Progresiones SUCESIONES PROGRESIÓN ARITMÉTICA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA INTERÉS COMPUESTO TÉRMINO GENERAL SUCESIONES RECURRENTES. SUMA DE n TÉRMINOS

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1 Progresioes SUCESIONES TÉRMINO GENERAL SUCESIONES RECURRENTES PROGRESIÓN ARITMÉTICA TÉRMINO GENERAL SUMA DE TÉRMINOS PROGRESIÓN GEOMÉTRICA TÉRMINO GENERAL SUMA Y PRODUCTO DE TÉRMINOS SUMA DE INFINITOS TÉRMINOS INTERÉS COMPUESTO 08

2 La mascota de la pricesa El rey de Sicilia, Federico II, había ecargado al filósofo de la Corte, Jua de Palermo, que examiara a Leoardo de Pisa co problemas matemáticos de difícil solució. Leoardo, más coocido como Fiboacci, les presetó las solucioes y esperó a que las evaluara. A medida que estudiaba el trabajo, sus caras reflejaba la sorpresa que les producía. Mietras tato, Fiboacci se había alejado u poco y charlaba co ua iña que, setada e la escalera, acariciaba a u coejito que mateía e su regazo. Yo tuve ua pareja de coejos decía Fiboacci. De qué color era? se iteresó la iña. Era blacos y los tuve e casa, a ellos y sus crías, durate meses, luego me trasladé co mi padre y o me los pude llevar. E u año teía parejas! Eso es imposible dijo la iña mietras imagiaba todo lleo de coejos. La primera pareja comezó a criar al segudo mes, y de cada camada me quedaba co otra pareja, que comezaba a procrear a su vez a los dos meses de vida repasaba metalmete el sabio. Mes E F M A M J J A S O N D Parejas 8 89 La iña iba aputado y, de repete, lo vio claro. El úmero de parejas es, cada mes, la suma de los dos meses ateriores. Cuátas parejas tedría al cabo de catorce meses? Y a los dos años? Calculamos el úmero de parejas que tedría a los meses hallado a : a a a a a a 6 a a 8 a 9 a 0 a a a a 8 89 Al cabo de dos años habrá trascurrido meses, luego hay que calcular a : a a a a 6 a a a 9 a 0 a a a a

3 Progresioes EJERCICIOS 00 Di cuáles so los térmios a, a y a 6 de las siguietes sucesioes. a) 6,, 8, 9, 0, b) 0,,, 6, 8, c) ; 0,; 0,0; 0,00; 0,000; d),,,,, e),, 8, 6,, f),,,, 8, Determia su regla de formació. a) a 6, a 8, a 6. Cada úmero es el aterior más. b) a 0, a, a 6 0. Cada úmero es el aterior meos. c) a ; a 0,0; a 6 0,0000. Cada úmero es el aterior dividido etre 0. d) a, a, a 6. Todos los úmeros so. e) a, a 8, a 6 6. Cada úmero es el doble del aterior. f) a, a, a 6. Cada úmero es la suma de los dos ateriores. 00 Costruye ua sucesió que cumpla que: a) El primer térmio es y cada uo de los siguietes es la suma del aterior más. b) El primer térmio es y cada uo de los siguietes es el aterior multiplicado por. a), 8,,,,... b), 6, 08,, 9, Haz ua sucesió co térmios a, a y a, siedo los siguietes térmios la suma de los tres ateriores.,,, 9, 6, 9, Escribe los cuatro primeros térmios de la sucesió co térmio geeral: + a) a + b) a + a) a + 0 a + a + 0 a b) a a a a

4 SOLUCIONARIO 00 Obté los cuatro primeros térmios de cada sucesió. a) a, a + a b) a, a a a) a + a a, a + ( ), a + a + 8 b) a a a, a 8 6 a 8 9 a ( ) Ivétate el térmio geeral de ua sucesió y calcula el valor de los térmios, y 6. a + a 9 a. a Escribe el térmio geeral de estas sucesioes. a),,,, 6, c), 0,, 0,, b), 6, 9,,, d) 8,,,, 0, a) a + b) a c) a d) a Determia si las siguietes sucesioes so progresioes aritméticas. a), 0,,, c),,,, 6, e), 0,,, b),, 6,, 8, 9, d),, 9, 6,, a) a a 0 a a 0 a a ( ) d Sí lo es. b) a a a a 6 a a 6 a a 8 d Sí lo es. c) a a a a No lo es. d) a a a a 9 No lo es. e) a a 0 a a 0 No lo es. 009 E ua progresió aritmética, a,8 y a,6. Calcula. a) La diferecia, d. b) El térmio a 8. a) d,6,8 0,8 b) a 8,8 + 0,8 0, 00 E ua progresió aritmética, el térmio a y la diferecia d. Calcula a y a 8. a + ( ) a + 9 a + ( ) ( ) a 8 + (8 ) ( ) 0

