Tema 4. Relatividad especial

Transcripción

1 1. Masa relativista Tema 4. Relatividad espeial Terera parte: Dinámia relativista La ineria de un uerpo es onseuenia de su resistenia al ambio en su estado de movimiento, y se identifia usualmente on la masa. Clásiamente su valor depende de la antidad de materia presente en el uerpo. Sin embargo, uando un uerpo aelera uniformemente en su propio sistema de referenia, respeto a un observador exterior tendrá una aeleraión no uniforme sino dereiente que evite que el uerpo pueda alanzar la veloidad de la luz. El observador exterior onluirá que la resistenia al ambio de movimiento ree al aumentar la veloidad. Por tanto, la relatividad lleva a la onlusión de que la ineria, o masa, ree on la veloidad, y depende tanto de la antidad de materia presente omo de su estado de movimiento. La masa de un uerpo medida en su propio sistema de referenia en reposo se denomina masa en reposo, y su masa total o masa relativista uando se mueve siempre es mayor que la masa en reposo. En partiular, puede deduirse la expresión general m0 mv = =γ m0 V 1 siendo m 0 la masa en reposo. En la físia lásia, el momento lineal se define omo el produto de la masa y la veloidad. En relatividad, tal definiión se mantiene, pero la masa debe definirse omo masa relativista.. Leyes de onservaión En la físia lásia, las antidades dinámias más importantes son las que se onservan durante las interaiones. Por ejemplo, uando dos uerpos olisionan entre sí la masa total, energía y momento después de la olisión son iguales a sus valores antes de la olisión. El prinipio de relatividad demanda que las leyes de la físia sean las mismas en todos los sistemas de referenia ineriales. La propiedad más importante del momento lineal en la meánia lásia es su onservaión en sistemas errados. Este resultado se deriva de las leyes de Newton en ausenia de fuerzas exteriores. En la meánia relativista hemos visto que la masa total

2 de un uerpo en movimiento siempre es mayor que su masa en reposo. Definimos por tanto el momento relativista en la forma γ 0 p = m V V = mv e imponemos omo prinipio la onservaión del momento relativista de un sistema errado en todos los sistemas ineriales de referenia. El trabajo realizado sobre un uerpo es igual al produto de la fuerza apliada por la distania reorrida en la direión de la fuerza. Si la ineria de un uerpo aumenta on la veloidad esto implia que la fuerza que apliamos produe una aeleraión dereiente. Ya que el trabajo realizado no varía signifiativamente la veloidad del uerpo, se transforma en una energía interna que almaena el uerpo. La onlusión es que la energía y la masa se deben reinterpretar de forma onjunta en relatividad. En partiular, se satisfae la relaión de Einstein entre la energía total de un uerpo y su masa relativista γ E = mv = m y esta es la expresión que tomaremos para definir la energía relativista de un uerpo. Además imponemos omo prinipio la onservaión de la energía relativista en un sistema errado en todos los sistemas ineriales de referenia. La relaión entre el momento lineal relativista de un uerpo y su energía total que generaliza la expresión no relativista es E= p + m que se queda reduida en el aso de una masa en reposo nula, en el aso de los fotones, E= p En la físia lásia la energía inétia es una antidad signifiativa que tiene una fórmula simple. La fórmula newtoniana es sólo una aproximaión a la energía inétia relativista. En relatividad, la energía inétia se define omo la diferenia entre la energía total de un uerpo y su energía en reposo, en ausenia de movimiento. Por tanto, la energía inétia es la energía adquirida por el uerpo debido a su movimiento. Tiene la expresión ( γ 1) K = E E = m 0 0 Por último, las unidades de medida en relatividad son diferentes que en la físia lásia, prinipalmente debido al ambio de magnitud de las antidades físias. La energía se mide en MeV y el momento lineal en MeV /

3 Problemas Resueltos 4.16 Una partíula de masa en reposo m, es alanzada por un fotón de energía Q, que queda absorbido. Calular la veloidad final del uerpo ompuesto, si la partíula iniialmente estaba en reposo. Por onservaión de la energía relativista E = m + Q siendo E la energía del uerpo ompuesto, después de la absorión del fotón. El fotón no tiene masa en reposo, por lo que la expresión de su energía relativista es Q = p siendo p el momento lineal del fotón. Por onservaión del momento lineal, p será el momento del uerpo ompuesto. Por tanto, el uerpo ompuesto tiene momento lineal p y energía E. La veloidad viene dada por la expresión p V = E on lo ual Q V = Q+ m 4.17 Un fotón de energía Q hoa on un eletrón en reposo, el ual retroede según la direión dada por el ángulo φ. El fotón se dispersa según la direión dada por el ángulo θ. Calular la energía final del fotón y su longitud de onda. e fotón e θ φ fotón Por onservaión del momento lineal, en la direión del fotón inidente Q Q = osφ + p osθ siendo Q la energía del fotón inidente, Q' la energía del fotón emergente, y p el momento del eletrón después de la olisión. La onservaión del momento en la direión perpendiular a la direión del fotón inidente se esribe

