Cálculo Diferencial en una variable

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1 Tema 3 Cálculo Diferencial en una variable 3.1 Introucción Analizaremos en este Tema los conceptos funamentales acerca e las erivaas e las funciones reales e variable real. En el tema siguiente estuiaremos algunas aplicaciones e las erivaas. 3.2 Conceptos Básicos Definición. Sea f(x) una función efinia en un intervalo abierto (a, b). Diremos que f es erivable en el punto x 0 (a, b) si existe (y es finito) el límite: f(x 0 + ) f(x 0 ) al cual enominaremos erivaa 1 e f en x 0, f (x 0 ). notaciones alternativas para la erivaa: A veces se utilizan iferentes f f(x) f(x 0 ) y (x 0 ) x x 0 x x 0 x 0 x one y = y(x 0 + x) y(x 0 ) e y = f(x). 1 A veces es aecuao efinir la erivaa e una función en un punto e la siguiente forma alternativa: Una función f(x) es erivable en x 0 si existe un número real, al que llamaremos f (x 0 ), tal que la función (x) = f(x) f(x 0) f (x 0)(x x 0) es un infinitésimo e oren superior a uno en x 0, es ecir: f(x) f(x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) = 0 x x 0 x x 0 Es eviente que esta efinición es equivalente a la anterior. 29

2 30 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 3 Dao que la erivaa se efine meiante un límite, a veces es aecuao utilizar el concepto e erivaa lateral por la izquiera y por la ereca. Dese este punto e vista se efinen: f +(x 0 ) = f(x 0 + ) f(x 0 ) + ; f (x f(x 0 + ) f(x 0 ) 0 ) Evientemente una función será erivable en x 0 cuano ambas erivaas laterales en x 0 existan y coincian. f x f x 0 f x 0 x 0 x x 0 Figura 3.1: a) Gráfica e la función y = f(x) junto con la recta secante que pasa por los puntos (x 0, f(x 0 )) y (x, f(x)). b) En el límite x x 0 la recta secante es la recta tangente: y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). Rectas tangente y normal a una curva. Dese el punto e vista geométrico, la erivaa f (x 0 ) e la función y = f(x) en x 0 no es más que la peniente e la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto (x 0, f(x 0 )) y, por tanto, la ecuación e ica recta será: y f(x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) Dese este punto e vista, es eviente que el signo e la erivaa e una función en un punto etermina si ica función es creciente o ecreciente en un entorno e ico punto. Por otro lao, esta interpretación es la que permite entener abitualmente una función erivable como aquélla tal que su gráfica tiene siempre bien efinia la recta tangente (es ecir la gráfica es suave, no presenta picos ni rotos, en los que la noción e tangencia no tenría sentio 2 ). Si f (x 0 ) 0, la recta normal (perpenicular) a la curva en x 0 será (ver Ejercicio 1): y f(x 0 ) = 1 f (x 0 ) (x x 0) 2 Es significativo el eco e que en inglés se trauzca función erivable como smoot function. El ajetivo smoot significa: liso, suave.

3 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 3 31 Diferencial e una función. Daa una función erivable en x 0, llamaremos iferencial e f en x 0 a la aplicación lineal: f(x 0 ) : R R que ace corresponer a too x el número f (x 0 )x. Aunque la notación estricta para la iferencial, e acuero con la efinición, ebería ser: (f(x 0 )) (x) = f (x 0 ) x traicionalmente se enomina a la variable no x sino x y f a su imagen (o alternativamente y si se consiera y = f(x)), e manera que se escribe, para un punto x cualquiera: f = f (x) x, expresión iferencial equivalente a la expresión e la erivaa 3 : f (x) = f x f = f (x) x Definición. Si f es una función efinia en un conjunto abierto A y es erivable en toos los puntos e A, iremos que f es erivable en A. Definición. Si f es erivable en A, llamaremos función erivaa e f, f a la que asigna a caa x A el valor f (x). Definición. Si la función erivaa f es a su vez erivable, entonces tiene sentio plantear la erivaa e la erivaa, o erivaa seguna f. De manera análoga, ablaremos e las erivaas sucesivas f, f, f, f iv = f (4), f (5), etc. Si una función es r veces erivable en un conjunto abierto A y aemás la erivaa r ésima es una función continua en ico abierto, entonces se ice que la función es e clase C r en A. Ejemplo: Es posible calcular las erivaas e algunas funciones aplicano irectamente la efinición. Por ejemplo, consieremos las funciones: f(x) = x y g(x) = x 2 : g (x) (x + ) 2 x 2 f (x) x + x = 1 x 2 + 2x + 2 x 2 (2x + ) = 2x Sin embargo e manera general esta técnica es muy itaa, y la manera abitual e proceer es utilizar las propieaes que veremos a continuación para el cálculo e erivaas. En algunos casos se requieren técnicas específicas que analizaremos en las clases e problemas. 3 Utilizaremos inistintamente la notación e primas (ebia a Lagrange): y, y la e cociente e iferenciales (ebia a Leibnitz), y, para enotar a las erivaas. Otras notaciones, como la e x Newton ẏ, se usan con menor frecuencia en Matemáticas, aunque en otras isciplinas son abituales.

