k = 4 ò r: x + y 4 = 0 Luego: h B = dist (B, r) = = ( ) + ( ) 4 h D = dist (D, r) = = 9 9 Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
36 Así: b h A ABCD = A ABC + A ADC = B b h + D b = (h B + h D ) = 9 6 = ( + ) = Calcula el área del triángulo cuyos lados están sobre las rectas: r: x = s: x + y 6 = 0 t: x y 7 = 0 r A s C B t x = A = r» s 6 + y 6 = 0 y = 0 x + y 6 = 0 Luego: A (, 0) x = B = r» t y 7 = 0 y = 4 x y 7 = 0 Luego: B (, 4) x + y 6 = 0 C = s» t x y 7 = 0 x = y + 7 (y + 7) + y 6 = 0 y y 6 = 0 y + = 0 y = x = + 7 = 7 Luego: C (, ) 7 Consideramos el segmento AB como base: AB = (0, 4) = 6 = 4 ( /) La altura desde C es h C = dist (C, r) = = + 0 Así: AB h C 4 / Área = = = 46 6 Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
37 UNIDAD 6 En el triángulo de vértices A(, ), B(, 4) y C(4, ), halla las longitudes de la mediana y de la altura que parten de B. Mediana. Es el segmento BM donde M es el punto medio de AC. M (, 0) = (, 0 4) ( ) = BM, 4 La longitud de la mediana es: BM = /4 + 6 = Altura. Es el segmento BP donde P es el pie de la perpendicular a AC desde B. AC = (, ) la recta que contiene ese segmento es: x = + t x + y + r: = x y = 0 y = + t v = (, ) AC la recta s r que pasa por B: x = t x y 4 s: = x + y = 0 y = 4 + t r: x y = 0 P = r» s s: x + y = 0 Multiplicamos la primera por y la segunda por, y sumamos: 4x 0y 6 = 0 x + 0y 90 = x 96 = 0 x = y = y = = y = : = Luego: P (, ) 9 BP Así: h B = = (, ) = =, 9 7 Halla el punto de la recta x 4y + = 0 que equidista de A ( 6, 0) y B(0, 6). P r A ( 6, 0) B (0, 6) Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 7
38 P (x, y) debe verificar dos condiciones:. P (x, y) é r ò x 4y + = 0. dist (A, P) = dist (B, P) ò (x + 6) + y = x + (y + 6) x 4y + = 0 x + x y = x + y + y + 6 x 4y + = 0 x = y x 4x + = 0 x = = y P (, ) Determina un punto en la recta y = x que diste unidades de la recta x y + = 0. P (x, y) é r: y = x dist (P, r') =, donde r': x y + = 0 y = x x x + x + x y + = = = dos posibilidades: x + = 0 x = 0 x + = 0 x = 0 y = y = P ( 0, 6 0 6) P ( 0, 6 0 6) r' P P r 9 Halla los puntos de la recta y = x + que equidistan de las rectas x + y = 0 y 4x y + = 0. Sean r, r y r las tres rectas del ejercicio, respectivamente. Buscamos los puntos P (x, y) que cumplan: P é r ò y = x + dist (P, r ) = dist (P, r ) x + y 4x y + = 0 x + ( x + ) 4x ( x + ) + = Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
39 UNIDAD 6x x =, o bien 6x x = 6x + x = x = 6x, o bien x = x = / x x = 6x + 4x = = /4 y = + = y = + = Calcula c para que la distancia entre las rectas 4x + y 6 = 0 y 4x + y + c = 0 sea igual a. Sea P é r donde x 0 = 0 y 0 = P (0, ) é r c Así, dist (r, r ) = dist (P, r ) = = c = P ( ), P ( ), c = c = c = c = 6 El lado desigual del triángulo isósceles ABC, tiene por extremos A(, ) y B(4, ). El vértice C está en la recta x y + = 0. Halla las coordenadas de C y el área del triángulo. La recta del lado desigual (base) tiene como vector dirección AB = (, ): x = + t x y + r: = r: x y = 0 y = + t La recta que contiene la altura tiene por vector dirección a = (, ) AB y pasa por el punto medio del lado desigual AB, es decir, por M (, ) : x = / t x y h c : = y = / + t 0 6 h c : x + 0y 40 = 0 h c : 6x + 0y 0 = 0 C = s» h c donde s: x y + = 0 x y + = 0 6x + y 6 = 0 6x + 0y 0 = 0 6x + 0y 0 = 0 6 y 6 = 0 y = = x + = 0 x + = 0 x = Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 9
40 Luego: C (, ) Área = base Ò altura = AB CM AB = (, ) AB = 4 (*) 0 CM (, ) CM = 6 6 (*) 4 ( 0/6) = 4,7 6 Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas r y s y forma un ángulo de 4 con la recta: x + y 6 = 0. r: x y 9 = 0 s: x = 0 x y 9 = 0 P = r» s: 9 y 9 = 0 y = 0 x = 0 Luego: P (, 0) Como la recta pedida y x + y 6 = 0 forman un ángulo de 4, entonces si sus pendientes son, respectivamente, m y m, se verifica: m tg 4 = m ( /) m = + m m + ( /) m = m m m = m, o bien ( m ) = m 4m = 6 m = 6/4 6m = 4 m = 4/6 Hay dos posibles soluciones: 6 9 t : y 0 = (x ) t : y = x t : y 0 = (x ) t : y = x 6 6 Dadas r: x y 7 = 0 y s: x ky = 0, calcula el valor de k para que r y s se corten formando un ángulo de 60. Halla la pendiente de r. La pendiente de s es /k. Obtendrás dos soluciones. Las pendientes de r y s son, respectivamente: m r = y m s = k 40 Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
41 UNIDAD Entonces: /k + /k tg 60 = = dos casos: k k + 6 (k + 6) = k (k + 6) = k 6 k + = = k + = = Las rectas r: x y + 6 = 0, s: x + y 6 = 0 y t: x y 4 = 0 son los lados de un triángulo. Represéntalo y halla sus ángulos. Y X t r s m r = ; m s = ; m t = ì / ( ) 7/ r, s + / ( ) ì Luego: ( r, s ) = 60 ',4" tg ( ) = = = 7 4 ì r, t / / + / / tg ( ) = = = 6 ì Luego: ( r, t ) = 4 0' 0,7" ì ì ì Por último: ( s, t ) = 0 ( r, s ) ( r, t ) = 4' " 6 Halla los ángulos del triángulo cuyos vértices son A (, ), B (, ) y C(, 4). Representa el triángulo y observa si tiene algún ángulo obtuso. AB = (, ); BA (, ) AC = (6, 6); CA ( 6, 6) BC = (, ); CB (, ) Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 4