5 Progresioes 0 Halla el térmio geeral de estas progresioes aritméticas. a),,,,, b),, 9, 6, a) d a + ( ) b) d a ( ) 8 0 E ua progresió aritmética, el primer térmio es y la diferecia. Determia a. a, d a a + ( ) d ( ) 0 E ua progresió aritmética, el tercer térmio es 9 y la diferecia. Halla el primer térmio y el térmio geeral. a a + ( ) d 9 a + a a a + ( ) d + ( ) 0 E ua progresió aritmética, a 6 y a 9. Calcula a y el térmio geeral. + (9 6) d d 6 : a + a 0, a + ( ) 0 Calcula la suma de los 0 primeros térmios de la progresió:,,,, 9,,,,, 9, d a S Dada la progresió aritmética co a 0, halla la suma de los primeros térmios. a 0 0 a 0 S. Quiero colocar filas de macetas de tal maera que e la primera fila podré macetas, y cada ua de las siguietes filas tedrá macetas más que la aterior. Cuátas macetas colocaré e total? a a + ( ) d a + ( ) a, a S 8 macetas

6 SOLUCIONARIO 08 Determia si so progresioes geométricas. a),,,, 6, d), 9,,, b),, 8, 6,, e),,,,, c),,, 8, 6, a) 6 r Sí lo es. 8 6 b) r Sí lo es. 8 6 c) Sí lo es r d) 9 No lo es. 9 e) r Sí lo es. 09 Halla el térmio geeral y el térmio a 6. 8 a),,, b) a) a a,, 9, 9, a a Este caso o es ua progresió pues b) a r a r r a ( ) a ( ) 6, E ua progresió geométrica, a y a. Calcula a y a. a a r a a r.ª :.ª Sustituimos r e la.ª ecuació: a a y comprobamos que se cumple la.ª ecuació:. 8 Si r e la.ª ecuació: a a r r±

7 Progresioes y comprobamos que se cumple la.ª ecuació: Luego hay dos solucioes: a a ( ) ( ) 8 y a ( ) 6 y a ( ) ( ) Dada la sucesió: ; ;,; 6,; 0,; a) Comprueba que es ua progresió geométrica. Halla su razó. b) Calcula su térmio geeral. c) Halla la suma de sus 0 primeros térmios., 6, 0, a), Sí lo es., 6, b) a, c) (, ), S 0 0 Halla la suma de los primeros térmios de la progresió: a a r r r a ( ) a ( ) 6 8, 6, 66 0, ( ) ( ) S,, 9, 9, 8, Ua ameba se reproduce por bipartició cada miutos. Cuátas habrá al cabo de 0 horas? E 0 horas miutos se habrá producido: 600/ 0 biparticioes. Se trata de ua progresió geométrica e la que a y r. Por tato: a 0 0 6, Calcula el térmio geeral y la suma de los ifiitos térmios de las siguietes progresioes geométricas. a) a y r b) a y r 0 a) a S 0 b) a 0 S

8 SOLUCIONARIO 0 Halla, si es posible, la suma de los ifiitos térmios de estas progresioes. 8 a),,, b) a a a) a a No podemos calcular la suma porque o es ua progresió geométrica. b) a a r r r,, 9, 9, La razó es mayor que la uidad; o podemos calcular su suma (es ifiita). 06 E ua progresió geométrica, S0 y a. Cuáto vale la razó? a S 0 r r r r r r 0 0 Halla el producto de los primeros térmios de ua progresió geométrica co a y r. a a r a P ( ) (.) E ua progresió geométrica, a y r. Halla el producto de los 0 primeros térmios. a a r a a 9 a 0 a r 9 a P 0 (.888) 8, Dada ua progresió geométrica cuyo térmio geeral es a, calcula P 6. a P ( 8) Halla la razó de ua progresió geométrica co a y P.0. P. 0 ( a ) a r. 0 r 0 r 0. 0 r 0 Calcula el capital obteido ivirtiedo 00 al % aual durate 0 años. 0 C ,,80 00

9 Progresioes 0 Halla el capital que se obtedría al ivertir 0 cétimos de euro al % aual durate u siglo. Cuál sería el capital si el rédito fuera del %? 00 C 00 0,0 + 6, 00 0 Obté el capital que, co u iterés compuesto del % mesual, produce.000 e años C C, C.09, Determia el capital que, co u iterés compuesto del 0 % aual, produce,0 e años. 0,0 C +,0 C, C00 00 ACTIVIDADES 0 Escribe los siguietes térmios de estas sucesioes. a), 6,, 8, 9, c),,, 8,, b) 0, 0, 0, 0, 0, d),,,, Qué criterio de formació sigue cada ua de ellas? a), 6,, 8, 9, 0,,,... Aumeta de e. b) 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,... Dismiuye de 0 e 0. c),,, 8,,, 9, 6,... Aumeta de e. d),,,, 6,.,.6,... Aumeta multiplicado por. 06 Dada la sucesió:, 8,, 6, a) Cuál es su sexto térmio? b) Y su criterio de formació? a) 6 6 b) a 0 La sucesió,, 9, 6,, tiee por térmio geeral a. Obté el térmio geeral de las sucesioes. a), 8, 8,, 0, c), 9, 6,, b), 6,, 8,, d) 6,, 6, 9, a) a c) a (+) b) a + d) a (+) 6

