MÓDULO. ÁLGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA (Segunda Edición) Jorge Eliécer Rondón Duran

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1 MÓDULO ÁLGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA (Segunda Edcón) Jorge Elécer Rondón Duran UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA UNIDAD DE CIENCIAS BÁSICAS Bogotá D. C, 0

2 PRESENTACIÓN DEL CURSO n ( a b ) n k 0 n a k n k b k Estmados Estudantes Benvendos al curso de Álgebra, Trgonometría Geometría Analítca. La matemátca como cenca a través de la hstora ha buscado fundamentos sóldos que garantcen su valdez rgurosdad, así el espectro de ésta cenca es mu amplo, pero mu nteresante, basta con repasar un poco el camno que nca con la Artmétca, la Geometría, el Álgebra, sguendo con el Cálculo, hasta áreas más avanzadas como la Teoría de conjuntos, Geometría Dferencal otros. Todo con el fn de dar a la socedad una Herramenta Formal que permta demostrar prncpos defncones para el buen uso en las áreas del saber. En este orden de deas, el curso que nos ocupa en este materal, presenta dversas temátcas que hacen parte de esa gran herramenta formal. Las temátcas que se eponen son mu útles para cualquer estudante de un programa unverstaro, están desarrolladas en un lenguaje sencllo, pero con gran rgor matemátco, a que el propósto fundamental es que los estudantes adqueran conocmentos sóldos en las áreas de Álgebra, Trgonometría, Geometría Analítca, Sumatoras Productoras, que les permta transtar de manera mu dnámca por áreas más avanzadas de matemátcas o afnes. El curso está estructurado por undades que a su vez esta conformadas por capítulos éstos por leccones. La prmera undad es de Álgebra, cuos capítulos son las Ecuacones las Inecuacones, dos temátcas mu nteresantes de gran uso en campos de la Ingenería, Admnstracón demás. La segunda undad contempla lo referente a funcones, además del análss de la trgonometría analítca la Hpernometría; térmno que acuñamos para hacer referenca a las funcones hperbólcas. Es pertnente resaltar que el núcleo de las Matemátcas es el análss de las funcones, tambén la gran aplcacón de la trgonometría en estudos de Cencas Epermentales, Ingenería, Cencas Agraras otros. La tercera undad contempla los capítulos de Geometría Analítca, Sumatoras Productoras, temátcas mu partculares de gran mportanca en dversas áreas, como la Astronomía, Físca, Ingenería, Estadístca, Cálculo otras. El proceso de análss, comprensón e nterorzacón de las temátcas propuestas, son fundamentales para poder transtar en posterores áreas del conocmento propas de un programa académco unverstaro. Pero tambén son una buena herramenta para resolver un gran número de problemas que se pueden soluconar con modelos matemátcos, de los cuales se analzarán algunos en detalle. El curso requere algunos conocmentos prevos de Artmétca, Álgebra Elemental elementos de geometría plana espacal, los cuales son fundamentales para poder avanzar adecuadamente a través del curso. Pero s por alguna crcunstanca dchos conocmentos son requerdos, se pueden consultar en el curso de Matemátcas Báscas. Cada temátca esta soportada en prncpos matemátcos, sus propedades, sus teoremas, aomas, que soportan su fundamento. Tambén se eponen ejemplos modelos con su respectvo desarrollo que lustran la profundzacón de las msmas, fnalzando con ejerccos

3 propuestos, que presentan su respuesta, para que los estudantes puedan realzado con lo requerdo. confrontar lo Para buscar una buena comprensón de los conocmentos, es pertnente desarrollar la metodología que la UNAD propone en su modelo académco-pedagógco, el cual descrbe dversos momentos desde el trabajo ndependente, trabajo en pequeño grupo colaboratvo, tutorías de pequeño grupo e ndvduales los encuentros de gran grupo, cada uno son mu mportantes buscan que el estudante desarrolle su proceso de formacón de manera dnámca partcpatva. Al fnal de cada undad se presenta una auto evaluacón que es donde el estudante demuestra hasta donde ha desarrollado sus competencas cogntvas, meta cogntvas, argumentatvas, propostvas demás, dándole transto a la profundzacón transferenca de los conocmentos en el área que nos ocupa. No sobra hacer énfass que para aprender matemátcas, es fundamental la motvacón ntrínseca, querer hacerlo, tener pacenca, algo de perspcaca, sentdo lógco muchas ganas de enfrentarse a más más retos. Es claro que aprender matemátcas no es fácl, pero desarrollando un buen trabajo académco, utlzando los lneamentos que se han presentado, el grado de comprensón e nterorzacón de los conocmentos en dcha área será mu alto. Anmo muchos étos en tan nteresantes mundo matemátco!

4 UNIDAD UNO: ECUACIONES E INECUACIONES TABLA DE CONTENIDO CAPÍTULO. ECUACIONES Introduccón Leccón : Elementos matemátcos báscos 7 Leccón : Ecuacones de prmer grado con una ncógnta 0 Leccón : Ecuacones de prmer grado con dos ncógntas. Leccón : Ecuacones de prmer grado con tres ncógntas Leccón 5: Ecuacones de prmer grado: Problemas de aplcacón.. Ejerccos.. Leccón 6: Ecuacones de segundo grado con una ncógnta.. 7 Leccón 7: Ecuacones de segundo grado con una ncógnta: Problemas de aplcacón.. 5 Leccón 8: Ecuacones cúbcas. 58 Leccón 9: Ecuacones polnómcas. 6 Leccón 0: Ecuacones raconales radcales.. 67 Leccón : Fraccones parcales. 70 Ejerccos.. 75 CAPÍTULO. INECUACIONES Introduccón. 77 Leccón : Generaldades de las Inecuacones 77 Leccón : Intervalos 79 Leccón : Inecuacones lneales con una ncógnta 8 Leccón 5: Inecuacones raconales.. 8 Leccón 6: Inecuacones cuadrátcas 90 Leccón 7: Inecuacones mtas. 9 Leccón 8: Inecuacones con dos ncógntas 95 Leccón 9: necuacones: Problemas de aplcacón. 0 Ejerccos. 0 CAPÍTULO. VALOR ABSOLUTO Introduccón. Leccón 0: Ecuacones e Inecuacones con valor absoluto. 5 Ejerccos. 9 Autoevaluacón Undad Uno. 0 Laboratoro.. 5 UNIDAD DOS: FUNCIONES, TRIGONOMETRÍA E HIPERNOMETRÍA CAPÍTULO. FUNCIONES Introduccón. Leccón : Sstema de coordenadas.. Leccón : Relacones Funcones Leccón : Algebra de funcones 5 Ejerccos. 9 Leccón : Funcones especales 50 Leccón 5: Funcones algebracas.. 5 Ejerccos. 70 Leccón 6: Funcones trascendentales: Eponencal, Logarítmca Trgonométrcas 7 Ejerccos 9 Leccón 7: Transformacones de funcones: Traslacón, estramento refleón.. 9

5 Ejerccos 0 Leccón 8: Funcones nversas: Algebracas nversas trascendentales nversas 0 Ejerccos Leccón 9: Aplcacón de funcones: Algebracas Trascendentales.. Ejerccos CAPÍTULO 5. TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA Introduccón.. 6 Leccón 0: Identdades trgonométrcas fundamentales 7 Leccón : Desarrollo de dentdades trgonométrcas.. 8 Ejerccos.. Leccón : Ecuacones trgonométrcas.. Leccón : Análss de trángulos no rectángulos 5 Leccón : Aplcacón de las funcones trgonométrcas 50 Ejerccos 5 CAPÍTULO 6. HIPERNOMETRIA Introduccón. 5 Leccón 5: Funcones Hperbólcas.. 5 Leccón 6: Identdades en las funcones hperbólcas.. 58 Leccón 7: Funcones hperbólcas nversas 6 Ejerccos.. 6 Autoevaluacón undad Dos 65 Laboratoro 70 UNIDAD TRES: GEOMETRIA ANALITICA, SUMATORIAS Y PRODUCTORIAS CAPÍTULO 7. GEOMETRIA ANALITICA Introduccón.. 78 Leccón 8: Análss de la Recta 79 Ejerccos.. 89 Leccón 9: La Crcunferenca 90 Leccón 0: La Elpse.. 9 Leccón : La parábola.. 97 Leccón : La hpérbola. 0 Ejerccos.. 07 Leccón : Traslacón de ejes 09 Ejerccos.. 6 Leccón : Ecuacón general de segundo grado 8 Leccón 5: Aplcacón de la Geometría Analítca Ejerccos.. 8 CAPÍTULO 8. SUMATORIAS Y PRODUCTORIAS Introduccón.. 9 Leccón 6: Fundamentacón de las sumatoras.. 0 Leccón 7: Propedades operacones de las sumatoras Leccón 8: Fundamentacón de las productoras Leccón 9: Propedades de las productoras.. Leccón 50: El Factoral 5 Ejerccos.. 50 Autoevaluacón Undad Tres.. 5 Laboratoro 5 Bblografa 60 5

6 UNIDAD UNO ECUACIONES E INECUACIONES 6

7 CAPÍTULO UNO: LAS ECUACIONES α β δ INTRODUCCIÓN A través de la hstora, las ecuacones han sdo de gran mportanca en las Matemátcas otras cencas, desde los bablonos, pasando por los egpcos los gregos, hasta nuestra época, las ecuacones han sdo el pan de cada día para resolver problemas donde se requere saber el valor de una ncógnta. Las ecuacones son gualdades que se hacen verdaderas para valores específcos, por ejemplo: S tenemos: 5 9, se debe buscar el valor de que al multplcarlo por sumado con 5 nos resulte nueve. Es así que para, s lo reemplazamos en la gualdad () 5 9, ésta será verdadera. Entonces, resolver una ecuacón es hallar el valor o valores de la ncógnta que hagan verdadera dcha gualdad. A su vez, las solucones pueden ser reales o magnaras, según el caso. Por ejemplo s tenemos 0, se puede verfcar que los valores que puede tomar la ncógnta son -. Pero s se tene 0, la solucón no es real, a que NO esten número real que al elevarlo al cuadrado sumado con resulte cero, luego la solucón es magnaría -. (Recordemos los números magnaros del curso de Matemátcas Báscas). Esten dferentes clases de ecuacones, según el grado del polnomo que la descrbe, según el número de varables, según el tpo de coefcentes. De acuerdo al grado del polnomo, esten ecuacones de prmer grado, de segundo grado, etc. De acuerdo al número de varables, se tenen ecuacones de una varable, ecuacones de dos varables, etc. Según el tpo de coefcentes, se tenen ecuacones de coefcentes enteros, de coefcentes raconales, de coefcentes reales. Para resolver ecuacones, esten dversas técncas matemátcas que depende del tpo de ecuacón, pero sempre se debe tener presente el prncpo de operacones opuestas: Suma Resta, Producto Cocente, Potencacón radcacón, potencacón Logartmacón. Para un el buen domno en la resolucón de ecuacones, se requere mucho ánmo, pacenca, desarrollar dversos un número adecuado de ejemplos modelos. Leccón Uno: Elementos Matemátcos Báscos. β ϕ ς Entender las ecuacones requere conocer claramente algunos conceptos que son comunes a todo tpo de ecuacón: Constante: Son térmnos que toman valores fjos, en álgebra se utlzan por lo general las prmeras letras del alfabeto: a, b, c, Todos los números en esenca son constantes, por ejemplo en la epresón a b c los térmnos a, b, c son constantes. Incógnta (Varable): Se consdera todo aquello que no se conoce; pero se puede dentfcar utlzando prncpos matemátcos, en Matemátcas por lo general se utlzan las últmas letras del alfabeto,, z w, para el caso de a b c, la ncógnta es, otro ejemplo: a b c 0, las ncógntas son e. A manera de ejercco dentfque las ncógntas constantes en las sguentes ecuacones, será un ejercco mu motvante. 7

8 5 7z 0 a b pz 0 Por lo general, la solucón de ecuacones se enmarca dentro del conjunto de los reales, eceptuando los casos donde ha nvolucradas raíces con índce par de cantdades negatvas. Lees Báscas:. Lees de Unformdad: Es pertnente recordar las lees de unformdad, que son mu útles a la hora de resolver ecuacones. En su fundamento, las lees de unformdad defnen que dados dos o más números, s se suman, la respuesta sempre es únca, ndependente de la naturaleza de las cantdades. De la msma manera para la multplcacón. SUMA Y PRODUCTO: Sean a, b, c d números reales; tal que a b c d. entonces:. a c b d. a c b c. a c b d. a c b c Ejemplo : Sea la sguente epresón: a c 5, aplcar la le de suma producto. Sguendo el orden: a c 5 a*c *5 Así b d 5. RESTA Y COCIENTE: Al restar dos números, la dferenca sempre es un valor únco. Sean a, b, c d números reales; tal que a b c d. entonces: 5. a - c b - d 6. a - c b - c 7. a / c b / d Para c 0 8. a / c b / c Para c 0 Ejemplo : Sea la sguente epresón: a 8 c, aplcar la le de resta cocente. 8

9 Sguendo el orden: a - c 8 - a/c 8/ Luego b 8 d. POTENCIA Y RAIZ: Sean a, b, c d números reales; tal que a b c d. Para a 0 c 0, entonces: 9. a c b d 0. c a d a. Ejemplo : c c a b Para a 0 además c є Z c Sea la sguente epresón: a 9 c, aplcar la le de potenca raíz. Sguendo el orden: a c 9 c a a c a 9 Luego b 9.. Le del producto nulo: Sean a b números reales, entonces:. a b 0 s, solo s, a 0 ó b 0 Ejemplo : Dada la epresón. *a 0 Como es un valor fjo, para que el producto sea cero, entonces a 0. Ejemplo 5: Dada la epresón. ( )* 0 Como es un valor fjo, para que el producto sea cero, entonces ( ) 0. Así. 9

10 . Prncpo de Fraccones Equvalentes: a c Dada la gualdad: a * d c * b. Para b 0 d 0. b d Ejemplo 6: Dada la epresón. Mostrar que la equvalenca es verdadera. 6 Aplcando la le de fraccones equvalentes: * 6 * Lo cual es evdentemente verdadera. 6 Leccón Dos: Ecuacones de Prmer Grado con Una Incógnta. β ϕ ς Las ecuacones de prmer grado con una ncógnta son de la forma a b c, sendo a, b c las constantes la ncógnta. El valor de a puede ser un número real; dferente de cero. Ejemplos de este tpo de ecuacones: 5 0 que corresponde a una ecuacón de coefcente entero epresón entera. 0, ecuacón de coefcente raconal epresón entera. 8, ecuacón de 5 5 coefcente entero epresón raconal. Las ecuacones de prmer grado se caracterzan porque la ncógnta tene como eponente la undad; por lo cual, la solucón es únca, esto quere decr que éste tpo de ecuacones tenen Una Sola solucón. Para resolver ecuacones de éste tpo, se han utlzado varas técncas, los egpcos; por ejemplo, utlzabas la llamada Regula Falsa, actualmente se utlza el método aomátco, el cual se analzará a contnuacón. METODO AXIOMATICO: Es el método más utlzado en la actualzad, el cual utlza las propedades algebracas las lees de unformdad, todo esto dervado de los aomas de cuerpo. Aclaremos que los aomas epstemológcamente son Verdades Evdentes a partr de éstas, se desarrolla el conocmento matemátco. Algunos aomas que son mportantes para comprender la solucón de ecuacones. Aomas de Cuerpo: Sean,, z, valores defndos, dentro del conjunto de los Reales Prmer Aoma: (Propedad conmutatva) Segundo Aoma: z ( ) z ( z) (Propedad Asocatva) Tercer Aoma: ( z) * *z (Propedad Dstrbutva) Cuarto Aoma: 0 * (Propedad Modulatva de la suma producto) Qunto Aoma: 0, 0 (Propedad del nverso. Todo número real tene un Inverso, ecepto el cero). Para, su nverso es puede escrbr, gual para. 0

11 Seto Aoma: *, * Para 0. (Propedad del recíproco, todo número real tene un recíproco). Para, su recíproco se puede escrbr - /, gual para. NOTA: El símbolo * ndca multplcacón. Con los argumentos anterores, se puede comenzar el análss del desarrollo de ecuacones. Los sguentes ejemplos, buscan lustrar la resolucón de ecuacones de éste tpo, utlzando las lees de unformdad los aomas de cuerpo, eplcado anterormente. Ejemplo 7: Sea la ecuacón a b 0 hallar el valor de que satsfaga la gualdad. Como la dea es despejar la ncógnta, en este caso, entonces se debe elmnar Matemátcamente hablando lo que rodea a dcha ncógnta. Así lo prmero es elmnar b, lo cual se puede hacer aplcando el nverso, a que todo número sumado con su nverso resulta cero. a b b 0 b. Como se puede observar, el valor adconado se hzo a los dos lados de la ecuacón, esto con el fn de que ésta NO se altere. Entonces: a b. Ahora se debe elmnar la a, esto se hace aplcando el recíproco, a que todo número multplcado con su recíproco resulta uno. Veamos: b a b. Operando se obtene: a a a Ejemplo 8: Hallar la solucón de la ecuacón: 6 9 Como estamos utlzando el método aomátco. Por lo general, la ncógnta se organza al lado derecho las constantes al lado zquerdo, entonces dejemos la ncógnta al lado derecho, para esto se elmna del lado zquerdo, lo cual se hace adconando - a los dos lados de la ecuacón. 6 9, operando se obtene: 6 9 Ahora elmnemos el -6 de la parte derecha para que solo quede la ncógnta , operamos para obtener, Fnalmente aplcamos el recíproco de para que la ncógnta quede completamente despajada. * ( ) * ( ), operando se obtene:. La solucón de la ecuacón propuesta. S reemplazamos el valor de -, en la ecuacón orgnal, se debe obtener una gualdad ( ) ( ) Ejemplo 9: Resolver la ecuacón:

12 a c Recordando las lees de unformdad: a * d c * b Se aplca para el caso que tenemos b d Esta es el camno para convertr una epresón raconal en entera. Veamos: ( ) * () () * ( ) Sumemos a los dos lados de la ecuacón, por qué?. Así la solucón es. Reemplazamos la solucón en la ecuacón orgnal: Operando: Se observa que la gualdad se cumple. Este últmo proceso es lo que se conoce comúnmente como la comprobacón de la solucón. Es pertnente analzar los pasos realzados, para r aprendendo los prncpos que soportan la resolucón de ecuacones. Ejemplo 0: Hallar el valor de la ncógnta que satsfaga la ecuacón: 6t 7 t t 8 t Se va a resolver la ecuacón, pero se recomenda que usted estmado estudante, dentfque qué prncpos fueron aplcados en cada paso. 6t 7 t t 8 (6t 7)(t ) (t 8)(t ) t (6t 7)(t ) (t 8)(t ) (t 0t 8) (t 9t 8) A la últma ecuacón se le adcona: -t t t 0t 8 t t 9t 8 0t 8 9t 8 Sumamos -9t 0t 9t 8 9t 9t 8 9t 8 8 Adconamos 8 a la ecuacón: 9 t t 0 0 Fnalmente: ( ) 9t 0( ) t. Estmado estudante comprobar esta solucón Ejemplo : Hallar el valor de que satsfaga la gualdad: 8( 6) ( )

13 8( 6) ( ) ( ) ( )6, smplfcando: : En este ejemplo, no se deron maores detalles de la solucón, Ya que la dea es que los estudantes analcen deduzcan todo el procedmento. Restrccones en la Esten stuacones donde la ecuacón tene restrccón en la solucón. Veamos algunos casos. a ). La restrccón es que la ncógnta NO puede tomar el valor de 0 ó, a que s 0, se presenta una ndetermnacón, lo msmo ocurre s. g b ). Para este caso la solucón se acepta s esta en los reales no negatvos. (R * ); es decr, los reales maores o guales a cero. c ) Log ( ). Recordemos que los logartmos de números negatvos no esten, así la solucón debe ser tal que > 0; es decr, s la solucón es superor a -, ésta se acepta. Ejemplo : Muestre que la ecuacón Solucón No tene solucón. Aplcando los prncpos estudados anterormente. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Fnalmente. () S comprobamos la solucón. Observamos que se presenta una ndetermnacón, a que se tene un cocente con denomnador cero. Así queda demostrado que la ecuacón NO tene solucón.

14 Ejemplo : Determnar s la ecuacón Log( ). tene solucón. Solucón Aplcando los prncpos estudados anterormente recordando las propedades báscas de los Log ( ) logartmos. Log ( ). Aplcando operacón nversa: 0 0. Recordemos que la base Log ( ) de Log es dez, entonces: despejando la ncógnta. 0.,9999 Como la solucón -,9999 es superor a -, la solucón es válda. Por consguente la ecuacón planteada tene solucón. REFLEXIÓN: En todos los ejemplos propuestos, la resolucón se centra en despejar la ncógnta, lo cual se hace utlzando los prncpos, lees aomas matemátcos. Leccón Tres: Ecuacones de Prmer Grado con Dos Incógntas: β ϕ ς Las ecuacones de prmer grado con dos ncógntas son una herramenta mu mportante para resolver stuacones que se presentan en todas las áreas del saber. Este tpo de ecuacones es de dos clases: El prmero es donde se tene una ecuacón con dos ncógntas; donde se hará una breve descrpcón. El segundo es cuando se tenen dos ecuacones con dos ncógntas, lo cual se estudará en detalle. PRIMER CASO: Una Ecuacón Con Dos Incógntas: ECUACIONES DIOFÁNTICAS: Dofanto de Alejandría, del sglo III de nuestra era, desarrolló certas ecuacones que trabajan sobre el conjunto de los enteros son de prmer grado con dos ncógntas. En honor a su nombre se les conoce como Ecuacones Dofántcas. La forma general de estas ecuacones es a b c, donde a, b, c son constantes pertenecen al conjunto de los enteros; además, a 0 ó b 0. Cuando a, b c son enteros postvos, la ecuacón tene solucón entera s, solo s, el mámo común dvsor de a b, dvde a c. Este tpo de ecuacones puede tener solucones nfntas o no puede tener solucón. Entonces la solucón consste en hallar ecuacones generadoras (paramétrca) del par (, ) que satsfagan la ecuacón propuesta. Este tpo de ecuacones no son el objetvo prncpal de este curso, solo se deseaba hacer una breve descrpcón. FUENTE: Ejemplo : Para la ecuacón 8 cuál será el par (, ) que satsfaga dcha ecuacón?

15 Por smple nspeccón se puede ver que, satsfacen la gualdad. () () 8. Entonces la solucón (, ) (, ) Pero se puede encontrar más solucones, por ejemplo (, 0), (-, ), (-5, 6), como se djo al prncpo, pueden estr nfntas solucones. SEGUNDO CASO: Dos Ecuacón Con Dos Incógntas. El nterés central de este apartado es el análss de sstemas de dos ecuacones con dos ncógntas. Cuando se tene un sstema de la forma: a a b b c c Donde a, a, b, b, c, c son constantes; además a 0 ó b 0 Al gual que a 0 ó b 0, se dce que estamos frente a un sstema de ecuacones smultáneas, donde la solucón obtenda para e, debe satsfacer smultáneamente las dos ecuacones. Por consguente, resolver un sstema de dos ecuacones con dos ncógntas, es hallar un par (, ) tal que al reemplazarlo en cualquera de las dos ecuacones, la gualdad se cumpla. Sstema Consstente: Un sstema de ecuacones es consstente, cuando tene al menos una solucón para cada ncógnta. Sstema Inconsstente: ocurre cuando el sstema NO tene solucón alguna. Es obvo que el trabajo es analzar sstemas consstentes. Esten dversos métodos para resolver sstemas de dos ecuacones con dos ncógntas, en este caso vamos a analzar tres.. METODO GRAFICO. El método se basa en que en el plano de coordenadas rectangulares, una ecuacón de la forma a b c, está representada por una recta cuos puntos son parejas ordenadas de números reales, donde la prmera componente corresponde a la segunda componente a. Como se tene dos ecuacones, entonces se deben tener grafcadas dos rectas. De esta manera se pueden tener tres stuacones: Prmero, que las rectas se corten en un punto, lo que ndca que la solucón es únca será el punto de corte. Segundo, que las dos rectas concdan, luego ha nfntas solucones. Tercero, que las rectas sean paralelas, lo que ndca es que NO ha solucón. 5

16 L L, corresponden a las ecuacones uno dos del sstema. El método es adecuado cuando ha solucones enteras, a que los puntos de corte son ben defndos. El procedmento básco conssten en despejar en las dos ecuacones, darle valores arbtraros a para obtener parejas (, ), por lo general se asgnas números enteros cercanos a cero; para facltar el proceso hacer la gráfca. Así se obtenen dos parejas de números, que corresponde a dos puntos en el plano (, ) (, ), con lo cual se puede grafcar una recta (Aoma Eucldano) Ejemplo 5: Resolver el sstema: Según el procedmento. 5 Para la prmera ecuacón: 5 Tomemos dos valores, por ejemplo, entonces: [5 ()]/-. El punto es (, ) Otro valor 5, entonces: [5 (5)]/- 5. El punto es (5, 5) Los puntos para grafcar la prmera recta son: (, ) (5, 5). Para la segunda ecuacón Los valores:, entonces: 5() 6 -. El punto es (, -) El otro valor, entonces 5() 6, el punto es (, ) Los puntos para grafcar la segunda recta son: (, -) (, ) Grafcando: Según la gráfca, el punto de corte es (, -) Luego la solucón son:, -. 6

17 Ejemplo 6: Dado el sstema de ecuacones, hallar la solucón correspondente. 5 8 Como en el caso anteror, se despeja, dando valores arbtraros a. Se toma la prmera ecuacón: 5 5 Para, entonces 5 (), el punto es (, ) Para, entonces 5 () - el punto es (, -) 8 En seguda la segunda ecuacón: 8 Para, entonces [8 ()]/ 0, el punto es (, 0) Para, entonces [8 ()]/ -, el punto es (, -) Grafcamos: Como las rectas son paralelas, no ha puntos de corte, por consguente el sstema NO tene solucón. NOTA: En los ejemplos estudados, los valores dados a han sdo escogdos arbtraramente, sempre cuando no se presenten nconsstencas, luego al reemplazarlos en la ecuacón se obtene el valor de.. METODO POR ELIMINACIÓN. Es un método algebraco, cuo prncpo es elmnar una ncógnta, para obtener el valor de la otra, posterormente con el valor obtendo, se busca el valor de la prmera. Este método se puede desarrollar por tres técncas, a contnuacón analzamos cada una. REDUCCIÓN: Dado un sstema de dos ecuacones con dos ncógntas, la técnca consste en gualar coefcentes de una de las dos ncógntas que presenten sgnos contraros, así se puede elmnar dcha ncógnta, obtenendo una ecuacón con una ncógnta, cua resolucón a hemos estudado. 7

18 Con el valor de la ncógnta obtenda, se reemplaza en cualquera de las dos ecuacones, para obtener el valor de la otra ncógnta. Ejemplo 7: Resolver el sstema. 0 Prmer organzamos las ncógntas, para que queden las en una columna las en la otra, para poder gualar coefcentes elmnar la ncógnta selecconada para este fn. 0 Como a están organzadas, se debe gualar coefcentes con sgnos contraros, pero se observa que la ncógnta tene coefcentes guales sgnos contraros, luego se puede elmnar, entonces: 0 / Despejamos, entonces: /. Como a se conoce el valor de, se toma cualquera de las dos ecuacones orgnales se reemplaza dcho valor, para obtener el valor de, entones tomemos la prmera ecuacón reemplacemos el valor de. 0 0 La solucón es: (, ) (, ) S reemplazamos dchos valores en las dos ecuacones orgnales, las gualdades se deben cumplr smultáneamente. Ejemplo 8: Resolver el sstema Solucón. 5 Para selecconar la ncógnta a elmnar, se puede tomar como crtero la que tenga sgno contraro, pero no es una camsa de fuerza. Para este ejemplo se puede escoger cualquera de las dos, escojamos, entonces debemos gualar coefcentes en con sgno contraro, para esto lo que se hace es multplcar la prmera ecuacón por - la segunda por, luego: ( ) ( ) 5 Operando se obtene: 5 8

19 Ahora: / La solucón para es -7. Para obtener la solucón en, se reemplaza en cualquera de las dos ecuacones orgnales, por ejemplo tomemos la segunda. 5 5 ( 7) 5 5 La solucón es: (, ) (-, -7) 5 7 Ejemplo 9: Resolver el sstema Como se observa en el sstema, se puede elmnar, a que tene sgno contraro, solo faltaría gualar los coefcentes, lo que se consgue multplcando la prmera ecuacón por la segunda por. ( ( 9 6 8) ) Lo que equvale a: Operando: / Despejando la ncógnta tenemos: 7/ ½ En seguda debemos hallar el valor de la otra ncógnta, reemplazando en una de las ecuacones orgnales, se toma la segunda: ( 6 ) Así, la solucón es: (, ) (/, /) Recordemos que la verfcacón ó comprobacón de la solucón, se hace susttuendo en las ecuacones orgnales los valores obtendos, para comprobar que la gualdad en verdadera. (/ ) (/ ) 9(/ ) 6(/ ) Se observa que las gualdades son verdaderas, luego la solucón es correcta. 9

20 IGUALACIÓN: Dado un sstema de dos ecuacones con dos ncógntas, la técnca consste en despejar en las dos ecuacones la msma ncógnta, quedando el sstema en térmnos de la otra, segudo se gualan las epresones obtendas. De lo anteror, se obtene una ecuacón de prmer grado con una ncógnta, que por medo de procesos matemátcos; a analzados, se busca el valor de la ncógnta presente, el cual; como en el caso de la reduccón, se reemplaza en cualquera de las ecuacones orgnales para hallar el valor de la otra ncógnta. Ejemplo 0: Resolver el sstema dado a contnuacón: 8 Se puede despajar la ncógnta que se desee, para este caso vamos a despejar en las dos ecuacones. Para la prmera: 8 Para la segunda: Ahora, gualamos las dos epresones, a que Por qué? Analícelo con sus compañeros. Entonces: 8, como a sabemos trabajar este tpo de ecuacones, el proceso para despajar será entenddo., luego /. Ahora reemplazamos el valor de en cualquera de las ecuacones orgnales, bueno esta epresón se ha repetdo varas veces, la dea es que usted estmado estudante la asmle para que a medda que sgamos en el estudo de este tpo de ecuacones, llegará el momento de NO repetr, pero s saber que se está hacendo. Tomemos la prmera ecuacón: 8 8 La solucón será: (, ) (6, ) 6 Por favor realcen la verfcacón de dcha solucón, es un trabajo motvante. Ejemplo : Hallar el valor de las ncógntas, para el sstema dado a contnuacón Despajamos. 0

21 7 5 Para la prmera: Para la segunda: Se gualan las dos epresones obtendas: (7 5) (57 6) 8 Operando smplfcando: Tenemos una ecuacón con una ncógnta Operando: -0 8, luego -8/0 - / 7 Ahora susttumos - / 7, tomemos la prmera ecuacón ( /7) 7 75/7 6/7 Despejamos la ncógnta: 6 / 0 07 / 0 La solucón: (, ) (07 / 0, - / 7) SUSTITUCIÓN: Para un sstema de dos ecuacones con dos ncógntas, la susttucón consste en despejar una de las ncógntas en una de las ecuacones sustturla en la otra ecuacón. Dcho de otra manera, s despejamos la ncógnta en la prmera ecuacón, se debe susttur en la segunda ecuacón ó vceversa, gual s fuera la otra ncógnta. Como sempre los ejemplos modelos, permten lustrar claramente el método de resolucón. Veamos. Ejemplo : Resolver el sstema dado en seguda:. 5 Según la teoría del método, debemos despejar una de las ncógntas en una de las ecuacones, para este caso se elge la ncógnta en la prmera ecuacón. Ahora reemplazamos en la segunda ecuacón. 5 ( ) 5. Aquí tenemos una ecuacón con una ncógnta, lo cual a estas alturas a sabemos resolver. ( ) Ahora se reemplaza el valor de en la segunda ecuacón: 5 () La solucón: (, ) (, 7) 7

22 Ejemplo : Resolver el sstema Para resolver este sstema, es aconsejable prmero convertr las ecuacones a epresón enteras. Veamos: Entonces, según el método, despajamos en la prmera ecuacón la reemplazamos en la segunda, recordemos que tambén se puede hacer lo contraro Ahora: Despajando: - 5 / - 75 / 5 En seguda se toma la prmera ecuacón para reemplazar, así obtener el valor de la otra ncógnta; (/ 5) Despejando. 5 / 9 5 / (, ) (5/, /5) Ejemplo : Hallar la solucón del sstema dado. Sguendo la metodología para este método, tenemos: Reemplazando: ( ) La últma gualdad no es verdadera, luego NO ha solucón, por consguente el sstema no tene solucón, es un sstema nconsstente.

23 . METODO POR DETERMINANTES Para aplcar este método, prmero analcemos algunos térmnos propos de los determnantes. - ) Determnante: Un determnante es un arreglo rectangular de flas columnas, donde los elementos de éste valores que se obtenen del sstema de ecuacones. a a b Las flas son: (a b ) (a b ) Las columnas: (a a ) (b b ) El tamaño del determnante lo da el número de flas de columnas. Así pueden haber determnantes de,,, etc. Resolver un determnante es hallar el valor del msmo, para el caso de sstemas de dos ecuacones con dos ncógntas, se requere trabajar con determnantes de. D b Donde D es el valor del determnante. - ) Ecuacones por Determnante: Para resolver dos ecuacones con dos ncógntas, KRAMER propuso una técnca que podemos resumr así: Sea el sstema: a a a a b b b b Se despeja cada ncógnta de la sguente manera: c c a a c c b b b b a * b a * b El determnante del denomnador, se le llama determnante de coefcentes, que es común para todas las ncógntas. a a a a c c b b La solucón será el cocente de los dos determnantes, para cada ncógnta.

