Fundamentos del Análisis de Fourier

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Fundamentos del Análisis de Fourier"

Transcripción

1 Fundamenos del Análisis de Fourier Camilo José Carrillo González Deparameno de Enxeñería Elécrica Escola écnica Superior de Enxeñeiros Indusriáis Universidade de Vigo Vigo, 3

2

3 Índice Índice PRÓLOGO v I. LA RANSFORMADA DE FOURIER: UNA INRODUCCIÓN HISÓRICA II. SERIES DE FOURIER 5 II. Funciones periódicas 5 II. Serie de Fourier 6 II.. Obención de la Serie de Fourier 6 II.. Especro de frecuencia 7 II..3 Índices de disorsión 8 II..4 eorema de Parseval 8 II..5 Aproximación mediane una Serie de Fourier finia 9 II..6 El fenómeno de Gibbs II..7 Convergencia de la Serie de Fourier II.3 Análisis de formas de onda periódicas 3 II.3. Simerías de una función periódica 3 II.3. Funciones especiales 9 II.3.3 Evaluación de los coeficienes de Fourier por diferenciación II.4 Forma compleja de las series de Fourier 3 II.5 Serie de Fourier de un ren de pulsos 4 II.5. ren de Pulsos 4 II.5. Cálculo de los coeficienes de la Serie de Fourier 5 II.5.3 Forma de onda riangular 3 III. INEGRAL DE FOURIER Y ESPECROS CONINUOS 35 III. De la Serie de Fourier a la inegral de Fourier 35 III. Propiedades de la ransformada de Fourier 37 III.. Simería 37 III.. Linealidad 38 III..3 Desplazamieno emporal y Frecuencial 38 III..4 Escalado emporal y Frecuencial 38 III..5 Diferenciación e Inegración 39 III..6 Dualidad 39 III..7 eorema de Parseval 39 III..8 Modulación de ampliud 4 III.3 La Inegral de Convolución 4 III.3. Convolución con la función Impulso 4 III.3. eorema de Convolución 43 III.3.3 eorema de Modulación 43 III.4 Convergencia de la ransformada de Fourier 43 III.5 ransformada de Fourier de Funciones Especiales 44 III.5. ransformada de Fourier de un impulso 44 III.5. ransformada de Fourier del seno y del coseno 44 III.5.3 ransformada de Fourier del escalón uniario 45 III.5.4 ransformada de Fourier de un ren de impulsos 45 III.5.5 Señales Periódicas y la ransformada de Fourier 45 i

4 Índice IV. SISEMAS MUESREADOS 47 IV. Filro ideal y señales de banda limiada 47 IV.. Filro ideal 47 IV.. Señales de banda limiada 48 IV. Muesreo de señales 48 IV.3 eorema de muesreo 5 IV.4 El efeco del aliasing 5 IV.5 Muesreo con manenedor de orden cero 54 V. LA RANSFORMADA DE FOURIER DISCREIZADA (DF) 57 V. Inroducción 57 V. De la ransformada de Fourier a la DF 57 V.3 La Inversa de la ransformada de Fourier Discreizada (IDF) 6 V.4 Relación enre la ransformada de Fourier y la DF 6 V.5 Convolución Periódica Discrea 65 V.6 Propiedades de la DF 66 VI. LA RANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER 69 VI. Inroducción 69 VI. Formulación Maricial de la FF 69 VI.3 Desarrollo inuiivo 7 VI.4 La ransforma de Fourier en iempo real 76 VI.4. La DF recursiva 76 VI.4. La FF en iempo Real 77 VII. EMPLEANDO LA DF 79 VII. Consideraciones de índole prácico 79 VII. Reducción del error de la DF: el empleo de venanas 8 VIII. APLICACIÓN DE LA RANSFORMADA DE FOURIER AL ESUDIO DE SISEMAS LINEALES 87 VIII. Los sisemas lineales invarianes 87 VIII. La respuesa en esado esacionario 87 VIII.3 La respuesa de un sisema lineal 88 VIII.4 Aplicación de la ransformada de Fourier a la Resolución de Circuios Elécricos en Régimen Esacionario 89 VIII.5 Aplicación de la ransformada de Fourier a la Resolución de Circuios Elécricos en Régimen ransiorio 9 VIII.5. Ejemplo de aplicación 9 VIII.6 Aplicación de la DF a la resolución de sisemas lineales 94 VIII.6. Ejemplo de uilización de la DF a la resolución de un sisema lineal 95 VIII.6. Ejemplo de uilización de la DF a la resolución de un circuio elécrico 98 ii

5 Índice IX. LA RANSFORMADA DE FOURIER EN IEMPO DISCREO (DF) 3 IX. Señales básicas en iempo discreo 4 IX. Represenación de señales periódicas 8 IX.3 La ransformada de Fourier en iempo Discreo 9 IX.4 La ransformada de Fourier en iempo Discreo y la Serie de Fourier en iempo Discreo IX.5 Propiedades de la ransformada de Fourier en iempo Discreo IX.5. Periodicidad IX.5. Linealidad IX.5.3 Simería IX.5.4 Desplazamieno emporal y escalado en frecuencia IX.5.5 Diferenciación e Inegración IX.5.6 Convolución IX.5.7 eorema de Parseval IX.5.8 Dualidad 3 IX.6 Relación enre la DF y la DF 4 X. PROPIEDADES Y RANSFORMADAS DE FOURIER MÁS HABIUALES 5 X. Diferenes formas de la Serie de Fourier 5 X. Propiedades de la Serie de Fourier 5 X.3 Propiedades de la ransformada de Fourier 6 X.4 Propiedades de la DF 7 X.5 Propiedades de la Serie Fourier en iempo Discreo 8 X.6 Propiedades de la ransformada de Fourier en iempo Discreo 9 X.7 Series de Fourier de funciones periódicas X.8 ransformadas de Fourier X.9 ransformadas de Fourier en iempo Discreo X. Series y ransformadas de Fourier de Señales Periódicas en iempo Discreo 3 BIBLIOGRAFÍA 5 iii

6 iv Índice

7 Prólogo Prólogo Ese libro nace de la recopilación del maerial empleado durane la docencia e invesigación que he llevado a cabo en el Deparameno de Enxeñería Elécrica de la Universidade de Vigo. En él se recogen algunos de los aspecos fundamenales del análisis de Fourier, y como ales, se describen herramienas maemáicas como la Serie de Fourier, la ransformada de Fourier, la ransformada de Fourier Discreizada y, por úlimo, la Serie y ransformada de Fourier en iempo Discreo. No es objeo de esa obra el presenar un análisis exhausivo de cada una de las ransformaciones mencionadas, sino que se preende que sea una herramiena de apoyo para odos aquellos que deseen acercarse a las eorías de Fourier. La realización de la presene publicación ha requerido la colaboración de muchas personas. De enre ellas he de agradecer especialmene las conribuciones del profesor José Cidrás Pidre, principalmene en lo referene al análisis de circuios elécricos, al profesor Andrés Elías Feijóo Lorenzo, por ayudarme a hacer esos apunes mejores con sus comenarios y correcciones, y a la profesora Elena Albo López, por su conribución con medidas de campo y por desarrollar las series de Fourier de un ren de pulsos. Finalmene, quisiera expresar mi agradecimieno a odos los miembros del Grupo de Elecroecnia y Redes Elécricas del Deparameno de Enxeñería Elécrica de la Universidade de Vigo. Camilo José Carrillo González Vigo, de marzo de 3 v

8 vi Fundamenos del Análisis de Fourier

9 I. La ransformada de Fourier: una inroducción hisórica I. La ransformada de Fourier: una inroducción hisórica La ingeniería ha empleado a lo largo de la hisoria méodos de análisis que raaban de reducir la complejidad maemáica de un problema. Esas écnicas se basan en la ransformación maemáica de las ecuaciones. A modo de ejemplo, se puede ver en la Ilusración I- el del empleo de los logarimos para ese propósio. Análisis Convencional Problema Y=X/Z ransformación del problema ransformación log(y)=log(x)-log(z) Análisis complejo División Análisis simplificado Búsqueda en ablas y resa Solución ransformada inversa ablas de anilogarimos Ilusración I-: Empleo de ransformaciones para la simplificación de un problema al y como se puede apreciar en la figura anerior, con los logarimos se simplifica el proceso de análisis, ransformando un problema complejo como la división en uno más fácil como la resa. En general se puede decir que dichas ransformaciones permien reducir la complejidad de las ecuaciones a ravés de un proceso unívoco de cambio del dominio de la exisencia de las variables del problema (del dominio de las divisiones y muliplicaciones al de las sumas y las resas en el caso del logarimo). Una de esas ransformaciones es la ransformada de Fourier, que es una herramiena uilizada para obener la información frecuencial de una deerminada función. Ese ipo de ransformaciones en frecuencia ienen su represenación en la nauraleza, por ejemplo, cuando se escucha un sonido se sabe si ése es grave o agudo. El cerebro inerprea el conenido de la información que le esá llegando y es capaz de disinguir si esá compuesa de frecuencias predominanemene alas o si, por el conrario, las que la componen son predominanemene bajas. Ora muesra presene en la nauraleza es la de la descomposición de la luz solar en disinos colores, ya sea cuando se forma un arco iris o bien cuando ésa araviesa un prisma. En ese caso, una radiación luminosa de composición inciera es descompuesa en haces de luz coloreada, o señales, de frecuencia simple. Eso es en definiiva, lo que se persigue cuando se habla de la ransformada de Fourier, o de la Serie de Fourier. Una herramiena maemáica capaz de exraer la información frecuencial de una forma de onda una vez conocido su comporamieno emporal y viceversa. La hisoria moderna de esas ransformaciones comienza con Euler en 748, que esudió los movimienos vibraorios de una cuerda, ver Ilusración I-. Los modos normales son los que se muesran en la siguiene figura, y forman una serie sinusoidal armónica, es decir, su frecuencia es múliplo de una fundamenal. Euler afirmó que si la configuración de la cuerda en un insane deerminado se podía poner como combinación lineal de los modos normales, eso seguiría siendo válido en los insanes siguienes de iempo. Fue en 87, cuando Jean-Bapise-Joseph Fourier presenó en la Academia Francesa de las Ciencias, el resulado de unos esudios de la ransmisión del calor en los que incluía un méodo de resolución para las ecuaciones allí planeadas. Ese méodo es el conocido como

