an = 4n - 3 a 4 =4. -3 = a 13= a0 = an =an-1 + an-2 con a1 = 1 y a2 = 1 a 3 =

Transcripción

1 TEMA 3: PROGRESIONES CONCEPTO DE SUCESIÓN Ua sucesió es u cojuto de úmeros ordeados segú ua ley, de modo que se puede umerar: primero, segudo, tercero,. Los elemetos de ua sucesió se llama térmios y se desiga por ua letra co u subídice. El subídice idica el lugar que ocupa e la sucesió: Veamos alguas sucesioes y descubramos su ley. a), 5, 9, 3, 7,... a, a2, a3, a4, a, a, a+, b), 4, 9, 6, 25, c) 2, 4, 8, 7, 26, d), -3, 9, -27, 8, e),, 2, 3, 5, 8, f) 70, 20, 70, 20, -30, -80, TÉRMINO GENERAL DE UNA SUCESIÓN Es la expresió matemática que represeta u térmio cualquiera de la sucesió. Por ejemplo el térmio geeral de la sucesió del apartado a) es: a = 4-3 E esta expresió la represeta el lugar que ocupa el térmio. Para calcular u térmio sustituiremos la por el lugar que ocupa, por ejemplo si queremos calcular el quito térmio sustituiremos la por 5 a 4 =4. -3 = a 3 = a0 = Hay sucesioes cuyos térmios se obtiee a partir de los ateriores y se llama recurretes, como por ejemplo la sucesió del apartado e) cuyo térmio geeral es: a =a- + a-2 co a = y a2 = Para calcular el térmio tercero, sustituiremos la por a 3 = a 3=

2 Ejercicios.. Escribe los cuatro primeros térmios de estas sucesioes: a) a = b) a 3 5 = + 3 c) a = 3 + a a 2 2. Ecuetra la ley de recurrecia y añade u uevo térmio a cada ua de las siguietes sucesioes. a), -4, 5, -9, 4, -23, b), 2, 3, 6,, 20, c), 2, 2,, ½, ½,, 3. Halla el térmio geeral de las siguietes sucesioes: a) ), -,, -,, -, b) -,, -,, -,, c), -2, 3, -4, 5, -6, 4. Idica si el térmio 37/44 perteece a la sucesió de térmio geeral ocupa? a =, y si perteece, qué lugar 3

3 PROGRESIONES ARITMÉTICAS Ua sucesió aritmética es aquella e la que para pasar de u térmio al siguiete se suma ua misma catidad (positiva o egativa), a la que llamamos diferecia y deotamos por d. a, a2, a3, a4, a, a, a+, Por ejemplo: a) 2, 5, 8,, 4, b) 20, 0, 00, 90, c) 3, 3,3, 3,6, 3,9, 4,2, d) 7, 2, -3, -8, -3, Térmio geeral. Vamos a calcular el térmio geeral de este tipo de sucesioes. a =a a 2=a + d a3= a 4= a5= luego a = a, a2, a3, a4, a, a, a+, Ejercicios. 5. Calcula el térmio geeral de las siguietes progresioes aritméticas: a) 3, 6, 9, 2, b) -32, -30, -28, -26, c) Su primer térmio vale 4 y el segudo 2 d) a = -3 y a 4=-8 e) a 3= 7 y a 7=23

4 Suma de los térmios de ua progresió aritmética. Para calcular la suma de los térmios de ua sucesió aritmética hemos de teer e cueta ua propiedad de estas sucesioes: 5, 8,, 4, 7, 20, 23, 26, 29, 32 Luego la suma de estos térmios será: S 0= E geeral e ua sucesió aritmética a, a, a2, a3, a4, a 3, a 2, a Se cumple que a +a =a 2 +a - =a 3 +a -2 =. =2a cetral Luego la suma de los térmios de ua sucesió geométrica será: S = ( a + a ) 2 cetral Ejercicios. 6. Halla la suma de todos los úmeros impares meores que E ua sucesió aritmética a =2 y a 3=8. Calcula la suma de los 40 primeros térmios. 8. E ua sucesió aritmética a =6 y d=7. Calcula la suma desde el térmio a 20 al térmio a U esquiador comieza la pretemporada p de esquí haciedo pesas e u gimasio durate ua hora. Decide icremetar el etreamieto 0 miutos cada día. Cuáto tiempo deberá etrear al cabo de 5 días? Cuáto tiempo e total habrá dedicado al etreamieto a lo largo de todo u mes de 30 días?