24 Ejemplo : Resolver el sstema Se organzan los determnantes. Solucón para la prmera ncógnta. Solucón para la segunda ncógnta - Solucón del sstema: (, ) (, -) Ejemplo 5: Resolver el sstema sguente. 5 6 Como a se conoce le procedmento general, procedamos así. * * * * b a b a b c b c * * * * b a b a c a c a ) ( 5 ) ( ) ( 6 ) ( ) ( 5 ) ( ) ( ) ( 5 ) (

25 5 Así Solucón para Solucón del sstema: (, ) (, ) Ejemplo 6: Hallar el valor de e en el sstema El valor de es ndetermnado, a que la fraccón tene como denomnador cero. Así, el sstema NO tene solucón, es nconsstente. Leccón Cuatro: Ecuacones de Prmer Grado con Tres Incógntas Con los conocmentos adqurdos en el apartado anteror, será más sencllo abordar el que sgue, a que los prncpos son smlares, solo que para este caso se trata de tres ecuacones tres ncógntas. Para los sstemas de éste tpo, se van a analzar dos métodos. PRIMER MÉTODO: SOLUCIÓN POR ELIMINACIÓN. Cuando se tene un sstema de la forma: d z c b a d z c b a d z c b a Donde a, a, a, b, b, b, c, c, c, d, d, d son constantes ) ( ) ( 5 6 ) ( ς ϕ β z

26 Se dce que estamos frente a un sstema de ecuacones smultáneas, donde la solucón obtenda para,, z debe satsfacer smultáneamente las tres ecuacones. Por consguente, resolver un sstema de tres ecuacones con tres ncógntas, es hallar valores específcos para (,, z) tal que al reemplazarlo en cualquera de las tres ecuacones, la gualdad se cumpla. Un esquema sencllo que nos auda a comprender el método. Prmero: Tres ecuacones con tres ncógntas Reduce a Dos ecuacones con dos ncógntas Reduce a Una ecuacón con una ncógnta Segundo: Con la prmera solucón Se reemplaza en una de las ecuacones de dos ncógntas, obtenendo la segunda solucón Con las dos solucones, se reemplaza en una de las ecuacones con tres ncógntas, para obtener la tercera solucón. La mejor forma de comprender el método es con ejemplos modelos. Ejemplo 7: Resolver el sstema dado, por Elmnacón. z z z 0 Prmero enumeremos las ecuacones para hacer más fácl su dentfcacón. z () z z 0 () () Según el esquema, a partr de las tres ecuacones, obtener dos ecuacones con dos ncógntas, lo que se hace de la sguente manera. Tomemos las ecuacones () () elmnemos la ncógnta z, pero puede ser una de las otras ncógntas.. z () z 0 () / () Observemos que se obtene una nueva ecuacón () que es de dos ncógntas. Ahora se toman las ecuacones () (), [pero puede ser tambén () ()] elmnamos la msma ncógnta que se elmnó anterormente; es decr, z, para lo cual se multplca la ecuacón (9 por -. 6

27 z z () () Entonces: / z z / () () (5) Las ecuacones () (5) tendrán a lo más dos ncógntas. una ncógnta, luego despejamos se puede obtener su valor., entonces:. Prmera solucón. En este caso la ecuacón (5) solo tene Para la segunda solucón, reemplazamos en la ecuacón (), a que esta solo tene dos ncógntas se conoce el valor de una de ellas. Entonces: () La segunda solucón es. Para la últma solucón; es decr, la ncógnta z, se reemplaza en cualquera de la ecuacones orgnales el valor de e, así queda resuelto el sstema. Tomemos la ecuacón (), (pero puede ser una de las otras, no lo olvdemos) z () () z z z La tercera solucón z. La solucón total: (,, z) (,, ) Ejemplo 8: Resolver por elmnacón el sstema dado a contnuacón. z z z 7 6 Recordemos que para facltar el proceso debemos enumerarlas. z () z 7 () z 6 () Tomemos () () elmnemos la ncógnta, a que tene sgnos contraros esto faclta su elmnacón, pero no olvdemos que se puede elmnar cualquera de las otras ncógntas. z () z 7 () / z 9 () Ahora se toma () (), pero como se ha vendo comentando, puede ser () (). Se debe elmnar la msma ncógnta; es decr,. Entonces como tenen sgnos contraros solo se debe gualar coefcentes, lo que se hace multplcando la ecuacón () por la ecuacón () se deja gual. 7

28 z z () Entonces: Como se puede ver, se obtenen dos ecuacones con dos ncógntas () (5). La solucón se puede hacer por cualquera de los métodos estudados. Usemos gualacón: 9 Para la ecuacón (): z 9, despejamos z, luego: z Para la ecuacón (5): 5 z 0, tambén despajamos z, luego: z Ahora se gualan las epresones operamos: Como se tene una ecuacón con una ncógnta, se resuelve como se ha aprenddo entonces: 7, así 7 6 () () (5) Ahora reemplazamos el valor de en una de las ecuacones () ó (5), así se puede obtener el valor de la otra ncógnta. Tomemos la ecuacón (5). 5 z 0, entonces: 5() z 0, luego: z Por consguente z 5 Fnalmente, reemplazamos el valor se z en cualquera de las ecuacones orgnales. Tomemos la ecuacón (), pero ustedes pueden tomar cualquera de las otras ecuacones. z 6, reemplazando tenemos: () (5) 6, luego: - 6, despejamos la ncógnta: 6 Luego (,, z) (,, 5) / z z z () SEGUNDO METODO: SOLUCIÓN POR DETERMINANTES. Cuando se tene un sstema de tres ecuacones con tres ncógntas, se presentan determnantes de, conocdos como determnantes de tercer orden. Esto nos nduce a analzar dchos determnantes, antes de su respectva aplcacón. Determnantes de tercer orden: Son arreglos de flas columnas. Para resolver un determnante de tercer orden ha tres formas dferentes, veamos:. Productos Cruzados: Se puede ver esquemátcamente el procedmento. Sea el determnante: A A z z z z z z 8

29 9 [ ] [ ] b a A Donde: ( ) ( ) ( ) z z z a ( ) ( ) ( ) z z z b. Método de Sarrus: Consste en aumentar las dos prmeras flas a contnuacón del determnante orgnal hacer productos cruzados. Para el determnante A defndo anterormente, el nuevo determnante, propuesto por sarrus es: ' z z z z z A Solucón del determnante: [ ] [ ] β ' α A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z z z z z z β α Este método sólo es adecuado para determnantes de.. Método de Cofactor: La esenca del método es convertr un determnante de en tres determnantes de. La sguente lustracón eplca el procedmento. La últma parte se resuelve como determnante de : ( ) ( ) ( ) z z z z z A El método de cofactor tene la ventaja que se puede utlzar para determnantes de maor tamaño. Ejemplo 9: Resolver por productos cruzados por Sarrus el sguente determnante. D z z z z z z z z A

30 a-) Por productos cruzados. D [a] [b] [a] [(-)(-)() ()(-)() ()()()] 6 6 [b] [()(-)() ()()() (-)()(-)] D -7 b-) Por Sarrus. D ' D' [ α ] [ β ] [ α ] ( )( )() ()( )() ()()() 6 6 [ β ] ()( )() ( )( )() ()()() 6 7 D -7 Ejemplo 0: Desarrollar el sguente determnante por Sarrus por cofactor. 0 P a-) Por Sarrus. P ' P' 0 0 [ α ] [ β ] [ α ] ( )()() ()()(0) ( )()() [ β ] ( )()(0) ( )()() ()()() P - (-) - 8 0

31 b-) Por Cofactor: [ ] [ ] 0 ) ( () ) ( 0 ) ( 0 P P (-)( - ) - ( 6) 0 8 Solucón de Ecuacones por Determnantes: Para resolver un sstema de tres ecuacones con tres ncógntas por determnantes, KRAMER, propuso una metodología que lustramos a contnuacón. Sea el sstema: Prmero se calcula el determnante de coefcentes. Aclarando que 0 En seguda se calculan los determnantes para cada ncógnta. Fnalmente la solucón para cada ncógnta. Los determnantes se pueden resolver por cualquera de los métodos eplcados. Ejemplo : Resolver el sguente sstema por determnantes. d z c b a d z c b a d z c b a c b a c b a c b a c b d c b d c b d c d a c d a c d a d b a d b a d b a z z z

32 z 5 z z 8 Usando la técnca de Kramer: prmero calculamos el determnante de coefcentes: Lo resolvemos por cofactor. 7 5 ( ) ( ) ( ) Ahora los determnantes de las ncógntas. Se resuelve por productos cruzados, por sarrus z por cofactor ( 0 ) ( 8 5) (8 5) (8 5) z ( 8) ( 8) 5( ) 6 5 Fnalmente hallamos el valor de cada ncógnta. z z (,, z) (,, ) Ejemplo : Resolver el sguente sstema de ecuacones.

33 z 0 0 z 0 0 ( 8 0) ( 8 0) 0 Como el determnante de coefcentes es cero, el sstema no se puede resolver, recordemos que este determnante no puede ser cero. La únca que puede ser certa es: z 0, a que éste tpo de sstema se le conoce como sstema homogéneo. Leccón Cnco: Ecuacones de Prmer Grado: problemas de Aplcacón Con el estudo de las ecuacones de prmer grado, ahora estamos en capacdad de resolver problemas dversos, utlzando ecuacones de este tpo. Lo nuevo aquí es que a partr del conteto descrpcón del fenómeno, se debe Plantear una Ecuacón o Ecuacones para resolver la stuacón. Es mportante tener en cuenta para resolver problemas con ecuacones, los sguentes aspectos, los cuales permtrán obtener resultados claros verdaderos.. Se debe leer mu ben el problema hasta que quede completamente entenddo. S es necesaro, leerlo las veces que sean requeran.. Identfcar las ncógntas epresarlas por medo de un símbolo.. Llevar el problema a un modelo matemátco, es decr, plantear las ecuacones.. S es necesaro utlzar gráfcos, tablas otros, como auda para la lustracón del problema. 5. Realzar las operacones necesaras para obtener el valor de las ncógntas. 6. Identfcar la respuesta hacer la respectva verfcacón. 7. Establecer las conclusones del caso. Problemas Ecuacones de Prmer Grado con Una Incógnta Para resolver problema de este tpo, lo más pertnente es plantear ejemplos modelos hacer su respectva eplcacón. Ejemplo : Escrbr la modelacón matemátca de la sguente stuacón: La longtud de un arco crcular, es el producto del ángulo barrdo el rado del círculo. Se dan símbolos a los térmnos. Longtud del arco: S Angulo barrdo: Φ Rado del círculo: R Según el problema, el modelo sería: S R Φ

34 Ejemplo : Escrbr matemátcamente la sguente stuacón: El volumen de un cono crcular recto es un terco del producto de una constante, el rado al cuadrado la altura. Los símbolos. V volumen Π constante R rado H altura Según el conteto Ejemplo 5: V Π R H Un carpntero debe cortar una tabla de 6 m. de largo en tres tramos, s cada tramo debe tener 0 cm. más que el anteror, Cuál será la longtud de cada tramo? Sea la longtud del tramo más corto, entonces el segundo tramo será 0 el tercero será 0. El modelamento matemátco es: () ( 0) ( 0) 600 Operando: Entonces: Despejando la ncógnta: 50/ 80 Así: El tramo más corto 80 cm. El segundo tramo: cm. El tercer tramo: cm. Ejemplo 6: Se sabe que la suma de los ángulos nternos de un trángulo mde En un trángulo rectángulo uno de los ángulos es él otro aumentado en 0 0. Cuáles serán las meddas de los ángulos de dcho trángulo? S es el ángulo más pequeño, el otro ángulo será 0. Recordemos que un trángulo rectángulo tene un ángulo recto, luego:

35 () ( 0) Ahora: 0 (0) 0 50 Los ángulos son: 0 0, 50 0, Ejemplo 7: En una molécula de azúcar se encuentra el doble de átomos de hdrógeno que de ogeno, tambén tene un átomo más de carbono que de oígeno. S la molécula de azúcar tene 5 átomos. Cuántos átomos de cada elemento tenen dcha sustanca? Átomos de ogeno. Átomos de hdrógeno según el conteto del problema. z. Átomos de carbono según el conteto del problema. Como todo suma 5, entonces el modelo matemátco será: z 5. Epresando el modelo en térmnos de una sola ncógnta: () () ( ) 5 Operando: 5; ; entonces: átomos de ogeno. Átomos de hdrogeno: Átomos de carbono: La molécula de azúcar tene átomos de ogeno, átomos de hdrógeno átomos de carbono. C H 0 Ejemplo 8: Un Ingenero desea desarrollar un equpo hdráulco compuesto por dos clndros. El prmer clndro está a 0 cm. del punto de apoo ejerce una fuerza de 500 Kg.-f, el sstema debe soportar una fuerza de.00 Kg.-f ubcada a 90 cm. del punto de apoo al lado opuesto de los clndros. S el segundo clndro ejerce una fuerza de 700 Kg-f, En donde se debe colocar dcho clndro para que el sstema quede en equlbro? Para que el sstema este en equlbro, la suma de las fuerzas debe ser cero. F Fuerza uno, ubcada a dstanca del punto de equlbro. F Fuerza dos, ubcada a dstanca del punto de equlbro. F Fuerza tres, ubcada a 90 cm. del punto de equlbro. Según las condcones del problema: F X F X F X Reemplazando: 500*0 700* X.00*90 Resolvendo: X

36 700 X 8.000, entonces: X 68,57 cm. El clndro dos se debe colocar a 68,57 cm. del punto de equlbro Problemas Ecuacones de Prmer Grado con Dos Incógnta En el desarrollo de ecuacones de prmer grado con una ncógnta, se han adqurdo destrezas en el planteamento resolucón de problemas. Sn olvdar los cnco pasos que se recomendan para este tpo de stuacones, entramos en el análss resolucón de problemas donde se nvolucran dos ecuacones con dos ncógntas. Ejemplo 9: Una ndustra tene dos clases de equpos para comuncacón, la clase A cuesta $ la clase B cuesta $00.000, s fueron venddos 7 equpos con un costo total de $ , Cuántos equpos de cada clase fueron venddos? Como se tene dos ncógntas: Costo cantdad, se debe plantear dos ecuacones. Equpos de clase A Equpos de clase B Ecuacón para cantdad: 7 Ecuacón para costo: Como se tene dos ecuacones con dos ncógntas, se puede utlzar para su solucón: Grafco, elmnacón o determnantes. Solucón grafca: El punto de corte esta en 0 en por encma de 0, apromadamente 6

37 Solucón analítca: El sstema planteado a partr de la stuacón planteada es: Para este caso utlcemos la elmnacón por reduccón. Se elmna la ncógnta. Luego la prmera ecuacón se multplca por la segunda queda gual Despejando Reemplacemos en la prmera ecuacón: 7; () 7, entonces: 0. Se venderon 0 equpos de clase A equpos de clase B. Ejemplo 0: Se desea preparar una sustanca a partr de dos solucones base. La solucón N tene el 5% la solucón M tene el 0%. La cantdad resultante R debe ser de 00 ml, con una concentracón del 5%. Cuántos mlltros de solucón N M se deben mezclar? Mlltros de la Solucón N al 5% Mlltros de la Solucón M al 0% Se tene dos ecuacones, una para el volumen otra para la concentracón. - Ecuacón para el volumen: 00 (mlltros) - Ecuacón para la concentracón: 0,05 0,0 00(0,5) entonces: 0,05 0,0 0 El sstema obtendo será: 00 0,05 0,0 0 Solucón Grafca: 7

38 Se observa que la ncógnta esta cerca a 60 la ncógnta por encma de 0. Con el método analítco se puede obtener la solucón precsa. Solucón Analítca: Vamos a resolverlo por susttucón, el sstema: 00 0,05 0,0 0 Despejemos en la prmera ecuacón: 00. Reemplazamos dcha ncógnta en la segunda ecuacón: 0,05(00 ) 0,0 0. Operando el paréntess: 0 0,05 0,0 0. Smplfcando: 0,5 0. Así:, Ahora, reemplazamos el valor de en la prmera ecuacón, recordemos que puede ser tambén en la segunda: 00, entonces: (,) 00, operando: 67,67 Se deben mezclar 66,67 ml de solucón N, ml. De solucón M. Ejemplo : Los ángulos α β son suplementaros, de tal manera que uno de ellos es veces grados maor que el otro. Cuáles son las meddas de los ángulos α β? Sea α ángulo maor Sea β ángulo menor. La ecuacón de ángulos suplementaros: α β 80 La ecuacón, dada la condcón del problema: α β Organzando: α β 80 α - β Solucón Grafca: El punto muestra que α (X) está por encma de 0 el punto β (Y) está cercano a 0. Con el método analítco, se puede obtener la solucón precsa. 8

39 Solucón Analítca: α β 80 α - β Por reduccón: α β 70 α - β α 7, entonces: α,6 Para hallar el ángulo β, reemplazamos en la segunda ecuacón: (,6) - β. Desarrollando: -β,6 -,6. Por consguente: β 5, El ángulo α mde,6 0 el ángulo β mde 5, 0 Ejemplo : En un crcuto en sere la resstenca total es la suma de las resstencas componentes. Un crcuto en sere es compuesto por dos resstencas R R, la resstenca total es de.75 ohmos, para sumnstrar el voltaje requerdo, R debe tener 5 ohmos más que R. Cuál es el valor de las resstencas? Se plantean las ecuacones. Ecuacón de resstenca total: R R.75 Según las condcones del problema: R R 5 Entonces: R R.75 R - R 5 Tenemos dos ecuacones con dos ncógntas. Solucón Gráfca: Como se observa en la gráfca, el punto de corte no es mu claro, R se acerca a 800 R supera a

