OPCIÓN A EJERCICIO 1_A x 1 0 1

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1 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 006 (Modelo 3 Juio) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A x Sea las matrices A = y B =. 1 x+1 (1 puto) Ecuetre el valor o valores de x de forma que B = A. (1 puto) Igualmete para que A I = B -1. c) (1 puto) Determie x para que A.B = I. Solució x Sea las matrices A = y B =. 1 x+1 Ecuetre el valor o valores de x de forma que B = A. B 0 1 = B B = =. De B = A, teemos 1 Igualmete para que A I = B = x 1, e igualado os sale x = 1. 1 x+1 Dada la matriz B si mediate trasformacioes elemetales de Gauss podemos pasar de (B I) a (I C) la matriz C es la iversa de B, es decir C = B -1. Tambié podemos calcularla co la fórmula B -1 1 t = Adj(B ). B 1 (B I) = Cambio F -F = (I B -1 ), luego B = F 1 por F Veámoslo por la fórmula: B = = 0-1 = - 1; 0 1 Bt = ; Adj(B t 1-1 ) =, luego B -1 1 t -1 1 = Adj(B ) = B 1 0 Dr A I = B -1, teemos A = I + B -1 x , es decir = + =, igualado x = 0. 1 x c) Determie x para que A.B = I. x 1 A.B = x = = I =. Igualado teemos x = x+1 x+1 x+ 0 1 EJERCICIO _A (1 5 putos) Halle los valores de a y b para que la gráfica de la fució f(x) = ax 3 + 3x 5x + b pase por el puto (1, -3) y tega el puto de iflexió e x = 1. (1 5 putos) Halle los itervalos de mootoía y los extremos relativos de la fució defiida por g(x) = x 3 3x + 7. Solució Halle los valores de a y b para que la gráfica de la fució f(x) = ax 3 + 3x 5x + b pase por el puto (1, -3) y tega el puto de iflexió e x = 1. Como pasa por (1,-3) teemos f(1) = -3. Sabemos que los putos de iflexió aula la ª derivada, luego f (-1) = 0. f(x) = ax 3 + 3x 5x + b; f (x) = 3ax + 6x 5; f (x) = 6ax + 6. De f (-1) = 0 6a(-1) + 6 = 0 6 = 6a, de dode a = 1. De f(1) = -3 1 (1) 3 + 3(1) 5(1) + b = b = 3, de dode b = 4. Halle los itervalos de mootoía y los extremos relativos de la fució defiida por g(x) = x 3 3x + 7. Estudiamos su 1ª derivada. g(x) = x 3 3x + 7, g (x) = g(x) = 3x 6x. De g (x) = 0, teemos 3x 6x = 0 = x(3x 6), de dode x = 0 y x =. Que será los posibles extremos relativos. 1

2 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 006 (Modelo 3 Juio) Solució Germá-Jesús Rubio Lua De g (-1) = 3(-1) 6(-1) = 3 > 0, vemos que g (x) > 0 e el itervalo (-,0), es decir g(x) es estrictamete creciete ( ) e el itervalo (-,0) De g (1) = 3(1) 6(1) = -3 < 0, vemos que g (x) < 0 e el itervalo (0,+), es decir g(x) es estrictamete decreciete ( ) e el itervalo (0,+) De g (3) = 3(3) 6(3) = 9 > 0, vemos que g (x) > 0 e el itervalo (,+ ), es decir g(x) es estrictamete creciete ( ) e el itervalo (,+ ) Por defiició x = 0 es u máximo relativo, que vale g(0) = (0) 3 3(0) + 7 = 7. Por defiició x = es u míimo relativo, que vale g() = () 3 3() + 7 = 3. EJERCICIO 3_A Parte I E u aula de dibujo hay 40 sillas, 30 co respaldo y 10 si él. Etre las sillas si respaldo hay 3 uevas y etre las sillas co respaldo hay 7 uevas. (1 puto) Tomada ua silla al azar, cuál es la probabilidad de que sea ueva? (1 puto) Si se coge ua silla que o es ueva, cuál es la probabilidad de que o tega respaldo? Solució E u aula de dibujo hay 40 sillas, 30 co respaldo y 10 si él. Etre las sillas si respaldo hay 3 uevas y etre las sillas co respaldo hay 7 uevas. Tomada ua silla al azar, cuál es la probabilidad de que sea ueva? Llamemos R, N, R C y N C, a los sucesos siguietes, silla co respaldo, silla ueva, " silla si respaldo", y " silla o ueva", respectivamete. Este problema es muy fácil de realizar utilizado ua tabla de cotigecia (tabla de doble etrad, y después utilizado la defiició de probabilidad de Laplace (úmero de casos favorables partido por úmero de casos posibles). Silla co respaldo = R Silla si resplado =R C Totales Silla ueva = N 7 3 Silla o ueva = N C Totales Completamos la tabla de cotigecia sabiedo que tato la suma e horizotal como e vertical da los totales. He puesto e egrita los úmeros que he completado. Silla co respaldo = R Silla si resplado =R C Totales Silla ueva = N Silla o ueva = N C Totales ( Total sillas uevas p(silla uev = p(n) = = 10/40 = 1/4 = 0 5. Total sillas Si se coge ua silla que o es ueva, cuál es la probabilidad de que o tega respaldo? p(silla si respaldo/silla o uev = p(r C /N C Total sillas si respaldo o uevas ) = Total sillas o uevas = 7/ EJERCICIO 3_A Parte II ( putos) E ua població, ua variable aleatoria sigue ua ley Normal de media descoocida y desviació típica 9. De qué tamaño, como míimo, debe ser la muestra co la cual se estime la media poblacioal co u ivel de cofiaza del 97 % y u error máximo admisible igual a 3? Solució Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL σ X, sigue ua N(μ, ), y

