Medidas de riesgo, características y técnicas de medición: una aplicación del VaR y el ES a la tasa interbancaria de Colombia

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1 BANCO DE LA REPUBLICA Gerecia Técica Medidas de riesgo, características y técicas de medició: ua aplicació del VaR y el ES a la tasa iterbacaria de Colombia Luis Ferado Melo Veladia Oscar Reialdo Becerra Camargo Mayo 2005 Resume E este documeto se describe e detalle diversas metodologías que permite calcular dos medidas utilizadas para cuatificar el riesgo de mercado asociado a u activo fiaciero: el valor e riesgo, VaR y el Expected Shortfall, ES. Los métodos aalizados se divide e dos grupos. E el primer grupo, compuesto por las metodologías de ormalidad, simulació histórica y teoría del valor extremo (EVT), o se modela las depedecias existetes e el primer y segudo mometo codicioal de la serie. E el segudo grupo, las metodologías ARMA-GARCH y ARMA-GARCH-EVT modela los dos tipos de depedecias, mietras RiskMetrics modela solo la seguda. Estas metodologías so aplicadas a las variacioes diarias de la tasa iterbacaria para el periodo compredido etre el 6 de abril de 995 y el 30 de diciembre de El desempeño o backtestig del VaR calculado para diferetes metodologías e los años 2003 y 2004 muestra que las mejores so aquellas que modela la depedecia de la variaza codicioal, tales como los modelos RiskMetrics, ARMA-GARCH y ARMA-GARCH-EVT. Las técicas co el peor desempeño so la de simulació histórica, la EVT si modelar depedecia y la basada e el supuesto de ormalidad. Palabras clave: Riesgo de mercado, Valor e riesgo, Expected Shortfall, teoría del valor extremo, modelos GARCH, backtestig. Códigos JEL: C32, C52, G0 Los resultados y opiioes so resposabilidad exclusiva de los autores y su coteido o compromete al Baco de La República i a su juta directiva. Los autores agradece las sugerecias y cometarios de Luis E. Arago, Muir Jalil, Martha Misas, Daiel Osorio y Carlos Sadoval. Cualquier observació puede ser dirigida a: y

2 Ídice. Itroducció Maejo de los datos La distribució de pérdidas y gaacias Medidas de riesgo La desviació estádar El valor e Riesgo (VaR) Cálculo del VaR de forma paramétrica Estimació Volatilidad histórica Método de suavizamieto expoecial (RiskMetrics ) Modelos ARCH y GARCH Simulació histórica Método de simulació Bootstrap Métodos de simulació Mote Carlo VaR y horizote temporal Características y críticas del VaR Expected Shorfall Medidas de riesgo y teoría del valor extremo (EVT) Cómo obteer valores extremos (máximos por bloques y POT) Modelos de teoría del valor extremo Distribució de los máximos Otras medidas de riesgo Distribució de los excesos El problema de la selecció del umbral Gráfico de la media de los excesos El estimador de Hill Medidas de riesgo e modelos sobre u umbral: VaR y ES Estimació bajo series o iid Backtestig Prueba de proporció de fallas de Kupiec Estimador putual de p Estimació directa a partir de la distribució biomial Estimació y resultados La TIB y la política moetaria e Colombia Pruebas de estabilidad Cálculo de medidas de riesgo Medidas de riesgo si modelar depedecia: EVT, simulació histórica y ormalidad Medidas de riesgo modelado depedecia: RiskMetrics, ARMA-GARCH y ARMA-GARCH-EVT Backtestig VaR y riesgo de tasa de iterés Coclusioes

