EL DOMINIO DE CONCEPTOS MATEMÁTICOS EN PROFESORAS DE PREESCOLAR: UNA COMPARACIÓN ECUADOR - MÉXICO

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1 EL DOMINIO DE CONCEPTOS MATEMÁTICOS EN PROFESORAS DE PREESCOLAR: UNA COMPARACIÓN ECUADOR - MÉXICO Eduardo Molina Morán 1 Universidad Laica Vicente Rocafuerte de Guayaquil Conferencia Regular (CR) Educación de Adultos Formación de profesores y maestros Palabras claves: educación, preescolar, conceptos, matemática, formación, profesorado Resumen Un requisito básico de los maestros es el dominio de los contenidos y conceptos que se pretende impartir, premisa también aplicable a la enseñanza de nociones lógicas en la educación preescolar. El presente estudio indaga comparativamente sobre algunos conceptos matemáticos en 12 profesoras de preescolar de Ecuador y México. Contrariamente a lo que podría inferirse sobre la diferencia del nivel educativo entre estos países, basado en los resultados de las Pruebas PISA, los dos grupos presentaron resultados semejantes en los conceptos matemáticos, revelando que las realidades del aula son muy similares. Estos datos muestran evidencias sobre la disparidad entre la amplitud de conceptos y su profundidad, la importancia del lenguaje en la comprensión de los mismos, y un sondeo de la organización de los contenidos, cuestiones que deben llevar a analizar algunos aspectos de la epistemología matemática, la enseñanza y el currículo vigente en países latinoamericanos. Introducción Un debate llevado en la Universidad Laica Vicente Rocafuerte permitió cuestionar sobre la calificación profesional de la maestra de preescolar, así como la necesidad de dominar conceptos matemáticos para una adecuada enseñanza de nociones lógicas. Se preguntó: Cuántos conceptos estarán enseñándose de forma errada? Paralelamente surgió la duda de si este es un problema exclusivamente local, por lo que se aprovechó los estudios de Maestría en línea que cursa el investigador para incorporar una muestra de México. El presente estudio tuvo el propósito de determinar y comparar el dominio de conceptos matemáticos que poseen dos grupos de maestras de preescolar de dos países latinoamericanos y recabar datos sobre didáctica utilizada y aprendizajes. Marco Teórico Los niños, filósofos por naturaleza, preguntan los por qué de toda situación, se interesan por cuestiones filosóficas, y sus preguntas llevan a los adultos a reflexiones profundas (Nickerson et al, 1995). Responder preguntas epistemológicas supone una sapiencia 1 Miembro del Departamento de Investigación Científica y Tecnológica de la Universidad Laica Vicente Rocafuerte de Guayaquil - Ecuador (ULVRG). Miembro de la Sociedad Ecuatoriana de Matemática. 77

