UNA NUEVA APROXIMACIÓN A LA MULTIRRESOLUCIÓN EN EL DOMINIO DEL TIEMPO (MRTD) BASADA EN LA TRANSFORMADA DISCRETA EN WAVELETS

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1 UNIVRSIDAD D BURGOS DPARTAMNTO D INGNIRÍA LCTROMCÁNICA UNA NUVA APROXIMACIÓN A LA MULTIRRSOLUCIÓN N L DOMINIO DL TIMPO MRTD BASADA N LA TRANSFORMADA DISCRTA N WAVLTS Tess Docora César Represa Pére uo

2 Meora preseaa por D. César Represa Pére para opar a grao e Docor e Cecas Físcas

3 Cerfcao e os recores e a ess Dña. María e Care Perera Fuees Profesora Tuar e ecroageso e a Uversa e Burgos D. Isae Barba García Profesor Tuar e ecroageso e a Uversa e Vaao ACN CONSTAR: Que e rabao uao "Ua ueva aproacó a a urresoucó e e oo e epo MRTD basaa e a rasforaa screa e wavees" ha so reaao por D. César Represa Pére e e Deparaeo e Igeería ecroecáca e a Uversa e Burgos bao uesra reccó que reúe as cocoes egas a os rabaos e ocorao. Burgos uo Fo. María e Care Perera Fuees Fo. Isae Barba García

4 A Care

5 Qusera epresar ás scero agraeceo a Isae Barba García por sus áos por e esfuero epo que e ha ecao. Tabé quero ar as gracas a Care Perera Fuees a osé Represa Feráe por e apoo recbo urae a reaacó e ese rabao cóo o abé a Care esús Cocesa esús Ferao Ferao... A oos vosoros s ecepcó uchas gracas.

6 ÍNDIC Capíuo I. Irouccó..... Irouccó srucura e a ess... Capíuo II. Aáss e Murresoucó Irouccó Aáss e Murresoucó Faa e Wavees e Daubeches Trasforaa Dscrea e Wavees DWT Trasforaa Dscrea e Wavees D Trasforaa Dscrea e Wavees 3D...45 Capíuo III. Foruacó Irouccó Foruacó D Operaor ervaa e ua base e Wavees Desarroo e agoro co fucoes e escaa Desarroo e agoro co fucoes e escaa e wavee epo e apcacó e agoro e urresoucó Foruacó D Desarroo e agoro co fucoes e escaa Desarroo e agoro co fucoes e escaa e wavee Foruacó 3D Desarroo e agoro co fucoes e escaa...9

7 3.4. Desarroo cueo fucoes e wavee Cocoes e Cooro Cocoes e Cooro D 3D Cocoes Absorbees PML Cocoes Absorbees PML e D Cocoes Absorbees PML e 3D Facor e Refeó e u eo PML Paso e epo epoeca Ipeeacó e as cocoes PML : eepo...7 Capíuo IV. Caraceríscas Nuércas e Agoro Irouccó saba Nuérca saba Nuérca e D saba Nuérca e D saba Nuérca e 3D Caraceríscas e Dspersó Dspersó Nuérca e D Dspersó Nuérca e D Dspersó Nuérca e 3D Aáss cuaavo e D...7 Capíuo V. Resuaos Irouccó cacó e Capo cacó e D cacó e D Apcacó e a écca MRTD D Propagacó e u puso gaussao...

8 5.3. Resoaor uesoa Apcacó e a écca MRTD D Frecuecas e core e ua guía WR Propagacó e u oo T e ua guía WR Paráeros e Scaerg e ua uó T e e pao Apcacó e a écca MRTD 3D Cavaes resoaes Propagacó e ua guía e oas recaguar WR9...5 Cocusoes...55 Apéce. srucura e a Suacó...6 A.. srucura e a suacó...6 A.. Defcó e Ssea Físco...6 A.. Cocoes e a Suacó...6 A..3 Ieracó e Agoro...63 A..4 Saa e Agoro: Aáss e Resuaos...63 Bbografía...67

9 Capíuo I INTRODUCCIÓN

10 INTRODUCCIÓN..- INTRODUCCIÓN auge e as uevas ecoogías epereao e uesra socea acua ha ao ugar a que e ecroageso sea u área presee caa ía para poer copreer epcar eorar e fucoaeo e uchos sposvos coaos. Fue e 87 cuao aes C. Mawe ufcó as eorías e a ecrca e Mageso sobre a base e cuaro ecuacoes represeavas ao cuea e as ees fuaeaes que rge os feóeos eecroagécos. Dese eoces esa eoría ha ugao u pape fuaea ha so resposabe e esarroo e úpes apcacoes ecoógcas ese a rao hasa egar a a geeracó e caor por crooas a eeccó reoa as coucacoes óves. Too ese esarroo eperea os ca que os feóeos eecroagécos acroscópcos esá goberaos por as ecuacoes e Mawe. Ua posbe foruacó e as ecuacoes e Mawe cosse e epresar as reacoes ere os capos eae u ssea e ecuacoes ferecaes e ervaas parcaes oe para su resoucó se ecesa coocer aeás a epeeca espaca epora e as propeaes eécrcas agécas e os eeeos que ervee. sa foracó acoa cosue o que se eoa e seo apo cocoes e cooro. vaor e os capos eecroagécos se puee obeer coo soucó e as ecuacoes e Mawe sueas a esas cocoes e cooro. S ebargo savo e suacoes cocreas e couo forao por as ecuacoes e Mawe as cocoes e cooro e probea parcuar o pere obeer e aera seca ua soucó aaíca eaca por o que es ecesaro reaar ceros procesos e aproacó. Las oas eecroagécas se puee casfcar aeeo a su frecueca e oas e rao crooas frarroos u vsbe uravoeas raos X raos γ raos cóscos cosueo oas eas e eoao especro eecroagéco. Las oas eecroagécas cua frecueca se ecuera ere aproaaee se cooce co e obre e crooas. Ua caracerísca 3

11 INTRODUCCIÓN porae que sgue a as crooas e reso e as oas eecroagécas es que su ogu e oa es e so ore e agu que os copoees e que se ua o que hace apcabes ao as aproacoes uaas e a ópca geoérca coo as uaas e a eoría e crcuos e baa frecueca. Así para caracerar ua esrucura o u sposvo e crooas ese u puo e vsa eecroagéco es ecesaro resover as ecuacoes e Mawe uo a as cocoes e cooro e probea parcuar. se aguas suacoes cocreas e as que es posbe resover esas ecuacoes e fora aaíca s ebargo e a aoría e os casos que os eresa será ecesaro resover chas ecuacoes eae éoos uércos. se ua gra varea e éoos uércos uaos para a resoucó e os probeas e crooas. sos éoos se puee casfcar e os graes grupos por u ao aqueos que requere para su foruacó u esuo aaíco prevo e coporaeo e capo eecroagéco e ua esrucura cocrea por oro ao aqueos éoos uaos para suacoes ás geeraes que o requere cho esuo. Dero e prer grupo se ecuera e éoo e os oeos e e resoaca rasversa e e a ecuacó egra e e aapacó oa. re os éoos pereecees a seguo grupo poeos ecoar e e eeeos fos e e ferecas fas e e eeeos e cooro e e a ar e íeas e rassó. sa casfcacó suee esar reacoaa a su ve co e oo e apcacó e caa éoo. Así os éoos e prer grupo geeraee rabaa e e oo e a frecueca eras que os éoos e seguo grupo o hace e e oo e epo. Para resover u probea parcuar os éoos uércos e prer grupo so ás específcos puee resuar ás efcaces a que sus egecas e epo e copuacó eora so eores. S ebargo os éoos e seguo grupo ebo a su sece apo rago e apcacó gracas a a gra poeca e cácuo e os oreaores acuaes so caa ve ás uaos. De hecho cuao os oreaores era ás aos se hacía práccaee prescbe u procesaeo aaíco prevo co e obeo e reucr a carga copuacoa e éoo. o e ía ese aspeco o es a críco co o cua os preros ha pero e pare su veaa. Aeás os éoos uércos e e oo e epo presea 4

12 INTRODUCCIÓN oras veaas coo so a posba e raar recaee co eeeos o eos o eaes a obecó e foracó e u apo rago e frecuecas eae a Trasforaa e Fourer se puee aaar propeaes que varía co e epo caeaeo oo eo s ovar que a auraea fucoa e e oo e epo o que hace ás fác erprear os resuaos e ua fora uva e cuso co vsas a fes eucavos. Uo e os éoos ás uaos e ese seguo grupo es e e as ferecas fas e e oo e epo FDTD rouco por K.S. Yee e 966 [88] pero que uvo que pasar ás e ua écaa hasa que epeó a epearse esarroarse apaee por uevos vesgaores e oros rabaos [74]. se éoo se basa e a screacó ao espaca coo epora e os capos eecroagécos a aproacó e as ervaas parcaes que aparece e as ecuacoes roacoaes e Mawe por cocees e ferecas fas. De esa fora se obee u esquea epíco e ecuacoes agebracas que pere r cacuao e saes sucesvos e vaor e capo eecroagéco e caa puo e espaco a parr e vaor e capo e e so puo e os crcuaes e saes aerores. éoo FDTD pere roucr ua ecacó e a esrucura suar a evoucó epora e capo eecroagéco e a regó e erés. Aeás por raarse e ua écca foruaa e e oo e epo pere obeer e ua úca suacó a respuesa e frecueca e a esrucura e u apo acho e baa úcaee ao por a screacó epora eae u aáss e frecueca e os capos cacuaos e e oo e epo. éoo FDTD presea aeás oras veaas esacabes coo so a posba e rabaar co ferees pos e aeraes a sea hoogéeos o heerogéeos eaes o o eaes spersvos o o spersvos e sóropos o asóropos [75]. Aeás ese éoo puee ser foruao e cuaquer ssea e cooreaas: ese sseas e cooreaas orogoaes coo os caresaos círcos esfércos a os sseas o orogoaes e cooreaas curvíeas. Ua caracerísca fuaea e oos os éoos uércos es que ebe raar co u úero fo e aos o pca que e oo uérco ao espaca coo epora oe se sua e probea esuao ha e esar ao. A pesar e sus veaas e éoo FDTD abé posee sus esveaas. La ás porae se refere a as acoes e a eora requera para aacear a 5

13 INTRODUCCIÓN esrucura que se quere aaar así coo e epo copuacoa ecesaro para resovera. sos ovos ha provocao que uevas éccas haa surgo eao resover esas esveaas. La ás recee es a écca cooca coo urresoucó e e oo e epo MRTD basaa e e aáss e wavees e cuo arco se ecuera e presee rabao. aáss e wavees ha so apaee esuao e e capo e as aeácas [ ] auque su prcpa apcacó se ha ecorao e e capo e procesao e señaes [83] o e a copresó e ágees [7] receeee esá seo apcao a a resoucó e ecuacoes ferecaes e vru e as propeaes e orogoaa que presea as wavees [ 9 ]. e capo e a geería e crooas as wavees ha so corporaas e prer ugar coo fucoes base uaas e e éoo e os oeos [39] oe a apcacó e esas éccas ha ao a uesras e su efceca copuacoa a a hora e aaar probeas eecroagécos e e oo e a frecueca [ ]. e coeo e os éoos uércos e e oo e epo su apcacó es oavía recee os preros rabaos reaaos se ha ecaao haca a búsquea e ua eora e a efceca copuacoa. esa íea se ecuera os reaaos por Krupho Kaeh [49 5] quees esarroaro éccas basaas e fucoes wavee e po Bae-Learé a as que eoaro éccas e urresoucó e e oo e epo MRTD. se uevo cocepo e urresoucó ee su orge e a eseca e os pos e fucoes eoaas fucó e escaa fucó e wavee as cuaes pere escrbr ua fucó co aor o eor precsó epeeo e úero e éros e escaa e wavee epeaos. De esa aera pareo e u esarroo forao úcaee por fucoes e escaa se puee obeer u resuao ás precso eso es auear su resoucó s ás que añar fucoes e wavee e ferees vees a esarroo sóo e aqueas oas oe se ecese. se po e agoros proporcoa e ua fora aura u éoo para obeer aaos o ufores co os que se puee escrbr oas específcas co ferees graos e resoucó apcao por eepo u aao fo aí oe e capo eecroagéco varíe co rape u aao 6

14 INTRODUCCIÓN ás grueso e e reso co e f e coservar recursos copuacoaes. se aao poría egar cuso a hacerse aapavo e fora que su refaeo se prouca e a oa e espaco oe se ecuera e puso e e ervao epora e que se ecesa. sas éccas e e oo e epo basaas e wavees reuce coserabeee e esfuero copuacoa ebo a que se puee epear aaos ás gruesos para os sos vees e precsó aeás co u aao aapavo se puee cosegur ua aa resoucó soaee aí oe se ecesa. A fereca e éoo FDTD que ecesa u screao e a eos e puos por ogu e oa esos éoos puee egar a uar screacoes cercaas a os os puos por ogu e oa para ograr resuaos sasfacoros. Aeás a escoposcó e wavees o esarroo orogoa e fucoes wavee pere apcar ua écca eoaa hreshog que cosse e ear cero úero e coefcees e esarroo que o acaa u vaor ubra fao e aeao s egraar a precsó e cácuo. sa écca proporcoa auoácaee e aao aapavo e oo [3 3 33]. Co e éoo FDTD abé se puee reaar u aao fo e eeraas regoes e espaco pero ao que e agoro ecesa para cacuar e vaor e capo e u puo coocer e vaor e as poscoes aacees e as oas froera ere e aao fo e grueso o se ee esos vaores ebeos recurrr a éccas e esacó para cacuaros aeás e requerr ua sucó e a screacó epora ebo a su eor rago e esaba. S ebargo as éccas MRTD o requere subvr a regó orga para auear a resoucó e ua oa eeraa. ve e eso para ua resoucó orga obea uao fucoes e escaa e aueo e resoucó se cosgue añaeo ás fucoes base a esarroo eso es añaeo ás fucoes e wavee e ore superor a as fucoes e escaa caes. ese caso abé es ecesaro para coocer e vaor e os coefcees e esarroo e u puo e coocer e vaor e os coefcees e os puos aacees. S ebargo e as regoes oe os éros e wavee e ore superor o so ecesaros para escrbr os capos sus coefcees so sufceeee pequeños coo para ser esprecaos s afecar a cácuo e os coefcees e a oa e aa precsó esos éros o so 7

15 INTRODUCCIÓN ecesaros precsaee porque so sufceeee pequeños para ser esprecaos. De esa fora a écca MRTD proporcoa u éoo rguroso para erar as oas e aa resoucó ocaaas. Los coefcees e wavee por sí sos abé apora foracó acerca e ve e resoucó ecesaro. A ea que su vaor auea se puee cur ás vees para eorar os resuaos a ea que se hace ás pequeños se puee esprecar. Así e proceeo uao para auear a resoucó e e éoo FDTD es feree e uao e e éoo MRTD. e éoo FDTD a resoucó espaca e aao se eera a parr e a caracerísca ás pequeña que posea a esrucura a aaar. a écca MRTD as fucoes e escaa se puee erprear eae fros pasa-baa as fucoes e wavee eae fros pasa-aa por o ao es a fucó e escaa a que ebe far e ore e resoucó feror que se quere resover as aas resoucoes so proporcoaas por as fucoes e wavee. sas éccas MRTD ha so sasfacoraee apcaas a ua gra varea e probeas eecroagécos eosrao sus graes cuaaes e cuao a a reuccó e eora epo copuacoa [ ]. Toas eas se obee apcao a a screacó e as ecuacoes e Mawe u aáss e urresoucó basao e as wavees e po Bae-Learé [4 5]. Las fucoes e escaa e wavee que se epea e ese po e esqueas ee a cuaa e poseer ua epresó cerraa e e oo e a frecueca o cua os pere señar a fucó e escaa a fucó e wavee a parr as propeaes que posee coo fro pasa-baa fro pasa-aa respecvaee. probea surge a pasar esas fucoes a oo espaca a que as epresoes resuaes se eee efaee por e espaco eeo que rucar e esarroo para hacer facbe su foruacó. Debo a a caracerísca e ecaeo epoeca que presea as wavees po Bae-Learé se puee reaar ese rucaeo e os esarroos a parr e u eerao úero e coefcees s que se vea graeee afecaa su precsó. De esa fora se puee oar úcaee u úero fo e éros geeraee 8 coefcees suee ser sufcees para copear a escrpcó e os capos. La ecesa e rucar os esarroos ha ao ugar a a aparcó e uevas éccas que uce fucoes copacas para esarroar os capos que esé 8

16 INTRODUCCIÓN efas e u ervao cerrao pero coservao oas as propeaes e urresoucó. Ua e esas éccas es a écca aar-mrtd [6] que epea coo fucoes base u po e wavees eoaas wavees e aar [38] que por su sece a hace u aracva para su uacó e os esqueas urresoucó. De hecho os agoros obeos e esa fora so écos a os uaos e e éoo FDTD. esa íea se ecuera os obevos e a presee ess. ea se preee esarroar ua ueva écca MRTD que uce coo fucoes base para os esarroos uas fucoes wavee e sopore copaco es ecr que o se eea e oo e oo que por o ao o sea ecesaro reaar u rucaeo. Las fucoes que heos eego que cupe a cocó eseaa so as wavees e po Daubeches [3]. De esa fora se va a screar as ecuacoes e Mawe uao wavees para esarroar os capos e a varabe espaca uo co fucoes puso e a varabe epora. La écca esarroaa perrá uar e aera sa cuaquer fucó wavee e Daubeches a fereca e os esqueas aerores aos a u sóo po e fucó. Ora caracerísca que pere ar ua aor sece a os paeaeos es e uso e a Trasforaa Dscrea e Wavees DWT [ ] para escopoer recopoer os capos a parr e os coefcees e sus esarroos. Ua e as veaas preseaas será a posba e auear a resoucó e a soucó obea s ecesa e ofcar os agoros caa ve que se quera roucr u ve uevo e resoucó acaao e esa aera ua urresoucó efecva. so se va a cosegur rouceo e cocepo e ar ervava [] para cacuar os coefcees e esarroo pereecees a a ervaa e ua fucó. Co oo eso esuareos co eeeo as cocoes e esaba uérca que presea e agoro así coo sus caraceríscas e spersó herees a a screacó e probea. Too eo será vaao preseao ua sere e eepos e os que coparareos os resuaos obeos co a soucó eórca a su ve co as soucoes proporcoaas por oras éccas uércas. 9

17 INTRODUCCIÓN..- STRUCTURA D LA TSIS Para acaar os obevos propuesos esa eora se ha vo e ses capíuos orgaaos e a sguee fora: e capíuo prero se ecuera a presee rouccó. e capíuo seguo se ha reaao u esuo e o que se cooce coo aáss e urresoucó. é se escrbe as prcpaes propeaes que presea as wavees que a ugar a os esqueas e urresoucó. Tabé se presea a Trasforaa Dscrea e Wavees DWT a cua pere erprear a urresoucó coo u proceso e frao e e que os coeos e baa frecueca baa resoucó esá epresaos por as fucoes e escaa os coeos e aa frecueca aas resoucoes se esarroa e éros e as fucoes e wavee. e capíuo ercero se abora a escrpcó e os agoros que a ugar a os esqueas MRTD propuesos eae a screacó e as ecuacoes e Mawe. prer ugar se esarroa e esquea uesoa se hace u esuo eaao e oo e que se cosrue a ar ervava. Tabé se hace u esuo e a fora e roucr as cocoes e cooro ero e agoro. Debo a que as wavees e Daubeches o esá ocaaas e u úco ervao ecepo as wavees e aar o D se recurre a éoo e as ágees para oear cocoes e cooro uras parees eécrcas PC parees agécas PMC. Tabé se escrbe as cocoes e cooro absorbees PML [7] a fora e corporaras e uesros esqueas MRTD. Después se hace ua eesó e agoro uesoa a os casos e os res esoes.

18 INTRODUCCIÓN capíuo cuaro raa e ea e as caraceríscas uércas e agoro coo so sus propeaes e esaba spersó. é se hace u aáss rguroso e as cocoes que ebe cupr os sos esqueas para que sea uércaee esabes urae a suacó epeeo e po e wavee epeao para e esarroo e os capos. Tabé se aaa as caraceríscas e spersó que presea que so prouco e a screacó e as ecuacoes. Se reaa u esuo coparavo ere os ferees pos e wavees usaos. e capíuo quo se procee a a vaacó e os esqueas propuesos aaao ferees eepos caócos que pere coparar os resuaos proporcoaos por uesros esqueas co e vaor eórco que ebe obeerse. Los eepos esá vos e res aparaos correspoees a os res esqueas propuesos uesoa besoa resoa respecvaee. Faee se rouce u apéce e e que se escrbe a esrucura e agoro.

19 Capíuo II ANÁLISIS N MULTIRRSOLUCIÓN

20 ANÁLISIS N MULTIRRSOLUCIÓN..- INTRODUCCIÓN Auque e esarroo e erés por esa aera ee ua hsora e sóo uos pocos años e veraero orge se puee suar e 9 co e rabao e aeáco aeá Afre aar [38] e e que propoía que cuaquer fucó coua poía ser aproaa por u esarroo e fucoes orooraes. Los cocepos roucos por A. aar so reoaos uevaee e os años 8 por u equpo e Cero e Físca Teórca e Marsea Fraca [4] rgo por Ae Grossa que coaba co a coaboracó e os vesgaores. More Y. Meer S.Maa G. Bae P. Learé ere oros. Fuero eos quees esabecero e cocepo e wavee e fracés oeee e su fora eórca acua. Los éoos e aáss basaos e wavees fuero esarroaos prcpaee por Y. Meer [56 57] S. Maa [53 54] hasa que e 988 e rabao reaao por Igr Daubeches [] reaó e erés sobre as wavees coo herraea para e procesao e señaes a copresó e aos e aáss uérco [ ]. Ua e as prcpaes raoes e a gra popuara e as éccas basaas e wavees so que a fereca e aáss e Fourer que usa coo base fucoes o ocaaas seo coseo e aáss co wavees ee coo base fucoes ocaaas e epo frecueca fgura. ao coo resuao ua represeacó ás copaca ás fác e peear. Fgura..: Fucó se fucó e wavee D5 5

21 ANÁLISIS N MULTIRRSOLUCIÓN..- ANÁLISIS N MULTIRRSOLUCIÓN cocepo e aáss e urresoucó fue esarroao por Meer [57] Maa [54] coo su obre sugere apcao ese po e aáss poeos escopoer ua fucó copcaa e ferees fucoes ás spes esuaras separaaee. Para eeer eor a ocó e aáss e urresoucó cosereos ua fucó coo a represeaa e a fgura..a. a b c e Fgura..: Represeacó uve e ua fucó. 6

22 ANÁLISIS N MULTIRRSOLUCIÓN sa fucó se puee represear e ua fora ás gruesa s eaos ceras caraceríscas. resuao es e represeao e a fgura..b oe a fgura..c represea e roo que heos supro e a fucó orga. sa aproacó e a fucó orga se puee a su ve vr e os pares eao aú ás eaes. resuao se ecuera e a fgura.. seo a fgura..e os eaes que heos eao. se proceso e r eao eaes e a fucó orga sería o que se cooce coo proceso e escoposcó ero e aáss e urresoucó. Observao a fgura. veos que a fucó orga puee ser uevaee recuperaa s vaos añaeo a a úa aproacó obea oos os eaes que heos o eao. so sería o que se cooce coo proceso e recosruccó. se aáss e urresoucó se puee evar a cabo uao u po e fucoes eoaas wavees [4 5] cuas propeaes parcuares va a perr reaar a escoposcó e ua fucó e oras fucoes ás spes. éro wavee se ua para escrbr ua fucó ocaaa espacaee es ecr ua fucó cua apu es sa e cero úcaee ero e u ervao o e u seo ás apo que su apu ecae epoecaee fuera e ese ervao. sas fucoes puee aeás poseer a propea e orooraa ao ugar a ua base oroora sar a a foraa por as fucoes seo coseo e e aáss e Fourer. Dero e ese couo e fucoes orooraes se ecuera as fucoes wavee e Meer [57] e Bae-Learé [4 5] e Daubeches [3]. ese aparao vaos a epoer os cocepos báscos a eroogía que a ugar a aáss e urresoucó basao e fucoes wavee orooraes que fora pare fuaea e e esarroo e ese rabao. Ua escrpcó ás precsa eaaa puee ecorase e as referecas [ 45] oe se hace u copeo u aáss ehausvo e os rabaos orgaes esarroaos por Meer Maa Daubeches. obevo será por ao esabecer as propeaes e esas fucoes wavee que pere reaar u aáss e urresoucó e aqueas fucoes que e uesro caso correspoerá a as copoees e capo eecroagéco esarroaas coo cobacó ea e ésas. 7

23 ANÁLISIS N MULTIRRSOLUCIÓN Fucoes e escaa Cosereos e espaco forao por as fucoes e cuarao egrabe e varabe rea L R cuo prouco eror vee represeao por a sguee epresó: f g g f f g - Se efe coo fucó e escaa a ua fucó pereecee a cho espaco que cupe as sguees propeaes [3]: δ -.3 A subespaco e L R cua base esá foraa por e couo e fucoes e escaa rasaaas e e espaco o aareos S se represea coo S { } Z -3 oe - para Z -4 De esa aera cuaquer fucó pereecee a cho subespaco se puee poer coo cobacó ea e as fucoes base. Dcho e ora fora ua fucó f L R se puee proecar sobre e subespaco S e aera que e esarroo e esa proeccó e éros e as fucoes e escaa cosue ua aproacó f e cha fucó: 8

24 ANÁLISIS N MULTIRRSOLUCIÓN f S f a -5 oe ebo a a orogoaa e a fucó e escaa: a f -6 se proceso e aproacó e ua fucó o poeos represear e fora esqueáca coo se ca e a fgura.3. Aquí veos cóo a fucó e escaa se va espaao a o argo e oo e oo e a fucó orga f obeeo su aproacó e e subespaco S. Fgura.3.: Proeccó e ua fucó f sobre e subespaco S. subespaco S se puee hacer aor o eor cabao a escaa e as fucoes base. De esa aera poeos geerar ua faa besoa eae 9

25 ANÁLISIS N MULTIRRSOLUCIÓN sucesvas rasacoes escaaos e a fucó e escaa base. A couo forao por as sucesvas rasacoes e caa escaa o aareos S se represea coo: S { } Z -7 oe para Z -8 Por o ao s ua fucó pereece a subespaco S ésa se puee poer coo cobacó ea e as fucoes base o o que es o so ua fucó f L R se puee proecar sobre e subespaco S e aera que e esarroo forao por as fucoes e escaa cosue ua aproacó f e cha fucó: f S f a - oe ebo a a propea e orogoaa e a fucó e escaa os coefcees e esarroo se cacua coo: a f - a fgura.4 se ha represeao ua aproacó e e subespaco S e a sa fucó f osraa e a fgura.3. Ahora a fucó e escaa es ás pequeña por o ao poeos aprecar ás eaes e a fucó orga que aes se pería. coveee es que ahora ecesaos espaar ás veces a fucó e escaa para recorrer oo e oo e a fucó f. so se rauce e que ecesareos ás coefcees para esarroar a fucó e ese subespaco. La fgura.5 uesra e efeco que provoca sobre a fucó e escaa a varacó e os íces : La varacó e íce prouce ua rasacó e a fucó e escaa a o argo e espaco eras que e íce caba e aaño e a

26 ANÁLISIS N MULTIRRSOLUCIÓN fucó e escaa prouceo u esraeo s sue o ua coraccó s auea e a sa. Fgura.4.: Proeccó e ua fucó f sobre e subespaco S. Fgura.5.: scaao rasacó e ua fucó wavee Z.

