Portal Fuenterrebollo Olimpiada Matemáticas Nivel III (3º 4º ESO) OLIMPIADA MATEMÁTICAS NIVEL III (3º - 4º ESO)

Transcripción

1 Portal Fuenterrebollo Olimpiada Matemáticas Nivel III (º º ESO) OLIMPIADA MATEMÁTICAS NIVEL III (º - º ESO) 6. Encima de un triángulo equilátero de lado cm, colocamos un círculo de cm de radio, haciendo coincidir los centros de ambas figuras. Cuánto mide el perímetro o borde la figura resultante? A) π B) 6+π C) 9 D) π E) 9 +π Se ve una parte de la circunferencia que equivale a 80º, es decir, un perímetro Al ser triángulos equiláteros, cada lado mide cm. La parte que se ve en cada lado del triángulo grande es de cm. El borde de la figura resultante es de 6+π cm 7. El punto O es el centro de un círculo de radio, OA OC son radios OABC es un cuadrado. Cuál es el área, en unidades cuadradas, de la región sombreada? A) π - B) π - C) -π D) π - E) π -

2 Área región sombreada: A Área Área cuadrado circulo Área región sombreada: A. 8. Cada uno de los lados de este octógono regular mide cm. Cuál es la diferencia entre el área de la región sombreada el área de la región sin sombrear? A) B) C) D) E) 0 Los triángulos rectángulos isósceles (,,,, 5, 6, 7, 8) son iguales. Los rectángulos A, B, C D son iguales. En consecuencia, la región sombreada no sombreada son iguales tienen el mismo área. La diferencia entre las dos áreas es 0 9. P Q son los puntos medios de los lados del cuadrado de perímetro cm. El área del rectángulo sombreado de la figura, está comprendida entre: A) 5 6 B) C) D) 7 6 E) Más de

3 Para calcular el área del rectángulo sombreado basta hallar la diferencia entre el área del cuadrado el área de los cuatro rectángulos (iguales dos a dos). El triángulo grande pequeño son semejantes por tener sus ángulos iguales. La hipotenusa del triángulo grande QBC; 5 BQ cm 5 BQ BP Para hallar AP se establece una relación de equivalencia: BC AP AP con lo que, AP cm. 5 En consecuencia, AB cm (mitad de AP ) El área del triángulo pequeño BPA:.. cm El área del triángulo grande BCQ :.. cm El área del rectángulo: 6 6 cm Siendo 6, El diámetro del semicírculo grande el radio del cuadrante miden ambos cm. Cuál es, en cm, el radio del semicírculo pequeño?

4 A) B) 7 0 C) D) E) El punto de tangencia de dos circunferencias se encuentra en el segmento que une sus centros, formando el triángulo rectángulo CBA, siendo los tres vértices (C, A, B) los centros de las tres circunferencias. CA x AB BC x Aplicando el teorema de Pitágoras: ( x) ( x) x x x x x. En la figura se muestra un cuadrado de lado cuatro semicírculos iguales mutuamente tangentes. Cuál es el área de la parte raada? A) B) C) D) E) Ninguno El punto de tangencia de dos circunferencias se encuentra en el segmento que une sus centros, formando un triángulo rectángulo. Todos los vértices son centros de circunferencias. El diámetro formado al unir los centros de dos circunferencias: d

5 El radio de una semicircunferencia: r El área de la zona raada se obtendrá restando al área del círculo el área de dos círculos, es decir: Muchas catedrales góticas tienen ventanas como la de la figura: varios círculos iguales, tangentes dos a dos un círculo grande tangente exterior a todos. En la figura ha cuatro círculos pequeños. Cuál es el cociente entre la suma de las áreas de los cuatro pequeños el área del grande? A) B) C) D) E) Para calcular el radio del círculo grande, partimos del supuesto que el radio de cada círculo pequeño es. El punto de tangencia de dos circunferencias se encuentra en el segmento que une sus centros, formando un triángulo rectángulo. la hipotenusa del triángulo rectángulo formado mide cada cateto mide x, por el teorema de Pitágoras se tiene: (x) (x) (x) (x) x El radio de la circunferencia grande: Área del círculo grande: Área de círculos pequeños:.. 5

6 El cociente solicitado: 9 8. Si el hexágono de la figura tiene dm de lado, cuál es, en dm, el área de la estrella central? A) B) 6 C) 6 D) 8 E) 6 Los ángulos de un hexágono suman 70º, por tanto, los seis sectores circulares blancos forman dos circunferencias de radio dm. En consecuencia, el área de la estrella central es el área del hexágono regular de dm de lado menos el área de dos círculos de radio dm. Área hexágono (6 triángulos equiláteros): 6. 6 dm Área dos círculos: dm Área estrella: 6 dm. La proporción entre las áreas de un hexágono regular inscrito uno circunscrito a una misma circunferencia es: A) : B) : 5 C) 5 : 6 D) : E) : 5 6