10 SOLUCIONARIO 08 La sucesió,, 6, 8, 0, tiee por térmio geeral a. Determia el térmio geeral de las sucesioes. a),,,,, c),, 6, 8, b) 6, 8, 0,, d) 6,, 8,, 0, a) a c) a b) a + d) a 6 09 Halla los cico primeros térmios de la sucesió cuyo térmio geeral es: a) a d) a + (+) f) a + b) a ( ) + e) a + g) a c) a a) a,, 8, 6,, b) a ( ) + ( ), ( ), ( ), ( ) 6, ( ),, 8,, 9,.8, c) a,,,, 0, d) a + ( + ) 0,, 8,, 6, e) a,,,,, 9 8 f) a +, 8, 6, 6, 8, + g) a 6 8,,,,, Escribe los cico primeros térmios de las siguietes sucesioes. a) El primer térmio es y cada térmio se obtiee sumado al aterior. b) El primer térmio es y cada uo de los siguietes se obtiee multiplicado el aterior por. c) El primer térmio es, el segudo y los siguietes so la suma de los dos ateriores. d) El primer térmio es 8 y los siguietes so cada uo la mitad del aterior. a),, 9,, b),,,, 8 c),,,, 8 d) 8,,,,

11 Progresioes 0 HAZLO ASÍ CÓMO SE DETERMINA EL TÉRMINO GENERAL DE ALGUNAS SUCESIONES DE FRACCIONES? Halla el térmio geeral de la siguiete sucesió. 9 6,,,, PRIMERO. Se busca el criterio de formació de los umeradores y se determia su térmio geeral., 9, 6,, El primer térmio es el cuadrado de. Térmio geeral (+) El segudo es el cuadrado de. El tercero, el cuadrado de SEGUNDO. Se busca el criterio de formació de los deomiadores y se determia su térmio geeral.,,,, Sucesió de úmeros impares. Térmio geeral TERCERO. El térmio geeral de la sucesió será el cociete etre los dos térmios geerales. Térmio geeral ( + ) 0 La sucesió,,,,, tiee por térmio geeral a. La sucesió,, 8, 6, tiee por térmio geeral a. Halla el térmio geeral de estas sucesioes. a),,,, c),,,, 8 6 b) 6,,,, d),,,, 8 6 a) a b) a + c) a d) a 0 Obté los primeros térmios de las siguietes sucesioes recurretes. a) a, a, a a a b b) b, b, b b c) c, c 0, c, c c + c + c d) d, d d + a),,,, c), 0,, 0, b),,,, d),,,, 6 8

12 SOLUCIONARIO 0 Halla la regla de formació de estas sucesioes recurretes. a),,,, 8, 9, c),,, 6,, 0, b), d),, 6,,, 6, a) a, a, a a + a a b) a, a, a a c) a, a, a, a a + a + a d) a, a, a a a 0 Halla la diferecia y el térmio geeral de estas progresioes aritméticas. a) 0,,,, c),,, 8, b),,,, d) 6, 8, 0, 8, a) d 0 a 0 ( ) b) d a + ( ) c) d a ( ) d) d8 6 8 a 6 8 ( ) 8 06 Co los datos de las siguietes progresioes aritméticas: a) a y a, calcula d, a 8 y a. b) b, y b 6, calcula d, b 0 y b. c) c y d, calcula c, c 8 y c. d) h 8 y h, calcula d, h 0 y h. a) + ( ) d d 8 a 8 + (8 ) ( 8) a + ( ) ( 8) b) 6, + ( ) d d, b 0, + (0 ), 8 b, + ( ), c) c + ( ) ( ) c 8 c (8 ) ( ) c 8 + ( ) ( ) d) 8 + ( ) d d, h (0 ) (,), h 8 + ( ) (,) 0 Cosidera la sucesió,, 6, 8, 0, a) Es ua progresió aritmética? c) Calcula el térmio 0. b) Halla su térmio geeral. a) Sí, es ua progresió aritmética; d b) a + ( ) c) a

