Tutorial MT-b8. Matemática Tutorial Nivel Básico. Triángulos II

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1 M ate m átia Tutorial MT-b8 Matemátia 006 Tutorial Nivel Básio Triángulos II

2 Matemátia 006 Tutorial Triángulos II Maro teório: 1. Triángulo retángulo: Es aquel triángulo que posee un ángulo reto. Cada uno de los lados que forman el ángulo reto de un triángulo retángulo se llama ateto, mientras que el lado opuesto al ángulo reto reibe el nombre de hipotenusa. Además en un triángulo retángulo ada ateto puede ser onsiderado omo base y omo altura. a b a, b son atetos y es hipotenusa Área = a b. Teorema de Pitágoras: Pitágoras fue un filósofo y matemátio griego que vivió en el periodo antes de Cristo. Místio y aristórata que fundó la Esuela Pitagória, un tipo de seta uyo símbolo era un pentágono estrellado, y que se dediaba prinipalmente al estudio de la matemátia, la astronomía y la filosofía. Se le atribuye el famoso teorema que lleva su nombre el ual plantea que en un triángulo retángulo, el uadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los uadrados de los atetos. a = a + b b Ejemplo 1: = = = 5

3 Ejemplo : 6 10 x 3. Tríos pitagórios 10 = 6 + x 100 = 36 + x restando 36 a ambos lados de la euaión = x restando 64 = x alulando raíz uadrada a ambos lados 8 = x Matemátia 006 Los lados de triángulos retángulos que satisfaen el teorema de Pitágoras son onoidos omo tríos pitagórios, algunos de los tríos pitagórios más utilizados son: Cateto Cateto Hipotenusa Teorema de Eulides Eulides fue un matemátio. Fundador de la esuela de matemátias de Alejandría. No se sabe ual es su feha exata de naimiento y se ree que se eduó en la Esuela Pitagória de Atenas. Esribió sobre astronomía, músia, óptia y otras materias, sin embargo, la obra que le dio fama universal fueron Los Elementos, trabajo uya mayor parte es una oleión de los trabajos de sus predeesores, resumido en 13 libros o apítulos que inluyen 465 proposiiones, muhas de las uales no son de geometría sino de teoría de números y de álgebra, esrita omo una sola adena dedutiva y que por ientos de generaiones se ha onservado omo un ejemplo de lógia matemátia. Es el reador del famoso teorema que lleva su nombre el ual esta basado en una serie de igualdades en triángulos retángulo. C b h a ABC: triángulo retángulo en el vértie C A q H p B a = p b = q h = p q h = a b 3

4 Matemátia 006 Tutorial Ejeriios: 1. Los atetos de un triángulo retángulo son 4 y 5, uánto mide su hipotenusa?. Los atetos de un triángulo retángulo son 7 y 3, uánto mide su hipotenusa? 3. Uno de los atetos de un triángulo retángulo mide 4 y su hipotenusa mide 5, uánto mide su otro ateto? 4. En un triángulo ABC retángulo en C la hipotenusa mide 13 m y uno de los atetos mide 5 m, uánto mide la h? 5. Si dos lados de un triángulo retángulo miden 4 m, el(los) valor(es) del terer lado puede(n) ser 6. Uno de los atetos de un triángulo retángulo mide 1 m, su hipotenusa mide 15, uánto mide el área de diho triángulo? A) 9 m B) 15 m C) 36 m D) 54 m E) 54 m 7. El área de un triángulo retángulo es 10 m, si uno de sus atetos mide 5 m, uál es el valor de la hipotenusa? A) 4 m B) 5 m C) 41 m D) 41 m E) 15 m 4

5 8. En un triángulo ABC retángulo en C, on atetos 6 mm y 8 mm, Cuanto mide h? A) 4,8 mm B) 9,6 mm C) 1 mm D) 4 mm E) 48 mm Matemátia 006 Para ontestar las preguntas 9, 10 y 11 utilie la siguiente figura C b h a A q H p B 9. En la figura, Si a = 9 y = 15, entones el valor de h es? A) 18 5 B) 36 5 C) 5 D) 1 E) En la figura, si h = 6 y p = 18, entones el valor de q es? A) B) 6 C) 36 D) 48 E) 54 5

6 Matemátia 006 Tutorial 11. En la figura, si b = 1 y = 13, entones el valor de p es? A) 5 B) 15 C) 5 D) 13 5 E) uáles de los siguientes grupos de números orresponden a tríos pitagórios? I) 3, 4 y 5 II) 1, y 3 III) 5, 8, 1 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II, III 13. Cuál es la diferenia positiva entre las áreas de un triángulo retángulo de atetos 3 y 4, y un triángulo retángulo de hipotenusa 10 y uno de sus atetos 6? A) 5 B) 8 C) 18 D) 4 E) Cuánto mide el lado del siguiente triángulo? A) 5 B) 6 C) 8 D) 10 E) Se requiere informaión adiional 3 4 6