2 epistemológica en el profesor. Tomaschewsky (1969) postula que el maestro podrá responder estas preguntas cuando él mismo llegue a conocer la esencia y el proceso de la cognición humana. Algunos autores proponen al dominio de los contenidos que se enseña como un aspecto central para ser un docente competente (Gil et al, 1991). Los conceptos son construcciones mentales que revelan las cualidades y esencialidades de los objetos y fenómenos que surgen de la experiencia e interacción con el entorno. Para Vygotsky (1995) hay dos tipos de conceptos: Comunes y científicos. Los comunes o cotidianos se configuran en la comunicación diaria con otras personas y por la experiencia. Al amplificar la experiencia escolar, los conceptos comunes adquieren el nivel de científico. Los conceptos científicos corresponden a leyes, su aprendizaje requiere una enseñanza formal y se basa en procesos mentales y la experiencia. La comprensión es una actividad mental que permite conocer la realidad. Un objetivo central de la enseñanza matemática es la comprensión (Baroody, 1997). Si no se fomenta, niños y adultos aprenden datos, definiciones y procedimientos matemáticos de memoria pero sin comprensión, y no servirá lo aprendido (Hildebrand, 1987). Los conceptos se suelen estudian por sus definiciones (Vygotsky, 1995). Pueden darse por diversas representaciones, de forma oral, escrita, o por acciones. Sin embargo, no siempre se los comprende a pesar de una ejecución correcta (Smirnov, 1960). Por ello, la definición puede solicitarse de dos formas: 1) Basado en un concepto familiar, se pregunta su definición. 2) Se utiliza para construir un concepto (Pinto y Tall, 1996). A veces los estudiantes tienen dificultades para usar definiciones formales (Vinner y Dreyfus, 1989). Basado en experiencias escolares, crean modelos mentales de conceptos matemáticos antes de ser definidos formalmente, lo que Tall y Vinner (1981) llaman imagen del concepto. Vinner (1991) dice que tanto la definición del concepto como su imagen se consideran células del proceso de la cognición, y operan tanto de forma independiente como interrelacionada, y un problema matemático puede activarlas. Los conceptos matemáticos se consideran una dicotomía o una dualidad (Kaput, 1994; Sfard, 1991), un concepto puede ser parte de un proceso u objeto, su manipulación obedece a operaciones o estructuras, y se complementan pero no se excluyen (Halmos, 1985), situación que Sarfd (1991) valora por la importancia de los supuestos filosóficos tácitos en la actividad matemática o en los procesos cognitivos de su manejo. Lee (2010) evaluó a 81 profesores de kindergarden sobre conocimientos pedagógicos matemáticos en 6 categorías: sentido numérico, patrones, ordinalidad, formas, sentido espacial, y comparación. El estudio mostró que poseen mayor nivel de conocimiento 78

3 pedagógico en el sentido numérico y los de menor nivel en sentido espacial. Gutiérrez y Jaime (1999) evaluaron el modelo de Vinner de adquisición del concepto de altura de un triángulo en 190 estudiantes de Educación, y descubrió que las imágenes de conceptos generan errores comunes. Tirosh et al (2011) valoraron el plan de formación docente Empezando bien y demostraron que proporcionar tareas estimulantes a profesores de preescolar, orienta los conocimientos pedagógicos y matemáticos a una rica producción de prácticas. Norton (2010), al aplicar un programa docente matemático en 131 estudiantes de Educación en Australia, mejoró la comprensión de conceptos. Fernández et al (2004) estudiaron las creencias y prácticas de 96 docentes de preescolar de Barranquilla, y se reveló que relacionan la matemática con conceptos de número y cantidad. Friz et al (2009), al evaluar la reforma curricular chilena, mostraron que las docentes de educación inicial tienen escaso dominio en geometría, numeración y TICS. Metodología Se eligió el enfoque cualitativo, y la entrevista como técnica de recolección de datos. La muestra fue de 12 maestras de preescolar, 6 ecuatorianas y todas docentes de la ULVRG, y 6 mexicanas, 3 del Jardín de Niños Público Josefina Garcilazo y 3 del Colegio Privado Pillicao, ambos del Estado de Morelos. La elaboración del instrumento partió de los programas de preescolar de ambos países y de entrevistas con 2 maestras de cada país, ubicando como contenidos comunes al número, forma, espacio, medida y currículo. El instrumento constó de 16 preguntas que cubren estos conceptos desde diversos aspectos, elaboradas como pruebas inusuales, ejemplos, y contraejemplos, porque permiten reflexionar (Rasslanet al, 2002). Además generan la evaluación de creencias personales desde sus saberes hasta la definición, al exponerse a problemas que no solo se resuelven con imágenes de conceptos (Vinner, 1991). Las varias preguntas que analizan un mismo concepto se eligieron por 4 categorías, donde el cumplimiento de cada categoría es indicador que el concepto se domina: 1) Definición del concepto, 2) Diferencia entre conceptos, 3) Identificación de esencialidades del concepto y 4) Aplicación o representación. Se utilizó el análisis de contenido para develar lo oculto dentro del texto a través de una penetración intelectual (Piñuel, 2002). Se aplicó el instrumento en una entrevista individual cuya consiga fue escribir las respuestas sea cual fueren, donde sus imaginarios también poseen valor. El análisis de 79