3 . Itroducció E el año 200 la medició de riesgo de mercado para las etidades fiacieras de Colombia sufrió u cambio de metodología siguiedo las recomedacioes del Comité de Basilea, las cuales ha teido ua amplia aplicació e el plao iteracioal. La regulació colombiaa adoptó el Valor e Riesgo, VaR por sus siglas e iglés, como la metodología requerida para la medició de los riesgos de mercado e las etidades fiacieras. El VaR α correspode al α ésimo cuatil de la distribució de pérdidas y gaacias de u activo. Es decir, represeta la máxima pérdida e que icurre u activo e el α *00% mejor de los casos. Para el caso colombiao, el VaR tiee implicacioes directas e el cálculo de la relació de solvecia de las etidades fiacieras, u VaR más alto represeta ua relació de solvecia más baja, lo cual obliga a las etidades a reasigar sus activos riesgosos o a realizar aportes adicioales de capital. Si embargo, o existe ua metodología úica para el cálculo del VaR. Bajo el marco regulatorio actual, las etidades fiacieras puede medir este tipo de riesgo utilizado el método propuesto por la Superitedecia Bacaria de Colombia o modelos iteros aprobados por el ete regulador. E este cotexto, la adopció de métodos más exactos e la medició de riesgo ofrece vetajas tato para las etidades fiacieras como para la estabilidad del sistema fiaciero e geeral. El objetivo pricipal de este documeto es presetar e forma didáctica alguas de las metodologías utilizadas e el cálculo del Valor e Riesgo y otras medidas alterativas, sus pricipales supuestos, vetajas y desvetajas, y alguas técicas para evaluar su desempeño 2. Alguos de los pricipales documetos que muestra e detalle la aplicació y el cálculo de este tipo de medidas de riesgo para activos colombiaos so Cardozo (2004) y Rodríguez (2005). Si embargo, e estos documetos o se modela las depedecias del primer y segudo mometo codicioal de las series aalizadas 3. E uestro trabajo se cosidera diversos métodos para calcular las medidas de riesgo. Iicialmete se describe metodologías que asume que las series e estudio so iid... Lo cual implica que estas series o debe presetar igú tipo de depedecia e el primer o segudo mometo 4. Posteriormete, se describe Bajo este cotexto, los mejores casos idica las pérdidas más pequeñas. 2 Vale la pea destacar que este documeto aaliza úicamete la medició de riesgo de mercado y de riesgo de tasa de iterés. El riesgo de mercado se etiede como el riesgo asociado a ua pérdida del valor del portafolio debido a cambios e el valor de uo (o alguos) de los activos que lo compoe. Por otro lado, el riesgo de tasa de iterés se puede defiir como el riesgo que existe cuado cambios e la tasa de iterés afecta egativamete la situació ecoómica de ua etidad fiaciera 3 Rodriguez (2005) modela las depedecias del segudo mometo codicioal de las series. Si embargo, o modela las del primer mometo. 4 Si embargo, e la práctica la mayoría de series fiacieras o cumple este supuesto. 3

4 métodos que si modela este tipo de depedecias codicioales. Adicioalmete, se cosidera medidas de riesgo basadas e la teoría del valor extremo 5. Estas técicas so aplicadas a la tasa del mercado iterbacario de Colombia, TIB. Esta tasa represeta el precio de las operacioes realizadas e moeda doméstica por los itermediarios fiacieros para solucioar problemas de liquidez de muy corto plazo, geeralmete u día. La TIB tiee ua importacia particular para los diseñadores de política moetaria. Esta represeta el precio al cual las etidades fiacieras está dispuestas a obteer recursos de corto plazo, e cosecuecia, la TIB es u idicador de la liquidez existete e el mercado. Por otra parte, esta tasa matiee estrecha relació co las tasas de iterveció del Baco de la República y co las tasas de iterés de captació y colocació de la ecoomía, por lo que se covierte de maera idirecta e u idicador de política moetaria. Adicioalmete, de acuerdo co la regulació actual, la TIB es uo de los quice factores de riesgo cosiderados para medir el riesgo de mercado e las etidades fiacieras. El resto del documeto se compoe de la siguiete maera: e la seguda secció se defie alguos coceptos básicos para el maejo de los datos detro del documeto. E la tercera secció, se defie alguas medidas de riesgo, metodologías de estimació, características y críticas. E la cuarta secció se preseta los pricipales resultados de la EVT juto co sus aplicacioes e la defiició de medidas de riesgo. Posteriormete, e la quita secció se preseta los resultados de la estimació de las diferetes medidas de riesgo utilizadas e el documeto para la Tasa Iterbacaria a través de diferetes metodologías, y se evalúa sus desempeños. E la sexta secció se relacioa los resultados obteidos para la TIB co e el riesgo de tasa de iterés. Fialmete, e la séptima secció se cocluye. 5 La Teoría del Valor Extremo, EVT por sus siglas e iglés, ha sido ua herramieta implemetada e los últimos años para la medició de riesgos. Aálogo al teorema cetral del límite, la EVT ofrece resultados asitóticos sobre el comportamieto de los valores extremos de ua variable aleatoria, lo cual permite aalizar de ua mejor maera estadísticos como el VaR. 4