10 I. La ransformada de Fourier: una inroducción hisórica ransformada de Fourier. La presenación de su rabajo uvo ilusres oposiores como Euler, Laplace o Lagrange enre oros. Y aunque la academia le concedió un premio por su eoría, le acusó de ser poco riguroso en la obención de los resulados. Y fue así que la publicación de su rabajo no se llevó a cabo hasa 5 años después, con su libro iulado La eoría analíica del calor (8). f (x) x f (x) x f (x) x Ilusración I-: Modos normales de vibración de una cuerda En su rabajo, Fourier afirmaba que cualquier disribución calórica, en ese caso se raa de una disribución espacial aunque podría ser emporal, podía descomponerse en una suma de disribuciones espaciales sinusoidales. Eso es lo que se conoce como Serie de Fourier, aunque más arde generalizaría esa eoría para exenderla a señales aperiódicas, recibiendo el nombre de ransformada de Fourier. Las objeciones de sus coeáneos a esa eoría se cenraban en la proposición de que una función disconinua pudiera represenarse de esa manera. A pesar de esas rabas muchos invesigadores empezaron a generalizar el rabajo de Fourier, exrapolándolo a campos disinos del análisis del calor. Ilusración I-3: Jean Bapise Joseph Fourier (768-83) En 89, Dirichle esableció las condiciones bajo las cuales la función periódica puede represenarse mediane una Serie de Fourier. De forma que odas las magniudes físicas conocidas poseen caracerísicas que permien su análisis mediane las eorías de Fourier. Una de las múliples aplicaciones fue, a finales del siglo XIX, la de Lord Kelvin que diseñó una compuadora analógica con el fin de predecir el flujo y reflujo de las mareas, en la que se pone de manifieso la uilidad de las eorías propuesas por Fourier para obener la periodicidad de cieros fenómenos a ravés de su observación en el iempo. Parecía evidene que para

11 I. La ransformada de Fourier: una inroducción hisórica aumenar la exaciud de los resulados sólo había que aumenar el número de componenes de frecuencia calculadas, de forma que si la señal analizada se reconsruía a parir de esas componenes el error sería ano más pequeño cuano mayor fuese el número de ésas. Esa suposición se venía abajo cuando se rabajaba con señales disconinuas. Se llega a un puno a parir del cual, por mucho que se eleve el número de componenes calculadas el error permanece consane. En 899, Josiah Willard Gibbs confirmó eóricamene ese resulado, deduciendo que el error queda confinado a las inmediaciones de la disconinuidad y iende a cero en el reso de los punos. Lo cual sigue poniendo de manifieso la validez de dicha ransformada, ya que dicho error se limia a una zona muy esrecha y su energía asociada es muy pequeña. A medida que el uso de la ransformada de Fourier se fue exendiendo se fueron haciendo necesarias herramienas numéricas que permiiesen su implanación en compuadoras, para así faciliar el análisis de formas de onda complicadas, las cuales podrían ser inabordables analíicamene. La carga de cálculo en la realización de una ransformada de Fourier es un parámero muy imporane, ya que por ejemplo el número de muliplicaciones depende del cuadrado del número de muesras empleadas. Para acelerar ese proceso se fueron desarrollando compuadoras cada vez más poenes y algorimos de cálculo cada vez más eficienes. De esos úlimos, quizás el más popular es el desarrollado en 965 por James W. Cooley, del Cenro de Invesigación homas J. Wason pereneciene a la empresa IBM, y por John W. ukey, de los Laboraorios Bell. El rabajo de ambos dio lugar a un algorimo conocido como ransformada Rápida de Fourier o Fas Fourier ransform (FF). La FF logra economizar el iempo de cálculo reduciendo el número de muliplicaciones necesarias para el análisis frecuencial. Esa economía de cálculo ha permiido la implanación de sisemas que calculan la FF en iempo real. La ransformada de Fourier es una herramiena poderosa ya que proporciona méodos para la resolución de ecuaciones difíciles de manejar, como por ejemplo, las respuesas dinámicas de sisemas elécricos, lumínicos y érmicos. En oros casos permie idenificar las aporaciones de índole regular a una señal flucuane. Son muchas las ramas de la ciencia en las que la ransformada de Fourier se emplea coidianamene. De hecho, la forma de doble hélice del ADN fue descubiera en 96 gracias a las écnicas de difracción de Rayos X y el análisis de Fourier. ambién se puede emplear en el raamieno de imágenes (ver Ilusración I-4), para mejorar su conenido o resalar alguna de la información presene en la misma, en biología, Ilusración I-4: Ejemplo de raamieno de imágenes donde se han realzado los bordes de la imagen mediane un filro paso alo Con la ransformada de Fourier lo que se consigue es un cambio de dominio, o sea, el paso de la información conenida en una señal del dominio emporal, o espacial, al de la frecuencia y viceversa, de modo que permia mejorar el análisis de dicha señal. Es una herramiena muy exendida y acepada con innumerables seguidores, hasa al puno que en 867 Lord Kelvin llegó a afirmar: El eorema de Fourier no es solamene uno de los resulados más hermosos del análisis moderno, sino que puede decirse además que proporciona un insrumeno indispensable en el raamieno de casi odas las cuesiones de la física moderna, por recóndias que sean. 3

12 4 I. La ransformada de Fourier: una inroducción hisórica

13 II. Series de Fourier II. Series de Fourier La aplicación más inuiiva de la eoría de Fourier es aquella que se refiere al raamieno de las señales periódicas, ya que sus resulados ienen una sencilla inerpreación física, al y como se verá a coninuación. II. Funciones periódicas En primer lugar es necesario definir el concepo de función periódica como aquella cuyos valores se repien a inervalos regulares, el iempo enre las sucesivas repeiciones es lo que se conoce como período. Maemáicamene, podemos decir que una función emporal es periódica cuando se cumple la siguiene relación: f = f( + ) (II.) para odo valor de. La consane mínima que saisface la anerior relación es denominada período () que, en el caso de funciones emporales, se expresa en segundos. A la pare de la función que abarca un iempo equivalene a un período se le denomina ciclo. f() Ilusración II-: Represenación de una onda periódica En una función periódica se define la frecuencia como la inversa de período, o sea, como el número de ciclos por segundo: fr = (II.) Su unidad es el Hercio (Hz). Si se supone que un ciclo equivale a π radianes, enonces el número de radianes en un segundo es lo que se conoce como pulsación o frecuencia angular en rad/s o en /s: ω = π (II.3) Generalmene a los érminos frecuencia y pulsación se les sueles denominar indisinamene como frecuencia aunque se ha de ener en cuena que sus unidades son disinas. En una onda periódica se definen el valor de pico máximo F p+ y el valor de pico mínimo F p- como sus valores máximo y mínimos en un período, respecivamene. El valor de pico a pico F pp es la diferencia enre ambos: F p+ F p { ()} { ()} = max f F = F F = min f pp p+ p Unos valores ípicamene asociados a una función periódica son el de su valor medio: (II.4) Los presenes apunes se cenrarán en el esudio de funciones emporales, aunque la eoría de Fourier se puede aplicar en disinas disciplinas con disinos ipos de variables. 5

14 II. Series de Fourier y su valor eficaz o RMS: Fm = f( τ) dτ (II.5) F Frms f d = = τ τ (II.6) donde las inegrales se han definido enre y, aunque es válido cualquier inervalo que abarque un período, p.e. de / a +/. Una de las ondas periódicas más represenaivas es la sinusoidal (ver Ilusración II-), cuya expresión es: f = Asen ω +θ (II.7) siendo A lo que se conoce como ampliud y θ su fase inicial. En ese caso el valor de pico (máximo y mínimo) es F p = A y el valor de pico a pico F pp = A. Asimismo, el valor medio para esa forma de onda es igual a cero y su valor eficaz A. II. Serie de Fourier II.. Obención de la Serie de Fourier La eoría de Fourier afirma que cualquier función periódica f(), ya sea más o menos compleja, se puede descomponer en suma de funciones simples, sinusoidales, cuya frecuencia es múliplo de la función periódica. Eso es, dicha función se puede descomponer en una serie armónica infinia (ver Ilusración II-) expresada como: a f() = + ancosnω + bnsennω = C + Cncos( nω θn) (II.8) n= n= donde: o ω (o fr =ω π) es la frecuencia de la función periódica y recibe el nombre de frecuencia fundamenal o a n, b n, C n y θ n son los coeficienes de la Serie de Fourier que definen las senoides cuya frecuencia es múliplo de la fundamenal La componene de la Serie de Fourier cuya frecuencia coincide con la fundamenal (n=) recibe el nombre de componene fundamenal: acos ω + bsen ω o Ccos ( ω θ ). Al reso de las componenes se les denomina componenes armónicas, así el armónico de orden n o enésimo sería aquel cuya frecuencia es n veces la fundamenal: a n cosnω + b n sennω o Cncos( nω θ n). Igualmene, la frecuencia de las componenes armónicas recibe a su vez el nombre de frecuencia armónica. En el caso de C n y θ n, ésas se suelen llamar además ampliud armónica y ángulo de fase. Los valores de a / y C represenan el valor medio de la función f() a lo largo de un período por lo que reciben el nombre de componene coninua. Para el cálculo de los coeficienes de Fourier se emplean las inegrales: a = f() d; an = f() cos( nω ) d; bn = f() sen( nω) d Además de las siguienes relaciones: (II.9) Es habiual enconrar el valor eficaz denominado con sus siglas en inglés RMS (Roo Mean Square) 6

