Paso de los diagramas de grafos a los diagramas de bloques

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1 Capíítullo T Paso d los diagramas d graos a los diagramas d bloqus.. INTODUCCIÓN Uno d los lnguajs d simulación más antiguo y más utilizado s l d los diagramas d bloqus. D hcho, aún n la actualidad s l más rcunt n la simulación d sistmas dinámicos controlados y muchos programas comrcials sigun basándos n sta técnica para rsolvr cualquir sistma dinámico. Sin mbargo, l Bond-Graph ha supusto una mjora n algunos aspctos, motivo por l cual mostrarmos cómo plantar l diagrama d bloqus a partir d un diagrama d graos d manra qu puda utilizars n la ntrada d datos d dichos programas. Para introducir al lctor n la técnica d los diagramas d bloqus, dsarrollarmos paso a paso un jmplo sncillo. En la igura., s prsnta un modlo mcánico con su diagrama d graos al qu s l ha hallado la causalidad. lo largo d la construcción dl diagrama d bloqus srá muy important tnr prsnt n cada instant la causalidad d cada grao. S :-m g m I:m S : Figura.

2 En la unión 0, ormada por los graos, 5 y 2, s tin qu l grao ntra n la unión con lujo conocido al igual qu l grao 5, mintras qu l 2, sal con lujo conocido. Es dcir, n sta unión, atndindo a la causalidad, pud dcirs qu s suma l lujo d más l d 5 para dar l lujo n 2. Es dcir, podría scribirs qu: 5 = No obstant, l grao 5 toma como dircción la salida d la unión 0, lo qu signiica qu ntra n la unión con lujo conocido pro su signo s ngativo. En dinitiva, n sta unión s cumplirá qu: - 5 = En la igura.2, s rprsnta l bloqu d la unt S, y l d la unión 0. Funt d lujo Flujo dl grao - Flujo dl grao 5 Suma d lujos n la unión 0 Flujo dl grao 2 Figura.2 Siguindo por l grao 2, s llga a una unión n dond, sgún la causalidad, los graos 3 y 4 saln con lujo conocido ya qu l grao 2 s ha ncargado d dinir l lujo d la unión. En la igura.3, s añad al diagrama d bloqus d la igura antrior, la rprsntación d la unión ormada por los graos 2, 3 y Unión Igualdad d lujos Flujo dl grao 3 4 Flujo dl grao 4 Figura.3 El grao 3 s una purta rsort n la qu s cumpl qu: 3 =. En dond, sría l dsplazaminto n sta purta. Evidntmnt, l dsplazaminto no s otra cosa qu la intgral dl lujo n l timpo. =. dt

3 En la purta rsort, por tanto, s ncsario hacr dos opracions: primro, intgrar l lujo para obtnr l dsplazaminto y n sgundo lugar, multiplicar l dsplazaminto por la rigidz asociada a la purta. l inal s ha transormado l lujo d ntrada n un surzo. En la igura.4 s rprsntan los bloqus ncsarios para simular sta purta. Si s obsrva l diagrama d bloqus d la igura.4, s llga a la conclusión d qu por cada lína ntr bloqus, solamnt va un parámtro ísico, bin sa l lujo o l surzo, pro nunca los dos. Est hcho s contrario a la structura dl Bond-Graph, n dond cada grao llva asociado tanto l lujo como l surzo

4 - 5 gración n l timpo dl lujo 4 Multiplicación dl dsplazaminto por Transorma l dsplazaminto a la ntrada n surzo a la salida 3 Esurzo n l grao 3 - Bloqu unt d surzo Bloqu suma d lujos Bloqu qu rprsnta un nudo n dond todos los lujos son iguals Bloqu intgrador Figura.4 Bloqu multiplicador qu da a la salida l valor d la ntrada multiplicado por Continumos con l dsarrollo dl jmplo; l lujo dl grao 4 ntra n una purta rsistncia. En sta purta, al ntrar con lujo conocido, s cumplirá qu l surzo asociado a la purta s igual al lujo 4 por. En la igura.5, s mustra l bloqu qu simula la purta

