Guía de trabajos Teórico- Práctico Nº 5

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1 Guí de trbjos Teórico- Práctico Nº 5 UNIDAD V: 5. Números Reles. Sistem Aiomático de Números Reles. Aioms de Cuerpo, orden Completitud. Propieddes 5.. Intervlos. Vlor bsoluto de un número rel. Propieddes. Entorno. Entorno reducido. Punto de cumulción. 5.. Funciones Reles. Dominio e Imgen. Representción. Clsificción de funciones. Trnsformción de funciones. Algebr de funciones reles. Composición de funciones. 5.. Límite finito de funciones reles. Definición e interpretción. Límites lterles. Propieddes de los límites. Límites especiles. Límites infinitos. Limite en el infinito. Límites indetermindos Funciones continus. Definición. Tipos de discontinuiddes. Algebr de funciones continús. Propieddes. Teorems de funciones continus Ejercicios Complementrios. T.P. Nº 6 Pg Nº

2 5.. Números Reles En todo introduccion l cálculo, es mu importnte el concepto de número rel. Al conjunto de los números reles lo denotremos por R se ceptrá como sbemos que: contiene, entre otros, los conjuntos de los números nturles (N), enteros (Z) rcionles(q). Todos sbemos por ejemplo que =. Es un propiedd evidente, pero Se puede probr? O bien: demostrr que si entonces > Definiremos el sistem iomtico de los números reles, considerndo que es suficiente tener un mrco de referenci de enuncidos o ioms, pr poder deducir demostrr propieddes, lems, teorems,como ls dds rrib. Sistem de los Números Reles Si llmmos con R l conjunto de los números reles definimos dos l.c.i. en el : + ( sum). (producto), podemos presentr l sistem de los números reles iomticmente indicndo: * ( R, +,. ) tiene estructur de Cuerpo Conmuttivo, * R es Ordendo * R es Completo. Qué signific que el conjunto de los Reles teng estructur de cuerpo conmuttivo? Actividd : Complet el cudro colocndo l form simbólic correspondiente los ioms de cd operción definid, usndo, b, c d como representción de números reles culesquier. Aioms de l sum Asocitiv Eistenci de Neutro Eistenci de opuesto Conmuttiv Form simbólic Aioms del producto Asocitiv Eistenci de Neutro Eistenci de inverso Conmuttiv Distributiv respecto de l sum Form simbólic T.P. Nº 6 Pg Nº

3 Rect Rel: El conjunto R de todos los números reles se puede representr geométricmente por puntos en un rect llmd eje o rect rel. Se escoge un punto en el eje pr representr l número. Este punto se llm origen. Eiste un correspondenci uno uno entre los números reles los puntos en el eje, es decir, cd número rel le corresponde un único punto en el eje cd punto en el eje se le soci un solo número rel. Qué signific -? Donde se ubicrá en l rect? Supongmos que = 5. Si bien est l derech del, entre que números enteros se ubic? Si intentmos udmos con un clculdor lo resolvemos obtendremos un vlor, digmos m =.( por proimcion) piense: Qué opción es l ms correct: m = o m <? Pr clrificr ests cuestiones presentremos un definición los ioms de orden: Relción de menor : Si b son números reles, R + es l conjunto de los reles positivos, se dice que: es menor que b si solo si l sum de b con el opuesto de ( -) es positivo. Simbólicmente:, b R ; < b b + (-) R + Geometricmente: < b si solo si está l izquierd de b en l rect rel. Not: > signific que es positivo si < significrá que es negtivo. Decir que R es ordendo, signific que los números reles se pueden ordenr. Aioms de Orden: O: [Le de tricotomí]: Pr cd numero rel se verific que: o bien es =, o bien es positivo, o bien su opuesto es positivo. O: [Estbilidd de R+] L sum el producto de números positivos es tmbién un número positivo. Actividd : Qué número rel es menor: 5 o 5? ( procur no usr clculdor) T.P. Nº 6 Pg Nº