42 cos ^A AB AC 66 + = = 0,6 AB AC 0 7 Luego: ^A = 9 44' 4,6" cos ^B BA BC 9 = = 0,69 BA BC 0 4 Luego: ^B = 46 ' 7,9" A (, ) Y C (, 4) B (, ) X Así, ^C = 0 ( ^A + ^B) = 04 ' 0," Página 0 66 Halla la ecuación de la recta que pasa por (0, ) y forma un ángulo de 0 con x =. La recta que buscamos forma un ángulo de 60 o de 0 con el eje OX. r Y 0 x = (0, ) 60 0 X r La recta r forma un ángulo de 60 o de 0 con el eje OX. Su pendiente es: m = tg 60 =, o bien m = tg 0 = Teniendo en cuenta que debe pasar por P (0, ), las posibles soluciones son: r : y = x + r : y = x + 4 Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
43 UNIDAD 67 La recta x + y = 0 es la bisectriz de un ángulo recto cuyo vértice es,. Halla las ecuaciones de los lados del ángulo. Las pendientes de las tres rectas son: m b =, m r, m r' r ( ) V (, ) 4 4 b: x + y = 0 r' tg 4 = = m r = m r m r = + m r' = m r' m r' = / m b m r + m b m r r: y = ( x + ) y = x + m r m r r': y = ( x + ) y = x Encuentra un punto en la recta x y 6 = 0 que equidiste de los ejes de coordenadas. Eje X: y = 0 Eje Y: x = 0 P (x, y) é r dist (P, eje X) = dist (P, eje Y ) x y 6 = 0 y = x dos casos: x y 6 = 0 x = y x = y y y 6 = 0 y P = 6 x = 6 ( 6, 6) y y 6 = 0 y = x = P (, ) Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 4
44 Y r X P P 69 Halla las ecuaciones de las rectas que pasan por A(, ) y forman un ángulo de 60 con x = y. b: x = y su pendiente es m b = m + m tg 60 = = + m = m m = + + m = m m = + Teniendo en cuenta que pasan por A (, ): r : y = (x + ) + + r : y = (x + ) + ECUACIONES PUNTO-PENDIENTE 70 Escribe la ecuación de la recta r que pasa por A (, ) y B (, 6) y halla la ecuación de una recta paralela a r, cuya distancia a r sea igual a la distancia entre A y B. vector dirección AB = (, ) x = + t r: r: pasa por A (, ) y = + t x y = x y + = 0 r: x y + = 0 s // r m s = m r = y = x + c s: x y + c = 0 dist (r, s) = dist (A, s) = dist (A, B) + c = AB + ( ) + c = s : x y + 7 = 0 s : x = 0 m + m + c = 6 ò c = 6 + = 7 + c = 6 ò c = 6 + = 44 Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
45 UNIDAD 7 Halla el punto simétrico de P(, ) repecto a la recta x y 4 = 0. PP ' v donde P' es el simétrico de P respecto a esa recta y v es el vector dirección de la misma. PP ' v = 0 (x, y ) (, ) = 0 (x ) + (y ) = 0 x + y = 0 Además, el punto medio de PP', M, debe pertenecer a la recta. Luego: x + y + M(, ) é r x + y + 4 = 0 x + y = 0 x y 9 = 0 Así, teniendo en cuenta las dos condiciones: x + y = 0 x y 9 = 0 x = 9 + y (9 + y) + y = 0 + 4y + y = 0 y = = x = 9 + ( ) = 9 6 = Luego: P' = (, ) 7 Un rombo ABCD tiene un vértice en el eje de las ordenadas; otros dos vértices opuestos son B(, ) y D(, ). Halla las coordenadas de los vértices A y C y el área del rombo. Sea A é eje Y A = (0, y ) y sea el punto C = (x, y ). Como estamos trabajando con un rombo, sus diagonales AC y BD se cortan en su punto medio, M. Además, AC BD. D(, ) A C B(, ) + M (, ) = (, ) es el punto medio de BD (y de AC). Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 4
46 Sea d la recta perpendicular a BD por M (será, por tanto, la que contiene a AC): BD = ( 4, 4) d = (4, 4) es vector dirección de d M (, ) é d 4 La pendiente de d es m d = = 4 M(, ) é d d : y = (x + ) y = x + 4 Así: y = x + 4 A = d» eje Y: y = 4 A (0, 4) x = 0 M es punto medio de AC (, ) = (, ) x = x = y C ( 6, ) = y = 0 + x 4 + y AC BD Área = AC = ( 6, 6) = 7 = 6 BD = ( 4, 4) = = 4 Área = = 4 u En el triángulo de vértices A(, ), B(, ) y C(4, ), halla el ortocentro y el circuncentro. El ortocentro es el punto de intersección de las alturas. El circuncentro es el punto de intersección de las mediatrices. ORTOCENTRO: R = h A» h B» h C donde h A, h B y h C son las tres alturas (desde A, B y C, respectivamente). a BC = (, ) a = (, ) x = + t h A h A : A é h A y = + t x + y = h A : x y + = 0 b AC = (7, ) b = (, 7) x = + t h B h B : B é h B y = + 7t y x = h B : 7x y 4 = Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
47 UNIDAD c AB = (4, ) c = (, 4) x = 4 + t h C h C : C é h C y = 4t y x 4 = h C : 4x + y 7 = 0 4 Bastaría con haber calculado dos de las tres alturas y ver el punto de intersección: 7x y 4 = 0 h B» h C : 4x + y 7 = 0 Sumando: x = 0 x = y = 7x 4 = 7 4 = = NOTA: Puede comprobarse que el ortocentro, R, está también en h A. Basta con sustituir en su ecuación. CIRCUNCENTRO: S = m A» m B» m C, donde m A, m B y m C son las tres mediatrices (desde A, B y C, respectivamente). 0 a BC a = (, ) m A Punto medio de BC: M (, ) é m A 0 R (, ) y = ( x ) y = x 7 4 c AB = (4, ) c = (, 4) m C Punto medio de AB: M' (, ) é m C y = 4 (x + ) y = 4x Así: 7 y = x 4 7 S = m A» m C : x = 4x 4 y = 4x 6x 7 = 6x 6 x = x = 4 7 y = 4 = = 7 Así, S (, ). NOTA: Se podría calcular m B y comprobar que S é m B. Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 47
48 74 La recta x + y 4 = 0 es la mediatriz de un segmento que tiene un extremo en el punto (0, 0). Halla las coordenadas del otro extremo. r: x + y 4 = 0 O (0, 0) A (x, y) Un vector dirección de la recta es el v = (, ). Debe verificarse que: v OA = v OA = 0 (, ) (x, y) = 0 x y = 0 x = y Además, el punto medio de OA, M, pertenece a la recta: x y M (, ) é r + 4 = 0 y y + 4 = 0 4y + y = 0 x y 6 Luego: A (, ) y = x = = 6 7 Los puntos P(, 4) y Q(6, 0) son vértices consecutivos de un paralelogramo que tiene el centro en el origen de coordenadas. Halla: a) Los otros dos vértices. b) Los ángulos del paralelogramo. P (, 4) Y S O X Q (6, 0) R 4 Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