40 Solucón Analítca: Tomando las dos ecuacones. R R.75 R - R 5 Despejamos R en la segunda: R R 5 Reemplazamos en la prmera: (R 5) R.75 Operando smplfcando: R , luego: R 50/ 65 Ahora se busca el valor de R reemplazando el valor de R en cualquera de las ecuacones, utlcemos la ecuacón dos: R - R 5, entonces: R R 5 (65) R 750 Por consguente: las resstencas tenen el valor de ohmos. Ejemplo : Jorge Alberto pertenecen a un Club Ejecutvo, quenes deberon pagar una aflacón cuotas mensuales. Jorge por 7 meses pagó por adelantado un total de $ Alberto por 8 meses pago por adelantado $ Cuánto vale la aflacón la mensualdad en dcho Club? Cuota ncal mensualdad Se plantea una ecuacón para Jorge una para Alberto. Jorge: Alberto: Se resuelve reduccón: Multplcamos la prmera ecuacón por -, luego: , despejando la ncógnta: Para hallar, reemplazamos el valor de en la prmera ecuacón: 7(5.000) , donde: , despejando la ncógnta: La aflacón cuesta $ la mensualdad cuesta $5.000 Problemas Ecuacones de Prmer Grado con Tres Incógnta Esten problemas donde están nvolucradas tres ncógntas, la solucón de este tpo de problemas son smlares a los casos anterores. Veamos algunos ejemplos modelos, que nos permtrán comprender stuacones de este tpo. Ejemplo : La suma de tres números es cuatro, el prmero, dos veces el segundo el tercero suma uno. Por otro lado tres veces el prmero mas el segundo, menos el tercero equvale a -. Cuáles son los números? Solucón El planteamento. Prmer número Segundo número z tercer número 0

41 Según las condcones. z () z - () z () Tomamos () () elmnamos z. z () z - () () Ahora tomamos () (), elmnando la msma ncógnta z. z - () z () (5) Se han obtendo dos ecuacones con dos ncógntas, la forma de resolverlas a se han estudado. - () (5) Elmnemos Prmera solucón: - Reemplazamos el valor de en cualquera de las ecuacones () o (5). Tomemos la ecuacón. -, entonces: (-) -. Operando smplfcando: /. Segunda solucón:. Para hallar el valor de la tercera ncógnta se reemplaza los valores de en cualquera de las ecuacones orgnales (), (), (). Tomemos la ecuacón tres. z. Reemplazando: () (-) z, luego: z 5. Así: z 5 (,, z) (, -, 5) Ejemplo 5: El ángulo más grande de un trángulo es 70 0 maor que el ángulo más pequeño el ángulo restante es 0 0 más grande que tres veces el ángulo más pequeño Cuáles son las medcones de los ángulos? Angulo más pequeño Angulo ntermedo z Angulo más grande Por las condcones del problema: z 80 () porqué? z -70 () -0 () Se elmna la ncógnta, entonces:

42 z 80 z () Se tene un sstema de dos ecuacones con dos ncógntas Elmnamos : 5 00, así: 0 Calculemos ahora de la ecuacón (): -0, entonces: (0) -0, operando se obtene: , así: 70 Fnalmente para hallar z, tomaos la ecuacón () z 80, reemplazando: (0) (70) z 80. Por consguente z 90. Así se tene la solucón: (,, z) (0, 70, 90) Ejemplo 6: Una Heladería tene tres sucursales: La sucursal A vendó 75 helados, 75 paletas conos, recbendo $ La sucursal B vendó 80 helados, 69 paletas 7 conos, recbendo $ la sucursal C vendó 6 helados, 0 paletas 0 conos, recbendo $6.00. Cuánto cuesta la undad de cada producto? Sea Helado, paleta, z Cono. Según las condcones del problema, se tene: Sucursal A: z Sucursal B: z Sucursal C: 6 0 0z 6.00 Como tenemos ecuacones con ncógntas, se resuelve por determnantes Resolvendo por cofactor: * * * ( '05.600) * * 76 * (.078) '

43 * * 76 * ' * * 76 * ( 078 ).696 z * ' * * ( 078 ) ' z.000 z * * 76 * ( 078 ).696 El helado cuesta $00, la paleta cuesta $500 el cono cuesta $.000.

44 EJERCICIOS En los ejerccos propuestos, resolver la ecuacón paso a paso dentfcando el aoma, propedad o le matemátca utlzada.. ( ) Rta: 7/5. 6 Rta: Rta: ( ) Rta: ( 5)( ) Rta: Rta: Resolver los sguentes sstemas por el método de reduccón Rta:, Rta: -, Resolver los sguentes sstemas por el método de Igualacón. 9. Rta: ½, ¾ Resolver los sguentes sstemas por el método de Susttucón 0. 6 Rta: NO ha solucón Identfcar el valor de φ en cada determnante, de tal manera que la gualdad se cumpla.. ϕ Rta: φ Resolver los sstemas de ecuacones propuestos por el método de Kramer; es decr, utlzando determnantes.

45 . 5 Rta:,. 5 6 Rta:, -. 8 Rta:, - Resolver los determnantes dados a contnuacón por el método de productos cruzados A Rta. A / 0 5 B 0 Rta: B 9/ / Resolver por Sarrus los determnantes dados C Rta: C 58 / / / 0 E / 0 Rta: E -/ Resolver por Cofactor: F 0 Rta: F -9 0 Resolver por elmnacón los sguentes sstemas de ecuacones. 0. z 7 z z 0 Rta:, -, z Soluconar los sguentes sstemas de ecuacones por el método de Kramer. 5

46 . z 7 z z 0 Rta:, -, z Hacer el planteamento de los problemas propuestos resolverlos adecuadamente.. La suma de dos números enteros postvos es gual a, uno de ellos es el doble del otro. Cuáles son los números? Rta: 8. Un voceador reparte el peródco en 800 seg., su compañero lo hace en 0 seg., s lo hacen smultáneamente, Cuánto tardarán en hacer la entrega? Rta: 70 seg.. Un ángulo mde 6 0 más que su complementaro. Cuál será la medda de los ángulos? Rta: En una dstrbudora de dulces, paquetes de dulces paquetes de galletas valen $ Dos paquetes de galletas cuestas $0 más que un paquete de dulces. Cuánto cuestan un paquete de galletas un paquete de dulces? Rta: Galletas: $665, -dulces $.0 6. Un automóvl recorre 50 Km. En el msmo tempo que un avón vaja 80 Km. La velocdad del avón es de Km/hr más que el del automóvl. Cuál es la velocdad del automóvl? Rta: 55 Km/hr 7. Un Bólogo desea probar un fertlzante a partr de tres clases estentes referencados F, F, F, cuos contenddo de ntrógeno son: 0%, 0% 5% respectvamente. El Bólogo quere trabajar con 600 Kg. de mezcla con un contendo de ntrógeno de 5%, pero la mezcla debe tener 00 Kg. más de F que de F. Cuánto requere el Bólogo de cada tpo de fertlzante? Rta: F 80 Kg, F 60 Kg, F 60 Kg. 8. En la caja de un Banco ha $880 en blletes de $5, $0, $50. La cantdad de blletes es $0 es el doble de la de $50, s ha en total blletes. Cuántos blletes de cada denomnacón tene el Banco? Rta: 8 blletes de $5, de $0 de $50 6

47 Leccón Ses: Ecuacones de Segundo Grado ϕ µ ε 0 Las ecuacones de segundo grado han sdo motvadas desde tempos nmemorables, ncalmente la necesdad de resolver problemas de área volumen, condujeron a manpular ecuacones de este tpo. Como los números negatvos se formalzaron tarde en la hstora de las Matemátcas, en sus ncos el manejo de las ecuacones de segundo grado fue con números postvos. Se reconocen 5 tpos de ecuacones de segundo grado. b, c, c b, b c, b c Para resolver este tpo de ecuacones se han utlzado dversos métodos, desde épocas de Herón, pasando por Eucldes hasta el método aomátco, han permtdo soluconar problemas que nvolucran ecuacones de segundo grado, por el nterés que desperta, se analzará el método aomátco. MÉTODO AXIOMÁTICO: Es el método más utlzado; por no decr que el únco, en la actualdad, se soporta en los aomas, propedades defncones, establecdos a través de toda la hstora de las matemátcas. Sea la ecuacón a b c 0, con a, b c constantes a 0. Este tpo de ecuacones se puede resolver de las sguentes maneras:. FACTORIZACIÓN: Se sabe que toda ecuacón de segundo grado se puede epresar como producto de dos factores. a b c ( δ )( β ) 0 A los factores obtendos se les aplca la Regla del Producto Nulo la cual dce: δ β δ β S ( )( ) 0 ( ) 0, v, ( ) 0 De esta manera se puede despejar la ncógnta obtener las solucones respectvas. Se debe aclarar que las ecuacones de tpo a b c 0, tene dos solucones, las cuales pueden ser: Reales guales, Reales dferentes ó Imagnaras. Ejemplo 7: Resolver la sguente ecuacón. 8 0 Prmero factorzamos el trnomo, a esta altura debemos conocer las técncas de factorzacón, en caso de dudas por favor consultar el modulo de Matemátcas Báscas para aclarar dudas al respecto. ( 8) ( ) ( ) La últma epresón se puede factorzar como un trnomo de la forma b c 0 ( ) ( ) 5 ( 9)( 6) ( 9)( ) 0 Tenemos dos térmnos a los cuales le podemos aplcar la regla del producto nulo. ( 9) 0, despejando 7

48 ( ) 0, despenando - Se observa que se obtenen dos solucones -, así se comprueba que toda ecuacón de segundo grado tene dos solucones. Ejemplo 8: Hallar la solucón de la ecuacón Se factorza como trnomo cuadrado de la forma b c ( )( ) 0 Por la regla del producto nulo: 5 0, luego 5 5 0, luego 5 Se observa que la solucón es doble, pero la msma. Ejemplo 9: Determnar el valor de para la ecuacón 6 0 Despejamos la ncógnta ± 6 Se observa que se tene una raíz par de número negatvo, cua solucón esta en el campo de los números magnaros. Así: - NOTA: recordemos los números magnaros, el tema esta eplctado en el modulo de matemátcas Báscas. Por otro lado, en los ejemplos anterores se puede verfcar que la solucón puede ser real dferente, real gual ó magnara. Ejemplo 50: Hallar la solucón de la ecuacón La dea es despajar la ncógnta, en este caso La solucón es: 5/ -5/ ± 5 9 ± 5 Ejemplo 5: Resolver la ecuacón 0 8

49 Para este caso, NO es fácl dentfcar dos números que multplcados sea - sumados sea -, esto conlleva a buscar otras técncas para resolver este tpo de ecuacones. Una de ellas es la que se analza a contnuacón.. FÓRMULA CUADRÁTICA: En muchas ocasones el trnomo propuesto en la ecuacón no se puede resolver drectamente por factorzacón o etraccón de raíz, entonces lo que se hace para resolver la ecuacón propuesta es utlzar la fórmula cuadrátca, es un camno más rápdo para resolver ecuacones de segundo grado con una ncógnta. Sea la ecuacón: a b c 0 con a, b, c, reales a 0. La solucón para la ncógnta es: Demostracón: b ± b ac a Para demostrar la fórmula cuadrátca, aplcamos el prncpo de completar cuadrados. Veamos: a b c 0 a b c Se debe hacer que el coefcente de la ncógnta al cuadrado sea uno, para esto se dvde todo por a. a a b c a a b c a a Se completa cuadrados en la parte zquerda de la ecuacón b b b a a a El prmer térmno es un trnomo cuadrado perfecto, entonces: b b a a a a c a c a Se etrae raíz cuadrado a la últma ecuacón. b a ± b ac a b b a b ac a ± b ac Desarrollando la raíz del denomnador operando las dos fraccones: b a ± b ac a b a ± b ac a b ± Las solucones por medo de la fórmula cuadrátca serán: b ac a 9

50 b b ac a b b ac a A la epresón b acse le conoce como el dscrmnarte, debdo a que su sgno ndca el tpo de solucón obtenda. S > 0 : Ha dos solucones reales dferentes. S 0 : Ha dos solucones reales guales S < 0 : Ha dos solucones magnaras. Ejemplo 5: A partr del ejemplo 50, resolver la ecuacón 0 Para el trnomo dado, a, b - c -. Aplcando la fórmula. ( ) ± ( ) () ()( ) ± 6 ± 0 Las solucones son: 0 0,606, 606 Como se puede observar, las solucones son reales dferentes. Ejemplo 5: Resolver la sguente ecuacón utlzando la fórmula cuadrátca Para el trnomo dado, a, b -6 c 8. Aplcando la fórmula. ( 6) ± ( 6) () Las solucones son: 6 6 ()(8) 6 ± 6 6 ± 6 ± Como las solucones son enteras, este trnomo se puede resolver tambén por factorzacón. Ejemplo 5: Resolver 0 50

51 Identfcamos las constantes. a, b -, c, entonces: ( ) ± ( ) () Smplfcamos el radcar. ± ± 6 Las solucones: ()() ± 6 6 ± 8 6 ± 6 8 Se observa que las solucones son magnaras, a propósto, cuando una ecuacón tene solucón magnara, su conjugada tambén es solucón. Ejemplo 55: Resolver la ecuacón: 6 Lo prmero que debemos hacer es gualar la ecuacón a cero: Así a, b 6 c. Se aplca la fórmula. 6 ± (6) () ()() 6 ± 6 6 ± 6 ± Las solucones: 6 6 En los ejemplos realzados, donde las solucones han sdo reales, los valores son enteros, pero no sempre es así, en muchas ocasones las solucones son fracconaras. Ecuacones de Grado n (n par) ϕ n n m µ ε 0 n m A veces se pueden presentar ecuacones de la forma a b c 0, donde m n /, la dea es reducr el grado del trnomo hasta que n. Para resolverlo como un trnomo cuadrado. Algunos ejemplos nos aclaran el proceso. 5

52 Ejemplo 56: Resolver: 5 0 Se hace un cambo de varable dgamos u 5 0 u 5u 0 luego u Reemplazamos: Ahora se puede resolver el últmo trnomo, se utlza la factorzacón. u 5u 0 Por la regla del producto nulo: u 0, u u 0, u ( u )( u ) 0 Ahora se reemplaza el valor de u por, -, - Se observa que se obtenen solucones, a que la ecuacón orgnal es de grado cuarto. Ejemplo 57: Resolver la sguente ecuacón Hacemos el cambo de varable w 5, luego w 0 entonces: w 6w 6 0 La últma epresón se puede resolver por factorzacón o por la cuadrátca, resolvámosla por los dos métodos. Por Factorzacón: w 6w6 0 w 8 w ( )( ) 0 Por la regla del producto nulo: w 8 0, luego: w -8 w - 0, luego w Por la Cuadrátca: w 6 ± (6) ()( 6) () 6 ± ± 00 6 ± 0 5

53 Las solucones: w w 8 Pero la solucón fnal se debe dar en la ncógnta. Como w Para w : 5 5 Para w : 8 8 Se hace el reemplazo: Podemos ver que sólo se obtuveron dos solucones, pero la ecuacón es de grado 0, luego hacer falta ocho solucones, las cuales se pueden obtener por métodos matemátcos más avanzados. Ejemplo 58: Resolver la ecuacón: 5 0 Como en los casos anterores se hace cambo de varable. v v Procedemos a reemplazar. 5 v v 5 La últma epresón al resolvemos por factorzacón. v v 5 0 v Por la regla del producto nulo. v 5 0, v -5 v 0, v 0 ( v 5)( ) 0 Fnalmente, reemplazamos nuevamente para. ( 5) 5 v 5 5 ( ) 7 v

54 Leccón Sete: Ecuacones de Segundo Grado: Problemas de aplcacón Muchos fenómenos del mundo que nos rodea, se pueden epresar matemátcamente por medo de ecuacones cuadrátcas. Para resolver problemas de este tpo, se debe segur la metodología propuesta en la seccón de problemas con ecuacones de prmer grado, es una buena orentacón. La manera más pertnente de lustrar problemas que se resuelven con ecuacones de segundo grado, es por medo de ejemplos modelos. Ejemplo 59: La cuarta parte del producto de dos números enteros pares postvos consecutvos es 56. Cuáles son los números? Sea el entero par, luego ( ) será el entero par consecutvo. Según las condcones del problema. ( )( ) 56. Desarrollando: ( )( ) 56 0 Como se tene una ecuacón de segundo grado, se utlza el método de la fórmula cuadrátca. ± ()( ) ± 900 ± 0 () Las solucones: ± 0 0 ± Como se trata de enteros postvos, entonces la solucón válda será, la otra no se tene en cuenta. Así la solucón al problema es: 6 Ejemplo 60: La raíz cuadrada de un número más cuatro, es lo msmo que el número menos ocho. Cuál será el número? Sea el número a buscar. Aplcando las condcones dadas en el problema. 8 Tenendo el modelo matemátco, se puede resolver la ecuacón, para obtener la solucón al problema. lo que se puede hacer es elmnar la raíz luego despejar la ncógnta. ( ) ( 8) Reorganzando la últma ecuacón:

55 Por la cuadrátca: ( 7) ± ( 7) ()(60) () Las solucones: 7 ± ± ± ± 9 Las solucones son 5. Pero según las condcones dadas en el problema, el número que las cumple es, entonces. Ejemplo 6: Calcular las dmensones de un rectángulo, cua área es de 75 m ; además, el largo es el doble del ancho menos cnco. Una gráfca nos lustra la stuacón. El planteamento del modelo será: ( )( 5) 75 Multplcando resolvendo: Se resuelve la ecuacón por la fórmula cuadrátca: ( 5) ± 5 ()( 75) 5 ± ± 05 5 ± 55 () Las solucones: 5, 5 Como el problema es sobre longtudes, los valores negatvos no son váldos, luego: 5. Por consguente. Largo: (5)-5 5 Ancho: 5 55