7 15. En la figura ABC triángulo retángulo en A, BCD triángulo retángulo en B, AB = 8, AC = 6, BD = 5, entones el trazo CD= A) 5 C B) 10 C) D) 10 A 8 B E) 5 5 D Matemátia 006 Respuestas Preg. Alternativa D 7 D 8 A 9 B 10 A 11 E 1 C 13 C 14 E 15 E 7

8 Matemátia 006 Soluionario Soluionario 1. Ya que el triángulo de atetos 4 y 5 es retángulo, entones se umple el teorema de Pitágoras, luego si llamamos x a la hipotenusa se umple que: = x (Si desarrollamos las potenia, resulta) = x (Sumando) 41 = x Calulando la raíz uadrada a ambos lados de la euaión, resulta: 41 = x Por lo tanto en un triángulo retángulo de atetos 4 y 5 su hipotenusa mide 41. Ya que el triángulo de atetos 7 y 3 es retángulo, entones se umple el teorema de Pitágoras, luego si llamamos x a la hipotenusa se umple que: = x Si desarrollamos las potenia, resulta: = x (Sumando) 58 = x Calulando la raíz uadrada a ambos lados de la euaión, resulta: 58 = x Por lo tanto en un triángulo retángulo de atetos 7 y 3 su hipotenusa mide Ya que el triángulo de ateto 4 e hipotenusa 5 es retángulo, entones se umple el teorema de Pitágoras, luego si llamamos x al otro ateto se umple que: x + 4 = 5 x + 16 = 5 x = 5-16 x = 9 x = 9 x = 3 Si desarrollamos las potenia, resulta: Restando 16 a ambos lados de la euaión, resulta: (Luego, restando) Calulando la raíz uadrada a ambos lados de la euaión, resulta: Calulando la raíz uadrada de nueve, resulta: Por lo tanto en un triángulo retángulo de ateto 4 e hipotenusa 5 su otro ateto mide 3 4. En un triángulo ABC retángulo en C la hipotenusa mide 13 m y uno de los atetos mide 5 m, uánto mide h? Ya que el triángulo de ateto 5 e hipotenusa 13 es retángulo, entones se umple el teorema de Pitágoras, luego si llamamos x al otro ateto se umple que: 8

9 x + 5 = 13 x + 5 = 169 x = x = 144 x = 144 x = 1 Si desarrollamos las potenia, resulta: Restando 5 a ambos lados de la euaión, resulta: (Luego, restando) Calulando la raíz uadrada a ambos lados de la euaión, resulta: Calulando la raíz uadrada de 144, resulta: Ahora que onoemos los dos atetos y la hipotenusa del triángulo retángulo, para onoer ateto ateto la h utilizamos una de las igualdades de Eulides: h =, luego hipotenusa h = = Matemátia Si dos de los lados de un triángulo retángulo miden 4 m ada uno eso quiere deir que neesariamente el terer lado es la hipotenusa (ya que un ateto es siempre menor que la hipotenusa) y los lados de 4 m, son los atetos, luego omo se trata de un triángulo retángulo se umple teorema de Pitágoras de donde,resulta = x (Desarrollando las potenias) = x (Sumando) 3 = x Calulando la raíz uadrada a ambos lados de la euaión, resulta: 3 = x (Desomponiendo la raíz) 16 = x 16 = x (Calulando la raíz uadrada de 16) 4 = x Por los tanto si dos de los lados de un triángulo retángulo miden 4 m, el terer lado mide 4 6. La alternativa orreta es la letra D) Dado que el triángulo es retángulo se umple teorema de Pitágoras, luego 1 + x = 15 (Desarrollando las potenias) x = 5 (Restando 144 a ambos lados de la euaión) x = (Restando) x = 81 (Despejando) x = 9 base altura Si reordamos que el área de un triángulo es, y además reordamos que en un triángulo retángulo los atetos son base y altura, resulta: área = 1 9 = 108 = 54 9

