UN SISTEMA GENERADOR DE NÚMEROS PSEUDO ALEATORIOS

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1 UN SISTEMA GENERADOR DE NÚMEROS PSEUDO ALEATORIOS Gullermo Becerra Córdova Uversdad Autóoma Chapgo, Dpto. de Preparatora Agrícola, Área de Físca. E-mal: Méxco Abstract The smulato s a umerc techque to carry out expermets a computer. These expermets volve certa types of mathematcal ad logcal models that descrbe systems of busess, ecoomc, socal, bologcal, physcal or chemcal through log perods of tme. To be able to carry out a smulato that cludes varablty sde ther evets, t s ecessary to geerate a seres of umbers that they are aleatory for themselves, ad that ther radomess s extrapolated to the smulato patter that s buldg. The aleatory umbers costtute the ma part of the smulato of stochastc processes ad they are geerally used to geerate the behavor of aleatory varables, so much cotuous as dscreet. Because t s ot possble to geerate really aleatory umbers, we cosder them as pseudo aleatory umbers, geerated by meas of algorthms determstcs that requre outburst parameters. I ths work a system s preseted that geerates pseudo aleatory umbers by meas of dfferet algorthms. The algorthms that are used the system are the cogruetal ad the o cogruetal. To verfy that they are really depedet ad uform the geerated umbers, the system has routes that make possble to subject them to a seres of tests. If the pseudo aleatory umbers overcome the tests, they wll be bee able to use some smulato; otherwse they wo't be cosdered. To use the umbers that have bee geerated ad they have bee accepted, the system has a opto to export them to some calculato leaf. Keywords. Smulato, pseudo aleatory umbers, stochastc processes, cotuous ad dscreet varables. Resume La smulacó es ua técca umérca para realzar expermetos e ua computadora. Estos expermetos volucra certos tpos de modelos matemátcos y lógcos que descrbe sstemas de egocos, ecoómcos, socales, bológcos, físcos o químcos a través de largos períodos de tempo. Para poder realzar ua smulacó que cluya varabldad detro de sus evetos, es precso geerar ua sere de úmeros que sea aleatoros por sí msmos, y que su aleatoredad se extrapole al modelo de smulacó que se está costruyedo. Los úmeros aleatoros costtuye la parte prcpal de la smulacó de procesos estocástcos y geeralmete se usa para geerar el comportameto de varables aleatoras, tato cotuas como dscretas. Debdo a que o es posble geerar úmeros realmete aleatoros, los cosderamos como úmeros pseudo aleatoros, geerados por medo de algortmos determístcos que requere parámetros de arraque. E este trabajo se preseta u sstema que geera úmeros pseudo aleatoros por medo de dferetes algortmos. Los algortmos que se utlza e el sstema so los cogruecales y los o cogruecales. Para verfcar que realmete so depedetes y uformes los úmeros geerados, el sstema tee rutas que hace posble someterlos a ua sere de pruebas. S los úmeros pseudo aleatoros supera las pruebas, podrá utlzarse e algua smulacó; de lo cotraro o se deberá cosderar. Para utlzar los úmeros que se ha geerado y ha sdo aceptados, el sstema tee ua opcó para exportarlos a algua hoja de cálculo. Palabras Clave. Smulacó, úmeros pseudo aleatoros, procesos estocástcos, varables cotuas y dscretas.