5 2. Maejo de los datos La mayoría de estudios fiacieros se realiza sobre retoros y o sobre precios. Por lo tato, ates de defiir las medidas de riesgo utilizadas e este documeto, es importate defiir alguos coceptos básicos relacioados co los retoros. E geeral, la gaacia (perdida) absoluta ( Π t ) de u activo fiaciero 6 está defiida por los cambios e su precio ( P t ) y los dividedos recibidos durate u período de tiempo ( D t ), formalmete: Π t = Pt + Dt Pt () Si embargo, esta defiició o está libre de escala, es decir, u activo co u valor más alto tederá a teer resultados de mayor cuatía que u activo co u valor meor. Por esto, ua medida más atractiva para los resultados de u activo so los retoros, ya que e estos las pérdidas y gaacias se relativiza al valor iicial del activo. Además, éstos posee propiedades estocásticas apropiadas 7. Supoiedo D = 0, los retoros simples de u activo, para u período está dados por: t P + R = (2) t t Pt para u período de teecia k, el retoro simple de u activo esta defiido por: Pt + R[ k] = (3) t Pt k expresado de otra forma: Pt Pt Pt k+ 2 Pt k+ + Rt [ k] = Pt Pt 2 Pt k+ Pt k + R[ k] = ( + R ) ( + R ) ( + R ) ( + R ) t t t t k+ 2 t k+ E los casos que cosidera los redimietos de u activo de maera cotiua, los retoros compuestos o logarítmicos del activo so: rt = l( + Rt) = pt pt (4) 6 Este tipo de aálisis puede ser fácilmete geeralizado para u portafolio. A meos que se realice algú tipo de aclaració e este documeto, cuado se mecioe activos fiacieros el aálisis tambié es aplicable al portafolio. 7 Tsay (2002) 5

6 dode pt = l( Pt). Esta defiició posee vetajas estadísticas y matemáticas sobre el retoro cosiderado de la forma simple. U ejemplo de ello es el retoro cotiuo de u activo co u período de teecia k : rk [ ] = l( + Rk [ ]) = l[( + R) ( + R ) ( + R ) ( + R )] t t t t t k+ 2 t k+ k rk [ ] = r t t j j= 0 Así, e el caso de múltiples períodos el retoro compuesto es simplemete la suma de los retoros compuestos de u período. 2.. La distribució de pérdidas y gaacias E la admiistració de riesgo, es frecuete referirse a la distribució de pérdidas y gaacias, etediedo esta como la distribució de probabilidad de los retoros de u activo o portafolio específico. E particular, los admiistradores de riesgo se iteresa e las pérdidas mayores. De esta forma, los modelos estadísticos so costruidos frecuetemete a partir del egativo de los retoros, cocetrádose e la cola derecha de la distribució. La pricipal excepció a esta metodología se ecuetra e el aálisis de tasas de iterés, las cuales preseta ua relació iversa co el valor del activo. 3. Medidas de riesgo Existe diferetes formas para medir el riesgo de mercado de u activo o portafolio. Ua forma de medirlo es a través de la fució de distribució de probabilidad de las pérdidas y gaacias de los activos, utilizado estimadores de alguos parámetros de dicha distribució tal como la desviació estádar (σ ) o de estadísticos como cuatiles de la distribució ( q α ). 3.. La desviació estádar Ua forma simple de medir el riesgo de u activo es a través de la volatilidad de sus retoros, ya que cuado u activo tiee alta volatilidad, su resultado preseta ua mayor icertidumbre. Ua posible aproximació a la volatilidad es la desviació estádar del activo. Si se supoe que los retoros de los activos proviee de ua distribució ormal, la cual se ecuetra defiida por su media y su variaza, etoces se puede ecotrar co facilidad la probabilidad de que el retoro se ecuetre detro de u rago específico. La variaza de ua variable aleatoria X esta defiida como: 2 2 ( ) σ = ( ) ( ) 2 V X E X E X (5) 6

7 E el caso de u portafolio co k activos y posicioes costates e el tiempo, el R so: valor esperado y la variaza de su retoro ( ) t E( R ) = ω µ (6) t V ( R ) = ω Σ ω (7) t dode ω = [ ω,, ω k ], es el vector de participacioes de cada uo de los activos detro del portafolio, µ = [ µ,, µ k ] es el vector de retoros esperados y Σ es la matriz de variazas y covariazas de los activos e el portafolio: 8 2 σ σ2 σ k 2 σ2 σ2 σ2k Σ= 2 σ k σk2 σk (8) La desviació estádar del portafolio esta defiida por: 3.2. El Valor e Riesgo (VaR) σ = V ( R ) (9) Otra medida de riesgo es el Valor e Riesgo (VaR por sus siglas e iglés). Esta idica la máxima pérdida posible para u ivel de cofiaza y u período de teecia dado. E térmios estadísticos, este correspode al α -ésimo cuatil ( q α ) de la fució de distribució de pérdidas y gaacias del activo 9. Es decir, el VaR es el meos malo de los ( α ) t 00% peores casos 0 de la distribució de pérdidas y gaacias. Así, el admiistrador de riesgo tiee la idea de que la pérdida e su iversió o excederá el VaR co probabilidad α. Por ejemplo, asumiedo que los retoros de u portafolio sigue ua distribució ormal estádar, el cico por cieto peor de los casos se ecotrará por ecima de 8 Otra posible forma de expresar la ecuació (7) es: V( R t ) = ω S' RSω dode R es la matriz de correlacioes del portafolio y S es ua matriz diagoal co las desviacioes estádar de cada uo de los activos. 9 Siguiedo la otació de McNeil et al (2004), e este documeto el símbolo α represeta u ivel de cofiaza, por ejemplo Esta otació es diferete a la usada e estadística, dode α geeralmete esta asociado a valores bajos de probabilidad. Para evitar cofusioes e este trabajo el error tipo I asociado a ua prueba de hipótesis será deotado como α. 0 Bajo este cotexto, los peores casos idica las pérdidas más grades. 7