10 Matemátia 006 Soluionario 7. La alternativa orreta es la letra D) base altura Si reordamos que el área de un triángulo es y además reordamos que en un triángulo retángulo los atetos son base y altura, resulta 10 = 5 x (Multipliando por ambos lados de la euaión) 0 = 5x Dividiendo por 5, resulta: 4 = x entones tenemos un triángulo retángulo de atetos 4 y 5, la hipotenusa podremos alularla utilizando teorema de Pitágoras, luego = x (Desarrollando las raíes) = x (Sumando) 41 = x (Calulando raíz uadrada a ambos lados de la euaión) 41 = x 8. La alternativa orreta es la letra A) Dado que el triángulo ABC es retángulo, se umple teorema de Pitágoras, luego podríamos desarrollar Pitágoras o peratarnos que los atetos 6 mm y 8 mm orresponden al trío pitagório 6,8,10 on lo uál sabemos que la hipotenusa mide 10 mm; Ahora que onoemos los dos atetos y la hipotenusa del triángulo retángulo, para onoer ateto ateto h utilizamos una de las igualdades de Eulides: h =, luego hipotenusa h = = = 4,8 9. La alternativa orreta es la letra B) Dado que el triángulo ABC es retángulo, se umple teorema de Pitágoras, luego podríamos desarrollar Pitágoras o peratarnos que el ateto 9 y la hipotenusa 15 orresponden al trío pitagório 9,1,15 on lo uál sabemos que el otro ateto mide 1; Ahora que onoemos los dos atetos y la hipotenusa del triángulo retángulo, para onoer la h utilizamos una de las igualdades de Eulides: h = a b,luego h = = 36 5 = Finalmente simplifiado por 3, resulta: 10

11 10. La alternativa orreta es la letra A) Si h mide 6 y p mide 18, entones podemos utilizar la siguiente igualdad de Eulides h = p q (Luego reemplazando) 6 = 18 q (Desarrollando la potenia) 36 = 18q (Finalmente dividiendo por 18) = q 11. La alternativa orreta es la letra E) Dado que el triángulo ABC es retángulo, se umple teorema de Pitágoras, luego podríamos alular el valor de a desarrollando Pitágoras o peratarnos que el ateto1 y la hipotenusa 13 orresponden al trío pitagório 5,1,13 on lo uál sabemos que el otro ateto mide 5. Finalmente utilizamos la siguiente igualdad de Eulides a = p, luego reemplazando 5 = 13 p (Desarrollando la potenia) 5 = 13p (Dividiendo por 13 ambos lados de la euaión) 5 13 = p Matemátia La alternativa orreta es la letra C) Reordemos que los tríos pitagórios son los lados de triángulos retángulos que satisfaen el teorema de Pitágoras, luego I = 5 (Desarrollando potenias) = 5 (Sumando) 5 = 5 (Por lo tanto se umple el teorema de Pitágoras y los números del ítem I son un trío pitagório) II. 1 + ( 3) = (Desarrollando potenias) = 4 (Sumando) 4 = 4 (Por lo tanto se umple el teorema de Pitágoras y los números del ítem II son un trío pitagório) III = 1 (Desarrollando potenias) = 144 (Sumando) (Por lo tanto no se umple el teorema de Pitágoras y los números del ítem III no son un trío pitagório) Luego el ítem I y II son orretos 11

12 Matemátia 006 Soluionario 13. Alternativa orreta letra C) base altura Si reordamos que el área de un triángulo es y además reordamos que en un triángulo retángulo los atetos son base y altura, el área del primer triángulo, resulta 3 4 = 1 = 6 Dado que el segundo triángulo es también retángulo, se umple teorema de Pitágoras, luego podríamos alular el valor del otro ateto desarrollando Pitágoras o peratarnos que el ateto 6 y la hipotenusa 10 orresponden al trío pitagório 6,8,10 on lo uál sabemos que el otro ateto mide 8. base altura Luego si volvemos a reordar que el área de un triángulo es y además que en un triángulo retángulo los atetos son base y altura, el área del segundo triángulo, resulta 6 8 = 48 = 4 Finalmente para enontrar la diferenia positiva de las áreas, al triángulo de mayor área le restamos el que posee la menor, luego 4-6 = Alternativa orreta letra E) Este ejeriio debe observarse on detenimiento, en primera instania puede reerse que se trata del trío pitagório 3,4,5,sin embargo para que el teorema de Pitágoras se umpla neesitamos que el triángulo en uestión sea retángulo informaión que no aparee en este ejeriio, por lo tanto neesitamos informaión adiional para resolverlo. 15. Alternativa orreta letra E) Lo primero es peratarse que el triángulo ABC orresponde al trío pitagório 6,8,10 luego el segmento mide 10, on lo que el dibujo queda de la siguiente forma C D Además el triángulo BCD es también retángulo on lo ual se umple el teorema de Pitágoras, luego = CD (Desarrollando las potenias) A 8 B = CD (Sumando) 5 = CD Calulando la raíz uadrada a ambos lados de la euaión, resulta: 15 = CD (Desomponiendo la raíz) 5 5 = CD (Separando las raíes) 5 5 = CD (luego, omo la raíz uadrada de 5 es 5) 5 5 = CD 1