INTEGRACIÓN NUMÉRICA

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "INTEGRACIÓN NUMÉRICA"

Inés Rojas Cabrera
hace 7 años
Vistas:

1 INTEGRACIÓN NUMÉRICA El principio de los métodos de integrción numeric, bsdos en ls fórmuls de Newton- Cotes, consiste en justr un un polinomio un conjunto de puntos y luego integrrlo. Al relizr dichs integrles obtenemos, entre otrs, ls regls de trpecio y de Simpson 1 3 ls cules dn lugr regls de integrción compuests que buscn que el error se cd vez menor. Usemos MATLAB pr progrmr ls regls mencionds nteriormente. REGLA DEL TRAPECIO L regl del trpecio está dd por: f (x) dx ' b [f ()+f (b)] si queremos progrmr est regl sólo debemos tener en cuent que los dtos de entrd son, b, f y el dto de slid es l proximción. En MATLAB cremos un función que nos permit relizrlo. El código puede ser: function prox=trpecio(f,,b) prox=((b-)/)*(f()+f(b)) Recordemos que l segund instrucción permite que MATLAB identifique f como un función que depende de l vrible x. Pr ejecutr l función en l ventn de comndos de Mtlb digitmos trpecio(f,,b); por ejemplo, si queremos proximr Z 0 e cos x dx digitmos trpecio( exp(cos(x^)),0,) y obtenemos

2 REGLA DEL TRAPECIO COMPUESTA Pr un entero n 1 lregldetrpeciocompuestestddpor: " # f (x) dx ' h n 1 X f ()+ f (x i )+f (b) i=1 donde h = b n y x i = + ih. Si queremos progrmr est regl debemos tener en cuent que los dtos de entrd son, b, n,f, el dto de slid es l proximción, es necesrio utilizr un ciclo interno que permit generr x i pr evlurlo en f, multiplicrlo por dos y sumrlos. mtlb que me permit relizrlo, el código será: Cremos un función en function prox=trcom(f,,b,n) h=(b-)/n; prox=f()+f(b); for i=1:n-1 x=+i*h; prox=prox+*f(x); end prox=(h/)*prox; Pr proximr l integrl nterior emplendo 10 subintervlos digitmos: >> trcom(0exp(cos(xˆ))0, 0,, 10) yobtenemos , lempler 100 subintervlos emplemos l instrucción >> trcom(0exp(cos(xˆ))0, 0,, 100) y obtenemos REGLA DE SIMPSON 1 3 SIMPLE Y COMPUESTA

3 Tenemos que ls regls de Simpson 1 3 simple y compuest están dds por: f (x) dx ' b 6 f ()+4f µ + b + f (b) y n n f (x) dx ' h X 3 f ()+4 X 1 f (x i 1 )+ f (x i )+f (b) i=1 i=1 donde h = b n, pr n un entero pr myor igul y x i = + ih. Los límites de ls sumtoris y los subindices i 1 y i indicn que x j con j pr se evlu en f y se multiplic por dos, y si j es impr se evlu en f y se multiplic por 4. (esto se obtiene l plicr regl de Simpson 1 3 simple sobre los subintervlos [x 0,x ], [x,x 4 ],...,[x n,x n ]). Los progrms Mtlb que permiten encontrr l proximción l integrl son: function prox=simpson(f,,b) prox=((b-)/6)*(f()+4*f((+b)/)+f(b)); ylcompuestestáddpor function prox=simcom(f,,b,n) h=(b-)/n; prox=f()+f(b); for i=1:n/ x=+(*i+1)*h; prox=prox+4*f(x); end for i=1:(n/)-1 x=+*i*h; 3

4 prox=prox+*f(x); end prox=(h/3)*prox; Al proximr l integrl nterior digitmos simpson( exp(cos(x^)),0,) y obtenemos , emplendo 100 subintervlos obtenemos l digitr simcom( exp(cos(x^)),0,,100). COEFICIENTES INDETERMINADOS Y CUADRATURA GAUSSIANA: En MATLAB tmbién podemos encontrr los coeficientes y/o nodos de fórmuls de coeficientes indetermindos o de Cudrtur Gussin. En el primer cso, simplemente se requiere formulr el sistem de ecuciones lineles y resolverlo medinte lguno de los métodos explicdos en guis nteriores. Por ejemplo, supongmos que desemos encontrr los coeficientes A, B y C que hcen que l fórmul: Z 1 0 f(x)dx Af(0) + Bf(1/) + Cf(1) se exct pr todos los polinomios de grdo menor o igul que dos. polinomios básicos 1,x,x ª obtenemos el sistem: Trbjndo con los 1 = A + B + C 1 = 1 B + C 1 3 = 1 4 B + C que puede ser resuelto en MATLAB medinte ls instrucciones: >> M = [1 1 1; 0 1/ 1; 0 1/4 1]; >> b = [1 1/ 1/3] ; >> X=inv(M)*b 4