5 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Ua sucesió geométrica es aquella e la que para pasar de u térmio al siguiete se multiplica por ua misma catidad a la que llamamos razó y deotamos por r. Por ejemplo: a) 3, 6, 2, 24, 48, 96,.. a, a2, a3, a4, a, a, a, + b) 3, 30, 300, 3000,. c) 80, 8, 0,8, 0,08,.. d) 3, -6, 2, -24, 48,. Térmio geeral. Vamos a calcular el térmio geeral de este tipo de sucesioes. a, a2, a3, a4, a, a, a, + a =a a 2=a. r a3= a 4= a5= luego a = Ejercicios. 0. Los dos primeros térmios de ua sucesió so a =250 y a 2=300. Calcular r y a.. E ua sucesió geométrica, a =62 =625 y a 3=400. Calcula la razó y el térmio que ocupa el lugar U ceturió le pidió al césar que le recompesara por su valetía. El césar, mostrádole grades motoes de moedas, le dijo: Puedes tomar u deario; mañaa, 2; al día siguiete, 4; al otro, 8. Así, sucesivamete, cada día duplicarás lo aterior. Pero cada día deberás llevártelo tú solo y de ua sola vez. Te permito usar u carro. Supoiedo que u deario pesa 20 g y que lo máximo que puede aguatar el carro es ua toelada, cuátos días duró la recompesa? Cuál fue el úmero de dearios de la última carretada?

6 Suma de los térmios de ua progresió geométrica. Vamos a calcularlo de ua maera secilla. S=a +a2 +a3+. +a-2+a-+a multiplicamos todo por r S. r= a.r +a 2.r +a 3.r+. +a -2.r+a -.r+a.r S. r = Si ahora restamos S. r - S S. r = S = a +a 2 +a 3+. +a -2+a -+a S. r-s= La suma de los térmios de ua sucesió geométrica es: S a = r a r a = r a r Ejercicios. 3. Cueta la leyeda que u el sabio que iveto el ajedrez le pidió a su rey como pago u grao de trigo por la primera casilla del tablero; dos, por la seguda; cuatro por la tercera ; por cada casilla, el doble de graos que por la aterior. r. Cuátos graos pidió e total? 4. Cuátos dearios se llevó, e total, el ceturió del ejercicio 2? 5. Jua ha comprado 20 libros, por p el º ha pagado, por el 2º 2, por el 3º 4, por el 4º 8 y así sucesivamete. Cuáto ha pagado por los libros?