13 Progresioes 08 Dada la sucesió :,,,, 0, a) Comprueba que es ua progresió aritmética. b) Halla su térmio geeral. a) d b) a + ( ) 6 ( ) 09 Sabiedo que los térmios de ua progresió aritmética se puede obteer co la calculadora, mediate el sumado costate: d + + a obté los 0 primeros térmios de las progresioes aritméticas. a) a 8 y d c) c 0 y d b) b y d d) h y d 8 a) 8,, 8,, 8,, 8,, 8, b),,,,,,,,, c) 0,,,,,, 8,,, d), 0, 8, 6,,, 60, 68, 6, E ua progresió aritmética, a 0 y d. Averigua el valor del térmio a. a a 0 + ( 0) d a E ua progresió aritmética, a a) Obté a y d. b) Determia el térmio geeral. y a. 6 a) d a a a a 6 6 b) a + ( ) 6 0 E ua progresió aritmética, a 8 y a. Calcula la diferecia y el térmio geeral. a a8 a a8+ d d a a8 d a + ( ) 8+ 0

14 SOLUCIONARIO 0 E ua progresió aritmética, a y d6. Averigua el lugar que ocupa u térmio que vale 9. a, d6 a + ( ) ( ) 6 ( ) 0 Halla el térmio geeral de las siguietes progresioes aritméticas. a),;,;,8;,8, c) b),,,,, d),,,,,,,, a a a a a) a,; d0,0 a, + ( ) 0,0,69 + 0,0 b) a, d a ( ) 8 c) a, d a + ( ) d) a, d a + ( ) + a a a a a a 0 Halla el térmio geeral de ua progresió aritmética e la que a y a + a. a a + d a d Sustituimos para hallar d: a + a a + a + ( ) d a + 9d ( d) + 9d 6 d+9d d 6 d Y sustituyedo teemos que: a d a 6 Como a a + d a + a. El térmio geeral será: a + ( ) E ua progresió aritmética de 8 térmios, el primero y el último suma. El tercer térmio es 6. Escribe la progresió. a + a 8 a 6 d a a + d6 a + a 8 a + a + (8 ) d a + d (6 d) + d d+d d d9 d Y despejado: a 6 d6 0. Luego a ( ) 0,, 6, 9,...

15 Progresioes 0 HAZLO ASÍ CÓMO SE INTERPOLAN TÉRMINOS QUE FORMEN UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA? Iterpola tres térmios etre y 9 para que forme ua progresió aritmética. PRIMERO. Se calcula a y d. La progresió que se quiere costruir será de la forma:, a, a, a, 9. Por tato: a y a 9. Como tiee que ser ua progresió aritmética: a a + ( )d 9 + ( )d d d SEGUNDO. Se halla los térmios itermedios. a + ( ) a + ( ) a + ( ) Los tres térmios que hay que iterpolar será, y Iterpola 6 térmios etre y para que forme ua progresió aritmética. a, a 8, d ( ) : (8 ) 9 9 Los 6 térmios so:,,,,,. Iterpola térmios etre los úmeros y para que forme ua progresió aritmética. a, a, d Los térmios so:,,,, Sabiedo que estas sucesioes so progresioes aritméticas, completa los térmios que falta. a),,,,, c),,,,, 6 8 b) ;,; ;,; d),,,,, a) d 6 6,,,, 6, 6

16 SOLUCIONARIO b) d(,,) : ( ) 0, ;,; ;,; c) d d) d,,,,, 6 8 8,,,,, Sea a + el térmio geeral de ua progresió aritmética. Calcula a y la suma de los 0 primeros térmios. a + 0 a + a+ a0 + 8 S E ua progresió aritmética, a 8 0 y d. Halla el primer térmio y la suma de los 0 primeros térmios. a 8 a + d 0 a + a 9 a 0 a + 9d a a+ a0 9+ S 0 0 S Calcula la suma de los 0 primeros térmios de ua progresió aritmética si el tercer térmio es y el décimo es 66. a, a 0 a + d 66 + d d d6 a a + d a + 6 a a+ a S Halla la suma de los 00 primeros úmeros pares. a a a + ( ) d a + ( ) a a+ a S Calcula la suma de los múltiplos de compredidos etre 00 y 0. a 0, a 00 a a + ( ) d ( ) 00 0 a+ a S 8.

17 Progresioes 066 Halla la suma de los primeros térmios de ua progresió aritmética e la que a y a 0. a a + d 0 + d d a a + d a + 6 a+ a + 6 S S Halla la suma de los primeros úmeros aturales. a + a + + a S 068 Cuátos úmeros impares cosecutivos a partir de suma.96? Los úmeros impares forma ua sucesió cuyo térmio geeral es a. a + a + S Luego se trata de los primeros úmeros impares. 069 Calcula la suma y el último térmio de ua progresió aritmética de diferecia, sabiedo que tiee térmios y el primero vale. ( + ) a + ( ), S 8