27 ANÁLISIS N MULTIRRSOLUCIÓN Co oo eso se puee ecr que e couo e subespacos {S } Z represea ua aproacó e urresoucó e espaco L R s cupe as propeaes sguees [54]:... S S S S S... L -. S S para oo Z -. S L -.3 S - { } -.4 sa efcó e os subespacos S os eva a que se ebe sasfacer a sguee cocó [54]: f S f S so sgfca que a fucó e escaa se puee epresar coo cobacó e as fucoes e escaa : L Z -3 oe os coefcees L se eoa coefcees e a fucó e escaa. sa ecuacó se suee eoar coo ecuacó e refaeo o abé ecuacó e aacó. ea veos que a fucó se represea coo ua superposcó e versoes rasaaas escaaas e ea sa e ahí que se eoe fucó e escaa. Los coefcees e a fucó e escaa L cupe aeás a sguee propea [3]: L -4

28 ANÁLISIS N MULTIRRSOLUCIÓN Fucó e wavee A proecar ua fucó f sobre e subespaco S esaos pereo cera foracó correspoee a os eaes e esa fucó. Sería pues eseabe poer escrbr a fucó f e éros e su aproacó e a resoucó os resaes éros orogoaes que coee os eaes ás fos. so se puee hacer coserao u subespaco W efo coo e copeeo orogoa e S e S que se represea coo: W { } Z -5 oe as fucoes -6 cosue a base e subespaco. La fucó se eoaa fucó e wavee propaee cha sasface as sguees propeaes [3]: δ fora [54]: La reacó ere os ferees subespacos se puee epresar e a sguee 3

29 ANÁLISIS N MULTIRRSOLUCIÓN S W {} -8. S S W -8. W L W S -8.3 L S W W W L -8.4 L L W W W W W L -8.5 a fgura.6 se ha represeao u esquea co o que sería ua escoposcó e urresoucó e espaco L R e ea se puee observar cóo caa subespaco S esá cuo e e subespaco S coo ca a propea -. cóo a fereca ere abos es e subespaco W coo ca a propea -8.. Fgura.6.: Represeacó e os subespacos S W que a ugar a a represeacó e urresoucó e espaco L R. couo forao por as fucoes { } Z cosue ua base orogoa e subespaco W por o ao cuaquer fucó f que pereece a cho subespaco se puee poer coo ua cobacó ea e as fucoes base e a sguee fora: f W f b -9 oe ebo a a propea e orogoaa e a fucó e wavee os coefcees e esarroo se cacua coo: b f - 4

30 ANÁLISIS N MULTIRRSOLUCIÓN Pero coo W esá cuo e e subespaco S propea -8. fgura.6 as fucoes base e W se puee poer coo cobacó ea e as fucoes base e subespaco S co o que obeeos a sguee ecuacó e refaeo para as fucoes e wavee: Z - oe os coefcees se eoa coefcees e a fucó e wavee. Debo a a reacó e orogoaa ere os subespacos W S ese ua reacó ere os coefcees e a fucó e escaa L os coefcees e a fucó e wavee [3]: L - La aoría e as fucoes e escaa e wavee uaas o posee ua escrpcó aaíca eaca. Sóo e aguos casos coo so as fucoes wavee e aar Meer Shao ec. [63] se efe ua epresó aaíca que as escrba. S ebargo e uchas apcacoes sóo es ecesaro coocer os coefcees e escaa L e wavee e sus ecuacoes e refaeo. Aeás esos coefcees se puee erprear coo fros e a aera que e aáss e urresoucó e ua fucó se puee ver coo ferees eapas e frao e a sa [7]. Propeaes Las propeaes ás poraes e as fucoes e escaa e wavee que efe u aáss e urresoucó puee resurse e os sguees puos:. Las fucoes e escaa e u ve e resoucó so orooraes a as fucoes e escaa e so ve e resoucó pero o o so a oras e feree ve e resoucó: 5

31 ANÁLISIS N MULTIRRSOLUCIÓN δ -3 so pca que cuao se uce fucoes e escaa para esarroar ua fucó o se puee ecar ferees vees e resoucó.. Las fucoes e escaa so orogoaes a cuaquer fucó e wavee e u ve e resoucó superor eras que as fucoes e wavee so orooraes a oas as eás fucoes e wavee e cuaquer ve e resoucó: -4. δ δ -4. sas os propeaes os pere uar fucoes e escaa e u ve e resoucó uo co fucoes e wavee e aor o gua resoucó. 3. Cuaquer fucó e escaa e ve se puee esarroar coo cobacó e fucoes e wavee e oos os vees e resoucó feror: c Cuaquer fucó f L R se puee epresar coo sua e seres covergees e a fora: f a b -6 oe ebo a a orooraa e as fucoes e escaa e wavee os coefcees e os esarroos se cacua coo: a f -7. 6

32 ANÁLISIS N MULTIRRSOLUCIÓN b f La rasforaa e Fourer e a fucó e escaa es ua fucó pasa-baa eras que a rasforaa e Fourer e a fucó e wavee es ua fucó pasa-baa. so pca que e u esarroo e urresoucó coo e epresao e -6 as fucoes e escaa se puee uar para represear e coeo e baa frecueca e ua seña eras que as fucoes e wavee represea e coeo e frecuecas superores. 6. Para oa fucó e wavee ese u úero aura M a que es orogoa a oos os pooos e grao M -:... M- -8 Se ce eoces que a fucó e wavee posee M oeos evaescees [3]. sa propea es a resposabe e a capaca e os esarroos e wavees para represear as varacoes abrupas e capo eecroagéco aacear esa foracó e os coefcees e wavee. so pca que s esarroaos u capo e a fora caa e a epresó -6 uao a a ve fucoes e escaa e wavee eoces os coefcees e escaa a será ás sgfcavos que os coefcees e wavee b a eos que e capo eperee varacoes abrupas. De esa fora se puee reaar u agoro aapavo uao coo crero para usfcar u aueo o sucó e a resoucó e vaor e os coefcees e wavee....- Faa e wavees e Daubeches se ferees wavees que a ugar a u aáss e urresoucó oroora seo as ás uaas as wavees e Meer e Bae-Learé e Daubeches. Las os preras correspoe a fucoes cuo sopore o es copaco 7

33 ANÁLISIS N MULTIRRSOLUCIÓN es ecr su oo e eseca se eee hasa e fo. so hace que e úero e coefcees e escaa e wavee uaos e as ecuacoes e refaeo sea fo. S ebargo abas posee a propea e u ecaeo epoeca fuera e cero ervao [4 5 55] o que pere oar u úero fo e coefcees para poer represearas e fora basae aproaa. Por e coraro as wavees e Daubeches presea u sopore copaco eso es esá efas e u ervao cerrao e aera que sóo ese u úero fo e coefcees e escaa e wavee e as ecuacoes Por esa raó se ha eco uar e ese rabao as fucoes wavee e Daubeches coo base para e esarroo e os capos e a fora caa e -6. Las wavees e Daubeches esá efas e e ervao [ M-] oe M represea e úero e oeos evaescees efo e -8. Las prcpaes propeaes e esas fucoes coo puee ser su coua ervaba sería ec. esá reacoaas co ese vaor [3]. Por ese ovo as wavees e Daubeches se casfca e acuero co ese úero se eoa coo D M seo a fucó e ore feror a wavee D abé cooca coo wavee e aar. sopore copaco e esas fucoes pca que e úero N e coefcees e escaa L e wavee sea fo. se úero esá reacoao co e úero e oeos evaescees M e a sguee fora: N M -9 Aeás a reacó ere os coefcees e escaa e wavee resua ser para ese po e fucoes a sguee: L N... N- -3 a fgura.7 heos represeao ferees fucoes e escaa e wavee e Daubeches para M 3 4. Se puee observar e ervao e eseca e caa ua aeás se puee aprecar cóo a suava e as fucoes va aueao a 8

34 ANÁLISIS N MULTIRRSOLUCIÓN ea que se creea e vaor e M cabao por o ao sus propeaes e coua ferecaba ec. [3]. D aar D D 3 D 4 Fgura.7.: Dferees fucoes e escaa f e wavee e Daubeches para M

35 ANÁLISIS N MULTIRRSOLUCIÓN Dero e as prcpaes propeaes que posee as fucoes e escaa e wavee esá sus caraceríscas especraes eso es a rasforaa e Fourer e a fucó e escaa ee caraceríscas e u fro pasa-baa eras que a rasforaa e Fourer e a fucó e wavee se aseea a u fro pasa-baa. sas caraceríscas se puee observar e a fgura.8 oe se ha reaao ua rasforaa e Fourer e a fucó e escaa e wavee D. Fucó e escaa e wavee D Trasforaa e Fourer e a fucó e escaa e wavee D Fgura.8.: Wavees D sus correspoees especros e frecueca. 3

36 ANÁLISIS N MULTIRRSOLUCIÓN La propea epresaa e a ecuacó -8 esaba reacoaa co a capaca e os esarroos e wavees para represear as varacoes abrupas e capo eecroagéco aacear esa foracó e os coefcees e wavee. so sgfca que e vaor e M a ua ea e grao e precsó obeo a reaar a aproacó e ua fucó uao úcaee fucoes e escaa es ecr cuao aor sea M aor será a foracó aaceaa e os coefcees e escaa ás pequeño e coeo e eaes aaceao e os coefcees e wavee. sa propea a heos refeao e e eepo e a fgura.9. ea se ha coserao ua fucó arbrara f se ha reaao res aproacoes sas uao res fucoes wavee e Daubeches: D D D 3. esa fgura se puee coprobar caraee os res graos e aproacó obeos. Para as fucoes D se ee que M por o que segú a propea -8 as fucoes e wavee so orogoaes a os pooos e ore M - a aproacó es equvaee a uar fucoes escaó. Para as fucoes D eeos M por o ao as fucoes e wavee so orogoaes a os pooos e ore es ecr se ee ua aproacó ea ucho ás aceraa que a prera. Para as fucoes D 3 eeos M 3 por o ao as fucoes e wavee so orogoaes a os pooos e ore o que sgfca que a aproacó reaaa uao fucoes e escaa es eaca hasa os éros e seguo ore. Coparao a fgura.9.a.9. se puee aprecar a gra su que ese ere a fucó orga f su aproacó uao fucoes D TRANSFORMADA DISCRTA N WAVLTS DWT a seccó aeror se ha escro as os ecuacoes e refaeo correspoees a a fucó e escaa a a fucó e wavee. sas ecuacoes os va a perr rabaar co as fucoes e escaa e wavee uao úcaee sus respecvos coefcees L. Co ese f Maa esarroó u agoro eoao agoro praa o e cascaa [54] co e que poía obeer os coefcees e escaa e wavee e ua fucó f e u ve e resoucó eae 3

37 ANÁLISIS N MULTIRRSOLUCIÓN a Fucó orga f b Aproacó uao wavees e aar D c Aproacó uao wavees D Aproacó uao wavees D 3 Fgura.9.: Aproacó e ua fucó f uao res fucoes wavee e Daubeches sas: D D D 3. 3

38 ANÁLISIS N MULTIRRSOLUCIÓN eae sucesvas covoucoes ere os coefcees L os coefcees e escaa e u ve superor. A couo e coefcees resuae e ese proceso se e cooce coo coefcees e a Trasforaa Dscrea e Wavees DWT e a fucó f. Vaos ahora a escrbr os agoros que a ugar a a obecó e a DWT e ua fucó. Coo se vo e a seccó aeror e acuero co as propeaes ua fucó f se puee represear eae u esarroo e sere copueso por fos éros e fucoes e wavee e a sguee fora: f b -3 suaoro aeror se puee rucar a parr e cero éro obeeo ua aproacó e a fucó f. Así poeos aar f a a aproacó e ve que se obee e coserar oas as fucoes e wavee hasa a resoucó - o e acuero co -5 uao coo base e esarroo fucoes e escaa e ve : f f b a -3 sa aproacó será ás ausaa cuao aor sea e ore e resoucó e a sa. oces ua aproacó e ve e a fucó f se porá obeer e -3 añaeo ás éros e wavee o be e acuero co -8. uao fucoes e escaa e ore superor: f a b a -33 so úo poe e afeso que s spoeos e os coefcees {a } pereecees a a aproacó f e ua fucó poreos obeer os coefcees {a } {b } correspoees a esarroo e éros e eor resoucó <. se proceso e obecó e os éros e eor resoucó a parr e os 33

39 ANÁLISIS N MULTIRRSOLUCIÓN éros e aor resoucó recbe e obre e Trasforaa Dscrea e Wavees. Uao as ecuacoes e refaeo -3 - se ega a que a reacó ere os coefcees e escaa e ore superor os coefcees e escaa e wavee e ore feror es a sguee [3]: a L a -34. b a -34. Coo es ógco esperar a recosruccó e os coefcees e a fucó orga e a escaa ás fa se puee evar a cabo a parr e os coefcees e escaa e wavee e ua escaa ás gruesa -. se proceso recbe e obre e Trasforaa Iversa e Wavees IDWT. De so oo e que a parr e as ecuacoes e refaeo se obee as ecuacoes -34 para a escoposcó se ega a a epresó sguee para a recosruccó [3]: a a L b -35 sas operacoes escras e as ecuacoes puee ser erpreaas coo covoucoes pero va asocaas respecvaee a ua operacó acoa e eao o ow_sapg o be a ua operacó e esraeo o up_sapg. La operacó e eao o ow_sapg cosse e aeer úcaee os eeeos pares e vecor e a saa fgura. eras que a operacó e esraeo o up_sapg cosse e serar ceros ere os vaores e vecor e eraa fgura.. Fgura..: Operacó e eao o ow_sapg. Fgura..: Operacó e esraeo o up_sapg. 34

40 ANÁLISIS N MULTIRRSOLUCIÓN Vaos a ver eoces que as operacoes escras e -34 represea ua operacó e covoucó segua e ua operacó e eao que se puee epresar e sguee oo: a b { a } { a } L' -36. ' -36. oe e síboo represea a operacó e eao se represea esqueácaee coo se ca e a fgura.. Fgura..: Descoposcó e os coefcees e escaa e ve e os coefcees e escaa e wavee e ve -. De acuero co e agraa e a fgura. a saa erea u es a covoucó ere os coefcees a e fro L' esá aa por: u a L' que ras e proceso e eao se covere e: a u a L' que es precsaee a epresó -34. co L' L- oe os coefcees e L- correspoe a os coefcees e L vreo su ore. Teeo e cuea que os fros L so fos esá foraos por u úero N e coefcees os fros L' ' se puee epresa e fucó e L e a sguee fora []: 35

41 ANÁLISIS N MULTIRRSOLUCIÓN L' L N -37. ' N -37. Así s por eepo eeos N 4 os coefcees e L' será L'L3 L'L L'L L'3L. Por oro ao vaos a ver que os os suaoros que aparece e a epresó - 35 represea caa uo ua covoucó pero e ese caso o que sucee prero es ua operacó e esraeo o up_sapg que e resuao se covoucoa co os coefcees e fro correspoee. sa ora operacó se epresa e a sguee fora: a { [ a ] } { [ b ] } L -38 oe e síboo represea a operacó e esraeo preva a a covoucó que se puee represear coo se ca e a fgura.3. Fgura.3.: Recosruccó e os coefcees e escaa e ve a parr e os coefcees e escaa e wavee e ve -. ese caso as os eraas ereas v v se covoucoa co os fros L respecvaee es ecr a v L v oe v v so os vaores e a - b - respecveee espués e upcaros serao uevos vaores e as poscoes ereas es ecr v a - / v 36

42 ANÁLISIS N MULTIRRSOLUCIÓN b - / para caa par por ser a saa e proceso e esraeo. oces eeos que: a par a a / L L par b b / que es precsaee a epresó -35. Ua fora habua e reaar esas operacoes e covoucó cosse e coserar a seña e eraa coo peróca para o cua se ebe repcar a seña e os cooros cosgueo ua secueca e eraa peróca e peroo N coo se uesra e a fgura.4. so se cooce coo rasforaa peróca o crcuar [ ]. Fgura.4.: Repcao peróco e ua seña. De esa aera se cosgue que s caee ha N coefcees a e resuao obeo ras reaar as operacoes e covoucó caas e -36 co os fros L espués e a operacó e eao sea os secuecas perócas e coefcees a - coefcees b - co peroo N/. oces sóo se ecesa guarar N/ coefcees a - N/ coefcees b - aeéose e úero oa e coefcees N N/ N/. S voveos a apcar e so proceso a os coefcees a - obereos N/4 coefcees a - N/4 coefcees b -. S N ese proceso poría reperse veces. Para e proceso verso s spoeos e N coefcees a N coefcees b para recopoer e ve superor repcaos chos 37

43 ANÁLISIS N MULTIRRSOLUCIÓN coefcees aes e reaar e up-sapg espués e a covoucó poeos obeer os N coefcees a. a fgura.5 esá represeaa a poscó reava e os coefcees e escaa pereecees a caa ve e resoucó. Caa coefcee e escaa represea o a ua ea e vaor e capo ero e ervao a que pereece. cha fgura se puee aprecar a separacó ere caa coefcee e so ve e resoucó así coo a poscó que caa uo e eos ocupa e e espaco ero e ve e resoucó que represea. Veos que a ea que auea a resoucó a separacó ere coefcees sue. S a separacó ere os coefcees e resoucó es a saca ere os coefcees e ve 3 será ocho veces ás pequeña eso es / 3. Así cuao aor es e ve e resoucó ás coefcees eeos que represea e capo e puos ás cercaos uos e oros. Fgura.5.: Suacó espaca reava e os coefcees. a ecuacó -7. se vo que os coefcees a correspoees a a aproacó e ve e ua fucó f se obeía a parr e prouco eror ere a fucó f a fucó e escaa e resoucó : a f -7. S e ve e resoucó es sufceeee grae a fucó e escaa se puee aproar coo s acuara coo ua fucó ea e fora que e prouco - 7. es speee u uesreo e a fucó f []: a f / f

44 ANÁLISIS N MULTIRRSOLUCIÓN oe -4 se efe coo oeo e ore e a fucó e escaa. sa aproacó es especaee buea s os oeos e a fucó e escaa so cero o pequeños coo se ve e a ecuacó -39. Co oo eso e aáss e urresoucó vso ese a perspecva e a Trasforaa Dscrea e Wavees se puee erprear coo u proceso e frao ga e e que ua seña se escopoe e os pares: ua que coee as baas frecuecas que vee aa por as fucoes e escaa ora que coee as aas frecuecas que vee aa por as fucoes e wavee. Los coefcees a b e a represeacó e urresoucó se obee a parr e sucesvas eapas e frao que coee caa ua u fro pasa-baa u fro pasa-aa escros por os coefcees e su respuesa pusoa L' '. proceso verso e recosruccó esá forao guaee por sucesvas eapas e frao oe os fros esá aos por os coefcees L. Too ese proceso e escoposcó e recosruccó se ecuera represeao e a fgura.6. Fgura.6.: Represeacó e a Trasforaa Dreca e Wavees e a Trasforaa Iversa e Wavees. 39

45 ANÁLISIS N MULTIRRSOLUCIÓN a aba I esá represeaos os vaores e os coefcees e os fros e recosruccó pasa-baa L pasa-aa para ferees wavees e Daubeches. Coo a se ha ecoao aeroree as wavees D abé se eoa wavees e aar. Taba I Coefcees e os fros pasa-baa [f] pasa-aa [] D D D 3 L L L D 4 D 5 D 6 L L L

46 ANÁLISIS N MULTIRRSOLUCIÓN.3..- Trasforaa Dscrea e Wavees e os esoes proceso que acabaos e esuar se puee geeraar para fucoes efas e varas esoes espacaes para o cua se esarroa uao u couo e fucoes e escaa e wavee ξ ξ co ξ. Cosereos ua fucó f pereecee a espaco e fucoes e cuarao egrabe e varabe rea L R. Ua aproacó e cha fucó cossrá e a proeccó sobre e subespaco S efo coo u prouco esora e a sguee fora [54]: S S S -4 D D oe S D represea e subespaco e L R efo e a seccó aeror. De esa fora a aproacó e ore e a fucó f que aareos f se oberá coo esarroo e as fucoes e escaa besoaes s -4 oe caa ξ se correspoe co a fucó e escaa e ua varabe efa aeroree: f a -43 oe os coefcees a se obee a parr e prouco eror a f -44 S quereos auear a resoucó e esa aproacó poeos uar para e esarroo fucoes e escaa e ore superor o be añar fucoes e wavee. Coo ahora a fucó posee os varabes ese creeo e resoucó poría reaarse e cuaquera e as os. S aueaos a resoucó e as os varabes 4

47 ANÁLISIS N MULTIRRSOLUCIÓN 4 suáeaee e acuero co a efcó -4 co a propea -8. e subespaco S será D D D D D D W S W S S S S -45 Ua base e ese subespaco esará foraa por a cobacó e as bases e os subespacos uesoaes S D S D W D W D... que o fora coo se ca e a ecuacó -45. Apcao a propea srbuva a ese resuao obeeos que as fucoes que copoe a base que esaos buscao puee ser s -46. s -46. s uo co a fucó efa e -4 [54]. oces a aproacó e ore f se puee epresar coo ua cobacó ea e esas fucoes base es ecr: s s c s b s a s a f -47 o be:

48 ANÁLISIS N MULTIRRSOLUCIÓN 43 c b a a f -48 geera cuaquer fucó f L R se puee epresar coo sua e seres covergees e a fora: p q q p q p p q q p q p p q q p q p c b a f -49 agoro correspoee a a Trasforaa Dscrea e Wavees e D DWT D se obee a parr e ua geeraacó e esarroao e D. proceeo a segur es e sguee: sobre os coefcees e escaa e ve superor srbuos e ua ar por eepo M N coo a caa e a fgura.7 se apca a DWT D sobre as fas obeeo os arces M N/ sobre as couas e esas os arces se vueve a apcar a DWT D ao coo resuao cuaro arces e esoes M/ N/. se proceso e escoposcó o eeos represeao e a fgura.8 [54]. proceso verso os perría obeer a fucó orga a parr e esos coefcees.

49 ANÁLISIS N MULTIRRSOLUCIÓN Fgura.7.: Orgaacó e os coefcees ras u ve e escoposcó. Fgura.8.: Represeacó e a Trasforaa e Wavees e esoes. La srbucó espaca e os coefcees e escaa para os vees e resoucó cosecuvos se ecuera represeaa e a fgura.9. Los coefcees e escaa e ve feror a - represea e vaor e capo ero e ervao recaguar a que pereece. A auear a resoucó e as os reccoes e espaco caa ervao se ve e cuaro subervaos e aera que se obee ás coefcees a suaos e poscoes ás próas uos e oros a saca ere caa puo se ha reuco a a a e as os cooreaas. 44

50 ANÁLISIS N MULTIRRSOLUCIÓN Fgura.9.: Suacó reava e os coefcees e escaa ere os vees cosecuvos. a fgura. se ha represeao as fucoes besoaes e escaa wavee D 4 para e ve e resoucó. sas fucoes se cosrue a parr e as fucoes D 4 efas e ua esó por o ao su oo e eseca será e ervao [ 7] [ 7] Trasforaa Dscrea e Wavees e res esoes De aera sar a a operacó reaaa e D a Trasforaa Dscrea e Wavees e 3D cosse e esarroar ua fucó e res varabes f e éros e fucoes e escaa e wavee cosruas a parr e as fucoes e escaa e wavee uesoaes. Ua aproacó e f cossrá e a proeccó sobre e subespaco S efo e a sguee fora: S S S S -5 D D D oe S D represea e subespaco e L R esuao aeroree. 45

51 ANÁLISIS N MULTIRRSOLUCIÓN Fgura..: Fucoes e escaa e wavee D 4 e os esoes. 46

52 ANÁLISIS N MULTIRRSOLUCIÓN 47 La base e ese subespaco S esará foraa por as fucoes e escaa correspoees a os res ees e cooreaas es ecr: s -5 De esa fora a aproacó e ore e a fucó f cossrá e u esarroo e sere uao coo fucoes base as fucoes e escaa s : a f. -5 S quereos auear a resoucó a u ore superor poeos uar fucoes e escaa e ore superor o be añar fucoes e wavee a esarroo. Coo a fucó a represear epee e res varabes ese aueo e resoucó puee reaarse e prcpo e cuaquera e eas. S aueaos a resoucó e as res varabes eeo e cuea a efcó -5 a propea -8. e subespaco e ve superor será e sguee: D D D D D D D D D W S W S W S S S S S -53 De a sa aera que e os esoes a base e ese subespaco esará foraa por ua cobacó e as bases fucoes e escaa e wavee e caa uo e os subespacos uesoaes que se coba e a ecuacó -53. Ua apcacó e a propea srbuva a esa cobacó os ará que esa base esá copuesa por as fucoes:: s -54. s -54. s s s -54.5

53 ANÁLISIS N MULTIRRSOLUCIÓN 48 s s ás a fucó -5. La aproacó e ve e f f e fucó e esa base verá aa por a sguee epresó: h g f e c b a a f -55 agoro que a ugar a a Trasforaa Dscrea e Wavees e 3D DWT 3D sgue a sa paua que e esarroao e D. Ahora para obeer os coefcees e escaa e wavee e u ve feror a parr e os coefcees e escaa e ve superor apcaos e fora sucesva os agoros correspoees a a DWT e D e as res reccoes e espaco. a fgura. esá represeao e fora esqueáca ese proceso e obecó e os coefcees e esarroo e escaa wavees para ua fucó F. proceso verso os perría obeer a fucó orga a parr e chos coefcees.

54 ANÁLISIS N MULTIRRSOLUCIÓN Fgura..: Represeacó e a Trasforaa e Wavees e 3 esoes. Los coefcees resuaes e apcar a DWT e 3D se puee srbur e a fora osraa e a fgura. Así caa coefcee e caa uo e os ocho cubos resuaes corbue a a recosruccó e su correspoee coefcee e escaa e ve superor. coefcee e escaa a se recosrue a parr e os coefcees a b c e f g h. a fgura.3 heos represeao esa srbucó espaca e os coefcees e escaa para os vees e resoucó cosecuvos. S para u ve e resoucó - os coefcees se ecuera suaos e e cero e u cubo os coefcees e u ve superor se ecuera e e cero e os ocho cubos resuaes e haber vo e aeror. De esa fora a auear a resoucó se obee ás coefcees suaos e poscoes ás cercaas uos e oros. 49

55 ANÁLISIS N MULTIRRSOLUCIÓN Fgura..: Dsrbucó e os coefcees correspoees a u ve e escoposcó. Fgura.3.: Dsrbucó espaca reava e os coefcees e escaa ere os vees e resoucó cosecuvos. 5

56 Capíuo III FORMULACIÓN

57 FORMULACIÓN 3..- INTRODUCCIÓN Para aaar e coporaeo e u capo eecroagéco poeos resover as ecuacoes e Mawe e a regó e espaco que os eresa sueas a uas cocoes e cooro e a froera e esa regó. S os ecoraos e u eo ea hoogéeo sóropo o spersvo ero e ua regó s fuees as ecuacoes a resover sería: µ 3-. ε 3-. poeo a a soucó obea as cocoes e froera parcuares a probea que esaos aaao. u ssea e cooreaas recaguares esas ecuacoes puee vrse e ses ecuacoes escaares e éros e as copoees e : µ 3-. µ 3-. µ 3-.3 ε 3-.4 ε 3-.5 ε

58 FORMULACIÓN S ebargo a soucó aaíca e probea es fíc e obeer savo e suacoes u cocreas correspoees a suacoes e as que a especa sería e probea os pere hacer ceras spfcacoes por o que os veos obgaos a buscar ua soucó e fora aproaa. sas soucoes se obee resoveo uércaee e probea co a aua e copuaor. Para eo es ecesaro screar as ecuacoes e a aera que a soucó os proporcoe e vaor e os capos e eeraas poscoes e espaco e eeraos saes e epo. La precsó e a soucó así obea a vaba para obeera epeerá e a fora e que se reace a screacó e probea. Para reaar cha screacó os capos se puee esarroar e sere uao coo fucoes base u couo e fucoes orooraes. Apcao e éoo e os oeos [38] coseguos u couo e ecuacoes agebracas cua soucó se puee cacuar a parr e eeraas cocoes caes coserao ceras cocoes íe o e cooro. ese rabao e couo e fucoes orooraes uao ha so as eoaas wavees e Daubeches [3] que ha so esuaas e e capíuo aeror. Las caraceríscas e esas wavees ha ao ugar a as éccas Mu- Resoucó e e Doo e Tepo MRTD. sas éccas se basa e a posba e creear a resoucó e ua seña ese u ve grueso a oro ás fo uao fucoes e baa resoucó fucoes e escaa e cobacó co oras fucoes e aor resoucó fucoes e wavee. so quere ecr segú o esuao e e capíuo aeror que a esa e puos obeos epee e úero e fucoes e escaa e wavee que haaos uao. Aeás poeos ofcar ocaee e e espaco ese úero e fucoes e aera que poeos auear a resoucó e a soucó buscaa e as regoes e espaco que ás os erese. Co e f e osrar caraee e fuaeo e esa écca se ha coeao esarroao e agoro e ua esó poseroree se ha geeraao e so e os res esoes. Debo a que e esarroo e as cooreaas espacaes e os capos se reaa uao fucoes e escaa e wavee e puo eseca e paeaeo cossrá e a obecó e operaor 54

59 FORMULACIÓN roacoa ecuacoes 3. e a base cosua por chas fucoes. se operaor ervavo o vaos a cosrur e fora arca e aera que apcao a os coefcees e esarroo e sere e os capos os proporcoe a ervaa espaca e os sos FORMULACIÓN D Cosereos a propagacó e ua oa TM e u eo hoogéeo ea sóropo o spersvo cuos capos eécrco agéco epee úcaee e a cooreaa so perpecuares a a sa e a fora que. ese caso e as ses ecuacoes escaares sóo ecesaos as os que reacoa abas copoees reucéose e probea uo e ua soa esó: µ 3-3. ε 3-3. Co e f e cosegur u couo e ecuacoes epícas resoubes e fora agebraca vaos a esarroar os capos coo ua cobacó ea e fucoes orooraes eoaas fucó e escaa e wavee e Daubeches respecvaee que represea a epeeca espaca e esos capos fucoes puso h que a cuea e su evoucó epora efas coo: h h oe e íce ca e ve e resoucó e as fucoes e escaa e wavee os íces se correspoe co as cooreaas espaca epora eae 55

60 FORMULACIÓN 56 seo os ervaos e screacó espaca epora respecvaee. De esa fora eeo e cuea a propea e as fucoes e escaa e wavee epresaa e a ecuacó -6 as copoees e capo eecroagéco se puee epresar coo: h 3-5. h 3-5. Irouceo esas epresoes e uesreao co h h / respecvaee obeeos e sguee couo e ecuacoes epícas e e epo: µ 3-6. ε 3-6. sas ecuacoes se puee escrbr e fora abrevaa coo: µ 3-7. ε 3-7.