7 6. La maquiaria de ua fábrica pierde cada año el 20% de su valor. E el mometo de su compra valía a) Cuáto valía u año después de comprarla? Y dos años después? b) E cuáto se valorará 0 años después de haberla adquirido? Suma de los ifiitos térmios de ua progresió geométrica. E aquellas sucesioes geométricas cuya razó esté etre 0 y, podremos calcular la suma de todos los térmios de la progresió. Si 0 r etoces S a = r Ejercicios. 7. Calcula la suma de todos los térmios de ua sucesió geométrica e la que a =8 y r=0,75 8. E ua sucesió geométrica, su cuarto térmio es 0 y el sexto, 0,4. Halla la razó, el primer térmio, el octavo térmio, la suma de los ocho primeros térmios y la suma de todos sus térmios. EJERCICIOS. Escribe los cico primeros térmios de las siguietes sucesioes: a) Cada térmio se obtiee sumado 7 al aterior. El primero es 0. b) El primer térmio es 0,. Los demás se obtiee multiplicado el aterior por 2. c) El primero es 2; el segudo, 4, y los siguietes, la semisuma de los dos ateriores. 2. Escribe los térmios a 0 y a 25 de las siguietes sucesioes: Sol: a) a 0 = 29 a 25 = 74 b) b 0 = 0/2 b 25 = 32 c) c 0 = /0 c 25 = -24/25 d) d 0 =, d 25 = 0,9 e) e 0 = 90 e 25 = 600 f) f 0 = 2/3 f 25 = 23/27 3. Escribe los cico primeros térmios de la siguiete sucesió: a = a = 2a Averigua el criterio co el que se ha formado las siguietes sucesioes: a), 9, 7, 5, b) /2, /4, /8, /6 c) 2,5; 2,9; 3,3; 3,7; d), /2, /3, /4 e) 8, 2, 8, 27, f) 0, 3, 8, 5,

8 5. Halla el térmio geeral de estas sucesioes: Sol: a) a = b) a = /+ c) a = 2 2 d) a = 3 6. Busca ua ley de recurrecia para defiir las siguietes sucesioes: a) 8, 0, 2, 8, 0, b), 2, 2,, /2, 7. Escribe los cico primeros térmios y a 20 de las siguietes progresioes aritméticas: a) a =,5; d = 2 b) a = 32; d = 5 c) a = 5; d = 0,5 d) a = 3; d = 4 8. Halla, e cada caso, el térmio geeral y calcula, después, a 50: a) 25, 8,, 4, b) 3,, 9, 7, c),4;,9; 2,4; 2,9; d) 3, 8, 3, 8, Sol: a) a = 32 7; a 50 = 38 b) a = 5 + 2; 2 a 50 = 85 c) a = 0,9 + 0,5; a 50 = 25,9 d) a = 2 5; a 50 = Halla el primer térmio y el térmio geeral de las siguietes progresioes aritméticas: a) d = 5; a 8 = 37 b) a = 7; d = 2 Sol: a) a = 2 a = b) a = 3 a = Halla la diferecia y el primer térmio de las progresioes aritméticas siguietes: a) a 2 = 8; a 7 = 7 b) a 4 = 5; a 2 = 39 Sol: a) d = 7 a = 25 b) d = 3 a = 6.. Calcula la suma de los veite primeros térmios de las siguietes progresioes aritméticas: a) a = 5; d = 2 b) a = ; a 2 = 7 c) Los úmeros pares. d) Los múltiplos de 3. Sol. a) 480 b) 60 c) 420 d) El primer térmio de ua progresió