15 II. Series de Fourier a C = ; Cn = an + b n; θ n = an ( bn an) (II.) donde la noación de d 3 significa que esá exendida a un período cualquiera de la función periódica f(), por ejemplo de -/ a +/, ó de a, Alernaivamene, la Serie de Fourier se puede represenar de forma que incluya los valores eficaces de los disinos armónicos: donde cada coeficiene n n n= f() = C + C cos( nω θ ) (II.) C n represena el valor eficaz del armónico de orden n, es decir: C = C (II.) n n II.. Especro de frecuencia Las expresiones aneriores ponen de manifieso que una función periódica queda descompuesa en una serie infinia de funciones sinusoidales que ienen diferenes frecuencias, odas ellas múliplos de la frecuencia de la función ω, al y como se muesra en Ilusración II-. Onda Cuadrada Periódica Componene fundamenal Nivel de Coninua ercer armónico Armónicos Ilusración II-: Onda cuadrada con sus 7 primeros armónicos represenación emporal.5 especro de frecuencia iempo en s frecuencia en Hz Ilusración II-3: Represenación de una onda cuadrada de frecuencia Hz con su correspondiene especro armónico 3 Para hacer la noación más sencilla se empleará la mayor pare del iempo la inegral enre -/ y +/, pero no debe olvidarse que el cálculo de los coeficienes se puede realizar sobre cualquier período. 7

16 II. Series de Fourier La represenación de la ampliud C n o el valor eficaz C n de los disinos armónicos en función de la frecuencia, o del orden del armónico, es lo que se conoce como especro de frecuencia (Ilusración II-3) II..3 Índices de disorsión En cieras áreas de la ingeniería es ineresane esablecer un parámero que permia evaluar cuáno se aleja una forma de onda periódica de una sinusoidal de la misma frecuencia, de forma que cuando una forma de onda no es sinusoidal se dice que esá disorsionada. Uno de los parámeros más empleados para evaluar la disorsión es la asa de disorsión armónica oal (HD 4 ) la cual relaciona la ampliud (o el valor eficaz) de los armónicos de una forma de onda con el de su componene fundamenal, y se define como: N HD = C C n= ( n ) (II.3) donde el valor de N es el número del armónico máximo que se va a ener en cuena para el cálculo del HD. Por ejemplo, en ingeniería elécrica ese valor es ípicamene 4, o sea, que se evalúa la disorsión de una forma de onda, de ensión o inensidad, eniendo únicamene en cuena los 4 primeros armónicos. Según esa definición una onda sinusoidal iene un valor de HD del %, mienras que para una onda cuadrada (como la mosrada en la Ilusración II-3) ese valor es del 48.3%. La asa de disorsión se puede dar de forma individual para cada armónico, de esa forma, la asa de disorsión armónica HD para el armónico de orden n es: HD = Cn C (II.4) Oro parámero que se puede emplear para indicar el alejamieno enre una forma de onda sinusoidal y una función periódica cualquiera es el Facor de Cresa o CF 5 : CF = Fp F (II.5) donde F p es el valor de pico de la función y F su valor eficaz. En el caso de una onda sinusoidal su valor es de. II..4 eorema de Parseval En general para la energía de una función f() en un inervalo de iempo (a, b) se puede poner como: b () (II.6) a E= f d Esa ecuación inegral expresa que si f() es la corriene que circula por una resisencia de Ω, enonces E es la energía disipada en esa resisencia en el inervalo de iempo (a, b). En el caso de una función periódica se puede hablar de energía media por período o poencia media P cuya expresión es: P = f() d (II.7) donde es el período. El eorema de Parseval afirma que la poencia media se puede poner en función de los coefcienes de Fourier como: 4 Del inglés oal Harmonic Disorion 5 Del inglés Cres Facor 8

17 II. Series de Fourier a (II.8) f() d ( an bn) C Cn = + + = + 4 n= n= Si se emplean los valores eficaces de las componenes armónicas definidos en (II.), enonces: f() d C ( Cn) = + (II.9) n= Aplicando esa propiedad a la definición del valor eficaz en (II.6), se obiene: a F a b C C C C rms = + n + n = + n = + 4 n= n= n= n ( ) (II.) De esa forma se puede afirmar que el valor eficaz al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los valores eficaces de las componenes armónicas. II..5 Aproximación mediane una Serie de Fourier finia En la expresión de la descomposición en Serie de Fourier de una función periódica aparece un sumaorio que incluye un número ilimiado de elemenos. En ese aparado se verá cómo ponderar cada uno de ellos, de forma que el esudio se pueda limiar a un número finio de componenes armónicas. De esa forma surge el concepo de Serie de Fourier Finia, S K (), que es aquella descomposición armónica en la que se ienen en cuena sólo los primeros K elemenos de la Serie de Fourier, o sea: K K a S a cos n b sin n C C cos n (II.) () = + ( ω ) + ( ω ) = + ( ω θ ) K n n n n n= n= Ilusración II-4: Evolución de una Serie de Fourier finia hacia una onda cuadrada Si se aproxima la función f() mediane la serie finia de Fourier S K (), se obiene la expresión: a f a cos n b sin n K n n K (II.) n= () = + ( ω ) + ( ω ) +ε donde ε K () es el error debido a la aproximación mediane la Serie de Fourier de K érminos. Para deerminar la calidad de la aproximación es más adecuada una medida cuaniaiva del error global por período, para ello se uiliza el error cuadráico medio: + + K() = εk() () K() = (II.3) E d f S d 9

18 II. Series de Fourier Se puede demosrar que la mejor aproximación que se puede alcanzar, minimizando el error cuadráico medio recién descrio, mediane una serie armónica finia es, precisamene, la que viene dada por los coeficienes de Fourier. A medida que se van incluyendo érminos de la Serie de Fourier en el sumaorio de S K () el valor del error cuadráico va disminuyendo, hasa que el límie obenemos que: lim E K k = (II.4) O sea, que cuando la Serie de Fourier incluye odos sus érminos en el sumaorio, la energía del error comeido al aproximar una función por dicha descomposición es nula. E K Ora forma de dar el error es: Ilusración II-5: Evolución del error cuadráico medio. + K a E () = f() d ( a + b ) (II.5) K n n 4 n= Si la expresión anerior se lleva al límie se obiene la expresión (II.8) del eorema de Parseval, con la que se calcula la energía de la función f() por período, o poencia, a parir del conocimieno de los coeficienes de la Serie de Fourier. De esa forma, aendiendo a su energía, podemos esimar la imporancia relaiva de cada armónico, o serie finia de ellos. Por ejemplo, ver Ilusración II-6, se puede elegir como crierio el de escoger como represenaiva de la señal original aquella serie finia que represene el 95% de la energía por período. K Energía por período (% del oal) 5 Energía por Armónico Energía de los K primeros Armónicos Orden del Armónico Ilusración II-6: Evolución de la energía por período

19 II. Series de Fourier II..6 El fenómeno de Gibbs Cuando una función dada se aproxima mediane una Serie de Fourier Finia, habrá un error considerable en la vecindad de la disconinuidad, no impora cuanos érminos se quieran emplear. Ese efeco se conoce como el fenómeno de Gibbs. Para ilusrar ese fenómeno se puede ver en la Ilusración II-7 el resulado de aproximar una onda cuadrada por una serie finia de Fourier. sobreoscilación debida al fenómeno de Gibbs Ilusración II-7: Aproximación de una onda cuadrada por sus primeros armónicos. Para una disconinuidad de alura unidad, se obiene una sobreoscilación de valor.9. A medida que aumena el número de elemenos de la serie finia de Fourier que aproxima a la función, la sobreoscilación se va comprimiendo más hacia la disconinuidad aunque su valor permanezca prácicamene consane. Aforunadamene, la energía asociada a esa sobreoscilación (error cuadráico medio), que es lo que realmene da la medida de su imporancia, se va haciendo cero. Eso hace que su presencia carezca de imporancia. Por ejemplo, si se esán esudiando sisemas lineales, la escasa energía en la sobreoscilación difícilmene quedará reflejada en la respuesa del sisema, por lo que el análisis por Fourier será an válido como cualquier oro (emporal, Laplace, ). II..7 Convergencia de la Serie de Fourier Para la obención de los coeficienes de la Serie de Fourier, se emplean las ya conocidas inegrales mosradas en (II.9). Sin embargo, en ocasiones las inegrales descrias pueden divergir, o sea, puede que algún coeficiene (a n o b n ) ienda a. Además, aunque los coeficienes sean finios, puede ocurrir que al susiuirlos en la Serie de Fourier ésa no converja. No obsane, las funciones coninuas no presenan problemas de convergencia, y eso es ambién ciero para muchas señales con disconinuidades. Pueso que el empleo de funciones disconinuas es muy úil, por ejemplo la onda cuadrada, se ha de esudiar más deenidamene el fenómeno de la convergencia. Las condiciones para asegurar esa convergencia se deben a Dirichle, y pueden resumirse en: Condición nº La función ha de ser absoluamene inegrable, o sea: De esa forma garanizamos que: a < ; a n < ; bn < + f() d< (II.6)