4 Desigulddes: Ls siguientes propieddes se utilizn pr operr con desigulddes:(no ls demostrremos) Ddos los números reles,,z, se cumplen:.trnsitiv: < < z < z.. < e < =.. Se verific ectmente un de ls tres relciones: < = <.. < +z < +z. 5. <, z > z < z. 6. <, z < z > z. 7. > ( > > ) ( < < ) (vle pr el cociente tmbien) A su vez. >, en prticulr, >. 8. < ( < > ) ( > < ) (vle pr el cociente tmbien) 9. z > z Actividd : Sbiendo que +b > c+d, >b, c > d; se verific necesrimente lgun de ls siguientes > c, > d, b > c o b > d? Dr un prueb o un contrejemplo en cd cso. Problem: El presupuesto de un reprción es de $ 5 con un error posible del 5% Entre que vlores puede estr comprendid es reprción? El orden definido en el cuerpo de los numeros reles nos permite definir crcterizr subconjuntos notbles como son los intervlos uniones de estos. 5.. Intervlos Sen, b R ; con < b -, + dos elementos ideles socidos R. Definimos: notción Conjunto Gráfic Intervlo cotdo cerrdo [, b] { / b} b Intervlo cotdo bierto (, b) { / < < b} Intervlos cotdo semibierto O semicerrdo [, b) { / < b} b Intervlos no cot biertos (-, ) { / > } Intervlos no cot semibiertos [, + ) { / } T.P. Nº 6 Pg Nº

5 Actividd : Escribe como intervlo los siguientes conjuntos. Luego representr en l rect: ) A = { R / - } b) A = { R / > - } c) A = { R / > } d) A = { R / - < < 5 } e) A = { R / - < 8 } A su vez operndo con los intervlos se pueden definir nuevos subconjuntos de R. Actividd 5: Escribe el conjunto solución indicdo por el gráfico: ) b) c) / 6-9 Actividd 6: - Determin el conjunto solución ( intervlo) represent en l rect : 5.. < - b. > 5 c. + < 8 < 7 Actividd 7: Obteng grfique el conjunto solución de ls siguientes inecuciones: i) ( - 7 ).( + ) > 6 ii) - iii) 9 t - T.P. Nº 6 Pg Nº 5

6 Un enuncido importnte relciond con el orden es l cotción: un subconjunto A de R se dice que est cotdo superiormente si eiste un numero rel M, llmdo cot superior que es mor o igul que culquier elemento de A. Sustituendo mor por menor obtenemos ls definiciones de subconjunto cotdo inferiormente de cot inferior. Si un conjunto est cotdo superior e inferiormente simplemente le llmmos cotdo. Aiom de completitud: todo subconjunto no vcío de números reles cotdo superiormente (inferiormente) tiene supremo ( ínfimo). A tl elemento se le llm supremo se lo denot por sup(a). Si el supremo pertenece l conjunto se le denomin máimo denotmos m(a). Conceptos dules considerndo cotción inferior en lugr de superior son el ínfimo, inf(a), el mínimo, min(a). (pr mplir ver neo complementrio) Actividd 8: Indicr que conjuntos está cotdo superiormente ( o inferiormente), si tiene máimo ( o mínimo): ) A = [-, 6) b) B = (-, ] c) C = ( -, -) U [, ) d) D = (, 5) U [ 5, ) Vlor Absoluto: Si es un número rel, el vlor bsoluto de, ( ), se define: = si - si < distnci: entre dos números reles b l designmos por d (,b) se define como: d (,b) = b Propieddes del V bsoluto: R : - = R + : - Ejemplo: R + : > ( > < - ) Desiguldd tringulr:, R ; + + Producto:, R :. =. T.P. Nº 6 Pg Nº 6

7 Actividd 9: Escribe V( verddero) o F(flso) según correpond. Justific ) = = = - b) represent el intervlo (-, ] c) < d) > 9 está cotdo e) Actividd : Encontrr representr los vlores de que verifiquen ls siguientes: ) = 6 b) 5 > c) 9 Sen, r R r > Entorno Definición : Se llm entorno de centro rdio r l conjunto de todos los números reles que están en el intervlo ( r, +r ). Lo epresmos E (,r) = { R / -r < < +r } Usndo notción de vlor bsoluto, l conjunto nterior lo podemos epresr: E (,r) = { R / < r } Ejemplo: E (, ½ ) = { R / 5/ < < 7/ } ó E (, / ) = { R / - < ½ } Gráficmente se represent: o o - ½ +½ Entorno reducido Se denomin entorno reducido de rdio r l entorno de centro rdio r menos el centro. Es decir E * (, r) = E (, r) -. T.P. Nº 6 Pg Nº 7

