FORMULARIO. Rango intercuartílico: Diferencia entre el tercer y primer cuartil

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1 FORMULARIO Dato: x 1, x 2,..., x N } Media: x = N i=1 x i N Rango intercuartílico: Diferencia entre el tercer y primer cuartil Varianza: 2 = N i=1 (x i x) 2 = N i=1 x2 i N x2 Deviación típica: = N i=1 (x i x) 2 = N i=1 x2 i N x2 DISTRIBUCIONES DISCRETAS: Binomial(n, p): P (X = x) = ( n x ) p x q n x, x = 0, 1,..., n, q = 1 p µ = n p, y σ 2 = n p q ( n x ) = n! x! (n x)! iendo n! = n (n 1) (n 2) Poion(λ): ESTIMACIÓN P (X = x) = e λ λ x, x = 0, 1, 2, 3,... (x N) µ = λ y σ 2 = λ x! X Etimador puntual de p:, donde X e el número de éxito en lo N experimento N Etimador puntual de µ: X Etimador puntual de σ 2 : 2 = N i=1 (X i X) 2 Etimador puntual del parámetro λ de una Poion: ˆλ = X. INTERVALOS DE CONFIANZA: tamaño muetral =N, nivel de ignificación α A) Intervalo de confianza para µ, con σ 2 σ conocida: (x - z α/2 σ N), x + z α/2 N ) con P(Z z α/2 ) = α/2, Z N(0,1) B) Intervalo de confianza para µ, con σ 2 deconocida, para Normale: (x - t α/2 N), x + t α/2 N ) con P(T t α/2 ) = α/2, T e t- Student con N 1 grado de libertad

2 C) Intervalo de confianza para µ, con σ 2 deconocida y N grande (N 30): (x - z α/2 N), x + z α/2 N ) con P(Z z α/2 ) = α/2, Z N(0,1) Selección del tamaño de la muetra (media): N = ( z α/2 σ Error )2 D) Intervalo de confianza para la diferencia de media µ 1 - µ 2, con σ 2 1 y σ 2 2 conocida, para muetra aleatoria independiente (N 1 = tamaño muetral de la muetra de la población 1, = tamaño muetral de la muetra de la población 2): (x 1 - x 2 ± z α/2 σ 2 1 N 1 + σ2 2 ) con P(Z z α/2 ) = α/2, Z N(0,1) E) Intervalo de confianza para la diferencia de media µ 1 - µ 2, con σ1 2 y σ2 2 deconocida, para muetra aleatoria independiente y tamaño muetrale grande (N 1 = tamaño muetral de la muetra de la población 1, = tamaño muetral de la muetra de la población 2): (x 1 - x 2 ± z 2 1 α/2 N ) con P(Z z α/2 ) = α/2, Z N(0,1) F) Intervalo de confianza para la diferencia de media µ 1 - µ 2 de poblacione normale independiente, con varianza deconocida pero iguale (σ1 2 = σ2) 2 (N 1 = tamaño muetral de la muetra de la población 1, = tamaño muetral de la muetra de la población 2): (N (x 1 - x 2 ± t 1 1) 2 1 +( 1) 2 2 α/2 N N grado de libertad N 1 + N 1 ) con P(T t α/2 ) = α/2, T e t-student con G) Intervalo de confianza para la diferencia de media µ 1 - µ 2 de poblacione normale independiente, con varianza σ1, 2 σ2 2 deconocida y deiguale (N 1 = tamaño muetral de la muetra de la población 1, = tamaño muetral de la muetra de la población 2): (x 1 - x 2 ± t 2 ( ) 1 N 1 2 α/2 grado de libertad N ) con P(T t α/2 ) = α/2, T e t-tudent con ( 2 1 /N 1 )2 N (2 2 / )2 1 H) Intervalo de confianza para la diferencia de media µ 1 - µ 2 para muetra apareada: (d ± t d α/2 N ) donde d e la media de la diferencia y d e la deviación típica de la diferencia. Ademá, P(T t α/2 ) = α/2, T e t-student con N - 1 grado de libertad, N e el número de objeto (pareja) de que diponemo I) Intervalo de confianza para σ 2 en una población normal: ( ()2 χ 2 α/2 libertad, ()2 ) con P(χ 2 > χ 2 χ 2 α/2 ) = α/2, χ2 e chi- cuadrado con N 1 grado de 1 α/2 J) Intervalo de confianza para el cociente σ 2 1/σ 2 2 de varianza de do poblacione normale independiente: ( F α/2, grado de libertad 1 F 1 α/2 ) donde P( F > F α/2 ) = α/2 y F e F de Sndecor con (N 1 1, 1)