5 - 5 4 Multiplica 4 por, y sindo la ntrada lujo da a la salida surzo 3 3 Esurzo n l grao 4 Figura.5 Una vz obtnidos n l diagrama d bloqus los surzos d los graos 3 y 4, volvmos al Bond-Graph dl modlo dond s obsrva la unión ormada por los graos 3, 4 y 2. Si s atind a la causalidad, l grao 3 y l 4 ntran n la unión con surzo conocido y l grao 2, sal d la unión con surzo conocido. Siguindo pus l critrio d la causalidad, s tin qu: 2 = 3 4 Esta suma d surzos s rprsntará n l diagrama d bloqus mdiant un bloqu tipo suma qu ya había sido utilizado antriormnt. En la igura.6, s mustra la continuación dl diagrama d bloqus. ntriormnt s había indicado qu por cada lína dl diagrama d bloqus, solamnt iba un parámtro ísico; n la igura.7 pud obsrvars cómo sto implica qu cada unión tnga qu sr rprsntada mdiant dos bloqus. Ectivamnt, la unión ormada por los graos 2, 3 y 4, ncsita dos bloqus, uno para indicar qu l lujo d todos los graos d la unión s igual, y l otro para qu s cumpla la suma d surzos

6 - 5 Flujos iguals n la unión Suma d surzos n la unión 2 Esurzo n l grao 5 Figura.6 Una vz dtrminado l surzo n l grao 2 s llga a la unión 0 y como s lógico, los graos y 5 saln d la unión con surzo conocido

7 - 5 4 Los dos bloqus rprsntan la misma unión Esurzo n l grao 5 Esurzo n l grao 5 Figura.7 El surzo dl grao s llva a un punto crcano al bloqu d la unt d lujo, para indicar qu s l surzo asociado a lla. El surzo 5 llga a una unión ormada por los graos 5, 6 y 7. tndindo n sta unión a los critrios d causalidad pud dcirs qu: 6 = 5 7 Sindo l surzo 7, procdnt d una unt d surzo S. En la igura.8, s añadn al diagrama d bloqus tanto l bloqu suma d surzos, como l qu rprsnta la unt d surzo

8 Figura.8 Esurzo n l grao Suma d surzos n unión -m g Bloqu unt d El grao 6 s una purta d inrcia a la qu s ntra con surzo conocido. cordando la dinición d la purta d inrcia s tin qu: Sindo P l momnto asociado a lla: 6 = dp/dt Y por lo tanto, intgrando l surzo n l timpo obtnmos: 6. dt = P Y dividindo P por l valor asociado a la purta, quda: P/m = 6 Lo qu signiica qu n la purta d inrcia s ha ntrado con surzo conocido y s sal con lujo conocido. En la igura.9 s añadn los bloqus ncsarios para simular l comportaminto d la purta inrcia. Por último, l lujo 6 ntra n una unión y din l lujo d todos los dmás graos d sta unión, d modo qu los graos 5 y 7 saln d la unión con lujo conocido igual a

9 - 5 Flujo n l grao /m Bloqu qu multiplica la ntrada por /m Momnto 4 3 Bloqu intgración d surzo Figura.9 En la igura.0, s rprsnta l diagrama d bloqus ya trminado. 7 -m g /m m g Figura

10 Con bloqus, al igual qu con los diagramas d graos, pud rprsntars prácticamnt cualquir dominio d la ísica. Cada lmnto dl Bond-Graph tin su rprsntación mdiant bloqus. En las iguras. y.2, s rprsntan las quivalncias ntr lmntos d Bond-Graph y bloqus. S (t) S (t) I /m / Figura