5 se obtiene: X = [1/6 /3 1/6] (utilizndo el formto: formt rt) En el cso de l cudrtur dpttiv l yud es myor, pues en este cso se obtiene un sistem no linel de ecuciones que en l myorí de los csos es difícil de resolver sin l yud de un computdor. Por ejemplo consideremos l fórmul de cudrtur de orden dos: Z 1 1 f(x)dx A 0 f(x 0 )+A 1 f(x 1 ) Sbemos que pr hllr los nodos y los coeficientes debemos resolver el sistem no linel: A 0 + A 1 = A 0 x 0 + A 1 x 1 = 0 A 0 x 0 + A 1 x 1 = /3 A 0 x A 1 x 3 1 = 0 Podemos usr MATLAB con l instrucción solve, de l siguiente form: >> [0,1,x0,x1]=solve( o+1=, o*x0+1*x1=0, o*x0^+1*x1^=/3, o*x0^3+1*x1^3=0 ) y obtenemos: 0=[1 1], 1=[1 1], x0 = [-1/3*3^(1/) 1/3*3^(1/)], x1 = [1/3*3^(1/) -1/3*3^(1/)]. De donde se deduce inmeditmente l fórmul buscd (se pueden tomr bien se los primeros o los segundos vlores de cd solución y se lleg l mism fórmul) COMANDOS MATLAB PARA INTEGRACIÓN Mtlb cunt con vris funciones incorpords pr integrción numéric y simbólic. Alguns de ests son: qud= Utiliz el método de cudrtur dpttiv de Simpson. L sintxis de qud incluye ls forms: qud( funcion,,b): proxim l integrr de l función entre y b tomndo como tolernci 1.e-6. 5

6 qud( funcion,,b,tol): proximlintegrrdelfunciónentreybtomndocomo tolernci tol. Pr nuestro ejemplo digitmos qud( exp(cos(x.^)),0,) y obtenemos trpz= Utiliz l regl trpezoidl pr clculr l integrl de un función. utilizr de l siguiente form: Se puede trpz(x,y): Aproxim el vlor de l integrl de Y con respecto X. Pr nuestro ejemplo digitmos: >> X=0:0.001:; >> Y=exp((cos(X)).^); >> prox= trpz(x,y) Se obtiene int(f) = Clcul de mner simbólic l integrl de l función f (definid como un cden de crcteres). Pr nuestro ejemplo no se puede usr pues l función con l que estmos trbjndo no tiene un integrl indefinid, sí que cmbiemos de ejemplo: Supongmos que queremos clculr: Z x x 6 8 dx en MATLAB digitmos: int( x^/(x^6-8) ) y obtenemos: 1/1 ˆ(1/) tnh(1/4 xˆ3 ˆ(1/)) EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. Relizr un función que permit proximr Z d I = f (x, y) dydx c 6

7 emplendo l regl se Simpson 1 3 compuest.. Relizr un función que permit proximr Zd(x) I = f (x, y) dydx c(x) emplendo l regl se Simpson 1 3 compuest. 3. Relizr un función que permit generr un tbl de proximciones (Método de Romberg) pr f (x) dx 4. Deducir l fórmul de cudrtur gussin de orden tres y hcer un progrm que permit usrl pr clculr f (x) dx 5. Encontrr los vlores de A, B, C, D y E que hcen que l fórmul: Z 1 0 f (x) dx Af(0) + Bf(1/4) + Cf(1/) + Df(3/4) + Ef(1) se exct pr todos los polinomio de grdo menor o igul cutro. 7

Documentos relacionados

METODOS NUMERICOS TALLER 7, SEMESTRE Se obtuvieron los siguientes datos de la distancia recorrida por un cohete contra el tiempo:

METODOS NUMERICOS TALLER 7, SEMESTRE Se obtuvieron los siguientes datos de la distancia recorrida por un cohete contra el tiempo: METODOS NUMERICOS 697 TALLER 7, SEMESTRE Tem: Derivción e integrción numérics Se recomiend relizr los ejercicios propuestos en el texto guí, en prticulr los siguientes: Sección :,,, 7, 8,, Sección :, 8