2 Itroduccó Para poder realzar ua smulacó que cluya varabldad detro de sus evetos, es precso geerar ua sere de úmeros que sea aleatoros por sí msmos, y que su aleatoredad se extrapole al modelo de smulacó que se está costruyedo. E la costruccó de u modelo de smulacó, los úmeros aleatoros juega u papel mportate. Así, ua de la prmeras tareas que es ecesaro llevar a cabo cosste e determar s los úmeros que utlzaremos para ejecutar la smulacó so realmete aleatoros o o; precsar lo ateror co absoluta certdumbre resulta muy complcado, ya que para ello se tedría que geerar u úmero fto de valores que os permtera comprobar la exsteca de correlacoes etre ellos. Esto sería muy costoso y tardado, volvedo mpráctco el uso de la smulacó au co las computadoras más avazadas. A pesar de lo ateror, podemos asegurar co altos veles de cofabldad que el cojuto de úmeros que utlzaremos e ua smulacó se comporta de maera muy smlar a u cojuto de úmeros totalmete aleatoros; por ello es que se les deoma úmeros pseudo aleatoros. Cas todas las aplcacoes comercales tee varos geeradores de úmeros pseudo aleatoros que puede geerar u cojuto de úmeros s mostrar correlacó etre ellos. E el presete trabajo dscutremos alguos de los métodos de geeracó de úmeros pseudo aleatoros y las característcas que debe teer para emplearlos como ua fuete cofable de varabldad detro de los modelos. Asmsmo, se mostrará alguas de las pruebas más comues para comprobar qué ta aleatoros so los úmeros obtedos co dchos geeradores. Para realzar ua smulacó se requere úmeros pseudo aleatoros e el tervalo (, ), es decr, ua secueca de úmeros r { r, r, r3,... r } que cotega úmeros, todos ellos dferetes; recbe el ombre de período o cclo de vda del geerador que creó la secueca. Los úmeros pseudo aleatoros costtuye la parte medular de la smulacó de procesos estocástcos y geeralmete se usa para geerar el comportameto de varables aleatoras, tato cotuas como dscretas. Debdo a que o es posble geerar úmeros realmete aleatoros, los cosderamos como pseudo aleatoros, geerados por medo de algortmos determístcos que requere parámetros de arraque. Dada la mportaca de cotar co u cojuto de úmeros pseudo aleatoros sufcetemete grade, e este trabajo se preseta dferetes algortmos determístcos para obteerlos. Por otra parte, es coveete señalar que el cojuto de úmero pseudo aleatoros debe ser sometdo a ua varedad de pruebas para verfcar s so realmete depedetes y uformes. S las pruebas so superadas, podrá utlzarse e la smulacó; de lo cotraro, smplemete debemos desecharlos. Geerar u cojuto de úmeros pseudo aleatoros es ua tarea relatvamete seclla, sólo es ecesaro dseñar u algortmo de geeracó. Lo que resulta dfícl es dseñar u algortmo que geere u cojuto de úmeros pseudo aleatoros co período de vda sufcetemete grade y además pase s problemas las pruebas de uformdad e depedeca, lo cual mplca evtar problemas como éstos: Que los úmeros pseudo aleatoros o esté uformemete dstrbudos, es decr, que haya demasados úmeros e u subtervalo y e otro muy pocos o guo. Que los úmeros pseudo aleatoros geerados sea dscretos e lugar de cotuos.

3 Que la meda del cojuto sea muy alta o muy baja, es decr, que esté por arrba o por debajo de ½. Que la varaza del cojuto sea muy alta o muy baja, es decr, que se localce por arrba o por debajo del /. Materales y Métodos A cotuacó se preseta dferetes algortmos determístcos para geerar úmeros pseudo aleatoros, los cuales se clasfca e cogruecales y o cogruecales. Algortmos o cogruecales Los algortmos o cogruecales que se cluye e este proyecto so cuadrados medos, productos medos y multplcador costate. Algortmo de cuadrados medos Este algortmo o cogruecal fue propuesto e la década de los cuareta del sglo por Vo Neuma y Metropols. Requere u úmero etero detoador co D dígtos, el cual es elevado al cuadrado para seleccoar del resultado los D dígtos del cetro; el prmer úmero se determa smplemete atepoedo el. a esos dígtos. Para obteer el segudo úmero se sgue el msmo procedmeto, solo que ahora se eleva al cuadrado los D dígtos del cetro que se seleccoaro para obteer el prmer úmero. Este método se repte hasta obteer úmeros. A cotuacó se preseta co más detalle los pasos para geerar úmeros co el algortmo de cuadrados medos.. Seleccoar la semlla ( ) co D dígtos ( D > 3).. Sea Y resultado de elevar al cuadrado; sea los D dígtos del cetro y sea r.d dígtos del cetro. 3. Sea Y resultado de elevar al cuadrado; sea + los D dígtos del cetro y sea r +.D dígtos del cetro para toda,, 3,...,. 4. Repetr el paso 3 hasta obteer los úmeros r deseados. El algortmo de cuadrados medos geeralmete es capaz de geerar ua secueca de úmeros co período de vda grade. Además, e ocasoes solo es capaz de geerar u solo úmero. Algortmo de productos medos La mecáca de geeracó de úmeros pseudo aleatoros de este algortmo o cogruecal es smlar a la del algortmo de cuadrados medos. La dfereca etre ambos radca e que el algortmo de productos medos requere dos semllas, ambas co D dígtos; además, e lugar de elevarlas al cuadrado, las semllas se multplca y del producto se seleccoa los D dígtos del cetro, los cuales formará el prmer úmero pseudo aleatoro r. D. Después se elma ua semlla y la otra se multplca por el prmer úmero de D dígtos, para luego 3