4 32 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA Propieaes e las funciones erivables 1. Si f es erivable en x 0 entonces es continua en x 0. No es cierta la recíproca, es ecir la continuia e una función en un punto no implica la erivabilia e la misma en ico punto. 2. Si f y g son os funciones erivables en x 0 entonces también son erivables en x 0 las funciones f + g, fg y cf para c R, y se verifica: (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ) ; (cf) (x 0 ) = cf (x 0 ) (fg) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g (x 0 ) Si aemás g(x 0 ) 0, entonces f g es erivable en x 0 y se verifica: ( ) f (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g (x 0 ) g (g(x 0 )) 2 Demostración: Demostraremos simplemente la regla e erivación el proucto: Aplicano la efinición: (fg) f(x)g(x) f(x 0 )g(x 0 ) (x 0 ) x x 0 x x 0 Es fácil convertir esa expresión en la siguiente: (fg) (x 0 ) x x 0 f(x)(g(x) g(x 0 )) + g(x 0 )(f(x) f(x 0 )) x x 0 e manera que, aplicano las propieaes e los límites tenremos: (fg) g(x) g(x 0 ) f(x) f(x 0 ) (x 0 ) f(x) + g(x 0 ) x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 Dao que f y g son erivables en x 0, los límites e la expresión anterior valen: f(x 0 ) (por ser f continua en x 0 ), f (x 0 ), g(x 0 ) y g (x 0 ), respectivamente. Tenemos entonces: Q.E.D. (fg) (x 0 ) = f(x 0 )g (x 0 ) + f (x 0 )g(x 0 ) Regla e la caena. Si f es una función erivable en un punto x 0 y g lo es en f(x 0 ), entonces la función compuesta g f es erivable en x 0 y su erivaa vale: (g f) (x 0 ) = g (f(x 0 ))f (x 0 ) Tabla e erivaas. Ajuntamos la siguiente tabla con las erivaas e algunas funciones e uso abitual.

5 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 3 33 x 1 = 0 x xn = n x n 1, n 0 x log a x = log a e x, a > 0 x ex = e x sen x = cos x cos x = sin x x x sen x = cos x x arcsen x = 1 x arcsen x = 1 x 2 +1 x x cos x = sin x 1 x arccos x = x arccos x = 1 x 2 1 x ln x = 1 x x ax = a x ln a, a > 0 x tan x = 1 cos 2 x x tan x = 1 cos 2 x x arctan x = 1 x 2 +1 x arctan x = Teoremas importantes el Cálculo Diferencial Teorema e Rolle. Si la función f(x) es continua en el intervalo [a, b], es erivable en el intervalo (a, b) y toma valores iguales en los extremos el intervalo (f(a) = f(b)), entonces existe al menos un punto c (a, b) en el cual la erivaa e f(x) se anula, es ecir: f (c) = 0. Demostración: Al ser f(x) continua en el intervalo cerrao, por el Teorema e Weierstrass alcanza en ico intervalo su valor máximo y su valor mínimo, los enominaremos M y m respectivamente. Casos que pueen presentarse: 1) M = m, en tal caso M f(x) M, x [a, b], pero entonces f(x) es constante en el intervalo, y así su erivaa sería cero en toos los puntos. 2) M m, como f(a) = f(b) al menos uno e los os valores se alcanza en el abierto y no en los extremos el intervalo, sea, por ejemplo M, entonces existe un c (a, b) tal que f(c) = M, tenremos: f f(c + ) f(c) f(c + ) f(c) f(c ) f(c) (c) + + Pero entonces, al ser f(c) = M, máximo e la función, se verifica: f(c + ) f(c) 0, f(c ) f(c) 0 y, en efinitiva: f (c) 0 y 0 f (c), por tanto, f (c) = 0. Q.E.D. Teorema e Lagrange. (e los incrementos finitos). Si f(x) es una función continua en [a, b] y erivable en (a, b), entonces existe por lo menos un punto c (a, b) tal que: b a = f (c) Teorema e Caucy. Si f(x) y g(x) son continuas en [a, b], erivables en (a, b) y g (x) 0, x (a, b), entonces existe al menos un punto c (a, b) tal que: Demostración: g(b) g(a) = f (c) g (c) Es trivial aplicano el Teorema e Rolle a la función: F (x) = f(x) f(a) (g(x) g(a)) g(b) g(a) La emostración e Lagrange es obvia al reucirse a un caso particular e Caucy.