Matemáticas Financieras

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1 Matemática Fiaciera Fracico Pérez Herádez Departameto de Fiaciació e Ivetigació de la Uiveridad Autóoma de Madrid Objetivo del curo: Profudizar e lo fudameto del cálculo fiaciero, eceario para u aplicació e poteriore aigatura. Adquiició de lo pricipale cocepto matemático requerido para la valoració de operacioe fiaciera. Adquirir la habilidad de aalizar ituacioe reale relacioada co el cálculo de leye, reta fiaciera, tipo de iteré y operacioe fiaciera.

2 Departameto de Fiaciació e Ivetigació Comercial Coteido del Programa: Tema I. Valoració del diero e el Tiempo I. Capitale fiaciero. I.2 Leye fiaciera. I.3 Capitalizació imple y compueta. I.4 Decueto Simple Comercial y Racioal. Decueto Compueto. I.5 Tipo de Iteré Aual y Tipo de Iteré Fraccioado. I.6 Suma y dedoblamieto de capitale. Tema II. Reta Fiaciera II. Cocepto y claificació de reta. II.2 Valor capital de ua reta. II.3 Valoració de reta cotate. II.4 Valoració de reta variable. II.5 Reta fraccioada. MF Tema III. Operacioe Fiaciera III. Cocepto y claificació de la operacioe fiaciera. III.2 Equivalecia fiaciera. III.3 Saldo Fiaciero. III.4 Operacioe fiaciera imple. 2

3 Departameto de Fiaciació e Ivetigació Comercial Tema IV. Operacioe Fiaciera Compueta IV. Operacioe de amortizació. IV.2 Etudio de la pricipale modalidade de prétamo. IV.2. Sitema fracé. IV.2.2 Cuota de amortizació cotate. IV.2.3 Sitema americao. IV.2.4 Térmio variable. IV.3 Pretamo a tipo de iteré variable. IV.4 Operacioe de cotitució de u capital. Tema V. Cote y Retabilidad de la Operacioe Fiaciera V. Cote o redimieto de la OF Simple. V.2 Cote o redimieto de la OF Compueta. V.3 Operacioe co caracterítica comerciale. V.4 Tipo Aual Equivalete (TAE). EE 3

4 Departameto de Fiaciació e Ivetigació Comercial Tema IV. OPERACIONES FINANCIERAS COMPUESTAS 4

5 Valoració Fiaciera de Operacioe de Fiaciació La fiaciació e la obteció de capital de ua parte de ua operació fiaciera que tiee déficit de fodo, de otra parte de la operació que tiee uperávit. La fiaciació e la operació fiaciera e la que e recibe u capital y e etrega pago futuro e ditito mometo del tiempo. Exite do forma de fiaciació emprearial A CORTO PLAZO A LARGO PLAZO 5

6 Forma de Fiaciació Emprearial a Largo Plazo PROPIA AJENA Capital Social Boo Reerva Obligacioe Prétamo Leaig 6

7 Cote de la Fiaciació Recordemo lo tipo de iteré utilizado e operacioe valorada e leye compueta: i : tipo de iteré efectivo aual i m : tipo de iteré para periodo iferiore al año. Ejemplo: Tipo de iteré meual: i 2 Tipo de iteré trimetral: i 4 j m : tipo de iteré omial aual para operacioe que e realiza e período de tiempo iferiore al año.. Ecuació de equivalecia de i e leye compueta 7

8 IV.2 Pricipale Modalidade de Prétamo E ievitable mecioar que lo PRÉSTAMOS o la pricipal forma de fiaciació emprearial. De hecho, forma parte elemetal de ua operació de iverió extrajera directa (IED). Puede er de do tipo: Operacioe Fiaciera Compueta IV.2 Pricipale Modalidade de Prétamo A tipo Fijo: cuado etamo ate ua operació a corto plazo. A tipo Variable: Tipo de referecia + diferecial. E ete tipo de prétamo e realiza ua reviió periódica utilizado u método. Lo prétamo tiee cote de carácter admiitrativo: comiioe de apertura, etudio etc. 8

9 IV.2 Pricipale Modalidade de Prétamo E la operació fiaciera de prétamo iterviee do parte: Pretatario: - recibe u efectivo - e fiacia co u cote - tiee u paivo fiaciero - e el deudor - tiee la obligació de etregar ua cotrapretació equivalete al efectivo recibido Pretamita: - etrega el efectivo (pretació) - ivierte co ua retabilidad - tiee u activo fiaciero - e el acreedor - tiee el derecho a recibir la cotrapretació equivalete al efectivo etregado 9