4 datos clasificó los resultados en: Conceptos que se dominan, Conceptos que presentan confusión y Conceptos que se desconocen. Resultados El análisis enfatiza las razones de las confusiones más representativas. Conceptos: Número, Numeral y Base 10 Mientras que las maestras mexicanas intercambian los conceptos número y numeral, o los vinculan acertadamente a conteo y cardinalidad (Caballero, 2006), las ecuatorianas los encuentran muy ligados, a tal punto de pensar que la única forma de expresar un número es por medio de un numeral. Además, expresan dificultades comunicacionales para definir. Los resultados sobre Base 10 del grupo de Ecuador coinciden con Kamii (1994) en que algunos estudiantes nunca llegan a aprender el valor de la posición. Conceptos: Línea, Recta y Vertical El grupo mexicano dificulta el subordinar la verticalidad a lo rectilíneo, toda vertical es recta. Desvinculan el supraordinado, y no permiten que dentro de la estructura cognitiva, el concepto se precise y logre nuevos significados (De Zubiría, 1999). El grupo de Ecuador confunde el concepto recta por un principio de economía lingüística, la línea incluye a la recta. En habla hispana se suele utilizar los dos términos indistintamente, en idioma inglés no se separan: straight line. La excesiva economía lingüística genera una complicación analítica (Moreno, 2002). También sus definiciones revelan que los conceptos son cotidianos y no han alcanzado el nivel de científico. Conceptos: Cuadrado, Rombo y Triángulo Ambos grupos presentan confusiones similares en la aportación de esencialidades de las figuras debido a que son producto de la contemplación y no de un dominio conceptual. Sus respuestas sincréticas se explica porque sus imágenes son tan firmes que dificultan dar una definición formal del concepto (Vinner, 1981). Los grupos también evidencian inconvenientes para ejecutar procesos analíticos-sintéticos entrenados, básicos para la identificación de cualidades que los diferencien de otros objetos (Shardakov, 1968). Conceptos: Circunferencia, Círculo, Redondo y Óvalo El grupo ecuatoriano domina el concepto Circunferencia a diferencia del mexicano, que al no pertenecer al currículo y no estar familiarizadas, lo relacionan con conceptos más avanzados. El grupo México complementa los conceptos círculo y redondo, a diferencia de Ecuador que presenta gran dispersión de respuestas a redondo, y dificultades generales de lenguaje para definir. También hay similar conocimiento del concepto 80

5 óvalo en los dos grupos. Sin embargo, ninguno brindó datos sobre su construcción. Molina et al (2011) descubrieron que las maestras construyen estos modelos a pulso. Concepto: Relación La relación es un concepto matemático inserto en otros conceptos y aplicaciones, y no siempre los profesores lo explicitan. Por ello, ninguna maestra está familiarizada con la resolución de problemas matemáticos, y las lleva a utilizar recursos cotidianos sin que necesariamente se esté consciente de la profundidad del concepto utilizado. Se tiende a interpretar los conceptos como procesos operacionales, a pesar de haber sido enseñados estructuralmente por definiciones (Vinner y Dreyfus, 1989). Concepto: Criterios sobre Currículo De la Ley de Weber-Fechner: el menor cambio discernible en la magnitud de un estimulo es proporcional a la magnitud del estimulo, que se aplica a acciones con estímulos como peso, longitud o volumen, se concluye que el cerebro no procesa símbolos como los numerales sino que convierte los símbolos en cantidad o distancias (Dehane, 1997). Si la distancia es base para los símbolos, se propone que sobre la geometría se erige la aritmética. El análisis mostró un coeficiente de concordancia de Kendall de 0.689, p=0.002 para México y de 0.536, p=0.03 para Ecuador. Esto significa que no hay una tendencia de las maestras a concordar que la aritmética se basa en la geometría. Así se explica el por qué se tiende a enseñar aritmética antes que geometría. Análisis Final No se registra diferencias significativas entre el número de conceptos que se dominan, confunden y desconocen. Pero sí hay diferencias en los tipos de conceptos. Nivel México Ecuador Dominio Conceptual Numeral Línea Óvalo Base 10 Recta Círculo Redondo Numeral Línea Óvalo Vertical Circunferencia Confusión conceptual Desconocimiento Conceptual Número Cuadrado Relación Currículo Vertical Circunferencia Rombo Triángulo Número Cuadrado Relación Currículo Base 10 Recta Círculo Redondo Triángulo Rombo Tabla 1: Distribución de los conceptos según su dominio en los dos grupos 81

