Intervalo de confianza para µ

Transcripción

1 Itervalo de cofiaza para p y ˆp1 ˆp ˆp1 ˆp ˆp z 1 α/ ; ˆp + z 1 α/, 7.6 ˆp + z 1 α/ ± z 1 α/ 1 + z 1 α/ ˆp1 ˆp + z 1 α/ siedo ˆp = x/ y z 1 α/ el cuatil 1 α/ de la distribució ormal estádar. El itervalo de cofiaza 7.7 resulta de aproximar la distribució biomial Bi; p por la distribució ormal Np; p1 p. Para obteer el itervalo de cofiaza 7.6 debe hacerse además alguas aproximacioes adicioales que hace que esta fórmula sea bastate iexacta; por ello o debe usarse 7.6 si x 5, o si x 5 o si α < Otra fórmula útil para obteer u itervalo de cofiaza para p es la siguiete χ x, α/ ; χ x +, 1 α/, 7.9 dode χ x, α/ es el cuatil α/ de la distribució χ x de Pearso y χ x +, 1 α/ es el cuatil y 1 α/ de la distribució χ x +. Esta fórmula puede usarse cuado es grade y x/ < 0.1. E estas codicioes, la distribució biomial Bi; p es muy similar a la distribució de Poisso P op, de la que se deduce 7.9. La fórmula 7.9 tambié puede usarse para obteer u itervalo de cofiaza para q = 1 p si es grade y x/ > 0.9, co tal de que se reemplace x por x. Itervalo de cofiaza para µ x z 1 α/ σ ; x + z 1 α/ σ. 7.3 El sigificado es: la probabilidad de que el itervalo aleatorio 7.3 cotega al verdadero valor de la media poblacioal µ, que es ua costate descoocida, es igual a 1 α. Del itervalo aleatorio 7.3 se dice que es u itervalo de cofiaza para el parámetro µ al ivel de cofiaza 1 α. x t 1, 1 α/ s ; x + t 1, 1 α/ s, 7.4 Itervalo de cofiaza para σ 1s χ 1, 1 α/ ; 1s χ 1, α/ 7.5

2 5.1. INTERVALOS DE CONFIANZA 3 Itervalo de cofiaza para diferecia de medias El método de los datos idepedietes es el muestreo cosistete e observar dos muestras aleatorias simples idepedietes etre sí, ua de ellas tomada la variable aleatoria X 1 y la otra tomada de la variable aleatoria X.. s 1 x 1 x tν, 1 α/ + s s 1 ; x 1 x + tν, 1 α/ + s, siedo s 1 y s las cuasi-variazas muestrales de las muestras de X 1 y X, respectivamete, y ν los grados de libertad de la distribució t de Studet que aparece e 7.16, que se calcula como el etero más próximo a ν s 1 / 1 + s / s 1 / 1 / s / / o bie a ν s 1 / 1 + s / s 1 / 1 / s / / + 1 E la seguda situació, auque o se sabe los valores de σ1 y σ, puede supoerse que σ1 = σ. E este caso puede usarse u estadístico cuya distribució de probabilidad es t de Studet co 1 + grados de libertad. Los extremos del itervalo de cofiaza para µ 1 µ al ivel de cofiaza 1 α está dados e este caso por 1 x 1 x ± t 1 +, 1 α/s + 1, dode s 1 y s so las cuasi-variazas muestrales de X 1 y X y s = 1 1s 1 + 1s Método de los datos apareados Supogamos que realizamos parejas idepedietes 1 de observacioes x 11, x 1 ; x 1, x ;... x 1, x de dos variables aleatorias X 1 y X positivamete correladas etre sí. Sea µ 1 y µ las medias margiales de X 1 y X, respectivamete. U estimador putual de la diferecia de medias µ 1 µ es la diferecia x 1 x etre las medias muestrales de la primera y la seguda compoete de las parejas de datos. Para obteer u itervalo de cofiaza para µ 1 µ coviee defiir la variable aleatoria auxiliar Z = X 1 X. A partir de la muestra dada de la variable aleatoria bidimesioal X 1, X es imediato calcular ua muestra para Z; los valores de esta muestra so z i = x 1i x i, 1 Esto es equivalete a decir que observamos ua muestra aleatoria simple x 11, x 1; x 1, x ;... x 1, x de la variable aleatoria bidimesioal X 1, X..