8 .65, área sombreada de la Figura. Así, la máxima pérdida e el 95% mejor de los casos, o la míima perdida e el 5% de los peores casos, será de.65 multiplicada por el valor del portafolio VaR al 95% Figura. VaR de ua variable aleatoria ormal estádar Cálculo del VaR de forma paramétrica Existe diferetes metodologías para calcular el VaR de forma paramétrica, el caso más simple resulta cuado se asume que la distribució de pérdidas y gaacias es iid 2 r N µ, σ, el VaR para u portafolio esta dado por: ormal. Dado este supuesto, t ( ) rt µ VaR µ Pr [ t VaR] = P α σ σ = VaR µ =Φ ( α) zα σ VaR = µ + σz α (0) dode Φ () i es la fució iversa de la distribució ormal acumulada y z α es el α - ésimo cuatil de ua distribució ormal estádar. E el caso de ua variable aleatoria co distribució ormal, su fució de distribució puede ser descrita por sus dos primeros mometos. Si embargo, para otras distribucioes los mometos de órdees mayores y e particular los asociados al coeficiete de asimetría y de curtosis, puede ser importates para determiar las características estocásticas de las series y por cosiguiete para el cálculo del VaR. E la Figura 2 se observa los valores e riesgo para dos variables aleatorias co curtosis diferetes. E este gráfico se preseta la fució de desidad de ua variable aleatoria ormal estádar y de ua variable aleatoria que distribuye t-studet ν = 5. Esta última preseta ua curtosis más alta que co cico grados de libertad ( ) 8

9 la ormal, es decir, los evetos extremos tiee ua probabilidad de ocurrecia más alta 2. Esto implica que el VaR co distribució t es más alto que el VaR asumiedo ormalidad, e cosecuecia, el VaR por ormalidad subestima el riesgo e casos dode la distribució de pérdidas y gaacias preseta colas pesadas pdf ormal VaR() VaR(t) pdf t Figura 2. VaR para ua variable co distribució ormal estádar y ua variable co ν = 5 distribució t-studet ( ) Si se supoe que la distribució de pérdidas y gaacias estadarizada es t co ν grados de libertad, el valor esperado y la variaza de la serie si estadarizar so 2 νσ v 2. Por lo tato, el VaR esta defiido por: µ y ( ) rt µ VaR µ VaR µ Pr [ t VaR] = P = Ptν, t = α σ σ σ VaR µ = tν ( α) tν, α σ VaR = µ + σ t να, () dode t v () i es la iversa de la fució de distribució t y t ν, α es el α -ésimo cuatil de ua distribució t co ν grados de libertad. De ua maera más geeral el VaR puede ser calculado a través de la fució de distribució iversa, la cual idetifica el cuatil asociado a ua probabilidad dada ua distribució: VaR α = F X ( α) (2) 7 La curtosis para ua variable aleatoria t co ν grados de libertad esta dada por: 3( ν 2) curtosis =, ν > 4 ( ν 4) 2 E estos casos se dice que la fució de distribució preseta colas pesadas. 9

10 dode como 3 : FX ( α) es la fució iversa de la fució de distribució F X y esta defiida { α} F ( α) = if x : F ( x) (3) X Esta fució o tiee ecesariamete ua solució aalítica, como e el caso de la fució de distribució ormal Estimació Como se puede apreciar e la ecuació (0), e el caso más simple el VaR depede 2 de dos parámetros, µ y σ. E la práctica existe varios estimadores para estos parámetros de acuerdo co los supuestos realizados sobre las propiedades estocásticas de la serie. A cotiuació se describe alguos de los estimadores 2 más utilizados para σ 4. Para destacar alguas diferecias etre estas metodologías, estas so aplicadas a los variacioes diarias de la tasa iterbacaria del mercado colombiao, TIB, para el período compredido etre abril de 995 y diciembre de 2004, (Figura 3). X Figura 3.Variacioes TIB Hasta ahora, u supuesto implícito e las metodologías mecioadas para el cálculo del VaR es que la volatilidad de los retoros del activo es costate a lo largo del tiempo. Auque este supuesto facilita el cálculo de las medidas de riesgo, descooce ua regularidad empírica de los activos fiacieros: la volatilidad codicioal o es costate a través del tiempo, específicamete, períodos de alta (baja) volatilidad del 3 De acuerdo co las ecuacioes (2) y (3) el VaR esta defiido e térmios porcetuales ya que esta expresado e las mismas uidades de X, e este caso retoros logarítmicos. Si embargo, las uidades de medida fiales F, debe ser multiplicado por el valor de la del VaR so catidades de diero, por lo tato el cuatil, ( α ) posició. 4 Usualmete el estimador de µ es la media muestral, x. X 0

