Primer Parcial de Introducción a la Investigación de Operaciones Fecha: 5 de mayo de 2015

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1 Primr Pril Introuión l Invstigión Oprions Fh: 5 myo 2015 INDICACIONES Durión l pril: 3 hrs. Esriir ls hojs un solo lo. No s prmit l uso mtril ni lulor. Numrr ls hojs. Ponr nomr y númro éul n l ángulo suprior rho hoj. Esriir n l primr hoj l totl hojs ntrgs. Ls prts no lgils l xmn s onsirrán no srits. Justifiqu toos sus ronmintos. Prgunt 1 6 Puntos (3, 3) Do l siguint prolm Progrmión Mtmáti: min x + y 2 (P) s.. x + y 2 y x ) Esri ls uions Kuhn Tukr pr (P). No s pi rsolvr. ) Son ss uions nsris y sufiints pr l xistni un óptimo glol l prolm? Justifiqu. ) Rsriimos (P) pr llvrlo l form nóni progrmión mtmáti min f = x + y 2 (M) s.. g1 = 2 (x + y) 0 g 2 = x y 0 y sriimos ls oniions Kuhn Tukr 1 λ 1 + λ 2 x = 0 2y λ 1 λ 2 = 0 λ 1 (x + y 2) = 0 λ 2 (y x ) = 0 x + y 2 0 y x 0 λ 1,λ 2 0 NOTA: Aunqu no s pi, numérimnt s pu vrifir qu l soluión s x = , y = , λ 1 = y λ 2 = ) Sí son nsris y sufiints porqu f, g 1 y g 2 n (M) son onvxs, lo qu impli qu l rgión ftil (M) lo s tmién. Cuno ls funions y l ominio son ifrnils y onvxs, ls oniions Kuhn Tukr son nsris y sufiints. L onvxi s justifi porqu ±x,±y,y 2 y x, más infinitmnt ifrnils son funions onvxs y por tnto ls istints forms sumrls (onjunto qu inluy f, g 1 y g 2 ) lo son. Por propi tóri, ls rgions finis por { x g(x) α} pr g onvxs son onvxs y ls rgión ftil (M) s por tnto l intrsión onjuntos onvxos, qu tmién hr l propi.

2 Prgunt 2 10 Puntos Un mprs friión muls, fri sritorios, mss y sills. L prouión tipo mul rquir mr y os tipos mno or lifi: trminión y rpintrí. L nti nsri rurso pr tipo mul s n l siguint tl: Rurso Esritorio Ms Sill Mr 2.5 mtros 1,8 mtros 0.5 mtros Hors trminión 4 hors 2 hors 1.5 hors Hors rpintrí 2 hors 1.5 hors 0.5 hors L mprs ispon 12 mtros mr, 20 hors trminión y 8 hors rpintrí. L mprs spr vnr too lo prouio sills y sritorios pro no s spr vnr más 5 mss. Un sritorio s vn 60 ólrs, un ms 30 ólrs y un sill 20 ólrs. Formulr omo un prolm Progrmión Linl l prolm mximir l gnni l mprs stisfino ls rstriions. x 1 = nti sritorios prouios x 2 = nti mss prouis x 3 = nti sills prouis mx 60x1 + 30x2 + 20x3 s.. 2.5x x x3 12 4x x2 x3 20 2x x x3 8 x2 5 x1, x2, x3 0

3 Prgunt 3 15 Puntos Do l siguint prolm Progrmión Linl: min x1 2x2 s.. 2x1 + 3x3 = 1 3x1 + 2x2 x x1, x2, x3 0 3 = 5 Dtrminr un soluión óptim usno l Métoo Simplx. Plntmos l tl iniil Simplx pr plir Fs I, on ls vrils rtifiils y1, y Fs II Fs I Rstmos l últim fil orrsponint l prolm Fs I ls fils 1 y 2, pr jr osto ruio igul ro n ls vrils orrsponints l s tul y por omnr l simplx Fs II Fs I L s tul s (y1,y2). S slion x1 pr ntrr n l s y qu s l vril no ási on mnor osto ruio ngtivo. L vril ási qu sl s y1 y qu min{1/2, 5/3} = 1/2. L nuv tl s l siguint /2 1/2 0 1/ /2-3/2 1 7/2 Fs II /2-1/2 0-1/2 Fs I /2 5/2 0-7/2 L s tul s (x1,y2). S slion x2 pr ntrr n l s y qu s l vril no ási on mnor osto ruio ngtivo. L vril ási qu sl s y2. L nuv tl s l siguint /2 1/2 0 1/ /4-3/4 1/4 7/4 Fs II Fs I

4 L s tul s (x1,x2). Llgmos l fin l prolm Fs I y qu toos los ostos ruios l fil orrsponint son no ngtivos. S nontró un soluión óptim igul ro pr un ls vrils l Fs I y s pu ontinur on l prolm originl Fs II. S slion x3 pr ntrr n l s y qu s l vril no ási on mnor osto ruio ngtivo. L vril ási qu sl s x1. L nuv tl s l siguint. x 1 x 2 x 3 B 2/ /3 11/ /3 Fs II 14/ /3 L s tul s (x2,x3). Llgmos l fin l prolm Fs II y qu toos los ostos ruios l fil orrsponint son no ngtivos. L soluión óptim s x1 = 0, x2 = 8/3 y x3 = 1/3 on vlor óptimo 16/3. Prgunt 4 9 Puntos (1,1,1,4,1,1) ) Dfin flujo - n un r trnsport ) Dfin ort - n un r trnsport ) D l siguint r trnsport: 8,7 5,0 1,0 9,5 12,5 10,5 i. Iniqu l pi l ort - (P,P ) trmino por P = {,,}. ii. Hllr l flujo máximo plino l lgoritmo For-Fulkrson, prtino l flujo signo. iii. Iniqu ul s l ort pi mínim iv. Iniqu y justifiqu si mi l flujo máximo si s inrmnt l pi l ro (,). Not: ls tiquts sor los ros son: Cpi l ro, Flujo tul. ) Vr tório ) Vr tório ) i) (P,P ) = { (,), (,), (,), (,), (,), (,)} K(P,P ) = = 38

5 ii) En l primr itrión l lgoritmo, s otin l grfo tiquto l siguint moo: (+,1) 8,7 (-, ) 5,0 1,0 (+,4) 9,5 12,5 (+,4) 10,5 (+,4) S h nontro l mino, on holgur 4. S umnt l flujo n 4 unis lo lrgo l mino y s rli un nuv itrión. S otin l siguint grfo tiquto: (-,1) (+,1) 8,7 (-, ) 5,0 1,0 (+,1) 9,9 12,9 (+,1) 10,9 (+,1) Es ir, s hll l mino, on holgur 1. S umnt l flujo n 1 uni lo lrgo s mino y s rli un nuv itrión. S otin l grfo: 8,6 (-, ) 5,1 1,1 9,9 12,10 10,10 mx ϕ = k(p,p C ) = 17 iii) El ort mínimo s P = {}, (P,P C ) = {(,), (,), (,)}. iv) si s inrmnt l pi l ro (,) no mi l flujo máximo porqu st ro no prtn l ort mínimo y por lo tnto l umnto pi no run n un umnto l flujo. Por otro lo

6 los ros ntrnts l noo y stán sturos y no s posil umntr l flujo slint mntnino l onsrvión l flujo, por lo ul no sirv n umntr l pi l rist slint (,).

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