8 Actividd : Epres como intervlos los siguientes entornos, represent en l rect propone un vlor de perteneciente cd uno: i) E (,/) ii) E * (-,/5) iii) E (,/) Actividd : Epres como entorno o entorno reducido luego represent en l rect los siguientes conjuntos: ) ( -, ) b) (, 7) - {5} c) ( -, ) {-/} d) (-,-)U (-,) Punto de cumulción de un conjunto Definición: Se dice que es un punto de cumulción (p.c.) de un conjunto A cundo todo entorno de tiene puntos de A distintos del propio punto Simbólicmene: Sen: A, A, r R + es pc de A * (,r): E*(,r) A Actividd : Indic con o demás si es o no p.c. de A : ) = A = { R / - 7 < } b) = -½ A = { R / < - } c) = -½ A = { Z / < - } d) = ¼ A = { R /,5 } e) = - A = { R / - 5 -} T.P. Nº 6 Pg Nº 8

9 5.. FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Problem : Un empres tetil plnte nlizr el umento de l tempertur de sus máquins dirimente desde que inicin su funcionmiento observ que tl vlor se rige en form mu proimd medinte l siguiente fórmul: T ( ) donde : represent l cntidd de hs T(): l tempertur en ºC Un empledo (que tiene unicmente el secundrio) intent grficr dich fórmul plicndo lo prendido en su colegio. Sbe que l riz cudrd tiene dos soluciones, que se utiliz un tbl de vlores que luego dichos vlores se ubicn en un sistem de coordends crtesins: C() Pero est gráfic no corresponde un función Por qué? Donde est el error? L fórmul es un funcion? En el cso firmtivo cuál es su dominio recorrido? Rehcemos en tl cso el gráfico: T.P. Nº 6 Pg Nº 9

10 Función rel: Se llm función rel de vrible rel tod relción definid de un subconjunto D de los números reles, en el conjunto R, tl que cd elemento de D le corresponde uno sólo un elemento de R. Dich plicción se epres como: f : D R f ( ) Donde es el número o imgen que f soci. Tmbien l epresion : =f(), define un relcion entre l vrible (vrible independiente ) e (vrible dependiente). Por lo tnto, pr determinr un función, bstrá con estblecer un regl que nos permit hllr el vlor de l imgen de. Ejemplo : : D R / f ( ) f f Ejemplo : L regl que sign cd longitud l de un cudrdo su áre A. Ejemplo : L funcion de demnd de TV, cu curv se represnt: Pr que un función quede correctmente definid es necesrio determinr: * El dominio de l función: que se not con D f * El recorrido de l función: conjunto de ls imágenes de todos los elementos del D f Es un subconjunto de R, que se not con R f, * L regl por l cul se sign cd elemento del D un solo elemento del conjunto Imgen. Gráfic de un función rel : Es el conjunto de todos los pres de números reles(, ) determindos por l función f.cd pr de números corresponde un punto del plno. Uniendo todos los puntos, se obtiene l gráfic de l función. Observción: Si trzmos prlels l eje de ordends, ests no pueden intersectr l gráfico de un funcion en más de un punto, pues de lo contrrio hbrí más de un imgen pr ciertos elementos del dominio. Ejemplos: f g T.P. Nº 6 Pg Nº

11 Actividd : Indicr cules de ls siguientes relciones son funciones. Justific eplicndo quells que no lo sen. ) { (,) / = + } b) {(,) / + = } b) { (,) / + = } c) { (,),(,8),(,6)} d) { (,) / } e) { (,) / + = } Actividd 5: ) Determinr justificr cuáles de los siguientes gráficos representn funciones en R: Justific eplicndo quells que no lo sen. ) b) c) - d) e) Actividd 6: Obtener l regl de correspondenci de f(+), sbiendo que : f(-)= Dominio de un función: Es el conjunto de todos los vlores posibles que puede tomr l plicársele un función f. Por ejemplo: si f()= +6 el D f = R, puesto que f est definid pr culquier vlor rel que sum. En cmbio : g ( ) No tiene sentido o no está definid pr = -. Luego D g = R-{} T.P. Nº 6 Pg Nº