6 Las maestras mexicanas tienen dominio o confusión en conceptos puntuales, conocen menos conceptos pero con mayor profundidad, en tanto que el grupo ecuatoriano muestra mayor amplitud de conocimiento conceptual pero con poca profundidad. México muestra mejor fluidez en las definiciones, las enuncian utilizando otros conceptos supra ordinados y sub ordinados; Ecuador logra explicar los conceptos a través de sinónimos, ejemplos o analogías, pero muestra que no han alcanzado el nivel de científicos. Conclusiones Contrario a lo que podría inferirse basado en la diferencia del nivel educativo entre estos países, y en los resultados de las Pruebas PISA, los dos grupos presentaron resultados semejantes en el dominio de conceptos matemáticos. A pesar de la diferencia en producción científica a favor de México, las realidades del aula son similares. Las soluciones deben derivarse de sus fortalezas y debilidades, Ecuador profundizando los conceptos conocidos y México ampliando la gama de conceptos. Por último, es necesario analizar la contribución de los avances neuropsicológicos en la matemática, para crear espacios de discusión sobre el currículo vigente en los países de la región. Referencias Baroody, A. (1997). El Pensamiento matemáticos de los niños: un marco evolutivo para maestros de preescolar, ciclo inicial y educación especial. Editorial Aprendizaje Visor. Caballero Reales, Sonia (2006): Un estudio transversal y longitudinal sobre los conocimientos informales de las operaciones aritméticas básicas en niños de educación infantil. Tesis doctoral. Universidad Complutense de Madrid. Disponible en: Dehaene, S. (1997).The number sense: how the mind creates mathematics. New York: Oxford University Press. De Zubiría, M. (1999). Estructura de la pedagogía conceptual. En Pedagogía Conceptual, Desarrollos filosóficos, pedagógicos y psicológicos. Bogotá. Fondo de publicaciones Bernardo Herrera Merino. Fernández, K., Gutiérrez, I., Gómez, M., Jaramillo, L. y Orozco, M. (2004). El pensamiento matemático informal de niños en edad preescolar: Creencias y prácticas de docentes de Barranquilla (Colombia). Zona Próxima: Revista del instituto de Estudios Superiores en Educación. Universidad del Norte. No 5. Friz, M., Sanhueza, S., Sánchez, A., Sámuel, M. y Carrera, C. (2009). Concepciones en la enseñanza de la matemática en educación infantil. Revista Perfiles Educativos. Vol XXXI, Num 125. IIUSE-UNAM. Gil, D., Carrascosa, J., Furió, C. y Martínez-Torregosa, J. (1991). La enseñanza de las ciencias en la educación secundaria. Colección Cuadernos de Educación. Num. 5. Barcelona. ICE/HORSORI. 82