3 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 006 (Modelo 3 Juio) Solució Germá-Jesús Rubio Lua σ σ geeralmete escribimos X N(µ, ) o X N(µ, ) Sabemos que p(z z 1-α/ ) = 1 - α/, que se mira e la tabla de la distribució Normal, y os dará el correspodiete valor crítico z 1 - α/. Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: σ σ I.C = x z 1 α/,x + z1 α/ dode z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ σ Tambié sabemos que el error máximo de la estimació es E = z1 α /, para el itervalo de la media, de z 1- α/. σ dode el tamaño míimo es E. E ua població, ua variable aleatoria sigue ua ley Normal de media descoocida y desviació típica 9. De qué tamaño, como míimo, debe ser la muestra co la cual se estime la media poblacioal co u ivel de cofiaza del 97 % y u error máximo admisible igual a 3? Datos σ = 9; ivel de cofiaza = 1 α = 97% = 0 97; E < 3. De 1 α = 0 97, teemos α = = 0 03, de dode α/ = 0 03/ = De p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = = 0 985, mirado e las tablas de la N(0,1) la probabilidad vemos que correspode a z 1-α/ = z = 17. De z 1- α/. σ E = ' , luego el tamaño míimo es = 43. OPCIÓN B EJERCICIO 1_B ( putos) Represete la regió defiida por las siguietes iecuacioes y calcule sus vértices: x 0; y 0; - x + y 6; x + y 6; x 4. (1 puto) Calcule el máximo de la fució F(x, y) = x + y + 1 e la regió aterior e idique dóde se alcaza. Solució ( y ( Fució Objetivo F(x,y) = x + y + 1. Restriccioes: Que so las desigualdades x 0; y 0; - x + y 6; x + y 6; x 4; y las trasformamos e igualdades, y ya so rectas, x = 0; y = 0; - x + y = 6; x + y = 6; x = 4. Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos x = 0; y = 0; y = x/ + 3; y = -x + 6; x = 4; Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, y el recito e el cual estará los bordes del recito delimitado por las iecuacioes dadas. 3

4 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 006 (Modelo 3 Juio) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes de las rectas de dos e dos. De x = 0 e y = 0. El puto de corte es A(0,0) De x = 4 e y = 0. El puto de corte es B(4,0) De x = 4 e y = -x + 6; teemos y =. El puto de corte es C(4,) De y = -x + 6 e y = x/ + 3; teemos -x + 6 = x/ + 3, es decir -x + 1 = x + 6, luego 6 = 3x, luego x = e y = 4, y el puto de corte es D(,4) De x = 0 e y = x/ + 3, teemos y = 3, y el puto de corte es E(0,3) Vemos que los vértices del recito so: A(0,0), B(4,0), C(4,), D(,4) y E(0,3). Calculemos el máximo de la fució F(x,y) = x + y + 1 e dicha regió. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió acotada, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(0,0), B(4,0), C(4,), D(,4) y E(0,3). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. F(0,0) = (0)+(0)+1 = 1; F(4,0) = (4)+(0)+1 = 9; F(4,) = (4)+()+1 = 13; F(,4) = ()+(4)+1 = 13; F(0,3) = (0)+(3)+1 = 7. Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es 13 (el valor mayor e los vértices) y se alcaza e los vértices C(4,) y D(,4), es decir e todo el segmeto que ue el vértice C co el vértice D. EJERCICIO _B x Sea la fució f defiida por f(x) = x - 1. x + x si x > 0 ( putos) Estudie la cotiuidad y la derivabilidad de f. (1 puto) Calcule la ecuació de la recta tagete a la gráfica de la fució e el puto de abscisa x = 1. Solució x Se cosidera la fució defiida por f(x) = x - 1 x + x si x > 0 Estudie su derivabilidad e x = 0. Sabemos que si ua fució es derivable, la fució es cotiua. Veamos la cotiuidad y derivabilidad de f e x = 0 Como f es cotiua e x = 0, teemos f(0) = f(0) = lim f(x) = lim x 0 x 0 x = 0/-1 = 0. x - 1 lim f(x) = lim f(x). x 0 x 0+ 4