3 4 para i = 1,,...,. U itervalo de cofiaza para µ 1 µ al ivel de cofiaza 1 α es z t 1, 1 α/ s Z ; z + t 1, 1 α/ s Z, 7.0 dode t 1, 1 α/ es el cuatil 1 α/ de la distribució t 1 de Studet, z = 1 z i = 1 x 1i x i = x 1 x es la media muestral de la variable Z y s Z = 1 z i z 1 es la desviació típica muestral de Z. Diferecia de dos proporcioes Supogamos que X 1 y X so variables aleatorias co distribucioes de probabilidad biomiales cuyas probabilidades de éxito so p 1 y p, respectivamete. Existe situacioes prácticas e las que iteresa estimar la diferecia p 1 p etre las dos probabilidades de éxito, e lugar de estimar cada ua de ellas por separado. El estimador putual de la diferecia de dos proporcioes coicide siempre co la diferecia etre los estimadores putuales de cada proporció. Si embargo, el itervalo de cofiaza para la diferecia p 1 p o puede calcularse a partir de los itervalos de cofiaza para p 1 y para p, ya que la forma de calcular el itervalo de cofiaza para p 1 p depede de cómo se haya extraído la muestra aleatoria Método de los datos idepedietes Supogamos que se observa la respuesta a ua prueba e 1 idividuos elegidos al azar de etre los que forma parte de ua determiada població. Supogamos que, idepedietemete de la muestra aterior, se observa la respuesta a ua prueba 3 e idividuos elegidos al azar de etre los que forma parte de ua població diferete de la de la primera muestra. La respuesta la prueba o pruebas puede ser positiva + o egativa. Sea r 1 y r los úmeros de respuestas positivas e cada ua de las muestras y p 1 y p las probabilidades de que se produzca ua respuesta positiva e cada població. U estimador putual de θ = p 1 p es ˆθ = ˆp 1 ˆp = r 1 1 r. Además, u itervalo de cofiaza para θ = p 1 p a u ivel de cofiaza aproximadamete igual a 1 α está dado por r 1 r r1 s 1 z 1 1 α/ 3 + r s 1 3 ; r 1 r r1 s 1 + z 1 1 α/ 3 + r s 1 3 O proporcioes. 3 Esta prueba puede ser la misma que la usada e la primera població., 7.1

4 5.1. INTERVALOS DE CONFIANZA 5 dode z 1 α/ es el cuatil 1 α/ de la distribució ormal estádar N0, 1, s 1 = 1 r 1 y s = r. El itervalo de cofiaza 7.1 está basado e la aproximació de la distribució biomial por la distribució ormal, por lo que o debe usarse si se verifica algua de las siguietes desigualdades: r 1 < 6, s 1 < 6, r < 6 o s < Método de los datos apareados Supogamos que e idividuos de ua població se observa la respuesta a dos pruebas. Esta respuesta puede ser positiva + o egativa e cada ua de las pruebas. Supogamos que la muestra cosiste e k respuestas positivas e las dos pruebas ++, r respuestas positivas e la primera prueba y egativas e la seguda prueba +, s respuestas egativas e la primera prueba y positivas e la seguda prueba +, m respuestas egativas e las dos pruebas, siedo k + r + s + m =. Sea, además, p 1 y p las probabilidades de que se produzca ua respuesta positiva a cada ua de las pruebas. Etoces, u estimador putual de θ = p 1 p es ˆθ = ˆp 1 ˆp = k + r k + s = r s. Además, u itervalo de cofiaza para θ = p 1 p a u ivel de cofiaza aproximadamete igual a 1 α está dado por r s r + s z 1 α/ ; r s r + s + z 1 α/, 7. dode z 1 α/ es el cuatil 1 α/ de la distribució ormal estádar N0, 1. La fórmula 7.3 está basada e ua aproximació co la distribució ormal 4, por lo que o debe usarse si r < 6 o si s < 6. 4 La distribució de k, r, s, m es multiomial M; p ++, p +, p +, p siedo p ++, p +, p + y p las probabilidades de los resultados ++, +, + y, respectivamete. De ahí resulta que r s r s r var = var + var cov, s lo que puede estimarse co = p+ 1 p+ 1 r + s + p +1 p + r s r + s. + p+ p + La distribució de r s/ es aproximadamete ormal si r y s so grades de dode resulta 7.3.,

5 Alguas erratas. Ejercicio 157 a 9604 b 3458 Ejercicio 158 a 71 Ejercicio 159 c 69 Ejercicio 168 c 330 ± 336