ELECTROSTÁTICA. CAMPO ELÉCTRICO EN EL VACÍO.

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1 ELECTROSTÁTICA. CAMPO ELÉCTRICO EN EL VACÍO..- PERSPECTIVA HISTÓRICA MATERIA { MOLÉCULAS } { ÁTOMOS}, sendo los átomos y/o moléculas estables por la nteraccón electromagnétca. Desde la perspectva electromagnétca macroscópca, los átomos a su vez se componen de partículas más pequeñas, a las que puede asgnárseles, al menos, dos propedades que son la masa (m y la carga eléctrca (q. ÁTOMOS { NÚCLEO + CORTEZA} mp = 86me mn m p NÚCLEO PROTONES ( p 9 y NEUTRONES ( n qp =, 6 C qn = C CORTEZA me = 9, kg ELECTRONES ( e 9 qe =, 6 C Exsten dos tpos de carga llamadas postva y negatva, de modo que en condcones normales los cuerpos presentan un estado neutro de carga. Nº de cargas postvas es gual al Nº de cargas negatvas. S un átomo o molécula ha perddo o ganado electrones, entonces no está compensado en carga y tenemos un ón que puede ser postvo o negatvo. La carga eléctrca está cuantzada, es decr sólo se puede dar en múltplos de la carga del electrón Q= nq / n Z. e En la nteraccón entre sstemas la carga eléctrca se conserva, lo que quere decr que no se crea n se destruye por frotamento u otras causas, sno que smplemente se transfere entre los sstemas. Entre sstemas no compensados en carga exste una fuerza entre ellos, que es atractva s las cargas de los sstemas son de dstnto sgno y repulsva s las cargas son del msmo sgno...- LEY de COULOMB Charles Coulomb (76 86 determnó la fuerza de nteraccón eléctrca entre cargas puntuales y que ha sdo corroborada expermentalmente a lo largo del tempo desde su nacmento. Esta ley fundamental se expresa

2 La fuerza de nteraccón eléctrca entre dos cargas puntuales { q, r } y{ q2, r 2} es drectamente proporconal al valor de las cargas, nversamente proporconal al cuadrado de la dstanca entre dchas cargas estando drgda según la línea que une dchas cargas qq F k u 2 2 = 2 r2 r2.. Undades de carga S la cargas están stuadas en { q, r = } y{ q, r = r} 2, entonces la fuerza sobre la qq 2 carga q 2 vene dada por F = k u 2 r r De la mecánca conocemos las undades de fuerza y dstanca, pero desconocemos la undad de carga y el valor de la constante de proporconaldad k. Se presentan dos opcones a Fjar k arbtraramente y deducr expermentalmente la undad de carga. b Fjar arbtraramente la undad de carga y medr expermentalmente k. Esta segunda opcón es la elegda por el Sstema Internaconal de Undades (S.I. que fja como undad de carga el CULOMBIO (C defnda como la carga que deberían tener dos cargas puntuales para que stuadas en el vacío a m de dstanca se 9 repelesen con una fuerza de 9 N. A partr de esta defncón se mde expermentalmente k y se observa que no es una constante unversal sno que depende del medo donde estén stuadas las cargas. Así, los medos desde el punto de vsta eléctrco se caracterzan por medo de una magntud llamada CONSTANTE DIELÉCTRICA o PERMITIVIDAD del MEDIO (ε y se expresa el valor de la constante k como k = 4π ε 2 9 Para el vacío ε = ε = 8,85 F/m k = = 9 m/f ; en la ( 4πε expresón anteror F ndca Farados (la undad de capacdad en el S.I. y la fuerza es: 9 qq 2 qq 9 m/f 2 k = F = k u / 2 r = u 2 r 2 r 4πε r ε = 8,85 F/m