4 seleccoar del producto los D dígtos que coformará u segudo úmero r. Etoces se elma la seguda semlla y se multplca el prmer úmero de D dígtos por el segudo úmero de D dígtos; del producto se obtee el tercer úmero r. Sempre se rá elmado el úmero más atguo, y el procedmeto se repetrá hasta geerar los úmeros pseudo aleatoros. A cotuacó se preseta co más detalle los pasos del método para geerar úmeros co el algortmo de productos medos.. Seleccoar ua semlla ( ) co D dígtos.. Seleccoar ua semlla ( ) co D dígtos. 3. Sea Y * ; sea los D dígtos del cetro y sea r. D dígtos del cetro. 4. Sea Y + : sea + los D dígtos del cetro y sea r +. D dígtos del cetro para toda,, 3,...,. 5. Repetr el paso 4 hasta obteer los úmeros r deseados. Algortmo de multplcador costate Este algortmo o cogruecal es smlar al algortmo de productos medos. Los sguetes so los pasos ecesaros para geerar úmeros pseudo aleatoros co el algortmo de multplcador costate.. Seleccoa ua semlla ( ) co D dígtos ( D > 3).. Seleccoar ua costate (a) co D dígtos ( D > 3). 3. Sea Y a * ; sea los D dígtos del cetro y sea r. D dígtos del cetro. 4. Sea Y a * ; sea + los D dígtos del cetro y sea r +. D dígtos del cetro para toda,, 3,...,. 5. Repetr el paso 4 hasta obteer los úmeros r deseados. Algortmos cogruecales Etre los algortmos cogruecales se ecuetra los algortmos cogruecales leales y los o leales. Algortmos cogruecales leales E este trabajo abordaremos los algortmos cogruecales leales como el algortmo cogruecal leal, el multplcatvo y el adtvo. 4

5 Algortmo Leal Este algortmo cogruecal fue propuesto por D. H. Lehmer e 955. Segú Law y Kelto, este algortmo ha sdo el más utlzado. El algortmo cogruecal leal geera ua secueca de úmeros eteros por medo de la sguete ecuacó recursva: Co,, 3,..., ( a c) mod( m) + + Dode es la semlla, a es la costate multplcatva, c es ua costate adtva y m es el módulo: >, a >, c > y m > debe ser úmeros eteros. La operacó mod m sgfca multplcar por a, sumar c y dvdr el resultado etre m para obteer el resduo +. Es mportate señalar que la ecuacó recursva del algortmo cogruecal leal geera ua secueca de úmeros eteros y que para obteer úmeros pseudo aleatoros e el tervalo (, ) se requere de la sguete ecuacó: Co,,3,..., r m Para que el algortmo sea capaz de lograr el máxmo período de vda, es precso que los parámetros, a, y m cumpla co certas codcoes. Baks, Carso, Nelso y Ncol g sugere lo sguete: m debe ser múltplo de, dode g debe ser etero, a + 4k, dode k debe ser etero y c debe ser relatvamete prmo a m. Bajo estas codcoes se obtee u período de vda máxmo: N g m. Algortmo cogruecal multplcatvo El algortmo cogruecal multplcatvo surge del algortmo leal cuado c. Etoces la ecuacó recursva es: Co,,, 3,..., ( a ) mod( m) + E comparacó co el algortmo cogruecal leal, la vetaja del algortmo multplcatvo es que mplca ua operacó meos a realzar. Los parámetros de arraque de este algortmo so, a y m, los cuales debe ser eteros y mayores que cero. Para trasformar los úmeros e el tervalo (, ) se usa la ecuacó: Co,,, 3,..., r m De acuerdo co Baks, Carso, Nelso y Ncol, las codcoes que debe cumplr los parámetros para que el algortmo cogruecal multplcatvo alcace su máxmo período so: 5