56 Ejemplo 6: Un objeto es lanzado vertcalmente haca arrba con una velocdad de 00 m/seg. la altura tene como modelo matemátco 6 t v t Sendo t el tempo v 0 la velocdad ncal. 0 A -) En que tempo el objeto regresa al suelo b -) Cuanto tarda en alcanzar.500 metros de altura a-) Cuando el objeto regresa al suelo, la altura es cero ( 0) 6t v t 6t 00 t 0 0 Recordemos que la velocdad ncal es de 00 m/seg. Se factorza para despejar la ncógnta, que en este caso es el tempo. 6t 00t 0 t( 6t 00) 0 Por la regla del producto nulo: t 0 ó -6t 00 0, luego t 5 seg. El objeto regresa al suelo a los 5 seg. de haber sdo lanzado. b-) Para determnar el tempo en que la altura es de.500, en la ecuacón se reemplaza por.500 se despeja el tempo t 00 t 6t 00 t Aplcamos la cuadrátca a la últma ecuacón: ( 00) ± (6)(.500) 00 ± 0 00 t,5 (6) El tempo que utlza para alcanzar los.500 metros es de,5 segundos. Ejemplo 6: En una planta manufacturera el costo mensual por producr undades está dada por la ecuacón C ( ) Cuántas undades se pueden producr para un costo de 0.000? Prmero se dentfca C costo undades producdas. Como se conoce el costo, se debe despejar la ncógnta. C ( ) Resolvemos por la cuadrátca: ( 00) ± 0000 (0)(.000) 00 ± ± 700 (0) 0 0 Las solucones: Por obvas razones la solucón es 0 undades. Ejemplo 6: La suma de los n enteros pares consecutvos está dada por la ecuacón s n( n). Cuántos enteros pares consecutvos postvos se deben sumar para que dcha suma sea de? 56

57 A partr de la ecuacón se reemplaza el valor de s se opera: s n( n ) n n n n n ( n 9)( 8) 0 n n Por el producto nulo: n 9 0, entonces n -9 n 8 0, entonces n 8 Se deben sumar los prmeros 8 enteros pares consecutvos postvos para que la suma de. Refleón: Por qué no se toma el número -9? Ejemplo 65: Una tubería puede llenar un tanque en 5 hr. más rápdo que otra tubería, las dos tuberías pueden llenar el tanque en 5 hr. Cuánto tempo tomará llenar el tanque cada una? El llenado de la tubería más lenta es Para tempo en segundos. El llenado de la tubería más rápda es 5 El llenado las dos tuberías smultáneamente es 5 La suma de los llenados, permte obtener el tempo de cada tubería ( 5) 5 ( 5) 5 Por el prncpo de fraccones equvalentes: ± 5 ()( 5) 5 ± Por la cuadrátca: Las solucones: ,09, 09 5 La solucón será 8,09 La tubería más lenta tarda en llenar el tanque 8,09 seg. la tubería más rápda tardará en llenar el tanque 8,09 5,09 seg. 57

58 Leccón Ocho: Ecuacones Cubcas. a b c d 0 Las ecuacones de tercer grado han sdo mu estudadas, pero no se ha encontrado una solucón general como la que tene las de segundo grado. Para resolver este tpo de ecuacones, se han realzado varos métodos, aquí vamos a referencar la forma antgua a analzar la forma moderna, que es la de nterés en nuestro estudo. METODO ANTIGUO: La resolucón de ecuacones de tercer grado se remonta a los bablonos, quenes problemas que nvolucraban raíces cúbcas, tenían planteamentos como el sguente: z v z Para lo cual usaron tablas de potencas cúbcas raíces cúbcas. v resolveron Un profesor de Matemátcas de la Unversdad de Bologna, Scpone del Ferro (.65.56) fue quen por prmera vez resolvó algebracamente una ecuacón cúbca. de la forma p q. Posterormente Ncolo Tartagla, en una competenca con For; alumno de Scpone del Ferro revolvó 0 ecuacones de este tpo. El matemátco Grolamo Cardano ( ) se nquetó por los avances de Tartagla al reunrse con el en marzo de.59, éste últmo revela sus secretos a Cardano, después de muchos res venres, la formula obtenda para ecuacones de tercer grado se le llamo Formula de Cardano- Tartagla. En resumen del proceso que se realzó, se obtuvo una formula de la sguente manera: Sea la ecuacón: p q La solucón es de la forma: q q p q q p Cardano, no acepto n coefcentes, n solucones complejas para las ecuacones de este tpo. Vale la pena comentar que Vetá, quen trabajo las ecuacones cúbcas utlzando transformacones susttucones, obtuvo ecuacones cuadrátcas para resolver ecuacones cúbcas, la característca era que solo utlzaba raíces cúbcas postvas. METODO MODERNO: A partr de los trabajos de Cardano Tartagla, se han vendo buscando formas más práctcas para resolver ecuacones de tercer grado. El prmer ntento llevo a plantear una fórmula parecda a la de Cardano-Tartagla, pero era mu larga complcada de manejar. Con el estudo de los polnomos se logró establecer algunos prncpos que audaron a buscar un camno dnámco para resolver ecuacones cúbcas. DEFINICIÓN: Sea P() un polnomo de grado n, sea r un número real o complejo, tal que P( r ) 0, entonces se dce que r es un cero del polnomo. Por consguente r es una solucón o raíz de la ecuacón Polnómca. 58

59 Con la defncón anteror, se puede nferr que una ecuacón de grado tres, se puede reducr a grado dos, buscando una de sus raíces, a que: P ( ) a b c d S P( r ) 0, entonces: ( r )( p q w) P ( ) Este proceso es una forma de lnealzar la ecuacón, recordemos que lnealzar es epresar un polnomo de grado n, en n factores de grado uno; o sea, factores lneales. Los matemátcos se han preocupado por determnar el tpo de solucones que puede tener una ecuacón cúbca. A partr de la ecuacón a b c d 0, se dentfca su dscrmnante: 8abc a c a b b 7c Según el sgno del dscrmnante se puede dentfcar el tpo de solucón: S > 0 : La ecuacón tene tres solucones reales dferentes. S 0 : La ecuacón tene tres solucones reales por lo menos dos de ellas guales. S < 0 : La ecuacón tene una solucón real dos solucones magnaras. Solucón para una ecuacón de tercer grado: El prncpo consste en reducr la ecuacón a un producto de dos factores, uno lneal otro cuadrátco, de esta manea se puede despejar la ncógnta obtener las solucones respectvas. La técnca de reduccón es por medo la llamada Dvsón Sntétca, la cual se mostrará smbolzará a contnuacón. Sea la ecuacón: a b c d 0 La dvsón: Se organzan los coefcentes como se observa en la gráfca. r son los dvsores de a d postvos negatvos. Es pertnente aclara que a debe ser dferente de cero El proceso nca bajando el valor a, luego este se multplca por r para obtener el valor A. En seguda se suma b A para obtener P. Segudo se multplca P por r para obtener B, se suma c B se obtene Q, Luego se multplca Q por r para obtener D, se suma d D cuo resultado debe ser cero (0). S la últma suma (d D) no da cero, lo que ndca es que el r escogdo no es raíz del polnomo, entonces se prueba con otro r hasta obtener aquel que permta que dcha suma sea cero (d D 0). El proceso acepta utlzar los valores postvos negatvos de los dvsores dentfcados. Ejemplo 66: Resolver la ecuacón 0 59

60 Es evdente que se deben tener tres solucones. Para buscar la prmera se dentfcan los r que para este caso son:, -,, -. Se nca con. Como el polnomo no tene térmno en se completa con cero. Ilustremos el proceso realzado:, 0, , (-) 0 r es cero del polnomo. Ahora la ecuacón ncal se epresa como producto de dos factores, el prmero será ( r) el segundo será un trnomo cuadrado cuos coefcentes son los valores del resduo de la dvsón sntétca. ( )( ) ( ) ( )( ) El trnomo cuadrado se puede resolver como a se ha analzado: Las solucones son: -, recordemos por qué. ( )( )( ) Las solucones de la ecuacón ncal será entonces:,, - Como se observa en la solucón ha dos factores lneales guales, entonces se dce que el polnomo tene una raíz doble; es decr, raíz con multplcdad dos. Ejemplo 67: Hallar la solucón de la sguente ecuacón: P ( ) Los posbles r son:, - Probamos con r., luego , luego (-) - - -, luego (-) 0 r es cero del polnomo. Entonces: ( )( ) El trnomo cuadrado se resuelve por la cuadrátca: 60

61 ( ) ± ()( ) ± La solucón de la ecuacón ncal es: solucones reales dferentes. 8 ± ± Corresponde a tres Multplcdad: La multplcdad de un polnomo es el número de factores lneales que se repten. El ejemplo 65 tene multplcdad dos. El ejemplo 66 tene multplcdad uno. Ejemplo 68: Resolver Los posbles ceros del polnomo:, -,, -,, -, 5, -5, 8, -8, 0, -0, 0, -0, 0, -0. Como sempre se prueba con uno, pero para este caso la suma d D es dferente de cero, de la msma manera para -,, para el caso de - s se obtene cero, veamos: - -, luego - (- ) -7-7 (- ), luego (-) - 0, luego 0 (-0) 0 r - es cero ó raíz del polnomo. dos factores: 6 0 Entonces, epresamos la ecuacón ncal como producto de ( )( 7 0) El trnomo cuadrado se resuelve por la ecuacón cuadrátca: ( 7) ± 9 ()(0) 7 ± ± 7 ± () Las solucones: 7 7 La ecuacón ncal tene tres solucones, una solucón real - dos magnaras

62 Leccón Nueve: Ecuacones Polnómcas. a n b n... d 0 Las ecuacones que presentan un grado maor a tres, se les conoce comúnmente como polnómcas, en este espaco se pretende hacer un análss general a las ecuacones polnómcas. Una ecuacón de n n la forma a b... k 0, con a 0 le conoce como ecuacón Polnómca. n Z Hacendo algo de hstora, en la resolucón de ecuacones, los Bablonos formularon problemas que condujeron a ecuacones de cuarto grado, donde la ncógnta era un cuadrado, por lo que se les llamaron ecuacones bcuadradas. Ferrar desarrolló el método de solucón de ecuacones de cuarto grado, lo que fue publcado en Ars Magna de Cardano. En trabajos encontrados de Cardano, Tartagla Ferrar, se detecto que deseaban establecer una forma general para resolver ecuacones de cuarto grado. La metodología actual propone para resolver ecuacones de cuarto grado, buscar los factores lneales por dvsón sntétca, como se hzo para las ecuacones de grado tres. Respecto a las ecuacones de qunto grado, el gran famoso matemátco noruego Nels Henrk Abel demostró que no es posble resolver ecuacones de qunto grado por medo de un número fnto de operacones algebracas, allá por los años.8 Para fortalecer esta teoría un prestgoso matemátco de tan solo 0 años de edad de naconaldad francesa Evarste Galos, dedujo que bajo certas condcones, una ecuacón se puede resolver por radcales. Galos desarrollo la teoría de grupos para analzar métodos generales de solucón de ecuacones, basado úncamente en las operacones fundamentales etraccón de raíces, llegando a la demostracón de que NO ha un método general para resolver ecuacones de qunto grado o maor. Los avances en los ncos de la edad moderna deron buenos resultados a partr de allí, se estableceron certas consderacones para el desarrollo de ecuacones polnómcas. REGLA DE SIGNOS DE DESCARTES: El Matemátco francés René Descartes, padre de la Geometría Analítca, en.66 propone una técnca para dentfcar el número de solucones reales postva negatvas para un polnomo de grado n; para n entero postvo, con el teorema cua prueba esta fuera del alcance de este curso dce: TEOREMA: Sea P() un polnomo con coefcentes reales cuo térmno ndependente es dferente de cero, tendrá un número de solucones reales postvas de P() 0, gual al número de varacones de sgno en P() ó es menor que el número de varacones en cantdad par. El número de varacones negatvas de la ecuacón P(), es gual al número de varacones de sgno en P (-) 0, ó es menor que el número de varacones en cantdad par. En resumen, el teorema permte saber cuántas solucones reales postvas negatvas tene el polnomo, basado en la varacón de sgnos. Algunos ejemplos nos lustran la aplcacón del teorema. Ejemplo 69: 5 Determnar las posbles solucones reales del polnomo: P ( ) 6 Por ser un polnomo de grado cnco, entonces debe tener cnco solucones ó cnco raíces. 6

63 Para dentfcar las solucones reales postva: Tomando P() e dentfcando los cambos de sgno, los cuales según la grafca son tres, entonces P() puede tener tres ó una raíces reales postvas. Para dentfcar las solucones reales negatvas, aplcamos P(-) observar los cambos de sgno. P (-) no presenta cambos de sgno, luego P() no tene raíces reales negatvas. El polnomo tene 5 raíces, como puede tener reales postvos NO tene reales negatvas, por consguente las posbles solucones: Prmera opcón: Tres raíces reales postvas dos magnaras. ( R I) Segunda opcón: Una raíz real postva raíces magnaras. ( R I) Es pertnente recordar que las raíces magnaras, SIEMPRE se dan en pares, a que s ha una solucón magnara, su conjugada tambén es solucón. Ejemplo 70: Dado el polnomo Q ( ) dentfcar las posbles solucones. El polnomo debe tener raíces. Ya sabemos por qué. Raíces reales postvas. Se observa que Q() presenta tres varacones de sgno, luego puede tener tres ó una solucones reales postvas. Raíces reales negatvas. Para Q (-) se observa que ha un cambo de sgno, lo que nos ndca que el polnomo tene una raíz real negatva. Según los resultados, el polnomo Q() puede tener las posbles solucones: - ) Una solucón real postva, una solucón real negatva dos solucones magnaras.. (R, R -, I) 6

64 - ) Tres solucones reales postvas una solucón real negatva. ( R R - ) Ejemplo 7: 5 Identfcar los ceros del polnomo: N ( ) 7 5 N() debe tener 5 ceros, veamos cuales podrían ser: Ceros reales postvos: Para N() se observan tres cambos de sgno, Luego dcho polnomo puede tener ó raíces reales postvas. Ceros reales negatvos: Para N (-) se observa que presenta dos cambos de sgno, luego el polnomo puede tener cero ó dos solucones reales negatvas. Así el polnomo N() puede presentar las sguentes solucones: - ) Una solucón real postva, dos solucones reales negatvas dos magnaras. (R, R -, I) - ) Tres solucones reales postvas dos solucones reales negatvas. (R, R - ) - ) Una solucón real postva cuatro solucones magnaras. (R, I) Acotacón de las Solucones: El sguente teorema permte dentfcar el ntervalo en el que se encuentran las solucones reales, s éstas esten. TEOREMA: Sea P() un polnomo, tal que s P() 0, no tene raíz real alguna maor al número real K, entonces K se le llama cota superor de las raíces reales. Análogamente, s P() 0, no tene raíz real menor que el numero real k, luego k se le llama cota nferor de las raíces reales. Ejemplo 7: k RaícesReales K P ( Determnar la acotacón del msmo. Dado el polnomo: ) ( )( )( ) 0 6

65 Por la regla del producto nulo. ( ) 0, luego ( ) 0, luego / ( ) 0, luego -/ Así k -/. Cualquer número menor que -/ será cota nferor de P(). K. Cualquer número superor a será cota superor de P(). TEOREMA DE RAICES RACIONALES: Para determnar las solucones de una ecuacón Polnómca con coefcentes enteros, ha un teorema que smplfca la dentfcacón de las raíces del polnomo. n n TEOREMA: Sea P ( ) an an... a ao 0 Un polnomo con coefcentes enteros, S p/q es un real rreducble tal que p/q es una raíz de P(); es decr, P (p/q) 0, entonces p es factor de a o q es factor de a n. El teorema permte obtener los ceros del polnomo en forma drecta, dando una lsta lmtada de solucones raconales posbles. Veamos: S se tene un polnomo P() suponemos que p/q es una raíz del msmo, entonces ( p/q) es un factor de P(); además, P() ( p/q) Q(). Donde Q() es un polnomo de un grado menor que P(). Las solucones adconales para P(), se obtene resolvendo Q(). Ejemplo 7: Determnar los ceros del polnomo: P ( ) 6 Se dentfca p q. Sendo p los dvsores del térmno ndependente q del coefcente de. p, -,, -,, -. q, -,, -. Posbles solucones raconales:, -,, -,, -, /, -/. A cada uno de estas posbldades se le aplca la dvsón sntétca para dentfcar las solucones. Por la Regla de Descartes se puede nferr las posbles solucones: - ) Tres solucones reales postvas una negatva. (R, R - ) - ) Una solucón real postva, una negatva dos magnaras. (R, R -, I) Probando las posbles solucones, se detecta que es solucón, veamos: El polnomo ncal quedaría así: P ( ) ( )( ) Donde Q ( ) ( ) 65

66 Ahora tomamos el polnomo Q() e dentfcamos los dvsores de p q: p, -,, -. q, -,, -. Las posbles solucones (p/q):, -,, -, /, -/. Al probar las dferentes posbldades, se dentfco que -/ es cero del polnomo, veamos: Probando con todos, se observa que -/ es cero, luego el polnomo se puede escrbr como: ( )( ) Q ( ) El últmo polnomo se resuelve por factorzacón o cuadrátca. S se revsa se puede determnar que los ceros son: Volvendo al polnomo ncal P ( ) 6, se puede conclur que los ceros de dcho polnomo son:, -/, Una solucón real postva, una solucón real negatva dos solucones magnaras. (R, R -, I) MULTIPLICIDAD DE LAS SOLUCIONES: En un aparte anteror se hzo referenca a la multplcdad, pero es pertnente darle un soporte formal, a través de la sguente defncón. DEFINICIÓN: Sea P() un polnomo de grado n; además, ( r ) m entonces r es llamado cero de P(), con multplcdad m. un factor de P(), Ejemplo 7: P ( ) Identfcar los ceros su multplcdad. Sea el polnomo: ( )( ) ( ) Los ceros son:, -,. La multplcdad: Para : La multplcdad es Para -: la multplcdad es Para -: La multplcdad es 66