12 CLASIFICACION DE FUNCIONES Teniendo en cuent ls operciones que relcionn l vrible independiente, ls funciones se clsificn en lgebrics trscendentes. Función Algebric Trscendentes (+, -,, /, pot. rd.) Trigonométrics Trigonométrics inverss Logrítmics Rcionles Irrcionles Eponenciles Hiperbólics (+, -,, /, pot.) (+, -,, /, pot.) rdic. Hiperbólics inverss Enters Frccionris (+, -,, pot.) (+, -,, pot.) / Funciones Polinómics Csos prticulres: Función linel: = m + b (rect) Función cudrátic: = + b + c (prábol) De ls infinits funciones que eisten, ls más usules básics (que se deben conocer), l igul que sus dominios, son: Funciones polinómics: donde n son de l form: f() = n n + n- n con n N es el grdo del polinomio n, n-,,, son coeficientes. Este tipo de funciones siempre tiene como dominio D f = R En prticulr: Si n = f() = función constnte Si n = f() = + función linel Si n = f() = función identidd (con =, =) Si n = f() = + + función cudrátic Si n = f() = función cúbic T.P. Nº 6 Pg Nº

13 Actividd 7: Escribe el tipo de función polinómics que correspond ls siguientes fórmuls: ) f() = 9+5 b) f() = 6 c) f() = -7 d) f() = - (+) e) f ( ) Actividd 8: Escribe el tipo de función polinómics que correspond los siguientes gráficos: f()= f()= Funciones Frccionris: P( ) son de l form: f ( ) con P() Q() funciones polinómics Q() Q( ) El dominio es el conjunto de los reles menos los que nuln el denomindor. Ejemplo: l función f ( ) o g( ) D = R - {} f()=-/ f()=/ T.P. Nº 6 Pg Nº

14 Actividd 9: Determinr el dominio de ls siguientes funciones rcionles: ) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) d) f ( ) 9 Funciones ríz cudrd: Son de l form f ( ) g( ) o f ( ) g( ) con g (). El Dominio est formdo por todos los reles que hcen POSITIVO el rdicndo. Representciones gráfics Actividd : En cd epresión propone un vlor rel pr el cul l operción no este definid por lo tnto no cumpl l eistenci. Luego determinr el Dominio de ls siguientes funciones: i) g ( ) 6 ii) h ( ) iii) g ( ) iv) t ( ) T.P. Nº 6 Pg Nº

15 Función eponencil: Son de l form g( ) f ( ) donde l bse >. Destcmos entre ells ls que tienen como bse el número e ( nº de Euler) : El Dominio es el conjunto R.. Ejemplo: f()= f ( ) g ( ) e - - Función logrítmic: Son de l form f ( ) log g( ) con g( ) D f = R + Los csos más conocidos son: ln log ( logritmo neperino logritmo deciml), con bses: = e = Ejemplo: Observción: Como se hbrá observdo en lgunos de los csos, ls funciones No siempre estn definids en los Reles los fines de que se verifique l condición de eistenci. Este tipo de epresiones se dicen que están restringids. Por ello es importnte recordr: Si l función es frccionri el dominio es el conjunto de todos los números reles menos el conjunto de vlores que nuln el denomindor. Si l función es irrcionl cudrátic el dominio es el conjunto de todos los números reles pr los cules el rdicndo es mor o igul que cero. Si l función es logrítmic el dominio es el conjunto de todos los números reles pr los cules el rdicndo es mor que cero. T.P. Nº 6 Pg Nº 5

16 Trnsformción de funciones elementles H funciones que difieren un de otr en un constnte, pero que en esenci son del mismo tipo sus gráfics se pueden obtener prtir de un de ells que se tome como modelo. Ejemplo: Observemos ls funciones: f()=, g()= h() = (+) Se dice que ls gráfics de ests funciones son trnsformciones de un que se tom como modelo. En el ejemplo ls constntes son que se plicn sobre Ls trnsformciones básics de un función de l form: f (), con c >, son: Trslción horizontl de c uniddes l derech: f ( c) Trslción horizontl de c uniddes l izquierd: f ( c) Trslción verticl de c uniddes hci bjo: f ( ) c Trslción verticl de c uniddes hci rrib: f ( ) c Refleión (respecto l eje ) : f () ; Refleión (respecto l eje ) : f ( ) T.P. Nº 6 Pg Nº 6