10 IV.2 Pricipale Modalidade de Prétamo Lo prétamo deberá documetare e u cotrato e el que e reflejará toda la codicioe e cuato a lo compromio de la do parte (Pretatario-Pretamita). Aí, lo pricipale puto que debe coteer cualquier cotrato de u prétamo o: Tipo de iteré omial. Periodicidad que producirá el devego de lo iteree. Comiioe de aplicació. Derecho del pretatario ate u poible reembolo aticipado 0

11 IV.2 Pricipale Modalidade de Prétamo E importate detacar que e cualquier operació fiaciera de prétamo e la que iterviee do parte, lo capitale que etrega amba parte deberá de er equivalete. Dicha equivalecia e platea para u tipo de iteré de valoració, el tipo de iteré efectivo aual "i", aplicado leye fiaciera ormalmete compueta. La ecuació de equivalecia fiaciera e el orige de la operació, cuado e etrega el omial del prétamo C o, e la que iguala e el mometo actual lo capitale que etrega la do parte, pretamita y pretatario: C ( i) 0 a Etrega el Pretamita Recibe el Pretatario Recibe el Pretamita Etrega el Pretatario

12 IV.2 Pricipale Modalidade de Prétamo La leye fiaciera que ormalmete e utiliza e operacioe fiaciera de prétamo o la compueta, ya que geeralmete o de largo horizote ecoómico. E ete tipo de operacioe compueta, lo térmio de reta (vito e el tema II) e cooce como cuota a pagar o térmio amortizativo (C ). (Ete e el orige de lo térmio fiaciero que e utiliza e la práctica: meualidade, trimetralidade emetralidade, ) Má cocepto: El orige del prétamo: e cuado el pretamita etrega el primer capital (C 0 ). El fial del prétamo: mometo e el cual el pretatario etrega el último capital co lo que alda la deuda (C ). 2

13 IV.2 Pricipale Modalidade de Prétamo El equema gráfico que repreeta lo pago periódico a y de la deuda viva o aldo fiaciero del prétamo e cada mometo del tiempo C (=,2,...) e: C 0 C C 2 C 3 C C a a 2 a 3 a a t 0 t 2 t t 3 t t Siedo: C 0 = Capital pretado C = Capital vivo o deuda pediete e cada período. a = Cuota a pagar o térmio amortizativo. 3

14 IV.2 Pricipale Modalidade de Prétamo E la valoració de operacioe fiaciera de prétamo o ditita la icógita por calcular: Cuota a pagar (a ). Cuota de amortizació (A ). Cuota de iteré (I). Cuadro de amortizació del prétamo (Icluye a, A, I má la deuda viva (C ) y el capital amortizado e cada mometo (M ). TAE. Cote efectivo del Pretatario. 4

15 IV.2 Pricipale Modalidade de Prétamo E operacioe compueta, e la que el pretatario etrega vario capitale para la amortizació del prétamo, la valoració fiaciera del prétamo e puede realizar co lo iguiete método: Método fracé o de pago cotate o de térmio amortizativo a cotate. Método de cuota de amortizació A cotate Método americao (Simple y Sikig Fud) Método alemá 5

16 IV.2. Método Fracé Método Fracé: El método fracé e caracteriza porque lo térmio amortizativo a o CONSTANTES: a a y la operació e valora co u olo tipo de iteré. ***Ecuació de equivalecia: 2... Obérvee que la cotrapretació e ua reta de cuatía cotate, temporal y popagable. Aí, coociedo el capital pretado (C 0 ), el tiempo del prétamo () y el tipo de iteré (i), podemo obteer el térmio amortizativo (a ). a a C a 0 C0 a* a i a i 6

17 IV.2. Método Fracé ***Capital vivo: El capital vivo o cuatía pediete de amortizar ua vez tracurrido período e halla por la derecha del horizote temporal. E decir, ua vez etregado el primer térmio amortizativo e le reta al capital uperviviete de pago. Aí, el reultado al aplicar ditito método ería: C a * a i Método propectivo C C0 *( i) a * i Método repropectivo Ojo, la cotrapretació futura forma ua reta cotate temporal co - capitale. 7

18 IV.2.2 Método de Cuota de Amortizació Cotate Método de Cuota de Amortizació Cotate: E ete cao particular e aaliza cada cuota a pagar o térmio amortizativo: A A 2... Efectuádoe la valoració a tato cotate i. Aí, cuado lo dato que coocemo C 0, e i, la obteció de la cuota de amortizació, el capital vivo y el capital amortizado o imple de calcular. ***Cuota de amortizació, capital vivo y capital amortizado: C0 C A A 0 * C ( )* A * C0 A A 8