67 Leccón Dez: Ecuacones Raconales Radcales. Esten una sere de ecuacones que merecen atencón, a que la forma de resolucón, conjugan aspectos de las que a se estudaron. ECUACIONES RACIONALES P ( ) Q ( ) Las ecuacones raconales son de la forma: 0 Donde P() Q() son polnomos Q() 0. Resolver ecuacones de este tpo, sgue los prncpos matemátcos aplcados a fraccones, prncpalmente fraccones equvalentes. Ejemplo 75: Hallar la solucón de la sguente ecuacón. los dados en Por el prncpo de ecuacones equvalentes. ( ) ( ) 8 Se debe despejar la ncógnta, agrupando las a un lado los térmnos ndependentes al otro lado. 8 8 Así la solucón será: 0/ Ejemplo 76: 6 8 Resolver: 0 5 Con lo aprenddo a podemos trabajar consecutvamente, por favor analzar cada paso Despejando: 6 Ejemplo 77: Resolver: 0 Aplcando los prncpos sobre fraccones se tene: 0 p ( ) q ( ) 0 67

68 ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) 0 ( )( ) Operando: 0 0 La últma ecuacón se resuelve por factorzacón: 0 Por el producto nulo: 0, entonces 0, entonces - Así la solucón será: -. Ejemplo 78: ( )( ) 0 Hallar los valores de la ncógnta que hacen verdadero la epresón dada. Veamos el procedmento Factorzando: ( )( ) 0 Por la regla del producto nulo: 0, entonces 0, entonces - - Ejemplo 79: Resolver la ecuacón 0 Como ndca la epresón, se debe sumar las fraccones Así se puede despajar la ncógnta: 60 / 5. Entonces:. 68

69 ECUACIONES RADICALES a b c 0 Cuando se tene ecuacones con radcales, el prmer paso es buscar la forma de reducr el radcal por medo de operacones opuestas obtener ecuacones de grado dos o múltplos, sempre cuando el índce de la raíz sea par. Aquí se va a analzar fundamentalmente las raíces cuadradas, pero se puede hacer etensvo a otros índces. Recordemos que: Ejemplo 80: Resolver la ecuacón A partr de la epresón, se busca que la parte radcal quede a un lado de la gualdad. Ahora se elmna la raíz utlzando operacón opuesta reorganzando: ( ) ( ) La últma ecuacón se puede resolver por factorzacón o por la fórmula cuadrátca. 9 0 ( )( 5) 0 Por la regla del producto nulo: 0, entonces 5 0, entonces 5 5 Ejemplo 8: Hallar los valores de que hagan verdadera la gualdad dada. Lo prmero es pasar uno de los radcales al otro lado de la ecuacón, para reducr uno de ellos. ( ) ( ) Desarrollando los cuadrados reorganzando térmnos: ( ) Para elmnar el nuevo radcal, se vuelve a aplcar operacón opuesta reorganzando: ( ) ( ) 6( ) 0 69

70 La últma epresón se puede resolver por factorzacón o por la formula cuadrátca. Aplquemos factorzacón. ( )( ) 0 Por la regla del producto nulo. 0, luego 0, luego Leccón Once: Fraccones Parcales a b d c α β p( ) Toda fraccón raconal de la forma f ( ) con p() q(), polnomos q() 0, se pueden q( ) epresar como suma o resta de fraccones raconales más smples. Para que se pueda hacer este procedmento, el grado de p() debe ser menor que el grado de q(); además, q() se puede descomponer en factores prmos. Por teoría algebraca, cualquer polnomo de coefcentes reales, se puede escrbr como producto de factores lneales o cuadrátcos. En los prncpos de álgebra, aprendmos que a partr de dos o más fraccones, se obtenía una como resultado de la suma, en este aparte lo que se va a analzar es el caso contraro, a partr de una fraccón, buscar las fraccones que fueron sumadas para llegar a ésta. De acuerdo al denomnador, se pueden encontrar varos casos.. q() es producto de factores lneales dferentes: p( ) Se puede generalzar este caso de la sguente manera, se tene la fraccón f ( ), esta se q( ) p( ) A B N puede descomponer en la suma de fraccones tales como:... q( ) a λ b λ n λn Sendo A, B,, N constantes. Ejemplo 8: Dada la fraccón sguente, epresarla como fraccones parcales La dea es lnealzar el denomnador. Prmero factorzamos el trnomo cuadrado. 70

71 7 ( )( ) Según la teoría, la fraccón obtenda se puede escrbr como suma de fraccones smples, para este caso dos fraccones a que ha dos factores lneales smples. ( )( ) 5 B A El trabajo consste en encontrar el valor de A B. Para esto se operan las dos fraccones así: ) )( ( ) ( ) )( ( ) )( ( ) ( ) ( B A B A B B A A B A B A La últma fraccón es equvalente a la prmera, luego se gualan: Esta es la parte prncpal del proceso, a que se observa que los denomnadores son guales, por ende los numeradores tambén deben serlo. Así se comparan numeradores. - ) 5 (A B) A B Los coefcentes de deben ser guales: A B Los térmnos ndependentes tambén son guales: - 5 -A B Se tene dos ecuacones con dos ncógntas, que a sabemos resolver. Aplcando elmnacón se obtene: A 7, B - Se reemplaza los valores de A B en la ecuacón propuesta: ( )( ) 7 5 B A Por consguente: Ejemplo 8: Escrbr como fraccones parcales la sguente fraccón: 9 5 Se lnealza el denomnador. Por favor confrmar la factorzacón que se hzo en el denomnador. Es seguda se propone descomponer la fraccón como suma de fraccones parcales. Se operan las dos fraccones que se propuseron: ) )( ( ) ( B A B A ( )( ) ( )( ) 5 B A

72 A B A( ) B( ) A A B B ( A B) A B ( )( ) ( )( ) ( )( ) Como la últma fraccón es equvalente a la prmera, se hace la gualacón: 5 9 ( A B) A B ( )( ) Ahora, como el denomnador es gual, los numeradores tambén deben serlo. Entonces: 5 (A B) A B Comparando los coefcentes en, se observa que en el prmer térmno de la gualdad el coefcente de es cero, a que no ha térmno en dcha ncógnta, luego: 0 A B. Para el térmno ndependente: 5 - A B Se obtenen dos ecuacones con dos ncógntas. A B 0 -A B 5 Utlzando cualquera de los métodos de resolucón, se obtene: A -0/7, B 5/7 Fnalmente se reemplaza en la suma de fraccones propuesta: A B 5 0 7( ) 7( ) ( ) 7( ). q() es producto de factores lneales, algunos repetdos: Ha casos donde el polnomo del denomnador presenta factores lneales smples que se repten k veces, cuando esto se presenta la descomposcón es de la sguente manera: p( ) p( ) A B C N... q λ β k ( ) λ β β β ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k Ejemplo 8: Descomponer en fraccones parcales. ( ) El procedmento es smlar al caso anteror, solo que aquí se debe proponer tantas fraccones smples como ndque el eponente del factor que se repte. A B C ( ) ( ) ( ) Se operan las fraccones se organzan los térmnos. 7

73 A B C A( ) B( )( ) C( ) A( ( ) ( ) ( ) ( ) B( ) ) C A( ) B( ( ) ) C A A A B ( ) B C Se organzan los térmnos según la ncógnta: A A A B B C ( A B) (A B C) A ( ) ( ) Se guala la últma fraccón con la ncal: ( A B) (A B C) A ( ) ( ) Se gualan los numeradores, a sabemos por que. ( A B) (A B C) A Para el caso de la ncógnta al cuadrado ( ): 0 A B Para el caso de la ncógnta (): A B C Para el caso del térmno ndependente: - A Así a se tene una solucón: A - De la ecuacón 0 A B, se puede obtener el valor de B, es decr: B Para el caso de C, en la ecuacón: A B C; se reemplaza A B: (-) () C, despejando C Volvendo a la epresón propuesta: A B C ( ) ( ) ( ) Fnalmente la fraccón orgnal queda epresada como suma de fraccones parcales así: ( ) ( ). q() Tene factores Cuadrátcos rreducbles: Cuando el polnomo del denomnador tene térmnos cuadrátcos rreducbles, la forma de descomponer en fraccones parcales es como se muestra a contnuacón. p( ) q( ) p( ) ( n)( a b c) Donde q ( ) ( n)( a b c) A n B C ( a b c) Como sempre los ejemplos son la mejor forma de mostrar el método. 7

74 7 Ejemplo 85: Epresar como suma de fraccones parcales: ) ( 5 Se escrbe la fraccón como se presenta a contnuacón: ) ( 5 C B A Operando organzando: ) ( ) ( ) ( ) ( C B A A C B A C B A Agrupando térmnos semejantes: ) ( ) ( ) ( ) ( A C B A C B A A Igualando las fraccones orgnal la últma: ) ( ) ( ) ( ) ( 5 A C B A Comparando térmnos: Para la ncógnta al cuadrado: ( ): 0 A B Para la ncógnta (): C Para los térmnos ndependentes: - 5 A Así: A - 5/, B 5/, C Reemplazando estos valores en las fraccones propuestas: 5 5 ) ( 5 C B A Por consguente la fraccón ncal queda epresada como suma de fraccones parcales así: 5 5 ) ( 5

75 EJERCICIOS Resolver las sguentes ecuacones, realzando el procedmento adecuadamente justfcando las respuestas.. z z 0 ± 0 Rta: z. 6 0 Rta: 7. Demuestre que la solucón de la ecuacón 6 0 es 7-8. Desarrollar el procedmento apropado para resolver los ejerccos propuestos.. 9 Rta: Rta: Rta: Desarrollar los sguentes ejerccos, verfcar la respuesta. 7. Rta: 9 / Rta: Rta: ± Lea cudadosamente cada problema con los conocmentos adqurdos, resolverlos adecuadamente. 0. Dos números enteros pares consecutvos tenen como producto 68, Cuáles son dchos números? Rta:. El largo de un rectángulo es de metros el ancho de metros, s las dos dmensones se aumentan en la msma cantdad, el área del nuevo rectángulo será el doble del área orgnal. Cuáles serán las dmensones del nuevo rectángulo? Rta: Largo 5, ancho, corresponde al crecmento de una poblacón de peces en t tempo, meddo en años. La prmera medda se hzo en el año.997. a-) Cuantos peces había en el año.997 b-) A los cuantos años se mueren todos los peces. Rta: a-) b-) 8,6 años. La ecuacón P( t).000( 0 7t t ) 75

76 Para las ecuacones dadas, dentfcar la cantdad tpo de raíces posble que se tene en cada polnomo.. 0 Rta: reales postvas, real negatva. 9 0 Rta: real postva, reales negatvas 5. 0 Rta: real postva, reales negatvas Rta: real postva, real negatva mag. Para las ecuacones dadas, dentfcar la cantdad tpo de raíces posble que se tene en cada polnomo Rta: reales postvas reales negatvas Rta: reales postvas Rta: real postva, reales negatvas Rta: 8 raíces magnaras 6. 0 Rta: real postva, real negatva mag. Dadas las sguentes epresones, escrbrlas como suma de fraccones parcales.. ( )( ) Rta: ( ) ( ). ( 5 )( ) Rta:. 8 Rta: 76

77 CAPÍTULO DOS: LAS INECUACIONES INTRODUCCIÓN Las Inecuacones son epresones matemátcas donde se comparan dos térmnos, utlzando prncpos matemátcos ben defndos. Por esto a las necuacones tambén son conocdas como Desgualdades. Para desarrollar el tema, ncalmente se analzarán los ntervalos, a que la solucón de una desgualdad está dada por uno ó varos ntervalos. Tambén se analzarán las propedades que gobernan las desgualdades, demostrando algunas de ellas. Al gual que se hzo en las ecuacones, se estudarán las clases de necuacones, sendo las más mportantes las necuacones lneales con una ncógnta, las necuacones lneales con dos ncógntas, las cuadrátcas con una ncógnta las mtas. Las desgualdades son mu mportantes como herramentas para el análss de temátcas como la Investgacón de Operacones, un área de las Matemátcas mu utlzadas en Ingenería, Admnstracón, economía otros campos del saber. Para abordar con éto esta temátca es pertnente recordar los símbolos de comparacón entre dos epresones algebracas tales como: >, <,,. Que en su orden ndcan maor, menor, maor o gual menor o gual, su sgnfcado se rá comprendendo a medda que se vaan estudando las necuacones. Un trabajo jucoso sstemátco para el desarrollo de la temátca De Inecuacones, permtrá adqurr conocmentos sóldos que conlleven a resolver problemas del mundo real en donde se necesten las desgualdades. Leccón Doce: Generaldades de las Desgualdades a b < c Las desgualdades son epresones matemátcas donde dos térmnos p() q() se comparan, sendo éstos polnomos ó uno de ellos térmno ndependente. Las formas de comparacón se pueden observar a contnuacón: p ( ) < q( ) p ( ) > q( ) p( ) q( ) p( ) q( ) En el prmer caso p() es menor que q(), para el segundo p() es maor que q(), en el tercero p() es menor o gual a q() en el cuarto p() es maor o gual a q(). Las dos prmeras se les llaman desgualdades estrctas. Por ejemplo s se dce que >, está ndcando que cualquer valor maor que dos, satsface la desgualdad propuesta. S se dce que 5, se está ndcando que cualquer valor menor que cnco es solucón; pero nclusve cnco es tambén solucón. 77

78 Propedades de las Desgualdades: Sean a, b, c números reales:. S a < b, entonces a c < b c Demostracón: Como a < b, por defncón b a es postvo; además, (b c) (a c) b a, entonces (b c) (a c) es postvo, así a c < b c.. S a < b, entonces a - c < b c Demostracón: Con el msmo argumento del caso anteror, tenemos que a (-c) < b (-c), así a c < b c.. S a < b c > 0, entonces a c < b c Demostracón: Como (a < b), luego (b a) es postvo; además, c es postvo, entonces el producto (b a) c es postvo, así (b c a c) es postvo, por lo tanto (a c < b c).. S a < b c < 0, entonces a c > b c Demostracón: Como ejercco para hacer en el grupo colaboratvo, para cualquer duda consultar con el tutor. 5. Trcotomía: S a b son números reales, una de las sguentes epresones se cumple. a < b a > b a b Refleón: Qué pasa s b 0? 6. La NO Negatvdad: Para cualquer número real a: a 0 7. La Recprocdad: Para cualquer número real a 0: S a > 0, entonces > 0 a S a < 0, entonces < 0 a 78

79 Es pertnente que usted estmado estudante, plantee al menos dos ejemplo donde se aplque cada propedad, esto le permtrá comprender la esenca de as msmas. Las desgualdades pueden ser smples o compuestas. Smples: Compuestas: a < b p q a < < b a p < b Leccón Trece: Intervalos. Cuando se tenen epresones como >, >, > - 5, otros, se podría preguntar cómo se grafcan, la respuesta está en los ntervalos. Un ntervalo es un segmento de recta con etremos nferor (a) superor (b), el cual contene todos los valores que satsfacen la desgualdad. Esten varas clases de ntervalos. Intervalo Cerrado: Son todos aquellos donde los etremos del msmo, hacen parte del ntervalo. La notacón es la sguente: - Parejas ordenadas: [ a, b] - Desgualdades: a b - Gráfcamente: Intervalo Aberto: Son todos aquellos donde los etremos del msmo, NO hacen parte del ntervalo. La notacón es la sguente: - Parejas ordenadas: ( a, b) a < < - Desgualdades: b - Gráfcamente: Intervalo Semaberto: Son todos aquellos ntervalos donde uno de los etremos NO hace parte del msmo, pueden ser abertos a zquerda ó abertos a derecha. Intervalo Aberto a Derecha: Corresponde a los ntervalos donde el etremo derecho es aberto. notacón es: La 79

80 - parejas ordenadas: ( a, b] - Desgualdades: a < b - Gráfcamente: Intervalo Aberto a zquerda: Corresponde a los ntervalos donde el etremo zquerdo es aberto. La notacón es: - parejas ordenadas: [ a, b) - Desgualdades: a < b - Gráfcamente : Los ntervalos semabertos a la zquerda, serán semcerrados a la derecha vceversa. OPERACIONES CON INTERVALOS: Las operacones estudadas en los conjuntos, como unón, nterseccón, dferenca, dferenca smétrca complemento, son aplcables tambén en ntervalos. UNION: Se sabe que la unón es la agrupacón bajo un msmo conjunto de todos los elementos que hacen parte de la operacón. Sea S (a, b) R (c, d), entonces S υ R (a, b) υ (c, d) Gráfcamente: Ejemplo 86: S Sea S [-, ] R (0, 0]. Hallar R R S [,] (0,0] [,0] Gráfcamente S R será: 80