20 II. Series de Fourier / Ilusración II-8: Función que incumple la ª condición. Condición nº En cualquier inervalo de iempo la función iene un nº finio de máximos y mínimos. sin(π/) Ilusración II-9: Función que incumple la ª condición. Condición nº 3 En cualquier inervalo finio de iempo hay un número finio de disconinuidades, y además han de ser de ampliud finia. Ilusración II-: Función que incumple la 3ª condición. Las funciones que no cumplen las condiciones aneriores no son usuales y, por lo ano, no son paricularmene imporanes en el esudio de señales y sisemas. Se ha de decir que odas las funciones periódicas asociadas a sisemas físicos cumplen dichas condiciones y, por lo ano, son suscepibles de ser esudiadas mediane las Series de Fourier. Si la función cumple las condiciones aneriores, enonces se puede descomponer en Serie de Fourier, y, por lo ano, debido a la convergencia de la Serie de Fourier se cumple que: lim a n lim bn n = n = (II.7) Ese resulado invia al empleo de las Series Finias de Fourier en los análisis numéricos mediane series de Fourier, ya que la energía asociada a armónicos de orden elevado, o sea, de frecuencia elevada, es muy baja, al y como ya se había indicado en el aparado anerior.

21 II. Series de Fourier a n +b n n Ilusración II-: Coeficienes de la descomposición de una onda cuadrada En las condiciones recién mencionadas se hace referencia a la convergencia de las series de Fourier aún en presencia de disconinuidades finias. En dichas disconinuidades, la función aproximada por su descomposición en Serie de Fourier (ver Ilusración II-) viene dada por: + fsf ( ) = f( ) + f( ) (II.8) donde: o es el insane en el que la función presena la disconinuidad o y + son los insanes anerior y poserior de la disconinuidad o o f sf () es la Serie de Fourier f() es la función original, a parir de la cual se calculan los coeficienes de la Serie de Fourier A pesar de ese resulado se admie la descomposición en Serie de Fourier como equivalene a la función periódica que represena. f() función f() f( + ) fsf ( ) f( ) aproximación mediane la Serie de Fourier Ilusración II-: Aproximación de la Serie de Fourier en las disconinuidades II.3 Análisis de formas de onda periódicas En ese ema se verán odas aquellas condiciones que facilian el esudio de una función periódica. Las primeras de ellas son simerías que permien la deducción de los valores de algunos de los coeficienes de Fourier, a la vez que simplifican sus cálculos. II.3. Simerías de una función periódica A coninuación se muesran las principales condiciones de simería de una función periódica, que son: 3

TEMA 1 INTRODUCCIÓN A LA ELECTRÓNICA DIGITAL. 1. Sistemas analógicos y digitales.

TEMA 1 INTRODUCCIÓN A LA ELECTRÓNICA DIGITAL. 1. Sistemas analógicos y digitales. T-1 Inroducción a la elecrónica digial 1 TEMA 1 INTRODUCCIÓN A LA ELECTRÓNICA DIGITAL El raamieno de la información en elecrónica se puede realizar de dos formas, mediane écnicas analógicas o mediane écnicas

Más detalles

Capítulo 5 Sistemas lineales de segundo orden

Capítulo 5 Sistemas lineales de segundo orden Capíulo 5 Sisemas lineales de segundo orden 5. Definición de sisema de segundo orden Un sisema de segundo orden es aquel cuya salida y puede ser descria por una ecuación diferencial de segundo orden: d

Más detalles

Capítulo 4 Sistemas lineales de primer orden

Capítulo 4 Sistemas lineales de primer orden Capíulo 4 Sisemas lineales de primer orden 4. Definición de sisema lineal de primer orden Un sisema de primer orden es aquel cuya salida puede ser modelada por una ecuación diferencial de primer orden

Más detalles

Cobertura de una cartera de bonos con forwards en tiempo continuo

Cobertura de una cartera de bonos con forwards en tiempo continuo Coberura de una carera de bonos con forwards en iempo coninuo Bàrbara Llacay Gilber Peffer Documeno de Trabajo IAFI No. 7/4 Marzo 23 Índice general Inroducción 2 Objeivos......................................

Más detalles

ÁREA DE FÍSICA DE LA TIERRA SISMOLOGÍA E INGENIERÍA SÍSMICA (PRÁCTICAS)

ÁREA DE FÍSICA DE LA TIERRA SISMOLOGÍA E INGENIERÍA SÍSMICA (PRÁCTICAS) ÁREA DE FÍSICA DE LA TIERRA SISMOLOGÍA E INGENIERÍA SÍSMICA (PRÁCTICAS) Anexo VI Prácicas de Sismología e Ingeniería Sísmica PRACTICA 5. TRATAMIENTO DE ACELEROGRAMAS. 1. OBJETIVO Aprender a llevar a cabo

Más detalles

Fundamentos de Electrónica - Análisis de Circuitos en Corriente Alterna 2

Fundamentos de Electrónica - Análisis de Circuitos en Corriente Alterna 2 Fundamenos de Elecrónica - Análisis de Circuios en Corriene Alerna 1 Análisis de Circuios en Corriene Alerna 1. Inroducción: Coninuando con el esudio de los principios básicos que rigen el comporamieno

Más detalles

LECCIÓN N 3 SEÑALES. Introducción

LECCIÓN N 3 SEÑALES. Introducción LECCIÓN N 3 SEÑALES Inroducción Señales coninuas y discreas Señales ípicas Señales periódicas y aperiódicas Parámeros ípicos. Especro de frecuencias Ruido y disorsión Elecrónica General Inroducción En

Más detalles

Medición del tiempo de alza y de estabilización.

Medición del tiempo de alza y de estabilización. PRÁCTICA # 2 FORMAS DE ONDA 1. Finalidad Esudiar la respuesa de configuraciones circuiales simples a diferenes formas de exciación. Medición del iempo de alza y de esabilización. Medición del reardo. Medición

Más detalles

Práctica 20. CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR ELÉCTRICO

Práctica 20. CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR ELÉCTRICO Prácica 20. CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR ELÉCTRICO OBJETIVOS Esudiar los procesos de carga y de descarga de un condensador. Medida de capacidades por el méodo de la consane de iempo. MATERIAL Generador

Más detalles

Métodos de Previsión de la Demanda Datos

Métodos de Previsión de la Demanda Datos Daos Pronósico de la Demanda para Series Niveladas Esime la demanda a la que va a hacer frene la empresa "Don Pinzas". La información disponible para poder esablecer el pronósico de la demanda de ese produco

Más detalles

Técnicas cualitativas para las Ecuaciones diferenciales de primer orden: Campos de pendientes y líneas de fase

Técnicas cualitativas para las Ecuaciones diferenciales de primer orden: Campos de pendientes y líneas de fase Lección 5 Técnicas cualiaivas para las Ecuaciones diferenciales de primer orden: Campos de pendienes y líneas de fase 5.. Técnicas Cualiaivas Hasa ahora hemos esudiado écnicas analíicas para calcular,

Más detalles

PRÁCTICA 3: Sistemas de Orden Superior:

PRÁCTICA 3: Sistemas de Orden Superior: PRÁCTICA 3: Sisemas de Orden Superior: Idenificación de modelo de POMTM. Esabilidad y Régimen Permanene de Sisemas Realimenados Conrol e Insrumenación de Procesos Químicos. . INTRODUCCIÓN Esa prácica se

Más detalles

UD: 3. ENERGÍA Y POTENCIA ELÉCTRICA.

UD: 3. ENERGÍA Y POTENCIA ELÉCTRICA. D: 3. ENEGÍA Y OENCA ELÉCCA. La energía es definida como la capacidad de realizar rabajo y relacionada con el calor (ransferencia de energía), se percibe fundamenalmene en forma de energía cinéica, asociada

Más detalles

1 Introducción... 2. 2 Tiempo de vida... 3. 3 Función de fiabilidad... 4. 4 Vida media... 6. 5 Tasa de fallo... 9. 6 Relación entre conceptos...