61 FORMULACIÓN S e as epresoes aerores rucaos e suaoro que voucra a as fucoes e wavee oao u úero fo e éros ese hasa - o que obeeos es ua aproacó e os capos e ve. oces as ecuacoes 3-7 se puee poer coo: µ ε oe represea a aproacó e resoucó e os capos. sas ecuacoes pere cacuar e fora erava e oo e espaco co resoucó e capo o e capo e u sae e epo e fucó e su vaor e u sae aeror e vaor e oro capo e u sae / aeror e puos coguos e espaco. La resoucó espaca e esa aproacó epeerá e úero e éros e wavee que se haa oao e os esarroos 3.8 por o ao se porá eorar añaeo ás éros e wavee e e cácuo es ecr aueao e vaor e. Las ecuacoes 3-8 se puee represear e a sguee fora: [ ] [ ] [ ] W W W µ ε [ ] [ ] [ ] W W W oe [F] w represea e couo e coefcees e escaa e wavee ecesaros para esarroar a copoee F e capo o co ua resoucó e e sae e epo. A ese couo e coefcees o aareos coefcees e a DWT e capo F. De esa fora se observa cóo e operaor ervaa espaca acúa sobre a escoposcó e wavees e os capos. sa ervaa se puee esarroar a su ve uao fucoes wavee e resoucó co e f e esabecer ua reacó ere os coefcees e a DWT e os os capos cosegur e esa fora u agoro epíco que pera cacuar e caa sae e epo os 57

62 FORMULACIÓN 58 coefcees e esarroo e os capos. Ua ve coocos oos os coefcees se puee recosrur os capos uao a IDWT. se agoro se puee epresar e fora arca e sguee oo: µ D 3-. ε D 3-. oe D represearía a aproacó e operaor ervaa respeco e e ore cosruo e ua base e wavees que acuaría sobre a escoposcó e wavees e u capo F Operaor ervaa e ua base e wavees obevo propueso e ese aparao es obeer ua epresó arca para e operaor ervaa espaca D que pera cacuar os coefcees e a DWT correspoees a a ervaa e a copoee F e u capo. Para eo cosereos ua aproacó e ve e ua fucó f esarroaa e éros e fucoes e escaa e ve a a cua vaos a aar f : a f f 3- oe ebo a a orogoaa e as fucoes e escaa os coefcees a se cacua coo: f a 3- La ervaa espaca e esa fucó f será:

63 FORMULACIÓN 59 a a a f 3-3 sa ervaa se puee a su ve aproar represeáoa eae u esarroo e fucoes e escaa e ve e a sguee fora: a f 3-4 oe a' so os coefcees e a DWT que esaos buscao correspoees a a ervaa e a fucó f que poeos obeer a parr e prouco eror ere a fucó e escaa a ervaa e a fucó f : f a 3-5 Irouceo e a epresó 3-5 e esarroo ao e 3-3 poeos obeer os coefcees a' e esarroo 3-4: a a a 3-6 Por o ao a aproacó e ve e a ervaa e ua fucó f puee epresarse e a sguee fora: a f 3-7 Debo a a reacó que ese ere os subespacos foraos por as fucoes e escaa e wavee caa e as ecuacoes -8 ua aproacó e ve se puee poer coo esarroo e fucoes e escaa e wavee e resoucó -. De esa fora poeos ecorar a reacó que ese ere os coefcees e escaa e wavee e ua fucó os e su ervaa. Para eo represeaos a

64 FORMULACIÓN 6 aproacó f coo ua cobacó e fucoes e escaa e wavee e resoucó -: b a a f 3-8 De so oo que e a epresó 3-3 a ervaa e f esarroaa e 3-8 se puee poer coo: b a b a b a f 3-9 Proceeo e a sa fora que hcos para obeer a epresó 3-4 se puee cacuar a aproacó e ve e a ervaa e f : b a f 3- oe os coefcees e esarroo se cacua a parr e as epresoes: f a 3-. f b 3-. Levao a epresó 3-9 a as ecuacoes 3- poeos obeer os coefcees correspoees a a DWT e a ervaa e f :

65 FORMULACIÓN 6 b a b a a 3-. b a b a b 3-. sas ecuacoes se puee epresar e fora arca e sguee oo: b a b a 3-3. o be [ ] [ ] [ ] v D v ' 3-3. oe [v] represea e vecor forao por os coefcees e a DWT e a aproacó f oreaos coo se uesra e 3-3. es ecr e prer ugar se cooca os coefcees e escaa espués os coefcees e wavee. La esó e esas arces epeerá e úero e puos e os que se haa screao e espaco e ve e resoucó uao. Por eepo s screaos e espaco e puos coseraos u ve e resoucó eoces os subíces recorrerá e couo e vaores... por cosguee as esoes e as arces voucraas e a ervaa 3-3 será as sguees: [v'] [ ] [D] [ ] [v] [ ]. La saca ere os puos e uesreo epeerá e ve e resoucó. Así s e e ve e resoucó heos screao e espaco véoo e puos separaos ua saca e e ve e resoucó sguee ereos puos separaos / e e ve habrá 4 puos co ua saca e /4

66 FORMULACIÓN ere eos. S e esarroo se ha reaao uao úcaee fucoes e escaa e vaor rea e os capos verá ao por os sos coefcees e escaa eras que s e esarroo cue fucoes e wavee es ecesaro apcar as IDWT para recosrur os capos. Fgura 3..: Represeacó e a saca ere puos e uesreo para ferees vees e resoucó. De esa aera heos coseguo represear e fora arca a aproacó e ve e operaor ervaa. Los eeeos e esa ar esá cosuos por os proucos erores e as fucoes e escaa e wavee sus respecvas ervaas: γ D 3-4 β α oe []: 3-5. α α 3-5. β β γ γ

67 FORMULACIÓN 63 oe: 3-6. α 3-6. β 3-6. γ 3-6. Uao as ecuacoes e refaeo -3 - vsas e e capíuo aeror esos coefcees se puee cacuar e a sguee fora []: ' ' ' N N L L 3-7. ' ' ' N N α 3-7. ' ' ' N N L β ' ' ' N N L γ seo N e úero e coefcees e escaa L e wavee ao por a epresó -9. Veos que oos os coefcees se obee a parr e e aera que cooceo ésos os eás esá a eeraos. sos coefcees se puee cacuar e fora erava a parr e as sguees epresoes []: / N a

68 FORMULACIÓN 64 oao coo vaores caes -/ - / oe N -... N a L L 3-3 a aba II aparece os coefcees ervavos { α β γ } correspoees a ferees fucoes wavee e Daubeches. Se puee observar cóo e úero e coefcees auea co e ore e a fucó wavee epeaa eso es co e úero M e oeos evaescees efo e -8. rago e subíce correspoee a úero e coefcees ervavos sos e cero es: N N 3-3 Para as fucoes wavee e aar D ese rago es: 3-33 De acuero co as propeaes e os subespacos S W esabecas e as ecuacoes -8 a ar D efa e 3-4 se puee segur escopoeo e oras subarces hasa egar a ve e resoucó feror. Por eepo s coseraos u espaco screao e puos u ve e resoucó a ar ervava D se porá escopoer e a sguee fora [9]: D 3-34

69 FORMULACIÓN Taba II Coefcees ervavos α β γ D D D D 65

70 FORMULACIÓN 66 oe os subíces e caa ua e as subarces recorrerá os sguees couos e vaores: vecor [v] copueso por os coefcees e a DWT e a fucó f que quereos ervar sobre e que acúa a ar D erá sus eeeos srbuos e a sguee fora: aspeco o apareca que oa esa ar o heos represeao e a fgura 3. oe sóo se ha buao os eeeos sos e cero cuo úero epee e po e fucó wavee que eseos uao a coo caba a epresó 3-3. A ea que auea e ore e a fucó wavee es ecr e úero e oeos evaescees M auea e úero e coefcees sos e cero o que prouce que as baas sobre as que se súa chos eeeos sea ás achas. a sa fgura se ha represeao a ar ervava e ve uao wavees e aar oe se puee observar que as baas ee res eeeos sos e cero coo caba a epresó Fgura 3..: Aspeco e a ar ervava e ore uao fucoes wavee e aar [ ] [ ] [ ] [ ] 4 4 b b b b a a a a b b b b a a a a b b b b a a a a a a a a L L L L L L L v

71 FORMULACIÓN 67 Auque esa fora e represear a ar ervava resua u seca e cosrur epeeeee e ve e resoucó que eseeos presea s ebargo os graes coveees. prero se refere a su aaño. Debo a a sposcó e as subarces que cosue a ar ervava D a ea que auea e ve e resoucó sus esoes auea coserabeee. S e e ve e resoucó eeos coefcees para u ve e resoucó a esó e a ar D será [ ] [ ] seguo probea ás porae se refere a a sposcó e os coefcees e a DWT ero e vecor v. Co esa srbucó o es posbe apcar os veces cosecuvas a ar ervava sobre e so couo e coefcees v' o que os obga a eer que recosrur escopoer a fucó f caa ve que se quera ervara. so represea u probea a a hora e resover e fora erava e e epo as ecuacoes 3- porque caa ve que egaos que cacuar a ervaa espaca e uo e os capos ecesaos e prer ugar apcar a DWT para escopoero obeer sus coefcees apcar a ar ervava espués ecesaos apcar a IDWT para recosrur e capo poer vover a escopoero e a sguee eracó. Too eso pca u aueo e e epo e copuacó requero para resover uesro probea eecroagéco. se ora aerava para cosrur a ar ervava D que eva os os coveees epuesos aeroree que cosse e escopoera cobao fucoes e escaa e wavee e sos vees []. Por eepo a ar ervava e ore D se escopoe e esa aera: D 3-36

72 FORMULACIÓN 68 oe s e espaco esá screao e puos os subíces e caa ua e as subarces recorre os couos e vaores: os coefcees que cosue e vecor v sobre e que acúa a ar ervava se srbue e a fora sguee: [ ] [ ] [ ] [ ] 4 4 b b b b b b b b a a a a b b b b a a a a a a a a L L L L L L v 3-37 De ese oo e aaño que aquere a ar ervava D es feror a que eíaos aeroree. Ahora para u ve e resoucó a esó e a ar es [ ] [ ] que es sesbeee feror a obeo e e caso aeror. La ora veaa e orgaar a ar e esa fora esá a srbucó e os coefcees e a DWT ero e vecor v. Ahora sí es posbe apcar e fora reeraa a ar ervava sobre e so couo e coefcees o que faca su uacó ero e as ecuacoes 3- a que o es ecesaro recopoer escopoer os capos e caa eracó para cacuar su ervaa. Los eeeos e as subarces foraas a parr e fucoes e escaa e wavee e so ve se cacua eae a DWT [9]. Por eepo e a ecuacó 3-36 os eeeos e a subar [ ] se cacua apcao a DWT a as fas e [ ] eras que os eeeos e a subar se cacua apcao a DWT a as couas e [ ].

73 FORMULACIÓN 69 Debo a sus veaas heos escogo esa segua opcó para cosrur a ar ervava e peeara e uesros agoros. Así para u ve e resoucó uaos a ar ervava foraa por as fucoes e escaa e resoucó : D 3-38 S quereos auear u ve e resoucó roucos as fucoes e wavee e ve co o que se obee a ar ervava e ve : D 3-39 Y s eseaos auear aú ás a resoucó añaos fucoes e wavee e ve obeeo e esa fora a ar ervava e ve : D 3-4 A gua que aes e aspeco e esas arces epee e po e wavee epeao e ve e resoucó. a fgura 3.3 se puee observar a apareca que oa esa ar para res vees e resoucó uao wavees e aar. Úcaee se ha represeao os eeeos sos e cero. Se puee observar ua fereca cara co respeco a a sposcó e esos eeeos e a ar aeror auque veos cóo os eeeos e a ar abé esá srbuos e baas cua achura auea co e ore e a fucó wavee epeaa es ecr e úero e oeos evaescees M.

74 FORMULACIÓN a Nve e resoucó b Nve e resoucó c Nve e resoucó Fgura 3.3.: Aspeco e a ar ervaa para res vees e resoucó epeao fucoes wavee e aar. 7

75 FORMULACIÓN Desarroo e agoro co fucoes e escaa S os capos se esarroa uao úcaee fucoes e escaa e resoucó e agoro escro por as ecuacoes 3- quearía e a sguee fora: [ ] [ ] [ ] [ ] µ 3-4. [ ] [ ] [ ] [ ] 3-4. ε oe a epresó [ F ] represea e vecor e coefcees e escaa e a copoee F e capo o e e sae que a ugar a a recosruccó e ve. aspeco e a ar ervava es esa suacó es aáogo a e a represeaa e a fgura 3.3.a úcaee a achura e as baas poría varar s uaos wavees ferees. Observao esa fgura poeos ver que os coefcees esá srbuos a o argo e ua baa cua achura epeerá e po e wavee epeao fuera e a cua os coefcees so uos. so hace que a a hora e acuar sobre e vecor e coefcees [v] e resuao sea equvaee a apcar sobre eos u esquea e ferecas fas e hecho s as fucoes so as e aar e esquea es aáogo a racoa FDTD e Yee. so pere peear os agoros e ua fora ás efcee ebo a que o es ecesaro reservar eora para aacear as arces ervavas sóo es ecesaro spoer e os coefcees ervavos correspoees e e cácuo e a ervaa o ervee a upcacó arca. De esa fora e esquea para ese ve e resoucó epresao e as ecuacoes 3-4 quearía coo: µ ε

76 FORMULACIÓN Desarroo e agoro co fucoes e escaa e wavee S quereos auear a resoucó espaca e uesro probea co respeco a a suacó aeror eevara u ore eso es resovero para ve añareos a esquea aeror os coefcees e as fucoes e wavee e ve e cureos e a ar ervava os éros correspoees. De esa fora e agoro escro e 3- quearía represeao e oo sguee: α β γ µ α β γ ε oe a epresó: F F represea e vecor e coefcees e escaa e wavee e ve e a copoee F e e sae que a recosruros a a aproacó e ve. Ahora a ar ervava aqurrá e aspeco ao e a fgura 3.3.b oe se puee observar cóo as subarces que a cosue ee abé sus eeeos srbuos e baas e a sa achura. S apcaos esa ar a vecor e coefcees e resuao es equvaee a apcar u esquea e ferecas fas sar a aeror para caa couo e coefcees e escaa e wavee. Así e couo e ecuacoes 3-43 quearía coo sgue: γ µ α β µ 3-44.

77 FORMULACIÓN 73 γ ε α β ε Ahora e ve e obeer recaee e vaor rea e os capos heos cacuao os coefcees e escaa e wavee e a soucó fa. Para ecorar e vaor rea ebeos reaar u proceso e recosruccó a parr e chos coefcees. se proceso se reaa eae a IDWT. S e e caso aeror a resoucó espaca era e e ese caso espués e a recosruccó obeeos e obe e puos e uesreo co ua separacó e es ecr a a epo e apcacó e agoro e urresoucó s porae esacar que e creeo e resoucó puee arse a a regó e espaco que os erese. Para eo basa co cur os coefcees e wavee sóo oe sea ecesaro coseraros uos e e reso e oo e suacó. Por eepo cosereos ua regó e espaco coo a represeaa e a fgura 3.4. Fgura 3.4.: Doo e suacó vo e os regoes e feree resoucó.

78 FORMULACIÓN esa fgura veos que e oo e suacó se ha vo e os regoes e feree resoucó. La pare erecha e ese oo correspoe a ua oa e baa resoucó por o ao e e agoro sóo se curá os coefcees e escaa. Por e coraro a pare e a quera a heos coserao e resoucó superor por o ao e e agoro se curá os coefcees e wavee. Las ecuacoes e agoro epresaas e 3-43 se ebe ofcar eao os coefcees e wavee correspoees a a oa e baa resoucó e oo que as ecuacoes e acuaacó e agoro quea e a sguee fora: oe se puee aprecar que a acuaacó e os coefcees e wavee e a oa e aa resoucó se prouce ebo a acopaeo que ese ere os coefcees e escaa e wavee. a fgura 3.5 heos represeao a propagacó e u puso gaussao e u oo e suacó coo e escro e a fgura 3.4. espaco e suacó ee ua ogu e o heos screao véoo e ceas. sa screacó a ugar a ua resoucó espaca e 5 correspoee a ve e resoucó ío es ecr para. De ese oo a recosruccó e os capos e a oa e aa resoucó ará ugar a ua separacó ere os puos e uesreo e / 5. puso rouco ee su cero a 4 e a separacó ere as os regoes ee ua achura e. as fguras 3.5.a-c se observa a propagacó e puso e a oa e baa resoucó hasa egar a a poscó 74

79 FORMULACIÓN e separacó ere as os oas. a fgura 3.5. se puee aprecar cóo a pasar e ua oa a ora se obee ua aor resoucó espaca e puso ebo a aueo e a esa e puos e uesreo. a b c Deae e a oa e rascó Fgura 3.5.: Propagacó e u puso gaussao. oo e suacó esá vo e os regoes e feree resoucó. 75

80 FORMULACIÓN FORMULACIÓN D Cosereos a suacó e que e capo eecroagéco a esrucura que esaos oeao presea varacó e ua e as cooreaas espacaes por eepo que o haa epeeca respeco a a cooreaa. so sgfca que as ervaas parcaes e os capos respeco a a cooreaa so uas que a esrucura se eee e fora efa a o argo e ee. esa suacó as ses ecuacoes escaares e Mawe e u eo ea hoogéeo sóropo o spersvo escras e 3. se reuce a os couos e ecuacoes epeees ere sí e caa uo e os cuaes ervee úcaee res copoees e capo: µ µ ε ε ε µ couo e ecuacoes 3-46 oe sóo ervee as copoees se eoa oo rasversa agéco TM e couo e ecuacoes 3-47 oe sóo ervee as copoees se eoa oo rasversa eécrco T. Se eoa así porque e e oo TM e capo agéco es rasversa a a reccó e a que o ha epeeca a reccó e ese caso e e oo T o es e capo eécrco. as ecuacoes se puee observar que as srbucoes T TM so copeaee epeees por o ao puee esr suáeaee s eraccoar ere sí. 76

81 FORMULACIÓN Por eepo vaos a aaar a propagacó e u eo hoogéeo ea sóropo o spersvo e u oo TM e os esoes escro por e couo e ecuacoes ao e 3-46 oe os capos varía úcaee e e pao XZ. oro oo T se poría esuar e fora aáoga ercabao - ε-µ e as ecuacoes. De so oo que se ho para a foruacó e ua esó esarroaos caa ua e as copoees e os capos uao u couo e fucoes orooraes e escaa e wavee e as varabes espacaes ξ ξ co ξ fucoes puso h e a varabe epora. De acuero co as propeaes escras e as epresoes -8 e espaco L R se esarroa e a sguee fora [54]: S W W W L S W W W L L R D D D D D D D D 3-48 oe S D W D represea os subespacos e L R efos e e capíuo aeror cuas fucoes base so as fucoes e escaa e wavee uesoaes ξ ξ respecvaee. De esa fora uao as fucoes orooraes sguees ξ ξ ξ ξ ξ ξ h h as copoees e capo eécrco agéco se esarroa coo sgue: 77

82 FORMULACIÓN 78 h p q q p p q q p p q q p q p q p q p 3-5. h p q q p p q q p p q q p q p q p q p 3-5. h p q q p p q q p p q q p q p q p q p oe os íces p q ca e ve e resoucó e as fucoes e escaa e wavee os íces se correspoe co as cooreaas espacaes epora eae seo os ervaos e screacó espaca e as reccoes a screacó epora. De esa fora as fucoes base e espaco L R se fora a parr e a cobacó e fucoes e escaa e wavee uesoaes. Por sece e a oacó se puee efr as sguees fucoes e escaa e wavee besoaes:

83 FORMULACIÓN 79 s q p q p 3-5. s q p q p 3-5. s q p q p s q p q p a fgura 3.6 se ha represeao as fucoes efas e 3-5 cuao so fucoes e aar wavees D p q. Fgura 3.6.: Fucoes wavees e aar D Irouceo as epresoes 3-5 e as ecuacoes 3-46 uesreao co h h / obeeos e sguee couo e ecuacoes que efe uesro agoro:

84 FORMULACIÓN 8

85 FORMULACIÓN 8 Los suaoros e as ecuacoes 3-5 e os que ervee os íces p q correspoees a ve e resoucó e as fucoes e escaa e wavee se puee rucar oao u úero fo e éros. Por sece e os esarroos vaos a coserar que e úero e éros e abos suaoros es e so. De esa fora s oaos - éros e chos suaoros o que se obee es ua aproacó e ve. Así as ecuacoes 3-5 se puee reescrbr e fora abrevaa coo sgue: µ µ ε oe F ξ represea a aproacó e ve e a copoee ξ e capo F e e sae e epo Desarroo co fucoes e escaa Las ecuacoes escras e 3-53 abé se puee represear e fora arca. S coseraos u úco ve e resoucó uao úcaee fucoes e escaa e ve as ecuacoes e agoro será as sguees: [ ] [ ] [ ] µ [ ] [ ] [ ] µ [ ] [ ] [ ] [ ] ε

86 FORMULACIÓN oe [ ] [ F ] F co ξ represea a ar foraa por os ξ ξ coefcees e escaa e a copoee F ξ e e sae que a ugar a a recosruccó e ve. esas ecuacoes eeos u operaor ervaa para caa ua e as cooreaas espacaes. Por o ao se puee cosrur os operaores ervavos e resoucó e so oo que se ho e De esa fora as os arces ervavas verá aas por as sguees epresoes: D D [ F ] ξ s u porae eer e cuea a sposcó e os eeeos e a ar para poer cacuar as ervaas. uesro caso eeos que as fas represea a cooreaa as couas represea a cooreaa. so es porae a a hora e evauar a ervaa espaca porque epeeo e a cooreaa a ar ervava acuará sobre as fas a ervar respeco e a cooreaa [D ] o be acuará sobre as couas a ervar respeco e a cooreaa [D ]. sa operacó se ebe reaar aas veces coo fas o couas haa. a fgura 3.7 eeos u esquea co a srbucó e os eeeos e a ar [ ] F ξ cooreaa se quera ervar. heos cao e oo e seeccoar os coefcees segú qué A gua que sucee e e caso uesoa e hecho e que para e ve e resoucó base a ar ervava esé foraa úcaee por ua baa e achura aa hace que poaos reescrbr e agoro sóo e e ve base coo u esquea e ferecas fas. Así as ecuacoes epresaas e 3-54 quearía e a sguee fora: 8

87 FORMULACIÓN 83 µ µ ε Fgura 3.7.: Represeacó e a ar [ ] ξ F. La ervaa se cacua por fas o por couas epeeo e a cooreaa respeco a a que se erva Desarroo co fucoes e escaa e wavee S se quere auear a resoucó e a soucó obea a parr e as ecuacoes 3-54 se puee roucr e os esarroos fucoes e wavee. Por cara e a eposcó vaos a roucr fucoes e wavee e ve e os esarroos e abas cooreaas. De esa fora o que se obee es ua soucó e ve.

88 FORMULACIÓN Co e f e epresar as ecuacoes e agoro e fora arca vaos a efr as sguees subarces: [ ] [ F ] F ξ ξ [ ] [ F ] F ξ ξ [ ] [ F ] F ξ ξ [ ] [ F ] F ξ ξ oe ξ. sas subarces esá foraas por os coefcees e escaa e wavee e caa ua e as os cooreaas e a copoee F ξ e e sae que a ugar a a recosruccó e ve. Por eepo os superíces F ca que se ha uao fucoes e escaa para a prera cooreaa fucoes e wavee para a segua cooreaa. agoro esará forao por e sguee couo e ecuacoes: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] µ µ ε [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

89 FORMULACIÓN 85 Ahora as arces ervavas se ebe ofcar corporao fucoes e escaa e wavee e ve e a fora osraa e Coo resuao obeeos as sguees arces: α β γ D α β γ D Para cacuar a ervaa ebeos apcar as arces ervavas D D a os coefcees e as subarces [ ] ξ F [ ] ξ F [ ] ξ F [ ] ξ F. a que eer e cuea que as arces ervavas acúa sobre e vecor e coefcees e escaa e wavee oreaos e a sguee fora: b a oces ao que eeos coefcees e escaa e wavee e as os cooreaas esa oreacó se ebe hacer epeeo e a cooreaa respeco a a que esaos ervao. Por eepo s esaos ervao respeco e os coefcees e ese vecor os heos orgaao coocao os coefcees e escaa e wavee e a cooreaa e ese oo: [ ] [ ] [ ] [ ] couas couas ξ ξ ξ ξ F F D F F 3-6. [ ] [ ] [ ] [ ] couas couas ξ ξ ξ ξ F F D F F 3-6.

90 FORMULACIÓN S ervaos respeco e os coefcees os orgaaos e ese oro oo: [ F ] ξ [ F ] ξ [ F ] ξ [ F ] ξ fas fas [ F ] ξ D 3-6. [ ] Fξ [ F ] fas ξ D 3-6. [ ] Fξ fas a fgura 3.8. heos represeao ua srbucó e as subarces [ F ][ F ][ F ][ ] ξ ξ ξ F que aua a orgaar os coefcees para e cácuo e as ξ ervaas. Segú esa srbucó e coefcees a ervaa respeco e a cacuaos oreao a ar por couas para forar e vecor eras que a ervaa respeco e a cacuaos oreao a ar por fas. Fgura 3.8.: Oreacó e as subarces [ F ][ F ][ F ][ ] ξ ervaa respeco e caa ua e as cooreaas. ξ ξ F para facar e cácuo e a ξ 86

91 FORMULACIÓN 87 Ua ve que spoeos e oos os coefcees e vaor rea e os capos e caa puo e espaco se cacua uao a Trasforaa Iversa e Wavees e os esoes DWT D escra e e aparao.3. agoro escro e as ecuacoes 3-58 co os úcos vees e resoucó escaa wavee se puee reforuar epresar coo u esquea e ferecas fas ebo a a srbucó e baas e os coefcees ervavos ero e as arces ervavas D D osraas e De ese oo e agoro esaría ao por e sguee couo e ecuacoes: γ µ 3-6. α β µ 3-6. γ µ α β µ γ µ α β µ γ µ α β µ γ γ ε 3-64.

92 FORMULACIÓN 88 γ α β ε α β γ ε α β α β ε S se esea auear aú ás a resoucó e a soucó se puee roucr e e agoro uevas fucoes e wavee e ve obeéose ua soucó e ve. Ahora as copoees e capo eecroagéco se esarroa eae as ueve fucoes e escaa e wavee sguees: s s s s s s s s s

93 FORMULACIÓN 89 agoro quea escro por e sguee couo e ecuacoes: [ ] [ ] [ ] µ [ ] [ ] [ ] µ [ ] [ ] [ ] [ ] ε oe a ar [F ξ ] esá copuesa por os coefcees e esarroo e a copoee F ξ e éros e as ueve fucoes base 3-65 e e sae que a ugar a a recosruccó e ve. La orgaacó e esos coefcees ero e a ar esá represeaa e a fgura 3.9 Fgura 3.9.: Dsrbucó e os coefcees ero e a ar [F ]

94 FORMULACIÓN 9 Las arces ervavas D D se cosrue e a fora caa e De ese oo para caa cooreaa eeos a sguee ar: ξ ξ D co ξ. sas arces acúa sobre os coefcees e escaa e wavee e esarroo oreaos para caa cooreaa e a sguee fora: b b a so sgfca que a ervaa e a copoee F ξ respeco e se cacua upcao a ar ervava D por e vecor e coefcees que resua e oar as couas e [F ξ ] eras que a ervaa respeco e se obee a upcar a ar ervava D por e vecor e coefcees forao por as fas e [F ξ ] FORMULACIÓN 3D Cuao e probea que esaos aaao o presee gú po e sería que pera coserar ua a varacó e os capos respeco e agua e as cooreaas eoces para aboraro ebeos recurrr a couo forao por as ses ecuacoes escaares e Mawe osraas e 3-. De so oo que se ho aeroree caa ua e as copoees e os capos es esarroaa e as

95 FORMULACIÓN 9 varabes espacaes uao fucoes e escaa e wavee ξ ξ co ξ fucoes puso h e a varabe epora. Las fucoes e escaa e wavee resoaes se cosrue a parr e as fucoes e escaa e wavee e ua esó eeo e cuea as propeaes escras e as epresoes -8: L L L 3 D D D D D D D D D D D D W W W S W W W S W W W S L R 3-68 oe S D W D represea os subespacos e L R efos e e capíuo aeror cuas fucoes base so as fucoes e escaa e wavee uesoaes ξ ξ respecvaee: ξ ξ ξ ξ ξ ξ Las fucoes base e L R 3 se fora cobao as fucoes e escaa e wavee uesoaes. resuao e esa cobacó se obee repeo e proceso seguo e e aparao.3. que aba ugar a as ecuacoes De ese oo a base que esaos buscao esá copuesa por as fucoes:: s r q p r q p 3-7. s r q p r q p 3-7. s r q p r q p s r q p r q p s r q p r q p s r q p r q p s r q p r q p 3-7.7

96 FORMULACIÓN 9 s r q p r q p Por cara e e esarroo vaos a coserar abé que e as res cooreaas a resoucó auea e fora suáea es ecr pasar e u ve e resoucó a u ve sgfca auear e úero e fucoes e wavee e as res cooreaas Desarroo co fucoes e escaa Uao coo fucoes base úcaee as fucoes 3-7. haceo p q r se obee ua aproacó e os capos e ve. De esa fora as ses ecuacoes e Mawe 3- screaas e e epo correspoees a esa aproacó e ve será as sguees: µ 3-7. µ 3-7. µ ε ε ε De fora arca e agoro se puee represear por e sguee couo e ecuacoes: [ ] [ ] [ ] [ ] µ 3-7.

