Unidad 4: Resolución de triángulos.

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1 Unidad 4: Resolución de triángulos 1 Unidad 4: Resolución de triángulos. 1.- Resolución de triángulos rectángulos. La resolución de triángulos consiste en calcular, a partir de los datos que nos proporcionan, los tres lados y los tres ángulos del triángulo a resolver. Para la resolución de triángulos rectángulos existen algunas relaciones básicas que conviene recordar: Teorema de Pitágoras: La hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo: También se hará uso de las relaciones trigonométricas que hemos visto en el tema anterior. 1.- Resuelve los triángulos rectángulos correspondientes considerando que  es el ángulo recto. 2.- Si nos situamos a 40 metros de la chimenea de una fábrica la vemos bajo un ángulo de 26º. Qué altura tiene? Considera que los ojos del observador están situados a 175cm del suelo. 3.- Una barca está atada a la orilla de un canal con una cuerda de 8 metros. En cierto momento, esta cuerda forma un ángulo de 38º con el borde. A qué distancia de la orilla se encuentra la barca? 4.- Calcula los ángulos de un rombo de perímetro 20 metros y de diagonal mayor 8 metros. 5.- La altura sobre el lado desigual de un triángulo isósceles mide 10 cm y el ángulo desigual del triángulo es de 30º. Halla su perímetro y su área. 6.- Qué ángulo forman entre sí las diagonales de un rectángulo de 10 cm de base y 6 cm de altura? 7.- Un pentágono regular está inscrito en una circunferencia de 20 cm de radio. Determina la medida de su lado.

2 Unidad 4: Resolución de triángulos Desde un punto de la calle se ve el punto más alto de la torre de la iglesia bajo un ángulo de 45º; si se retrocede 40 metros, se ve bajo un ángulo de 30º. Calcula la altura de la torre. 9.- Desde un punto situado a nivel del mar se ve la cima de una montaña con un ángulo de elevación de 24º, y un faro de 40 metros situado sobre la cima de la montaña con un ángulo de 29º Cuál es la altura de la montaña? 2.- Teorema del Seno: Sea ABC un triángulo cualquiera de ángulos cumple: y lados a, b y c. Se El teorema del seno nos permite resolver triángulos cualesquiera en los siguientes casos: Conocido un ángulo, su lado opuesto y otro lado. Conocidos dos ángulos y uno de sus lados opuestos Resuelve los siguientes triángulos: 11.- Dos personas observan un helicóptero bajo ángulos de 46º y 54º, respectivamente. Si están separadas 500m, a qué altura está el helicóptero? 3.- Teorema del Coseno: Sea ABC triángulo cualquiera de ángulos cumple: y lados a, b y c. Se Con este teorema podemos resolver triángulos en los siguientes casos: Conocido dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Conocidos dos lados y el ángulo que forman.

3 Unidad 4: Resolución de triángulos Resuelve los siguientes triángulos: 13.- Estamos situados en un barco en alta mar y sabemos que la distancia del barco a las ciudades A y B son 35km y 56km respectivamente. Si el ángulo de la visual entre las dos ciudades es de 45º, calcula la distancia entre las dos ciudades. 4.- Resolución de triángulos no rectángulos. Con los teoremas del seno y del coseno, junto a las propiedades de los triángulos, disponemos de todas las técnicas necesarias para resolver un triángulo cualquiera siempre que conozcamos dos lados y un ángulo, dos ángulos y un lado o bien los tres lados. En el caso de conocer sus tres ángulos solamente, es imposible resolver el triángulo, ya que existen infinitos triángulos que tienen los tres ángulos iguales. Dado que al resolver triángulos manejaremos decimales, para evitar muchos errores, tomaremos como convenio redondear hasta la centésima y utilizaremos aquellas fórmulas en las que se manejan los datos que nos facilita el problema Resuelve los siguientes triángulos En una construcción, dos vigas de 10m están soldadas por sus extremos y forman un triángulo con otra viga de 15m. Halla los ángulos que forman entre sí En un romboide, los lados miden 5cm y 8cm y una de sus diagonales mide10cm. Calcula la medida de sus cuatro ángulos En una pared hay dos argollas distantes 8 metros entre sí. Un niño ata cada extremo de una cuerda a las argollas y se aleja de la pared hasta que la cuerda queda tensa. En ese momento, la cuerda forma ángulos de 50º y 37º con la pared. a) Cuánto mide la cuerda?

4 Unidad 4: Resolución de triángulos 4 b) A qué distancia está el niño de la pared? 18.- Dos exploradores se han perdido y deciden seguir caminos distintos para conseguir ayuda. Para saber dónde está el otro en cada momento mantienen un rumbo fijo y sus trayectorias forman un ángulo de 54º. Si uno camina a 5 km/h y el otro lo hace a 4 km/h, a qué distancia se encuentran al cabo de 2 horas? Y después de 6 horas? 19.- El ancho de un escenario de teatro mide 8m. Las localidades que hemos comprado están situadas a una distancia de 6m y 12m de cada uno de los extremos laterales del escenario. Cuál es el ángulo de visión que tendremos para ver la representación? 5.- Cálculo de áreas de triángulos. Sea ABC triángulo cualquiera de ángulos y lados a, b y c. Se cumple: Cuando conocemos solamente los tres lados de un triángulo, es posible calcular el área del triángulo utilizando la fórmula de Herón: siendo, p= (semiperímetro) 20.- Calcula el área de un triángulo de lados y 21.- Calcula el área de un triángulo cuyos lados miden 8cm, 5cm y 7cm El perímetro de un triángulo equilátero mide 60cm. Calcula su área y su altura Calcula el área de los siguientes triángulos: 24.- Uno de los ángulos de un trapecio isósceles mide 65º, los lados iguales miden 8cm y su diagonal es de 15cm. Determina su área. Problemas 25.- Un mástil se sujeta al suelo por dos cables de acero que forman ángulos de 43º y 57º 50 con este, respectivamente. Si las distancias de los cables al mástil suman 15 metros, cuál es la altura del mástil?

5 Unidad 4: Resolución de triángulos Sabiendo que el área de un triángulo rectángulo es de 28 cm 2 y que uno de sus ángulos mide 60º: a) Cuánto mide cada uno de sus ángulos? b) Calcula la longitud de sus lados y su perímetro Dos focos, situados en el suelo y en lados distintos, iluminan el campanario de una iglesia. La suma de las distancias de los focos hasta el pie de la torre es de 100m. Si los ángulos que forman los haces de luz con el suelo son de 32º y 46º, respectivamente, qué altura tiene el campanario? 28.- Antonio mide 1,70 metros y observa que su sombra es de 50 centímetros a cierta hora del día. Con qué inclinación llegan los rayos solares a esa hora? 29.- Dos barcos salen simultáneamente de un puerto con rumbos que forman un ángulo de 82º. El primero navega a una velocidad de 18 millas por hora, y el segundo, a 25 millas por hora. Si mantienen inalterados los rumbos y el alcance de sus equipos de radio es de 180 millas, podrán ponerse en contacto al cabo de 3 horas? 30.- Calcula el área de un pentágono regular de 15 cm de radío. Soluciones: ,26m 3.- 4,93m º15 36,7 y 73º44 23, ,68cm y 26,8cm 2

6 Unidad 4: Resolución de triángulos º 1 50, ,51cm ,24m m ,85m ,86km 14.- e) º10 50,7 y dos ángulos de 41º24 34, ,95m y 3,69m ,36km y 25,08km º 19 54, , ,83m 26.- a) 30º b) lados 11,37; 5,68 y 9,85 cm y perímetro 26,9cm ,93m º36 37, sí ,375