17 Actividd : Escribe l fórmul correspondiente cd función de cuerdo l condición dd luego represent cd pr. ) = trnsformción de uniddes hci l derech, = b) = trnsformción de uniddes hci rrib, = c) = trnsformción de uniddes hci l izquierd, = d) = / trnsformción de uniddes hci bjo, = Actividd : Escribe l fórmul correspondiente cd función guiándote de ls fórmuls gráfics de funciones dds en l ctividd nterior: ) b) c) d) T.P. Nº 6 Pg Nº 7

18 Eisten funciones llmds funciones por prtes que tiene como regl de correspondenci un conjunto de vris regls de correspondenci que se cumplen pr determinds prtes de su dominio cu gráfic result l unión de cd uno de los gráficos definidos. Ve el siguiente ejemplo: Problem : L puntución obtenid por un estudinte en un emen depende del tiempo que h dedicdo su preprción (, epresdo en hors) en los siguientes términos: G( ), si si 5 5 En este tipo de problems se puede requerir: ) Estudir el crecimiento de est función. Si un estudinte h dedicdo menos de 5 hors preprr el emen, justificr que no probrá, esto es, que obtendrá menos de 5 puntos. b) Justificr que l puntución nunc puede ser superior o igul puntos. Su gráfic (en escl conveniente) es : Actividd : Determin el Dominio represent ls siguientes funciones. Indic el Recorrido de cd un si f : si si g : si si si h : si si T.P. Nº 6 Pg Nº 8

19 Problem : Un estción de servicio describe el beneficio semnl, de cuerdo con los litros de nft sin plomo que vendió, según l siguiente fórmul: B() = El beneficio B se epres en pesos l vrible se epres en miles de litros. Interes conocer: ) Cuánto dinero pierde si no vende nft? b) Cuántos litros se deben vender pr que el beneficio se máimo? c) Pr que cntidd de litros no h pérdids ni gnncis? Pr contestr este tipo de pregunts en generl cundo el tipo de función no es suficiente pr su representción, se debe relizr un nálisis previo de l función demás de l tbl de vlores su gráfico. Este nálisis consiste, entre otros spectos considerr, en : ) Determinr el dominio recorrido de l función. b) Intersección con los ejes coordendos. c) Anlizr l pridd de l función. d) Anlizr l eistenci de síntots. b) Intersecciones con los ejes coordendos Son los puntos en los que l gráfic de l función intersec los ejes de bsciss de ordends. i- Con el eje de ordends : Se obtiene hciendo =. Es decir corresponde l pr (,f()) f() Observción: l intersección con el eje, en el cso de que eist, es únic. ii- Con el eje de ls bsciss :Se obtienen pr quellos vlores del dominio donde se nul el vlor de l función. Dichos vlores se denominn ceros de l función son ls soluciones o ríces de l ecución f()= Actividd : Anlizr los puntos de intersección con los ejes, de l función: f ( ) 6 5 T.P. Nº 6 Pg Nº 9

20 c) Pridd de funciones Función pr Un función = f() es pr si f() = f(-), D. Es decir, ls imágenes de vlores opuestos coinciden. f()=f(-) - Por coincidir ls imágenes de vlores opuestos, l gráfic de un función pr es simétric respecto del eje Y. Funciones impres Un función = f() es impr si f() = -f(-). ( o f(-) = - f() ) A vlores opuestos de corresponden imágenes opuests. L gráfic de un función impr es simétric respecto l origen de coordends. f() - f(-)= -f() d) Asíntots: Son rects que itn l curv. Ls h de tres tipos: verticles, horizontles oblicus. Por ejemplo: L función rcionl: f ( ), tiene síntot verticl en =, sintot horizontl en = T.P. Nº 6 Pg Nº