6 m debe ser múltplo de g, dode g debe ser etero, a 3 + 8k debe ser u úmero mpar. Bajo estas codcoes se logra u período de vda máxmo:, dode k,,, 3,..., g N k / 4. Algortmo cogruecal adtvo Este algortmo requere ua secueca preva de úmeros aleatoros,,,..., 3 4 +, +, + 3, + 4 para geerar ua secueca de úmeros eteros que empeza e,... Su ecuacó recursva es: Co +, +, + 3,..., N ( ) mod( + m ) r m Algortmos cogruecales o leales Detro de los algortmos cogruecales o leales se tee el algortmo cogruecal cuadrátco y el de Blum, Blum, y Shub. Algortmo cogruecal cuadrátco Este algortmo tee la ecuacó recursva: Co,,, 3,..., ( a + b c) mod( m) + + E este caso, los úmeros r puede ser geerados por la ecuacó r m De acuerdo co L Ecuyer, las codcoes que debe cumplr los parámetros m, a, b y c g para alcazar u período máxmo de N m so: m debe ser múltplo de, dode g debe ser etero, a debe ser u úmero par, m debe ser u úmero mpar, y ( b ) mod 4. De esta maera se logra u período de vda máxmo N m. Algortmo de Blum, Blum y Shub S e el algortmo cogruecal cuadrátco a, b y c, etoces se costruye ua ueva ecuacó recursva: ( ) mod( m) + 6

7 Co,,, 3,..., La ateror ecuacó fue propuesta por Blum, Blum y Shub como Nuevo método para geerar úmeros que o tee u comportameto predecble. PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA LOS NÚMEROS PSEUDO ALEATORIOS E la seccó ateror se presetaro dversos algortmos para costrur u cojuto de úmeros pseudo aleatoros, pero eso sólo es el prmer paso, ya que el cojuto resultate debe ser sometdo a ua sere de pruebas para valdar s los úmeros que los tegra so aptos para usarse e u estudo de smulacó. A cotuacó se preseta las pruebas estadístcas báscas que se emplea geeralmete para determar s u cojuto de úmeros pseudo aleatoros etre cero y uo cumple co las propedades báscas de depedeca y uformdad. El objetvo es valdar que el cojuto realmete está coformado por úmeros aleatoros. Prueba de Medas Ua de las propedades que debe cumplr los úmeros geerados, es que el valor esperado sea gual a.5. La prueba que busca determar lo ateror es la llamada prueba de medas, e la cual se platea las sguetes hpótess: y H : μ.5 r H : μ r.5 La prueba de medas cosste e determar el promedo de los úmeros geerados medate la ecuacó sguete: r r Posterormete, se calcula los límtes feror y superor co las ecuacoes sguetes: LI zα / ( ) r y LS r + z α / ( ) S el valor de r se ecuetra etre los límtes de aceptacó coclumos que o se puede rechazar que el cojuto r tee u valor esperado de.5 co u vel de aceptacó de -α. E caso cotraro se rechaza que el cojuto r tee u valor esperado de.5. Para el cálculo 7

