1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n n a n = ln(n)

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1 1 Sucesioes De ició. Ua sucesió, a, es ua fució que tiee como domiio el cojuto de los úmeros aturales y como cotradomiio el cojuto de los úmeros reales: a : N! R. Se usa la siguiete otació: a () = a : Los úmeros a so llamados elemetos o térmios a la sucesió. Ejemplos. a = a =! a = a = a = p a = l() Observació. La image de toda sucesió es u cojuto ito o umerable. Tipos de sucesioes La sucesió a es: 1. Acotada, si existe M 2 R tal que ja j M 8 2 N. 2. Acotada superiormete si existe M 2 R tal que a M 8 2 N. 3. Acotada iferiormete si M a 8 2 N. 4. Creciete si a +1 > a ; 8 2 N. 5. No decreciete si a +1 a 8 2 N: 6. Decreciete a +1 < a 8 2 N: 7. No creciete si a +1 a 8 2 N: 8. Moótoa si se cumple cualquiera de las codicioes ateriores (4,5,6,o 7). Ejercicio. Clasi ca las siguietes sucesioes de acuerdo a los tipos ateriormete de idos. a = se() a = se() a = a = se() a = 5! a = + 1 ( 2 1) 1

2 De ició. (1) Ua vecidad de u puto x 2 R es cualquier itervalo abierto que cotega a x: (2) Dado > 0 y x 2 R, V (x) = (x ; x + ) se de e como la vecidad de radio del puto x. (3) U puto a 2 R es llamado puto de acumulació o puto límite del cojuto X R; si toda vecidad del puto a cotiee algú puto del cojuto X, que sea distito de a: Observacioes. (1) No es ecesario que el puto a sea elemeto del cojuto X. (2) Si a es puto de acumulació del cojuto X, etoces toda vecidad del puto a cotiee i itos elemetos del cojuto X y viceversa: (3) U cojuto ito o puede teer putos de acumulació. Ejemplos. Determia los putos de acumulació de los siguietes cojutos y observa si estos perteece al cojuto. (2; 5) [2; 5] R N Q (1 + 2 f1; 2; 3g ) De ició. Se les llama putos limite de la sucesió, a; a los putos límite del cojuto Im(a), la image de la sucesió a. N 1.1 Sucesioes acotadas Ejemplo. La sucesió a = 1; 8 2 N; o tiee putos límite. Lo mismo ocurre para cualquier otra sucesió que sea costate. Teorema. Si ua sucesió está acotada y la image iversa de todo puto del cotradomiio es u cojuto ito, etoces la sucesió tiee (al meos) u puto límite. Si bajo estas hipótesis la sucesió tiee límite, etoces el límite es u puto límite de la sucesió. De ició. Si cualquier vecidad del puto L cotiee todos los elemetos de la sucesió a; excepto u úmero ito de ellos, se dice que el límite de la sucesió a, cuado tiede a i ito, es el puto L y se usa la siguiete otació: lim a = L:!1 2

3 Si V (L) deota la vecidad de radio de L, etoces, dada cualquier úmero > 0; existe algú úmero N() tal que a 2 V (L); para todo > N():Equivaletemete, dada cualquier " > 0, existe N() tal que N() implica que ja Lj <. E este caso se dice que la sucesió a coverge al úmero L. Si igú úmero real L cumple esta de ició, se dice que la sucesió o es covergete o que o tiee límite; alguos autores a estas sucesioes las llama sucesioes divergetes. Observació. El límite de toda sucesió costate es la costate misma, pero como ya se observó ateriormete, estas sucesioes o tiee igú puto límite. Ejemplo. Si a = 1=; 8 2 N, etoces lim a = 0: E este caso L = 0 es tato, el límite de esta sucesió, como u puto límite de ésta. Ejercicio. Cosidera la sucesió a = calculadora que lim a = 2=3: y veri ca co ua Ejemplo. Observa que la sucesió a = ( 1) o tiee límite, es decir o existe igú umero real L que cumpla que L = lim a : Si embargo, tato 1 como 1 so putos límite de esta sucesió. Observació. (Uicidad del límite). Ua sucesió puede teer multiples putos límite pero si tiee límite, este es úico, o puede teer dos límites distitos. Ejemplo. Cosidera la sucesió a de ida de la siguiete maera: a = 1 para todos los úmeros que sea pares y a = 1=; para los úmeros impares. Esta sucesió tiee u úico puto límite pero o tiee límite. Observació. Como el domiio de las sucesioes es u cojuto discreto, N, solamete tiee setido aalizar su comportamieto límite cuado la variable tiede a i ito. De hecho, puede pesarse que el puto al i ito es ua especie de puto de acumulació del cojuto N. Para darle setido a esta cosideracio se debe eteder el cojuto de úmeros aturales, ; que cumple que so mayores que u atural jo N como ua vecidad del puto al i ito. Notació. Ya que el cojuto de los úmeros aturales o tiee igú puto de acumulació, para las sucesioes, sólo tiee setido aalizar su comportamieto límite cuado la variable,, tiede a i ito. Por esta razó puede uo simpli car la otació y escribir la expresió lim a = L, sobretediedo que el límite es cuado! 1. De ició. Sea k : N! N ua fució creciete y a ua sucesió cualquiera. La sucesió a 0 = a k() es llamada ua subsecció de la sucesió a. 3