11 activo so seguidos por períodos de alta (baja) volatilidad (volatility clusterig) 5. E cosecuecia, para teer u cálculo apropiado del VaR es ecesario teer e cueta el régime de volatilidad bajo el cual se este calculado Volatilidad histórica Si se supoe que la variaza del activo es costate e el periodo de estudio, u 2 estimador isesgado de la variaza, ˆ σ, para ua muestra de tamaño esta defiido por: 2 2 ( r ˆ i µ ) ˆ σ = (4) i= Usualmete la media de los retoros diarios es muy pequeña. Supoiedo ésta igual a cero y ua muestra relativamete grade es comú represetar la ecuació (3) de la siguiete forma: 2 2 ri ˆ σ = (5) i= Si embargo, e la mayoría las series fiacieras, como las variacioes de la TIB presetadas e la Figura 3, es usual que la variaza o sea costate e el tiempo. E este caso ua metodología secilla para estimar la variaza es a través de vetaas móviles: r t 2 2 i ˆ t = ; =, +,, i= t m+ m σ t m m E la Figura 4 se preseta los resultados de las variazas móviles estimadas para las variacioes de la TIB co diferetes tamaños de vetaa, m = 30 (líea puteada) y m = 60 días (líea sólida). E esta gráfica es claro que el supuesto de variaza costate o es valido para esta serie. U icoveiete de las vetaas móviles es la selecció del tamaño de la vetaa, ya que a medida que aumeta m la serie de volatilidades obteida es más suave pero o ecesariamete captura el comportamieto más reciete de la serie. Por el cotrario, si m dismiuye las observacioes más cercaas determia el comportamieto de la volatilidad, si embargo, tiee ua diámica más irregular. 5 Egle (982)

12 Figura 4.Volatilidad histórica para la TIB Método de Suavizamieto Expoecial (RiskMetrics ) Otra forma de calcular la volatilidad de u activo teiedo e cueta que ésta o es costate es a través del método de suavizamieto expoecial, el cual es u promedio poderado de las volatilidades pasadas de la forma: 2 2 t irt i i= σ = α (6) dode αi 0 cuado i y i= α =. Si se supoe que las poderacioes decae i expoecialmete a ua tasa costate, es decir, αi+ αi = λ dode 0< λ < 6 se obtiee: rezagado (7) y multiplicado por λ: 2 i 2 t ( ) rt i i= σ λ λ (7) 2 i 2 t ( ) rt i i= λσ λ λ (8) Fialmete, restado (8) de (7) y asumiedo u grade se obtiee: ( ) σ λσ + λ r (9) t t t La ecuació (9) idica que la volatilidad está determiada por el retoro y la volatilidad del periodo aterior. Su pricipal vetaja es que depede de u solo parámetro, λ, el cual idica la poderació asigada a cada uo de los dos térmios. 6 Es decir, i αi λ α =. 2

13 Esta metodología fue sugerida por J. P. Morga 7 y hace parte de RiskMetrics. E geeral se recomieda que el parámetro λ tome valores etre 0.94 y Figura 5. Estimacioes de las volatilidades co el método de suavizamieto expoecial para la TIB E la Figura 5 se muestra dos ejemplos de volatilidades estimadas a través de este método co λ = 0.94 (líea sólida) y λ = 0.99 (líea puteada). E esta gráfica se observa que la serie preseta u comportamieto más suave a medida que se aumeta el valor del parámetro λ. Tsay (2002) muestra que ua de las características de esta metodología es que el proóstico de la volatilidad del retoro para u horizote k, V ( rt+ k[ k] t), esta dada por: ( t+ k[ ] ) ( t+ ) V r k t = kv r t (20) lo cual se cooce, e térmios de desviacioes estádar, como la regla de la raíz cuadrada del tiempo. Para k =, el VaR de la metodología RiskMetrics se calcula como u VaR por ormalidad, ecuació (0), supoiedo µ = 0 y reemplazado σ por la raíz cuadrada de la variaza dada e la ecuació (9) Modelos ARCH y GARCH Como lo mecioa Tsay (2002), el VaR esta asociado a la predicció de ua posible pérdida de u portafolio para u horizote de tiempo dado. Por lo tato, este debería ser calculado usado la distribució de los proósticos de los retoros. 7 Ua descripció completa de esta metodología se ecuetra e J.P. Morga (995) 8 Ibídem. Pág