8 de los límtes de aceptacó se utlza el estadístco Z α / tabla de dstrbucó ormal estádar., el cual se determa por medo de la Prueba de Varaza Otra de las propedades que debe satsfacer el cojuto r, es que sus úmeros tega ua varaza de /. La prueba que busca determar lo ateror es la prueba de varaza, que establece las sguetes hpótess: y H : σ.5 r H : σ.5 r La prueba de varaza cosste e determar la varaza de los úmeros que cotee el cojuto r, medate la ecuacó sguete: ( r r) V ( r) Después se calcula los límtes de aceptacó feror y superor co las ecuacoes sguetes: y LI V ( r) χ α /, ( ) χ α /, LSV ( r) ( ) S el valor de V (r) se ecuetra etre los límtes de aceptacó, decmos que o se puede rechazar que el cojuto r, tee ua varaza de /, co u vel de aceptacó de -α; de lo cotraro se rechaza que el cojuto r tee ua varaza de /. Prueba Ch-cuadrada Ua de las propedades más mportates que debe cumplr u cojuto de úmeros r es la uformdad. Para comprobar su acatameto se ha desarrollado pruebas estadístcas como la prueba Ch-cuadrada. Para probar la uformdad de los úmeros de u cojuto bajo esta prueba es ecesaro formular las sguetes hpótess: y H H : r ~ U (, ) : r o so uformes 8

9 La prueba Ch-cuadrada busca determar s los úmeros del cojuto r se dstrbuye uformemete e el tervalo (, ). Para llevar a cabo esta prueba es ecesaro dvdr el tervalo e m subtervalos e dode es recomedable que m. Posterormete se clasfca cada úmero pseudo aleatoro del cojuto r e los m tervalos. A la catdad de úmeros r que se clasfca e cada tervalo se le deoma frecueca observada ( ), y a la catdad de úmeros r que se espera ecotrar e cada tervalo se llama frecueca esperada ( E ) ; teórcamete, la r es gual a determa el estadístco χ medate la ecuacó: S el valor estadístco χ m / m. A partr de los valores de y de E se ( E O ) E χ es meor al valor de tablas χ α, m, etoces o se puede rechazar que el cojuto de úmeros r sgue ua dstrbucó uforme. E caso cotraro, se rechaza que r sgue ua dstrbucó uforme. Resultados y Dscusó E la fgura se preseta la vetaa prcpal del sstema que se elaboró como resultado del proyecto. E ella se muestra el ombre del sstema, el lugar dode se realzó y el autor. S el usuaro desea abadoar el sstema, smplemete es ecesaro hacer clck e el botó de comado Salr. S desea cotuar sólo se requere hacer clck e botó Cotuar. Fgura Al actvar esta opcó, aparecerá ua vetaa smlar a la veta que se muestra e la fgura. E ella se ecuetra las dversas formas como se puede geerar úmeros pseudo aleatoros. Los algortmos que se cluye e el sstema so: cuadrados medos, productos medos, multplcador costate, leal, cogruecal multplcatvo, cogruecal adtvo, cogruecal cuadrátco y Blum, Blum y Shub. 9

10 Fgura Al hacer clck e la opcó Cuadrados Medos aparecerá ua vetaa como la mostrada e la fgura 3. E ella se observa la vetaa de desplegue de los úmeros pseudo aleatoros geerados por el correspodete algortmo, la caja de texto para troducr la semlla, el botó de que actva la geeracó de los úmeros pseudo aleatoros y el botó para ecotrar el período relacoado co los úmeros pseudo aleatoros. De gual forma se muestra la caja de texto para troducr el vel de aceptacó y la caja de texto para desplegar el promedo que es calculado por el sstema. Al actvar la opcó Prueba de Medas el sstema desplegará s so aceptados o rechazados los úmeros geerados. El sguete cuadro de texto desplega la varaza de los úmeros pseudo aleatoros y los sguetes dos cuadros de texto se utlza para troducr los límtes feror y superor para calcular la prueba de varaza. El cuadro de texto correspodete a esta muestra, desplega s la prueba fue aceptada o rechazada. Falmete, aparece otras tres cajas de texto que se utlza para troducr el valor de la prueba Ch-Cuadrada Teórca. La caja de texto sguete srve para desplegar la prueba Ch- Cuadrada Expermetal que es calculada por el sstema y falmete aparece ua caja de texto que muestra s la prueba es aceptada o rechazada bajo estos límtes. Fgura 3 La fgura 3 muestra, a maera de ejemplo, los resultados de ua geeracó de úmeros pseudo aleatoros por medo del algortmo de cuadrados medos. E la fgura aparece los valores de los úmeros pseudo aleatoros geerados co el algortmo de cuadrados medos. Para este caso, el valor de la semlla es de La prmera caja de texto os dca que o se repte la umeracó, por lo que o tee período. La seguda caja de texto correspode al valor de la tabla de dstrbucó ormal estádar bajo la prueba de medas. Para ello, el usuaro