11 m 2 TF /m 2 /m m 2 TF m m 2 r 2 GY r r 2 r 2 GY /r 2 /r Figura.2 Para l paso d un diagrama d graos a otro d bloqus, hay qu tnr n cunta principalmnt dos cosas: En los diagramas d bloqus las línas solo llvan asociado un parámtro ísico. La causalidad dl bond-graph s lo qu dtrmina los critrios a sguir n l paso d un diagrama a otro..2. DIGM DE BLOQUES DE MODELOS MECÁNICO- HIDÁULICOS Uno d los jmplos dsarrollados n los primros capítulos s l d las suspnsions hidronumáticas. Utilizarmos aqul Bond-Graph n st apartado para obtnr su diagrama d bloqus. El grao s una unt d lujo qu ntra n un lmnto transormr y qu, vidntmnt, tin como causalidad l lujo. El lmnto transormr s rprsnta n bloqus mdiant un multiplicador dl parámtro ísico qu ntra, sindo la razón dl multiplicador la misma qu la dl transormr. En la igura s rprsnta l quivalnt dl grao y dl 2 n un diagrama d bloqus

12 cumulador hidronumático S:-m g 9 I:m z m 7 TF:/ = Scción dl émbolo TF: S :V 0 Funt d lujo Figura.3 V = Figura.4 El bloqu s l ncargado d multiplicar l lujo por y dar a la salida l lujo d valor. En la unión 0, ormada por los graos 2, 3 y 6, l grao 2 y l 6 ntran con causalidad lujo conocido, mintras qu l grao 3 sal d la unión con causa lujo conocido. Como l grao 6 sal d la unión 0, s cumpl qu: - 6 = Siguindo con l grao 3, ntra con lujo conocido n una unión dinindo, por lo tanto, l lujo d salida d los dmás graos d la unión. Funt d lujo V Figura.5 El grao 5 ntra con lujo conocido n una purta rsort. Como s vio n l jmplo antrior, primramnt s ncsario intgrar l lujo para obtnr l dsplazaminto y postriormnt, multiplicarlo por la rigidz d la purta para hallar l surzo dl grao 5. Por su part, l lujo dl grao 4 ntra n una purta rsistncia d valor. Para obtnr l surzo 4, basta con multiplicar 4. Los surzos d los graos 4 y 5 ntran n una unión, dond s cumpl qu: 4 5 =

13 Postriormnt, l surzo 3 llga a una unión 0, dinindo,n conscuncia, l surzo d salida d todos los dmás graos d unión. Una vz dinido l surzo 2, st ntra n l transormr con surzo conocido y din la salida n surzo dl grao. Por otra part, l surzo 6 ntra n l transormr /, y s obtin l surzo 7. Funt d lujo V = 4 Dsplazaminto n la purta rsort 5 = Figura.6 En la igura.7, s añadn al diagrama d bloqus los últimos razonamintos. El surzo 7 llga a una unión, n dond s cumpl qu: 7 8 = 9 Postriormnt, l grao 9 ntra n una purta d inrcia dond s ncsario intgrar l surzo para obtnr l momnto y dspués dividir st momnto por l valor asociado a la purta para obtnr dinitivamnt l lujo 9. su vz, st lujo ntra n la unión junto a los graos 7 y 8, dinindo sus lujos d salida. Funt d lujo V = 4 Dsplazaminto n la purta rsort - 5 = 2 = 3 6 = 4 L 7 = 6 Figura

14 Funt d lujo V = 4 Dsplazaminto n la purta rsort - = 2 3 = 4 5 = 6 = 4 8 =P/m 9 /m 2 = 3 Momnto P Funt d surzo m g -m g 8 7 = 6 9 = =P/m Figura.8 El lujo 7 ntra n l transormr d razón / y s obtin l lujo dl grao 6. Con sto s ha trminado l diagrama d bloqus dl modlo plantado

15 Funt d lujo V = 4 Dsplazaminto n la purta rsort - = 2 3 = 4 5 = 6 = 4 8 =P/m 9 /m 2 = 3 Momnto P Funt d surzo m g -m g 8 7 = 6 9 = =P/m 6 =P /m Figura.9.3. MODELOS CON PUETS DE INECI DE CUSLIDD FLUJO Hasta ahora n todos los jmplos plantados las purtas inrcia tnían como causalidad l surzo. En l modlo d la igura.20 hay una purta d inrcia con causalidad lujo. Vamos n st caso cómo s planta l diagrama d bloqus