49 UNIDAD a) Como las dos diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio, que es el centro, se tienen fácilmente los otros dos vértices: R (, 4), S ( 6, 0) b) PQ = SR = (, 4) QP = RS = (, 4) PS = QR = ( 4, 4) SP = RQ = (4, 4) cos ^P PS PQ + 6 = = = 0,6 ^P = 0 6'," = ^R PS PQ 0 ^ S = 60 ( ^P + ^R) = 7 ' 4" = ^Q NOTA: Podríamos haber calculado ^S con los vectores: cos ^S SP SR 6 = = = 0,6 ^S = 7 ' 4" SP SR 0 76 Dos de los lados de un paralelogramo están sobre las rectas x + y = 0 y x y + 4 = 0 y uno de sus vértices es el punto (6, 0). Halla los otros vértices. Como las rectas no son paralelas, el punto donde se corten será un vértice: r : x + y = 0 r : x y + 4 = 0 Luego un vértice es A (0, ). x + y = 0 x + y 4 = 0 y 6 = 0 y = x + = 0 x = 0 El vértice que nos dan, C (6, 0), no pertenece a ninguna de las rectas anteriores (pues no verifica sus ecuaciones, como podemos comprobar fácilmente sustituyendo los valores de x e y por las coordenadas de C ). Así pues, el vértice C no es consecutivo de A. Sean s // r una recta que pasa por C y s // r una recta que pasa por C. Se trata de las rectas sobre las que están los otros lados. s A r Así, los otros vértices, B y B D, serán los puntos de corte de: r r» s = B D C s r» s = D Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 49
50 x + y + a = 0 s : s : x + y 6 = 0 C é s a = 0 a = 6 x y + b = 0 s : s : x y 6 = 0 C é s b = 0 b = 6 x + y = 0 B = r» s : x y 6 = 0 Resolviendo el sistema: De la primera ecuación x = y en la segunda y y 6 = y = x = B (, ) x + y + 4 = 0 D = r» s : 6 y y + 4 = 0 x + y 6 = 0 x = 6 y 0 0 y = x = D (, ) 77 Halla un punto del eje de abscisas que equidiste de las rectas 4x + y + 6 = 0 y x + 4y 9 = 0. P (x, 0) debe verificar dist (P, r) = dist (P, s): 4x x = 4x + 6 = x 9 x = P (, 0), P (, 0) 4x + 6 = (x 9) x = /7 7 7 Halla el punto de la recta x 4y = 0 que con el origen de coordenadas y el punto P( 4, 0) determina un triángulo de área 6. Si tomamos como base PQ = 4, la altura del triángulo mide. El punto que buscamos está a unidades de PO y en la recta dada. Hay dos soluciones. Los vértices son O (0, 0), P ( 4, 0), Q (x, y). Si tomamos como base OP, entonces: OP h 4 h Área = 6 = h = El punto Q (x, y) é r x 4y = 0 y debe verificar que dist (Q, OP) =. La recta sobre la que se encuentra OP tiene por vector dirección pasa por (0, 0). Luego es el eje X: y = 0. OP ( 4, 0) y 0 Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
51 UNIDAD Así: x 4y = 0 y = 0 + y = y = x 4 = 0 x = x 4 ( ) = 0 x = Luego hay dos triángulos, OPQ y OPQ, donde: Q (, ) y Q (, ) 79 Sean A, B, C, D los puntos de corte de las rectas x y + = 0 y x y = 0 con los ejes de coordenadas. Prueba que el cuadrilátero ABCD es un trapecio isósceles y halla su área. A Y D B C X A (, 0) B (0, ) C (, 0) D (0, ) Mira el problema resuelto número. x y + = 0 Sean: A = r» eje OX: x = ò A (, 0) y = 0 x y + = 0 B = r» eje OY: y = ò B (0, ) x = 0 x y = 0 C = s» eje OX: x = ò C (, 0) y = 0 x y = 0 D = s» eje OY: y = ò D (0, ) x = 0 Calculamos los vectores dirección de los lados: AB = (, ) BC = (, )] DA = BC BC // DA CD = (, ) AB = = CD DA = (, ) Luego, efectivamente, ABCD es un trapecio isósceles de bases BC y DA. Para calcular el área necesitamos la altura: Como AD (, ) y = x AD: x + y + = 0 D (0, ) Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
52 0 + + h = dist (B, AD) = = = Así: BC + DA + 9 Área = = = = La recta x + y = 0 y una recta paralela a ella que pasa por el punto (0, ) determinan, junto con los ejes de coordenadas, un trapecio isósceles. Halla su área. s//r: x + y = 0 ò x + y + k = 0 P (0, ) é s Luego s: x + y = k = 0 k = x + y = 0 Sean: A = r» eje X: y = 0 x = ò A (, 0) x + y = 0 B = r» eje Y: x = 0 y = ò B (0, ) x + y = 0 C = s» eje X: y = 0 x = ò C (, 0) x + y = 0 D = s» eje Y: x = 0 y = ò D (0, ) AB = (, ); CD = (, ) AB + CD AB + CD Área = h = dist (A, s) = = = = = + Un punto P, que es equidistante de los puntos A(, 4) y B(, 6), dista el doble del eje de abscisas que del eje de ordenadas. Cuáles son las coordenadas de P? d (P, OX ) = d (P, OY ) y = x y = x y = x AP = PB (x ) + (y 4) = ( x) + (6 y) x + 9 6x + y + 6 y = x + + 0x + y + 6 y 6x y + = 0x y + 6 6x 4y + 6 = 0 4x y + 9 = 0 Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
53 UNIDAD Como deben cumplirse las dos condiciones, habrá dos soluciones: y = x 9 P : 4x x + 9 = 0 x = 4x y + 9 = 0 y = 9 Luego: P ( 9, 9) y = x 9 P : 4x + x + 9 = 0 x = = y = 4x y + 9 = 0 6 Luego: P (, ) De todas las rectas que pasan por el punto A(, ), halla la pendiente de aquella cuya distancia al origen es. La ecuación y = + m(x ) representa a todas esas rectas. Pásala a forma general y aplica la condición d(o, r) =. Esas rectas tienen por ecuación: y = + m (x ) mx y + ( m) = 0 m m = m d (0, r) = = + m + m = m + ( m) = m m 4m = m + 4 4m = m = 4 Dado el triángulo de vértices A( 4, ), B(, ) y C(, ), halla las ecuaciones de las rectas r y s que parten de B y cortan a AC, dividiendo al triángulo en tres triángulos de igual área. B Y A r s C X La altura de los tres triángulos es igual a la distancia de B al lado AC. Por tanto, tendrán la misma área si tienen la misma base. Así, se trata de hallar los puntos, P y Q, que dividen el lado AC en tres partes iguales: OA + OC = = ( ) (, ; = OC + OC = OQ, 0) OP La recta r es la que pasa por B y por P: 6 m = = = ( /) ( ) (/) y = (x + ) r: x + y + = 0 Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