4 Así, a partir de cualquier sucesió creciete se puede crear ua ueva sucesió haciedo la composició de las dos fucioes: a 0 = a k. Evaluado esta composició de fucioes e u atural, ; teemos que: a 0 = a 0 () = [a k] () = a (k()) = a k() : Naturalmete la image de la sucesió a 0 es u subcojuto de la image de la sucesió a: Im(a 0 ) Im(a): Ejemplo. De imos a igual al residuo que resulta al dividir etre 3; es decir a = 0 si = 3k; a = 1 si = 3k + 1; a = 2 si = 3k + 2; para algú umero etero k: Esta sucesió tiee tres subsucesioes costates. Cúales so? Ejemplos. (i) k() = 2 =) a 0 = a 2 es la subsesucesió de a que tiee ídices pares. (ii) k() = 5+3 =) a = a 5+3 es la subsucesió de a cuyos ídices deja residuo 3 al dividir por el úmero 5. Observació. Toda subsucesió de ua sucesió covergete coverge al mismo limite: lim a = L =) lim a k() = L; para toda fució creciete k : N! N Ejercicio. (1) Es posible costruir ua fució k : N! N que sea decreciete? (2) Cúatos putos de acumulació puede teer ua sucesió? Costruye ejemplos. 1.2 Sucesioes o acotadas De ició. Se dice que ua sucesió, a, tiede a i ito si esta crece si límite. Esto es: dado cualquier úmero M (por grade que sea), existe otro úmero N (depediete de M) tal que N (M) implica que a M: E este caso escribimos: lim a = 1: 4

5 Similarmete, lim a = 1 si dado cualquier M existe N (M) tal que Ejercicios. N (M) implica que a M: (1) Aaliza el comportamieto de las sucesioes siguietes: a = 2! a =! a =! a = l() Demuestra que: a = a = X 1 2 k (2) Toda sucesió covergete a es acotada: 9 M tal que ja j < M, 8 2 N. (3) Si las sucesioes a y b di ere e sólo e u cojuto ito de ídices y lim a =, etoces tambié lim b = : (4) El lim a = si y sólo si el lim (a ) = 0: (5) Si lim a = y es úmero positivo, etoces existe u úmero N tal que N implica que a > 0: Esto quiere decir que a partir de cierto puto, todos los elemetos de la sucesió so positivos. Recíprocamete, si la sucesió a tiee límite y a > 0; a partir de algua N; etoces lim a > 0 ó lim a = 0. Este hecho se geeraliza de la siguiete maera: si apartir de algua N; a > a y la sucesió tiee límite, etoces = lim a a y si a > 0, a partir de algua N, y la sucesió a tiee límite etoces lim a a. (6) Si a y b so covergetes y a b ; a partir de cierta N; etoces lim a lim b : (7) Si a b c, 8 2 N y lim a = lim c = L etoces lim b = L. 5

6 1.3 Operacioes aritméticas co los límites Sea a y b dos sucesioes covergetes co lim a = y lim b =. Etoces: (1) lim (a + b ) = + (2) lim (a b ) = (3) Si 6= 0 y b 6= 0 para toda 2 N; etoces lim (a =b ) = =: Ejercicios. (1) Demuestra las siguietes proposicioes: (i) lim a = 1 =) lim (1=a ) = 0 Vale la misma implicació cúado lim a = 1? (ii) lim a = 0 y a > 0 =) lim (1=a ) = 1 (2) Ivestiga el limite de a =b cuado: (i) lim a = y lim b = 1 (ii) lim a = 1 y lim b = 0; b > 0 (iii) lim a = 1 y lim b = 0; b 6= 0 (iv) lim a = 1 y lim b = 1 (v) lim a = 0 y lim b = 0; b 6= Criterios de covergecia Criterio de Cauchy De ició. Se dice que ua sucesió a es de Cauchy si dado cualquier " > 0 existe N (") 2 N tal que ja a m j < " si > N y m > N: Teorema. Que ua sucesió sea de Cauchy es ua codició ecesaria y su ciete para que sea covergete. Observació. Esta de ició de la codició de Cauchy o hace meció de L, el límite de la sucesió a. 6