21 Actividd 5: Anliz l pridd de ls siguientes funciones representr en el plno: ) g() = - b) g() = - + c) g() = - Actividd 6: Determinr Dominio e Imgen de ls siguientes funciones sí como los puntos de intersección con los ejes coordendos. Algun es pr?: ) ( ) si ( ) ( ) si g b) f ( ) si si si Actividd 7: Anlizr ls siguientes funciones determinndo: dominio recorrido, intersección con los ejes, síntots. Grficr( údte con tbls si es necesrio): i) 5 ii) iii) v) f ( ) iv) f ( ) vi) f ( ) A prtir de ls funciones vists se pueden obtener otrs nuevs, sumndo, restndo, multiplicndo, dividiendo ( con denomindor no nulo) o hciendo composición de funciones. Algebr de funciones Sen f g dos funciones reles con f:d f -> R /=f() ; g:d g ->R / =g() D f = D g Sum de funciones Se define l función: f+g : D->R / = (f+g)() = f()+g() con D f+g = D f Dg Rest de funciones Se define l función: f g : D->R / = (f-g)() = f()-g() con D f-g = D f Dg Producto de funciones Se define l función: f.g : D->R / = (f.g)() = f().g() con D fg = D f Dg Cociente de funciones Se define l función: f/g : D->R / =(f/g)() =f()/g() con D f/g = D f Dg { } (L función f/g está definid en todos los puntos, menos en en los que g se nul.) Producto de un constnte por un función Se define sí, l función: kf : D->R / = (kf) () = k.f() T.P. Nº 6 Pg Nº

22 Actividd 8: Obtener ls siguientes funciones: ) G() = f() + 5 si f()= + b) G() = f() si f()= 5 c) G() = f() / h() si f()= + 5 h() = + d) G() = f().h () si f()= + h() = COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Dds dos funciones reles de vrible rel, f g, tles que el recorrido o imgen de f esté incluido en el dominio de g, se llm composición de ls funciones f g, se escribe g o f, l función definid por (g o f )() = g[f()]. L función ( g o f )() se lee «f compuesto con g plicdo». D f R f f() g(f()) D g g o f Pr que l composición eist, es necesrio que l imgen de l función que se plic primero esté incluido en el dominio de l segund función. Si esto no sucede, se pueden relizr restricciones pr logrr l composición. (Generlmente se modific el dominio l imgen de l primer función plicd ). Determinción de l imgen de un elemento medinte un función compuest. Se obtiene l imgen de medinte l función f, o se f().. Se clcul l imgen medinte l función g, de f(). Es decir, se plic l función g l resultdo obtenido nteriormente. Ejemplo: Sen ls funciones : f() = + g() =. Clculr g o f Rt: Como R f Dg, entonces eiste (g o f)() = g [ f() ] = g [+] = (+) Not: L composición de funciones no es conmuttiv. gof fog T.P. Nº 6 Pg Nº

23 Actividd 9: Obtener, si es posible, ls funciones (f o g )() ( g o f )(), dds ls funciones: ) f : - g : / b) f : - g : c) f : g : T.P. Nº 6 Pg Nº

24 5. Limite Finito Problem : En cierto grupo de fmilis, el gsto mensul en ocio, G() en miles de pesos, está relciondo con sus ingresos mensules, en miles de pesos, trvés de l siguiente epresión:. si G( ) si El gsto en ocio de un fmili es sensiblemente distinto si sus ingresos son ligermente inferiores o superiores los $.? Pr responder este interrognte deberimos nlizr l continuidd de l gráfic de l funcion G en = : Anlíticmente se puede estudir el cso clculndo: G() el límite de G cundo se proim ( En símbolos: G( ) ) En este cso, si bien G() =, sin embrgo no eiste el límite finito. L noción de límite de un función es fundmentl en el estudio del Cálculo. En este prte de l unidd se estudirá est concepto, sus propieddes sobre todo se clculrán lgunos límites de funciones reles pr nlizr su continuidd. Problem : Dd l funcion : f ( ) Est clro que el Dominio es: D f = Cuál es el límite de f cundo se proim? Pr responder est consign te propongo que consideres un entorno reducido de rdio,5 centro, completes l siguiente tbl pr vlores de pertenecientes este entorno:,89,99,998,5,8, f () T.P. Nº 6 Pg Nº