19 ***Cuota de iteree: Sabemo que e cualquier modalidad de prétamo la cuota de iteree e obtiee multiplicado lo térmio amortizativo por el tipo de iteré, lo iguiete e comprobaría co eta expreió matemática de fució NO lieal: ***Térmio amortizativo: Operacioe Fiaciera Compueta IV.2.2 Método de Cuota de Amortizació Cotate I C * i * C0 * i Dado que cada térmio amortizativo e igual a la uma de la cuota de iteree y cuota de amortizació ( a C * i ( C C ) I A ). E ete tipo de método e verifica aí: a C * i A C 0 * ( )* i 9

20 IV.2.3 Método Americao Método americao imple : Ete tipo de método, durate lo primero período de maduració e paga úicamete el aldo de lo iteree, efectuádoe aí la amortizació del prétamo e el ÚLTIMO PERÍODO. Por tato: A A A 0 y A C Ete método e el má ecillo de todo, ya que al NO amortizare ada e lo - período, el capital vivo al fial de cada período e igual a C 0 y por tato, el capital amortizado e 0 Por qué? Si embargo, tiee u icoveiete (dede el puto de vita del pretatario) y e que al fial de la operació fiaciera de prétamo tedrá que devolver el total pretado, lo que puede origiar u problema de Teorería. Solució: crear u fodo para preveirlo. 20

21 Método americao Sikig Fud: Operacioe Fiaciera Compueta IV.2.3 Método Americao Ete método, a diferecia del aterior, combia do operacioe: º Amortizació del prétamo utilizado el método americao imple. 2º Cotitució de u capital mediate aportacioe a u FONDO que permita obteer C 0 e la primera operació. Ete método, utilizado e Etado Uido, viee a olucioar el problema del método imple y e le cooce como Sikig Fud. Ua vetaja del Sikig Fud e que el fodo puede cocretare co otra etidad fiaciera y el tipo de iteré ormalmete uele er diferete a la baja para poder bridar liea. 2

22 IV.2.4 Método Alemá Método alemá: E Alemaia e uual la amortizació de prétamo co el pago aticipado de lo iteree, logrado que éto e pague al pricipio de cada período e vez de al fial como ocurre e lo ateriore método aalizado. E geeral, el método alemá e utiliza e paíe europeo. La relació etre el tipo de iteré aticipado (i*) y el tipo de iteré que vece e cada período (i), e obtiee a partir de la iguiete equivalecia matemática: i* ( i) i* i i i i * i * 22

23 IV.2.4 Método Alemá Recordado que la ley fiaciera de decueto compueto puede expreare de do forma: ( d ) ( i) iedo d i* el tato aticipado e i el tato ordiario. Ua particularidad del método alemá e que lo térmio amortizativo o cotate. La ecuació de equivalecia fiaciera e el puto de orige C 0, e comprueba aí: C 0 ^*( i*) a* ( i*) i*) i*) depué de acar factor comú a y implificado y umado lo térmio de progreió geométrica de razó que hay detro de lo corchete, obteemo: C0^ a* ( ( i*) C ( 2. i* i*)... ( ( i*) 23

24 IV.2.4 Método Alemá ***Capital vivo: C por el método propectivo, e obtiee aí: C * a * ( i*) i* ***Cuota de amortizació Co razó geométrica : ( i*) A * A * i A * *( *)... *( i*) 24

25 IV.2.4 Método Alemá Cao práctico. Ejemplo 2: El BBVA cocede u prétamo de euro a amortizar e 6 año a la eléctrica Iberdrola. Se aplica el método alemá a u tipo de iteré aticipado del 4% aual. Se pide: A) Calcular la aualidad cotate que lo amortiza. B) Obteer el Capital vivo ate de aboar la cuarta aualidad. C) Calcular la cuota de amortizació de la tercer período. 25

26 IV.2.4 Método Alemá A) Calcular la aualidad cotate que lo amortiza. C0^ a* C (. i* i*) C 0 ^ a?? *0,4 6 ( 0,4) , ,3euro 26

27 IV.2.4 Método Alemá B) Obteer el Capital vivo ate de aboar la cuarta aualidad: C * a * ( i*) i* 23.52,3* ( 0,4) 0, ,3* 0, ,4 6.22,60euro 27