5 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 006 (Modelo 3 Juio) Solució Germá-Jesús Rubio Lua lim f(x) = lim (x + x) = 0. Como ambas expresioes so iguales, f es cotiua e x = 0. x 0 + x 0 + x Teemos f(x) = x - 1, de dode: x + x si x > 0 (x - 1) - x() si x < 0 f (x) = (x - 1) = x + 1 si x > 0-1 (x - 1) x + 1 si x > 0 Sabemos que f es derivable e x = 0, si f (0+) = f (0-), es decir cotiuidad de la derivada (es más secillo). - 1 lim f (x) = lim = -1/1 = -1. x 0 x 0 (x - 1) lim f(x) = lim (x + 1) = 1. Como -1 1, x 0 + x 0 + lim f (x) x 0 lim f (x) = lim f (x). Estamos viedo la x 0 x 0 + lim f(x), luego la fució f o es derivable e x = 0. x 0 + Calcule la ecuació de la recta tagete a la gráfica de la fució e el puto de abscisa x = 1. Vemos que x = 1 está e la rama x > 0, luego teemos f(x) = x + x, y f (x) = x + 1. Sabemos que la recta tagete e x = 1 es y f(1) = f (1) (x 1) f(x) = x + x f(1) = (1) + (1) =. f(x) = x + 1 f (1) = (1) + 1 = 3. La recta tagete pedida es y = 3(x 1), es decir y = 3x - 1. EJERCICIO 1_B Parte I Sea los sucesos A y B idepedietes. La probabilidad de que ocurra el suceso B es 0 6. Sabemos tambié que p(a/b) = 0 3. (1 puto) Calcule la probabilidad de que suceda al meos uo de los dos sucesos. (1 puto) Calcule la probabilidad de que ocurra el suceso A pero o el B. Solució Sea los sucesos A y B idepedietes. La probabilidad de que ocurra el suceso B es 0 6. Sabemos tambié que p(a/b) = 0 3. Del problema teemos: p(b) = 0 6; p(a/b) = 0 3. Sabemos que p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B); A y B so idepedietes si p(a B) = p(a) p(b); p( A B ) p(a/b) = ; p(a C B C ) = {Ley de Morga} = p(a B) C = {suceso cotrario} = 1 - p(a B); p(b) p(a C ) = 1 - p(a); p(a B C ) = p(a) - p(a B) Calcule la probabilidad de que suceda al meos uo de los dos sucesos. Me pide p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B) Como A y B so idepedietes p(a B) = p(a) p(b), es decir p(a B) = p(a) 0 6; ( ) De p(a/b) = 0 3, teemos p(a/b) = p A B, es decir 0 3 = p(a B)/0 6, luego p(a B) = = p(b) Etrado e p(a B) = p(a) 0 6, teemos p(a) = 0 18/0 6 = 0 3. Luego p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B) = = 0 7. Calcule la probabilidad de que ocurra el suceso A pero o el B. Me pide p(a y ob) = p(a B C ) = p(a) - p(a B) = = 0 1. EJERCICIO 1_B Parte II 5

6 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 006 (Modelo 3 Juio) Solució Germá-Jesús Rubio Lua ( putos) Se ha lazado u dado 400 veces y se ha obteido 80 veces el valor cico. Estime, mediate u itervalo de cofiaza al 95%, el valor de la probabilidad de obteer u cico. Solució Sabemos que si 30 para la proporció muestral p, el estimador PROPORCIÓN MUESTRAL p sigue ua ormal N( p q p, ) que es la distribució muestral de proporcioes, dode q = 1- p, y geeralmete escribimos p N( p q p, ) o p N( p q p, ). Sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la proporció p de las muestras es: p(1 ˆ p) ˆ p(1 ˆ p) ˆ I.C= p ˆ - z ˆ 1 α/.,p + z 1 α/. = (b- dode z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ )=1-α/. p(1 ˆ p) ˆ El error cometido es E < z 1 α /. = (b-/, de dode el tamaño de la muestra es = ˆˆ. (z 1-α/ ).p.q E ( putos) Se ha lazado u dado 400 veces y se ha obteido 80 veces el valor cico. Estime, mediate u itervalo de cofiaza al 95%, el valor de la probabilidad de obteer u cico. Datos del problema: p = 80/400 = 0, q = 1 0 = 0 8, = 400, ivel de cofiaza = 95% = 0 95 = 1 - α, de dode α = 0 05 y α/ = Co 1 α = 0 95, teemos α = = 0 05, de dode α/ = 0 05/ = De p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = = Mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad viee e la tabla y correspode a z 1-α/ = Por tato el itervalo de cofiaza pedido es: p(1 ˆ p) ˆ p(1 ˆ p) ˆ 0' 0'8 0' 0'8 I.C.(p) = p ˆ - z ˆ 1 α/.,p + z 1 α/. = 0 ' - 1' 96, 0 ' + 1' (0 1608, 0 39) 6

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