3 K) Intervalo de confianza para una proporción p (de una Binomial) cuando N e grande y la proporción no e cercana a cero: ˆpˆq (ˆp ± z α/2 ), donde P( Z > z N α/2) = α/2 Z N(0,1) y ˆp = X /N, ˆq = 1 - ˆp, X = número de éxito Selección del tamaño de la muetra (proporción): N = p(1 p) ( z α/2 E )2 1 4 ( z α/2 E )2 L) Intervalo de confianza para una proporción p, i éta e muy cercana a cero: (0, 1 2N χ2 α) con P(χ 2 > χ 2 α) = α, χ 2 e chi- cuadrado con 2(X + 1) grado de libertad, X = número de éxito M) Intervalo de confianza para la diferencia de do proporcione, con N 1 y grande (N 1 = tamaño muetral de la muetra de la población 1, = tamaño muetral de la muetra de la población 2): ˆp ( ˆp 1 - ˆp 2 ± z 1 ˆq 1 α/2 N 1 + ˆp 2 ˆq 2 ), donde P( Z > z α/2 ) = α/2 Z N(0,1), ˆp 1 = X 1 /N 1, ˆq 1 = 1 - ˆp 1, X 1 = número de éxito en la N 1 prueba y ˆp 2 = X 2 /, ˆq 2 = 1 - ˆp 2, X 2 = número de éxito en la prueba CONTRASTE DE HIPÓTESIS: tamaño muetral =N, nivel de ignificación α A) Contrate de hipótei para µ, con N grande: Z = X µ 0 S/ N N(0,1) H 0 : µ = µ 0 µ < µ 0 (, z α ) µ µ 0 (, z α/2 ) (z α/2, ) µ > µ 0 (z α, ) B) Contrate de hipótei para µ, con σ 2 deconocida para una población Normal: T = X µ 0 S/ N t H 0 : µ = µ 0 µ < µ 0 (, t α ) µ µ 0 (, t α/2 ) (t α/2, ) µ > µ 0 (t α, ) C) Contrate para la diferencia de media µ 1 - µ 2, con σ 2 1 y σ 2 2 deconocida, para muetra aleatoria independiente y tamaño muetrale grande (N 1 = tamaño muetral de la muetra de la población 1, = tamaño muetral de la muetra de la población 2): Z X 1 X 2 0 N(0, 1) 2 1 /N / H0 : µ 1 µ 2 = 0