54 La recta s es la que pasa por B y por Q: 0 m = = = ( ) (/) ( /) y = (x + ) y = x s: x + y 40 = 0 4 Dada la recta r: x y + = 0, halla la ecuación de la recta simétrica de r respecto al eje de abscisas. Hallamos dos puntos de la recta dada. Por ejemplo: A (, ) y B (, ). Los dos puntos simétricos respecto al eje OX de A y B son A' (, ) y B' (, ). La recta, r', simétrica de r respecto al eje OX será la que pasa por A' y B': ( ) + m = = = La recta r' es: y = (x ) y = 9 x + 4 x + y + = 0 De otra forma: Si (x, y) es un punto de la recta r, entonces (x, y) es un simétrico respecto al eje OX. Por tanto, la ecuación de la recta r', simétrica de r respecto al eje OX, será: x ( y) + = 0 x + y + = 0 Página CUESTIONES TEÓRICAS Prueba que si las rectas ax + by + c = 0 y a'x + b'y + c' = 0 son perpendiculares, se verifica que aa' + bb' = 0. El vector (a, b) es perpendicular a la recta ax + by + c = 0. El vector (a', b' ) es perpendicular a la recta a' x + b' y + c' = 0. Si las dos rectas son perpendiculares, entonces: (a, b) (a', b' ) = 0; es decir, aa' + bb' = 0. 6 Dada la recta ax + by + c = 0, prueba que el vector v = (a, b) es ortogonal a cualquier vector determinado por dos puntos de la recta. Llama A(x, y ) y B(x, y ) y haz v AB. Ten en cuenta que los puntos A y B verifican la ecuación de la recta. Si A(x, y ) pertenece a la recta, entonces ax + by + c = 0 Si B(x, y ) pertenece a la recta, entonces ax + by + c = 0 Restando las dos igualdades: a(x x ) + b(y y ) = 0 4 Unidad. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
Página 209 PARA RESOLVER. 44 Comprueba que el triángulo de vértices A( 3, 1), B(0, 5) y C(4, 2) es rectángulo
44 Comprueba que el triángulo de vértices A(, ), B(0, ) y C(4, ) es rectángulo y halla su área. Veamos si se cumple el teorema de Pitágoras: AB = (0 + ) + ( ) = AC = (4 + ) + ( ) = 0 BC = 4 + ( ) = 0 +
Más detallesResuelve. Unidad 8. Geometría analítica. BACHILLERATO Matemáticas I. m = (7, 3) El embarcadero. \ Solución: P = (8, 6) Página 187
Resuelve Página 87 El embarcadero A Tenemos dos pueblos, A y B, cada uno a un lado de un canal. Se desea construir un embarcadero situado exactamente a la misma distancia de los dos pueblos. Dónde habrá
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA. PROBLEMAS AFINES Y MÉTRICOS
8 GEOMETRÍA ANALÍTICA. PROBLEMAS AFINES Y MÉTRICOS Página 88 PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE Punto medio de un segmento ;;;;;; Toma los puntos P (, ), Q (0, ) y represéntalos en el plano: ;;;;;; P
Más detalles1.- Escribe las ecuaciones paramétricas de las siguientes rectas: a) Pasa por el punto A(-3,1) y su vector de dirección es v = (2,0)
1.- Escribe las ecuaciones paramétricas de las siguientes rectas: a) Pasa por el punto A(-,1) y su vector de dirección es v = (,0) b) Pasa por el punto P(5,-) y es paralela a : x = 1 t y = t c) Pasa por
Más detallesBoletín de Geometría Analítica
Boletín de Geometría Analítica 1) Si las coordenadas de los vectores a y b son (3,5) y (-2,1) respectivamente, obtén las coordenadas de: a) -2 a + 1/2 b b) 1/2 ( a +b ) - 2/3 ( a -b ) 2) Halla el vector
Más detallesUnidad 8. Geometría analítica. BACHILLERATO Matemáticas I
Unidad 8. Geometría analítica BACHILLERATO Matemáticas I Determina si los puntos A(, ), B (, ) y C (, ) están alineados. AB (, ) (, ) (, ) BC (, ) (, ) ( 8, ) Las coordenadas de AB y BC son proporcionales,
Más detallesUNIDAD 8 Geometría analítica. Problemas afines y métricos
UNIDAD Geometría analítica. Problemas afines y métricos Pág. 1 de 5 1 Se consideran los puntos A (, ) y B (4, 6). a) Calcula las coordenadas de un punto P que divida al segmento AB en dos partes 1 tales
Más detallesTEMA 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA
Tema 8 Geometría Analítica Matemáticas 4º ESO TEMA 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA RELACIÓN ENTRE PUNTOS DEL PLANO EJERCICIO : Halla el punto medio del segmento de extremos P, y Q4,. Las coordenadas del punto medio,
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS GEOMETRÍA
PROBLEMAS RESUELTOS GEOMETRÍA ) Uno de los vértices de un paralelogramo ABCD es el punto A(, ) y dos de los lados están sobre las rectas r : 3x -y- =, s : 6x -7y- =. Calcula los demás vértices. Como el
Más detalles8Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 168
8Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 68 Pág. Para manejarse por el centro de Roma Eva y Clara han construido sobre el plano un sistema de referencia cartesiano tomando como centro de coordenadas
Más detallesEJERCICIOS DE GEOMETRÍA RESUELTOS
EJERCICIOS DE GEOMETRÍA RESUELTOS 1.- Dada la recta r: 4x + 3y -6 = 0, escribir la ecuación de la recta perpendicular a ella en el punto de corte con el eje de ordenadas. : - Hallamos el punto de corte
Más detalles8.- GEOMETRÍA ANÁLITICA
8.- GEOMETRÍA ANÁLITICA 1.- PROBLEMAS EN EL PLANO 1. Dados los puntos A = (1, 2), B = (-1, 3), C = (3, 4) y D = (1, 0) halla las coordenadas de los vectores AB, BC, CD, DA y AC. Solución: AB = (-2, 1),
Más detallesEJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA
EJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA (00-M-A-4) (5 puntos) Determina el centro y el radio de la circunferencia que pasa por el origen de coordenadas, tiene su centro en el semieje positivo de abscisas y es