97 FORMULACIÓN 93 [ ] [ ] [ ] [ ] µ 3-7. [ ] [ ] [ ] [ ] µ [ ] [ ] [ ] [ ] ε [ ] [ ] [ ] [ ] ε [ ] [ ] [ ] [ ] ε oe [ ] [ ] F ξ ξ F seo ξ represea a ar foraa por os coefcees e escaa e as res cooreaas e a copoee F ξ e e sae que a ugar a a recosruccó e ve. La ervaa se cacua uao a ar ervava correspoee a caa cooreaa: D D D sas arces acúa sobre e vecor e coefcees e esarroo e caa ua e as copoees orgaaos ero e a ar [ ] ξ F coo se uesra e a fgura 3.. De esa aera a ervaa respeco e a cooreaa ξ se cacua upcao a ar ervava D ξ por e vecor forao por os coefcees e a ar [ ] F ξ oaos e a reccó e a cooreaa ξ.

98 FORMULACIÓN 94 Fgura 3..: Represeacó e a ar [ ] ξ F. La ervaa se cacua forao e vecor e coefcees que resua e oaros e a reccó e a cooreaa respeco a a que se erva. Coo se vo e e aparao 3. ebo a que as arces D D D ee sus coefcees ervavos srbuos a o argo e ua baa as ecuacoes 3-7 se puee reescrbr e fora sar a u esquea e ferecas fas e a sguee fora: µ µ µ ε ε

99 FORMULACIÓN 95 ε so pere evauar as ervaas s ecesa e aacear a ar ervava copea para caa cooreaa. su ugar basa co spoer e os coefcees ervavos apcaros e a fora caa e Desarroo cueo fucoes e wavee S ahora uaos para esarroar os capos as ocho fucoes efas e 3-7 co p q r o que obeeos es ua aproacó e ve. Las ecuacoes que escrbe e agoro so e ese caso: [ ] [ ] [ ] [ ] µ [ ] [ ] [ ] [ ] µ [ ] [ ] [ ] [ ] µ [ ] [ ] [ ] [ ] ε [ ] [ ] [ ] [ ] ε [ ] [ ] [ ] [ ] ε oe as arces [ ] ξ F co ξ esá foraas por os coefcees e escaa e wavee e as res cooreaas e a copoee F ξ e e sae que a ugar a a recosruccó e ve. Caa ar [ ] ξ F esá copuesa por ocho subarces correspoees a os coefcees e esarroo e caa ua e as copoees e capo e éros e as ocho fucoes base 3-7:

100 FORMULACIÓN [ F ] ξ Fξ Fξ Fξ Fξ Fξ Fξ Fξ Fξ 3-76 sos coefecees esá srbuos resoaee coo se ca e a fgura 3. oe ξ os superíces ca qué po e fucó escaa o wavee se ha uao para e esarroo e a prera cooreaa segua cooreaa ercera cooreaa respecvaee. Fgura 3..: Orgaacó e os coefcees ero e a ar [ ] ξ F para facar e cácuo e a ervaa. 96

101 FORMULACIÓN 97 La ar ervava para caa ua e as cooreaas esá aa por a sguee epresó: α β γ ξ ξ D 3-77 co ξ. Segú eso para cacuar a ervaa respeco a ua e as cooreaas apcaos a ar ervava sobre os coefcees orgaaos e e ore escaawavee. Por eepo a ervaa respeco a a cooreaa a heos cacuao e a sguee fora: [ ] [ ] [ ] [ ] ξ ξ ξ ξ F F D F F [ ] [ ] [ ] [ ] ξ ξ ξ ξ F F D F F [ ] [ ] [ ] [ ] ξ ξ ξ ξ F F D F F [ ] [ ] [ ] [ ] ξ ξ ξ ξ F F D F F Orgaao os coefcees e a ar [ ] ξ F coo se caba e a fgura 3. veos que a ervaa respeco e a cooreaa ξ se cacua upcao a ar ervava D ξ por e vecor forao por os coefcees e a ar [ ] F ξ oaos e a reccó e a cooreaa ξ.

102 FORMULACIÓN 98 Debo a que as arces D D D abé ee sus coefcees ervavos srbuos a o argo e ua baa poeos paear e agoro escro e as ecuacoes 3-75 coo u esquea e ferecas fas. De ese oo as ecuacoes quea e a sguee fora: γ γ ε α β γ ε γ α β ε α β α β ε γ γ ε α β γ ε γ α β ε

103 FORMULACIÓN 99 α β α β ε Ua ve que spoeos e oos os coefcees e vaor rea e os capos e caa puo e espaco se obee eae a Trasforaa Iversa e Wavees e res esoes DWT 3D escra e e aparao.3..

104 FORMULACIÓN ε β β α α Ua ve que spoeos e oos os coefcees e vaor rea e os capos e caa puo e espaco se obee eae a Trasforaa Iversa e Wavees e res esoes DWT 3D escra e e aparao CONDICIONS D CONTORNO La suacó e u probea eecroagéco requere aeás e a propagacó e capo e u eo e caraceríscas eeraas a cusó e os cooros o íes e a esrucura bao esuo. so es ebo a que e oo e a suacó ee que ser fo eer por ao esos íes. so obga a capo eecroagéco a verfcar uas eeraas cocoes e cooro que es ecesaro cur ero e agoro. Posbeee a cocó e cooro ás uaa e probeas eecroagécos sea a e coucor perfeco. La superfce e u coucor perfeco eera ceras cocoes sobre as copoees oraes agecaes e os capos. De ese oo para u coucor eécrco perfeco PC as cocoes que ebe verfcar chos capos sobre su superfce so: r r r B r aguos probeas as cocoes e sería e os sos hace acoseabe uar oro po e cocó e cooro sar a a aeror oe as cocoes e que ebe verfcarse so: 99

105 FORMULACIÓN r r r D r Por aaogía a a suacó aeror a superfce sobre a que se verfca esas cocoes se eoa coucor agéco perfeco PMC. La poscó sobre os capos e esas cocoes e cooro se puee aborar uao e éoo e as ágees e cua os pere susur e probea por oro equvaee poeo ceras cocoes e sería sobre as copoees e os capos [6]. so sgfca que a pare eécrca/agéca es susua por ua esrucura abera co capos eecroagécos sércos. De esa fora poeos susur e coucor eécrco perfeco PC por ua srbucó e capos oe as copoees agecaes e capo eécrco ee ua sería par eras que as copoees agecaes e capo agéco ee ua sería par a coraro co as copoees oraes eoces a soucó e ese probea uevo es a sa que a e aeror que queríaos resover fuera e coucor cupeo as cocoes 3-8. De so oo e u probea oe aparece u coucor agéco perfeco PMC cha pare puee ser susua por ua srbucó e capos oe as copoees agecaes e capo agéco posee ua sería par eras que as copoees agecaes e capo eécrco ee ua sería par a coraro para as copoees oraes cupéose e esa fora as cocoes 3-8. Para roucr esas cocoes e cooro e uesro agoro ebeos recorar prero e oo e que heos cosruo a ar ervava. e capíuo aeror vos que a Trasforaa Dscrea e Wavees DWT uaa era ua rasforaa peróca o crcuar [46 7] e a aera que os eeeos que esá suaos e os ereos se cosera coguos. so sgfca que e espaco e suacó represeao es u espaco cícco por o ao s cooros e fora que ua seña que ce e u ereo reaparece e e oro. Geeraee eso o se correspoe co os oos e suacó ás habuaes por o que ebeos ofcar os agoros para poer corporar as cocoes e cooro eseaas para caa probea cocreo cerrar e oo.

106 FORMULACIÓN Para roper esa esrucura cícca ofcaos a ar ervava cosrueo ua ar eea e a fora caa: { } { } eea 3-8 ea se puee observar que a ar eea se cosrue añaeo couas coguas a os bores cuos eeeos so os coefcees que reacoaba os os ereos e a esrucura. úero L e couas aacees e caa ereo epee e po e fucó wavee que eseos uao para esarroar os capos. Para as fucoes wavee e aar D eeos L coua acoa e caa ao suacó que correspoe a a represeaa e 3-8 eras que para e reso e fucoes wavee e Daubeches e aor ore D M e úero e couas acoaes es L M M es e úero e oeos evaescees e a fucó e wavee S e esarroo cue éros e wavee aeás e os e escaa as subarces {α } {β } {γ } se ebe ofcar e a sa fora ao coo resuao a sguee ar eea: α α β β γ γ e α α α α α α α α α α β β β β β β β β β β γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ D 3-83

107 FORMULACIÓN Dao que as esoes e a ar ervava D ha varao a creear e úero e couas e vecor e coefcees cua ervaa quereos cacuar abé ebe ser ofcao e a sa proporcó. so sgfca que e vecor coua e coefcees efo e 3-3 ebe ser eeo ao por a pare superor correspoee a cooro quero e uesro oo e suacó coo por a pare feror que correspoe a cooro erecho añaeo u úero e coefcees gua a creeo e couas e a ar D. so se puee ver e a sguee epresó: [ a a... a a a b b b b b b ] v e... a 3-84 sos coefcees acoaes represea e vaor e capo e poscoes eerores a uesro oo e suacó. Debo a as cocoes e sería que poeos para represear u coucor perfeco PC/PMC poeos coocer e vaor e os capos e esas uevas poscoes a parr e eos poeos cacuar os coefcees acoaes a' a' b' b' ecesaros para forar e vecor eeo 3-84 poeo que sus vaores sea aes que cupa chas cocoes e sería fgura 3.. Fgura 3..: Apcacó e Méoo e as Iágees para a obecó e as cocoes e cooro correspoees. oo e cacuar os coefcees acoaes epee e s so coefcees e escaa o coefcees e wavee e po e fucó wavee epeao. S a b so os coefcees e escaa e wavee respecvaee suaos e a poscó eoces os coefcees acoaes a ' b ' se cacua coo ca a aba III.

108 FORMULACIÓN TABLA III Cocoes e cooro Iquera Derecha Sería Par... L a ' a b ' M b a b ' a ' M b Sería Ipar... L a ' a b ' b M a b ' a ' M b L º e coefcees acoaes. º e puos e uesreo e e espaco e suacó. M ore e a fucó e wavee º e oeos evaescees Cocoes e cooro e os res esoes Las cocoes e cooro puesas por ua pare eécrca/agéca e u probea e os o res esoes se corpora a agoro e a sa fora que heos vso e u probea uesoa. Los coefcees acoaes ecesaros para eeer e vecor e coefcees sobre e que acúa a ar ervava se cacua e oo que se cupa as cocoes e sería puesas por Dao que ese ua ar ervava para caa ua e as cooreaas espacaes e probea e vaor e os coefcees eeos se cacua sgueo a aba III pero eeo e cuea aeás cha cooreaa. a fgura 3.3 se ha represeao ua suacó correspoee a u probea besoa oe os capos varía e e pao XY oe e oo e suacó esá cerrao por parees eécrcas PC. oces s coseraos por eepo a copoee e capo eécrco que es ageca a as os parees ereos ua sería par para asegurar ua srbucó e capo ua sobre a 3

109 FORMULACIÓN superfce e PC. so sgfca segú a aba III que os coefcees e escaa acoaes pereecees a espaco age ebe eer e sgo coraro a os e espaco e suacó. De esa fora s a pare es perpecuar a ee os coefcees acoaes correspoees a a fucó e escaa e e ee erá sgo coraro s a pare es perpecuar a ee será os coefcees correspoees a a fucó e escaa e e ee os que cabe e sgo. Fgura 3.3.: Apcacó e Méoo e as Iágees para a obecó e as cocoes e cooro e D correspoees a a copoee ageca e capo eécrco e ua pare PC uao fucoes wavee e Daubeches D M co M par. vaor correspoee a os coefcees e wavee epee aeás e po e epeao. e eepo e a fgura 3.3 ao que a sería es par uao wavees e Daubeches D M co M par os coefcees e wavee acoaes e a reccó correspoee erá e sgo coraro eras que s M es par e sgo e os coefcees acoaes será e so. 4

110 FORMULACIÓN CONDICIONS ABSORBNTS PML Ua coseracó a eer e cuea a a hora e aborar u probea e eraccó ere oas eecroagécas es que uchas suacoes e erés esá paeaas e regoes aberas es ecr a regó e espaco que se preee esuar se eee e fora aa e ua o ás reccoes. S ebargo a capaca e aaceaeo e aos e u oreaor es aa por o ao a oa oe se paea e probea ebe eer uas esoes fas. De esa fora e oo copuacoa e e cua se reaa a suacó ebe coeer a esrucura e erés a a ve se ebe apcar ua cocó e cooro aecuaa e su períero eeror que sue su eesó efa. La fgura 3.4 represea esqueácaee ese oo copuacoa fo Ω. su eror se apca e esquea uérco que sua a propagacó e ua oa e cuaquer reccó sobre a froera δω se ebe poer uas cocoes e cooro que sue su proogacó. Fgura 3.4.: Represeacó besoa e oo copuacoa W su froera W sobre a que se ebe poer as cocoes e cooro aecuaas que sue su eesó. sas cocoes e froera que sua a eesó e u oo haca e fo se suee eoar Cocoes e Cooro Absorbees ABC e gés 5

111 FORMULACIÓN Absorbg Bouar Coos a que a cr u capo sobre chos cooros ése parece ser absorbo. esarroo e as éccas ecaaas esabecer ese po e cocoes froera ha o evoucoao ese os rabaos reaaos por gqus-maa [5] G.Mur [58] Me-Fag [55] prcpaee hasa que a prcpos e os años 9. P. Béreger rouo e cocepo que é eoó coo Perfec Mache Laer PML [6][7][8]. se éoo cosse báscaee e cerrar e oo copuacoa por ua oa copuesa e u aera fcco que absorbe as oas eecroagécas que ce sobre e so. Aeás ero e esa oa reaa ua separacó e caa ua e as copoees e capo eécrco agéco co a posba e asgar péras vuaes a caa ua e eas. De esa fora cosgue crear u eo cua peaca e oa es epeee e águo e ceca e a frecueca obeeo coefcees e refeó 3 veces ás pequeños que os proporcoaos por éccas aerores. A couacó se va a escrbr a écca esarroaa por Béreger para roucr as cocoes e cooro absorbees e a froera e oo copuacoa espués se esua a fora e roucr esos resuaos ero e uesro esquea MRTD Cocoes absorbees PML e os esoes Cosereos a propagacó e u capo eecroagéco e copoees oo T e u espaco besoa co péras eécrcas agécas. Las ses ecuacoes escaares e Mawe se reuce e ese caso a as sguees: ε σ ε σ µ σ

112 FORMULACIÓN oe ε µ so a perva pereaba e vacío σ σ * represea as posbes péras eécrcas agécas asocaas a eo. Béreger eosró que s se cupe: * σ σ 3-86 ε µ eoces a peaca e oa e e eo co péras es a sa que e e vacío o que garaa que o habrá refeó cuao u free e oas ca oraee sobre a superfce e separacó ere abos eos [6] es ecr que oa a seña peera e e eo absorbee. La écca PML corpora e ese puo u uevo grao e bera a a hora e especfcar as péras a aapacó e a peaca veo a copoee e os subcopoees que Béreger eoa coo. De ese oo as ecuacoes 3-85 quea e a sguee fora: ε σ ε σ µ σ * µ σ oe os paráeros σ σ eoa coucvaes eécrcas os paráeros σ * σ * eoa coucvaes agécas. S e as ecuacoes 3-87 haceos que σ σ σ * σ * se obee as ecuacoes e Mawe e e vacío. S σ σ σ * σ * as ecuacoes 3-87 se covere e as correspoees a u eo coucor co péras. Y s haceos σ σ σ * σ * o que se obee so as ecuacoes para u hpoéco eo 7

113 FORMULACIÓN absorbee cua peaca esaría aapaa para a ceca ora e cuaquer oa paa ese e vacío. se aeás oras posbes cobacoes. Por eepo s σ σ * e eo PML puee absorber ua oa paa e copoees propagáose a o argo e ee pero o absorbe ua oa e copoees propagáose a o argo e ee. La suacó versa es cera e e caso e eer σ σ *. De esa fora eeos que e os eos PML caraceraos por e couo e paráeros σ σ σ σ * cuas coucvaes sasfaga 3-86 o se va a proucr gua refeó e as superfces e separacó oraes a os ees e respecvaee. so se puee coprobar aaao a propagacó e u eo PML: Cosereos a propagacó e u free e oas susoa e u eo PML cuo capo eécrco ee ua apu fora u águo ϕ respeco a ee. Deoeos por a as apues e caa ua e as subcopoees e que se ve e capo agéco. Fgura 3.5.: Copoees e capo eecroagéco propagáose e u eo PML. Las cuaro copoees e capo se puee epresar coo: ω α β ϕ e se ω α β ϕ e cos ω α β e ω α β e

114 FORMULACIÓN oe ω es a frecueca aguar es e epo α β so os cosaes copeas. Supoeo que es cooco as ecuacoes 3-88 coee cuaro cógas que se ebe cacuar: α β. Susueo 3-88 e 3-87 se ega a sguee couo e ecuacoes: σ ε seϕ seϕ β ω σ ε cosϕ cosϕ α ω * σ µ α cosϕ ω * σ µ β seϕ ω Despeao e susueo e se obee: µ ε µ ε σ α cosϕ β seϕ seϕ β * * 3-9. ωε σ σ ωµ ωµ σ α cosϕ β seϕ cosϕ α * * 3-9. ωε σ σ ωµ ωµ Dveo abas epresoes se obee: α β seϕ σ ωε 3-9 cosϕ σ ωε Susueo 3-9 e 3-9. se obee α susueo 3-9 e 3-9. se obee β. so proporcoa os couos e vaores α β e sgos opuesos que ca as os posbes reccoes e propagacó. Coserao e sgo posvo: 9

115 FORMULACIÓN α µ ε σ ωε G cosϕ 3-9. β µ ε σ ωε G seϕ 3-9. oe: G w cos ϕ w se ϕ w w σ ωε * σ ωµ σ ωε σ ωµ * De as epresoes poeos obeer as os cógas resaes : ε w cos ϕ µ G ε w se ϕ µ G Teeo e cuea a epresó 3-93 a sua e es: ε µ G 3-95 e cocee Z ere e capo eécrco e capo agéco es: µ Z ε G 3-96

116 FORMULACIÓN S coseraos a posba e que caa par σ σ * σ σ * sasfaga a cocó 3-86 se cupe que w w G epeeeee e a frecueca o que couce a que cuaquer copoee e capo Φ e apu Φ a peaca e oa 3-96 oe e vaor respecvaee cosϕ seϕ ω c σ cosϕ ε c σ seϕ ε c Φ Φ e e e 3-97 µ ε Z 3-98 La prera epoeca e 3-97 ca que a oa se propaga e e eo PML e ua reccó perpecuar a capo eécrco co a veoca gua a a e a u e e vacío c µ ε. Las os epoecaes resaes ca que a apu e a oa ecrece epoecaee e as reccoes e. La epresó 3-98 os ca que a peaca e oa e e eo PML es gua a a e vacío epeeeee e águo e ceca. Se coprueba eoces que e crero e aapacó e peacas 3-86 para ua ceca ora es abé ua cocó e aapacó para e eo PML co a fereca e que e ese úo se ebe cupr coserao os pares σ σ * σ σ *. oo copuacoa propueso por Béreger co e f e suar u eo efo esá represeao e a fgura 3.6. espaco e suacó se ecuera roeao por oas PML cuas caraceríscas σ σ * σ σ * se escoge e aera que o se prouca refeó e a superfce e separacó ere e eo eror a áa PML faee cerraos e oo copuacoa eae u coucor eécrco perfeco PC.

117 FORMULACIÓN Fgura 3.6.: srucura e u oo copuacoa e -D co cocoes absorbees PML Cocoes absorbees PML e res esoes La eoría PML se puee geeraar a u espaco resoa coservao as sas propeaes e os esoes [7]. Ahora caa ua e as copoees e capo eecroagéco se ve e os subcopoees e fora que as ses ecuacoes escaares resuaes e represear e cooreaas caresaas as os ecuacoes roacoaes e Mawe se covere e as oce ecuacoes sguees: * µ σ µ * σ * µ σ * µ σ µ * σ

118 FORMULACIÓN * µ σ ε σ ε σ ε σ ε σ ε σ ε σ oe os paráeros σ σ σ σ * σ * σ * represea as coucvaes eécrcas agécas e eo. De so oo que ocurría e os esoes ua oa propagáose a o argo e a reccó que ca sobre ua áa caraceraa por σ σ * oe e par σ σ * verfque a cocó 3-86 va a sufrr ua refeó ua epeeeee e su frecueca e águo e ceca por o que e so 3

119 FORMULACIÓN esquea represeao e a fgura 3.6 para u probea besoa puee rasaarse a uo e res esoes Facor e refeó e u eo PML Debo a que e oo copuacoa esá cerrao e úa saca por u coucor eécrco perfeco PC as oas que egue hasa ese ereo sufrrá ua refeó voveo e uevo a uesro espaco e suacó. Cosereos ua oa que se propaga e e eror e ua oa PML. Aquí a apu e a oa se aeúa e acuero co a epresó 3-97 co o que a ua saca ρ e e eror e a áa su apu será: σ ρ cosϕ ε c Φ ρ Φ e 3- oe ϕ es e águo que fora a oa cee co a áa PML. Después e aravesar oa a áa a oa es refeaa por e coucor eécrco perfeco regresa e uevo a eo eror. De esa fora para ua áa e espesor se puee efr e sguee facor o coefcee e refeó: cosϕ [ ] R ϕ R 3- oe: σ δ εc R e 3-3 facor e refeó epee e prouco σδ por o que eórcaee poría obeerse facores e refeó a pequeños coo se quera s ás que creear e espesor e a áa δ a coucva σ o abos. S ebargo ua fuere scoua e e vaor e a coucva prouce ua refeó uérca eevaa [8] por o que se hace recoeabe que e vaor e a coucva ero e a 4

120 FORMULACIÓN áa varíe grauaee ese cero hasa u vaor áo σ a. Béreger propuso que esa varacó se reaara e acuero co e sguee perf: ρ σ ρ σ a 3-4 δ Los perfes ás frecuees suee ser e ea e parabóco e cúbco 3. De esa fora escogeo u facor e refeó e ceca ora R geeraee e ore e -4 o -5 u espesor se puee cacuar e vaor áo e a coucva σ a Paso e epo epoeca La aeuacó e fora epoeca vsa e a ecuacó 3- que se prouce e a apu e as oas que se propaga e u eo co graes péras coo es e PML es a rápa que puee egar a provocar efecos o eseaos coo a refeó e as oas que ce sobre é u sucó brusca e vaor e os capos se puee erprear coo a preseca ua pare coucora. Ua fora e evar ese probea cosse e ofcar e oo e que se screa a pare epora e as ecuacoes ero e agoro. Así e ve e uar ua aproacó e ferecas fas co u paso epora covee uar o que se eoa paso e epo epoeca [75]. Cosereos ua e as ecuacoes escaares e Mawe correspoee a u eo co ua coucva eécrca σ: σ ε ε sa ecuacó se puee raar coo ua ecuacó fereca e prer ore para e aera que su soucó geera se obee coo es sabo suao a a 5

121 FORMULACIÓN soucó geera e a ecuacó hoogéea ua soucó parcuar e a ecuacó copea: hoogeea parcuar 3-5 La soucó e a ecuacó hoogéea es: hoogeea ' σ ' ε C e 3-6 Coseraos que a soucó e a ecuacó hoogéea e u sae e epo se obee a parr e a aeuacó e a soucó e u sae aeror e aera que a fa e caa ervao epora a soucó e a ecuacó hoogéea verá aa por: σ ε hoogeea e hoogeea 3-7 Ua soucó parcuar e a ecuacó copea se obee a parr e a sguee epresó: parcuar σ σ ' ' ε ε ' e e ' K ε 3-8 Operao e a epresó aeror se ega a que a soucó parcuar buscaa e a ecuacó ee a sguee fora: parcuar σ ' ε ' K e 3-9 σ La cosae K se puee cacuar supoeo que a corbucó e esa soucó parcuar se reaa úcaee ero e caa ervao e epo que e 6

122 FORMULACIÓN epo ' se e ese e prcpo e ese ervao. De esa fora a prcpo e caa ervao ' se ee que: ' σ parcuar K 3- e oe poeos obeer K: K σ 3- vaor: A fa e ervao epora ' a soucó parcuar erá e sguee ε ' e σ σ ' parcuar 3- De esa fora a soucó e a ecuacó copea e e ervao e epo esará foraa por a aeuacó e a soucó hoogéea respeco e ervao aeror ás a corbucó e a soucó parcuar e ese ervao e epo: e σ σ σ ε ε e Ipeeacó e as cocoes PML : eepo Las epresoes esarroaas por Béreger para su écca PML que acabaos e esuar hace refereca a os vaores reaes e capo. Dao que e uesro agoro esaos rabaao co coefcees correspoees a os 7

123 FORMULACIÓN esarroos e os capos eso pca que ebeos ofcar esa écca aes e apcara. sas ofcacoes sóo so ecesaras cuao se uce fucoes e escaa fucoes e wavee para represear os capos a que s sóo se cue fucoes e escaa ebo a que sus coefcees represea vaores reaes e capo eecroagéco poeos rabaar recaee co as epresoes esarroaas por Béreger. Cosereos a oo e eepo a propagacó e e vacío e ua oa TM cuos capos varía úcaee e a reccó e ee. Co e f e suar u espaco abero coocaos e os ereos e oo e suacó os oas PML e espesor δ cuas coucvaes eécrca agéca σ σ * respecvaee se escoge e aera que se cupa a reacó: * σ σ 3-86 ε µ Se raa pues e u eepo e ua esó co sóo ua copoee para e capo eécrco ua copoee para e capo agéco por o que o es ecesaro escopoer gua e eas ero e a oa PML. Sóo es ecesaro apcar e éoo e paso e epo epoeca e a acuaacó e os capos ero e cha oa. a fgura 3.7 se ha represeao u esquea co a esrucura e oo e suacó correspoee a uo e sus ereos oe se ca as caraceríscas e os ferees eos que o fora. Se puee observar cóo e oo copuacoa esá cerrao por ua pare PC. 8

124 FORMULACIÓN 9 Fgura 3.7.: Doo e suacó co cocoes absorbees PML e uo e sus ereos. Dero e a oa PML efa aeroree a propagacó e capo eecroagéco esá goberaa por as sguees ecuacoes: µ µ σ 3-4. ε ε σ 3-4. De acuero co a eoría e Béreger a screacó epora e esas ecuacoes se reaa eae e paso e epo epoeca escro e a seccó De ese oo as ecuacoes 3-4 quea e a sguee fora: e e * * * µ σ µ σ σ 3-5. e e ε σ ε σ σ 3-5.