14 Específicamete, el VaR de los retoros de u portafolio, r t, para u horizote k, debería ser estimado co base e los proósticos de rt+ k[ k] dada la iformació dispoible hasta el período t. El proóstico de rt+ k[ k], depede del modelo que se asuma para describir la diámica de los retoros, por ejemplo, e el caso de RiskMetrics, la volatilidad de los retoros es estimada a partir de la ecuació (9). U modelo más geeral que el asumido por RiskMetrics es el modelo ARCH, el cual pretede replicar alguas regularidades de los activos fiacieros tales como los coglomerados de volatilidad (volatility clusterig) y las colas pesadas de la distribució 9. Los modelos ARCH (Autoregressive Coditioal Heteroscedasticity Models) fuero itroducidos por Egle (982) y supoe que la variaza o codicioal es costate e el tiempo, mietras que la variaza codicioal se asume variable. El modelo ARCH (q) se defie de la siguiete forma: rt = f( zt) + εt (2) εt η = (22) t h t q 2 t 0 i t i i= h = α + αε (23) dode f ( z t ) es ua fució que modela el valor esperado de r t, esta puede ser por ejemplo, u modelo de regresió lieal o u proceso ARMA 20 iid y η N(0,) es u proceso idepediete de h t. Adicioalmete, α 0 > 0, αi 0, i =,, q y t q αi <. Es posible demostrar bajo estos supuestos que ε t es u proceso ruido blaco co variaza codicioal h t. Ua posible geeralizació de estos modelos so los modelos GARCH, los cuales fuero desarrollados por Bollerslev (986). Los modelos GARCH (geeralized autoregressive coditioal heteroskedastic) posee ua estructura de rezagos más flexible y e muchos casos, permite ua descripció más parsimoiosa de los datos. U modelo GARCH (p,q) es descrito por las ecuacioes (2), (22) y (24), esta última ecuació es represetada como: i= h q p 2 t = α0 + αε i t i + βiht i i= i= (24) 9 Ua descripció detallada de las regularidades de los activos fiacieros se ecuetra e Bollerslev et al. (994). 20 E el caso que f ( z ) t este asociada a u modelo ARMA, se dice que las ecuacioes (2). (22) y (23) coforma u proceso ARMA-ARCH. 4

15 dode α0 > 0, αi 0, β j 0, i=,, q, j =,, p, lo que garatiza la o egatividad de la variaza codicioal. E este modelo la variaza, o codicioada, del error es: V ( ε ) = α 0 t q p α i i= j= β j (25) e cosecuecia, si q p α + βi la variaza del error o se ecuetra defiida u i i= i= choque e la volatilidad o se desvaece a medida que avaza el tiempo. Por lo tato, para que la variaza del error esté defiida la suma de los coeficietes debe ser meor que uo. E el caso que la sumatoria de estos coeficietes sea igual a uo, Nelso (990) propoe los modelos GARCH itegrados o IGARCH tales como el modelo RiskMetrics, el cual se puede cosiderar como u caso particular de u modelo IGARCH (,) co α 0 = 0 y f( z ) = 0. t Como se mecioó ateriormete los modelos ARCH o GARCH puede replicar dos hechos estilizados de los retoros fiacieros: coglomerados de volatilidad y distribucioes de colas pesadas. Por u lado, las ecuacioes (23) ó (24) implica coglomerados de volatilidad y segudo, dado que ε t codicioado al cojuto de iformació pasada hasta t tiee ua distribució ormal co media 0 y variaza codicioada h t, se puede demostrar que la curtosis de ε t o codicioado es mayor que tres 2, la curtosis bajo el supuesto de ormalidad. Por lo tato, la distribució deε t es de colas pesadas Figura 6. Variaza codicioal para u modelo IGARCH (,). TIB Colombia Esto es demostrado, etre otros textos, e Gouriéroux (997). 5

16 3.2.2 Simulació Histórica Otra maera a partir de la cual se puede obteer el VaR es a través de la iformació histórica de la serie de retoros, e este caso o se asume que la serie siga algua distribució paramétrica e particular. E esta metodología el VaR es calculado como el α-ésimo percetil de la distribució empírica de pérdidas y gaacias. E la Figura 7, se muestra la distribució de pérdidas y gaacias de u activo para el cual se calcula el percetil 95, correspodiete al VaR del 95% VaR (95%) Frecuecia Figura 7. VaR por simulació histórica Esta metodología evita la imposició de supuestos acerca de la distribució de los retoros y resulta fácil de implemetar. Si embargo, la simulació histórica supoe que la distribució o cambia e el tiempo y por lo tato es sesible al tamaño de la muestra seleccioado. Es así, como la iclusió o exclusió de datos detro de la simulació puede cambiar los resultados del VaR. Otros icoveietes de este método se ecuetra asociados a la deficiete capacidad de proóstico de retoros extremos debido a la posible ausecia de iformació acerca de este tipo de realizacioes. Adicioalmete, el carácter discreto de las observacioes impide ecotrar percetiles específicos, por ejemplo co u tamaño de muestra de 500 observacioes o se puede obteer u VaR del 97.5% Método de simulació Bootstrap Otra metodología utilizada para la estimació del VaR es el método de simulació por bootstrappig. Esta metodología tambié permite ecotrar alguas características de la distribució del estimador VaR, tales como su variaza e itervalos de cofiaza si realizar supuestos sobre la distribució de los retoros. El algoritmo para obteer el VaR a través de bootstrappig para las pérdidas de u activo, r t, es: 22 Alguas comparacioes etre la simulació histórica y otros métodos para calcular el VaR se puede ecotrar e Mahoey (996) y Daielsso y de Vries (2000). 23 Existe otros métodos o paramétricos para estimar el VaR, por ejemplo, Butler y Schachter (996) propoe u kerel smoother para estimar la fució de distribució de pérdidas y gaacias. 6