Más detallesEJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA
EJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA (00-M-A-4) (5 puntos) Determina el centro y el radio de la circunferencia que pasa por el origen de coordenadas, tiene su centro en el semieje positivo de abscisas y es
Más detallesEJERCICIOS DE GEOMETRÍA PLANA. 1. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto ( 2, 2) tiene como vector director el vector
EJERCICIOS DE GEOMETRÍA PLANA Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto (, ) tiene como vector director el vector v i j A y x a + vt La ecuación paramétrica de una recta es
Más detalles6 6 + c. = 10 c 2 = 10. Las dos rectas solución serán dos rectas paralelas: = 10 c 1
7 Determina c para que a distancia da recta x y + c 0 ó punto (6, ) sea de 0 unidades. (Hai doas solucións). dist (P, r) 6 + c 6 6 + c c + 9 0 0 Hay dos soluciones: c 0 c 0 0 c 0 0 c 0 Las dos rectas solución
Más detallesPROBLEMAS METRICOS. r 3
PROBLEMAS METRICOS 1. Hallar el área del triángulo de vértices A(1,1), B(2,3) y C(5,2). 2. Halla las ecuaciones de las bisectrices determinadas por las rectas y=3x e y=1/3 x. Comprueba que ambas bisectrices
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA I. VECTORES LIBRES 1. Dada la siguiente figura, calcula gráficamente los siguientes vectores: a. AB BI b. BC EF c. IH 2BC d. AB JF DC e. HG 2CJ 2CB 2. Estudia si las siguientes
Más detallesAPUNTES DE MATEMÁTICAS 1º BACHILLERATO TEMA 5: GEOMETRÍA AFÍN PROBLEMAS MÉTRICOS
APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 5: GEOMETRÍA AFÍN PROBLEMAS MÉTRICOS º BACHILLERATO ÍNDICE. ECUACIONES DE LA RECTA EN EL PLANO.... 4.. SISTEMAS DE REFERENCIA... 4.. COORDENADAS DE UN PUNTO... 4.3. COORDENADAS
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2013 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2013 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio
Más detallesBLOQUE II GEOMETRÍA. Resolución a) Para que los tres vectores formen una base, han de ser L.I. Veámoslo:
II BLOQUE II GEOMETRÍA Página 6 Considera los vectores u(3,, ), v ( 4, 0, 3) y w (3,, 0): a) Forman una base de Á 3? b) Halla m para que el vector (, 6, m) sea perpendicular a u. c) Calcula u, ì v y (
Más detallesPUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO Página 153 REFLEIONA Y RESUELVE Puntos alineados en el plano Comprueba que los puntos A (5,, B (, 3 y C (13, 5 no están alineados. C (13, 5 A (5, B (, 3 AB = (3, 1;
Más detallesMATEMÁTICAS II PROBLEMAS DE GEOMETRÍA PAU ANDALUCÍA
1 MATEMÁTICAS II PROBLEMAS DE GEOMETRÍA PAU ANDALUCÍA Ejercicio 1. (Junio 2006-A) Considera el plano π de ecuación 2x + y z + 2 = 0 y la recta r de ecuación x 5 z 6 = y =. 2 m (a) [1 punto] Halla la posición
Más detallesGEOMETRÍA (Selectividad 2014) 1 ALGUNOS PROBLEMAS DE GEOMETRÍA PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE SELECTIVIDAD DE 2014
GEOMETRÍA (Selectividad 014) 1 ALGUNOS PROBLEMAS DE GEOMETRÍA PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE SELECTIVIDAD DE 014 1 Aragón, junio 014 Dados el punto P (1, 1, 0), y la recta: x+ z 1= 0 s : 3x y 3= 0 Ax + By
Más detalles4º ESO VECTORES y RECTAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. SAGRADO CORAZÓN COPIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa. VECTORES y RECTAS
º ESO VECTORES RECTAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. VECTORES RECTAS.- Calcula las coordenadas del punto C(C x,c ) para que forme el paralelogramo ABCD junto con los puntos A(,), B(,) D(,-). Dibujo. _Sol
Más detalles16. Dados los puntos A(-1,3), B(2,0) y C(-2,1). Halla las coordenadas de otro punto D para que los vectores y sean equivalentes.
TEMA 5. VECTORES 5.1. Vectores en el plano. - Definición. - Componentes de un vector. - Módulo. - Vectores equivalentes. 5.2. Operaciones con vectores. - Suma y resta. - Multiplicación por un número real.
Más detalles1. Determinar las ecuaciones paramétricas y la ecuación continua de las rectas que pasan por el punto A y con el vector de dirección dado:
CAPÍTULO. GEOMETRÍA AFÍN.. Problemas. Determinar las ecuaciones paramétricas y la ecuación continua de las rectas que pasan por el punto A y con el vector de dirección dado: a) A(,, ), v = (,, ) ; b) A(0,
Más detallesTEMA 5 GEOMETRÍA ANALÍTICA
TEMA 5 GEOMETRÍA ANALÍTICA Ecuación general de la recta. Una recta queda determinada por un vector que tenga su dirección (llamado vector director) y un punto que pertenezca a esa recta. Tipos de ecuaciones
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 015 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio
Más detallesUNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO PRÁCTICO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO PRÁCTICO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA AÑO 014 CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI-014 TRASLACIÓN Y/O
Más detallesP RACTICA. 1 Si los puntos ( 6, 2), ( 2, 6) y (2, 2) son vértices de un cuadrado, cuál es el cuarto vértice?
P RACTICA Puntos Si los puntos 6 ) 6) y ) son vértices de un cuadrado cuál es el cuarto vértice? 6) 6 ) ) P ) P Los puntos ) ) y ) son vértices de un rombo. Cuáles son las coordenadas del cuarto vértice?
Más detallesRELACION DE PROBLEMAS DE GEOMETRIA. Problemas propuestos para la prueba de acceso del curso 1996/97.