125 FORMULACIÓN S a screacó espaca se reaa uao fucoes e escaa e ve o que se obee es ua aproacó e ve e os capos. couo e ecuacoes resuae epresao e fora arca será e sguee: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ó ó * * 3-6. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ó ó 3-6. oe [ s ] [ s ] [ s * ] [ s * ] so arces agoaes cuos eeeos epee e vaor e as coucvaes eécrca agéca σ σ * e caa puo e espaco ero e a oa PML : [ ] ep ε σ ó 3-7. [ ] ep ε σ σ ó 3-7. [ ] * ep µ σ * ó [ ] * * ep µ σ σ * ó perf e varacó escogo para as coucvaes es parabóco esá ao por as sguee epresoes: a δ σ σ 3-8. * ε µ σ σ 3-8. oe e vaor e a coucva áa σ a se obee a parr e vaor que haaos fao para e facor e refeó R e a sguee fora:

126 FORMULACIÓN 3 a R c δ ε σ 3-9 S a screacó espaca se reaa uao fucoes e escaa e wavee e ve o que se obee ahora es ua aproacó e ve e os capos. ese caso e couo e ecuacoes resuae epresao e fora arca será e sguee: * * * * * * * * α β γ α β γ α β γ σ σ σ σ σ σ σ σ α β γ α β γ α β γ σ σ σ σ σ σ σ σ oe as arces reacoaas co as coucvaes se cacua eae a DWT e os esoes e a sguee fora: [ ] D DWT ó σ σ σ σ α β γ 3-. [ ] D DWT ó σ σ σ σ α β γ 3-. [ ] D * * * * DWT * ó σ σ σ σ α β γ 3-.3 [ ] D * * * * DWT * ó σ σ σ σ α β γ 3-.4 Las arces [ s ] [ s ] [ s * ] [ s * ] se cosrue e a fora caa e 3-7 a parr e vaor e a coucva correspoee a ve e resoucó superor coo se ca e a fgura

127 FORMULACIÓN Fgura 3.8.: Dscreacó e a coucva s para os vees e resoucó cosecuvos.

128 Capíuo IV CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO

129 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO 4..- INTRODUCCIÓN os agoros que heos preseao para resover as ecuacoes e Mawe se requere que e creeo rouco por a screacó epora ega u íe específco reacoao co a screacó espaca e aao. se íe es ecesaro para evar a esaba uérca e agoro es ecr que o se prouca e fora eseabe u aueo coroao e os vaores e as soucoes cacuaas urae e epo e eecucó. sa posbe esaba es eba a os errores uércos roucos por a screacó e a ecuacó coua. S a ea que e agoro progresa ese error se aee acoao se raa e u agoro esabe; pero s por e coraro e error se acuua crece e aera efa e esquea es esabe. se probea puee e prcpo aparecer e cuaquer agoro que resueva uércaee ecuacoes ferecaes e fora epíca por eo es u ea que sepre ha que aborar para ar robuse a a écca epeaa. Oro probea a raar coo posbe fuee e error e agoro es e que se cooce coo spersó uérca. uso e as éccas uércas para resover probeas eecroagécos coo por eepo TLM [9] FDTD [75] MRTD [5]... requere sepre u proceso e screacó e as varabes uaas. se proceso a ugar a u error e fase e a propagacó e os capos es ecr a veoca e fase aa por e agoro puee ser feree e a veoca e fase e a oa e e eo que eseos coserao e hecho varía co a reccó e propagacó e e aao co a ogu e oa co a resoucó e a aa epeaa fgura 4.. se coporaeo spersvo que o se correspoe co a reaa e eo que esaos suao ebe eerse e cuea especaee a a hora e raar co esrucuras e suacó argas ebo a que as ferecas ere a fase rea a uérca puee ser coserabes. 5

130 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO Fgura 4..: Dsorsó e u puso ebo a a spersó: A a erecha se ecuera e puso ca a a quera ras suar uos saes e propagacó se puee ver a fora e puso sorsoaa ebo a a eseca e ferees veocaes e fase asocaas a caa frecueca. ese aparao se va a vesgar as cocoes ecesaras para que os agoros preseaos sea esabes así coo as propeaes e spersó e os sos. esuo cue e aáss para os ferees pos e wavees epeaas e e esarroo e os capos. peareos aaao e caso uesoa para poseroree geeraaro a os res esoes STABILIDAD NUMÉRICA éoo que heos epeao para aaar a esaba sgue as pauas propuesas por Tafove [75] basaas e e paeaeo cásco esarroao por Coura Frerch Lev CFL vo Neua. se paeaeo pere esuar e fora separaa os aspecos e esaba e a pare ervava epora espaca. Para eo e agoro propueso se separa e os probeas e auovaores uos espacaes oros eporaes. De esa aera se eera e couo e auovaores asocaos a proceso espaca se copara co e couo e auovaores esabes asocaos a proceso epora. Ipoeo que oos os auovaores espacaes esé ero e rago esabe epora se asegura que oos os posbes oos uércos que se propague por a aa sea esabes es ecr que o puea crecer e fora 6

131 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO coroaa. so acoará e ervao e screacó epora e reacó co a screacó espaca saba uérca e ua esó Por spca epeareos aaao u probea uesoa oe os capos presea varacó úcaee respeco e a cooreaa. Las ecuacoes ecesaras para aborar ese probea so: µ 4-. ε 4-. e aparao 3. se esuó a screacó epora e ese par e ecuacoes uao fucoes puso h e achura e fora que ua aproacó e ve para os capos os evaba a sguee couo e ecuacoes: µ ε Uao fucoes e escaa e resoucó para represear cha aproacó e agoro queaba eerao por e sguee couo e ecuacoes screaas: [ ] [ ] [ ] [ ] µ 4-3. [ ] [ ] [ ] [ ] 4-3- ε Para que e agoro sea esabe e par e vaores se ebe escoger e ua fora aecuaa. La reacó ere abos se obee a escopoer e agoro e 7

132 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO 8 os probeas e auovaores uo que voucra a pare epora oro que afeca a a pare espaca. Para aor cara as ecuacoes 4-3 se puee reescrbr e sguee oo oe se uesra recaee a reacó ere os coefcees: µ 4-4. ε 4-4. se par e ecuacoes se puee ahora escopoer separáoo e os os probeas e auovaores ecoaos; por u ao a pare epora: Λ 4-5. Λ 4-5. por e oro a pare espaca: µ Λ 4-6. ε Λ 4-6. couo e ecuacoes 4-5 se puee reescrbr e a sguee fora V V V Λ 4-7 oe V represea u coefcee e escaa e ua e as copoees e capo o. S efos a sguee epresó coo e facor e creceo e a soucó:

133 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO q V V 4-8 V V eoces para que o se prouca u creceo ao e a soucó urae a archa e agoro se ebe cupr que q. Susueo ese facor e creceo e a epresó 4-7 se ee que: q V V q Λ V 4-9 o que a ugar a a sguee ecuacó e seguo grao cua soucó os proporcoará a cocó que ebe cupr os auovaores eporaes para que a soucó sea esabe: q Λq 4- Las soucoes e esa ecuacó so: q a ± a 4- oe: Λ a 4- Se puee coprobar que q cupeo por o ao co a cocó e esaba sepre que se cupa as sguees cocoes: Re a 4-3. I a

134 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO De esa fora egaos a que para que e agoro sea esabe e couo e auovaores ebe esar cuo e e ervao ao por: I Λ 4-4 La reacó ere e ervao epora e espaca se obee a poer que oos os auovaores espacaes esé ero e ese rago e esaba. Las soucoes váas ebe ser soucoes e abas ecuacoes a a ve es ecr sóo so váos os auovaores que sea soucó e abas. Ya heos vso que e prcpo puee haber auovaores eporaes esabes o esabes a reacó que os ce cuáes esá e u grupo cuáes e e oro. oces para que oas as soucoes sea esabes guo e os auovaores espacaes ebe cocr co uo epora que esé fuera e rago esabe por eo se ebe hacer que oos os auovaores espacaes esé ero e rago esabe. Para ecorar esos auovaores espacaes resoveos as ecuacoes 4-6. Para eo roucos e chas ecuacoes u oo e propagacó geérco caracerao por u vecor e oa uérco ~ ao por e agoro coo e e a sguee epresó: ~ e ~ e 4-5 oe a resoucó espaca correspoee a ve e resoucó es: 4-6 eeos: Levao a epresó 4-5 a probea e auovaores osrao e 4-6 µ ε e e ~ ~ e e ~ ~ Λ e Λ e ~ ~ 4-7 3

135 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO 3 Spfcao esas ecuacoes apcao as eaes e uer obeeos as sguees epresoes: [ ] [ ] ~ se ~ cos ~ se ~ cos Λ Λ ε µ 4-8 Teeo e cuea a sguee propea e os coefcees ervavos esuaa e e capíuo se verfca que: cos 4- co o que a pare rea e a epresó 4-8 se aua egao a que os vaores propos e esa ecuacó so agaros puros aeás su óuo es: Λ c ~ se I 4- rago e esos auovaores esá efo e e sguee ervao: Λ c c I 4- oe heos susuo e vaor e coefcee ervavo e ve por su epresó equvaee esarroaa e e capíuo 3 Ieaes e uer: α α α cos se e α α α cos se e

136 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO 4-3 oces para garaar a esaba uérca e agoro e rago e os auovaores espacaes ebe esar copeaee cuo ero e rago esabe e os auovaores eporaes. Para que eso sucea basa co que e íe superor e os auovaores espacaes ao e 4- sea eor o gua que e íe superor e os auovaores eporaes ao e 4-4: c 4-4 De esa aera se obee e íe superor e ervao e epo que poeos far e uesro agoro: c 4-5 S efos u facor e esaba s coo: c s 4-6 a ecuacó 4-5 se puee reescrbr coo: s 4-7 c e oe se obee que os vaores que puee oar ese facor e esaba s ebe esar cuos e e ervao: < s 4-8 3

137 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO ervao efo e 4-8 epee e vaor que ega os coefcees os cuaes epee e po e fucó wavee epeao. a aba IV se uesra e vaor íe que puee oar e facor e esaba para ferees pos e fucó wavee. Se observa u vaor áo s para as fucoes wavee e aar D que va sueo a ea que auea e ore e a fucó wavee D M. TABLA IV Facor e esaba s D D D 3 D 4 D 5 s Observao os vaores que puee oar e facor e esaba e a aba IV veos que para u so vaor e a resoucó espaca que aparece e a epresó 4-7 se ee u rago e vaores para e ervao e epo que a ugar a u agoro esabe. cocreo se observa que para as fucoes wavee e aar D e ervao e epo que se puee obeer es eacaee e obe e coparacó co e correspoee vaor e FDTD para a sa resoucó espaca [75]: < S 4-9 FDTD MRTD FDTD os esqueas oe se ua fucoes e escaa e ve uo co fucoes e wavee e ve ao que e couo es equvaee a u esquea co fucoes e escaa e ve a esaba e prer esquea es gua a a esaba e seguo. so se puee coprobar fácee para as wavees e aar D ebo a su represeacó ás seca. oces para coprobaro paros e couo e ecuacoes screaas uao fucoes e escaa fucoes e wavee e ve que fue esuao e e aparao 3. e capíuo aeror: 33

138 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO 34 γ µ 4-3. α β µ 4-3. γ ε α β ε oe os coefcees ervavos α β γ correspoees a a fucó wavee e aar aparece e a aba II e úero e coefcees sos e cero esá ero e rago. De uevo e crero e esaba se obee a parr e os auovaores e ssea 4-3 véoo e os probeas uo epora oro espaca e poeo que oos os auovaores espacaes esé ero e rago que ea a couo e auovaores eporaee esabes. probea e auovaores eporaes esá escro por e sguee couo e ecuacoes: Λ 4-3. Λ 4-3. Λ Λ eras que e probea e auovaores espacaes esá ao por e sguee couo e ecuacoes: γ µ Λ 4-3. α β µ Λ 4-3.

139 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO 35 γ ε Λ 4-3. α β ε Λ 4-3. La soucó e probea epora os eva e uevo a que para que e agoro sea esabe e couo e auovaores ebe esar cuo e e ervao ao por: Λ I 4-4 Para resover e probea espaca roucos e as ecuacoes 4-3 u oo e propagacó geérco caracerao por u vecor e oa uérco ~ ao por e agoro coo e e a sguee epresó: e e e e ~ ~ ~ ~ 4-33 oe es a screacó espaca correspoee a ve e resoucó. De esa fora ras spfcar os éros seeaes e abos ebros e as guaaes se obee e sguee couo e ecuacoes: γ µ ~ ~ e e Λ α β µ ~ ~ e e Λ γ ε ~ ~ e e Λ α β ε ~ ~ e e Λ

140 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO 36 Despeao e respecvaee eváoo a se obee as ecuacoes: γ α β γ ~ ~ ~ ~ ~ ~ e e e e e e c Λ α β α γ γ ~ ~ ~ ~ ~ ~ e e e e e e c Λ oe µε c es a veoca e a u e e eo que esaos oeao. Teeo e cuea que para as fucoes wavee e aar se cupe as sguees reacoes ere os coefcees ervavos: α γ β eoces e as ecuacoes 4-35 se ega a a sguee epresó: Λ ~ ~ ~ e e e c γ β 4-37 Ahora apcao as eaes e uer eeo e cuea que: cos se se γ β 4-38.

141 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO 37 obeeos que e vaor e os auovaores espacaes esá aos por a sguee epresó: Λ cos se c β 4-39 oe heos hecho os cabos β β a epresó 4-39 veos que os auovaores espacaes so agaros puros que su óuo es: cos se I Λ c β 4-4 e oe obeeos que e óuo e esos auovaores esá acoao por e sguee vaor áo: I Λ c c 4-4 oces para garaar a esaba uérca e agoro oos os auovaores espacaes ebe esar cuos ero e rago e auovaores esabes eporaee. Para que eso sucea e íe superor e os auovaores espacaes ao e 4-4 ebe ser eor o gua que e íe superor e os auovaores eporaes ao e 4-4: c 4-4 De esa aera se obee que e íe superor e ervao e epo que poeos far e uesro agoro es:

142 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO 4-43 c correspoe a vaor áo que poeos oar s esarroaos os capos uao fucoes e escaa e ve. sa eosracó que heos hecho co wavees e aar - os ás spes - se puee reper co cuaquer oro po e wavee egao e prcpo a so resuao. Para coprobaro co u eepo heos suao a propagacó a o argo e ee e u puso eecroagéco e copoees uao fucoes wavee D para esarroar os capos e e espaco. prer ugar heos coserao u esarroo forao úcaee por fucoes e escaa e ve veo e espaco e suacó e puos separaos por ua saca e. Segú os vaores osraos e a aba IV heos escogo e vaor íe e facor e esaba eso es s 33 co o que heos obeo u vaor e paso epora gua a 443 ps. a sere e fguras 4. se ha represeao e vaor e a copoee e ferees saes e epo. eas se puee aprecar cóo e puso rouco e a esrucura se ve e os pusos que se propaga e seos opuesos s aparecer gú probea e esaba. S ebargo e a sere e fguras 4.3 heos represeao e vaor e capo eécrco obeo eae ua suacó e as sas caraceríscas que a aeror sóo fucoes e escaa e ve ua screacó espaca e pero escogeo u facor e esaba por eca e vaor íe cao e a aba IV. se vaor ha so s 5 co o que e paso epora obeo ha so aor que e a suacó aeror eso es 5 ps. Ahora se observa cóo ras u pequeño úero e eracoes e vaor e capo ao por e agoro coea a crecer e fora aa hasa proucrse u esboraeo e so. 38

143 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO a b c Fgura 4..: Vaor e a copoee e V/ e ferees saes e epo. La suacó represea a propagacó e u puso se ha reaao uao fucoes e escaa e po D co u vaor íe e facor e esaba gua a s

144 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO a b c Fgura 4.3.:Vaor e a copoee e V/ e ferees saes e epo. La suacó e ha reaao e as sas cocoes que a represeaa e a fgura 4. pero co u vaor e facor e esaba por eca e íe s 5 o que provoca a cabo e uas pocas eracoes c u esboraeo e vaor e capo proporcoao por e agoro. 4

145 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO seguo ugar heos reaao os suacoes esuao uevaee a propagacó e u puso eecroagéco a o argo e ee pero esa ve uao para esarroar os capos e e espaco fucoes e escaa fucoes e wavee D e ve o que os ha proporcoao ua soucó fa e ve. A gua que e as os suacoes aerores ésas se ha reaao veo e espaco e puos co ua separacó ere caa uo e. De esa fora a recosrur e vaor e os capos se ha obeo ua resoucó fa e / 5. Se ha escogo e vaor íe e facor e esaba e acuero co esa resoucó espaca fa es ecr s 33 co o que e vaor e paso epora ha so e ps que es eacaee a a e vaor obeo e as suacoes aerores. vaor e a copoee obeo e esas cocoes se ha represeao e a sere e fguras 4.4. eas se puee aprecar a sa suacó que a osraa e a fgura 4. es ecr e puso rouco e a esrucura se ve e os que se propaga e seos opuesos s aparecer esaba agua. Debo a que e ese caso e paso epora es a a que e as suacoes aerores se observa que e úero e eracoes ecesaras para represear a suacó e e so sae epora es eacaee e obe. a sere e fguras 4.5 se ha represeao e vaor e a copoee e ferees saes e epo pero esa ve se ha escogo u vaor e facor e esaba por eca e íe por eepo s 5. De acuero co a resoucó espaca fa 5 ese vaor os ha proporcoao u paso epora e 5 ps. Se puee aprecar uevaee cóo a cabo e uas pocas eracoes e vaor e capo eécrco obeo auea s íe e aera que e agoro se vueve esabe. so cofra que efecvaee e vaor e facor e esaba se ebe escoger ero e os íes osraos e a aba IV aeás e as suacoes e as que se ua varos vees e resoucó se ebe escoger eeo e cuea e vaor e a screacó espaca fa. 4

146 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO a b c Fgura 4.4.: Vaor e a copoee e V/ e ferees saes e epo. La suacó se ha reaao uao fucoes e escaa e wavee e ve e po D co u facor e esaba s 33. 4

147 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO a b c Fgura 4.5.: Vaor e a copoee e V/ e ferees saes e epo. La suacó se ha reaao e as sas cocoes que a represeaa e a fgura 4.4 pero co u facor e esaba por eca e íe s 5. 43

148 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO 44 Coo acabaos e ver os esqueas oe se ua fucoes e escaa e ve uo co fucoes e wavee e ve so equvaees e couo a u esquea co fucoes e escaa e ve e o que se refere a a epeeca epora abé e o que se refere a a esaba. oces s añaos a ese esquea fucoes e wavee e ve e resuao fa será equvaee e cuao a esaba resoucó espaca a u esquea co fucoes e escaa e ve saba uérca e os esoes suaos ahora a esaba e agoro para u oo TM e os esoes para u oo T e proceeo es aáogo. Coseraos u eo hoogéeo ea sóropo o spersvo oe os capos varía úcaee e e pao XZ. ese caso as ecuacoes e Mawe ecesaras para aborar ese probea se reuce a: µ µ ε La screacó epora e esas e ecuacoes uao fucoes puso h e achura se vo e e aparao 3.3 egao a sguee couo e ecuacoes: µ µ ε

149 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO sas ecuacoes se screaba e e espaco uao fucoes e escaa e ve co o que se obeía as ecuacoes sguees: µ µ ε De so oo que se ho co as ecuacoes 4-4 e ua esó e os esoes as ecuacoes 4-46 se ve e os probeas e auovaores separao a pare espaca a epora co e f e ecorar su rago e esaba. Así e couo e ecuacoes que represea e probea e auovaores eporaes es e sguee: Λ Λ Λ sas ecuacoes so foraee écas a as ecuacoes 4-5 correspoees a probea uesoa. Por o ao su soucó se obee e so oo se ega abé a que para que e agoro sea esabe e couo e auovaores e a ecuacó espaca ebe esar ero e ervao ao por: I Λ

150 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO 46 Para ecorar e couo e auovaores espacaes abé se procee e fora aáoga a coo hcos e ua esó. Preraee obeeos e couo e ecuacoes que escrbe e probea e auovaores espacaes: µ Λ µ Λ ε Λ Seguaee se rouce e eas u oo e propagacó geérco caracerao por u vecor e oa uérco e copoees ~ ~ coo e cao e a epresó: e e e ~ ~ ~ ~ ~ ~ 4-49 Susueo 4-49 e 4-48 obeeos as ecuacoes: e e e e e e e e e e e Λ Λ Λ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ε µ µ 4-5 De uevo apcaos a ea e uer eeos e cuea a propea 4-9 e oo que a pare rea e esas ecuacoes se aua. Tras esas spfcacoes obeeos e sguee couo e ecuacoes:

151 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO 47 ~ se ~ se ~ se ~ se Λ Λ Λ ε µ µ 4-5 Resoveo ese ssea e ecuacoes ecoraos que os vaores propos so agaros puros aeás su óuo es: ~ se ~ se I Λ c c 4-5 Aaao a epresó 4-5 se ve que e couo e auovaores espacaes esá ero e sguee rago: I Λ c c 4-53 que susueo os vaores e por su epresó equvaee aa e a ecuacó 4-3 se puee poer coo: I Λ c c 4-54 Coo se epcó aeroree para ua esó para garaar a esaba uérca e agoro e rago e oos os auovaores espacaes ebe esar copeaee cuo ero e rago esabe e os auovaores eporaes. Para que eso sucea basa co que e íe superor e os auovaores espacaes ao e a ecuacó 4-54 sea eor o gua que e íe superor e os auovaores eporaes esabes ao e a ecuacó 4-4:

152 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO 48 c 4-55 Defeo e sguee facor e esaba s: c s 4-56 a epresó 4-55 se puee poer coo c s 4-57 oe e rago e vaores peros que puee oar e facor e esaba s para que e agoro sea esabe es e ao e 4-8 co o cua para caa fucó e Daubeches eeos os sos íes para e vaor e s que se caba e a aba IV. U proceeo equvaee a uao e a seccó 4... perría eosrar que abé ahora e íe e esaba sgue seo e so a añar fucoes e wavee saba uérca e res esoes Cuao e probea que se esea resover o pera reaarr gua spfcacó eao a epeeca respeco e agua cooreaa ebeos uar as ses ecuacoes escaares e Mawe 3-. Coo se vo e e aparao 3.4 e capíuo aeror a screacó e esas ecuacoes uao fucoes puso e a varabe epora fucoes e escaa e ve e as varabes espacaes os eva a sguee couo e ecuacoes:

153 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO 49 µ µ µ ε ε ε esuo e a esaba e agoro forao a parr e esas ses ecuacoes sgue as sas pauas que os os casos aerores. Para eo e couo e ecuacoes 4-58 se ve e os probeas e auovaores espacaes eporaes. probea e auovaores eporaes a o epeer e a screacó espaca es e so e D D 3D co o cua a cocó e esaba es a epresaa e a ecuacó 4-4: Λ I 4-4 cuao a probea e auovaores espacaes a pesar e raarse e ses ecuacoes se resueve e aera aáoga rouceo e eas u oo e propagacó geérco caracerao por u vecor e oa uérco e copoees ~ ~ ~ coo e cao e a epresó:

154 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO 5 e e e e e e ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 4-59 Operao e so que se ho aeroree se ega a que os vaores propos e a pare espaca so agaros puros se ecuera ero e sguee ervao: I Λ c c c 4-6 oces para garaar a esaba e agoro poeos que oos os auovaores e a pare espaca esé cuos ero e rago e esaba e a pare epora. Para eo es sufcee que e íe superor e os auovaores espacaes ao e 4-6 esé por ebao e vaor áo ao e 4-4. De esa fora obeeos que e creeo epora que garaa a esaba e agoro se ecuera ero e sguee ervao: c 4-6 Defeo e sguee facor e esaba s: c s 4-6 a epresó 4-6 se puee poer coo:

155 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO 5 c s 4-63 para que e agoro sea esabe e vaor que puee oar e facor e esaba s ebe esar ero e os íes ecoaos e a ecuacó 4-8 co o cua para caa fucó e Daubeches eeos os sos posbes vaores que se caba e a aba IV.

156 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO s 4-63 c para que e agoro sea esabe e vaor que puee oar e facor e esaba s ebe esar ero e os íes ecoaos e a ecuacó 4-8 co o cua para caa fucó e Daubeches eeos os sos posbes vaores que se caba e a aba IV CARACTRÍSTICAS D DISPRSIÓN La sasfaccó e os íes e esaba epuesos e e aparao aeror úcaee os asegura que e vaor e a soucó uérca proporcoao por e agoro peraece acoao. La precsó e agoro es oro facor a eer e cuea o vaos a raar a couacó. proceso e screacó reaao para a obecó e as ecuacoes e agoro a ugar a u error e fase e a propagacó e os capos es ecr a veoca e fase aa por e agoro puee ser feree e a veoca e fase e a oa e e eo que eseos coserao seo aeás sa para caa frecueca epeee e a reccó e propagacó. so se cooce coo spersó uérca su aáss se reaa e fora sar a reaao para a esaba uérca oe ahora e obevo es ecorar a reacó que ese ere e úero e oas a frecueca aguar ω e ua oa oocroáca Dspersó uérca e ua esó Coeareos e prer ugar aaao e probea uesoa escro por as ecuacoes 4-. Coo a se ho e e esuo e a esaba oaos coo puo e para e couo e ecuacoes screaas ao e 4-4 5

157 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO 5 oe se ha epeao fucoes e escaa e resoucó para esarroar os capos e e espaco: µ 4-4. ε 4-4. Coseraos eoces a propagacó e u oo uérco arbraro caracerao por os frees e oa oocroácos efos e a sguee ecuacó: e e ω ω ~ ~ 4-64 oe ~ represea e úero e oas e a soucó uérca aa por e agoro es a resoucó espaca e e ve e resoucó. Iroucos as epresoes 4-64 coo soucó e uesro ssea e ecuacoes screaas 4-4 coo resuao obeeos: e e e e e e e e e e e ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω µ ε sas ecuacoes se puee spfcar hasa egar a as sguees epresoes: e e e e e e ~ ~ µ ε ω ω ω ω

158 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO Apcao as eaes e uer eeo e cuea e uevo a propea 4-9 egaos a que a pare rea e esas ecuacoes se aua que a pare agara quea coo sgue: ω se ε ω se µ se se ~ ~ 4-67 A parr e aquí se obee a reacó e spersó uérca e agoro: ω ~ se se c 4-68 que susueo os vaores e por su epresó equvaee aa e 4-3 se puee poer coo: ω ~ se se c 4-69 Teeo e cuea a sguee propea e os coefcees ervavos esuaa e e capíuo se puee coprobar que cuao es u pequeño co respeco a a ogu e oa es ecr para resoucoes aas a reacó aa e 4-69 se reuce a a epresó eórca correspoee a u eo o spersvo: λ R ω ~ c

159 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO so sgfca que a spersó uérca prouca por e agoro poría reucrse e e grao que se esee speee epeao u aao sufceeee fo. cuaquer caso sucee que para caa frecueca ereos u vaor e ~ que epee e a reacó ere a ogu e oa λ. so pca que para señaes co u apo coeo e frecuecas esrá ferees veocaes e fase v ~ f asocaas a caa frecueca o que provocará su sorsó. A esa veoca e fase uérca a efos coo: v~ ω f ~ 4-7 a fgura 4.6 esá represeaa a veoca e fase uérca v ~ f aa por e agoro e fucó e a resoucó espaca para ferees pos e wavees e Daubeches. Se ha escogo u facor e esaba s 5 e aera que e agoro es esabe e oos os casos represeaos. Se puee aprecar cóo a veoca e fase ee haca e vaor correspoee a e u eo o spersvo a ea que auea a resoucó: λ R v~ f c

160 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO Fgura 4.6.: Caracerísca e spersó e agoro veoca e fase e fucó e a resoucó espaca para ferees Wavees D M. vaor e facor e esaba escogo ha so s5. Fgura 4.7.: Deae e a fgura 4.6. e e íe próo a vaor ea v~ f c. 55

161 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO a fgura 4.6 se observa aeás cóo e error e spersó sue a ea que auea e ore M e a fucó wavee D M epeaa es ecr a fereca ere e vaor e a veoca e fase ao por e agoro e vaor eórco correspoee a caso o spersvo es caa ve eor. La fgura 4.7 correspoe a u eae e a fgura 4.6 oe se puee aprecar co cara esa propea. Se observa abé que uao wavees e ore M e error es feror a % cuso para resoucoes u baas e ore e 7 puos por ogu e oa. Para e caso parcuar e e que e esarroo e os capos se reace uao wavees e aar D a reacó e spersó aa e 4-69 se reuce a: ω ~ se se s 4-74 oe s es e facor e esaba efo e 4-6 heos coserao por sece e a oacó s péra e geeraa que. Se observa que para e íe e esaba s e agoro o es spersvo. a fgura 4.8 se ha represeao a veoca e fase uérca v~ ~ f ω free a a resoucó espaca para ferees vaores e facor e esaba s. Se puee coprobar cóo e error e spersó e agoro se reuce a ea que auea a resoucó espaca aeás cóo sue a ea que auea e facor e esaba. Las suacoes correspoees a facores e esaba aores que o poría oearse uao FDTD a que o sería esabes. 56

162 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO Fgura 4.8.: Caracerísca e spersó e agoro uao wavees e aar para ferees vaores e facor e esaba S. Para observar a fereca que ese ere a caracerísca e spersó e agoro correspoee a as ferees wavees e Daubeches se ha suao a propagacó e u puso gaussao e e seo egavo e ee. a fgura 4.9 se ha represeao e vaor e a copoee e capo eécrco e res saes ferees e su propagacó para res pos e wavees D D D 3. Aquí se poe e afeso a fereca ere os errores e spersó e os res esqueas. Se observa que e caso ás spersvo es aque e e que se ha epeao wavees e aar D eras que para as wavees e ore superor e error e spersó se hace práccaee aprecabe. os res casos se ha uao u facor e esaba s 5. 57

163 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO a b c Fgura 4.9.: Dspersó e a propagacó e u puso gaussao uao ferees wavees D M : a D wavees e aar; b D ; c D 3. Las gráfcas correspoe a res saes ferees e a propagacó e puso a o argo e ee e e seo egavo. 58