28 IV.2.4 Método Alemá C) Calcular la cuota de amortizació de la tercer período. A * A * *( i*) A * ,3*( 0,4) 3 3 * A ,3*0, ,5euro 28

29 IV.3 Prétamo Hipotecario Operacioe Fiaciera Compueta IV.3 Prétamo a Tipo de Iteré Variable So prétamo cuya caracterítica pricipal coite e que el pretatario (el que aume la deuda) hipoteca biee imueble como garatía de la operació fiaciera de fiaciació. Por tato, el riego de impago para el pretamita cae igificativamete por lo que el tipo de iteré deberá decrecer tambié Por qué? Para la amortizació de ete tipo de prétamo e puede utilizar cualquiera de lo método vito ateriormete para calcular la icógita de éte. Actualmete, lo prétamo hipotecario cocedido e Epaña upera lo milloe de euro (u 25% del PIB epañol). Por ello, exite u mercado hipotecario epecífico regulado por el Etado e la que participa cotatemete etidade fiaciera. 29

30 IV.3 Prétamo a Tipo de Iteré Variable La pricipale caracterítica de u prétamo hipotecario o: Ua elevada cuatía repecto a la capacidad fiaciera del pretatario. Duració a largo plazo, ormalmete uperior a 0 año. Lo térmio amortizativo puede er cotate o e progreió geométrica. El tipo de iteré puede er fijo o variable, iguiedo a u bechmark, por ejemplo el Euribor. Etá ujeto al impueto de Tramiioe Patrimoiale. 30

31 IV.3 Prétamo a Tipo de Iteré Variable Exite do tipo de prétamo hipotecario: Prétamo Hipotecario a Tipo Fijo: i taa fija (ormalmete omial). Térmio amortizativo cotate o creciete e progreió geométrica. El método fracé e el má utilizado. Se puede cacelar aticipadamete el prétamo (Pealizació: etre % y 3% de C ) 3

32 Prétamo Hipotecario a Iteré Variable: Operacioe Fiaciera Compueta IV.3 Prétamo a Tipo de Iteré Variable El tipo de iteré a aplicar e t 0, t, t 2,,t o e cooce e el mometo iicial de la operació fiaciera. Aí, i etá e fució de la evolució de ditito bechmark: Euribor (a año). EURopea IterBak Offered Rate. Media de lo tipo de iteré ofertado por ua muetra de baco co el mayor volume de egociació e la eurozoa TIR. Taa itera de retabilidad de la deuda pública. TAE. Taa aual equivalete de lo prétamo hipotecario de vivieda libre que aplica lo baco o la caja de ahorro. Tipo de iteré iteracioale: LIBOR (Lodo Iterbak Offered Rate) y Primate Rate 32

33 El tipo de iteré del prétamo hipotecario e cada período e obtiee umado al tipo de referecia u marge o diferecial (pread) que e fija e el mometo iicial de la operació. Éte tipo de iteré uele ocilar etre u 0,25% y u,5%. Matemáticamete: Operacioe Fiaciera Compueta IV.3 Prétamo a Tipo de Iteré Variable i i R, i d dode: ir, id Tipo de iteré de referecia (el que varía cada período) Marge o diferecial (que iempre e fijo) 33

34 IV.3 Prétamo a Tipo de Iteré Variable Para calcular lo térmio amortizativo de cualquier período: a C * i A E cocluió: El prétamo hipotecario co iteré variable e ua operació podetermiada, ya que lo tipo de iteré que e deberá de aplicar o e cooce e el mometo iicial de la operació. 34

35 IV.4 Operacioe de cotitució de u capital IV.4 Operacioe de Cotitució de Capitale Ete tipo de operacioe compueta etá caracterizada por er de pretació múltiple y cotrapretació úica al fial del horizote temporal. Su úico objetivo e la formació de UN CAPITAL (C ), mediate la etrega de cuatía periódica que e deomia TÉRMINOS CONSTITUTIVOS. Exite do modalidade de cotitució de capitale: Impoicioe prepagable: ólo tracurre u período dede la última impoició hata la retirada de C. Impoicioe popagable: aquella e la que coicide la última impoició co la retirada de C. 35

36 Bibliografía: De Pablo López, Adre (2002). Valoració Fiaciera. Editorial Cetro de Etudio Ramó Arece, S.A. Tercera Edició. Medoza Reco, Carme (2009). Matemática Fiaciera. UAM Edicioe. Navarro, Elieo y Nave, Jua (200). Fudameto de Matemática Fiaciera. Editor Atoi Boch. 36

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