3 .2.- PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN Vamos a retocar la ley de Coulomb para generalzar resultados. La poscón de la carga que ejerce la accón, q la vamos a denotar con varables con prma { q, r } y la poscón de la que sufre los efectos con varables sn prma{ qr, }, así la fuerza es qq F( r = k ( La nteraccón entre 2 cargas puntuales es nsufcente para la descrpcón de stuacones reales (más de dos cargas, dstrbucones de carga no puntuales, por lo que para su generalzacón se recurre al prncpo de superposcón (ha sdo amplamente confrmado por la experenca que se enunca como sgue: La fuerza neta sobre una carga puntual de prueba { qr, } debda a un conjunto de n cargas { q, r } = es la suma vectoral de las fuerzas que cada una de ellas ejerce ndvdualmente sobre la carga de prueba. n = q F r kq r r r r ( = (

4 ..- DISTRIBUCIONES DE CARGA Las cargas puntuales (dstrbucones dscretas son una de las formas en que la carga eléctrca puede encontrarse, pero en otras ocasones la carga aparece en forma compacta dando lugar a lo que denomnamos dstrbucones contnuas de carga. Así tenemos las sguentes dstrbucones de carga: q, r. A Dstrbucones DISCRETAS de cargas puntuales { } B Dstrbucones CONTINUAS de carga. En estas suelen dstngurse tpos: B. Dstrbucones VOLÚMICAS de carga. La carga eléctrca total Q se dstrbuye en un volumen defndo V, de modo que podemos asgnar a cada volumen elemental Δ V, del volumen ncal, stuado en r respecto de una referenca, una carga eléctrca elemental Δ q, ΔV Δq / qp Δq Q (Para poder aplcar cálculo dferencal. Defnmos la magntud puntual (magntud en cada punto llamada Densdad volúmca de carga (ρ medante un proceso de paso al límte como Δq dq ρ( r = lm = C/m dq = ρ( r dv ΔV ΔV dv B.2.- Dstrbucones SUPERFICIALES de carga. Es una aproxmacón de la anteror cuando una dmensón es nfntamente más pequeña que las otras dos. En estas la carga eléctrca total Q se dstrbuye en una superfce dada S, de modo que podemos asgnar a cada superfce elemental Δ S, de la superfce de partda, stuada en r respecto de una referenca, una carga eléctrca elemental Δ q, ΔS Δq / qp Δq Q (Para poder aplcar cálculo dferencal. Defnmos la magntud puntual (magntud en cada punto llamada Densdad superfcal de carga ( ρs σ medante un proceso de paso al límte como σ q dq 2 ( r ρ Δ s ( r lm C/m dq ( r ds S S ds σ = = = Δ Δ

5 B..- Dstrbucones LINEALES de carga. Es una aproxmacón de la prmera cuando dos dmensones son nfntamente más pequeñas que una de ellas. En estas la carga eléctrca total Q se dstrbuye en una línea (curva dada Γ, de modo que podemos asgnar a cada trozo de curva elemental Δ l, de la línea de partda, stuado en r respecto de una referenca, una carga eléctrca elemental Δ q, Δl Δq / qp Δq Q (Para poder aplcar cálculo dferencal. Defnmos la magntud puntual (magntud en cada punto llamada Densdad lneal de carga ( ρl λ medante un proceso de paso al límte como λ q dq ( r ρ Δ l ( r lm [ C/m ] dq ( r dl l l dl λ = = =. Δ Δ S las densdades de carga son guales en todos los puntos de una dstrbucón entonces son funcones que no dependen de la poscón y se dce que son dstrbucones de carga unformes., y en todos los casos Q= dq DsQ ( '