18 SOLUCIONARIO 00 Halla la suma de los térmios de ua progresió aritmética limitada cuyo primer térmio es, el último 0 y la diferecia. ( + 0) 0 + ( ), S 86 0 La suma de los primeros térmios de ua progresió aritmética es,. La suma de los 8 primeros térmios es,. Escribe la progresió. a + a S, (a + a ) a + a 8 S 8, (a + a 8 ) 8 0, a + a a 8 a d 0, d 0, a + a 8, Sustituyedo e la.ª ecuació: a + a a + d a + 0, a 0,6 a 0, La progresió es 0,; 0,; 0,; 0,6, 0 Calcula la diferecia o la razó de las siguietes progresioes y halla su térmio geeral. a), 6,,, c),,,, e) 6, 8, 0, 8, b) 0,,,, d) 6, 8,,,, f), 9,,, a) r 6 : ; a b) d 0 ; a 0 + ( ) ( ) c) r ; a 8 d) r 0, ; a 6 6 e) d 8 6 8; a 6 + ( ) ( 8) ( ) ( 8) f) d 9 6; a + ( ) 0 E ua progresió geométrica, a y a. Obté el térmio geeral y a 0. r r a a E ua progresió geométrica, a 6 y a 0. Halla a y el térmio geeral. a a r 0 6r r ± Hay dos solucioes: a 6 (± ) a 6 (± ) ±0

19 Progresioes 0 06 Calcula. a) El térmio geeral de ua progresió geométrica e la que a y r. b) El térmio. a) a b) a Dada la sucesió,,,, 9 8 a) Comprueba que es ua progresió geométrica. b) Calcula el térmio 0. a) 9 b) a 0 : : : r Halla los térmios que falta e los huecos de las siguietes progresioes geométricas. a) ; 0,; ; 0,00; b),,,,, 6 c),,,, 8 d),,,, a) ; 0,; 0,0; 0,00; 0,000 b) c) d),,,,, 6 8 6,,,, 6 9 8,,,, 08 El térmio geeral de la progresió, 6,,,... es: a) a + ( ) b) a c) a d) No se puede calcular. c) a 6

20 SOLUCIONARIO 09 E ua progresió geométrica de térmios positivos, a 60 y a.00. Obté: a) Los primeros térmios. b) El térmio geeral. c) Los 0 primeros térmios r r 0 0 a) b) 0, 60, 0 0,. 00, a ( ) 0 0 c) 0, 60, 0 0,. 00, , , , , , E ua progresió geométrica, a 0 y a Calcula r y los 0 primeros térmios de la progresió. Cuál es el térmio geeral? r r0, a 0 Los 0 térmios so:, 0, 00,.000, 0.000, , , , , Cierto térmio de ua progresió geométrica vale Si el primer térmio es y la razó es, de qué térmio estamos hablado? Dos térmios cosecutivos de ua progresió geométrica vale y. Averigua qué lugar ocupa si a. 6 a r Dividiedo obteemos: r. a + r 6 Y sustituyedo e la.ª ecuació: 6 8 Se trata de los térmios.º y.º. 6 9 F (: ) 08 E ua progresió geométrica, el primer térmio es y la razó es. Calcula la suma de los 8 primeros térmios. a, r S a r S 8 ( ) ( ) r

21 Progresioes 08 E ua progresió geométrica, el segudo térmio es y el cuarto es. Halla la suma de los 6 primeros térmios. a, a a a r r r ± a a r a ± a ± S o S6 8 6 ( ) ± 8 08 HAZLO ASÍ CÓMO SE CALCULA LA SUMA DE LOS INFINITOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA? Calcula la suma de los ifiitos térmios de estas progresioes geométricas. a) a y r c) c y r b) b y r d) d y r PRIMERO. Se calcula la razó de la progresió. SEGUNDO. Se aaliza los distitos casos. Si r >, la suma siempre es + o. a) r >. La sucesió es:, 6,,, 8, La suma de todos los térmios es +. b) r >. La sucesió es:,,, 8, 6,, 6, La suma de todos los térmios es. a Si < r <, se aplica la fórmula S. r c) < r <. Se aplica la fórmula: c S r Si r <, o se puede hallar. d) r <. La sucesió es:,,,, 8, 6,, No se puede calcular la suma de los ifiitos térmios. 8

22 SOLUCIONARIO 086 Dada ua progresió geométrica e la que a y r 0,, calcula. a) La suma de los 6 primeros térmios. b) La suma de los ifiitos térmios. a) 0 (, ) 0, S , 0, 9 b) S, 0, 0, 9, 08 E ua progresió geométrica, a y r. Calcula. a) La suma de los 0 primeros térmios. b) La suma de los ifiitos térmios. a) 8 8 ( ) S 0 0 b) La suma de los ifiitos térmios de ua progresió geométrica de razó mayor que es ifiito. 088 Halla la suma de los ifiitos térmios de la progresió 6,, 9, a a r 6 r r 6 a 6 S S 6 r /, 089 Dadas las siguietes sucesioes, calcula, e los casos e que sea posible, la suma de sus ifiitos térmios. a) r S 0 0 9