4 H 1 Región crítica µ 1 µ 2 < 0 (, z α ) µ 1 µ 2 0 (, z α/2 ) (z α/2, ) µ 1 µ 2 > 0 (z α, ) D) Contrate para la diferencia de media µ 1 - µ 2 de poblacione normale independiente, con varianza poblacionale deconocida pero iguale (σ 2 1 = σ 2 2) (N 1 = tamaño muetral de la muetra de la población 1, = tamaño muetral de la muetra de la población 2): T = X 1 X 2 0 N1 t N1 (N 1 1) 2 1 +( 1) 2 +N 2 N 1 + N N H0 : µ 1 µ 2 = 0 H 1 Región crítica µ 1 µ 2 < 0 (, t α ) µ 1 µ 2 0 (, t α/2 ) (t α/2, ) µ 1 µ 2 > 0 (t α, ) E) Contrate para la diferencia de media µ 1 - µ 2 de poblacione normale independiente, con varianza poblacionale σ 2 1, σ 2 2 deconocida y deiguale (N 1 = tamaño muetral de la muetra de la población 1, = tamaño muetral de la muetra de la población 2): T = X 1 X 2 0 t 2 1 /N g.l. g.l. = 2/ ( 2 1 N ) 2 ( 2 1 /N 1) 2 N 1 + (2 2 /) H0 : µ 1 µ 2 = 0 H 1 Región crítica µ 1 µ 2 < 0 (, t α ) µ 1 µ 2 0 (, t α/2 ) (t α/2, ) µ 1 µ 2 > 0 (t α, ) F) Contrate para la diferencia de media µ 1 - µ 2 para muetra apareada, cuya diferencia e normal: D y SD on la media y deviación típica de la diferencia T = D 0 S D / N t H0 : µ D = 0 µ D < 0 (, t α ) µ D 0 (, t α/2 ) (t α/2, ) µ D > 0 (t α, )

5 G) Contrate para σ 2 en una población normal: χ 2 0 = (N 1)S2 σ 2 0 χ 2 H0 : σ 2 = σ 2 0 σ 2 < σ0 2 (0, χ 2 1 α) σ 2 σ0 2 (0, χ 2 1 α/2 ) (χ2 α/2, ) σ 2 > σ0 2 (χ 2 α, ) H) Contrate para el cociente σ 2 1/σ 2 2 de varianza de do poblacione normale independiente: F = S2 1 S 2 2 F (N1 1, 1) H0 : σ 2 1 = σ 2 2 σ1 2 < σ2 2 1 (0, F 1 α ) = (0, F ( 1,N 1 α 1) σ1 2 σ2 2 (0, F 1 α/2 ) (F α/2, ) σ1 2 > σ2 2 (F α, ) ) I) Contrate para una proporción p (de una Binomial) cuando N e grande y la proporción no e cercana a cero ni a uno: ˆp = X/N (X = número de éxito en la N prueba), q 0 = 1 - p 0 Z ˆp p 0 p0 q 0 /N N(0, 1) H0 : p = p 0 p < p 0 (, z α ) p p 0 (, z α/2 ) (z α/2, ) p > p 0 (z α, ) J) Contrate para la diferencia de do proporcione, con N 1 y grande (N 1 = tamaño muetral de la muetra de la población 1, = tamaño muetral de la muetra de la población 2): ˆp 1 = X 1 /N 1 (X 1 = número de éxito en la N 1 prueba), ˆp 2 = X 2 / (X 2 = número de éxito en la prueba), ˆp = (X 1 + X 2 )/(N 1 + ) Z ˆp 1 ˆp 2 ˆp(1 ˆp)(1/N1 + 1/ ) N(0, 1) H0 : p 1 = p 2

6 p 1 < p 2 (, z α ) p 1 p 2 (, z α/2 ) (z α/2, ) p 1 > p 2 (z α, ) K) Prueba de la bondad de ajute con la χ 2 : χ 2 0 = k i=1 (o i e i ) 2 e i, Bajo H 0, igue aproximadamente una ditribución χ 2 con k r 1 grado de libertad, iendo r el número de parámetro etimado por máxima veroimilitud. La región crítica (a nivel α) e: (χ 2 α, ). L) Prueba con tabla de contingencia: X \ Y y 1... y j... y c Total x 1 o o 1j... o 1c T x i o i1... o ij... o ic T i x r o r1... o rj... o rc T r. Total T.1... T.j... T.c T T i. e el total de obervacione de la fila i-éima, T.j e el total de obervacione de la columna j-éima y T e el total de obervacione. χ 2 = r i=1 c j=1 (o ij e ij ) 2 e ij, iendo e ij = T i. T.j / T Bajo H 0, igue aproximadamente una ditribución χ 2 con (r 1) (c 1) grado de libertad. La región crítica (a nivel α) e: (χ 2 α, ). CONTROL DE CALIDAD: Gráfico de control X: LSC = x + A 2 r LC = x LIC = x A 2 r donde x = 1 m m i=1 X i ( X i e la media muetral de la muetra i-éima, calculada con lo n valore de cada muetra y m e el número total de muetra), r = 1 m m i=1 R i (donde R i e el rango de la muetra i-éima) y la contante A 2 aparece tabulada.