7 Gutiérrez, A. y Jaime, A. (1999). Preservice primary teachers understanding of the concept of altitude of a triangle. Journal of mathematics teacher education.vol. 2. No Halmos, P. (1985). I want to be a mathematician: An automathography. New York. Springer-Verlag. Hildebrand, V. (1987). Fundamentos de educación infantil: Jardín de niños y preprimaria. México D. F. Editorial Limusa. Kamii. C. (1998). El Niño Reinventa la Aritmética: Implicaciones de la teoría de Piaget. Madrid. Editorial Aprendizaje Visor. Lee, J. (2010). Exploring Kindergarten Teachers s Pedagogical Content Knowledge of Mathematics.International Journal of early childhood. Vol. 42. No Ley de Educación (2005). Ley y Reglamento de Educación del Ecuador. Quito. Ediciones Legales. Kaput, J. J Democratizing access to calculus: new routes to old roots.in A. J. Schoenfeld (Ed.). Mathematical thinking and problem solving. NJ, Hillsdale: Lawrence Erlbaum publishers, Nickerson, R., Perkins, D. y Smith, E. (1995). Enseñar a pensar: Aspectos de la aptitud intelectual. Editorial Paidós. Moreno J. (2002). El motor de la economía lingüística: De la ley del mínimo esfuerzo al principio de la automatización retroactiva. Documento descargado el 18 de febrero del 2011 del sitio web: Norton, S. (2010). How deeply and how well? How ready to teach mathematics after a one-year program? Mathematics Teacher Education and development.vol. 12. No Pinto, M. y Tall, D. (1996). Student teachers conceptions of the rational numbers.in L. Puig& A. Gutiérrez (Eds.).Proceedings of the 20th conference of the international group for the psychology of mathematics education, Valencia, Spain.Vol. 4, Piñuel, J. (2002). Epistemología, metodología y técnicas del análisis de contenido. Estudios de Sociolingüística. 3(1), pp Rasslan, S. y Tall, D. (2002). Definitions and Images for the Definite Integral Concept. In A. Cockburn & E. Nardi. (Eds.). Proceedings of the 26st Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Norwich, UK.University of East Anglia. Vol. 4, Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathematical conceptions: Reflections on processes and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics 22, Smirnov, A. (1960). Psicología. Mexico D. F. Editorial Grijalbo. Tall, D. y Vinner, S. (1981). Concept image and concept definition with particular reference to limits & continuity. Educational Studies in Mathematics 12, Tirosh, D., Tsamir, P. Levenson, E. y Tabach, M. (2011). From preschool teachers professional development to children s knowledge: Comparing sets. Journal of mathematics teacher education.vol. 14. No. 2, Tomaschewsky, k. (1969).Didáctica general.méxico. Editorial Grijalbo Vigotsky, L. (1995). Pensamiento y lenguaje. Buenos Aires. Editorial Paidos. Vinner, S. y Dreyfus, T. (1989). Images and Definitions for the Concepts of Functions. Journal for Research in Mathematics Education 20 (5), Vinner, S. (1991). The Role of Definitions in Teaching and Learning. In D. Tall (Ed.) Advanced Mathematical Thinking. Dordrecht: Kluwer Acad. Publishers,

8 ANEXO PREGUNTAS 1. Según sus conocimientos, ordene los siguientes campos de estudio según su construcción desde lo más básico a lo más complejo: Geometría - Cálculo - Conjuntos Aritmética - Medida 2. En el siguiente espacio escriba un número.. Definición de concepto Diferencia entre conceptos Análisis de esencialidades Aplicación de concepto 3. En el siguiente espacio escriba un numeral.. 4. Cuál es la diferencia entre círculo y circunferencia? 5. Cuando usted dice que algo es redondo, se refiere a: círculo, circunferencia o esfera? 6. Cual es la diferencia entre línea y recta? 7. Defina lo que es una línea vertical. 8. Responda: Que es el número? 9. De donde proviene la fórmula del área de un triángulo: A= b x a/2? 10. Encierre la cantidad de puntos que representa a la cifra 6 del número Encierre la cantidad de puntos que representa a la cifra 2 del número Escriba 3 características relevantes para que una figura sea considerada un cuadrado 13. Escriba 3 características relevantes para que una figura sea considerada un rombo 14. Es o no es esto una línea vertical? Argumente su respuesta. 15. Cuál es la diferencia entre los centros de una circunferencia y de un óvalo o elipse? 16. Parta del punto indicado y siga la consigna: Avanzar 1 cuadro a la derecha y 2 cuadros y dibuje otro punto. Repita el proceso y finalmente trace una línea por los puntos colineales. Argumente qué concepto matemático está trabajando? * El sombreado en la tabla indica que la categoría no aplica 84

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