81 Ejemplo 87: Dados P (- 8, 0) Q (, 0) Hallar P Q La operacón es: P Q ( 8,0) (,0) ( 8,0) Gráfcamente: La solucón nos hace ver que Q P ; es decr, Q está contendo en P. INTERSECCIÓN: Se trata de dentfcar los elementos comunes de los conjuntos que partcpan en la operacón. Ejemplo 88: Dados los ntervalos A (, 8) B (0, 0). Hallar la nterseccón de A B. La nterseccón se epresa así: A B A B (,8 ) (0,0 ) [ 0,8 ] Gráfcamente: La nterseccón nvolucra los elementos que están en los dos ntervalos. Las demás operacones son smlares a como se hace en las operacones con conjuntos, para el fn de las desgualdades, las operacones más mportantes son al unón e nterseccón. A manera de lustracón veamos el sguente ejercco, por favor dscutr los resultados con sus compañeros de grupo colaboratvo aclararlo con el Tutor. Ejemplo 89. Sean los ntervalos P [-, 5) Q (, 0]. Hallar las sguentes operacones. P Q, P Q, P Q, P Q -) P Q : [-, 0] -) P Q : [, 5] 8

82 -) P Q : [-, ] -) P Q : [-, ] u [5, 0] Leccón Catorce: Inecuacones Lneales con Una Incógnta a b < 0 Las necuacones lneales son aquellas donde el polnomo que la representa, tene la ncógnta cuo grado es uno, a contnuacón se estudarán las necuacones lneales con una ncógnta. Las necuacones lneales con una ncógnta son de la forma a b > c, aunque puede ser con cualquera de los sgnos de comparacón. La resolucón de necuacones de este tpo, requere el uso de las propedades analzadas en desgualdades los prncpos matemátcos báscos. Ejemplo 90: Resolver la sguente necuacón: < El proceso consste en espejar la ncógnta, dejándola al lado derecho de la desgualdad. Por la propedad, adconamos a los dos lados de la epresón, para r despejando la ncógnta. < < 7 Por la propedad 7, sobre la recprocdad, se dvde por, como es un valor postvo, el sentdo de la desgualdad no camba, de esta manera se despeja completamente la ncógnta. < 7 () < (7) < < 7/. 7 Esto sgnfca que cualquer valor menor que 7/ satsface la desgualdad. Veamos un ejemplo 0, s lo reemplazamos en la desgualdad, ésta debe ser verdadera. < (0 ) < < Lo cual es verdadero. Cuando en la solucón se toma un solo valor se cumple, sgnfca que en los demás valores del ntervalo tambén se cumple. Para el ejemplo analzado, la solucón NO nclue el etremo a que es una desgualdad estrcta. Ejemplo 9: Hallar el conjunto solucón de la necuacón: ( 5) ( ) Lo prmero que se debe realzar es operar los paréntess. 8

83 ( 5) ( ) Aplcando las propedades báscas de desgualdades tenemos: La solucón ndca que el etremo tambén hace parte del ntervalo. Epresemos dcha solucón como pareja ordenada, como desgualdad gráfcamente. 7 -) Pareja ordenada: [, ) 7 -) desgualdad: < -) Gráfcamente Ejemplo 9: Resolver 5 < Se observa que se trata de una desgualdad compuesta, el procedmento para despajar la ncógnta, lo podemos ver en seguda. Prmero multplcamos toda la epresón por para elmnar el dos del denomnador de la parte que contene la ncógnta. ( )() 5 () < () 0 < Ahora restamos a los térmnos para segur despejando la ncógnta 0 < < Dvdmos todo por - para que la ncógnta quede despajada, pero recordemos que s una desgualdad la dvdmos por un valor negatvo, el sentdo camba. < > > < La solucón ndca que todo valor maor que / menor o gual que / satsface la desgualdad. El ntervalo solucón es semaberto a derecha. Epresemos la solucón como se acostumbra. -) Pareja Ordenada: (, ] -) Desgualdad: < -) Gráfcamente: 8

84 Ejemplo 9: Hallar los valores de que satsfagan la epresón. > 0 Analzando la desgualdad, se observa que el numerador sempre es postvo, entonces para que la fraccón sea maor que cero, el denomnador debe ser maor que cero. Así: > 0, despejando la ncógnta: > 0, entonces: >. -) Pareja Ordenada: (, ) -) Desgualdad: < < -) Gráfcamente: Ejemplo 9: Resolver Por el prncpo de faccones equvalentes, transformamos las fraccones a epresones enteras. ( ) ( ) Ahora se hacen las multplcacones ndcadas se smplfca. ( ) ( ) Como la ncógnta nos da negatva, entonces multplcamos toda la epresón por -. La solucón: -) Pareja Ordenada: [, ) -) Desgualdad: < -) Gráfcamente Leccón Qunce: Inecuacones Raconales. En este apartado se van a analzar las necuacones raconales cuo numerador denomnador son polnomos lneales. 8

85 Sea p( ) < c q( ) Sendo q() 0. La resolucón de este tpo de necuacones se puede hacer por dos métodos, por conectvos lógcos o por el dagrama de sgnos. -) Conectvos Lógcos: Consste en comparar la fraccón frente al cero. a) Sea p ( ) < 0 q ( ) Para que la fraccón sea negatva (menor que cero) puede ocurrr dos stuacones: p() > 0 q() < 0 p() < 0 q() > 0 Ya que un valor postvo un valor negatvo ó un valor negatvo un valor postvo, producen sempre negatvo. b) Sea p ( ) q ( ) > 0 Para que la fraccón sea postva (maor que cero) puede ocurrr dos stuacones: p() > 0 q() > 0 p() < 0 q() < 0 Ya que un valor postvo otro postvo, ó un valor negatvo otro negatvo, sempre produce postvo. S nos detenemos un poco a analzar este método, se puede ver que ha nvolucrados dos conectvos lógcos, la Conjuncón (Λ) la Dsuncón (V). Ejemplo 95: > Resolver la sguente necuacón: 0 > 0 Llamemos p() q(), entonces: 85

86 p( ) Para que > 0 q( ) Pueden ocurrr dos stuacones: P() > 0 Λ q() > 0, V, p() < 0 Λ q() < 0 Dchos en palabras: Los dos postvos o los dos negatvos (tene lógca verdad) Analcemos las dos posbldades: -) Prmera: P() > 0 Λ q() > 0 > 0, > - > 0, > - Como entre p() q() ha una conjuncón (Λ) se debe hacer nterseccón entre los ntervalos. P() Λ q() Prmera solucón: (-, ) -) Segunda: p() < 0 Λ q() < 0 < o, < - < 0, < - Igual que en el caso anteror: p() Λ q() Segunda (-, -) Como a se contemplaron las dos posbldades, la solucón total es la unón (V) de la prmera segunda solucón. Solucón Total: (, ) (, ) Gráfcamente: 86

87 - ) Dagrama de Sgnos: Por este método, se toma el polnomo del numerador del denomnador se dentfca cual valor hace que dchos polnomos sean cero, a ese valor se le llama valor crítco. Cada polnomo es representado por una recta real donde se ubca el valor crítco se coloca sgnos postvos donde el polnomo es postvo sgnos negatvos donde el polnomo sea negatvo. Fnalmente se aplca la le de los sgnos para cocente se obtene ntervalos postvos negatvos para la fraccón. La solucón depende del tpo de comparacón: S la fraccón es maor que cero, la solucón serán los ntervalos postvos, pero s la fraccón es menor que cero, la solucón serán los ntervalos negatvos. Por medo de los ejemplo modelos, se puede comprender mejor los métodos menconados. Ejemplo 96: > Resolver la sguente necuacón: 0 > 0 Llamemos p() q(), entonces: Para el numerador: 0, el valor de que hace cero la epresón es -, punto crítco. Cualquer valor maor de hace postva la epresón ( ) cualquer valor menor de - hace negatva dcha epresón. Se hace la recta real con este análss. Para el polnomo del denomnador: 0, el valor de que hace cero la epresón es -, punto crítco -. Se agrupan los dos resultados se hace producto de sgnos. Como la fraccón debe ser maor que cero, la solucón será los ntervalos postvos del producto, es decr: (, ) (, ) Los dos métodos son nteresantes, aunque el segundo es algo más corto. Se recomenda aprender los dos. Ejemplo 97: 87

88 6 Hallar el conjunto solucón de la sguente necuacón: < 0 Para que la fraccón sea negatva, se requere que uno térmno sea negatvo el otros postvo vceversa. Método de Conectvos Lógcos: Como la fraccón es menor que cero se pueden presentar dos posbldades: p() > 0 Λ q() < 0 p() < 0 Λ q() > 0 Prmera posbldad: p() > 0 Λ q() < 0 Reemplazamos > 0, > 6 < 0, < - Como entre p() q() ha una conjuncón (Λ) se debe hacer nterseccón entre los ntervalos. Se observa que NO ha elementos comunes, luego la solucón es vacía. { φ } Segunda posbldad: p() < 0 Λ q() > 0 Reemplazando: < 0, < 6 > 0, > - Hacemos la nterseccón de los ntervalos: 88

89 La solucón total será: { φ } (, ) (, ) Cualquer valor del ntervalo (-, ) satsface la desgualdad propuesta. Recordemos que para este caso, los etremos NO se ncluen en la solucón. Ejemplo 98: < Resolver la necuacón: Antes de aplcar cualquera de los métodos descrtos, se debe transformar la epresón de tal forma que el segundo térmno sea cero, para hacer la comparacón. < < 0 ( ) ( ) < 0 6 ( ) ( ) Operando smplfcando: < 0 < 0 Ahora s tenemos la fraccón comparada con cero, por lo que se puede aplcar cualquera de los métodos analzados para este tpo de necuacones. Método de Dagrama de Sgnos: 6 0,. Punto crítco (). Todos los valores maores que, hacen la epresón negatva todos los valores menores que la hacen postva. 0, ½ Punto crítco (½). Todos los valores maores que ½ hacen la epresón postva los valores menores que ½ la hacen negatva. Al hacer el producto de los ntervalos se obtene la sguente grafca: Como la desgualdad ncal debe ser negatva; es decr, menor que cero, entonces la solucón serán los ntervalos negatvos. (, ) (, ) 89

90 Leccón Decsés: Inecuacones Cuadrátcas Las necuacones cuadrátcas son de la forma a b c < 0, pero puede ser >,,. Con a 0. La resolucón para este tpo de necuacones es smlar al caso de las necuacones raconales lneales. Lo prmero que se debe hacer para resolver una necuacón cuadrátca es llevarla a la comparacón con cero luego lnealzarla; es decr, epresarla como producto de dos factores lneales, lo que se puede hacer por factorzacón o por la fórmula cuadrátca. S se tene la necuacón: a b c < 0 se puede transformar en un producto: α β < 0 Cuando en la necuacón el segundo térmno es cero, se aplca uno de los métodos propuestos, a sea conectvos lógcos o dagrama de sgnos. - ) Conectvos Lógcos: Dada una necuacón cualquera, a b c > 0 ó a b c < 0 se puede presenta los sguentes casos.. α β > 0 Para que el producto de los dos factores sea postvo, ha dos posbldades: - ) α > 0 β > 0 - α > 0 Λ β > 0 Un valor postvo por otro valor postvo produce un valor postvo. V a b c > 0 - ) α < 0 β < 0 Un valor negatvo por otro valor negatvo produce un valor postvo. α β < 0 Para que el producto de los dos factores sea negatvo, ha dos posbldades: - ) α > 0 β < 0 Postvo por negatvo produce negatvo V - ) α < 0 β > 0 Negatvo por postvo produce negatvo. Se puede observar que cada posbldad orgna dos ntervalos los cuales se ntersecan las dos solucones de las dos posbldades se unen para obtener la solucón total. Ejemplo 99: Resolver la necuacón: 6 < 0 90

91 Prmero se lnealza el trnomo cuadrado. 6 ( )( ) < 0 Como los factores deben ser menor que cero, las posbldades son: a-) > 0, > < 0, < - La nterseccón entre estos ntervalos es vacío: (Φ) b-) < 0, < > 0, > - La nterseccón para esta posbldad es el ntervalo (-, ) La solucón total será la unón de las dos solucones obtendas, (Φ) υ (-, ) Solucón total: (-, ) - ) Dagrama de Sgnos: Por este método se toman los polnomos de los dos factores se dentfca cual valor hace que dchos polnomos sean cero, a ese valor se le llama valor crítco. A cada polnomo se le hace una recta real donde se ubca el valor crítco se coloca sgnos postvos donde el polnomo es postvo sgnos negatvos donde el polnomo sea negatvo. Fnalmente se aplca la le de los sgnos para producto se obtene ntervalos postvos negatvos para la necuacón. La solucón depende del tpo de comparacón: S la necuacón cuadrátca es maor que cero, la solucón serán los ntervalos postvos, pero s es menor que cero, la solucón serán los ntervalos negatvos. Ejemplo 00: Resolver el ejemplo anteror por dagrama de sgnos: 6 < 0 Por medo de dagrama de Sgnos: A partr de la necuacón dada, se lnealzada, ncamos el proceso. 6 ( )( ) < 0 0, valor crtco. Cualquer valor maor que hará postva la epresón cualquer valor menor que la hará negatva. 9

92 0, valor crítco -. Cualquer valor maor que - hará postva la epresón vceversa. Producto de sgnos: Así como la necuacón debe ser menor que cero, la solucón será la parte negatva del producto. (-, ) Ejemplo 0: Hallar el conjunto solucón de la necuacón: > 0 Se va a utlzar los conectvos lógcos. Entonces: ( 6)( ) > 0 Como el producto de los factores debe ser postvo, entonces las posbldades son: a-) 6 > 0, > 6 Λ > 0, > - Prmera solucón: La nterseccón de los dos ntervalos: ( 6, ) b-) 6 < 0, < 6 Λ < 0, < - Segunda solucón: La nterseccón de los ntervalos es: (, ) La solucón total: (, ) ( 6, ) 9

93 Ejemplo 0: Resolver la sguente necuacón: Prmero la comparamos con cero. 0 Ahora la lnealzamos: ( ) 0 ( )( ) 0 Para cada térmno dentfcamos el punto crítco los ntervalos postvos negatvos. : Valor crítco 0. : Valor crítco : No ha valor crítco. (Por qué) El producto: Como la necuacón no es estrcta debe ser menor que cero, la solucón nclue los etremos será la parte negatva del ntervalo obtendo. Entonces la solucón: Como pareja ordenada: [0, ] Como desgualdad: 0 OBSERVACIÓN: Los ejemplos modelos que se han lustrado, muestran que las necuacones raconales cuadrátcas (tambén polnómcas) se pueden resolver por el método de los conectvos lógcos del dagrama de sgnos; tambén llamado técnca del cementero; por aquello de las cruces. Cualquera de los métodos es váldo para desarrollar necuacones, pero para muchos casos es más pertnente el dagrama de sgnos, como es el caso de las necuacones mtas o de grado tres o más. Leccón Decsete: Inecuacones Mtas En este conteto se ha determnado que las necuacones mtas sean aquellas que además de ser raconales, tengan en el numerador polnomos de grado dos o más, gual en el denomnador. El camno de solucón para este tpo de necuacones es el dagrama de sgnos por su facldad mejor manejo. 9

94 9 Ejemplo 0: Hallar el conjunto solucón de la necuacón: 0 6 < Como se ha vendo trabajando, lo prmero es lnealzar los térmnos. ( )( ) ( ) 0 6 < Como a la tenemos lnealzada, entonces se procede a tomar cada térmno para dentfcar el valor crítco. 0, valor crtco 0, valor crítco -, valor crtco 0 0, valor crítco Por la le de los sgnos para producto. Como la fraccón debe ser menor que cero, entonces la solucón serán los ntervalos: (-, 0) U (, ) Ejemplo 0: Resolver: Prmero se lleva la fraccón a compararla con cero. 0 0 Operando smplfcando: 0 0

95 Ahora se lnealza los térmnos de la fraccón: 0 ( ) 0 Se dentfcan los valores crítcos., valor crítco 0, valor crítco, valor crítco Por la le de los sgnos para producto. De la epresón orgnal, se nfere que, a que cuando la fraccón se vuelve ndetermnada; además, la desgualdad no es estrcta, luego la solucón puede nclur los etremos, tenendo en cuenta por supuesto la restrccón dentfcada. Se observa que la fraccón debe ser menor o gual que cero, entonces la solucón será los ntervalos negatvos del producto obtendo. (,0 ] (, ] En la medda que se estuden detalladamente los ejemplos modelos se resuelvan los ejerccos propuestos, se podrá comprender e nterorzar las necuacones, así su aplcacón en cualquer conteto. Leccón Decocho: Inecuacones con Dos Incógntas a b c > 0 Las necuacones con dos ncógntas pueden ser de la forma a b < k, a b > k otras. Sendo k un real. Incalmente se estudarán las técncas de resolucón de este tpo de necuacones para luego analzar algunas aplcacones. Resolver una necuacón con dos ncógntas, es hallar un conjunto de puntos en el plano; llamado tambén semplano, que llamaremos R, los cuales deben satsfacer la necuacón. Se epondrá una metodología general para resolver una necuacón con dos ncógntas.. Dada la desgualdad a b < 0, se epresa temporalmente como gualdad a b 0, para hacer una gráfca, que puede ser una recta, una parábola, etc. S la desgualdad es estrcta (>, <) la línea límte se hace nterrumpda ( ), pero s la desgualdad no es estrcta (, ), la línea será contnua ( ). 95

96 . La línea obtenda dvde el plano en dos semplanos, se prueba un punto (, ) en cada semplano, para determnar en cuál de ellos la desgualdad se hace verdadera. Esto nos ndca que solo en uno de ellos, la necuacón es válda.. El punto que hace verdadera la desgualdad nclue el semplano que lo contene, luego dcho semplano será la solucón, generalmente se subraa o sombrea. Ejemplo 05: Resolver la desgualdad: >. Prmero hacemos, para grafcar, se sabe que esto corresponde a una recta horzontal, se observa de color rojo en la lustracón, con líneas nterrumpdas, a que la desgualdad es estrcta. Reemplazamos dos puntos, dgamos P(, ) superor Q en el semplano nferor. Q(, ). Se puede ver que P esta en el semplano Según la desgualdad dada, > 0, el semplano superor, satsface la desgualdad; es decr, el que nca en la recta nterrumpda de color rojo haca arrba. El punto Q no satsface la desgualdad. El conjunto solucón será el semplano superor, lo que se epresa subraado. 96