aritmética es -, y el décimoquito es 27. Hallar la diferecia y la suma de los quice primeros térmios. Sol: d = 2 S 5 = El cuarto térmio de ua progresió aritmética es 0, y el sexto es 6. Escribir la progesió. Sol:, 4, 7, 0, 3, Hallar la suma de los quice primeros úmeros pares mayores que 5. Sol: E ua progresió aritmética, el segudo térmio es 9 y el cuarto es 5. Calcula la suma de los 20 primeros térmios. Sol: S 20 = Hallar los águlos de u cuadrilátero covexo, sabiedo que está e progresió aritmética, siedo d= 25º. Sol: 52º 30' ; 77º 30' ; 02º 30' ; 27º 30' 7. El cateto meor de u triágulo rectágulo mide 8 cm. Calcula los otros dos, sabiedo que los lados del triágulo forma ua progresió aritmética. Sol: 32/3 y 40/3 mide los otros dos catetos. 8. Qué lugar ocupa u térmio cuyo valor es 56 e la progresió aritmética defiida por a = 8 y d = 3? Sol: = Escribe los cico primeros térmios de las siguietes progresioes geométricas: a) a = 0,3; r = 2 b) a = 3; r = /2 c) a = 200; r = 0, d) a = /8 ; r = Halla, e cada ua de las sucesioes siguietes, el térmio geeral: a) 20; 8; 3,2;,28; b) 40, 20, 0, 5, c) 6; 9; 3,5; 20,25; d) 0,48; 4,8; 48; 480; Sol: a) a = 20 0,4 b) a = 40 4 (/2) - c) a = 6 (,5) ( d) a = 0, Calcula la razó y el primer térmio de las progresioes geométricas siguietes: a) a = /8; a 3 = /9 b) a 2 = 0,6; a 4 = 2,4. Sol: a) r = ±3 b) r = ±2 Si r = 2: a = 0,3; si r = -2 a = -0, Halla el primer térmio y escribe el térmio geeral de las siguietes progresioes: a) a 3 = 3; r = /0 b) a 4 = 20,25; r =,5 Sol: a) a = 300; a = 300(/0) - b) a = 6; a = 6 (,5) ( 23. Calcula la suma de los diez primeros térmios de las progresioes geométricas siguietes: a) a = 5; r =,2 b) a = 5; r = 2 Sol: a) 29,8 b) Hallar la suma de los quice primeros múltiplos de 5. Sol: Calcula la suma de todos los úmeros de dos cifras que so divisibles por tres. Sol: Hallar la suma de los quice primeros úmeros acabados e 5. Sol: Halla la suma de los ifiitos térmios de las progresioes geométricas siguietes: a) a = 4; r = /3 b) a = 7; r = 0,95 Sol: a) 6 b) Calcula la suma de los cico primeros térmios de ua progresió geométrica e la que a = 000 y a 4 = 8. Se puede hallar la suma de sus ifiitos térmios? Sol: S 5 = 249,6 Si S = El er térmio de ua progresió geométrica es 3, y el 8º es 384. Hallar la razó y la suma de los 8 primeros térmios. Sol: r= 2 y S 8 = E ua progresió geométrica el segudo térmio es 2 y el quito 324. Calcula la suma de los 8 primeros térmios. Sol: S 8 = El 2º térmio de ua progresió geométrica es 6, y el 5º es 48. Escribir la progresió. Sol: 3, 6, 2, 24, 48,...