RELACION DE PROBLEMAS DE GEOMETRIA Problemas propuestos para la prueba de acceso del curso 996/97. º. - Explica cómo se puede hallar el área de un triángulo, a partir de sus coordenadas, en el espacio
Más detallesVeamos sus vectores de posición: que es la ecuación vectorial de la recta:
T.5: ECUACIONES DE LA RECTA 5.1 Ecuación vectorial de la recta Una recta queda determinada si se conoce un vector que lleve su dirección (de entre todos los vectores proporcionales), llamado vector director,
Más detallesEJERCICIOS PROPUESTOS
EJERCICIOS PROPUESTOS ) Dadas las coordenadas del punto A(, ). Hallar la ecuación de la recta (r) paralela al eje por dicho punto. Hallar la ecuación de la recta (p) paralela al eje por dicho punto. )
Más detallesVECTORES EN EL ESPACIO
VECTORES EN EL ESPACIO Página 133 REFLEXIONA Y RESUELVE Relaciones trigonométricas en el triángulo Halla el área de este paralelogramo en función del ángulo a: cm a cm Área = sen a = 40 sen a cm Halla
Más detallesAutoevaluación. Bloque III. Geometría. BACHILLERATO Matemáticas I * 8 D = (3, 3) Página Dados los vectores u c1, 1m y v (0, 2), calcula:
Autoevaluación Página Dados los vectores u c, m y v (0, ), calcula: a) u b) u+ v c) u : ( v) u c, m v (0, ) a) u c m + ( ) b) u+ v c, m + (0, ) (, ) + (0, 6) (, ) c) u :( v) () (u v ) c 0 + ( ) ( ) m 8
Más detallesGeometría analítica. 3. Calcula u+ vy u v analítica y gráficamente en los siguientes. a) u (1, 3) y v(5,2) b) u (1, 3) y v(4,1) Solución:
5 Geometría analítica. Operaciones con vectores Piensa y calcula Dado el vector v (3, 4) del dibujo siguiente, calcula mentalmente su longitud y la pendiente. D A v(3, 4) C O Longitud = 5 Pendiente = 4/3
Más detallesTEMA 6 Ejercicios / 3
TEMA 6 Ejercicios / 1 TEMA 6: RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 1. Ecuaciones de los planos cartesianos en forma vectorial, paramétrica e implícita. Ecuaciones del plano XY: Punto del plano P 0, 0, 0 Vectores
Más detallesECUACIÓN DE LA RECTA
ECUCIÓN DE L RECT.- PRIMERO DE BCHILLERTO.- TEORÍ Y EJERCICIOS. Pág. ECUCIÓN DE L RECT Sistema de referencia. Es el conjunto formado por: Un punto O del plano llamado origen. Una base B {i, j } para los
Más detallesPROFR.: JULIO C. JIMÉNEZ RAMÍREZ GRUPOS: TODOS LOS ALUMNOS IRREGULARES EPOEM No.16 TRUNO: VESPETINO
Ecuación vectorial de la recta Ecuaciones paramétricas de la recta Ecuación continua de la recta Pendiente Ecuación punto-pendiente de la recta Ecuación general de la recta Ecuación explícita de la recta
Más detallesMatemáticas II - Geometría
PAU Matemáticas II - Geometría 2008.SEPTIEMBRE.1.- Dados los dos planos π 1 : x + y + z = 3 y π 2 : x + y αz = 0, se pide que calculeis razonadamente: a) El valor de α para el cual los planos π 1 y π 2
Más detallesPÁGINA 84 AB = ( 2, 7) (1, 1) = ( 3, 6) 8 AB = ( 3) = = 45 = CD = (3, 6) (6, 0) = ( 3, 6) 8 = 45 = 3 5
Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 4 1 Representa los vectores AB y CD, siendo A(1, 1), B(, 7), C(6, 0), D(3, 6) y observa que son iguales. Comprueba que AB = CD hallando sus coordenadas.
Más detallesVectores equipolentes. Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido.
TEMA 9: GEOMETRIA ANALÍTICA VECTORES EN EL PLANO Un vector fijo AB es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo). Si las coordenadas de A son (x1, y1) y las de B, (X, y), las
Más detallesConjugados Armónicos
Conjugados Armónicos Sofía Taylor Febrero 2011 1 Puntos Conjugados Armónicos Sean A y B dos puntos en el plano. Sea C un punto en el segmento AB y D uno sobre la prolongación de AB tal que: donde k es
Más detalles1 Si los puntos ( 6, 2), ( 2, 6) y (2, 2) son vértices de un cuadrado, cuál es el cuarto vértice?
Pág. 1 Puntos 1 Si los puntos ( 6, 2), ( 2, 6) y (2, 2) son vértices de un cuadrado, cuál es el cuarto vértice? 2 Los puntos ( 2, 3), (1, 2) y ( 2, 1) son vértices de un rombo. Cuáles son las coordenadas
Más detallesFundación Uno. Ejercicio Reto. ENCUENTRO # 50 TEMA: Triángulos.Cuadriláteros.Circunferencia. Propiedades. CONTENIDOS:
ENCUENTRO # 50 TEMA: Triángulos.Cuadriláteros.Circunferencia. Propiedades. CONTENIDOS: 1. Triángulos.Rectas notables. Propiedades. 2. Cuadriláteros. Propiedades. 3. Polígonos. Propiedades. 4. Circunferencia.
Más detalles( ) 2 +( 1) 2. BLOQUE III Geometría analítica plana. Resoluciones de la autoevaluación del libro de texto
Pág. de Dados los vectores u, y v0,, calcula: a u b u + v c u v u, v0, 5 a u = = = + b u + v =, + 0, =, + 0, 6 =, c u v = u v = 0 + = Determina el valor de k para que los vectores a, y b6, k sean ortogonales.
Más detallesLA RECTA. Ax By C 0. y y m x x. y mx b. Geometría Analítica 2 ECUACIÓN GENERAL. Teorema: ECUACIÓN PUNTO - PENDIENTE .
LA RECTA En geometría definimos a la recta como la sucesión infinita de puntos uno a continuación de otro en la misma dirección. En el plano cartesiano, la recta es el lugar geométrico de todos los puntos
Más detallesECUACIÓN DE LA RECTA. Dibujando los ejes de coordenadas y representando el punto vemos que está situado sobre el eje de abscisas.
ECUACIÓN DE LA RECTA. El punto (, 0) está situado: a) Sobre el eje de ordenadas. b) En el tercer cuadrante. c) Sobre el eje de abscisas. (Convocatoria junio 00. Examen tipo D) Dibujando los ejes de coordenadas
Más detalles12Soluciones a los ejercicios y problemas
Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 9 Pág. P RACTICA Puntos Si los puntos 6 6 y son vértices de un cuadrado cuál es el cuarto vértice? 6 6 P P Los puntos y son vértices de un paralelogramo.