164 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO sos resuaos se puee coparar co os obeos eae oras éccas coo por eepo FDTD TLM. La reacó e spersó para e éoo FDTD esá aa por a sguee epresó [75]: ~ ω se se s 4-75 oe s es e facor e esaba efo coo s c cuo vaor ebe esar ero e rago < s. A parr e a epresó 4-75 se puee cacuar a veoca e fase uérca aa por e agoro v~ ~ f ω. a fgura 4. se ha represeao esa veoca e fase oraaa e fucó e a resoucó espaca R λ para u facor e esaba s 5. Fgura 4..: Caracerísca e spersó e éoo FDTD para u facor e esaba s5. 59

165 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO esa fgura se puee aprecar e error e a veoca e fase respeco e vaor eórco e eo que quereos oear ~ c. coparacó co a fgura 4.6 se observa que ese error es eor que e que se obee cuao se ua fucoes wavee e aar D pero s ebargo es aor que e obeo cuao se epea fucoes wavee D M co M. v f sas caraceríscas e spersó abé se puee coparar co a correspoee a éoo TLM. éoo TLM-D apcao e eos hoogéeos o presea error e spersó. S por e coraro os veos obgaos a roucr subs para oear as caraceríscas e eo a suar ecesaro cuao se raa e eos o hoogéeos [9] eoces por eepo para ua reacó ere a screacó espaca a epora aa por c 5 a veoca e fase uérca oraaa es a sguee: ~ v f c π λ arcse seπ λ 4-76 a fgura 4. se ha represeao a veoca e fase oraaa epresaa e 4-76 e fucó e a resoucó espaca R λ. ea se puee aprecar que e error e a veoca e fase respeco e vaor eórco e eo que quereos oear ~ c es sar a obeo e uesro esquea MRTD uao v f fucoes wavee D por o ao ese error es aor s o coparaos e as suacoes e as que se epea as wavees D M co M. Se puee cocur por ao que e error e spersó e os esqueas MRTD propuesos uao wavees D M co M es feror a que se obee eae oras éccas habuaes coo FDTD TLM pero o así cuao se epea as fucoes wavee D oe os errores obeos so sares a os proporcoaos por a écca TLM pero aores e coparacó co os obeos eae e éoo FDTD. 6

166 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO Fgura 4..: Caracerísca e spersó e éoo TLM. Toos os resuaos que se presea esá e fucó e a resoucó espaca epresaa e éros e λ/ oe represea a screacó espaca efecva efa e 4-6: 4-6 so quere ecr que e as suacoes oe se epea fucoes e escaa fucoes e wavee couaee para represear os capos a screacó espaca efecva es a que se obee ras su recosruccó. De esa fora s e esarroo e os capos se ha hecho uao fucoes e escaa e ve fucoes e wavee e ve suáeaee a screacó efecva fa será a correspoee a ve e resoucó. 6

167 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO Para coprobar que e error e spersó prouco por e agoro epee e ve e resoucó fa se ha reaao os suacoes e a propagacó e u puso gaussao a o argo e ee uao e u caso fucoes e escaa e oro fucoes e escaa e wavee. a prera e eas se ha coserao u espaco e suacó e 8 se ha screao véoo e puos obeeo ua separacó ere caa uo e eos e 4. Para e esarroo e os capos se ha epeao fucoes e escaa e po D se ha escogo u facor e esaba s co o que e paso e epo obeo ha so 334 ps. a segua suacó se ha epeao fucoes e escaa fucoes e wavee e po D se ha screao e espaco e aera que a recosrur e vaor e os capos se obee as sas cocoes que e a prera suacó. Para eo se ha vo e espaco e suacó e puos obeeo e e ve base ua separacó ere caa uo e eos e 8. Así a recosrur os capos se obee ua resoucó espaca fa e 4 a sa que e a prera suacó. facor e esaba escogo ha so s e aera que abé obeeos e so paso e epo 334 ps. a fgura 4. se ha preseao e resuao e as os suacoes. abas se represea e vaor e a copoee e capo eécrco correspoee a os saes e su propagacó a a erecha se ecuera e puso ca a a quera se ecuera e puso ras eracoes. La fgura 4..a correspoe a a suacó reaaa uao u ve e resoucó co fucoes e escaa a fgura 4..b correspoe a vaor e capo eécrco obeo ras su recosruccó a parr e sus coefcees e escaa e wavee. as os se puee aprecar a sorsó e puso eba a a spersó prouca por e agoro se observa que ese error es e so e abas suacoes a pesar e haberse obeo e fora feree pero co a sa resoucó espaca fa. 6

168 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO a b Fgura 4..: Propagacó e u puso gaussao a o argo e ee. A a erecha se ecuera e puso ca a a quera se observa a sorsó e puso ras eracoes. resuao represeao e a correspoe a ua suacó reaaa uao fucoes e escaa D e resuao represeao e b correspoe a ua suacó reaaa uao fucoes e escaa e wavee D. Co os resuaos e a epresó 4-7 se ha cacuao e error e fase por ogu e oa e fucó e a resoucó espaca aa e ceas por ogu e oa para ferees pos e wavees e Daubeches. so o eeos represeao e a fgura 4.3 oe se ha uao u facor e esaba s 5 e oos os casos. Aguos resuaos uércos reavos a a veoca e fase su error respeco e caso ea ~ c se cue e ua aba separaa V. v f 63

169 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO Fgura 4.3.: rror e fase e graos por ogu e oa uao ferees pos e wavees D M. TABLA V Veoca e fase reava su esvacó respeco e caso ea s 5 v~ f R λ 7 R λ 4 c esvacó v~ f c esvacó D 878-8% % D % 8 8% D 3 5 5% 9 9% D % % D 5 6 6% 4% 64

170 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO A a vsa e os vaores represeaos e a aba V se puee coprobar que para ua resoucó espaca e 7 ceas por ogu e oa λ/7 s se ua wavees e aar D e error e a veoca e fase acaa e 8% o que sgfca que e error e fase por ogu e oa sería e 655º. S se ua wavees D M e ore M> e error e a veoca e fase se súa por ebao e % o cua se raucría e u error e fase por ogu e oa por ebao e os 4º. sos errores se reuce coserabeee a auear a resoucó. Así para u vaor e 4 ceas por ogu e oa λ/4 e error e a veoca e fase uao wavees e aar D sería e 3% o que pca u error e fase feror a º eras que uao wavees D M e ore M superor e error e a veoca e fase es feror a % prouceo u error e fase por ebao e os 7º por ogu e oa. a fgura 4.4 se ha represeao co ás eae e error e fase por ogu e oa e fucó e a resoucó espaca. Aquí se apreca co cara cóo para vaores e resoucó superores a 4 ceas por ogu e oa e óuo e error e fase uao fucoes wavee D M para M o supera os 6º eras que s uaos wavees e aar D e error acaa os º. Fgura 4.4.: Deae e a fgura 4.3 correspoee a error e fase e fucó e a resoucó para ferees pos e wavees e Daubeches D M. 65

171 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO A gua que sucee co a veoca e fase a veoca e grupo uérca aa por e agoro abé epee e a resoucó espaca. sa veoca e grupo uérca se efe coo: v~ ω g ~ 4-77 ~ se puee obeer a parr e a reacó e spersó 4-69 coserao ω ω. De esa fora ferecao a epresó 4-69 respeco e ~ spfcao se obee: ω ω cos ~ c ~ cos 4-78 oe se ha oao s péra e geeraa. A parr e aquí poeos espear a veoca e grupo uérca v ~ g : ω ~ c ~ cos ω cos 4-79 La ecuacó 4-79 es ua epresó geera váa para vaores arbraros e. úco éro acoa ecesaro para evauar esa epresó es e vaor e ~ e cua se obee a parr e a reacó e spersó A gua que suceía co a veoca e fase v ~ f a ea que a resoucó espaca auea a veoca e grupo ee haca e vaor e a veoca e a u correspoee a eo que esaos oeao eso es: λ R v ~ g c

172 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO so cofra a ea e que a soucó uérca se aproa a a soucó eaca a ea que os creeos espaca epora ee a cero. a fgura 4.5 se ha represeao a veoca e grupo uérca v ~ g aa por e agoro e fucó e a resoucó espaca para ferees pos e fucoes e wavee e Daubeches. Se ha escogo u facor e esaba s 5 co e cua os aseguraos que e agoro sea esabe e oos os casos. Se puee aprecar as sas caraceríscas que as observaas para a veoca e fase uérca eso es que e error e a veoca e grupo respeco e vaor eórco es aor cuao se ua wavees D que cuao se ua wavees D M co M. a fgura 4.6 se apreca co ás eae esa caracerísca. Se observa aeás a propea vsa e a ecuacó 4-8 es ecr veos cóo a ea que auea a resoucó espaca a veoca e grupo obea uao cuaquera e os pos e fucó wavee ee haca e vaor eórco v~ g c. Fgura 4:5.: Veoca e grupo oraaa e fucó e a resoucó espaca para u facor e esaba s5. 67

173 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO Fgura 4:6.: Veoca e grupo oraaa para u facor e esaba s5. Deae e a fgura Dspersó uérca e os esoes Aaaos ahora as caraceríscas e spersó e agoro para u probea besoa correspoee a u oo TM. De aera aáoga a coo se ho e e aparao aeror oaos coo puo e para e couo e ecuacoes screaas ao e a epresó 4-46 oe se ha epeao fucoes e escaa e resoucó para esarroar os capos e e espaco: µ µ

174 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO 69 ε Coseraos eoces a propagacó e u oo uérco arbraro caracerao por os frees e oa oocroácos sguees: e e e ω ω ω ~ ~ ~ ~ ~ ~ 4-8 oe ~ ~ ~ represea e úero e oas e a soucó uérca aa por e agoro. Susuos esos frees e a ecuacó 4-46 ras spfcar egaos a as sguees epresoes: e e e e e e e e e e ~ ~ ~ ~ ε µ µ ω ω ω ω ω ω 4-8 Apcao as eaes e uer uo co a propea 4-9 se ega a que a pare rea e as ecuacoes 4-8 se aua a pare agara quea coo sgue: ~ se ~ se se ~ se se ~ se se ε ω µ ω µ ω 4-83 A parr e esas ecuacoes se puee obeer a reacó e spersó uérca e os esoes e uesro agoro:

175 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO 7 ~ se ~ se se c ω 4-84 que abé se puee poer coo: ~ se ~ se se c ω 4-85 oe heos hecho e cabo. S coseraos u aao reguar co a reacó aa e a ecuacó 4-85 abé se reuce a a epresó que correspoe a vaor eórco e u eo o spersvo que quereos oear: ~ ~ c ù λ Dspersó uérca e res esoes u probea geera e propagacó e res esoes e proceeo para evauar as caraceríscas e spersó e agoro es sar a os aerores es ecr sobre as ecuacoes e Mawe screaas uao fucoes e escaa e ve para esarroar os capos e e espaco fucoes puso e e epo: µ µ µ ε

176 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO 7 ε ε roucos u free e oa oocroáco e a fora: F e F ω ξ ~ ~ ~ 4-87 oe ξ F es a copoee ξ e capo eécrco o agéco que caracerao por e vecor e oa ~ ~ ~ ~. oces susueo a epresó 4-87 e a 4-58 poeos ecorar a reacó que ese ere ω ~ que os proporcoa a reacó e spersó e agoro. Proceeo e so oo que se ho e os casos aerores se ega a que a reacó e spersó uérca e uesro agoro para a propagacó e res esoes es a sguee: ~ se ~ se ~ se se c ω 4-88 sa reacó e spersó se puee coparar co a reacó e spersó aaíca correspoee a a propagacó e u eo s péras que vee aa por a epresó: c ω 4-89

177 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO Uao uevaee a propea 4-7 se puee coprobar que a epresó 4-88 se correspoe co a epresó 4-89 e e íe cuao ee a cero o cua pca que a soucó o sufre e efeco e a spersó. so sgfca que a soucó aa por e agoro sería eaca e e íe cuao a resoucó fuera fa resuao que uvaee poíaos esperar a que e ese caso a screacó e espaco-epo ee a íe couo Aáss cuaavo e os esoes Para aaar cuaavaee a epeeca e efeco e a spersó co a screacó coseraos e probea esuao aeroree para u oo TM e os esoes. Para aor cara spca e e aáss e os resuaos vaos a coserar esoes oraaas. Tabé vaos a coserar u aao reguar co ceas cuaraas es ecr u águo e propagacó α e a oa respeco e ee : ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ seα ; cosα Fgura 4.7.: Vecor e oa. coo sgue: ese caso a reacó e spersó uérca epresaa e 4-85 quearía ω se c se ~ ~ seα se cosα 4-9 7

178 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO La ecuacó 4-9 se puee resover e fucó e ~ para ferees vaores e águo e propagacó α uao e éoo eravo e Newo-Raphso. Para aor spca e os cácuos se cosera esoes oraaas haceo ω c π. De esa fora se puee obeer e vaor oraao e a veoca e fase eae a epresó: v~ f π ~ 4-9 c seo ~ e vaor cacuao por e éoo e Newo-Raphso. as fguras 4.8 a 4. se ha represeao e vaor e a veoca e fase oraaa e fucó e águo e propagacó α para ferees resoucoes espacaes para ferees pos e wavees. os res eepos preseaos e facor e esaba se ha fao e s sasfaceo e crero e esaba ao por a epresó 4-57 para oas as wavees epeaas obeeo ua reacó ere a screacó espaca epora e c 5. Nuevaee se observa que os esqueas oe se ha uao wavees D so ás spersvos preseao e aor vaor e cocoraca e propagacó obcua a 45º. error e a veoca e fase respeco a caso o spersvo auea a ea que os separaos e cho águo sue coo cabía esperar a auear a resoucó espaca. Para e reso e wavees D M co M se observa ua eor fueca respeco e águo e propagacó aeéose a veoca e fase práccaee cosae para oos os águos. sa fueca es aor e resoucoes baas oe se apreca ua varacó áa respeco a vaor o spersvo por ebao e % eras que e resoucoes ás aas esa varacó o supera e %. 73

179 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO Fgura 4.8.: Varacó e a veoca e fase uérca co e águo e propagacó para ferees wav ees. facor e esaba es s 7. Fgura 4.9.: Varacó e a veoca e fase uérca co e águo e propagacó para ua resoucó e ceas por ogu e oa. facor e esaba es s 7. 74

180 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO Fgura 4..: Varacó e a veoca e fase uérca co e águo e propagacó para ua resoucó e 4 ceas por ogu e oa. facor e esaba es s 7. as fguras se ha represeao a varacó e a veoca e fase co a resoucó espaca para e caso e propagacó obcua a α45º. Aguos resuaos uércos reavos a a veoca e fase su esvacó respeco e caso ea ~ c se cue e ua aba separaa VI. v f TABLA VI Veoca e fase oraaa e propagacó obcua a α45º R 7 R R 5 ~ c esvacó ~ c esvacó c v f v f ~ esvacó D % % % D 999 -% 8 8% 7 7% D % 9 9% 8 8% D % % 9 9% D 5 % % % v f 75

181 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO oos os casos se ha seguo aeeo u facor e esaba s para garaar a esaba e oos os esqueas epeeeee e po e fucó wavee epeao. a fgura 4. se observa que uao wavees e aar D a veoca e fase auea progresvaee eeo haca e vaor ea ~ c a ea que auea a resoucó. S ebargo s se ua wavees v f D M e ore superor M se puee aprecar que a parr e vaores e resoucó e 8 ceas por ogu e oa λ/8 a veoca e fase o presea apeas varacó aeéose e oo caso ero e u arge e error feror a % respeco a vaor ea. so se puee ver co eae e a fgura 4.. so sgfca que para resoucoes baas λ/<8 e error e fase obeo uao wavees e aar D acaa os 3º por ogu e oa eras que co wavees D M e ore M superor ese error e fase se súa por ebao e os 3º por ogu e oa. se error e fase sue a auear a resoucó egao a vaores ferores a os 5º por ogu e oa e e caso e uar wavees e aar por ebao e 5º por ogu e oa s uaos wavees e ore superor. Poeos observar ese resuao e as fguras Fgura 4..: Varacó e a veoca e fase co a resoucó espaca para u águo e propagacó e a45º. facor e esaba es s 7. 76

182 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO Fgura 4..: Deae e a fgura 4. e e que se observa a veoca e fase uérca aa por e agoro uao wavees D M e ore M. Fgura 4.3.: rror e fase e e caso e propagacó obcua ao e graos por ogu e oa free a a resoucó espaca uao ferees pos e wavees. 77

183 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO Fgura 4.4.: Deae e a fgura 4.3 e e que se apreca e error e fase e graos por ogu e oa uao wavees D M e ore M. sos resuaos abé se puee coparar co os obeos eae as éccas FDTD TLM. La reacó e spersó para e éoo FDTD e D esá aa por a sguee epresó [75]: se c ω se ~ ~ se 4-9 oe abé heos coserao u aao reguar co ceas cuaraas es ecr. A parr e a epresó 4-9 coserao u águo e propagacó ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ co seα cosα α e a oa respeco e ee es ecr 78

184 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO se puee cacuar a veoca e fase e fucó e a resoucó espaca para ferees águos e propagacó. a fgura 4.5 se ha represeao para ferees vaores e a resoucó espaca a veoca e fase oraaa e fucó e águo e propagacó para ua reacó ere a screacó espaca epora e c 5. Se puee aprecar cóo e error e a veoca e fase respeco e vaor eórco ~ c varía co e águo e propagacó acaao su vaor ío para ua propagacó obcua a 45º seo esa varacó es eos acusaa a ea que auea a resoucó espaca. so úo abé se puee ver e a fgura 4.6 oe se ha represeao a veoca e fase oraaa e fucó e a resoucó espaca para u águo e propagacó obcua a 45º. Veos por o ao que as caraceríscas e spersó e éoo FDTD so sares a as e éoo MRTD cuao se epea wavees D pero presea u error e spersó aor a copararo co e éoo MRTD epeao wavees D M co M. v f Fgura 4.5.: Veoca e fase uérca oraaa e fucó e águo e propagacó a e graos para res resoucoes espacaes ferees obea eae e éoo FDTD. 79

185 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO Fgura 4.6.: Veoca e fase uérca oraaa e fucó e a resoucó espaca para u águo e propagacó a e 45º obea eae e éoo FDTD. sas caraceríscas e spersó abé se puee coparar co a correspoee a éoo TLM e D. ese éoo para ua reacó ere a screacó espaca a epora aa por c a veoca e fase uérca oraaa para ua propagacó a o argo e uo e os ees propagacó aa es a sguee [9]: v~ π f λ 4-93 c arcse seπ λ eras que para ua propagacó agoa α 45º se ee que a veoca e fase es: 8

186 CARACTRÍSTICAS NUMÉRICAS DL ALGORITMO v~ f c 4-94 a fgura 4.7 se ha represeao a veoca e fase oraaa e fucó e a resoucó espaca R λ para os ferees águos e propagacó. La oa coprea ere a curva e propagacó aa a curva e propagacó agoa correspoe a vaor e a veoca e fase para u águo e propagacó arbraro oe se observa su eeca haca e vaor eórco a ea que auea a resoucó espaca. Se puee cocur uevaee que os errores e spersó e os esqueas MRTD propuesos uao wavees D M co M so ferores a os obeos eae oras éccas habuaes coo FDTD TLM. Fgura 4.7.: Veoca e fase uérca oraaa e fucó e a resoucó espaca para ferees águos e propagacó obea eae e éoo TLM. 8

187 Capíuo V RSULTADOS

188 RSULTADOS 5..- INTRODUCCIÓN Co e f e vaar os agoros propuesos se ha aaao versas esrucuras coo guías e oa resoaores se ha corasao ceros paráeros caraceríscos e as sas obeos a parr e a suacó co os vaores aaícos s so coocos co os obeos eae oras éccas coo TLM [9] FDTD [75] aar-mrtd [6]. Los eepos aaaos esá vos e res grupos referees a probeas uesoaes besoaes resoaes respecvaee. Coo eepos uesoaes se va a aaar a propagacó e u puso gaussao co ferees cocoes e os cooros e oo e suacó PC PMC PML así coo e cácuo e as frecuecas e resoaca e u resoaor uesoa. os esoes os eepos coseraos será e cácuo e as frecuecas e core e u guía recaguar a obecó e os paráeros e scaerg e ua uó T. Tabé se aaa a propagacó e u oo T e e eror e ua guía recaguar WR8. res esoes os resuaos preseaos se correspoe co e aáss e sas cavaes resoaes vacías cargaas co ferees eécrcos abé se esua a propagacó e e eror e ua guía recaguar WR9. Aes e presear os eepos e suacó se va a reaar u aáss eaao correspoee a a fora e roucr a ecacó eecroagéca ero e a esrucura e esuo que es u puo cave a a hora e obeer resuaos apropaos ras a suacó. 85

189 RSULTADOS 5..- XCITACIÓN DL CAMPO Uo e os puos fuaeaes a a hora e evar a cabo ua suacó es a fora e roucr aecuaaee a ecacó e a oa eecroagéca ero e a esrucura que quereos aaar. La eeccó e ua ecacó aecuaa esá fuereee cocoaa a po e probea que se preea resover. parcuar ha que sgur ere os requereos que ebe cupr as ecacoes apropaas para reaar suacoes e e espaco bre as uaas e suacoes e sposvos e propagacó guaa. U oo e roucr ua ecacó e a esrucura cosse e paear a sa e fora e cocoes caes o uas. ese po e ecacó rouco e 966 por Yee [88] a oa cee se aproa coo ua cocó ca para caa copoee e capo eécrco agéco e caa uo e os puos e aao. sgo a apu ca e caa copoee e capo se ege e acuero co a poaracó a reccó eseaas para a oa. U facor porae a eer e cuea a apcar ese po e cocó ca es e esfase epora esee ere as copoees e capo eécrco agéco. Co ese po e ecacó e ecesvo aaño e a aa ecesaro para geerar señaes e arga uracó o fuees arócas hace esacoseabe su uso e uerosas ocasoes seo e ua e probeas u específcos fuaeaee uesoaes. Para soucoar ese probea es eseabe que a oa cee sea geeraa úcaee e aguos puos e a aa e rouceo a seña a o argo e epo. so se cosgue epeao ua fuee ea que cosse e asgar ua fucó epora cocrea a ceras copoees e capo eécrco o agéco e ua oa eeraa e a aa. prcpo es posbe roucr coo ecacó ua fora e oa arbrara esuar su evoucó espaco-epora por a esrucura. S ebargo s a esrucura o represea u eo bre so que se preee aaar ua oa guaa puee ser eresae hacer u esuo e os ferees oos esees aáss oa. Así 86

190 RSULTADOS ao que a seña que se propaga se puee epresar coo ua cobacó e oos es porae poer coroar os oos a ecar abé que o haa copoees frecuecaes por ebao e core e oo ecao. esos casos ao que e ssea guao puee soporar ferees oos propagaes co su propa srbucó espaca e os capos eécrco agéco sucee que a roucr a ecacó se puee geerar e fora vouara oos o eseaos fcuar e aáss e os oos e erés. aguas esrucuras coo e as guías e oa recaguares se cooce aaícaee e paró rasversa o que pere hacer correspoer a ecacó co e oo oae s ecar oos superores que se propague roucr eergía reacva asocaa a oos evaescees. a fgura 5. se uesra a varacó apropaa e capo eécrco e e pao rasversa para ecar e oo T e ua guía recaguar. Fgura 5..: Varacó e e pao rasversa e capo eécrco e ua guía e oa recaguar para e oo T Así coo a srbucó e capo eecroagéco e e pao rasversa e a ecacó es resposabe e os sos oos proucos e a esrucura a varacó epora e a ecacó es a que fa as copoees e frecueca. Se puee roucr por eepo ua fuee e voae que eca ua oa oocroáca e frecueca ω asgao a ua e as copoees e capo eécrco ua varacó susoa coua e e epo: fuee se ω 5-87

191 RSULTADOS so pere rascurro cero peroo e epo para que se puea coserar que se ha acaao e esao esacoaro cacuar os paráeros e a esrucura reacoaos co esa frecueca ω. S ebargo s se esea obeer as caraceríscas para u especro ás apo e frecuecas se puee coocer cho coporaeo frecueca a parr e esuo e su respuesa rasora. so es coo u puso e ea coee oas as frecuecas se poría esuar e oo e rago requero e ua ve. S ebargo es coveee eer e cuea que e os sposvos que presea e feóeo e frecueca e core s e especro e a ecacó coee frecuecas por ebao e ésa se va a geerar eergía reacva asocaa a os oos o propagaes e a veca e a fuee auque abé ha que señaar que ebo a as caraceríscas e spersó e éoo que vos e e capíuo 4 o covee apoco que a seña ega copoees e frecueca u aa. S o que os eresa es esuar u oo e cocreo eso os obgaría a separar a fuee e a oa e esuo para que se prouca a aeuacó copea e esos capos reacvos aes e acaar cha oa. Aeás ebo a a auraea spersva e os sposvos e guao e oa as ferees copoees frecuecaes se propaga a veocaes sas o que puee obgar a proogar e epo e suacó cuao a ecacó coee señaes co frecuecas u cercaas a as e core que se propaga u eaee. as suacoes e as que o ese frecueca e core es habua epear ua seña cuo especro se eea hasa u cero vaor ω s. so se cosgue uao coo ecacó u puso gaussao co acho e baa fo: fuee ep α 5-. ω α 5-. seo ω e acho e baa. as suacoes e as que se quera evar cero vaor e core o que se esea es que e especro e frecuecas esé ero e rago e propagacó. ese caso se ua ua fucó gaussaa ouaa a a frecueca cera e erés ω : 88

192 RSULTADOS fuee ep cos ω 5-3. α ω ω ω 5-3. α α as fguras se ha represeao os os pos e ecacó aes ecoaos co sus respecvos especros e frecueca aos por su rasforaa e Fourer. sos os eepos represeaos pereece a caso e e que a ecacó se rouce a o argo e u epo fo. sa es ua suacó ea a que o es posbe reaar ua suacó urae u úero fo e eracoes e u ervao couo. Lo que sucee e reaa es que roucos a ecacó urae u epo eerao. se rucaeo e e oo e epo hace que os especros e frecueca se vea aeraos eeéose ás aá e as oas e erés. efeco e rucaeo sobre e coporaeo ea es ás acusao cuao eor sea e epo urae e que se rouce a ecacó. Fgura 5..: cacó Gaussaa a su especro e frecueca b 89

193 RSULTADOS Fgura 5.3.: cacó Gaussaa ouaa a su especro e frecueca b Para evar e a ea e o posbe ese efeco e obevo es roucr señaes eporaes que ecreca o sufceeee rápo coo para que e ugar a u especro que se aue práccaee fuera e rago e erés aú cuao se rouca urae u úero fo e pasos. a fgura 5.4.a esá represeaa ua ecacó gaussaa rouca e a esrucura urae u peroo e epo ao T e a fgura 5.4.b veos su correspoee especro e frecueca. Se observa cóo e rucaeo provoca u aueo e a eesó e rago e frecuecas pero aú así a pare ás sgfcava e so se sgue aeeo ero e so rago que e e caso ea. so hace e a ecacó gaussaa ua buea eeccó para reaar as suacoes e baa acha. 9

194 RSULTADOS Fgura 5.4.: Fucó gaussaa upcaa por ua veaa recaguar e achura T a su especro e frecueca ao por a Trasforaa e Fourer b. Para señar a ecacó aecuaa ebeos ausar os paráeros α ω. vaor ω se fa coo e vaor cera e a frecueca e uesro erés α se fa o sufceeee grae coo para que e especro ecaga rápaee pero abé sufceeee pequeño coo para que haa ua copoee sgfcava e seña e os ereos e a baa. vaor e rearo se ebe escoger o sufceeee grae coo para que a seña se rouca suaveee e a esrucura pero por ora pare ebe ser o sufceeee pequeño coo para que e epo e suacó o se aargue ecesvaee. Coo aua para a eeccó e rearo se puee cacuar e vaor h co a que coea a ecacó a roucrse e a esrucura e fucó e α e vaor áo e a ecacó para sos vaores e : α h e 5-4 Despeao e vaor e e a epresó 5-4 se obee: α 5-5 h 9

195 RSULTADOS De ese oo ua ve fao e vaor e α e vaor e reraso se escoge e acuero co e cocee ere h. Por eepo se puee oar coo vaor ca e h a ceésa pare e vaor áo eso es h. Las ecacoes ae ua foruacó aerava e a que sóo ervee paráeros aesoaes que se erprea coo pasos eporaes. Para eo se efe: α 5-6. α De esa fora as ecuacoes se reescrbe coo: ep 5-7 α ep cos ω α 5-8 e a epresó 5-5 obeeos e vaor e e fucó e α e cocee h : α 5-9 h Por eepo s oaos coo vaor ca h e vaor aproao que se obee para es α. Ua ve escoga a ecacó ebeos ofcar e agoro para cosegur roucra ero e a esrucura. Ua fora cosse e hacer que a ecacó fe os vaores e capo e a poscó oe se ecuera a fuee. so geera ua oa uérca co a epeeca epora eega que se propaga sércaee ero e a esrucura pareo e a poscó e a fuee. prcpo es ecesaro aeer 9