1 Introducción... 2. 2 Tiempo de vida... 3. 3 Función de fiabilidad... 4. 4 Vida media... 6. 5 Tasa de fallo... 9. 6 Relación entre conceptos... Asignaura: Ingeniería Indusrial Índice de Conenidos 1 Inroducción... 2 2 Tiempo de vida... 3 3 Función de fiabilidad... 4 4 Vida media... 6 5 Tasa de fallo... 9 6 Relación enre concepos... 12 7 Observaciones

Más detalles

La transformada de Laplace

La transformada de Laplace Capíulo 8 La ransformada de Laplace 8.. Inroducción a las ransformadas inegrales En ese aparado aprenderemos un méodo alernaivo para resolver el problema de valores iniciales (4.5.) y (x) + py (x) + qy(x)

Más detalles

Modelo de regresión lineal simple

Modelo de regresión lineal simple Modelo de regresión lineal simple Inroducción Con frecuencia, nos enconramos en economía con modelos en los que el comporamieno de una variable,, se puede explicar a ravés de una variable X; lo que represenamos

Más detalles

Ecuaciones diferenciales, conceptos básicos y aplicaciones

Ecuaciones diferenciales, conceptos básicos y aplicaciones GUIA 1 Ecuaciones diferenciales, concepos básicos y aplicaciones Las ecuaciones diferenciales ordinarias son una herramiena básica en las ciencias y las ingenierías para el esudio de sisemas dinámicos

Más detalles

Investigación y Técnicas de Mercado. Previsión de Ventas TÉCNICAS CUANTITATIVAS ELEMENTALES DE PREVISIÓN UNIVARIANTE.

Investigación y Técnicas de Mercado. Previsión de Ventas TÉCNICAS CUANTITATIVAS ELEMENTALES DE PREVISIÓN UNIVARIANTE. Invesigación y écnicas de Mercado Previsión de Venas ÉCNICAS CUANIAIVAS ELEMENALES DE PREVISIÓN UNIVARIANE. (II) écnicas elemenales: Modelos Naive y Medias Móviles. Medición del error de previsión. Profesor:

Más detalles

Keywords: seguro de vida, provisión matemática, probabilidad, función de distribución, solvencia, value at risk, VAT, valor actual neto, VAN.

Keywords: seguro de vida, provisión matemática, probabilidad, función de distribución, solvencia, value at risk, VAT, valor actual neto, VAN. El seguro de vida como variable aleaoria. Cómo calcular su función de disribución. Nieo Ranero, Armando Universiy of Valencia, Spain Do. Maemáicas Económico Empresarial, Edificio Deparamenal Orienal, Av.

Más detalles

LÍNEAS DE FASES. Fig. 1. dx (1) dt se llama Ecuación Diferencial Ordinaria (E.D.O.) de Primer Orden definida en Ω.

LÍNEAS DE FASES. Fig. 1. dx (1) dt se llama Ecuación Diferencial Ordinaria (E.D.O.) de Primer Orden definida en Ω. LÍNEAS DE FASES E. SÁEZ Sea el dominio Ω R R y la función F : Ω R. F R Ω Una epresión de la forma Fig. 1 d (1) = F(,), o bien, ẋ = F(,) se llama Ecuación Diferencial Ordinaria (E.D.O.) de Primer Orden

Más detalles

1.- ALGORITMOS RÁPIDOS PARA LA EJECUCIÓN DE FILTROS DE PILA

1.- ALGORITMOS RÁPIDOS PARA LA EJECUCIÓN DE FILTROS DE PILA hp://www.vinuesa.com 1.- ALGORITMOS RÁPIDOS PARA LA EJECUCIÓN DE FILTROS DE PILA 1.1.- INTRODUCCIÓN Los filros de pila consiuyen una clase de filros digiales no lineales. Un filro de pila que es usado

Más detalles

Tema 8: SERIES TEMPORALES

Tema 8: SERIES TEMPORALES Inroducción a la Economería Tema 8: ERIE TEMPORALE Tema 8: ERIE TEMPORALE. Concepo y componenes de una serie emporal. Definiremos una serie emporal como cualquier conjuno de N observaciones cuaniaivas

Más detalles

Práctica 2: Análisis en el tiempo de circuitos RL y RC

Práctica 2: Análisis en el tiempo de circuitos RL y RC Prácica 2: Análisis en el iempo de circuios RL y RC Objeivo Esudiar la respuesa ransioria en circuios serie RL y RC. Se preende ambién que el alumno comprenda el concepo de filro y su uilidad. 1.- INTRODUCCIÓN

Más detalles

Análisis de inversiones y proyectos de inversión

Análisis de inversiones y proyectos de inversión Análisis de inversiones y proyecos de inversión Auora: Dra. Maie Seco Benedico Índice 5. Análisis de Inversiones 1. Inroducción. 2. Crierios para la valoración de un proyeco. 3. Técnicas de valoración

Más detalles

PROCESOS ESTOCÁSTICOS PROCESOS ESTOCÁSTICOS INTEGRAL ESTOCÁSTICA ECUACIONES DIFERENCIALES ESTOCASTICAS: LEMA DE ITO

PROCESOS ESTOCÁSTICOS PROCESOS ESTOCÁSTICOS INTEGRAL ESTOCÁSTICA ECUACIONES DIFERENCIALES ESTOCASTICAS: LEMA DE ITO PROCESOS ESOCÁSICOS PROCESOS ESOCÁSICOS INEGRAL ESOCÁSICA ECUACIONES DIFERENCIALES ESOCASICAS: LEMA DE IO Procesos esocásicos Un proceso esocásico describe la evolución emporal de una variable aleaoria.

Más detalles

TEMA 9: LA TASA NATURAL DE DESEMPLEO Y LA CURVA DE PHILLIPS

TEMA 9: LA TASA NATURAL DE DESEMPLEO Y LA CURVA DE PHILLIPS TEMA 9: LA TASA NATURAL DE DESEMPLEO Y LA CURVA DE PHILLIPS 9.2 La asa naural de desempleo y la curva de Phillips La relación enre el desempleo y la inflación La curva de Phillips, basada en los daos aneriores

Más detalles

TEMA: FUNCIONES: Cuadrantes 3 er cuadrante, x 0, 4º cuadrante, x 0,

TEMA: FUNCIONES: Cuadrantes 3 er cuadrante, x 0, 4º cuadrante, x 0, TEMA: FUNCIONES: ÍNDICE:. Inroducción.. Dominio y recorrido.. Gráficas de funciones elemenales. Funciones definidas a rozos. 4. Coninuidad.. Crecimieno y decrecimieno, máimos y mínimos. 6. Concavidad y

Más detalles

6.- Señales digitales

6.- Señales digitales EAL - #3-6.- Señales digiales Dado un mensaje digial (p.ej. ) exisen diversos méodos para ransmiirlo como una señal elécrica (señal digial), algunos de los mas comunes, suponiendo ransmisión sincrónica,

Más detalles

Representación gráfica de curvas en forma paramétrica x a(t sent) 1.- Representar la curva dada por

Representación gráfica de curvas en forma paramétrica x a(t sent) 1.- Representar la curva dada por Represenación gráfica de curvas en forma paramérica x a( sen) 1.- Represenar la curva dada por, siendo a > 0. y a(1 cos).- Emparejar cada curva con su gráfica ì ì x = a) ï x = í b) ï ì í ï c) ï x = - sen

Más detalles

Control de un péndulo invertido usando métodos de diseño no lineales

Control de un péndulo invertido usando métodos de diseño no lineales Conrol de un péndulo inverido usando méodos de diseño no lineales F. Salas salas@caruja.us.es J.Aracil aracil@esi.us.es F. Gordillo gordillo@esi.us.es Depo de Ingeniería de Sisemas y Auomáica.Escuela Superior

Más detalles

UNIDAD IX. Técnicas de Suavización

UNIDAD IX. Técnicas de Suavización UNIDAD IX Técnicas de Suavización UNIDAD IX La esadísica demuesra que suele ser más fácil hacer algo bien que explicar por qué se hizo mal. Allen L. Webser, 1998 Cuál es el objeivo de la Técnica de suavización?

Más detalles

Análisis espectral Tareas

Análisis espectral Tareas Análisis especral Tareas T3.1: Implemenación y represenación del periodograma El objeivo de esa area es que los alumnos se familiaricen con la función más sencilla de análisis especral no paramérico. Programe

Más detalles

Tema 3. El modelo neoclásico de crecimiento: el modelo de Solow-Swan

Tema 3. El modelo neoclásico de crecimiento: el modelo de Solow-Swan Tema 3. El modelo neoclásico de crecimieno: el modelo de Solow-Swan Inroducción Esquema El modelo neoclásico SIN progreso ecnológico a ecuación fundamenal del modelo neoclásico El esado esacionario Transición

Más detalles

APUNTE: ELECTRICIDAD-1 INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA

APUNTE: ELECTRICIDAD-1 INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA APUNTE: EECTRICIDAD- INDUCCIÓN EECTROMAGNÉTICA Área de EET Página de 3 Derechos Reservados Tiular del Derecho: INACAP N de inscripción en el Regisro de Propiedad Inelecual #. de fecha - -. INACAP 00. Página

Más detalles

Construcción de señales usando escalones y rampas

Construcción de señales usando escalones y rampas Consrucción de señales usando escalones y rampas J. I. Huircán Universidad de La Fronera March 3, 24 bsrac Se planean méodos para componer y descomponer señales basadas en escalones y rampas. Se de ne

Más detalles

Tema 1: Acústica física I

Tema 1: Acústica física I ema 1: Acúsica ísica I Sonido y ser humano. Nauraleza del sonido. Análisis armónico. Inervalo acúsico. 1.1 Sonido y ser humano El ambiene acúsico inluye en nuesra vida: comunicación, herramiena de rabajo,

Más detalles

TEMA I: FUNCIONES ELEMENTALES

TEMA I: FUNCIONES ELEMENTALES TEMA I: FUNCIONES ELEMENTALES. Función Logarimo Todos conocemos la definición de logarimo en base b, siendo b un número enero posiivo disino de. u = log b x x = b u y la propiedad fundamenal log b (xy)