Más detallesTEMA 6. ANALÍTICA DE LA RECTA
TEMA 6. ANALÍTICA DE LA RECTA = 2 + 5t 1. Dadas las rectas r: = 4 3t cada una de ellas. = 1 + 9t y s: = 8 6t, indicar tres vectores directores y tres puntos de 2. Dada la recta 2x 3y + 8 = 0, encontrar
Más detalleslasmatematicas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas 16. Geometría analítica Matemáticas I 1º Bachillerato 0,2
lasmatematicaseu Pedro astro Ortega 16 Geometría analítica Matemáticas I 1º achillerato 1 Escribe las ecuaciones vectorial paramétricas de la recta que pasa por tiene dirección paralela al vector u 7 u
Más detallesA = 180-90 - 62 = 28. 8 GEOMETRíA DEL PLA 8 = 720-145 - 125-105 - 130-160 = 55. b) 720 = 90: ~ B- 110 + 8+ 150 + 90 = 440 + 28 ==> B = 140 C
8 GEOMETRíA DEL PLA EJERCCOS PROPUESTOS Calcula la medida del ángulo que falta en cada figura. a) b) a) En un triángulo, la suma de las medidas de sus ángulos es 180, A = 180-90 - 6 = 8 El ángulo mide
Más detallesTEMA 5. GEOMETRÍA ANALÍTICA
TEMA 5. GEOMETRÍA ANALÍTICA 6.1. Ecuaciones de la recta. - Vector director. - Ecuación vectorial. - Ecuaciones paramétricas. - Ecuación contínua. - Ecuación general. - Ecuación punto-pendiente. - Ecuación
Más detallesG E O M E T R Í A M É T R I C A P L A N A
G E O M E T R Í A M É T R I C A P L A N A. PUNTO MEDIO D E UN SEGME NTO. S IMÉTRICO DE U N PUNTO Sean A y a,a b B,b las coordenadas de dos puntos del plano que determinan el segmento AB. Las coordenadas
Más detallesGEOMETRIA ANALITICA- GUIA DE EJERCICIOS DE LA RECTA Y CIRCUNFERENCIA PROF. ANNA LUQUE
Ejercicios resueltos de la Recta 1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4. - 1) y tiene un ángulo de inclinación de 135º. SOLUCION: Graficamos La ecuación de la recta se busca por medio
Más detallesGeometría Analítica Enero 2016
Laboratorio #1 Distancia entre dos puntos I.- Halle el perímetro del triángulo cuyos vértices son los puntos dados 1) ( 3, 3), ( -1, -3), ( 4, 0) 2) (-2, 5), (4, 3), (7, -2) II.- Demuestre que los puntos
Más detallesDicho punto fijo se llama centro, a la distancia de cualquier punto de la circunferencia al centro se acostumbra a llamar radio.
GEOMETRIA ANALITICA Capítulo 9 La Circunferencia 9.1. Definición Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo del mismo plano. Dicho punto fijo
Más detalles3. 2. Pendiente de una recta. Definición 3. 3.
3.. Pendiente de una recta. Definición 3. 3. Se llama Angulo de Inclinación α de una recta L, al que se forma entre el eje en su dirección positiva y la recta L, cuando esta se considera dirigida hacia
Más detallesEjercicios resueltos
Ejercicios resueltos.- Comprueba que las rectas r x + y y s x y + 4 son secantes y halla el punto de intersección de las mismas., es decir, los coeficientes de las incógnitas no son proporcionales, por
Más detallesCálculo vectorial en el plano.
Cálculo vectorial en el plano. Cuaderno de ejercicios MATEMÁTICAS JRM SOLUCIONES Índice de contenidos. 1. Puntos y vectores. Coordenadas y componentes. Puntos en el plano cartesiano. Coordenadas. Vectores
Más detalles1 + 3(0, 2) = ( 1, 2) + (0, 6) = ( 1, 4) ) ( = arc cos e 5
utoevaluación Página Dados los vectores uc c, m v (0, ), calcula: a) u b) u + v c) u : ( v) uc c, m v (0, ) a) u c m + ( ) b) u + v c c, m + (0, ) (, ) + (0, 6) (, ) c) u : ( v) () (u v ) c 0 +( m ) (
Más detallesGEOMETRÍA. que pasa por el punto P y es paralelo a π. (0,9 puntos) b) Determinar la ecuación del plano π
GEOMETRÍA 1.- Se considera la recta r : ( x, y, z) = ( t + 1, t,3 t), el plano π: x y z = 0y el punto P (1,1,1). Se pide: a) Determinar la ecuación del plano π 1 que pasa por el punto P y es paralelo a
Más detallesBloque 2. Geometría. 3. La recta. 1. Definición de recta
Bloque 2. Geometría 3. La recta 1. Definición de recta Para representar puntos en un plano (superficie de dos dimensiones) utilizamos dos rectas graduadas y perpendiculares, cuyo corte es el punto 0 de
Más detallesEjercicios resueltos
ECUACIÓN DE LA RECTA.- PRIMERO DE BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. Ejercicios resueltos.- Comprueba que las rectas r x + y y s x y + 4 son secantes y halla el punto de intersección de las mismas.,
Más detallesGEOMETRÍA: ESPACIO AFÍN
GEOMETRÍA: ESPACIO AFÍN.- ECUACIONES DE LA RECTA EN EL PLANO..- Ecuación vectorial Sea Pab (, ) un punto de la recta r, v = ( v, v) dirección que r, y, sea (, ) en el siguiente dibujo: un vector, no nulo,
Más detallesEJERCICIOS PROPUESTOS
EJERCICIOS PROPUESTOS 1) En cada ejercicio hallar la ecuación de la circunferencia que cumple: 1) El radio es igual a 6 y las coordenadas de su centro son ( 1, 2). 2) Su centro es el origen de coordenadas
Más detalles1. Ángulos en la circunferencia
1. Ángulos en la circunferencia Ángulo central. Es el que tiene el vértice en el centro de la circunferencia. Se identifica con el arco, de modo que escribiremos α = Figura 1: Ángulo central, inscrito
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO
GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO Coordenadas cartesianas Sistema de ejes Cartesianos: Dicho nombre se debe a Descartes, el cual tuvo la idea de expresar un objeto geométrico como un punto o una recta, mediante
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA GEOMETRÍA ANALÍTICA A Introducción teórica A Módulo y argumento de un vector A Producto escalar A3 Punto medio de un segmento A4 Ecuaciones de la
Más detallesLUGARES GEOMÉTRICOS.
9 LUGARES GEOMÉTRICOS. Página. Halla las ecuaciones de los siguientes lugares geométricos: a) Mediatriz del segmento de extremos A(, ), B(7, ). Comprueba que es una recta perpendicular al segmento en su
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2008 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 008 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva, Ejercicio
Más detallesGeometría analítica del plano
8 Geometría analítica del plano Objetivos En esta quincena aprenderás a: Reconocer los elementos de un vector identificando cuando dos vectores son equipolentes. Hacer operaciones con vectores libres tanto
Más detalleses el lugar geométrico de los puntos p tales que ; R (1)
LA RECTA DEL PLANO ECUACIÓN VECTORIAL Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS La recta en el plano como lugar geométrico Dados un punto p un vector no nulo u, la recta T paralela a u que pasa por p es el lugar geométrico
Más detallesLas ecuaciones de estas rectas pueden venir dadas de las formas siguientes:
Geometría Analítica 8-9 RECTAS EN EL ESPACIO En la figura se muestran varias rectas en el espacio, cuas posiciones son las siguientes: a) r r3 se cortan en un punto P cuas coordenadas se obtienen resolviendo
Más detallesFiguras Planas. 100 Ejercicios para practicar con soluciones. 1 Comprueba si los siguientes ángulos son complementarios: a) 72 + 35.
Figuras Planas. 100 Ejercicios para practicar con soluciones 1 Comprueba si los siguientes ángulos son complementarios: a) 7º y 35 b) 6º y 64º a) 7 + 35 = 107 90 No son complementarios. b) 6 + 64 = 90
Más detallesCopia en un papel cuadriculado los siguientes vectores: Designa los vectores anteriores mediante pares de números. Por ejemplo: a (2, 3).
