Cálculo Diferencial e Integral - L Hospital e impropias. Prof. Farith J. Briceño N.
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- Víctor López Nieto
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1 Cálculo Diferencial e Integral - L Hospital e impropias. Prof. Farith J. Briceño N. Ojetivos a curir Regla de L Hospital para formas indeterminadas de la forma e. Integrales impropias: Límites de integración infinitos. Integrales impropias: Integrandos infinitos. Código : MAT-CDI. Ejercicios resueltos Ejemplo : Calcular el siguiente límite, si eiste, cos sen e e Solución : Puesto que la función seno es una función continua, entonces sen cos e e = sen cos e e, oservemos que el límite argumento de la función seno es de la forma indeterminada, por lo tanto, aplicamos la regla de L Hospital cos e e L H cos = e e = sen cos e + e sen = e + e cos =, cos sen e e = sen = Ejemplo : Calcular el siguiente límite, si eiste, 5 + Solución : Oservemos que este límite es de la forma indeterminada. Es conocido que 5 = e 5 y = e así, Aplicamos la regla de L Hospital 5 + = e 5 e +. e 5 L H e 5 = e + e + = e 5 5 e = 5 e 5 = Ejemplo : Calcular el siguiente límite, si eiste, + 5 Solución : Oservemos que cuando tiende a infinito, entonces,, por lo tanto, + 5 así, como la función eponencial es continua, entonces = Indeterminado + 5 = + 5 e +5 = e +5 e +5 = e +5
2 calculamos el límite el cual es de la forma indeterminada, lo escriimos como = + 5 Indeterminado Aplicamos la regla de L Hospital + 5 L H = = = = = 5 L H = = = 5 = 5, = e 5/ + 5 Ejemplo : Determine la convergencia o divergencia de la siguiente integral Solución : Se tiene que Resolvemos la integral indefinida por medio del camio de variale = u = ; du =, por lo tanto, tenemos así, Por lo tanto, = = du u = = u + C = u + C, = es divergente =. Ejemplo 5 : Determine la convergencia o divergencia de la siguiente integral Solución : Oservemos que la función f = superior, por lo tanto, = = arcsen no está definida para =, por lo que es una integral impropia en el límite = arcsen arcsen = π es convergente
3 Ejemplo 6 : Determine la convergencia o divergencia de la siguiente integral + Solución : Oservemos que el dominio de la función f = es R {, }, así, la función no está definida para = y + =, por lo que se nos presenta dole discontinuidad infinita dentro del intervalo de integración, por lo tanto, denotemos por I = + = +, I = y I = + Encontremos la familia de primitivas de la función f, para ello usemos el métdod de descomposición en fracciones simples, factorizamos el denominador + =, escriimos las fracciones simples asociadas + = A + B = A + B = + = = A + B, Si =, tenemos = A + B de aquí B = Si =, tenemos = A + B de aquí A = Entonces + = / + /. Para otener la familia de primitivas de la primera integral del lado derecho de la igualdad, hacemos el camio de variale z = ; dz = la integral queda / = dz z = z + C = + C para calcular la segunda integral del lado derecho de la igualdad, hacemos el camio w = ; dw = la integral queda, la integral indefinida queda / = dw w = w + C = + C, + = + + C = + C Estudiamos la convergencia o divergencia de I I = + = + = = = con lo que concluimos que I es divergente, + es divergente Ejemplo 7 : Determine la convergencia o divergencia de la siguiente integral sen Solución : Utilizando el criterio de comparación, es conocido que sen
4 dividimos entre, como [,, se tiene que >, así, que no camia la desigualdad sen elevamos a la potencia cuarta, deemos tener presente que la epresión, camia la desigualdad si los valores son negativos y la mantiene si los valores son positivos, entonces sen y sen de aquí, es decir, entonces, para [,, tenemos Determinamos la convergencia de la integral = sen y, sen, sen, = sen, = + = = converge como es convergente = sen es convergente Ejercicios. Calcular los siguientes límites, si eisten... e e sen. t t t t sen. π π cos cosh h e +h e h. e + 6e 7 e. h a +h a h. t senh t t u u +. u e u. h log a + h log a h 5. senh cosh sen π + π π + h 7. h h. 8 tanh e +. e. + e e + 7. senh e 8. e tanh. tanh.