16 w 0 k J w k 2 w 2 J 2 2 w 3 J 3 P 2 P 2 I:J 2 I:J S:w / TF I:J 3 w Figura.20 S part como d costumbr d una unt qu, n st caso, s única y d lujo

17 Funt d lujo - = P /J 9 = J3 / 2 2 = 5 = = -/ 2 0 = 4 /J Momnto P J 3 d/dt 4 = P /J 0 9 = P /J 5-7 = P 2 /J 2 9 -/ 2 6 /J 2 8 = P 2 /J 2 2 P 2 Momnto = = = = J3 / 2 Figura.2-8 -

18 Dada una purta d inrcia a la qu s ntra con causalidad lujo, los pasos qu s plantan n l diagrama d bloqus son los siguints: I:J 3 Figura.22 l conocr l lujo, s halla inicialmnt la aclración n la purta d inrcia sin más qu drivar rspcto al timpo. = d /dt d/dt Figura.23 Como la aclración n la purta, multiplicada por l valor d sta s igual al surzo, s tndrá: = J 3 J 3 Figura.24 El rsto d bloqus d la igura.2, no incluyn ninguna novdad rspcto a lo prsntado n los jmplos antriors CSO DE QUE L CUSLIDD EN L PUET ESOTE SE ESFUEZO En la igura.25, s mustra un modlo n l qu una d las purtas rsort tin causalidad surzo. Est caso ya había sido analizado n l capítulo d la causalidad, y aquí simplmnt s dsarrollará l diagrama d bloqus

19 F(t) M 2 a b c P I:M 5 -b/a TF S:F(t) c/a TF 9 7 S:-M g Figura.25 El grao 2 rprsnta una purta rsort dond la causa s surzo. 2 Figura.26 En st caso s conoc l surzo 2, y l lujo s obtin n dos pasos. Primramnt l surzo s dividido por para obtnr l dsplazaminto asociado a la purta. Dsplazaminto= 2 / 2 / 2 / Figura.27 Por último, basta drivar rspcto al timpo l dsplazaminto para obtnr l lujo. = d/dt( 2 / ) 2 / d/dt Figura

20 El rsto dl Bond-Graph s pasa al diagrama d bloqus aplicando simplmnt los critrios stablcidos n los jmplos antriors. En la igura.29, s mustra l diagrama complto d bloqus dl modlo n studio. Funt d surzo - F(t) = F =-M g 4 - -M g / d/dt 2 / P /M 6 7 = P/M = P/M 5 -b/a -c/a 9 = -c P/a M = -b P/a M 0 = 9 = 2 0 = 2 -c/a 8 = 2 -b/a 5 = -b 2 /a Figura.29 En dinitiva, cuando una purta rsort tin causalidad lujo, su rprsntación n bloqus s raliza mdiant una intgración y una multiplicación, mintras qu cuando la causalidad s surzo s hac mdiant una división y una drivación

21 Dsplazaminto Dsplazaminto / d/dt Figura.30 Por st motivo, algunos autors a la causalidad lujo n la purta rsort la dnominan causalidad intgral y a la causalidad surzo causalidad dirncial. Causalidad intgral Figura.3 Causalidad dirncial En l caso d las purtas inrcia, sucd todo lo contrario. Cuando la causalidad s surzo su rprsntación n bloqus s hac mdiant una intgración y una división, mintras qu con causalidad lujo s mpla una drivación y una multiplicación. I:M Momnto P /M d I:M clración d/dt M Figura.32 En st caso, cuando la causalidad s surzo, s dic qu la purta tin causalidad intgral, y cuando s lujo s dnomina dirncial. I I Figura.33 Causalidad dirncial Causalidad intgral