7 La proporción entre las áreas es igual a la proporción entre los cuadrados de sus lados. En este sentido, bastará calcular cuánto valen los lados de los hexágonos. Como herramienta auxiliar se traza la circunferencia exterior, la que circunscribe al hexágono maor. Se puede suponer que el radio de la circunferencia pequeña es, con lo cual el lado del hexágono pequeño también mide. Denotando por x el lado del hexágono maor, se aplica el teorema de Pitágoras: x x x x x x La proporción entre las áreas será la proporción entre los cuadrados de sus lados (inscrito circunscrito): : : 5. Calcular el área de la zona sombreada sabiendo que ABCD es un cuadrado de lado los triángulos ACE ACF son equiláteros. A) B) C) D) E) 7

8 Diagonal del cuadrado: AC Semidiagonal: AH Como los triángulos ACE ACF son equiláteros, el lado es La altura 6 HF El área de cada uno de los triángulos: base x altura Área El área de la zona sombreada es el área de los dos triángulos menos el área del cuadrado: Área sombreada x 6. En la figura adjunta, donde EA es perpendicular a AC, sabemos la medida de los siguientes segmentos: AB 8 AC 8 AE 6 AF 6 Cuál es el área del cuadrilátero ABDF sombreado? A) 8 B) C) D) 0 E) 8

9 Trazando DH DG se forman triángulos rectángulos semejantes. El triángulo EAB es semejante al triángulo DGB, estableciendo la relación: AE GD 6 6 6x 8(6 ) x 6 6 x AB GB 8 x El triángulo CAF es semejante al triángulo DHF, estableciendo la relación: AC HD 8 8 x 8 6(8 x) 8 x (8 x) AF HF 6 Resolviendo el sistema: 6x x 6x (8x) 5x 0 (8x) El área del cuadrilátero ABDF será la suma de las áreas de los triángulos DGB DHF el rectángulo AGDH: Área del triángulo DGB x(6 ). Área del triángulo DHF (8 x). 6 6 Área del rectángulo AGDH (8 x)(6 ) 6. Área del cuadrilátero ABDF 6 9

10 7. En el dibujo de la figura, que no está hecho a escala, O es el centro de la circunferencia. Cuánto mide el ángulo a? A) 89º B) 90º C) 9º D) 9º E) 9º Los ángulos A B son iguales a que abarcan el mismo arco AC (propiedad de los ángulos inscritos en una circunferencia). Sabiendo que AB 59º. La suma de los ángulos del triángulo BED suman 80º, con lo cual: a 80º 59º º 89º 8. En el rectángulo ABCD con AB 8 BC 9, tomamos los puntos H E en los lados AB DA respectivamente, siendo BH 6 DE. Las rectas AH BC se cortan en G GF es perpendicular al lado AD. Cuál es la longitud del segmento GF? A) 6 B) 0 C) D) 8 E) 0 0

11 Los triángulos GFE GJC son semejantes, luego sus lados son proporcionales: GF GJ 8 x x 8 x FE JC x Los triángulos GFA GJH son semejantes, luego sus lados son proporcionales: GF GJ 8 x x 8 x 9 FA JH 9 x Resolviendo el sistema 8 x x 8 x 9 x 9 ( )( ) (9 ) 6 sustituendo en 8x 8x 0 x x x 6 El segmento GF FJ JF El área del triángulo equilátero ABC de la figura es. Si doblamos la figura por el segmento BC, el vértice A coincide con el centro del cuadrado MNPQ. Cuál es el área del rectángulo BNPC? A) B) 5 C) 6 D) E) 6

12 Para calcular el área del rectángulo ha que calcular la base la altura. La altura del rectángulo coincide con el lado del triángulo equilátero, cuestión que será nuestro primer objetivo. Aplicando el teorema de Pitágoras: l l l h l l l Como el área del triángulo equilátero es, se tiene: x base l l x altura Área La base del rectángulo BN ED DR DR l l l h l El problema dice que D coincidía con el centro del cuadrado, luego DR es la mitad del cuadrado, por tanto DR BN ED DR El área del rectángulo BNPC BC x BN 0. En una circunferencia ha inscrito un cuadrado de lado "a" sobre sus lados hemos dibujado semicircunferencias como indica la figura. Cuál es el área de la zona sombreada? A) a B) a C) a 8 D) a E) a

13 Cada una de las zonas sombreadas tiene un área igual a: área círculo de radio a (área círculo de radio la semidiagonal - área cuadrado) Semidiagonal del cuadrado: d a a a a Área cuadrado: a Área círculo de radio a r : a a Área círculo de radio la semidiagonal: a a Área una zona sombreada: x a x a a a Área de las cuatro zonas sombreadas: x a a