25 Después de completr l tbl, observ responde: ) En l función los vlores de tienden o son próimos., mientrs que los de f() son próimos.. b) Los vlores de pertenecen l entorno Los vlores de f() pertenecen un entorno c) Mrc en form proimd, los entornos sobre el gráfico de f : En est función f, si bien D f, pero eiste límite finito cundo tiende se escribe:.. Límite finito de un Función Rel Se f : D f -> R / D f R, punto de cumulción de su dominio l R ( puede o no pertenecer D f ) Se dice que el número rel l es el límite de l función f en el punto, cundo los vlores de f() tienden o se proimn hci el vlor l cunto se quier, eligiendo lo suficientemente próimos, pero distinto de. El límite de un función en un punto, si eiste, es único se denot: L definición nterior se puede epresr: f ( ) Un función f( ) tiene por límite I en (punto de cumulción del D f ), cundo pr todo entorno de I de rdio, E ( I, ), h un entorno reducido de de rdio, E (, ), tl que pr culquier de E (, ), su imgen f() está en el entorno E ( I, ). Simbólicmente: l f ( ) l, / : ( D f f ( ) l ) T.P. Nº 6 Pg Nº 5

26 Ejemplo: Demostrción de: ( ) 9 Actividd : Indic proimdmente cul es el límite pr -> en cd gráfico de ls funciones propuests. En los csos en que no se pued definir, justificr l respuest: ) b) c) o 5 o o - Actividd : En los siguientes ejercicios completr l tbl, observr los resultdos usrlos pr estimr el límite pedido. ( Aúdte de un clculdor): ),8,95,99,,,5 f () b) -, -, -,,,, f () El cálculo de límites se determinó por proimción medinte l ud de tbls o por observción de l gráfic. Pero est evlución no siempre es suficiente o posible en l práctic. Pr ello eiste un cálculo nlítico del límite de funciones que se reliz con l ud de propieddes. T.P. Nº 6 Pg Nº 6

27 Propieddes de los límites: Límite de un sum de funciones: Es igul l sum de los límites de cd un de ells: Límite de un rest de funciones: Es igul l diferenci de los límites de cd un de ells: Límite de un producto de funciones: Es igul l producto de los límites de cd un de ells: Límite de un cociente de funciones Es igul l cociente de los límites de cd un de ells, si el denomindor no es nulo: Límite de un función potencil eponencil: f ( ) g( ) f ( ) g( ) A B Algunos límites básicos: Sen b números reles culesquier n un entero positivo. Entonces: i) b b ii) iii) n n Actividd : Complet, plicndo ls propieddes los límites básicos: ) 9 b) ( ) c).( ) d) Actividd : Represent l función g clcul el límite pr > de l función g que se define: si g ( ) Actividd 5: Se un p.c. del D f D g, clculr plicndo propieddes si: f ( ) ) c) f ( ) g( ) b) g( ) f ( ) d) o f ( ) g( ) f ( ) g( ) g( ) T.P. Nº 6 Pg Nº 7

28 Límites lterles: Se f un función rel un p.c. de su Dominio. El ite por l derech de l función f es el número L cundo f() se proim L pr mu próimos mores que. Esto es si, pr todo >, eiste un número > tl que si < < + entonces f() L < El ite por l izquierd de l función f es el número L, cundo f() se proim L pr mu próimos menores que. Esto es si, pr todo >, eiste un número > tl que si - < < entonces f() L < Relción entre el límite los límites lterles El ite de un función f en un punto eiste, si solo si eisten los límites lterles coinciden: Actividd 6: Clculr los límites lterles de f cundo -> en ls siguientes funciones: si ) f ( ) b) f si ( ) si si Actividd 7: Evlur los límites lterles de f cundo -> en ls siguientes funciones: ) b) 6 c) T.P. Nº 6 Pg Nº 8

29 Se l función: Límites infinitos: f ( ) cu gráfic es l siguiente: Se puede observr que f decrece sin cot cundo -> por l izqu. Y crece sin cot cundo tiende por der. Este comportmiento se denot: - Definición: Cundo l proimrse un punto l función f crece (o decrece) indefinidmente se dice que f() tiene un límite infinito cundo tiende l punto se escribe: f ( ) f ( ) respectivmente. Es decir: f ( ) * * f ( ) M M,, / / f ( ) f ( ) Not: En esos csos l rect = es un síntot verticl de l función f. Por Ej: = M M Actividd : Determin el límite de ls siguientes funciones cundo tiende l número que no pertenece l dominio por izquierd por derech: ) f ( ) ( ) b) g( ) c) h( ) ( ) Actividd : Represent un función f que cumpl simultánemente con ls siguientes condiciones: f ( ), teng síntot horizontl en =, f () =, f () =, f () = T.P. Nº 6 Pg Nº 9