196 RSULTADOS e proceso eravo epora e aera couaa hasa acaar e esao esacoaro e caso e ua fuee oocroáca. Durae ese epo pare e a seña ecaa puee verse refeaa e uevo haca a poscó e a fuee. S eso sucee ao que os vaores e capo e a poscó e a fuee esá faos por a ecacó a seña voverá a refearse e fora eseaa fuee e peaca cero. Ua aera e evar esa refeó acoa cosse e apagar a fuee eso es ear a fuee e agoro ua ve que e vaor e a ecacó ha ecaío hasa u vaor esprecabe vover a corporar esos puos a agoro. se éoo presea e coveee e eer que aargar e oo e copuacó para separar a fuee e as preras scouaes aeás e o poerse apcar a as ecacoes e uracó fa coo por eepo a susoa. La fora ás efcee e soucoar esos probeas cosse e apcar e prcpo e superposcó a os puos suaos e a fuee. so sgfca que e vaor e capo e a poscó e a fuee se cacua apcao e agoro e fora ora suao e esos puos a corbucó e a ecacó: r r r fuee agoro fuee ecacó fuee 5- U puo porae e o que se refere a a rouccó e a ecacó ero e agoro se refere a su suacó espaca. A fereca e oras éccas FDTD TLM... e as que a fuee se puee ocaar e u úco puo e a aa co uesro esquea MRTD covee suar a fuee srbua ere varos oos e a aa e fora que su rouccó e e espaco sea suave. so sgfca que e a epresó 5- e éro r fuee o se refere a u sóo puo so a oos os puos que se cosera e a fuee. De esa fora a ecacó se puee escopoer e os caraceríscas ua epora ora espaca: r r cacó fuee cacó * cacó 5-93

197 RSULTADOS La caracerísca epora verá eeraa por as cocoes epuesas aeroree e o que se refere a su coeo e frecueca. cuao a a pare espaca e uesras suacoes vaos a coserar para que a rouccó sea suave que a fuee esá caraceraa por ua fucó seo cuarao. as suacoes e que heos uao oos e os res esoes a ecacó se ebe roucr abé e a sa fora. esos casos puee que e agua o e oas as cooreaas a srbucó espaca e capo esé a eeraa por e po e propagacó que quereos reaar coo por eepo e ua guía recaguar oe os eresa esuar e oo fuaea. esas suacoes a srbucó espaca e fora e seo cuarao sóo afecaría a as cooreaas que esé s eerar. De ese oo a srbucó e a ecacó a o argo e ua soa cooreaa por eepo será a sguee: se e e π 5-. a srbucó e a ecacó e u pao por eepo XZ será a sguee: e e se π se π 5-. a fgura 5.5 eeos represeaa ua srbucó espaca e eo seo cuarao para a fuee e ua suacó uesoa. a fgura 5.6. eeos a correspoee srbucó espaca para ua suacó e os esoes e a que gua e as os cooreaas esá eeraa e aeao por u paró caracerísco. Sobre esos puos e aao que pereece a a poscó e a fuee se ebe apcar a caracerísca epora esuaa aeroree a coo se caba e a epresó

198 RSULTADOS Fgura 5.5.: Dsrbucó espaca e a fuee para ua suacó D Fgura 5.6.: Dsrbucó espaca e a fuee e ua suacó D cacó e ua esó Cosereos u probea e e que os capos varía úcaee a o argo e ee. S esaos rabaao co u ve e resoucó e uesro agoro sóo ecesareos uar fucoes e escaa para escrbr a srbucó espaca e os 95

199 RSULTADOS capos. esa suacó e e supueso e que eseos ecao e capo eécrco co ua varacó epora aa por g e esarroo e cha ecacó se epresa coo sgue: e e g 5-3 oe e represea e vaor e coefcee e escaa e a poscó e e sae e epo g represea e vaor e g e cho sae e epo seo a screacó espaca epora respecvaee. Debo a que os coefcees e escaa represea e vaor rea e os capos a ecacó e esos coefcees se reaa asgáoes e vaor correspoee a a srbucó espaca escra e a ecuacó 5-.: e e se π g 5-4 oces e agoro ofcao para cur a ecacó quea e a sguee fora: [ ] [ ] [ ] [ ] µ 5-5. [ ] [ ] [ ] [ ] [ e ] 5-5. ε S aeás e as fucoes e escaa uaos fucoes e wavee para esarroar os capos e e espaco es ecr aueaos e ve e resoucó a ecacó se ebe epresar uao sus correspoees coefcees e escaa e wavee e a sguee fora: e e e g

200 RSULTADOS oe e e represea e vaor e os coefcees e escaa e wavee respecvaee e a poscó e e sae e epo. Para obeer os coefcees e ese esarroo que a ugar a a ecacó e capo se ua a Trasforaa Dscrea e Wavees DWT escra e e capíuo. De esa fora eeo e cuea que es e ve e resoucó que quereos acaar que e represea e vaor rea e a ecacó e ese ve os coefcees e e se cacua coo se ca e a fgura 5.7: Fgura 5.7.: Obecó e os coefcees e escaa e f e wavee e e ve a parr e os coefcees e e ve eae a Trasforaa Dscrea e Wavees DWT. S a ecacó que roucos ee ua srbucó espaca co fora e seo cuarao coo se represeaba e a fgura 5.5 su escoposcó e éros e fucoes e escaa e wavee esaría represeaa e a fora osraa e a fgura 5.8. Fgura 5.8.: Descoposcó e a ecacó e éros e escaa f e wavee. 97

201 RSULTADOS 98 oces e agoro ofcao para cur a ecacó quea e a sguee fora: α β γ µ 5-7. e e α β γ ε 5-7. S aaaos a fgura 5.8 se puee observar a fereca e agu que ese ere os coefcees e escaa os coefcees e wavee. so se puee aprecar co cara e a fgura 5.9: Fgura 5.9.: Represeacó a ferees escaas e os éros e escaa f a e wavee b e a ecacó cacó e os esoes Para os probeas e os res esoes se puee hacer u esuo e a ecacó sar a que acabaos e ver e ua esó. S coseraos ua suacó e a que os capos varía úcaee e e pao XZ a ecacó uaa se puee escrbr e éros geeraes eae a sguee epresó: * g e e 5-8

202 RSULTADOS S esaos rabaao co u úco ve e resoucó e uesro agoro sóo ecesareos fucoes e escaa para escrbr a srbucó espaca e os capos o so sucee co a ecacó. De esa fora e esarroo e a ecacó e éros e fucoes e escaa es e sguee: e e g 5-9 oe e represea e vaor e coefcee e escaa e a poscó e e sae e epo seo a screacó espaca e e ee e e ee respecvaee a screacó epora. S a ecacó que roucos ee ua srbucó espaca co fora e seo cuarao e as os cooreaas espacaes coo se represeaba e a fgura 5.6 e vaor e os coefcees e escaa esará ao por a sguee epresó: e e se π se g π 5- oces s eseaos escrbr a propagacó e u oo TM e e pao XZ e agoro que ebeos uar coveeeee ofcao para cur a ecacó es e escro por as sguees ecuacoes: [ ] [ ] [ ] µ [ ] [ ] [ ] µ [ ] [ ] [ ] [ ] [ e ] ε S aueaos e u ve a resoucó e probea e esarroo espaca e os capos se reaará cobao fucoes e escaa e wavee e as os cooreaas. oces a ecacó se ebe epresar uao sus correspoees coefcees e escaa e wavee e a sguee fora: 99

203 RSULTADOS g e e e e e 5- Para obeer os coefcees e ese esarroo se ua a Trasforaa Dscrea e Wavees e os esoes DWT D e a fora escra e e capíuo. De so oo que e e caso aeror eeo e cuea que es e ve e resoucó que quereos acaar que e represea e vaor rea e a ecacó e ese ve os coefcees e escaa e wavee e esarroo se cacua coo se ca e a fgura 5.: Fgura 5..: Descoposcó e éros e os coefcees e escaa e wavee e a ecacó e ve eae a Trasforaa Dscrea e Wavees e os esoes DWT D. S a ecacó que roucos ee ua srbucó espaca co fora e seo cuarao e as os cooreaas espacaes coo se represeaba e a fgura 5.6 su escoposcó e éros e fucoes e escaa e wavee será coo a osraa e as fguras

204 RSULTADOS Fgura 5..: Descoposcó e a ecacó e os esoes e éros e escaa e wavee. Fgura 5..: Represeacó a ferees escaas e a escoposcó e éros e escaa e wavee e a ecacó e os esoes.

205 RSULTADOS APLICACIÓN D LA TÉCNICA MRTD D Coo eepos e apcacó e a écca e ua esó se ha reaao varas suacoes aaao a propagacó e u puso gaussao e u oo co ferees cocoes e cooro abé se ha cacuao as frecuecas e resoaca e u resoaor uesoa co parees eécrcas e os os ereos Propagacó e u puso gaussao Coeaos esuao a propagacó e e vacío e ua oa paa TM co poaracó ea e copoees a o argo e ee coo se ca e a fgura 5.3. Fgura 5.3.: Propagacó e e vacío e ua oa paa TM e copoees a o argo e ee. La suacó se ha reaao coserao u oo e e ogu uao os vees e resoucó es ecr uao fucoes e escaa e wavee e prer ore para esarroar os capos e e espaco. La screacó e e ve base se reaa veo e espaco e suacó e 5 ceas o que a ugar a ua resoucó base e. esas cocoes ua ve recosruos os capos se oberá puos e uesreo co ua separacó ere caa uo e eos e.

206 RSULTADOS Dao que esaos epeao os vees e resoucó a ecacó se esarroará uao fucoes e escaa e wavee e a fora caa e a ecuacó 5-6. Coo caracerísca epora e a ecacó coseraos u puso gaussao coo e e a epresó 5-. co ua achura α 6 u rearo oe es a screacó epora aa por s 5-3 c seo s e facor e esaba cuo vaor se escoge epeeo e po e fucó wavee epeao. La srbucó espaca e a ecacó correspoe a eo seo cuarao coo e e a epresó 5-. ocaao e e cero e oo e suacó co ua achura e. Los coefcees e escaa e wavee e esa srbucó se cacua eae a Trasforaa Dscrea e Wavees e a fora caa e a fgura 5.4: Fgura 5.4.: Cácuo e os coefcees e escaa e wavee e a ecacó. 3

207 RSULTADOS Parees écrcas PC Coo cocó e cooro e uesro oo e suacó vaos a coserar e prer ugar os parees eécrcas PC suaas e os ereos e oo e suacó. Sobre a pare e u coucor eécrco perfeco se verfca as epresoes 3-8 que pca cera sería sobre as copoees oraes agecaes e capo eecroagéco. uesro caso ao e capo eécrco coo e capo agéco so agecaes a a pare eécrca co o cua e capo eécrco presea ua sería par e capo agéco ua sería par. so o eeos represeao e a fgura 5.5 oe se puee aprecar a sería apcaa a abos aos e a pare. cácuo e os coefcees ecesaros para apcar esas cocoes e sería se reaa e acuero co o epresao e a aba III e aparao 3.5. Fgura 5.5.: Cocoes e cooro e ua pare eécrca: Sería par para e capo eécrco sería par para e capo agéco agecaes a a pare. a fgura 5.6 se ha represeao e vaor e capo eécrco a o argo e oo e suacó e ferees saes e epo. cácuo se ha reaao uao fucoes wavee e po D wavees e aar escogeo u facor e esaba s. De esa fora e paso epora eerao por a epresó 5-3 es gua a 334 ps. esa fgura se puee ver cóo a ecacó rouca a ugar a os pusos que se propaga e seos opuesos cóo a cr sobre a pare eécrca a copoee caba e seo ras su refeó. 4

208 RSULTADOS a b c Fgura 5.6.: Capo eécrco e V/ e u puso gaussao propagáose e u eo co parees eécrcas PC e os ereos. puso ca a se separa e os pusos que se propaga e seos opuesos b que ce sobre as parees eécrcas c se refea preseao u cabo e seo. 5

209 RSULTADOS Parees Magécas PMC seguo ugar heos repeo e esquea aeror coserao coo cocoes e cooro os parees agécas PMC suaas e os ereos e oo e suacó. Ahora sobre a pare e u coucor agéco perfeco se verfca as epresoes 3-8 que pca cera sería sobre as copoees e capo eecroagéco. ese caso ao que ao e capo eécrco coo e capo agéco so agecaes a a pare eécrca e capo eécrco preseará ua sería par e capo agéco ua sería par coo se uesra e a fgura 5.7. Fgura 5.7.: Cocoes e cooro sobre ua pare agéca: Sería par para e capo eécrco sería par para e capo agéco abos agecaes a a pare. a fgura 5.8 se ha represeao uevaee e vaor e capo eécrco a o argo e oo e suacó e ferees saes e epo uao fucoes wavee e po D escogeo u facor e esaba s. De esa fora obeeos e so paso epora que e a suacó aeror es ecr 334 ps. esa fgura se puee ver cóo a ecacó rouca prouce os pusos que se propaga e seos opuesos pero ahora ras cr sobre a pare agéca o se prouce gú cabo e seo e a copoee. 6

210 RSULTADOS a b c Fgura 5.8.: Capo eécrco e V/ e u puso gaussao propagáose e u eo co parees agécas PMC e os ereos. puso ca a se separa e os pusos que se propaga e seos opuesos b que ce sobre as parees agécas c se refea. 7

211 RSULTADOS Cocoes Absorbees PML ercer ugar heos coserao u oo e suacó co cocoes absorbees PML [6] e os ereos. Se ha oao u espesor e a oa PML e δ equvaees a 5. perf uao para oear a coucva es u perf parabóco e a fora: σ σ a 5-4 δ oe e vaor e a coucva agéca σ * se cacua a parr e σ e aera que se cupa a reacó: σ ε * 5-5 σ µ co e f e que o se prouca refeó e a froera ere e eo PML e oo e suacó. vaor áo e a coucva σ a se eera a parr e facor o coefcee e refeó R ao por: δ σ aδ R ep σ a ep ε c c 3ε 5-6 Despeao e esa epresó obeeos e vaor áo e a coucva σ a e fucó e os paráeros δ R que haaos fao: σ a 3ε c R 5-7 δ Fao u facor e refeó e R -4 obeeos e uesro caso u vaor e coucva áa e 3667 Ω - -. Dao que e esarroo e os capos se ha 8

212 RSULTADOS 9 reaao epeao fucoes e escaa e wavee ero e a oa PML e agoro esará escro por as sguees ecuacoes: * * * * * * * * α β γ α β γ α β γ σ σ σ σ σ σ σ σ 5-8. α β γ α β γ α β γ σ σ σ σ σ σ σ σ 5.8. cácuo e as arces co as coucvaes se reaa a ravés e a Trasforaa Dscrea e Wavees e os esoes coo se ca e a fgura 5.9. oces sobre a ar agoa [s] cuos eeeos se obee a parr e as epresoes 3-7 se apca a DWT sobre as fas poseroree sobre as couas obeeo coo resuao as cuaro arces [ σ] [ α σ] [ β σ] [ γ σ]. Fgura 5.9.: Cácuo e as arces e as coucvaes eae a Trasforaa Dscrea e Wavees e os esoes. a fgura 5. se ha represeao e vaor e capo eécrco a o argo e oo e suacó e ferees saes e epo uao fucoes wavee e po D 3 escogeo u facor e esaba s co o que se obee u paso epora e 334 ps.

213 RSULTADOS a b c Fgura 5..: Capo eécrco e V/ e u puso gaussao propagáose e u eo co cocoes absorbees PML e os ereos. puso ca a se separa e os pusos que se propaga e seos opuesos b peerao e e eo PML c seo absorbos.

214 RSULTADOS esa fgura se puee ver cóo a ecacó rouca se ve e os pusos que se propaga e seos opuesos cóo se va aeuao a ea que peera e a oa PML seo absorbos por copeo a cabo e uas eracoes ás. Para verfcar a efcaca e as cocoes absorbees PML vaos a cacuar e vaor e coefcee e refeó S para ferees espesores e a oa PML para ferees pos e fucó wavee. Las cocoes e a suacó so as sas que as escras hasa ahora es ecr coseraos os vees e resoucó co ua screacó espaca base e seo a resoucó fa ras a recosruccó e os capos e. Los pos e fucó wavee coseraos ha so D D D 3 escogeo u facor e esaba s co o que se obee u paso e epo e 334 ps. La srbucó espaca e a ecacó correspoe a eo seo cuarao co ua achura e eras que su caracerísca epora correspoe a ua gaussaa e achura α 6 o que pca u acho e baa e aproaaee 5G co u reraso e. Los espesores e a oa PML que se ha oao ha so δ 5 δ δ 5 e vaor e coefcee e refeó uao e as suacoes ha so R -4. De esa fora para u espesor e δ 5 a coucva áa es σ a 367 Ω - para δ es σ a 83 Ω - para δ 5 se ee σ a Ω -. Para cacuar e coefcee e refeó S suaos u puo e eraccó a ua saca e e a oa PML fgura 5.. Necesaos aeás ua seña e refereca que correspoa a ua suacó e refeó ua para o cua reaaos ua prera suacó coserao u oo o sufceeee argo coo para que o se prouca gua refeó urae e epo que ura a suacó. Ua ve obea esa seña e refereca reaaos as suacoes uao os res espesores sos.

215 RSULTADOS Fgura 5..: squea e a suacó para e cácuo e S. a fgura 5. se ha represeao e vaor e paráero S e B e fucó e a frecueca para u espesor e δ 5. Para as fucoes D se observa u vaor e paráero S feror a 3B eras que para as wavees D D 3 se ega a vaores por ebao e 44 B 5 B respecvaee. La fgura 5.3 correspoe a a varacó e paráero S para u espesor e δ. ea se puee aprecar vaores por ebao e 55 B e os res casos egao a uos vaores íos ferores a 8 B. Faee e a fgura 5.4 se ha represeao e vaor e paráero S e fucó e a frecueca para u espesor e δ 5. Se observa que e vaor e S se ecuera por ebao e os 7B cuao se ua as wavees D preseao u ío sobre os 3 G cercao a B eras que para as wavees D D 3 e paráero S se súa por ebao e os 56B acaao vaores íos e 8B. Veos que e coporaeo e a oa PML es eor cuao se ua as wavees e aar D co espesores graes eras que para espesores pequeños ese coporaeo es eor co e reso e wavees. Aeás se observa que cuso para espesores e a oa PML u pequeños 5 se obee vaores u baos e facor e refeó S.

216 RSULTADOS Fgura 5..: Coefcee e refeó S para u espesor e a oa PML e 5D. Fgura 5.3.: Coefcee e refeó S para u espesor e a oa PML e D. 3

217 RSULTADOS Fgura 5.4.: Coefcee e refeó S para u espesor e a oa PML e 5D Resoaor uesoa Coo vaacó e esquea uesoa abé se ha cacuao as frecuecas e resoaca e u resoaor uesoa co parees coucoras PC e os ereos coo e represeao e a fgura 5.5. Fgura 5.5: Resoaor uesoa. Para eo se ha vo e espaco e suacó e ceas se ha coserao u úco ve e resoucó co o que a screacó espaca resuae es. cácuo se ha reaao uao res pos sos e 4

218 RSULTADOS wavees D D D 3 oao coo facor e esaba s co e cua os res esqueas epeaos cupe e crero e esaba. De esa fora e ervao epora obeo a far esos paráeros ha so e 334 ps. Coo ecacó se rouce u puso gaussao co ua srbucó espaca e fora e seo cuarao coo a epresaa e a ecuacó 5. oe 4 co ua caracerísca epora que os pera eraer foracó e u apo rago e frecuecas que e uesro caso ha so ua gaussaa co u acho α 6 o que pca u acho e baa e aproaaee 5 G u rearo e. Se ea evoucoar e ssea urae N496 eracoes se erae uesras e capo eécrco e u puo arbraro e e cua ega u vaor o uo para os preros oos e resoaca urae oa a suacó. Co os aos aaceaos correspoees a a varacó e capo eécrco urae e epo e suacó aaaos su coeo especra apcao ua Trasforaa Rápa e Fourer. La resoucó e frecueca obea esá eeraa por os paráeros que heos fao e a suacó seo gua a f /N 738 M. a fgura 5.6 se ha represeao e resuao e a respuesa e frecueca e a seña e u puo a que os preros oos e ugar a u capo eécrco o uo. Fgura 5.6.: Frecuecas e resoaca epresaas G para u resoaor uesoa e e ogu. 5

219 RSULTADOS a aba VII se ha preseao as frecuecas e resoaca e os preros oos cacuaas uao os res pos e fucoes wavee ecoaos coparao co su vaor eórco. Se puee aprecar que os resuaos obeos ha so os sos e os res casos co u error e % para a frecueca e resoaca e prer oo que correspoe a ua ogu e oa λ L co L a ogu e resoaor u error feror a 5% e os eás. TABLA VII Frecuecas e resoaca e G f 7 G D error D error D 3 error Aaíco 47 -% 47 -% 47 -% 5 3 % 3 % 3 % % 447-7% % 6 7% 6 7% % 748-3% 748-3% % 895-5% 895-5% % 48-9% 48-9% 5 6

220 RSULTADOS APLICACIÓN D LA TÉCNICA MRTD D Coo vaacó e a écca epeaa e os esoes vaos a aaar ua sere e eepos corasao os resuaos obeos co as soucoes aaícas cuao ésas esé spobes co as soucoes obeas eae oras éccas uércas co e f e evauar coparar su precsó. Tabé hareos ua coparacó ere os resuaos que se obee uao ferees pos e fucó wavee Frecuecas e core e ua guía WR8 Coo prer eepo e os esoes vaos a cacuar as frecuecas e core e ua guía recaguar WR8 cuas esoes esá represeaas e a fgura 5.7 Fgura 5.7.: Guía e oas recaguar WR8. uchas ocasoes es e erés coocer os ferees oos propagaes o evaescees que ese e ua guía. Para eo resua e ua cooce e vaor e as frecuecas e core e caa oo co e f e coocer e úero oa e oos propagaes a caa frecueca. Dao que os vaores que obeeos e uesro agoro se correspoe co os vaores que aquere e capo eecroagéco e ferees saes e epo puos e espaco poeos reaar e aáss e 7

221 RSULTADOS frecueca s ás que apcar a Trasforaa e Fourer a os aos aaceaos e u puo e oo e suacó. La cosae e propagacó g e ua guía e oas e seccó recaguar coo a e a fgura 5.7 esá eeraa por a sguee epresó [3]: g ω ω c 5-9 c oe c es a veoca e a u e e vacío ω c es a frecueca e core cuo vaor epee e a geoería e a guía que e ese caso vee eeraa por a epresó: ω c cπ 5-3 a b oe so úeros eeros. oces para cacuar as frecuecas e core poeos eer e cuea que a seccó rasversa e ua guía e oas e cocoes e core g se copora coo u resoaor besoa cuas frecuecas e resoaca coce co as frecuecas e core e os sos oos e a guía. Por o ao e proceso a segur para eerar esas frecuecas será e so que para esuar as frecuecas e resoaca e cuaquer esrucura resoae. Segú eso uesro oo e copuacó será a seccó rasversa e a esrucura que quereos aaar que e uesro caso se raa e u recáguo e esoes a b fgura 5.7. No ha que aaar por ao a varacó e os capos e a reccó e propagacó a o argo e a cua se suporá que a esrucura presea sería e rasacó. Basará reaar ua suacó e os esoes para a ravés e ua DFT obeer as frecuecas e core. Vaos a supoer que coocaos os ees e cooreaas coo e a fgura 5.6 co o cua e ee e propagacó e a guía e oas es e ee. so pca que e suacó e core o ha epeeca e a seña co respeco a ese ee. esa suacó as ses ecuacoes escaares e Mawe se puee agrupar e os subsseas esacopaos e res 8

222 RSULTADOS ecuacoes escaares caa uo. Uo e os os subsseas e ecuacoes esará forao por as copoees se e eoa "srbucó o oo Trasversa écrco" a a reccó oo T e oro subssea esará forao por as copoees se e eoa "srbucó o oo Trasversa Magéco" a a reccó oo TM. U aáss copeo e a esrucura hace ecesaro e esuo e abos couos e oos ao T coo TM fgura 5.8. Fgura 5.8.: Dsrbucó e as copoees e capo eecroagéco segú os oos e propagacó. po e oos geeraos o soaee epee e subssea e ecuacoes e que se base e agoro so abé e a copoee e capo ecaa e a poscó e eeeo e ecacó. uesro eepo e ua guía e oas e seccó recaguar hoogéea co parees coucoras perfecas es fác coprobar por eepo que s se ege as ecuacoes asocaas a os oos TM se escoge a copoee para ecar a seña co ua srbucó ceraa e e puo eo e su seccó rasversa a/ b/ se esará ecao úcaee os oos co sería par respeco a cero e a guía TM TM 3 TM 3 TM es ecr TM co pares queará ecuos os oos co sería par ebo a que cha copoee se aua e esa poscó. De a sa aera oros puos que poaos eegr para suar a ecacó poría ecur oros oos ferees. Debereos eoces eegr a poscó e a ecacó e a fora que e abaco e aguos éoos uércos a veces se efe os oos T TM co respeco a pao e suacó geeraee e probeas e scaerg e os esoes eoces su oacó es usaee a corara. 9

223 RSULTADOS oos ecaos sea e ás apo posbe. Teeo e cuea que as caraceríscas e éoo MRTD acosea coo se ecoó e e aparao 5. roucr a ecacó e u ervao ás o eos eeso. La copoee e capo que se va a uar coo seña ecaora es aquea que sea o ua e e aor úero posbe e oos. Por ese ovo oaos a copoee para ecar os oos TM a copoee para ecar os oos T. Lógcaee as copoees e capo eecroagéco que se va a uesrear será esas sas copoees es ecr ao que as copoees esá presees sepre e os oos TM T respecvaee será ésas as que se uesree. Ua ve obeo e regsro epora co os coefcees correspoees a os vaores e capo e e puo e observacó seeccoao apcaos ua Trasforaa Dscrea e Fourer DFT para rasaar e resuao a oo e a frecueca. S e esarroo o heos hecho uao fucoes e escaa e wavee prevaee ebeos recosrur os capos apcao a Trasforaa Iversa e Wavees IDWT. s porae recorar as acoes herees a a screacó e a Trasforaa e Fourer e o que se refere a su resoucó e frecueca f a a áa frecueca resoube [58]. Tabé ha que eer e cuea que pueso que e proceso e eeracó e as frecuecas coeva sucesvas apuacoes uércas o puee escararse ua posbe coaacó aeáca e os resuaos. Moos T esos éros para cacuar as frecuecas e core e os oos T e ua guía e oas WR8 vaos a reaar ua suacó besoa uao coo oo a seccó rasversa e a guía que coseraos vacía. Dscreaos uesro oo e suacó véoo e ceas e argo por ceas e acho co o que obeeos u aao reguar co u creeo espaca gua e as os reccoes e espaco 356. Vaos a reaar u aáss uao cco pos e wavees sos D D D 3 D 4 D 5 coserao os

224 RSULTADOS vees e resoucó es ecr uao fucoes e escaa e wavee e prer ore para esarroar os capos e caa ua e as cooreaas e espaco. Así ua ve recosruo e vaor e os capos eae a IDWT a resoucó espaca resuae será / 78 Para que as suacoes se puea reaar e as sas cocoes co oos os esqueas uaos escogeos u facor e esaba a que se garace a esaba para oos eos. S eegos por eepo s 8 se cupe esa cocó coo se puee coprobar cosuao os vaores osraos e a aba IV capíuo 4. De esa fora e ervao epora quea eerao por a sguee epresó: s s 5-3 c c seo e uesro caso gua a 335 ps. Ua ve faos oos os paráeros correspoees a a esrucura e a suacó quea por eerar a caracerísca espaca epora e a ecacó. Co e f e ecar e aor úero e oos posbes uareos coo caracerísca epora ua ecacó gaussaa sobre a copoee e capo agéco co u acho α 6 o que pca u acho e baa aproao e 5 G u reraso. sa ecacó es rouca e fora suave ero e espaco e suacó uao ua srbucó co fora e seo cuarao e as os cooreaas coo a epresaa e 5-. suaa ere as poscoes 6 6 es ecr co uas esoes e 4 ua poscó o sérca para aseguraros e ecar ao os oos pares coo o pares. Los coefcees e escaa e wavee e a ecacó se cacua eae a DWT e a fora caa e a fgura 5.9.

225 RSULTADOS Fgura 5.9.: Cácuo e os coefcees e escaa e wavee e a ecacó eae a Trasforaa Dscrea e Wavees e os esoes. Deareos evoucoar e ssea urae N 496 eracoes ua ve obea a secueca epora correspoee a vaor e a copoee e u puo e a esrucura oe a copoee uesreaa ee u vaor o uo para e aor úero e oos e resoaca apcaos ua Trasforaa Dscrea e Fourer para eraer su coeo e frecueca. Las frecuecas e core buscaas para os oos TM se correspoerá co as frecuecas e resoaca obeas e esa fora frecuecas e resoaca rasversa. Los resuaos se ha obeo co ua resoucó e frecueca e f /N 78 G. a fgura 5.3 esá represeaa a respuesa e frecueca e a seña aaaa e u puo arbaro oe se puee observar as frecuecas e core para os preros oos T.