7 VECTORES Página 7 PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE Multiplica vectores por números Copia en un papel cuadriculado los siguientes vectores: ;;;;;;; a c ;;;;;;; d b Representa: a) a b) b c) c Expresa
Más detallesMatemáticas 4 opción A - ANAYA
Tema Geometría analítica! CTIVIDDES (( ( Páággi iinnaa 99 )) ) Representa los vectores CD, siendo (, ), (-, ), C(6, ), D(, 6) observa que son iguales. Comprueba que CD hallando sus coordenadas. Calcula
Más detallesTEMA 6. ECUACIONES DE LA RECTA
TEMA 6. ECUACIONES DE LA RECTA Dados un punto y un vector, vamos a hallar las ecuaciones de la recta r que pasa por el punto A y es paralela al vector. Sea consideramos los vectores un punto cualquiera
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA. 32) Deduce la ecuación de la recta cuyos puntos de intersección con los ejes son A=(6,0) y B=(0,-2). Sol: x-3y- 6=0.
GEOMETRÍA ANALÍTICA 30) Encuentra la ecuación vectorial, paramétrica y continua de la recta que pasa por los puntos A=(3,2) y B=(1,-1). Sol: (x,y)=(3,2)+t(2,3); {x=3+2t; y=2+3t}; (x-3)/2=(y-2)/3 31) Cuál
Más detallesRESOLUCIÓN DE ACTIVIDADES
RESOLUCIÓN DE ACTIVIDADES Actividades iniciales. Dada la recta del plano de ecuación x 6y + = 0, escríbela en forma continua, paramétrica, vectorial y explícita. La recta x 6y + = 0 pasa por el punto (0,
Más detalles= 1 3 = 0,612 unidades cuadradas.
RESOLUCIÓN DE ACTIVIDADES Actividades iniciales. Determina las ecuaciones de las rectas del plano perpendicular y paralela a la recta de ecuación 4 y + 6 0 y que pasan por el punto (, ). La recta 4 y +
Más detallesc) Hallar los planos del haz que cumplen que el ángulo que forman con el eje OY tiene por seno el valor
1. [ANDA] [JUN-A] De un paralelogramo ABCD conocemos tres vértices consecutivos A(,-1,0), B(-,1,0) y C(0,1,). a) Calcula la ecuación de la recta que pasa por el centro del paralelogramo y es perpendicular
Más detalles7 Geometría analítica
7 Geometría analítica ANALIZA Y CALCULA Qué ángulo formarán las direcciones de las bolas si ambas siguen en la misma línea recta? Las direcciones de las bolas, si ambas siguen en la misma línea recta,
Más detallesSOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 171 a 189
TEM. GEOMETRÍ NLÍTIC SOLUCIONES DE LS CTIVIDDES Págs. 7 a 89 Página 7. (4, 7 ) (7, ). ( 4, ) (7, 6). a) (4 7, 8 ) (, 7) ( 4, 6) (, 8) c) ( 4, 9 ) (, 8) d) (8 8, ) (6, 4) Página 7 4. a) (, ) t (, 9); (4,
Más detalles1.- Punto: Intersección de dos rectas. No tiene dimensiones (ni largo, ni ancho, ni alto).
1.- Punto: Intersección de dos rectas. No tiene dimensiones (ni largo, ni ancho, ni alto). 6.- Espacio: Conjunto de puntos con tres dimensiones: largo, ancho y alto. Es infinito, sin límites. 2.- Recta:
Más detallesEvaluación NOMBRE APELLIDOS CURSO Y GRUPO FECHA CALIFICACIÓN. 6. Geometria analítica en el plano
Evaluación NOMBRE APELLIDOS CURSO Y GRUPO FECHA CALIFICACIÓN 4 Dados los vectores: u (, ) v, w (4, 6) z (/, ) x (, ) Cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas? a) Los vectores u y v son paralelos.
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio
Más detalles2 Busca en la figura del ejercicio 1 tres vectores equivalentes a NC y otros tres equivalentes a MQ
OPERCIONES CON VECTORES 1 La figura CD es un rombo. Compara el módulo, la dirección y el sentido de los siguientes pares de vectores: a) y C b) Q y C c)m y PD d) OC y OD a) y C tienen igual módulo y distinta
Más detallesSOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES DEL LIBRO DEL ALUMNO
SLUCINES DE LS CTIVIDDES DEL LIR DEL LUMN Sugerencias didácticas. Recursos TIC) Combinación lineal de vectores (página 48) En el archivo de GeoGebra puede verse la representación gráfica de una combinación
Más detallesColegio La Inmaculada Misioneras Seculares de Jesús Obrero ACTIVIDADES DEL TEMA 9
Colegio La Inmaculada isioneras Seculares de Jesús Obrero atemáticas 4º ESO TIVIDADES DEL TEA 9 1 Dados u (4,3), v ( 1,) y w (7, 5) a u v b u v c u v w 1 6 Dado u, 5 5 a 5u 1 b u c 10 u 5 d u 3 7 1 4 1
Más detalles8Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 168
Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 6 Pág. Para manejarse por el centro de Roma Eva y Clara han construido sobre el plano un sistema de referencia cartesiano tomando como centro de coordenadas
Más detallesGeometría analítica en el plano
Geometría analítica en el plano E S Q U E M D E L U N I D D.. Vector fijo y vector libre página. Vectores página.. peraciones con vectores página 6.. Combinación lineal de vectores. ase página 7. Producto
Más detallesTEMA 5 FUNCIONES ELEMENTALES II
Tema Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO TEMA FUNCIONES ELEMENTALES II Rectas EJERCICIO. Halla la pendiente, la ordenada en el origen y los puntos de corte con los ejes de coordenadas
Más detallesUnidad 8. Geometría analítica
Página 6 Resuelve. El día después de la primera excursión van andando al osquecillo B y de allí en arca a M. Descrie este último itinerario con vectores OB + y con coordenadas. OB + BM OM ( ) + ( ) ( 9).
Más detallesUnidad 8. Geometría analítica
Página 6 Resuelve. El día después de la primera excursión van andando al osquecillo B y de allí en arca a M. Descrie este último itinerario con vectores OB + y con coordenadas. OB + BM OM ( ) + ( ) ( 9).
Más detalles5 Geometría analítica plana
Solucionario Geometría analítica plana ACTIVIDADES INICIALES.I. Halla las coordenadas del punto medio del segmento de extremos A(, ) y B(8, ). El punto medio es M(, 8)..II. Dibuja un triángulo isósceles
Más detallesTEMA 12.- RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO. y una base de vectores de V cualquiera
TEMA 12.- RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 1.- PUNTOS Y VECTORES. ESPACIO AFÍN y una base de vectores de V cualquiera {,, B = u1 u2 u} A cada punto del espacio, P, le asociamos el vector OP, que tendrá unas
Más detalles