11 debe troducr el valor de la tabla de dstrbucó ormal estádar al que quere someter los úmeros geerados. Se trodujo el valor de.96 por el vel de aceptacó del 95%. Después de troducr este valor, para saber s so aceptados los úmeros pseudo aleatoros, el usuaro debe hacer clck e el botó de comado Prueba de Medas. E el ejemplo se muestra que o se rechaza la muestra. S se redujera el valor del vel de aceptacó o el valor de la tabla de dstrbucó ormal estádar, es posble que o se acepte los úmeros geerados. El sguete bloque de opcoes correspode a la prueba de varaza. Para ello, el usuaro debe troducr el valor de las tablas de la dstrbucó J-cuadrada correspodete a u vel de aceptacó del 95% y u grado de lbertad de 49, ya que so 5 los úmeros geerados. Al actvar la opcó Prueba de Varaza se puede ver s se rechaza o o los úmeros geerados. Para este caso se tee que α 5% y 5, por lo que los valores de la tabla Jcuadrada so: χ.5, y χ.975, Al calcular la varaza de los úmeros geerados pseudo aleatoramete, se observa que el valor o se ecuetra detro de los límtes calculados por el sstema, por lo que o so aceptados. De gual forma, es posble aumetar el tervalo de prueba para ver s se rechaza o o la sere. Falmete, el últmo bloque correspode a la prueba Ch-cuadrada, e la cual el usuaro puede troducr el valor de la Ch-Cuadrada Teórca para compararla co el valor de la Ch-Cuadrada Expermetal para saber s so aceptados los valores de los úmeros pseudo aleatoros geerados por medo de este algortmo. Al actvar la opcó Ch-Cuadrada se puede ver s se rechaza o o los úmeros geerados. E este caso se tee que el valor de la prueba Ch-cuadrada teórca para estos datos es de χ 6. 9, que comparado co el valor del Ch-cuadrada expermetal.5, 9 χ.4, coclumos que se acepta los úmeros pseudo aleatoros geerados por el algortmo de cuadrados medos. Al gual que e los casos aterores, se puede reducr el valor de Ch-cuadrada Teórca, hasta que sea rechazados los úmeros geerados pseudo aleatoramete. Todas las opcoes descrtas para el algortmo de Cuadrados Medos se ecuetra e cada uo de los algortmos de geeracó de úmeros pseudo aleatoros cotedos e el sstema, por lo que cada algortmo puede comprobar s los úmeros geerados so aceptados o o. Después de geerarse los úmeros pseudo aleatoros, el usuaro puede exportarlos a ua hoja de cálculo para poder ser utlzados e algua smulacó. Coclusoes El sstema puede geerar úmeros pseudo aleatoros por medo de dferetes algortmos cogruecales y o cogruecales. Para cada algortmo, el sstema cluye las pruebas de Medas, de Varaza y de Ch cuadrada para saber s los úmeros geerados so aceptados o rechazados. El sstema tee la opcó de exportar los úmeros pseudo aleatoros a ua hoja de cálculo para que sea utlzados e algua smulacó. El sstema puede calcular el período de la secueca de úmeros pseudo aleatoros geerados e cada algortmo. El sstema preseta ua terface gráfca de fácl maejo. El sstema es u apoyo a la labor docete.

12 Referecas Ceballos Serra, F. J.996. Ecclopeda de Vsual Basc 4, Méxco, D. F.: Alfaomega Grupo Edtor. García Dua E.; Gracía Reyes, H. y Cárdeas Barró, L. E. 6. Smulacó y Aálss de Sstemas co ProModel, Méxco, D. F.: Pearso Educacó. García Mora, F.; Serra Acosta, J. y Guzmá Ibarra, V. 5. Smulacó de Sstemas para Admstracó e Igeería, Méxco, D. F.: CECSA. Kreyszg, Erw Itroduccó a la Estadístca Matemátca, Méxco, D. F.: Edtoral Lmusa.