226 RSULTADOS Fgura 5.3.: Respuesa e frecueca e a seña aaaa uao fucoes wavee D oe se puee observar as frecuecas e core para os preros oos T e ua guía e oas recaguar WR8. a aba VIII se ha represeao as preras frecuecas e core e a guía e oas WR8 cacuaas uao cco wavees e Daubeches ferees coparaas co ua suacó hecha uao u suaor TLM coerca MFSTo os vaores aaícos e as sas. ea se puee aprecar que os resuaos obeos uao wavees D M co M presea u error respeco e vaor aaíco por ebao e 5% ecepo para e oo T que presea u error e 3% eras que para as wavees D wavees e aar e error se súa por eca e % egao hasa e 3% para e oo T 3. sos resuaos refea as caraceríscas e spersó esuaas e e capíuo 4 oe se vo cóo a spersó e os esqueas que uaba wavees D aueaba coserabeee co a frecueca seo esa varacó ucho eos acusaa uao e reso e as wavees D M co M cuo error e spersó era aeás ucho eor. os vaores e a aba se observa abé ua cocoraca co os resuaos obeos eae e éoo TLM seo su error respeco e vaor aaíco e ore e 6% ecepo para e oo T que presea u error e 9% que es feror a obeo co as wavees D pero aor respeco a obeo co as fucoes wavee D M co M. 3

227 RSULTADOS TABLA VIII Frecuecas e core e G para os oos T e ua guía WR8 f 7 G D f c error D f c error D 3 f c error D 4 f c error D 5 f c error TLM f c error Aaíco T % % % % % 9-8% T / T -5% 4 % 4 % 4 % 4 % 49-6% 453 T 466 -% 473 3% 473 3% 473 3% 473 3% 468-7% 479 T 589 -% 597 5% 597 5% 597 5% 597 5% 595-9% 5963 T 3 6-3% 633 % 633 % 633 % 633 % 69-5% 633 Moos TM Para cacuar as frecuecas e core correspoees a os oos TM e ua guía e oas WR8 se ha reaao ua suacó co as sas caraceríscas que a aeror uao abé cco fucoes wavee ferees. Se ha coserao e so oo e suacó correspoee a a seccó rasversa e a guía e oas se ha uao os vees e resoucó para esarroar os capos e as os cooreaas espacaes. Dveo e oo e suacó e ceas e argo por ceas e acho se obee ua screacó espaca e e ve base e 356 por o que a resoucó espaca resuae ras a recosruccó e os capos será / 78. facor e esaba 4

228 RSULTADOS escogo co e f e garaar a esaba para oos os esqueas uaos ha so abé s 8 co o que e paso epora ao por 5-3 es 335 ps. La ecacó e ese caso se reaa sobre a copoee e capo eécrco presee e oos os oos TM. La caracerísca epora e a ecacó correspoe a u puso gaussao co u acho α 6 o que pca u acho e baa e 5 G u rearo. sa ecacó se rouce ero e espaco e suacó e fora suave uao ua srbucó co fora e seo cuarao e as os cooreaas e a sa poscó co as sas esoes que e e eepo aeror es ecr 4. Los coefcees e escaa e wavee e a ecacó abé se cacua eae a DWT e a fora caa e a fgura 5.9. Se ea evoucoar e agoro urae N 496 eracoes ua ve obea a secueca epora correspoee a vaor e a copoee e u puo e a esrucura apcaos ua Trasforaa Dscrea e Fourer para eraer su coeo e frecueca. Los resuaos se ha obeo co ua resoucó e frecueca e f /N 78 G. a fgura 5.3 se ha represeao a respuesa e frecueca e a seña aaaa e e so puo que se uó aeroree uao wavees D 3 para as eás fucoes a respuesa obea es sar oe os pcos correspoe a as frecuecas e core e a guía. 5

229 RSULTADOS Fgura 5.3.: Respuesa e frecueca e a seña aaaa uao fucoes wavee D 3 oe se puee observar as frecuecas e core correspoees a os preros oos TM e a guía e oas WR8. a aba VIII esá as preras frecuecas e core cacuaas uao as cco fucoes wavee e Daubeches coparaas co ua suacó hecha uao u suaor TLM co os vaores eórcos e esas sas frecuecas. A gua que e e eepo aeror se puee aprecar ua fereca ere os resuaos obeos co as wavees D e reso e fucoes wavee. Los vaores obeos co as wavees D presea u aor error respeco a vaor eórco que aeás auea co a frecueca egao hasa u error e 5% para e oo TM. Por e coraro co as fucoes wavee D M co M se obee vaores ucho ás cercaos a vaor eórco co u error que se aee por ebao e 5% para oos os oos cacuaos. Tabé se observa que e error reavo obeo co e éoo TLM es aor que e obeo uao esas fucoes wavee ecepo para e oo TM 3 pero o así a copararo co as wavees D oe e error e TLM es caraee feror. 6

230 RSULTADOS TABLA IX Frecuecas e core e G para os oos TM e ua guía WR8 f 7 G D f c error D f c error D 3 f c error D 4 f c error D 5 f c error TLM f c error Aaíco TM 466 -% 473 4% 473 4% 473 4% 473 4% 469-5% 479 TM 589 -% 597 5% 597 5% 597 5% 597 5% 594-4% 5963 TM % 764 5% 764 5% 764 5% 764 5% 758-3% 7599 TM 8-5% 866-3% 873 5% 873 5% 873 5% 863-7% 869 TM 895-5% 946 4% 946 4% 946 4% 946 4% 935-8%

231 RSULTADOS Propagacó e u oo T e ua guía WR8 Coo sguee eepo se ha aaao a propagacó e u oo T a o argo e ua guía recaguar WR8 coo a represeaa e a fgura 5.3. Fgura 5.3.: Propagacó e u oo T e ua guía e oas WR8. u oo T os capos o varía a o argo e uo e os ees rasversaes e ee e ese caso por o ao se puee aaar eae ua suacó e os esoes. oces as copoees e capo eecroagéco so uego es u oo T respeco a pao e a suacó. La screacó e oo e suacó se ha reaao véoo e ceas e a reccó e ee ceas e a reccó e ee coserao u aao reguar es ecr escogeo u creeo espaca gua e as os reccoes 356. Para e esarroo e os capos se ha epeao fucoes e escaa e po D escogeo u facor e esaba s co o que e ervao e epo ao por a epresó 5-3 ha so 839 ps. Las parees aeraes so coucoras PC coo correspoe a propo probea eras que e as parees eraes coocaos ua oa PML co e f e suar a propagacó a o argo e ua guía e ogu efa. La oa PML coseraa ee u espesor e uao para oear su coucva u perf parabóco e a fora epresaa e a ecuacó 5-4 escogeo u facor e refeó e -4. 8

232 RSULTADOS Dao que a frecueca e core e oo T es aproaaee G e sguee oo T ee a ua frecueca e core e 4 G rouceo ua seña susoa e 3 G os aseguraos e que sóo se propague e oo T. Co ese f se ha ecao a copoee e capo eécrco co ua caracerísca epora correspoee a ua seña susoa a cha frecueca co ua srbucó espaca e eo seo e a reccó rasversa por ser ésa a srbucó e capos e e oo T coo se uesra e a fgura a reccó ogua se ua ua srbucó e fora e seo cuarao para roucra e fora suave ero e a esrucura. Suaos esa ecacó e a poscó 3 co u acho e 3. De ese oo aparecerá os oas propagáose e seos coraros a o argo e a guía ese a poscó e a fuee. Fgura 5.33.: Varacó e as copoees e capo e a seccó rasversa para os oos T T e ua guía e oas recaguar. No ha epeeca respeco e a cooreaa verca. Las oas se propaga e a reccó perpecuar a a pága. as fguras 5.34 se ha represeao e vaor e a copoee e capo eécrco a o argo e oo e a suacó e ferees saes e epo oe se puee aprecar caraee e paró rasversa e eo seo ecoao aeroree a varacó susoa a o argo e a guía. 9

233 RSULTADOS Fgura 5.34.a: Suacó e a propagacó e u oo T e ua guía e oas WR8 uao fucoes wavee D. Fgura 5.34.b: Suacó e a propagacó e u oo T e ua guía e oas WR8 uao fucoes wavee D 3

234 RSULTADOS Fgura 5.34.c: Suacó e a propagacó e u oo T e ua guía e oas WR8 uao fucoes wavee D Paráeros e scaerg e ua uó T e pao. Vaos a eaar e scaerg e u oo T e ua uó T e e pao. se es uo e os sposvos uaos e os crcuos e crooas coo vsor e poeca esá forao por a uó e guías e oa co res pueras epeees coo uesra a fgura Cuao e ee e brao aera es paraeo a capo e oo propagae se eoa T e e pao fgura 3.35.a eras que s cho ee es paraeo a capo recbe e obre e T e e pao fgura 3.35.b. uesro eepo vaos a coserar ua uó T e e pao e ua guía e oas recaguar WR8. Ua aera efecva e caracerar ese po e sposvos cosse e evauar sus paráeros e scaerg os cuaes uesra a reacó ere as oas cees refeaas rasas. 3

235 RSULTADOS 3 Fgura 3.35.: Uó T e e pao a uó T e e pao b. Para u sposvo ea e vru e a eaa e as ecuacoes e Mawe ese ua reacó ea ere as apues e oa cees refeaas rasas e caa ua e sus pueras. La ar que a cuea e esa reacó se cooce coo ar e scaerg os eeeos e ésa coo paráeros e scaerg. Cosereos u sposvo e esas caraceríscas co N pueras eoeos por V a a esó equvaee agu copea co óuo fase e a oa cee e a puera V a a esó equvaee e a oa que sae por a puera. La ar e scaerg se efe e reacó a esos voaes coo [6]: N NN N N N N N V V V S S S S S S S S S V V V M L M L M M L L M 5-3 Co e f e cosegur que a ar e scaerg e u sposvo recíproco sea sérca os paráeros S se cacua coo: V Z Z V V S para ω ω ω ω ω 5-33 oe Z es a peaca caracerísca e a puera. Para u oo T e ua guía e oas recaguar esa peaca caracerísca es [6]:

236 RSULTADOS µ 5-34 ε Z g oe g es a cosae e propagacó e a guía aa e a epresó 5-9 es a cosae e propagacó e e eo bre caracerao por ε µ. Los paráeros e scaerg S so fucó e a frecueca aeás epee e os paos e os que se evaúe as apues copeas V ±. Para obeer esos paráeros frecuecaes a parr e as secuecas eporaes susraas por uesro agoro se ebe coserar os aspecos. prer ugar ha que efr as esoes equvaees V e fucó e as copoees e capo eecroagéco. sas esoes se efe para caa oo parcuar e a guía se cosera proporcoaes a a apu e capo eécrco rasversa [6]: V C 5-35 oe es a apu áa e capo eécrco e a puera C es a cosae e proporcoaa parcuar para a puera. Para e oo T e ua guía e oas recaguar esa cosae e proporcoaa es: a b C 5-36 seguo ugar ha que eer e cuea que ecesaos reaar os suacoes. La prera suacó se reaa sobre ua guía e oas e ogu efa s a uó T o que pere coocer a esó equvaee e a oa cee v cee a que e ese caso o ha oa refeaa. La segua suacó se reaa sobre a esrucura que quereos caracerar o que os pere obeer e voae oa e caa puera a parr e ése e voae refeao v refeao v oa v cee e voae raso v raso. 33

237 RSULTADOS Segú eso para cacuar os paráeros e scaerg correspoees a oo T e ua guía recaguar WR8 e esquea e a esrucura e suacó se uesra e a fgura 5.36 e proceeo sería e sguee: prer ugar se ebe roucr ua ecacó e e crcuo cuo especro e frecueca cubra e rago e erés que e e caso es e rago e que se propaga sóo e oo T eso es ere 6 G 4 G. Reaar os suacoes a prera sobre ua guía e ogu efa s T co e f e obeer a secueca epora correspoee a a esó cee e a puera v a segua sobre a esrucura copea para obeer a esó refeaa e a puera v r v oa - v a a esó rasa e a puera v. Cacuar a DFT e chas secuecas para obeer as secuecas V f V r f V f oe f /N. Dao que as os pueras ee a sa geoería guía WR8 esaos coserao u úco oo T ao a peaca caracerísca 5-34 coo a cosae e proporcoaa 5-36 e abas pueras será as sas. De esa fora oao coo esó equvaee e vaor e capo eécrco e e cero e a guía poeos obeer os paráeros e scaerg coo: S S Vr f f V f V f f V f Fgura 5.36.: Suacó e as pueras e eraa e saa para caracerar ua uó T e e pao e ua guía recaguar WR8. 34

238 RSULTADOS La screacó e uesro oo e suacó se reaa veo caa uo e os braos e a uó-t e ceas e acho por 4 ceas e argo co u creeo espaca 356. Coseraos e eror e a guía vacío ε r σ. Vaos a reaar e aáss uao res pos e fucó wavee D D D 3 co u úco ve e resoucó escogeo u facor e esaba s. Co esos aos e creeo epora quea eerao su vaor es 839 ps. Coocaos cocoes absorbees PML e os ereos e a uó-t para evar que as oas refeaas rasas vueva a peerar e e eo perurbe os resuaos coserao que as oas PML ee u espesor e ceas escogeo u facor e refeó e -4. La ecacó que ebeos roucr e a esrucura ebe eer as caraceríscas espaca epora aecuaas para ar ugar a a propagacó e u oo T ero e rago e frecuecas e erés. Para eo ecaos a copoee co ua srbucó espaca co fora e eo seo e a seccó rasversa coo correspoe a oo T fgura 5.33 e seo cuarao co u acho e 3 a o argo e ee co e f e roucr a ecacó e fora suave e e espaco. La caracerísca epora correspoe a ua fucó gaussaa ouaa a a frecueca cera e erés a coo se ca e a epresó Vaos a oar ua frecueca cera e 3 G co u acho e baa aproao e 4 G para o cua se ua ua gaussaa co ua achura e α u reraso e. Reaaos ua prera suacó e a guía e oas s a uó "T" eao evoucoar e agoro urae 48 eracoes co e f e obeer a seña cee o e refereca e a puera v oao as uesras e capo eécrco e e cero e a guía fgura Ua rasforaa e Fourer e esa seña os proporcoa e coeo especra e a oa cee V f co ua resoucó e frecueca e f 58 G fgura

239 RSULTADOS Fgura 5.37.: Seña e refereca V/ Fgura 5.38.: Móuo e a DFT e a seña e refereca. Ua ve obea a oa cee o seña e refereca reaaos ora suacó coserao oa a esrucura oao uesras e a copoee e capo eécrco e a puera e a puera. esa suacó obeeos a evoucó epora e voae oa e a puera e voae raso v e a puera. voae refeao e a puera se obee a resar e voae oa e voae cee e a prera suacó v r v oa v. Apcao ua rasforaa screa e Fourer obeeos e coeo especra e abas señaes V r f V f. Ua ve cacuaas as secuecas correspoees a coeo especra e as señaes cee refeaa rasa V f V r f V f respecvaee poeos obeer os paráeros e scaerg S e a fora caa e resuao obeo uao os ferees pos e fucó wavee o eeos represeao e as fguras 5.39.a-c e a que se apreca a varacó e óuo a fase e os paráeros S S e fucó e a frecueca ero e rago e erés. 36

240 RSULTADOS Fgura 5.39.a: Paráeros e scaerg S S obeos uao fucoes wavee D. Fgura 5.39.b.: Paráeros e scaerg S S obeos uao fucoes wavee D. 37

241 RSULTADOS Fgura 5.39.c.: Paráeros e scaerg S S obeos uao fucoes wavee D 3. Observao as fguras 5.39 se puee aprecar que e resuao obeo co caa uo e os ferees pos e fucó wavee es práccaee éco. Veos aeás que e paráero S e oo e rago e operacó a pesar e que os res braos e a uó so écos que por o ao presea a sa peaca. so os cofra e hecho esabeco eórcaee e que es posbe señar u sposvo recíproco s péras e res pueras perfecaee aapao. se resuao se ha coparao co e obeo uao u suaor TLM coerca. a fgura 5.4 se ha represeao os paráeros e scaerg S S obeos e esa fora se puee aprecar e cuao a óuo e abos paráeros ua varacó co a frecueca sar e a suacó co e éoo TLM aparece u ruo que o se aprecaba co e éoo MRTD. cuao a a fase e chos paráeros se apreca ferecas ere os resuaos obeos por os os éoos que puee ser ebas e prcpo a que os puos oe se uesrea os capos 38

242 RSULTADOS esá suaos e poscoes reavas ferees respeco a as os suacoes abé ebo a fereca e as caraceríscas e spersó e abos éoos. Fgura 5.4.: Paráeros e scaerg S S obeos uao u suaor TLM. Observeos ahora e coporaeo e capo eécrco e u oo T que se propaga e u sposvo coo e que acabaos e esuar. Para eo vaos a ecar u oo T a 5 G asgao a a copoee e capo eécrco ua srbucó e fora e eo seo e a reccó rasversa e eo seo cuarao e a reccó e propagacó. Sobre esa srbucó apcaos ua varacó epora correspoee a ua seña susoa a a frecueca e 5 G. a sere e secuecas e a fgura 5.4 se ha represeao e vaor e a copoee e sos saes e a suacó e a que se ha uao fucoes wavee e po D. 39

243 RSULTADOS Fgura 5.4.: Vaor e ferees saes e epo e a copoee e capo eécrco e u oo T propagáose e ua guía recaguar WR8 co ua uó-t e e pao. 4

244 RSULTADOS esa sere e fguras se puee observar a aparcó e oos superores e a srbucó rasversa e capo es ecr a o es ua srbucó susoa pura eso es ebo a que a propagacó se ha reaao a 5 G por o ao es posbe a eseca e oos superores a fuaea. De acuero co as srbucoes e capo osraas e a fgura 5.33 se puee aprecar que e paró rasversa que aparece e os braos rasversaes e a uó correspoe a u oo T cua frecueca e core es e 4 G APLICACIÓN D LA TÉCNICA MRTD 3D Coo vaacó e a écca epeaa e res esoes se va a aaar ferees cavaes resoaes vacías cargaas co eécrcos uao sos pos e fucó wavee para esarroar os capos se va a coparar os resuaos obeos co os proporcoaos por oras éccas co e vaor eórco cuao ése sea cooco. Tabé vereos a propagacó e ua guía e oas recaguar WR Cavaes resoaes propóso e as íeas e rassó as guías e oas es rasr e fora efcee a eergía eecroagéca e u puo a oro. Por oro ao u resoaor o cava resoae es u sposvo que pere aacear cha eergía. ua cava resoae ao que o es posbe a propagacó e os capos e e espaco ebo a as cocoes e froera puesas e as res reccoes esos capos se va a srbur e fora que se sasfaga as sas es ecr a refeó e as parees e a cava ará ugar a a aparcó oas esacoaras que correspoerá a vaores caraceríscos específcos e as frecuecas e oscacó [6]. Se puee eoces coserar os capos resuaes coo a superposcó e esos oos oraes. 4

245 RSULTADOS Cosereos ua cava recaguar vacía foraa por parees coucoras coo a represeaa e a fgura 5.4. Fgura 5.4.: Cava resoae recaguar. Para que se cupa as ecoaas cocoes e froera as sas copoees e os capos eécrco agéco ebe ser cobacó e epresoes e ese po [6]: ω cos se se 3 e ω se cos se 3 e ω 3 se se cos3 e ω se cos cos3 e ω cos se cos3 e ω 3 cos cos se 3 e oe as cosaes 3 so: π a π b p π

246 RSULTADOS esá reacoaas ere sí por a sguee epresó: ω c π a π b π p 5-4 oe c es a veoca e a u c µ ε. so sgfca que as posbes frecuecas e oscacó peras ero e a cava esará aas por: p ω cπ 5-4 a b se cooce coo frecuecas e resoaca e a cava. S efos os sguees vecores: abé se ebe cupr as sguees cocoes: ωµ prcpo caa correspoe a u oo ao es ecr a u couo ao e eeros p e acuero co 5-4. Así e capo es ua cobacó e fucoes ferees caa ua co u vaor e a caa ua e esas fucoes a cooceos coo oo. 43

247 RSULTADOS Las cavaes resoaes o resoaores puee ser cosruos a parr e seccoes e ua guía e oas. Debo a as péras por raacó que se prouce e as guías co eracoes aberas geeraee os resoaores se cosrue a parr e seccoes corocrcuaas e os os ereos forao ua caa cerraa o cava. De esa fora os oos e resoaca e ua cava se suee esgar a parr e os oos T o TM que se propaga e a guía coo T p o TM p oe os íces p se refere a úero e varacoes e e paró e oa esacoara e capo e a reccó respecvaee. Así u oo T e ua guía e oas ará ugar s corocrcuaos esa guía a os oos e resoaca T p e e propo resoaor. a fgura 5.43 se ha represeao as srbucoes e capo eécrco e ua cava recaguar correspoees a os oos e resoaca. Fgura 5.43.: Dsrbucó ero e ua cava recaguar e vaor e capo eécrco para os oos resoaes T T o ha varacó respeco e a cooreaa. Vaos ahora a cacuar as frecuecas e resoaca para u oo T p e ua cava recaguar e esoes oraaas.5..5 que erá segú a ecuacó 5-4 ua frecueca e resoaca oae oraaa e c seo c a veoca e a u. Segú 5-39 e vecor erá as sguees copoees: 44

248 RSULTADOS π π p 5-47 a seo a.5. so pca que segú a ecuacó 5-45 e vecor e copoees sea: 5-48 es ecr os oos T p erá coo úca copoee e capo eécrco a copoee. Dscreaos uesro oo e suacó véoo e 6 ceas e acho por 8 ceas e ao 6 ceas e argo co o que se obee ua resoucó espaca Vaos a reaar a suacó uao fucoes e escaa correspoees a res pos sos e fucoes e Daubeches D D D 3. Para que as suacoes se puea reaar e as sas cocoes co os res esqueas uaos escogeos u facor e esaba s asegurao e ese oo a esaba para oos eos. De esa fora e ervao epora quea eerao es 657 ps Para ecar os oos T p acuareos sobre a copoee e capo agéco asgáoe ua srbucó espaca e eo seo cuarao e a reccó e ee co u acho e 65 co cosae e e ee eo seo cuarao e 65 e acho co e a reccó e ee. La srbucó epora será a e u puso gaussao co u acho e 5 que correspoe a u acho e baa oraao e 35c u rearo e. Dao que e os oos T p sóo eeos a copoee e uesreo se reaará sobre cha copoee. Ua ve faos oos os paráeros eaos evoucoar e ssea urae 48 eracoes. Tras obeer a secueca epora correspoee a vaor e capo eécrco e u puo e a esrucura apcaos ua rasforaa rápa e Fourer para eraer 45

249 RSULTADOS su coeo e frecueca. La resoucó e frecueca oraaa e uesro caso es e f 5c. a fgura 5.44 se ha represeao a respuesa e frecueca e a seña aaaa e u puo e e cua a copoee e capo uesreaa es sa e cero para u aor úero e oos. esa fgura se puee aprecar as frecuecas e resoaca e os ses preros oos. Fgura 5.44.: Coeo especra e a seña aaaa frecueca e uaes oraaas. a aba X se uesra as frecuecas e resoaca que heos obeo para os sos pos e fucó wavee epeaos uo co e vaor eórco e obeo eae a écca aar-mrtd [7]. Nuevaee se observa ua fereca ere os vaores obeos uao wavees D os obeos uao wavees D D 3 seo a precsó para esas úas ucho aor co u error respeco e vaor eórco e 6% e e peor e os casos oos T 4 /T 4 free a errores e ore e 5% co as wavees D. Tabé se puee aprecar ua aor precsó uao as wavees D D 3 que a obea eae a écca aar-mrtd. 46

250 RSULTADOS TABLA X D f r error Frecuecas e resoaca oos T p uaes oraaas f 5c D f r error D 3 f r error aar MRTD[7] f r error Aaíco T % % % 999 -% 55 T / T -9% 575-4% 575-4% 58 5 T 3 / T 3-5% 5-5% 5 6% 6-9% T 3 / T 3-5% 55 % 55 % T 4 / T 4 -% 9-5% 95 3% 954 T 33 3 % 3 % 976-8% 3 Coo seguo eepo para vaar e esquea resoa uao se ha cacuao e vaor e a frecueca e resoaca e oo oae T e cuaro cavaes o hoogéeas co eécrcos e ferees esoes pervaes suaos e poscoes sas [8]. a fgura 5.45 se uesra a geoería e chas esrucuras co as esoes e as sas. se cácuo se ha reaao uao fucoes e escaa correspoees a res pos sos e wavees e Daubeches D D D 3. Los resuaos obeos se ha coparao co su vaor eórco co os obeos por oros éoos. 47

251 RSULTADOS Fgura 5.45.: Dferees cavaes resoaes aaaas. La screacó se ha reaao veo e oo e 6 8 ceas e os casos a b e 6 8 ceas e os casos c co o que se obee para oos eos ua screacó espaca oraaa e. facor e esaba escogo ha so s co e cua se sasface e crero e esaba para os res pos e wavees epeaos. ervao e epo quea pues fao a 96 s. La ecacó e as cuaro cavaes se ha reaao se acuao sobre a copoee e capo asgáoe srbucó espaca e eo coseo e a reccó e ee s epeeca respeco e ee eo seo cuarao e achura 6 co e a reccó e ee co e f e roucr a ecacó e fora suave ero e a esrucura. La srbucó epora será a e u puso gaussao co u acho e 6 que correspoe a u acho e baa oraao e 8c u reraso e. Dao que e oo T posee coo copoee o ua a copoee e capo eécrco se aaceará su vaor e u puo arbraro urae a suacó. Tras 48 eracoes se aaa e coeo 48

252 RSULTADOS especra eae ua rasforaa rápa e Fourer obeeo resuaos co ua resoucó e frecueca oraaa e f 8'45-4 c. La frecueca e resoaca e oo T obea uao as ferees fucoes wavee se uesra e a aba XI. ea se puee aprecar a caracerísca habua obea a o argo e oas as suacoes eso es que os vaores cacuaos uao fucoes D D 3 presea coas e error ferores a as obeas co as fucoes D. Aeás esas coas e error so ferores a as obeas eae oros éoos coo FDTD aar-mrtd racoa. TABLA XI Frecueca e resoaca e oo oae T uaes oraaas f 8-4 c cava D aa error D aa error D 3 aa error FDTD [8] aa error aar- MRTD[7] aa error Aaíco [8] a % 3% 3% -3% 4% b % -3% -% 3% 5% c

253 RSULTADOS Propagacó e ua guía e oas recaguar WR9. Coo eepo e suacó e a propagacó e capo eecroagéco e ua guía e oas se ha coserao a propagacó e u oo T e ua guía recaguar WR9 fgura Para reaar esa suacó se ha screao e oo véoo e ceas e acho por ceas e ao ceas e argo obeéose ua screacó espaca e 43. esarroo e os capos se ha reaao uao fucoes D co u úco ve e resoucó es ecr sóo fucoes e escaa cueo cocoes e cooro absorbees PML e os ereos e ee. Coo espesor e a oa PML se ha oao ceas e a reccó u coefcee e refeó e -4. facor e esaba escogo para reaar a suacó ha so s co o que e ervao e epo obeo ha so e 967 ps. Fgura 5.46.: Guía e oas recaguar WR9. Co e f e suar a propagacó e u oo T eeo e cuea que a frecueca e core e oo T es 656 G a frecueca e core e sguee oo es e 3 G se ha ecao a copoee e capo agéco co ua caracerísca epora correspoee a ua seña susoa e G co ua srbucó espaca e eo coseo e a reccó rasversa cosae e a 5

254 RSULTADOS reccó co fora e eo seo cuarao e ogu 6 co 3 e a reccó e ee. as fguras 5.47 se ha represeao e vaor e a copoee e capo eécrco e ferees seccoes e a guía correspoee a sos saes e epo. eas se puee aprecar a fora e oa propagae que aquere e capo a o argo e ee ogua cóo se verfca as cocoes e cooro e os ees rasversaes e a guía. as vsas correspoees a os paos YZ XY se observa que a seña o varía a o argo e ee o que euesra que se raa e u oo. Por oro ao e as vsas e as seccoes XY XZ se observa que a epeeca respeco e a cooreaa ee a fora e eo seo o que euesra que es u oo. couo e esas caraceríscas os uesra que efecvaee se propaga sóo u oo T. a fgura 5.47.c se puee oar a oa e ecacó a parr e a cua se geera os oas propagáose e seos coraros ebo a a preseca e os áos coguos que o esá srbuos reguaree. 5

255 RSULTADOS Fgura 5.47.a.: Dsrbucó espaca e vaor e a copoee e ferees seccoes e a guía WR9 rascurras 4 eracoes ese e coeo e a suacó. 5

256 RSULTADOS Fgura 5.47.b.: Dsrbucó espaca e vaor e a copoee e ferees seccoes e a guía WR9 rascurras 6 eracoes ese e coeo e a suacó. 53

257 RSULTADOS Fgura 5.47.c.: Dsrbucó espaca e vaor e a copoee e ferees seccoes e a guía WR9 rascurras eracoes ese e coeo e a suacó. 54

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