9 32. E u teatro, la primera fila dista del esceario 4,5 m, y la octava, 9,75 m. a) Cuál es la distacia etre dos filas? b) A qué distacia del esceario está la fila 7? Sol: a) La distacia etre dos filas es 0,75 m. b) A 6,5 m está la fila Para preparar ua carrera, u deportista comieza corriedo 3 km y aumeta,5 km su recorrido cada día. Cuátos días tiee que etrear para llegar a hacer u recorrido de 2 km? Sol: 3 días. 34. E el año 986 fue visto el cometa Halley desde la Tierra, a la que se acerca cada 76 años. Esta era la cuarta vez que os visitaba desde que el astróomo Halley lo descubrió. a) E qué año fue descubierto? b) Cuádo será visto e el siglo XXI? Sol: a) Fue descubierto e 758. b) Se verá e La dosis de u medicameto es 00 mg el primer día y 5 mg meos cada uo de los siguietes. El tratamieto dura 2 días. Cuátos miligramos tiee que tomar el efermo durate todo el tratamieto? Sol: 870 mg. 36. Cuáto diero obtedremos si colocamos al 5% de iterés aual compuesto durate 4 años? Y si lo colocamos durate 8 años? Sol: 3 646,5 tedremos al cabo de 4 años y 4 432,4 tedremos después de 8 años. 37. U tipo de bacteria se reproduce por bipartició cada cuarto de hora. Cuátas bacterias habrá después de 6 horas? Sol: bacterias habrá después de 6 horas. 38. La població de u cierto país aumeta por térmio medio u,2% aual. Si la població actual es de 3 milloes, cuál será detro de 0 años? Sol: 8,32 milloes de habitates detro de 0 años. 39. Ua máquia evasadora pierde cada año u 5% de su valor. Si ha costado , cuál será su valor detro de 5 años? Sol: será su valor detro de 5 años. 40. Ua bola que rueda por u plao icliado recorre m e el primer segudo, 4 m e el segudo, 7 m e el tercero, y así sucesivamete. Cuáto recorre e 20 segudos? Sol: 58 m recorre e 20 s. 4. Depositamos e u baco 000 al 2,5% semestral al comiezo de u cierto año. Averigua el capital dispoible al fial de cada semestre, durate 3 años, si o sacamos igú diero. Sol: 025; 050,63; 076,89; 03,8; 3,4; 58, Si al comiezo de cada año igresamos e u baco al 5% aual, cuáto diero tedremos al fial del sexto año? Sol: Ua empresa ofrece a u empleado u sueldo de 000 y ua subida de 00 al año. Otra le ofrece el mismo sueldo co ua subida del 0% aual. Razoa cuál de las dos es mejor comparado el sueldo detro de 0 años. Sol: Es mejor la oferta de la empresa B. 44. Ua ONG que se dedica a la ayuda al Tercer Mudo se iició co 25 persoas. Si todos los meses se icorpora 5 volutarios, cuátas persoas trabajará e la ONG al cabo de 2 años y medio? Sol: 270 volutarios. 45. Las edades de tres hermaos está e progresió aritmética de diferecia 4 y su suma es igual a 42 años. Qué edad tiee cada uo? Sol: 0, 4 y 8 años. 46. U ciclista recorrió el primer día 5 kilómetros y cada día aumeta su recorrido e kilómetro. Cuátos kilómetros habrá recorrido al cabo de los 20 primeros días? Sol: Habrá recorrido 420 km. 47. U filátropo muy rico decidió destiar su fortua a ua asociació dedicada a la lucha cotra el cácer. Etregó 0 euros el primer mes, 20 euros el segudo, 40 euros el tercero y así sucesivamete. Qué catidad etregó a los dos años de su primera doació? Sol: U equipo de ciclismo programa su etreamieto semaal e cico etapas. E la primera etapa recorre ua distacia de 40 kilómetros y cada etapa sucesiva es 5 /4 más larga que la aterior. Cuátos kilómetros recorre el equipo a lo largo de la semaa? Sol: 328,28 km recorridos a lo largo de la semaa. 49. Al comiezo del año, Jua decide ahorrar para comprarse ua cosola de videojuegos. E eero mete e su hucha 0 euros y cada mes itroduce la misma catidad que el mes aterior y euro más. Cuáto diero habrá ahorrado al fializar el año? Sol: Las aotacioes obteidas por las cico jugadoras de u equipo de balocesto está e progresió aritmética. Si el equipo cosiguió 70 putos y la máxima aotadora obtuvo 24 putos, cuátos putos aotaro las restates jugadoras? Sol: 24 so las aotacioes de las jugadoras del equipo. 5. Toma u folio y dóblalo por la mitad. Obtiees dos cuartillas que jutas tedrá u grosor doble del grosor del folio. Ahora dobla uevamete las dos cuartillas y obtiees cuatro octavillas, co u grosor cuádruple que el del folio. Si la hoja iicial tuviera u grosor de 0, milímetros y fuese ta grade que pudieras repetir la operació 00 veces, qué grosor tedría el fajo resultate? Sol: 6, mm = 6, Km. 52. Averigua la posició que ocupa los térmios 8/6, 7/2 y 43/6 e la sucesió cuyo térmio geeral es: Sol: 2º, 5º y 7º respectivamete. 53. El tercer térmio de ua progresió geométrica es 44 y la razó es 6. Qué posició ocupa detro de la progresió el úmero 5 84? Sol: La quita posició. 54. La progresió 6,, 6, 2,, 26, cuátos térmios tiee? Sol: 25 térmios tiee la sucesió. 55. Calcula el úmero de térmios de la siguiete sucesió: 7, 4, 28, 56,, 896. Sol: La sucesió tiee 8 térmios. 56. Las logitudes de los lados de u triágulo está e progresió aritmética de diferecia 2 y su perímetro es de 5 cetímetros. Cuáto mide los lados del triágulo? Sol: Los lados mide 3, 5 y 7 cm.