Más detalles

Introducción al Análisis de Circuitos Eléctricos

Introducción al Análisis de Circuitos Eléctricos Universidad Auónoma de Madrid Escuela Poliécnica Superior Inroducción al Análisis de Circuios Elécricos TEMA ESTUDIO DE CIRCUITOS EN RÉGIMEN PERMANENTE SINUSOIDAL Jesús Bescós Cano Fabriio Tiburi Paramio

Más detalles

6 METODOLOGÍA PROPUESTA PARA VALORAR USOS IN SITU DEL AGUA

6 METODOLOGÍA PROPUESTA PARA VALORAR USOS IN SITU DEL AGUA 38 6 METODOLOGÍA PROPUESTA PARA VALORAR USOS IN SITU DEL AGUA 6.1 Méodo general Para valorar los usos recreacionales del agua, se propone una meodología por eapas que combina el uso de diferenes écnicas

Más detalles

FÍSICA. PRUEBA ACCESO A UNIVERSIDAD +25 TEMA 8. Corriente eléctrica

FÍSICA. PRUEBA ACCESO A UNIVERSIDAD +25 TEMA 8. Corriente eléctrica FÍSC. PUEB CCESO UNESDD +5 TEM 8. Corriene elécrica Una corriene elécrica es el desplazamieno de las cargas elécricas. La eoría aómica acual supone ue la carga elécrica posiiva esá asociada a los proones

Más detalles

6. ALGEBRAS DE BOOLE

6. ALGEBRAS DE BOOLE 6.1. Relaciones de orden Relación de orden Se llama relación de orden sobre un conjuno A a cualquier relación R enre sus elemenos que verifica las siguienes res propiedades: 1. Refleiva: ara, para cualquier

Más detalles

Solución: El sistema de referencia, la posición del cuerpo en cada instante respecto a dicha referencia, el tiempo empleado y la trayectoria seguida.

Solución: El sistema de referencia, la posición del cuerpo en cada instante respecto a dicha referencia, el tiempo empleado y la trayectoria seguida. 1 Qué es necesario señalar para describir correcamene el movimieno de un cuerpo? El sisema de referencia, la posición del cuerpo en cada insane respeco a dicha referencia, el iempo empleado y la rayecoria

Más detalles

En el campo del control industrial se diferencian dos tipos de sistemas: MONITORIZACIÓN. Display S A L I D A. Alarmas S A L I D A

En el campo del control industrial se diferencian dos tipos de sistemas: MONITORIZACIÓN. Display S A L I D A. Alarmas S A L I D A MUESTREO DE SEÑALES Tipos de Señales de los Procesos Indusriales El ipo de señales usadas en conrol de procesos dependen del nivel en el que nos siuemos. Así, a nivel alo se uilizan señales de comunicación

Más detalles

Tema 4: Fuentes y generadores

Tema 4: Fuentes y generadores Tema 4: Fuenes y generadores Fuenes de alimenación: : convieren ensión ac en ensión dc E. Mandado, e al. 995 Generadores de funciones: Fuene de señal calibrada y esable Aplicaciones: obención de respuesa

Más detalles

Física 2º Bach. Tema: Ondas 27/11/09

Física 2º Bach. Tema: Ondas 27/11/09 Física º Bach. Tema: Ondas 7/11/09 DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA Nombre: Problemas [6 PUNTOS: 1 / APARTADO] 1. Una onda ransversal se propaga en el senido negaivo de las X con una velocidad de 5,00

Más detalles

DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE matemáticas - grado 9

DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE matemáticas - grado 9 4 Reconoce el significado de los eponenes racionales posiivos negaivos uiliza las lees de los eponenes. Por ejemplo: 7 7 7 + 7 4 7 7 7 7 40 ( 7 / ) / 7 / / 7 /0 0 7,... Uiliza la noación cienífica para

Más detalles

Y t = Y t Y t-1. Y t plantea problemas a la hora de efectuar comparaciones entre series de valores de distintas variables.

Y t = Y t Y t-1. Y t plantea problemas a la hora de efectuar comparaciones entre series de valores de distintas variables. ASAS DE VARIACIÓN ( véase Inroducción a la Esadísica Económica y Empresarial. eoría y Pácica. Pág. 513-551. Marín Pliego, F. J. Ed. homson. Madrid. 2004) Un aspeco del mundo económico que es de gran inerés

Más detalles

IGEP Tema 2. Leyas financieras básicas: estudio usando aplicaciones informáticas.

IGEP Tema 2. Leyas financieras básicas: estudio usando aplicaciones informáticas. IGEP Tema 2. Leyas financieras básicas: esudio usando aplicaciones informáicas. onenido. apial financiero... 2. Leyes financieras: capialización y descueno...4 2. Leyes de capialización...4 2.2 Leyes de

Más detalles

2 El movimiento y su descripción

2 El movimiento y su descripción El movimieno y su descripción EJERCICIOS PROPUESTOS. Una malea descansa sobre la cina ransporadora de un aeropuero. Describe cómo ve su movimieno un pasajero que esá: parado en la misma cina; en una cina

Más detalles

MÉTODO DE DEFLACIÓN DE VARIABLES ECONÓMICAS: CUENTAS ECONÓMICAS Y TABLAS INPUT-OUTPUT CRISTINA PRADO

MÉTODO DE DEFLACIÓN DE VARIABLES ECONÓMICAS: CUENTAS ECONÓMICAS Y TABLAS INPUT-OUTPUT CRISTINA PRADO MÉTODO DE DEFLACIÓN DE VARIABLES ECONÓMICAS: CUENTAS ECONÓMICAS Y TABLAS INPUT-OUTPUT CRISTINA PRADO EUSKAL ESTATISTIKA ERAKUNDEA INSTITUTO VASCO DE ESTADISTICA Donosia-San Sebasián, 1 01010 VITORIA-GASTEIZ

Más detalles

Dispositivos semiconductores

Dispositivos semiconductores Deparameno de Telecomunicaciones Disposiivos semiconducores 3 Inroduccion Veremos los disposiivos semiconducores más básicos: los diodos. Veremos las variables más comunes de esos semiconducores; El diodo

Más detalles

RE01 DIFERENCIA DEL LOGRO PROMEDIO EN COMPRENSIÓN LECTORA Y MATEMÁTICAS PARA 6 DE PRIMARIA Y 3 DE SECUNDARIA ENTRE 2000 Y 2005

RE01 DIFERENCIA DEL LOGRO PROMEDIO EN COMPRENSIÓN LECTORA Y MATEMÁTICAS PARA 6 DE PRIMARIA Y 3 DE SECUNDARIA ENTRE 2000 Y 2005 RESULTADOSEDUCATIVOS RE01 DIFERENCIA DEL LOGRO PROMEDIO EN COMPRENSIÓN LECTORA Y MATEMÁTICAS PARA 6 DE PRIMARIA Y 3 DE SECUNDARIA ENTRE 2000 Y 2005 FÓRMULA RE01 NOMBREdelINDICADOR Diferencia del loro promedio

Más detalles

INTRODUCCIÓN 1.- PRESENTACIÓN DEL RAMO

INTRODUCCIÓN 1.- PRESENTACIÓN DEL RAMO INTRODUCCIÓN I - 1 1.- PRESENTACIÓN DEL RAMO Señal, es una canidad física que varía con el iempo. En la gran mayoría las aplicaciones la ingeniería elécrica y elecrónica, las señales presenes en un sisema

Más detalles

Resolución Prueba Oficial

Resolución Prueba Oficial JUEVES 6 DE sepiembre DE 01 en n 1 on el maerial de esa edición podrás revisar ocho pregunas del Área emáica de Funciones siee de Geomería. El jueves 1 de sepiembre publicaremos la ercera pare de la resolución

Más detalles

Definición. Elementos de un Sistema de Control

Definición. Elementos de un Sistema de Control TEORÍA DE CONTROL. Tema 1. Inroducción a los Sisemas de Conrol Sisema de Conrol Los conroles auomáicos o sisemas de conrol consiuyen una pare muy imporane en los procesos indusriales modernos, donde se

Más detalles

UNA APROXIMACION A LA SOSTENIBILIDAD FISCAL EN REPUBLICA DOMINICANA Juan Temístocles Montás

UNA APROXIMACION A LA SOSTENIBILIDAD FISCAL EN REPUBLICA DOMINICANA Juan Temístocles Montás UNA APROXIMACION A LA SOSTENIBILIDAD FISCAL EN REPUBLICA DOMINICANA Juan Temísocles Monás Puede el comporamieno acual de la políica fiscal sosenerse sin generar una deuda pública que crezca sin límie?

Más detalles

Cuadernillo de Apuntes de Matemáticas III. M. en C.Luis Ignacio Sandoval Paéz

Cuadernillo de Apuntes de Matemáticas III. M. en C.Luis Ignacio Sandoval Paéz Cuadernillo de Apunes de Maemáicas III M. en C.Luis Ignacio Sandoval Paéz Índice Unidad I vecores. Definición de un vecor en R, R (Inerpreación geomérica), y su n generalización en R.. Operaciones con

Más detalles

TEMA 3 DIGITALIZACIÓN DE SEÑALES: CONVERSIÓN ANALÓGICA/DIGITAL.