23 Progresioes b) r No es posible, pues >. c) r S d) r < No es posible. e) No es posible, es ua sucesió aritmética y o geométrica. f) No es posible, es ua sucesió aritmética y o geométrica. g) r, por lo que o es posible h) r S La suma de los ifiitos térmios de ua progresió geométrica es y la razó es. Halla los primeros térmios de la sucesió. a a a S a a r a a r, a, a El sexto térmio de ua progresió geométrica vale 8 y el cuarto es 6. a) Obté el térmio geeral. b) Halla el producto de los 0 primeros térmios. a) a 6 a r 8 6 r r± 6 Para r + a a r 6 a ( ) a a ( ) ( ) 6 Para r 6 a ( ) a a ( ) 0 b) a 0 6 ( ± ) P 0 ( a a0) 0 ± 6 (±8,06) ±,9 0 0

24 SOLUCIONARIO 09 El octavo térmio de ua progresió geométrica es.8 y la razó es. a) Obté el térmio geeral. b) Calcula el producto de los 8 primeros térmios de la progresió.. 8 a) a 8 a r.8 a a. 8 (: 9) b) P 8 ( a a8) 8 P8. 9 8, a F 09 El quito térmio de ua progresió geométrica es 60 y el segudo es 0. a) Halla el séptimo térmio. b) Obté el producto de los primeros térmios de esta progresió. a) a a r 60 0 r r 8 a a r 0 a a 0 a a r 6 a b) P ( a a) ( 0 60) 80, El úmero de usuarios de u polideportivo los fies de semaa comezó siedo de 0 persoas y aumetó e 0 persoas cada fi de semaa a partir de etoces. a) Cuátos usuarios hubo e la semaa? b) Y e las 0 primeras semaas? Es ua progresió aritmética, co d 0. a) a usuarios ( 0 + 0) 0 b) S usuarios 09 Teresa ha comprado u caballo y quiere herrarlo. Para ello tiee que poerle 0 clavos, el primero de los cuales cuesta cétimo de euro y cada uo de los restates vale cétimo más que el aterior. Cuáto paga e total por herrarlo? Se trata de ua progresió aritmética, co a y d. a cétimos a + a0 0 S cétimos,0

25 Progresioes Cuáto pagaría Teresa si el precio del primer clavo fuese el mismo, pero cada uo de los siguietes costara el doble que el aterior? Se trata de ua progresió geométrica, de razó r y a. 0 0 a ( r ) ( ) S 0 S cétimos 0.8, r E u aparcamieto cobra 0, por la primera hora de estacioamieto y, por cada hora siguiete, el doble de lo cobrado e la hora aterior. Cuáto pagaremos por estar aparcados durate 8 horas? Es la suma de los 8 primeros térmios de ua progresió geométrica 8 0, ( ) co r y a 0, S 8 6, U árbol de rápido crecimieto multiplica su altura por, cada año. Si al comezar el año medía 0, cm, qué altura tedrá detro de 0 años? Cuáto crecerá e esos 0 años? Es ua progresió geométrica, co r, y a 0,. a 0 0,, 9,8 m medirá a los 0 años, por lo que habrá crecido:,8 0,, m. 099 Dejamos caer ua pelota desde ua altura de metro, y e cada uo de los botes que da sube a ua altura igual a la mitad del bote aterior. A qué altura llegará e el quito bote? Es ua progresió geométrica, co r0, y a. El quito bote es el térmio 6. o de la progresió: a 6 0, 0,0 m. 00 Lazamos u baló que da botes a lo largo de u pasillo, como se ve e la figura. Si al séptimo bote choca co la pared y se para, qué distacia habrá recorrido? Es ua progresió geométrica, co r y a. 8 La suma de los primeros térmios es: S,88 m.

26 SOLUCIONARIO 0 Halla la profudidad de u pozo si por la excavació del primer metro se ha pagado 0, y por la de cada uo de los restates, se paga más que e el aterior, siedo el coste total de.0. Es ua progresió aritmética, co d y a 0. ( a+ a+ ( ) d) ( ( ) ). 0 S m La solució egativa de o la cotemplamos, por o ser posible ua medida de logitud egativa. 0 Ua raa está e el borde de ua charca circular de metros de radio y quiere llegar al cetro saltado. Da u primer salto de metros y, después, avaza e cada uo la mitad que e el salto aterior. Logrará llegar al cetro? Es ua progresió geométrica, co r0, y a. La distacia máxima que recorrerá será la suma ifiita de los térmios. S 0, 6 m, por lo que o llegará al cetro del estaque. 0 Durate los cuatro primeros meses de vida, u bebé ha ido gaado cada mes u 0 % de peso. Si al acer pesaba.900 gramos, cuál ha sido su peso al fial del cuarto mes? Es ua progresió geométrica, de razó r, y a.900. a a r a.900 (,).0, gramos 0 Ua escalera tiee todos los peldaños iguales meos el primero, que mide 0 cm. Al subir 00 escaloes, la altura ascedida es de.0 cm. Qué altura tiee cada peldaño? haltura de uo de los 99 peldaños iguales h h cm 99 Se podría cosiderar que los 99 escaloes forma ua progresió aritmética de diferecia d 0.