7 Observació. La demostració de que sea ua codició ecesaria es muy secilla, pero para demostrar que es ua codició su ciete se requiere argumetar la cotiuidad de la recta (completez del cojuto R), lo cual se debe basar e algú postulado que garatize que "la recta o tiee "huecos". Ejercicio. Demuestra que la codició de Cauchy es ecesaria para que ua sucesió sea covergete (usa la desiguladad del triagulo) y que es ua codició su ciete usado el Axioma del Supremo Sucesioes moótoas Si a es ua sucesió moótoa se tiee la siguiete dicotomía: (i) Existe 2 R tal que lim a = (ii) La sucesió a o está acotada. ó La validez de esta proposició es ua cosecuecia del teorema que se expoe a cotiuació, pero ates coviee aalizar el siguiete ejemplo. Ejercicio. La sucesió a = P covergete? 1 = k ::: Aalízala geométricamete Cúal es su límite? Teorema. Toda sucesió moótoa y acotada es covergete. Ejemplo. La sucesió a = P 1 2 es k! = ! + 1 2! + 1 3! +:::+ 1! es covergete. Observa que es ua sucesió creciete y acotada, ya que para toda 2 N: ! + 1 2! + 1 3! + ::: + 1! < ::: = 1 + X 1 2 k < 3. EJERCICIOS: 1. Escriba la de ició de que p 0 sea puto de acumulació de u cojuto. 2. Ecuetra el cojuto de putos de acumulació de los siguietes cojutos: a) Q b) R Q c) R d) N e) Z f) [a; b] g) (a; b) 7

8 3. a) Es cierto que si ua sucesió coverge a l etoces l es puto de acumulació? b) Es cierto que si la image de ua sucesió tiee u puto de acumulació etoces la sucesio coverge? 4. Aaliza el comportamieto de las sucesioes siguietes: a = 2! a =! a =! a = l() a = X 1 4 a = k 5. Demuestra que toda sucesió covergete a es acotada: 9 M tal que ja j < M, 8 2 N. 6. Muestra que si las sucesioes a y b di ere e sólo e u cojuto ito de ídices y lim a =, etoces tambié lim b = : 7. Demuestra que si lim a = y es úmero positivo, etoces existe u úmero N tal que N implica que a > 0: Esto quiere decir que a partir de cierto puto, todos los elemetos de la sucesió so positivos. Recíprocamete, si la sucesió a tiee límite y a > 0; a partir de algua N; etoces lim a > 0 ó lim a = 0. Este hecho se geeraliza de la siguiete maera: si apartir de algua N; a > a y la sucesió tiee límite, etoces = lim a a y si a > 0, a partir de algua N, y la sucesió a tiee límite etoces lim a a. 8. Demuestra que si a y b so covergetes y a b ; a partir de cierta N; etoces lim a lim b : 9. Demuestra que si a b c, 8 2 N y lim a = lim c = L etoces lim b = L. 10. Hallar el térmio geeral de las siguietes sucesioes: a) 1; 1 2 ; 1 3 ; 1 4 ; 1 5 ::: b) 1 2 ; 2 3 ; 3 4 ; 4 5 ; 5 6 ::: c) 3; 1; 1 3 :0:1 5 ; ::: 11. Estudia la mootoía, la covergecia o divergecia y las cotas (si existe) de las siguietes sucesioes: a) a = b) a = ( 1) 1 2 c) a =! d) a = 12. Demuestra cada uo de los límites siguietes: 10 ( 1) a) lim!1 = 0 b) lim!1 + 1 = Sea a y b dos sucesioes covergetes a l y m respectivamete. Prueba las siguietes propiedades: a) lim(a + b ) = l + m b) lim(a b ) = lm c) Si m y b so distitos de cero, etoces lim 8 a b = l m :

9 14. Demuestra que: a) Si ua sucesió es covergete su límite es úico. b) Si ua sucesió es creciete y acotada etoces es covergete. Qué relació tiee el límite de la sucesió co el cojuto image de la sucesió? 15. Dar u ejemplo de sucesioes a y b para las cuales, cuado tiede a i ito, se tega: a) a! 1, b! 1 y a + b! 1 b) a! 1, b! 1 y a b! Demuestra que a) Si lim a = 1 etoces lim 1 a = 0 b) Si lim a = 0 y a > 0 etoces lim 1 a = 1 Ilustra las propiedades a) y b) co ejemplos. 17. Ivestiga el límite de a b a) lim a = l y lim b = 1 cuado b) lim a = 1 y lim b = 0 ; b > 0 c) lim a = 1 y lim b = 0 ; b 6= 0 d) lim a = 1 y lim b = 1 e) lim a = 0 y lim b = 0 9

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