17 i) Se costruye B submuestras de tamaño S, ( t,2,, S) retoros tiee la misma probabilidad de ser seleccioados ( p S ) ii) iii) =, dode los = /, es decir, se realiza u muestreo aleatorio simple co reemplazamieto. Para cada ua de las B submuestras se calcula el VaR por simulació () (2) ( B) VaR, VaR,, VaR histórica ( ) Fialmete, u estimador del VaR puede ser calculado como el promedio de los VaR obteidos e las B submuestras: VaR bootstrap B () i = VaR (26) B i = Value at Risk 20 5 Frecuecia relativa Figura 8. VaR por Bootstrappig (B = 50000) E la Figura 8 se preseta el histograma para la distribució del VaR 95 obteido a través del método de simulació de bootstrap para la cola derecha de la distribució de las variacioes de la TIB. E este ejercicio se utilizaro submuestras de tamaño S = 2370 y replicacioes. Los percetiles de esta distribució se puede utilizar para calcular itervalos de cofiaza del VaR, para este ejercicio el itervalo de cofiaza al 90%, co base e los percetiles 5 y 95 so.8876 y U gra icoveiete que preseta esta metodología, es que asume que los retoros proviee de ua distribució idepediete e idéticamete distribuida, iid..., lo cual o se preseta e geeral e retoros de activos fiacieros. Ua posible solució a este problema es supoer u modelo apropiado para los retoros de tal forma que sus errores sea iid..., realizar u proceso de simulació sobre estos y posteriormete calcular el VaR sobre la serie origial. 7

18 3.2.4 Métodos de simulació Mote Carlo A diferecia de los dos procedimietos ateriores, los métodos de simulació Mote Carlo asume ua distribució sobre los retoros 24. El procedimieto descrito e puede ser utilizado para calcular el VaR por este método. Si embargo, e lugar de realizar simulacioes históricas e la etapa ii ), el VaR es estimado para cada submuestra de acuerdo co la distribució asumida 25. Al igual que los métodos de simulació bootstrap, este método permite estimar itervalos de cofiaza del VaR VaR y horizote temporal Como se mecioó ateriormete, el VaR es ua medida que depede tato del ivel de cofiaza, α 00%, como del período de teecia del portafolio, k. E térmios de regulació, el comité de Basilea recomieda el cálculo del VaR co u ivel de cofiaza del 99%, basado e iformació histórica de u año, 250 días hábiles, y u período de teecia de 0 días 26, e el caso colombiao la Superitedecia Bacaria exige iformació histórica de por lo meos cuatro años, u periodo de teecia de 0 días y u ivel de cofiaza mayor o igual al 98%. Para el método de RiskMetrics J.P. Morga asume u período de teecia de u día a u ivel de cofiaza del 95% 27. Las diferecias etre los valores del VaR de u activo cuado se tiee distitos períodos de teecia se fudameta e los siguietes resultados. Sea r t el retoro logarítmico de u activo, etoces el retoro para u período de teecia de k días es: k rk [ ] = r (27) t t i i= 0 por lo tato, el valor esperado y la variaza de rk t[ ] so: ( ) ( ) k E r[ k] = E( r ) (28) t i= 0 t i k k k (29) V r[ k] = V( r ) + Cov( r, r ) t t i t i t j i= 0 i= 0 j= 0, j i 24 E el caso e que la diámica estocástica de los retoros sea descrita por u modelo, el método de Mote Carlo supoe ua distribució sobre los errores de este modelo. 25 Existe otras formas de calcular el VaR usado métodos de simulació Mote Carlo, ua descripció sobre estas metodologías se puede ecotrar e McNeil et al. (2004). 26 Jorio (999). 27 Logerstaey (995) Pág 4 8