TEMA 3 DIGITALIZACIÓN DE SEÑALES: CONVERSIÓN ANALÓGICA/DIGITAL. TEMA 3 DIGITALIZACIÓN DE SEÑALES: CONVERSIÓN ANALÓGICA/DIGITAL. 1 Eapas principales: Muesreo, cuanificación y codificación 1.1 Selección de la frecuencia de muesreo. Teorema del muesreo 1.2 Aliasing y

Más detalles

domótico Extras 2.1 Unidad de control 2.2 Dispositivos de entrada 2.4 Electrodomésticos domóticos 2.5 Medios de comunicación en redes domésticas

domótico Extras 2.1 Unidad de control 2.2 Dispositivos de entrada 2.4 Electrodomésticos domóticos 2.5 Medios de comunicación en redes domésticas 2 Elemenos de un sisema domóico Conenidos 2.1 Unidad de conrol 2.2 Disposiivos de enrada 2.3 Acuadores 2.4 Elecrodomésicos domóicos 2.5 Medios de comunicación en redes domésicas 2.6 Tecnologías aplicadas

Más detalles

AMPLIFICADORES OPERACIONALES CON DIODOS. Al terminar la lectura de este capítulo sobre amplificadores operacionales con diodos, será capaz de:

AMPLIFICADORES OPERACIONALES CON DIODOS. Al terminar la lectura de este capítulo sobre amplificadores operacionales con diodos, será capaz de: 1 MPLIFICDOES OPECIONLES CON DIODOS OJEIVOS DE PENDIZJE l erminar la lecura de ese capíulo sobre amplificadores operacionales con diodos, será capaz de: Dibujar el circuio de un recificador de media onda

Más detalles

Metodología de cálculo del diferencial base

Metodología de cálculo del diferencial base Meodología de cálculo del diferencial base El diferencial base es el resulado de expresar los gasos generales promedio de operación de las insiuciones de seguros auorizadas para la prácica de los Seguros

Más detalles

Las derivadas de los instrumentos de renta fija

Las derivadas de los instrumentos de renta fija Las derivadas de los insrumenos de rena fija Esrella Peroi, MBA Ejecuivo a cargo Capaciación & Desarrollo Bolsa de Comercio de Rosario eperoi@bcr.com.ar Como viéramos en el arículo el dilema enre la asa

Más detalles

Introducción a la Estadística Empresarial. Capítulo 4.- Series temporales Jesús Sánchez Fernández

Introducción a la Estadística Empresarial. Capítulo 4.- Series temporales Jesús Sánchez Fernández Inroducción a la Esadísica Empresarial. Capíulo 4.- Series emporales CAPITULO 4.- SERIES TEMPORALES 4. Inroducción. Hasa ahora odas las variables que se han esudiado enían en común que, por lo general,

Más detalles

Sistemade indicadores compuestos coincidentey adelantado julio,2010

Sistemade indicadores compuestos coincidentey adelantado julio,2010 Sisemade indicadores compuesos coincideney adelanado julio,2010 Sisema de Indicadores Compuesos: Coincidene y Adelanado SI REQUIERE INFORMACIÓN MÁS DETALLADA DE ESTA OBRA, FAVOR DE COMUNICARSE A: Insiuo

Más detalles

CAPÍTULO 3: INFILTRACIÓN

CAPÍTULO 3: INFILTRACIÓN 27 CAPÍTULO 3: INFILTRACIÓN 3.1 DEFINICIÓN El agua precipiada sobre la supericie de la ierra, queda deenida, se evapora, discurre por ella o penera hacia el inerior. Se deine como inilración al paso del

Más detalles

TEMA 2 LOS MODELOS ECONOMETRICOS Y SU PROBLEMATICA

TEMA 2 LOS MODELOS ECONOMETRICOS Y SU PROBLEMATICA TEMA 2 LOS MODELOS ECONOMETRICOS Y SU PROBLEMATICA 1. CONCEPTO DE MODELO El ermino modelo debe de idenificarse con un esquema menal ya que es una represenación de la realidad. En ese senido, Pulido (1983)

Más detalles

Aplicaciones del Ampli cador Operacional

Aplicaciones del Ampli cador Operacional Aplicaciones del Ampli cador Operacional J.I.Huircan Universidad de La Fronera January 6, 202 Absrac Exisen muchas aplicaciones con el Ampli cador Operacional (AO). El análisis en aplicaciones lineales

Más detalles

Modelos de Ajuste Nominal Incompleto. Por Agustín Casas, UdeSa. Diego Hofman, Princeton. Analía Olgiati, BID. Javier DiFiori, Morgan Stanley

Modelos de Ajuste Nominal Incompleto. Por Agustín Casas, UdeSa. Diego Hofman, Princeton. Analía Olgiati, BID. Javier DiFiori, Morgan Stanley Modelos de Ajuse Nominal Incompleo Por Agusín Casas, UdeSa. Diego Hofman, Princeon. Analía Olgiai, BID. Javier DiFiori, Morgan Sanley JEL CLASS: E12 - Keynes; Keynesian; Pos-Keynesian E13 - Neoclassical

Más detalles

TEMA 1. INTRODUCCIÓN AL MODELADO Y ANÁLISIS DE CIRCUITOS DE POTENCIA

TEMA 1. INTRODUCCIÓN AL MODELADO Y ANÁLISIS DE CIRCUITOS DE POTENCIA GENERADADES EMA. NRODUCCÓN A MODEADO Y ANÁSS DE CRCUOS DE POENCA.. GENERADADES... REGAS PARA E ANÁSS DE CRCUOS DE POENCA..3. DESARROO EN SERE..3.. Cálculo de Arónicos..3.. Poencia..3.3. Cálculo de valores

Más detalles

CINEMÁTICA: MOVIMIENTO RECTILÍNEO, CONCEPTOS BÁSICOS Y GRÁFICAS

CINEMÁTICA: MOVIMIENTO RECTILÍNEO, CONCEPTOS BÁSICOS Y GRÁFICAS CINEMÁTICA: MOVIMIENTO RECTILÍNEO, CONCEPTOS BÁSICOS Y GRÁFICAS Dada la dependencia de la velocidad con la posición en un movimieno recilíneo mosrada por la siguiene gráfica, deerminar la dependencia con

Más detalles

Estadística de Valor Tasado de Vivienda

Estadística de Valor Tasado de Vivienda Esadísica de Valor Tasado de Vivienda Meodología Subdirección General de Esudios y Esadísicas Madrid, enero de 2016 Índice 1 Inroducción 2 Objeivos 3 Ámbios de la esadísica 3.1 Ámbio poblacional 3.2 Ámbio

Más detalles

UNA MODELIZACIÓN PARA LOS ACCIDENTES DE TRABAJO EN ESPAÑA Y ANDALUCÍA

UNA MODELIZACIÓN PARA LOS ACCIDENTES DE TRABAJO EN ESPAÑA Y ANDALUCÍA UNA MODELIZACIÓN PARA LOS ACCIDENTES DE TRABAJO EN ESPAÑA Y ANDALUCÍA Por Mónica Orega Moreno Profesora Esadísica. Deparameno Economía General y Esadísica RESUMEN El aumeno de la siniesralidad laboral

Más detalles

UNIDAD 5: MATRICES Y DETERMINANTES

UNIDAD 5: MATRICES Y DETERMINANTES UNIDD 5: MTRICES Y DETERMINNTES ÍNDICE DE L UNIDD - INTRODUCCIÓN - MTRICES CONCEPTOS BÁSICOS TIPOS DE MTRICES 3- OPERCIONES CON MTRICES 4 4- TRNSFORMCIONES ELEMENTLES EN UN MTRIZ6 5- MTRIZ INVERS 7 6-

Más detalles

MODELOS DE VECTORES AUTOREGRESIVOS (VAR) DR. LUIS MIGUEL GALINDO

MODELOS DE VECTORES AUTOREGRESIVOS (VAR) DR. LUIS MIGUEL GALINDO MODELOS DE VECTORES AUTOREGRESIVOS (VAR) DR. LUIS MIGUEL GALINDO VAR: GENERAL Represenación del modelo VAR: () + + = e e A A A A w w c c c c L L L L L L L L ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Selección:.