4 Q 0= senφ psenθ La onservaión de la energía relativista es Q+ m = Q + E siendo m la masa en reposo del eletrón y E su energía final, que se relaiona on su momento final p a través de E = p + m Primero eliminamos E. Esribimos la euaión de onservaión de la energía en la forma ( ) 4 Q+ m Q = p + m Después eliminamos el ángulo θ. Para ello, esribimos las euaiones de onservaión del momento en la forma posθ = Q Q osφ psenθ = Q senφ elevamos al uadrado y sumamos resultando p = Q + Q QQ osφ Por último, eliminamos p. De la última euaión y de la onservaión de la energía, obtenemos Desarrollando el lado izquierdo Q+ m Q = Q + Q QQ osφ + m 4 Q Q m = QQ osφ Despejando Q', la energía final del fotón, obtenemos = + 1 osθ Q Q m De la relaión entre la longitud de onda del fotón y su energía Q = hν = h λ obtenemos la relaión entre las longitudes de onda del fotón inidente y del fotón emergente h λ = λ + ( 1 os θ) m La olisión elástia entre un eletrón y un fotón, tal omo se ha desarrollado aquí, se onoe omo efeto Compton, y la longitud de onda araterístia

5 h λ = m se onoe omo la longitud de onda de Compton Calular la energía umbral del proeso P1 + P P + N + π + en el que un protón P 1 inide sobre otro protón en reposo olisión un protón P, un neutrón N y un pión π +. Las masas en reposo son m π = 140 MeV m P = m N = 938 MeV P y se produe en la La energía umbral es la energía inétia del protón inidente tal que las partíulas finales tienen energía mínima. Tomemos iniialmente el sistema de referenia en el que el sistema de los dos protones iniiales tiene momento nulo. En este sistema P 1 y P poseen un momento lineal del mismo módulo y de signo ontrario y la misma energía. En este sistema, el proeso umbral orresponde a una veloidad nula de las partíulas finales PNπ,, +. Si V es la veloidad de los protones iniiales en este sistema, por onservaión de la energía, se debe satisfaer m( P) = m( P) + m( N) + m( π ) V 1 de donde obtenemos la veloidad V de los protones en el sistema de momento total nulo, que satisfae 1 1 m( π ) = 1+ V m( P) 1 Para alular la veloidad de P 1 en el sistema del laboratorio, donde P posee una veloidad nula, vemos que según el teorema de adiión relativista de veloidades U V 0 = V( P ) = UV 1+ la veloidad U relativa entre ambos sistemas es igual a V. Con esto, la veloidad de P 1 respeto al sistema del laboratorio es V + V V V( P1 ) = = V V 1+ 1+

6 La energía inétia umbral será K u = E P1 m P resultando 1 V ( P1 ) Ku = m( P) 1 1 Desarrollando el radiando, obtenemos on lo ual, y ( V ) 1 4V V P 1 = 1 = + V + V V ( P) V V 1 1= 1= V V K V u = m ( P ) V Introduiendo el valor de V obtenido anteriormente, on lo ual, m( P) m( π ) ( π) ( π) + 4 ( π ) V m m m P = 1 m P = + m P + m ( π) ( π) V m m = + V m P m P y la energía umbral queda definitivamente m( π) m( π) m( π) Ku = m( P) + = + m( π ) m( P) mp m( P) 4.19 Una partíula de masa en reposo m, inide on energía E sobre otra partíula idéntia en reposo. Las dos partíulas se separan on energías iguales. Calular el ángulo que forman sus direiones on la direión iniial. Por onservaión del impulso y de la energía relativista, el ángulo θ formado on la direión iniial es el mismo para las dos partíulas, si bien se desplazan por ambos lados respeto de la direión iniial. De aquí, p = p osθ E+ m = E

7 siendo E' y p' la energía y el impulso de una de las partíulas finales. Con la definiión de energía relativista 4 E = m + p E = m + p obtenemos, a partir de las euaiones de onservaión junto on 4 ( ) E = m 4 + p os θ ( osθ) = 4 os θ = os θ( 4 4 ) 4 p p E m El último fator lo desarrollamos de la siguiente forma 4E 4m = E + m E m = E + 3m E m 4 on lo ual el ángulo de dispersión satisfae Simplifiando obtenemos 4 E = m + os θ E+ 3m E m os E + m θ = E+ 3m Problemas Propuestos 4.0 Una partíula en reposo, on masa en reposo m, emite un fotón de energía Q. Calular la masa en reposo de la partíula después de la emisión. Soluión: M m m Q = 4.1 Una partíula on masa en reposo m y energía inétia m, hoa on una partíula en reposo de masa m, y se adhiere a ella. Calular la masa en reposo de la partíula ompuesta. Soluión: M = 17m 4. Calular la energía inétia umbral del proeso P1 + P P1 + P + P3 + P en el que un protón P 1 inide sobre otro protón en reposo P y se produe un protón P 3 y un antiprotón P. Las masas en reposo son

8 m P = m P = 938 MeV Soluión: K = 6m( P) u 4.3 Una partíula de masa en reposo m, se desintegra en dos partíulas on masas en reposo m 1 y m. Calular las energías de las partíulas emitidas. m + m1 m E1 = m Soluión: m + m m1 E = m 4.4 El mesón K 0 se desintegra formando piones argados on masas en reposo 0 + idéntias, según el proeso K π + π. Las masas en reposo son ( π ) 0 m K = MeV m = MeV Determinar la veloidad de los piones resultantes en la desintegraión de un mesón en reposo. Soluión: 1 4 m π V = m K