10 57. Cierta ONG ha costruido u pozo para abastecer de agua potable a ua població de Somalia. Su coste ha sido de 2 90 euros. Qué profudidad tiee el pozo si se sabe que el primer metro costó 5 euros y cada metro restate costó 4 euros más que el aterior? Sol: El pozo tiee 30 metros de profudidad. 58. La asociació de vecios de u barrio realiza u rastrillo de veta de objetos usados cuya recaudació doará a la gete ecesitada del barrio. Cuáto diero recaudaro a lo largo de ua semaa si las recaudacioes de cada día forma ua progresió geométrica de razó 2 y el primer día recaudaro 5 euros? Sol: Los lados de u petágoo está e progresió aritmética, el lado mayor mide 2 cetímetros y el perímetro es de 40 cetímetros. Calcula las logitudes de los lados del petágoo. Sol: Los lados mide 4, 6, 8, 0 y 2 cm. 60. La presa de Assuá situada sobre el río Nilo, e Egipto, cotiee 64 _ 09 litros de agua el día del comiezo del verao. Teiedo e cueta que cada día pierde el 0,2 % de su capacidad, cuátos litros cotedrá tras haber pasado 90 días? Sol:,37. 0 litros. 6. El úmero de doates de sagre e u hospital el primer día de cierto mes fue de 30 persoas. Si cada día el úmero de doates aumetó e 7 persoas, cuátas persoas doaro sagre el último día del mes? Sol: 4 85 doates. 62. La suma de las edades de cuatro hermaos es igual a 38 años y la diferecia etre el pequeño y el tercero es de 3 años. Averigua la edad de cada hermao sabiedo que las edades está e progresió aritmética. Sol: Las edades de los cuatro hermaos so de 7,25, 8,75, 0,25 y,75 años. AUTOEVALUACIÓN ALUACIÓN 3 2. Escribe los cuatro primeros térmios de la sucesió cuyo térmio geeral es: a = + 2. Escribe los cuatro primeros térmios de la sucesió de recurrecia: a = 3 + a 2a 2 dode a = 5 y a2 = 7 3. Ecuetra el térmio geeral de las siguietes sucesioes: a) 5 ; 8 ; ; 4. b) 24 ; 2 ; 6 ; Calcula la suma de los 5 primeros térmios de ua sucesió aritmética e la que a y a 5. Calcula a 3 y la suma de los ifiitos térmios de la sucesió: 40 ; 20 ; 0 ; Calcula la suma de los 0 primeros térmios de ua sucesió geométrica e la que el primer térmio vale 5 y su razó es El tercer térmio de ua progresió geométrica vale 80, y la razó es 4. Calcula la suma de los 0 primeros térmios 8. Ecuetra la suma de los seis primeros térmios de ua sucesió geométrica de razó positiva e la que a = 0 2 y a = U estudiate de 3º ESO, se propoe el de septiembre repasar matemáticas durate ua quicea, haciedo cada día 2 ejercicios más que el día aterior. Si el primer día comezó haciedo u ejercicio: a) Cuátos ejercicios tedrá que hacer el 5 de septiembre? -b) Cuátos ejercicios hará e total? 0. La maquiaria de ua fábrica pierde cada año el 20% de su valor. E el mometo de la compra valía E cuáto se valorará 0 años después de haberla adquirido?. Ua máquia costó iicialmete Al cabo de uos años se vedió por la mitad de su precio. Pasados uos años, se volvió a veder por la mitad, y así sucesivamete. Si e total ha teido 7 propietarios, cuál es la suma total pagada por esta máquia? = 3 =