97 Ejemplo 06: Dada la epresón,, hallar el conjunto de punto en el plano que satsfaga la necuacón dada. Prmero ajustamos la desgualdad: 0. En seguda epresamos 0 para grafcar, como corresponde a una ecuacón de prmer grado, la gráfca es una recta, entonces se toman dos puntos: Para 0, (0) 0, entonces 0. (0, 0) Para, () 0, entonces (, ) Como se tenen dos puntos, por los aomas eucldanos, entre los que se tene aquel famoso que dce: Por dos puntos solo pasa una solo una recta Esta será contnua, a que la desgualdad no es estrcta. Para dentfcar el semplano de solucón, reemplacemos dos puntos, dgamos: P (-, ) Q (, - ), a que P está por encma del plano Q está por debajo. S se reemplaza dcho puntos en la necuacón: Para P (-, ): Como, entonces: (-) Verdadero. Para Q (, - ): para la msma desgualdad: - () Falso. El punto P es solucón de la necuacón, luego el semplano que contene a dcho punto es la solucón de la necuacón planteada. 97

98 Cualquer punto de la parte raada, es solucón de la necuacón. Ejemplo 07: Determnar el conjunto solucón de la desgualdad: < Llevamos la epresón a una comparacón con cero. < 0 Luego planteamos la ecuacón temporal: 0 Por ser una ecuacón lneal, con dos puntos es sufcente para grafcar. Tomemos por ejemplo 0. 0, reemplazando: 0 0,, luego el punto: (0, ), reemplazando: - 0, 0, luego el punto: (, 0) Ahora buscamos un punto por encma por debajo del plano que esta separado por la recta, para dentfcar el conjunto de puntos solucón. Tomemos los puntos: P (, ) Q (-, ) Es de aclarar que los puntos que se toman son arbtraros, solo se debe tener presente que estén en la parte del plano correspondente. Para P (, ): () < 0 Falso. Para Q (-,): - () < 0 Verdadero El conjunto solucón contene el punto Q. 98

99 Ejemplo 08: Resolver el sstema: > Para este caso se debe hacer dos procesos uno para cada necuacón, la solucón será la nterseccón de los dos casos. Prmer Caso: >. Planteamos la ecuacón temporal, damos valores a, veamos: 0, entonces, el punto (0, ), entonces 0, el punto (, 0) La gráfca será. Tomemos el punto P(, ) el punto Q(0, 0), los reemplazamos en la necuacón. Para P (, ): >, luego: () () >. Verdadero Para Q (0, 0): >, luego: (0) (0) >. Falso. El semplano solucón será el que contene el punto P (, ). Segundo Caso:. La ecuacón temporal. Los puntos: Tomemos 0, entonces -, el punto (0, -), entonces 0, el punto (, 0). La gráfca: 99

100 Tomemos los puntos: R (0, 0):, luego: (0) (0). Verdadero S (, -):, luego: () (-). Falso El semplano solucón debe contener al punto R (0, 0) Como a se tenen las dos solucones, una para cada necuacón, en seguda se debe hallar la solucón total, la cual será la nterseccón de las solucones obtendas. El cruce de líneas en la sguente gráfca, esta ndcando la nterseccón, dcho semplano satsface smultáneamente las dos necuacones planteadas en el ejemplo. S tomamos un punto cualquera en dcho semplano dgamos (, ), éste debe hacer verdaderas las dos desgualdades smultáneamente. Para > : () () >. Lo cual es verdadero. Para : () (). Que tambén es verdadero. La solucón es la parte que presenta cuadrículas. Ejemplo 09: Identfcar el conjunto solucón para la necuacón: > Se observa que corresponde a una epresón cuadrátca: Entonces: Reorganzándolo: La grafca: 00

101 Para encontrar el semplano solucón, tomemos dos puntos un dentro otro fuera de la curva. Punto dentro de la curva: P(, ). Punto fuera de la curva Q(-, ) Para P(, ): > () > () Verdadero. Para Q(-, ): > ( ) > () Falso. La solucón será el semplano que contenga a el punto P(, ), que en este caso es la parte nterna de la curva. Ejemplo 0: Hallar la solucón total para el sstema: 0, 0, <, 6 A contnuacón se dará la solucón total, por favor hacer el procedmento con el grupo colaboratvo aclarar las dudas con el Tutor. Para 0 las líneas son verdes. Para 0 las líneas son rojas. Para < las líneas son azules Para 6 las líneas son cafés. La parte cuadrculada 0

102 Leccón Decnueve: Inecuacones: Problemas de Aplcacón PROBLEMAS CON INECUACIONES DE UNA INCÓGNITA: En la vda dara se presentan dversos problemas donde el camno adecuado para la resolucón son las necuacones, una vez estudados los prncpos técncas de solucón de necuacones, ahora corresponde darle sentdo de aplcabldad a las msmas. El prmer paso para resolver problemas que nvolucran necuacones, es leer mu ben el problema hasta comprenderlo completamente. En seguda plantear el modelo matemátco que epresa con smbología matemátca las especfcdades del msmo. Para el caso partcular de las necuacones, es pertnente tener claro algunos térmnos usados para comparar, como; A lo más, como mínmo, etc, que son los que dan las condcones para plantear el modelo matemátco. Ejemplo : La funcón utldad al vender undades está dada por el modelo: P 7 0, cual será el mínmo de undades venddas para que se presente gananca. Para que no haa perdda n gananca, P 0, luego el mínmo de undades para que haa gananca debe ser tal que P > > 0 Lnealzando: ( 8 )( 5) > 0 Recordemos que se puede resolver por los conectvos lógcos o por dagrama de sgnos. Utlcemos dagrama de sgnos , valor crítco 8 5 0, valor crítco -5. Producto: La solucón: presenta un ntervalo negatvo otro postvo, es obvo que por las característcas del problema, solo se tendrá en cuenta la parte postva, luego la cantdad mínma para obtener gananca será de 9 undades. Ejemplo : En una clase de Matemátcas un estudante obtuvo las notas en sus prmeras evaluacones de 60, 80, 78, 8. Faltando el eamen. Para obtener una calfcacón de aprobatora el promedo de las 5 notas debe ser gual o maor a 80 menor que 95. Cuál debe ser la nota mínma en el eamen para que el estudante apruebe el curso? 0

103 Según las condcones del problema, el promedo será: < 5 El promedo debe estar entre Incamos la resolucón, elmnando el 5 del denomnador de la fraccón. 5( ) 80 (5) < (5)95 5 Elmnamos 00 que acompaña a la ncógnta. Entonces: < < < 75 El estudante debe obtener mínmo 00 puntos para aprobar el curso. Ejemplo : En la fabrcacón de equpos para calentamento, la renta obtenda por venta de undades es de 50. El costo de produccón para equpos es Cuántos equpos mínmos se deben fabrcar para obtener utldad? La utldad se mde así: Ingresos Egresos > 0. Luego: 50 ( ) > 0. Operando: > > > > 750 Despejando la ncógnta: 750 / 50. El mínmo de undades que se debe fabrcar es de equpos para obtener gananca. Ejemplo : Una pelota es lanzada vertcalmente haca arrba con una velocdad de 90 m/seg. La dstanca de la pelota al suelo después de de t segundos está dada por: 80t 6t En qué ntervalo de tempo la pelota estará a más de 96 metros de altura? Como 80t 6t además > 96, entonces: 80t 6t > 96 Organzando la epresón para compararla con cero. 80t 6t 96 > 0. Cambamos de sgno para que la ncógnta al cuadrado quede postva a sí poder lnealzar más fácl. 6t 80t 96 < 0 Ahora dvdmos por 6 para que la epresón quede más senclla. 6t 80t 96 0 < t 5t 6 < 0. Se lnealza la epresón, utlzando la factorzacón

104 t 5t 6 < 0 ( t )( t ) < 0 Resolver la últma desgualad, utlcemos los conectvos lógcos. que cero, entonces las dos posbldades serán: Como la epresón debe ser menor (t > 0 Λ t < 0) V (t < 0 Λ t > 0) Se busca la prmera posbldad. t > 0, t > Λ t < 0, t < Para este caso NO ha solucón, a que no se presenta elementos comunes entre los dos ntervalos, así la solucón: (Φ) Segunda posbldad: t < 0, t < Λ t > 0, t > Para este caso la solucón está en el ntervalo (, ), que son los elementos comunes a los dos ntervalos. La solucón total será la unón de las solucones obtendas: (Φ) U (, ) (, ). Volvendo al problema planteado, la pelota estará a más de 96 metros de altura entre los segundos. Ejemplo 5: La potenca W (watts) de un crcuto eléctrco se obtene con la sguente epresón: W I*E, donde I es la corrente eléctrca (amperes) E la fuerza electromotrz (voltos). La potenca de un crcuto de 0 voltos, varía entre 0.0 watts. En qué ntervalo oscla la corrente eléctrca? Como W E*I, según el problema: 0 W.0. Reemplazando W por su equvalenca. 0 I*E.0, pero E 0 voltos, entonces: 0 0*I.0, dvdendo por 0 toda la desgualdad: I. Entonces la corrente eléctrca oscla entre amperes. 0

105 PROBLEMAS CON INECUACIONES DE DOS INCÓGNITAS Para resolver problemas que nvolucran necuacones, se requeren varas stuacones, prmero leer mu ben el problema para comprenderlo, luego plantear el modelo matemátco a través de una necuacón, en seguda resolver la necuacón planeada, fnalmente analzar los resultados para dar las conclusones al problema dado. En este aspecto, se dría que lo nuevo es el planteamento del modelo; es decr, la necuacón que eplca el fenómeno a analzar, a que lo demás se conoce. Ejemplo 6: Un Almacén vende dos clases de artículos tpo A tpo B, las condcones del almacén establecen que se debe tener al menos tres veces artículos tpo A que de tpo B; además, se debe tener al menos artículos tpo B, el espaco permte tener mámo 80 artículos ehbdos. Plantear el sstema que descrbe la stuacón descrbr la regón solucón del fenómeno. Sea cantdad de artículos tpo A sea cantdad de artículos tpo B. : Tres veces artículo tpo A que de B. : Tener al menos artículos tpo B 6. Tener tres veces artículo tpo A. 80. Capacdad máma de ehbcón. Planteamos las ecuacones temporales para grafcar., entonces: 0. Los puntos: (0, 0), (6, ). Línea roja, entonces:. Es una recta horzontal. Línea azul 6, entonces: 6. Es una recta vertcal. Línea café 80, entonces: 80. Los puntos: (0, 80), (80, 0) Línea verde. La parte sombreada será la regón de solucón del sstema. Ejemplo 7: La compañía π desea comparar cable tpo AA tpo BB para nstalacones telefóncas, para esto cuenta con un captal que oscla entre mllones de pesos. El valor de la undad de cable tpo AA es de 00 ml pesos de tpo BB de 00 ml pesos. La compañía requere al menos veces 05

106 más de cable tpo BB que de tpo AA. Cuál será la zona de solucón del sstema e dentfcar al menos dos posbldades de compra? Sea cable tpo AA. Sea cable tpo BB Según el problema: a) Valor mínmo de compra b) Valor mámo de compra c). Requermentos de cable. Solucón para el caso a: Solucón para el caso b: Solucón para el caso c: 06

107 La solucón al problema será la nterseccón de las solucones obtendas, mostrada en la zona sombreada. Dos posbles solucones: Punto: (, ) puede ser una solucón. Punto: (/, ) tambén puede ser solucón. Ejemplo 8: Una compañía de Almentos para anmales tene defndo dos tpos: Nutran Pedgr, con sus respectva composcón. Por otro lado tene dentfcada las necesdades mínmas que se requeren. El objetvo es establecer el área de solucón para la racón con mínmo costo: además, dentfcar dos posbles solucones. ALIMENTO VARIABLE PROTEINA (P) CARBOHIDRATOS(CH) FIBRA (F) PRECIO($) UNIDAD MEDIDA GRAMOS GRAMOS GRAMOS NUTRIAN X PEDIGRY Y NECECIDADES MÍNIMAS NECECIDADES MÁXIMAS.600 Solucón Se plantean las necuacones. 50X 80Y.60 Proteína 00X 500Y.000 Carbohdratos 0X 00Y.600 Fbra 0X 00Y 800 Fbra Se plantea cada necuacón como ecuacón para dentfcar la recta que permte buscar la regón de solucón. 50X 80Y.60 Proteína. Dos puntos para grafcar: (0, 7); (8., 0) 00X 500Y.000 Carbohdratos. Dos puntos para grafcar: (0, ); (0, 0) 0X 00Y.600 Fbra. Dos puntos para grafcar: (0, 8); (5, 0) 0X 00Y 800 Fbra. Dos puntos para grafcar: (0, ); (.5, 0) Grafco de las dos prmeras necuacones: 07

108 Grafco de las dos últmas necuacones: Regón solucón: 08

109 La solucón se observa así: En el eje esta apromadamente entre 0 en el eje entre 7 8. Posbles solucones: Se tomas dos puntos que estén en la regón solucón. Veamos dos posbles puntos que están en dcha regón. X Y Punto ½ 5/ Punto /0 7/0 09

110 Desarrollar los ejerccos, eplcando cada paso. EJERCICIOS. Dada la desgualdad > -, cuál será la desgualdad obtenda s: a-) Se suma - b-) Se resta 0 c-) Se multplca por. Epresar las sguentes desgualdades como ntervalos hacer la grafca. a-) > b-) - c-) - 5 > d-) 0 8. Epresar los sguentes ntervalos como desgualdades. a-) (-, ] b-) (-, 6) [-5] c-) [-, ] (0). Resolver las sguentes necuacones. a-) 5 7 b-) Rta: (, ] Rta: 6 [, ) 5. Resolver las sguentes necuacones raconales. < a-) 0 b-) 0 > Rta: Rta: (, ) (, ) Para los ejerccos propuestos, por favor resolverlos con mucho cudado hacer los pasos requerdos en su resolucón. Rta: (,) (, ) Rta: (,) 6. ( )( )( ) < 0 < 7. Rta: [,0] [, ) 8. ( ) > 8 Rta: (,0) > Rta: < < Leer cudadosamente cada problema, para que sean resueltos adecuadamente.. El costo de produccón de undades de un producto está dado por la epresón: C 6, la utldad por concepto de ventas está dada por U. Cuántas undades se deben vender para obtener utldad. Rta: > 5 0

111 . Un objeto lanzado vertcalmente haca arrba, cua funcón altura está dada por la epresón: h 9,8t 7t donde h se da en metros t en segundos. En qué ntervalo de tempo el objeto estará por encma de 59, metros? Rta: 6 < t < 9. Según la Le de Bole, para un gas específco a temperatura constante, se tene la relacón: P V 00. Para P presón en ps V volumen en plg. En qué ntervalo se desplaza la presón, s el volumen se encuentra entre 5 50 plg? Rta: P 8. El cuerpo humano tene una temperatura normal de 7 0 C, s una temperatura dfere a la normal al menos en 0 C, se consdera anormal. Cuál será el ntervalo de temperatura que se consdera anormal? Rta: 5 0 C > 9 0 C. 5. La funcón ngreso por venta de un producto está dado por la epresón 0. El costo 5 de produccón de una undad es de $8. Cuántas undades se deben vender para que la utldad sea de $00? Rta: 0 < < 50 Resolver los sguentes sstemas gráfcamente. 6. < < 7. < 0 5 < 0 8.,, 9, Leer cudadosamente los sguentes problemas, plantear el sstema resolverlo gráfcamente. 9. Un negocante de fnca raíz vende casas apartamentos, por la demanda se debe tener al menos tres veces más casas que apartamentos. Se debe tener dsponble al menos 6 casas apartamentos para su ocupacón. Las casas cuestan 0 mllones los apartamentos 0 mllones. El comercante desea mantener sus costos de nventaro en 600 mllones o menos. Elaborar un sstema que eplque el fenómeno hallar la regón solucón. 0. Una refnería de petróleo puede producr hasta barrles por día, el petróleo es de tpo A B, del tpo A se deben producr por día al menos.000 a lo más.500 barrles. S ha una utldad de 7 dólares para tpo A dólares para tpo B Cuál será la utldad máma por día. Rta: Tpo A.500 tpo B.500. La empresa Sport fabrca dos tpos de balones para fútbol, el modelo pe duro da una utldad de 0 ml pesos el modelo pe blando de.00 pesos. Para satsfacer la demanda la empresa debe producr daramente del modelo pe duro entre 0 00 nclusve, mentras que del modelo pe blando entre 0 70 nclusve. Por las condcones de la fábrca el total de produccón dara debe ser máma de 50 undades. Cuántos balones de cada tpo se deben fabrcar en un día para obtener máma utldad? Rta: 00 balones pe duro 50 pe blando.

112 Resolver las sguentes necuacones.. Rta: < <. 5 > Rta: (, ) (, ) (, ) Para los ejerccos propuestos, por favor resolverlos con mucho cudado hacer los pasos requerdos en su resolucón.. Hallar la solucón grafca de la desgualdad: 0 La parte sombreada de la grafca. 5. Hallar la solucón grafca de la desgualdad: La parte sombreada de la grafca.