Más detalles

MACROECONOMIA II. Grado Economía 2013-2014

MACROECONOMIA II. Grado Economía 2013-2014 MACROECONOMIA II Grado Economía 2013-2014 PARTE II: FUNDAMENTOS MICROECONÓMICOS DE LA MACROECONOMÍA 3 4 5 Tema 2 Las expecaivas: los insrumenos básicos De qué dependen las decisiones económicas? Tipo de

Más detalles

Un algoritmo para la Planificación de Producción en un Sistema en Red de Fabricación basada en Sistemas Multiagente 1

Un algoritmo para la Planificación de Producción en un Sistema en Red de Fabricación basada en Sistemas Multiagente 1 X Congreso de Ingeniería de Organización Valencia, 7 y 8 de sepiembre de 2006 Un algorimo para la Planificación de Producción en un Sisema en Red de Fabricación basada en Sisemas Muliagene 1 Julio J. García-Sabaer

Más detalles

Fotodetectores y fotoemisores

Fotodetectores y fotoemisores 5. Opoelecrónica 5.1. Inroducción 5.2. Nauraleza ondulaoria de la luz 5.3. Elemenos de la física de esado sólido 5.4. Modulación de la luz 5.5. Disposiivos de visualización 5.6. Lasers 5.7. Foodeecores

Más detalles

Guías y tutoriales/compresores/winrar

Guías y tutoriales/compresores/winrar g coordinación de uoriales: Graciela Sosisky exo: Horacio Marínez Philipps edición: Gabriela Tenner diseño: CAFE Guías y uoriales/compresores/winrar Los orígenes de ese programa se remonan a las experiencias

Más detalles

ELECTRONICA DE POTENCIA

ELECTRONICA DE POTENCIA LTRONIA D POTNIA TIRISTORS Anonio Nachez A4322 LTRONIA IV A4.32.2 lecrónica IV 2 3 INDI 1. onmuación naural 2. onmuación forzada 3. Méodos de apagado: lasificación 4. lase A: Auoconmuado por carga resonane

Más detalles

El OSCILOSCOPIO * X V d

El OSCILOSCOPIO * X V d UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Deparameno de Física Fundamenos de Elecricidad y Magneismo Guía de laboraorio N o 10 Objeivos 1. Conocer y aprender a usar el osciloscopio. 2. Aprender a medir volajes

Más detalles

4. INDICADORES DE RENTABILIDAD EN CERTIDUMBRE

4. INDICADORES DE RENTABILIDAD EN CERTIDUMBRE Evaluación de Proyecos de Inversión 4. INDICADORES DE RENTABILIDAD EN CERTIDUMBRE La generación de indicadores de renabilidad de los proyecos de inversión, surge como respuesa a la necesidad de disponer

Más detalles

Universidad Nacional de Rosario Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura Escuela de Ingeniería Electrónica Departamento de Electrónica

Universidad Nacional de Rosario Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura Escuela de Ingeniería Electrónica Departamento de Electrónica Universidad Nacional de Rosario Faculad de Ciencias Exacas, Ingeniería y Agrimensura Escuela de Ingeniería Elecrónica Deparameno de Elecrónica EECRÓNICA III RECIFICACIÓN Federico Miyara AÑO 00 B05.0 Riobamba

Más detalles

Criterios de evaluación y selección de los proyectos de inversión en Cuba

Criterios de evaluación y selección de los proyectos de inversión en Cuba Crierios de evaluación y selección de los proyecos de inversión en Cuba Auor: Msc. Eliover Leiva Padrón E-Mail: eleyva@ucfinfo.ucf.edu.cu Insiución: Universidad de Cienfuegos Carlos Rafael Rodríguez Carreera

Más detalles

Examen Parcial de Econometría II. Nombre: RESOLUCION DEL EXAMEN PARCIAL Paralelo:

Examen Parcial de Econometría II. Nombre: RESOLUCION DEL EXAMEN PARCIAL Paralelo: Escuela Superior Poliécnica del Lioral Faculad de Economía y Negocios 30-11-2011 Examen Parcial de Economería II Nombre: RESOLUCION DEL EXAMEN PARCIAL Paralelo: REGLAMENTO DE EVALUACIONES Y CALIFICACIONES

Más detalles

FUNCIONES VECTORIALES CON DERIVE.

FUNCIONES VECTORIALES CON DERIVE. FUNCIONES VECTORIALES CON DERIVE. Las operaciones de cálculo de Dominio, adición susracción, muliplicación escalar y vecorial de funciones vecoriales, se realizan de manera similar a las operaciones con

Más detalles

Consorcio de Investigación Económica y Social (CIES) Concurso de Investigación CIES - IDRC - Fundación M.J. Bustamante 2012. Informe Técnico Final

Consorcio de Investigación Económica y Social (CIES) Concurso de Investigación CIES - IDRC - Fundación M.J. Bustamante 2012. Informe Técnico Final Consorcio de Invesigación Económica y Social (CIES) Concurso de Invesigación CIES - IDRC - Fundación M.J. Busamane 2012 Informe Técnico Final (Agoso 2013) Creación y Desrucción de Empleos en Economías

Más detalles

ESTIMACION DE LA TASA DE DESEMPLEO NO ACELERADORA DE LA INFLACION PARA LA ECONOMIA ECUATORIANA RESUMEN

ESTIMACION DE LA TASA DE DESEMPLEO NO ACELERADORA DE LA INFLACION PARA LA ECONOMIA ECUATORIANA RESUMEN ESTIMACION DE LA TASA DE DESEMPLEO NO ACELERADORA DE LA INFLACION PARA LA ECONOMIA ECUATORIANA Segundo Fabián Vilema Escudero 1, Francisco Xavier Marrio García. 2 RESUMEN Esa esis esablece la uilización

Más detalles

Introducción al Análisis de Circuitos Eléctricos

Introducción al Análisis de Circuitos Eléctricos Universidad Auónoma de Madrid Escuela Poliécnica Superior Inroducción al Análisis de Circuios Elécricos TEMA INTODUCCIÓN. CONCEPTOS BÁSICOS. Jesús Bescós Cano Fabrizio Tiburzi Paramio Madrid, 7 . INTODUCCIÓN....

Más detalles

En la Sección III Usted debe justificar todas sus respuestas con claridad en el espacio en blanco.

En la Sección III Usted debe justificar todas sus respuestas con claridad en el espacio en blanco. Diciembre 9, 2011 nsrucciones Nombre Ese examen iene 3 secciones: La Sección consa de 10 pregunas en el formao de Falso-Verdadero y con un valor de 20 punos. La Sección es de selección múliple y consa

Más detalles

Guía de Ejercicios Econometría II Ayudantía Nº 3

Guía de Ejercicios Econometría II Ayudantía Nº 3 Guía de Ejercicios Economería II Ayudanía Nº 3 1.- La serie del dao hisórico del IPC Español desde enero de 2002 hasa diciembre de 2011, esá represenada en el siguiene gráfico: 115 110 105 100 95 90 85

Más detalles

{ 3} Nota. La raíz no impone condiciones al dominio por ser de índice impar.

{ 3} Nota. La raíz no impone condiciones al dominio por ser de índice impar. . Esudia el dominio de las siguienes unciones: a ( : Función Racional, el dominio son odos los números reales ecepo los que anulen el denominador. R / 0 : 0 : : ± [ ( ] { } R ± { } b ( : Función Racional,

Más detalles

Diagnóstico y reparaciones automotrices con osciloscopio

Diagnóstico y reparaciones automotrices con osciloscopio Tu Manual combo Fascículo + DD Diagnósico y reparaciones auomorices con osciloscopio Los conroles del osciloscopio Cómo inerprear los oscilogramas Pruebas a sensores y acuadores Mediciones en el bus CAN

Más detalles

COMPARACION DE PLANES DE PENSIONES DESDE LA PERSPECTIVA DEL INVERSOR

COMPARACION DE PLANES DE PENSIONES DESDE LA PERSPECTIVA DEL INVERSOR COMPARACION DE PLANES DE PENSIONES DESDE LA PERSPECTIVA DEL INVERSOR Monserra Guillén 1, Jens Perch Nielsen 2 y Ana M. Pérez-Marín 3 RESUMEN En ese rabajo se comparan res producos básicos de ahorro exisenes

Más detalles

Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Funciones de varias variables. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C.

Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Funciones de varias variables. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Maemáicas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Funciones de varias variables Elena Álvarez Sáiz Dpo. Maemáica Aplicada C. Compuación Universidad de Canabria Ingeniería de Telecomunicación Ejercicios: Func. varias

Más detalles

Matemática financiera

Matemática financiera UNDAD 2 Maemáica financiera L a necesidad de efecuar numerosos y complicados cálculos dio origen a los logarimos. Los más usados son los logarimos neperianos, llamados así en honor de John Neper (156 1617),

Más detalles

REVISTA INVESTIGACION OPERACIONAL Vol. 24, No. 1, 2003

REVISTA INVESTIGACION OPERACIONAL Vol. 24, No. 1, 2003 REVISTA INVESTIGACION OPERACIONAL Vol. 24, No. 1, 2003 ADAPTACION DE LOS TIPOS DE INTERES DE INTERVENCION A LA REGLA DE TAYLOR. UN ANALISIS ECONOMETRICO Carlos Paeiro Rodríguez 1, Deparameno de Análisis

Más detalles

SERIES TEMPORALES. Cecilia Esparza Catalán

SERIES TEMPORALES. Cecilia Esparza Catalán SERIES TEMPORALES Cecilia Esparza Caalán Cecilia Esparza Caalán ÍNDICE Página.- INTRODUCCIÓN.. 2 2.- ANÁLISIS PRELIMINAR DE UNA SERIE... 3 - Tendencia y nivel de la serie.... 4 - Esacionalidad.... 9 -

Más detalles

Máquinas Eléctricas (4º Curso)

Máquinas Eléctricas (4º Curso) Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Minas Máquinas Elécricas (4º Curso) Apunes de la asignaura. Curso 200/2002 Juan José Sánchez Inarejos Tema. FUNDAMENTOS DE MÁQUINA ELÉCTRICAS... Inroducción a

Más detalles

La Conducción de la Política Monetaria del Banco de México a través del Régimen de Saldos Diarios

La Conducción de la Política Monetaria del Banco de México a través del Régimen de Saldos Diarios La Conducción de la Políica Monearia del Banco de México a ravés del Régimen de Saldos Diarios INDICE I. INTRODUCCIÓN...2 II. LA OPERACIÓN DEL BANCO DE MÉXICO EN EL MERCADO DE DINERO...3 III. IV. II.1.

Más detalles