27 Progresioes 0 Ua bióloga está estudiado la evolució de ua població de moscas. a) Si el úmero iicial de moscas es de 0 y, cada 0 días, la població de moscas se cuadruplica, halla el térmio geeral de la progresió formada por el úmero de moscas cada 0 días. b) Cuátas moscas habrá a los 0 días? c) Si el precio del alimeto para las moscas el primer día es de, y cada día aumeta cétimos más, halla el térmio geeral de la progresió. d) Determia el valor del alimeto el día 0. e) Calcula el valor del alimeto e los 0 primeros días. a) Es ua progresió geométrica, co r y a 0, por lo que a 0. b) a moscas c) Es ua progresió aritmética, co d 0,0 y a, siedo a + ( ) 0,0. d) a 0 + (0 ) 0,0,8 ( 8 0 e) S 0 +, ), Se deposita.000 al % aual el de diciembre e ua empresa fiaciera. Si o retiramos el diero durate 6 años, qué capital tedremos al fializar cada año? Primer año: C Segudo año: C Tercer año: C , Cuarto año: C , Quito año: C , Sexto año: C , 6

28 SOLUCIONARIO 0 Calcula el capital que, ivertido a u iterés compuesto del %, produce e años u capital fial de C + 00 C. 00., Si u capital de.000 se covierte e e ua situació de iterés compuesto al cabo de años, cuál es el iterés al que ha estado ivertido el capital iicial? r r r r 00 0, 09 6 El iterés será del 9, %. 09 HAZLO ASÍ CÓMO SE RESUELVE UN PROBLEMA DE INTERÉS COMPUESTO CON AUMENTOS DE CAPITAL? Ua familia hace u pla de ahorros durate años igresado, al pricipio de cada año,.000 a u % aual de iterés compuesto. Cuáto diero obtedrá al fializar el pla? PRIMERO. Se calcula el iterés de cada aportació. El primer año igresa.000, que permaecerá años e el baco, obteiedo:.000,0 El segudo año igresa.000, que permaecerá años e el baco, obteiedo:.000,0 El tercer año igresa.000, que permaecerá años e el baco, obteiedo:.000,0 El cuarto año igresa.000, que permaecerá año e el baco, obteiedo:.000,0 SEGUNDO. Se suma las catidades obteidas..000, , , ,0 Así, se obtiee la suma de los térmios de ua progresió geométrica, e la que: a.000,0 a.000,0 r,0 a r a. 000,0. 000,0 S.6,90 r,0

29 Progresioes 0 Rosa recibe ua gratificació al pricipio de cada trimestre de.000. Si el diero lo deposita e ua etidad bacaria al % de iterés compuesto, cuáto tedrá al acabar u año? Supoiedo que la gratificació la recibe al comiezo del trimestre, lo correspodiete al primer trimestre se covierte e.000,0, el segudo.000,0, el tercero.000,0 y el cuarto.000,0. Se calcula la suma de los térmios de ua progresió geométrica, co a.000,0 y r,0. S. 000,0. 000,0,0.00,.009,8 0, , E u exame las pregutas estaba ordeadas segú su dificultad. La primera valía putos y cada ua de las restates valía putos más que la aterior. Si e total cueta 0 putos, cuátas pregutas teía el exame? Es ua progresió aritmética, co d y a. ( a + a + ( ) ) ( + + ( ) ) 0 S pregutas La solució egativa de o la cotemplamos, por o ser posible u úmero egativo de pregutas. Puede ser el úmero 0 el primer térmio de ua progresió geométrica? Y de ua progresió aritmética? Si el primer térmio de ua progresió geométrica es 0, todos los térmios será 0, ya que los demás térmios se calcula multiplicado el primero por la razó elevada a ua cierta potecia. Por otra parte, o hay igú icoveiete para que el primer térmio de ua progresió aritmética sea 0. 6

30 SOLUCIONARIO Cosideramos ua progresió geométrica co a 0 y r 0, y ua progresió aritmética co a 0. Sumado, térmio a térmio, estas dos progresioes obteemos la sucesió:,,, Cuál es la suma de los 0 primeros térmios? La sucesió geométrica es a y la aritmética es b (co b 0). La suma es a + b. a + b, y como b 0, etoces a. Por tato, teemos que: a r y b ( ) d. a + b r + d d r a + b r + d r + ( r) r r 0 r 0 y r Como r o puede ser 0, r y d. La suma de los 0 primeros térmios es la suma de los 0 térmios de cada ua de las sucesioes. 9 ( ) S0 S0 S0 + S0 6 ( 0 + ( ) ) 0 S0 La suma de los primeros térmios de ua progresió aritmética ( > ) es y la diferecia de la progresió es. Si a es u úmero etero, qué valores puede tomar? La diferecia es d. La suma es S ( a + a) ( a + a + ( ) d) ( a + ( ) ) ( a + ) El valor de debe ser etero y, por tato, será divisor de. Div () {,, 9,,, } Hallamos qué valores sirve como solució. a + a 9, a, a y la suma hasta a es. 9 a + 9 a 9, a, a y la suma hasta a 9 es. a + 9 a, a, a y la suma hasta a es. a + a, a, a y la suma hasta a es. a + a, a 9, a y la suma hasta a es.