19 Si los retoros so iid... 28, etoces Cov( rt i, rt j) = 0 para todo i j y Er ( t i) = µ, V( r ) 2 t i = σ para todo. i De las ecuacioes (28) y (29) se obtiee: ( [ ]) E r k = kµ (30) t 2 ( [ ]) kσ V r k t = (3) Bajo estas codicioes, el valor esperado y la variaza de rk t[ ] so el producto del úmero de períodos, k, por el valor esperado y la variaza de r t, respectivamete. Por ejemplo, el cálculo del VaR bajo los supuestos de ormalidad e iid... para u período de teecia k es: VaR[ k] = kµ + k z α σ (32) Es decir, a medida que se icremeta el período de teecia, el VaR describe ua curva cócava. Este efecto es más claro para valores pequeños de k, dode domia el efecto de la variaza, kσ, sobre la tedecia, kµ, o cuado el valor esperado de los retoros es cero. Esta regla es coocida como la regla de la raíz cuadrada del tiempo. Es posible mostrar que para modelos específicos, como RiskMetrics, se obtiee este resultado. E cosecuecia, se puede obteer escalas de equivalecia etre diferetes VaR, como e el caso del VaR obteido por RiskMetrics y el VaR recomedado por el Comité de Basilea a través de la idetidad: 2.32 VaRBasilea = 0 VaRRiskMetrics = 4.45 VaRRiskMetrics (33).65 Dode.65 y 2.32 so cuatiles de ua distribució ormal estádar asociados a probabilidades de 0.95 y 0.99, respectivamete Características y críticas del VaR El VaR es ua medida geeralmete aceptada por los diferetes participates de los mercados fiacieros, ya que este preseta varias cualidades co respecto a su implemetació y compresió, las pricipales vetajas que caracteriza el VaR so 29 : i) El VaR es ua medida de riesgo uiversal, ya que este puede ser aplicado a cualquier tipo de activo o fuete de riesgo. ii) iii) El VaR es simple, posee ua fácil iterpretació. El VaR es completo, resume e u solo úmero, e uidades moetarias, todas las posibles fuetes de riesgo de mercado existetes e u portafolio. 28 E este cotexto este supuesto se cooce como la hipótesis de mercados eficietes. 29 Acerbi y Tasche. (2002). 9

20 Si embargo, Artzer et al. (998), defiiero formalmete alguas codicioes que debería satisfacer ua medida de riesgo e itrodujo el cocepto de medida de riesgo coherete. Sea ρ :V ua medida de riesgo, dode V es u espacio de variables aleatorias e el cual se ecuetra todos los factores de riesgo, se dice que ρ es ua medida de riesgo coherete si satisface las siguietes codicioes 30 : i) Mootoicidad: para todo X, Y V co X Y, ii) Homogeeidad positiva: para todo 0, etoces ρ( X ) ρ( Y ) λ y X V, ρ( λx) = λρ( X).. iii) Ivariate ate traslacioes: para todo X V, y todo α, ρ ( X + α) = ρ( X) α. iv) Subaditividad: para todo X, Y V, ρ( X Y) ρ( X) ρ( Y) + +. La subaditividad tiee u sigificado especial detro de la admiistració de riesgo, ya que esta asociada co el pricipio de diversificació. Ate portafolios grades, e los que resulta complicado calcular ua medida de riesgo global, es útil coocer que el máximo riesgo que podría teer portafolio correspode a la suma de los riesgos idividuales. Además, esta propiedad posee ua relació co la covexidad de la medida de riesgo, lo cual garatiza que se puede ecotrar ua combiació óptima detro del portafolio tal que miimice el riesgo 3. Si embargo, es posible mostrar que el VaR o satisface la codició de subaditividad sio úicamete bajo distribucioes elípticas como e el caso de la ormal 32, por lo que se dice que el VaR o es ua medida coherete de riesgo, e cosecuecia el VaR puede llevar a resultados cotradictorios y e alguos casos adversos para el admiistrador de riesgo Expected Shortfall Ate estos icoveietes que preseta el VaR, Artzer, Delbae Ebert y Heath (200), defie otra medida de riesgo, Expected Shortfall (ES), que satisface las propiedades ateriormete mecioadas. El Expected Shortfall idica cual es el valor esperado de la pérdida, dado que ésta es mayor que el VaR. Para los retoros de u activo r t, el ES esta defiido por 34 : ( ) ES = E r r > VaR (34) α α 30 Artzer et al. (998). 3 Acerbi y Tasche, (2002). 32 Embrechts, et. al. (2002). Pág Para alguos ejemplos e los cuales el VaR es ua medida icoherete, ver Acerbi y Tasche. (2002). 34 La ecuació (34) preseta la defiició del ES e el caso de distribucioes cotiuas. Si embargo, para esta medida de riesgo existe otras defiicioes más geerales las cuales puede ser aplicadas tato a casos cotiuos como discretos. Ua discusió detallada sobre estas medidas se ecuetra e Acerbi y Tasche (2002). 20

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