7 Gráfico R: LSC = D 4 r LC = r LIC = D 3 r. Lo valore de D 3 y D 4 para ditinto valore de n aparecen tabulado. Un etimador de σ e ˆσ = R /d 2, donde d 2 etá tabulada. Índice de capacidad del proceo: LSE LIE ICP =, 6σ donde LSE y LIE on lo límite uperior e inferior de epecificación. Longitud de corrida promedio (ARL): ICP k = min LSE µ 3σ, µ LIE }. 3σ ARL = 1/p, p e la probabilidad de que cualquier punto exceda lo límite de control. Gráfica P : p(1 p) LSC = p + 3 n LC = p p(1 p) LIC = p 3, n donde p e el etimador de p (fracción defectuoa del proceo), obtenido mediante: p = 1 m m ˆp i i=1 con ˆp i la proporción muetral de unidade defectuoa en la muetra i-éima. Gráfico U: LSC = ū + 3 LC = ū ū n ū LIC = ū 3 n

8 donde, i tenemo n (que puede no er un entero) unidade y un total de defecto C entonce U = C n, e el promedio de defecto por unidad. Con m muetra preliminare y valore aleatorio U 1,..., U m entonce el número medio de defecto por unidad e Ū = 1 m m U i. i=1 DISEÑO DE EXPERIMENTOS: Dieño completamente aleatorizado: análii de la varianza con un olo factor. Y ij = µ i + ɛ ij ɛ ij N(0, σ 2 ) Y ij = µ + τ i + ɛ ij ɛ ij N(0, σ 2 ), con τ i definida como deviacione de la media global µ, por lo que a i=1 τ i = 0. Denotaremo por n i la obervacione en el tratamiento i-éimo y N el total de obervacione, a e el número de nivele del factor. Fuente de Suma de Grado de Media de variación cuadrado libertad cuadrado F Tratamiento (entre grupo) a i=1 n i(ȳ i. ȳ.. ) 2 a 1 SC T ratamiento /(a 1) CM T ratamiento /CM E Error (dentro grupo) i j (y ij ȳ i. ) 2 N a Total i j (y ij ȳ.. ) 2 N 1 SC E /(N a) Table 1: Tabla ANOVA de un factor. Región crítica (a nivel α): (F α,a 1,N a, ) Método de la mínima diferencia ignificativa o LSD (Leat Significant Difference): el par de media µ i y µ j e declarará ignificativamente diferente i ȳ i. ȳ j. > LSD, donde LSD al nivel α viene definida como t α/2,n a CME (1/n i + 1/n j ). Dieño en bloque aleatorizado. Y ij = µ + τ i + β j + ɛ ij i = 1,..., a j = 1,... b, donde ɛ ij on variable N(0, σ 2 ) independiente, y i τ i = 0 y j β j = 0

9 Fuente de Suma de Grado de Media de variación cuadrado libertad cuadrado F Tratamiento SC T ratamiento a 1 SC T ratamiento /(a 1) CM T ratamiento /CM E Bloque SC Bloque b 1 SC Bloque /(b 1) Error SC E (a 1)(b 1) SC E /(a 1)(b 1) Total SC T ab 1 Table 2: Tabla ANOVA de un factor dieño en bloque aleatorizado. Región crítica (a nivel α): (F α,a 1,(a 1)(b 1), ) Método LSD: LSD = t α/2,(a 1)(b 1) 2CME /b.