5 . + sen tan 8 7. sen / t sen t cos + sen. t e t 5. + e 6. t t t 8. t t 9. + t e. + + [ k k [ k k. k i= i i= i ] k 6. i= i i= i ] a 5 a a cos e / 5. t + cos tcot t 5. t π/ sen tcos t e 56. t + e t/ t t + tan t t + cos t dt 57. e 58. e + + e t t + + cos csc + dt sen + π /. Estudie la convergencia o divergencia de las siguientes integrales 6. + e t t + dt + e /. e / e.. e. π/ tan e 8. e / / / +. /. + /.. / 5. π/ csc
6 / / e sen e Encuentre tal que. Demuestre que 5. Demostrar que la integral =. p diverge si < p y converge si p >. p q a es convergente si p > y q. es convergente si p = y q >. c es divergente si p = y q. d es divergente para todo q si p <. 6. Evalúe ó demuestre que diverge. 7. Encuentre el área de la región comprendida entre las curvas y = y y = + 8. Encuentre el área de la región ajo la curva y = a la derecha de =. para <. 9. Encuentre el área de la región comprendida entre las curvas y = 8 / y y = para < 8.. Sea R la región del primer cuadrante ajo la curva y = / y a la izquierda de =. Demuestre que el área de R es finita y encuentre su valor.. Encuentre el volumen del sólido generado por la rotación de la región dada por = y, y = 6, = alrededor del eje y.. Encuentre [ el volumen del sólido generado por la rotación de la región dada por y = arctan, = con, π alrededor del eje y.. Encuentre el volumen del sólido generado por la rotación de la región dada por y = e /, =, y los ejes coordenados, alrededor del eje. [. Encuentre el volumen del sólido generado por la rotación de la región dada por y = sec, con, π, alrededor de la recta y =. 5. Use una pruea de comparación para decidir si convergen o divergen las siguientes integrales π/ e sen e sen e
7 sen Respuestas: Ejercicios.. ;.. ;.. ;.. ;.5. 7 ;.6. ;.7. 7 ;.8. 5 ;.9. e ;.. 8;.. a a;.. ;.. ;.. a ;.5. ;.6. ;.7. ; ;.9. + π π ;.. ;.. ;.. ;.. ;.. ;.5. ;.6. ;.7. ;.8. ;.9. ;.. ;.. ;.. ;.. ;.. ;.5. ;.6. ;.7. ;.8. ;.9. ;.. ;.. ;.. ;.. ;.. e;.5. e ;.6. e ;.7. e a ;.8. e 5 ;.9. e a ;.5. e;.5. e ;.5. e ;.5. ;.5. ;.55. ;.56. e ;.57. e /e ;.58. e / ;.59. ;.6. e π ;.. Div.;.. Div.;.. Conv.;.. π Conv.;.5. 6 Conv.;.6. Conv.;.7. Div.;.8. Div.;.9. Conv.;.. Div.;.. e 6 Conv.;.. Div.;.. Div.;.. 6 Conv.;.5. Conv.;.6. Conv.;.7. Conv.;.8. Conv.;.9. Conv.;.. Div.;.. Conv.;.. Div.;.. Conv.;.. π Conv.;.5. Div.;.6. Div.;.7. Conv.;.8. 6 Conv.;.9. Div.;.. Conv.;...6. Div.;.7. Div.;.8. 6 Conv.;.9. Conv.;.... π Conv.;.. Div.; Conv.;. e; 6. Div.; 7. Conv.;.. Div.;.. Div.;.. Div.;.5. Div.; Conv.;.5. π Conv.;.6. Conv.;.. Conv.; e Conv.;.7. Div.; ; 8. ; 9. 6;. ;. Div.;. Div.;. Div.;. Div.; 5.. Conv.; 5.. Conv.; 5.. Div.; 5.. Div.; 5.5. Div.; 5.6. Conv.; 5.7. Conv.; 5.8. Conv.; 5.9. Conv.; 5.. Conv.; 5.. Conv.; 5.. Conv.; 5.. Conv.; 5.. Conv.; 5.5. Div.;. Purcell, E. - Varerg, D: Cálculo con Geometría Analítica. Novena Edición. Prentice Hall.. Stewart, J.: Cálculo. Grupo Editorial Ieroamericano. Biliografía Cálculo Diferencial e Integral - L Hospital e impropias. Última actualizacón: Enero Prof. Farith Briceño farith 7@hotmail.com 7
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