6 La fuerza total sobre una carga de prueba, q, debda a un conjunto de dstrbucones se puede escrbr como: n dq = ρ ( r dv q q ( r r F ( r ( r r dq = / dq σ ( r ds 4πε + = r r r r = DsQ ( ' dq = λ ( r dl S en lugar de una carga de prueba puntual tenemos una dstrbucón de prueba aplcamos el prncpo de superposcón para determnar la fuerza total sobre la dstrbucón de prueba..4.- INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO ( E Para descrbr stuacones más generales que las cargas en reposo en el vacío convene defnr un concepto nuevo, ndependente de la carga de prueba, llamado ntensdad de campo eléctrco o smplemente campo eléctrco. El campo eléctrco en un punto cualquera del espaco r, debdo a dstrbucones de carga, se defne como la fuerza ejercda sobre una undad de carga postva y puntual stuada en dcho punto. En consecuenca hacendo q = en la expresón anteror tendremos la ntensdad del campo eléctrco, en funcón de las fuentes de campo (cargas eléctrcas n dq = ρ ( r dv q ( r r E ( r ( r r dq = ( N/C donde dq σ ( r ds 4πε + = r r r r = DsQ ( ' dq = λ ( r dl

7 .5.- POTENCIAL ELECTROSTÁTICO. ENERGÍA ELECTROSTÁTICA ASOCIADA A UNA PARTÍCULA CARGADA. En lo sucesvo, cuando tengamos que usar expresones del campo eléctrco en general utlzaremos su forma ntegral en funcón de las fuentes de campo (las cargas eléctrcas dq = ρ ( r dv ( E ( r = dq ( N/C donde dq = σ ( r ds 4πε DsQ ( ' dq = λ ( r dl S tenemos un campo eléctrco, debdo a dstrbucones de carga, en una regón del espaco y en un punto dado por r colocamos una carga puntual q entonces sobre dcha carga aparece una fuerza F( r = qe( r. Son conservatvos estos campos, s lo es uno lo es el otro pues sólo dferen en una constante multplcatva? Estos campos tenen una estructura smlar al campo gravtatoro por lo que deben ser conservatvos. S F conservatvo U r / F =± U / U es una energía potencal electrostátca ( F S E = conservatvo ϕ( r / E =± ϕ / ϕ es un potencal electrostátca q. de modo que U( r = qϕ ( r Qué sgno elegr? Al gual que con el campo gravtatoro supongamos una carga puntual postva fja, Q, y en sus proxmdades lberamos otra carga puntual q. Esta se verá sometda a una fuerza drgda según la línea que las une y repulsva, de Q haca q, que tenderá a alejarla de la prmera carga ganando velocdad y en consecuenca energía cnétca; ésta se consgue de la únca energía dsponble que es la potencal electrostátca asocada al campo de fuerzas que surge del campo eléctrco, la cual dsmnuye. Como el gradente de dcha energía tene el sentdo de las energías crecentes apuntará desde q haca Q; es decr en sentdo contraro a la fuerza. Conclumos que el sgno convenente en las expresones anterores es el sgno negatvo. S F conservatvo U r / F = U / U es una energía potencal electrostátca ( F S E = conservatvo ϕ( r / E = ϕ / ϕ es un potencal electrostátca q Para determnar el potencal en funcón de las fuentes tenemos en cuenta los r resultados = y = r r, donde las dervacones se entenden sobre las varables sn prmas.

8 De ( dq E ( r = dq = dq = 4πε r r 4πε r r 4πε r r ; DsQ ( ' DsQ ( ' DsQ ( ' donde se ha hecho uso de que la ntegracón se realza sobre varables con prma y la dervacón actúa sobre varables con prma, por tanto dq ϕ ( r = 4πε DsQ En general el potencal electrostátco (o eléctrco debdo a dstrbucones dscretas y contnuas se expresa como n q dq ϕ ( r = ( V 4πε + r r r r = DsQ ( ' La energía electrostátca que posee una partícula {, } punto del campo a potencal ϕ ( r será U( r = qϕ ( r. ( ' mqpor estar stuada en un El campo eléctrco y el potencal eléctrco asocado a una únca carga puntual q, r venen dados por ( ( q r r E r = k y ϕ ( r = k q r r { }

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