31 Progresioes Expresa de forma fraccioaria el úmero periódico 0, ; para ello, escríbelo de la forma: 0, + 0,0 + 0,00 + y halla la suma de la progresió. Es ua progresió geométrica, de térmio geeral: a 0, 0 0, 0, S Obté la fracció geeratriz de,8 utilizado la suma de ua progresió. Como,8, ,8 + 0,08 + 0, ,0008 Suma de ua progresió geométrica cuyo primer térmio es a 0,8 y r 0,,8 0, , 9 9 Dividimos el lado AC de u triágulo rectágulo ABC e 8 partes iguales, levatado desde los putos de divisió paralelas al lado BC. Si BC mide 0 cm, calcula la suma de las logitudes de los otros segmetos. B 0 cm C A La distacia de A a cada divisió de AC es AC y, por semejaza 8 de triágulos, el lado paralelo a BC que pasa por esa divisió será: AC AC 0 8 x 8 x 0, por lo que forma ua progresió aritmética de diferecia d y a Luego la suma es: S

32 SOLUCIONARIO EN LA VIDA COTIDIANA 8 A Juliá Gasol, dueño de la gasoliera de Villapueblo, se le ha ocurrido ua idea para premiar la fidelidad de los camioeros que habitualmete reposta e su gasoliera. Durate este mes daremos putos por cada 00 de gasolia La primera vez que se vega a repostar daremos puto por cada 00 ; la seguda, putos por cada 00 ; la tercera, putos por cada 00 ; la cuarta, y así sucesivamete. 00 PUNTOS Meú gratis.000 PUNTOS U crucero para dos persoas. Su amigo Atoio, que tiee u camió mayor que el suyo, le dice que cree que o tedrá problemas e coseguir el crucero. Si la frecuecia co la que reposta es ua vez por semaa, cuátos litros de gasoil tedrá que echar semaalmete? Estos putos se podrá cajear por meús e ua cafetería o por u magífico crucero. Mariao tiee u camió de tipo medio co u depósito de 0 litros, y lo suele llear cada semaa. Como el litro de gasoil suele costar algo meos de, el repostaje semaal le cuesta uos 0. Si cotiúa co el mismo gasto, podría obteer u meú gratis? Y el crucero? Supoiedo que o se da fraccioes de putos, los putos obteidos forma ua progresió aritmética de térmio geeral a. ( + ) + La suma de los putos e repostajes es: S. 9

33 Progresioes Si reposta cuatro veces al mes, S + 0 putos, por lo que o coseguirá el meú i el crucero. Para coseguir los.000 putos del crucero: S , 8 ± + ±, , , 8 8, 6 6 Por tato, Mariao ecesita repostar 8 veces. Su amigo Atoio sigue ua progresió aritmética, co a x. Siedo x los litros (e ceteares) que reposta: S ( x+ x) x + x x. 000 S + x 0x x 00 Atoio ecesita repostar cada vez litros de combustible. 9 Segú u iforme de ua revista ecoómica, el mejor pla de pesioes existete e el mercado es el de Bacoverde. E u pla de pesioes se hace igresos periódicos de diero: mesualmete, trimestralmete, aualmete El diero iicial que se igresa y el que se va añadiedo cada año reta u, % aual, y el úico problema es que, tambié aualmete, cobra u 0,99 % de comisió de gestió. Si tego 0 años y decido igresar.000 al año, cuáto diero recibiré cuado cumpla los 6 años? PLAN DE PENSIONES BANCOVERDE Co las comisioes más bajas del mercado ,99 Alto potecial de retabilidad Comisió de suscripció Comisió de reembolso Comisió de depósito Comisió de gestió, % Aual asegurado Vamos a ver... Si yo igreso.000, al año tedré esos.000 más el, %, a lo que le tego que restar el 0,99 % del total. El segudo año igreso otros.000, que tego que añadir al diero del primer año, y me da el, % del total pero tambié tedré que restar, otra vez, el 0,99 %... 0

34 SOLUCIONARIO Por u año le correspode: , , , , 0, Por dos años le correspode: , 0, Y e esta progresió geométrica, por t años le correspode:, 0, t t Por tato, la suma de las aportacioes de los años que le falta para jubilarse es:, 0, , 0, S, , ,989 0,09.6,0

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