30 Ahor si tiende l infinito en un función, se pueden presentr más de un situción. Observemos los siguientes ejemplos: f()=- f()=^ Grph Limited School Edition Grph Limited School Edition En l primer : f ( ) mientrs que en l segund g( ) En est últim función l rect = represent un síntot horizontl de l función g Por est rzón estudiremos el límite en el infinito pr ese tipo de funciones. En Interés compuesto se define cpitlizción como el período que en el que se hce efectivo el pgo de los intereses gndos en un operción finncier. Supongmos se deposit un cpitl inicil C un ts nul del % durnte un ño. El monto será : C n = C.(+i) n (ver Trbjo Práctico Nº ) Si l cpitlizción es nul, se cpitliz un vez por ño, entonces: i= n= C = C.(+) = C Si l cpitlizción es semestrl, se cpitliz dos veces por ño, entonces: i= ½ n = C = C.(+ ½ ).(+ ½ ) = C.(+ ½ ) Supongse que se tiene un cpitl inicil C = $. Clculese cunto se cobrrá l cbo de un ño si se cpitliz: ) semestrlmente b) trimestrlmente c) bimestrlmente d) semnlmente En generl si el interés se cpitliz n veces por ño, result: Si el interés se cpitliz cd instnte, el ño debe ser dividido en un cntidd n infinit de períodos, el monto result de clculr el siguiente límite: C n C. n n n Observesé que pr clculr el límite de est epresión se requieren de otros procedimientos dicionles que un simple reeemplzo. ( Teto etrido del Libro: Mtemátic instrumentl I Activ. Ed. Puerto de Plos) T.P. Nº 6 Pg Nº C n C. n n

31 Límites en el infinito: Son los límites: f ( ) f ( ), que los definimos de l form siguiente: * Se f definid en un conjunto no cotdo superiormente f ( ) l, / : ( * Se f definid en un conjunto no cotdo inferiormente f ( ) l, / : ( D D f f f ( ) l ) f ( ) l ) Ls operciones propieddes de los límites se generlizn pr límites infinitos en el Infinito teniendo en cuent que: si L es el límite de un función rel, entonces el límite de: L sum: L = ; + = ; - + L = - ; - - = - El producto: L.( ) = si L> ; ) = ; L.(- ) = + L.(+ ) = - si L< Cociente: L ( En prticulr ) L L ( Si L ( Si L ) ) L ( Si L ) ( En prticulr ) Aplicción del cálculo de límites pr l determinción de ls síntots Recordemos: ls síntots son rects hci ls cules tiende pegrse l gráfic de un función. Pueden ser verticles, horizontles u oblicus, como se pude precir en los sigu. 8 f()=/(-) + f()= 8 f()=(^ +)/- f()= Grph Limited School Edition Grph Limited School Edition L rect = es un síntot verticl de l curv = f() si f ( ) L rect = b es un síntot horizontl de l curv = f() si f ( ) b L rect = m + b es un síntot oblicu de l curv = f() si [ f ( ) ( m b)] T.P. Nº 6 Pg Nº

32 Actividd : De cuerdo lo visto, evlur los siguientes límites : i) 8 ii) 6 9 Actividd : Obtener ls síntots de ls siguientes funciones, plicndo límite: i) 6 f ( ) ii) g ( ) iii) t ( ) Se vio que en lguns funciones se pude obtener el límite por sustitución direct de por l tendenci, pero eisten otros csos que est form no permite conocer l eistenci el vlor del límite. Por ejemplo: ) ) Estos csos otros reciben el nombre de límites indetermindos: Límites indetermindos Son forms indeterminds ls epresiones:,,,.,,, Pr einr ests form se debe llevr l función dd otr equivlente plicndo propieddes lgunos rtificios lgebricos según se el cso. Vemos los csos cundo ls funciones son rcionles: Cso se plic fctorizción en numerdor denomindor, se simplific los fctores. Cso se divide el denomindor entre l indetermind de mor grdo de mbs. Ejemplo : Clculr el límite de g() Respuest: Si plicmos propieddes el límite d /, como se observ: Fctorizndo simplificndo, result: T.P. Nº 6 Pg Nº

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