3Soluciones a los ejercicios y problemas

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1 Soluciones a los ejercicios y problemas P r o g r e s i o n e s a r i t m é t i c a s Pág. 8 Escribe los cinco primeros términos y a 0 de las siguientes progresiones aritméticas: a) a ; d b) a ; d c) a ; d 0 d) a ; d a) ; ; ; 7; 9; a b) 7 7 ; a 0 9 ( ) 6 c) ; ; 6; 6; 7; a d) 7 9; a 0 9 ( ) 79 9 Halla en cada caso el término general y calcula después a 0 : a) 8 b) 9 7 c) ; 9; ; 9; d) 8 8 a) a ; d 7; a n (n )( 7) 7n; a 0 8 b) a ; d ; a n (n ) n; a 0 8 c) a ; d 0; a n (n )0 09 0n; a 0 9 d) a ; d ; a n (n )( ) n; a Halla el primer término y el término general de las siguientes progresiones aritméticas: a) d ; a 8 7 b) a 7; d Ten en cuenta que a 8 a 7d; sustituye y halla a. a) a 8 a 7d 8 7 a 7 8 a a n (n ) n b) a a 0d 8 7 a 0 8 a a n (n ) 8 a n n Halla la diferencia y el primer término de las progresiones aritméticas siguientes: a) a 8; a 7 7 b) a ; a 9 a 7 a d a) a 7 a d d 8 d 7 a a d 8 a 8 ( 7) b) a a 8d 8 9 8d 8 d a a d 8 a 9 8 a 6 Unidad. Progresiones

2 Soluciones a los ejercicios y problemas Calcula la suma de los veinte primeros términos de las siguientes progresiones aritméticas: a) a ; d b) a ; a 7 c) Los números pares. d) Los múltiplos de. a) a 0 9 ; S 0 ( ) 0 80 b) d 7 ( ) 6; a 0 9 ( 6) S 0 [ ( )] 0 60 c) d a a S 0 ( 0) 0 0 d) a d a S 0 ( 60) 0 60 Pág. Qué lugar ocupa un término cuyo valor es 6 en la progresión aritmética definida por a 8 y d? 6 8 (n ) 8 6 n 8 n 7 PÁGINA 80 P r o g r e s i o n e s g e o m é t r i c a s Escribe los cinco primeros términos de las siguientes progresiones geométricas: a) a 0; r b) a ; r c) a 00; r 0 d) a ; r 8 a) 0; 06; ; ; 8; b) 8 6 c) 00; 0; ; 0; 00; d) Halla en cada una de las sucesiones siguientes el término general: a) 0; 8; ; 8; b) c) 6; 9; ; 0; d) 08; 8; 8; 80; a) a n 0 0 n n b) a n 0 ( ) c) a n 6 ( ) n d) a n 08 0 n Unidad. Progresiones

3 Soluciones a los ejercicios y problemas 6 Calcula la razón y el primer término de las progresiones geométricas siguientes: a) a ; a 8 9 b) a 06; a a) a a r 8 r 8 r 9 8 r ± 9 8 Hay dos soluciones Si r : Si r : Pág. b) a a r 8 06 r 8 r ± Hay dos soluciones: Si r : 0; 06; ; ; 8; Si r : 0; 06; ; ; 8; 7 Halla el primer término y escribe el término general de las siguientes progresiones: a) a ; r 0 b) a 0; r a) a a r 8 a n 8 a 00; a n 00 ( 0 ) ( 0 ) b) a a r 8 0 a ( ) 8 a 6; a n 6 ( ) n 8 Calcula la suma de los diez primeros términos de las progresiones geométricas siguientes: a) a ; r b) a ; r a) S b) S 0 ( ) Halla la suma de los infinitos términos de las progresiones geométricas siguientes: a) a ; r b) a 7; r 09 a a) 6 b) 7 0 r (/) 09 Unidad. Progresiones

4 Soluciones a los ejercicios y problemas P I E N S A Y R E S U E LV E Pág. 6 0 Identifica las progresiones aritméticas las geométricas y las que no son progresiones. Obtén el término general de cada una: a) 9 b) 8 8 c) 0; 00; 000; d) a) Progresión aritmética d. Término general: a n (n ) n b) No es progresión. Término general: a n n c) Progresión geométrica r 0. Término general: a n 0 (0) n d) No es progresión. Los numeradores forman una progresión aritmética cuyo término general es n. Los denominadores forman una progresión aritmética de término general n. Término general de la sucesión: a n Calcula la suma de los cinco primeros términos de una progresión geométrica en la que a 000 y a 8. Se puede hallar la suma de sus infinitos términos? a a r r 8 8 r S ( ) a 000 r a 96 r Se puede hallar la suma de sus infinitos términos porque la razón está comprendida entre y. a r / n n En un teatro la primera fila dista del escenario m y la octava 97 m. a) Cuál es la distancia entre dos filas? b) A qué distancia del escenario está la fila 7? a) a 8 a 7d d 8 d 07 m La distancia entre dos filas es 07 m. b) a 7 a 6 d m está la fila 7. Unidad. Progresiones

5 Soluciones a los ejercicios y problemas Para preparar una carrera un deportista comienza corriendo km y aumenta km su recorrido cada día. Cuántos días tiene que entrenar para llegar a hacer un recorrido de km? a n a (n )d 8 (n ) 8 n n días Pág. 7 En el año 986 fue visto el cometa Halley desde la Tierra a la que se acerca cada 76 años. Esta era la cuarta vez que nos visitaba desde que el astrónomo Halley lo descubrió. a) En qué año fue descubierto? b) Cuándo será visto en el siglo XXI? a) a a d a 76 8 a 78 Fue descubierto en 78. b) a Se verá en 06. La dosis de un medicamento es 00 mg el primer día y mg menos cada uno de los siguientes. El tratamiento dura días. Cuántos miligramos tiene que tomar el enfermo durante todo el tratamiento? a a d 8 a 00 ( ) (a S a ) (00 ) 870 mg 6 Cuánto dinero obtendremos si colocamos 000 al % de interés anual compuesto durante años? Y si lo colocamos durante 8 años? C F 000 (0) 66 tendremos al cabo de años. C F 000 (0) 8 tendremos después de 8 años. 7 Un tipo de bacteria se reproduce por bipartición cada cuarto de hora. Cuántas bacterias habrá después de 6 horas? La reproducción de las bacterias es una progresión geométrica de r. Término general: a n n. Como 6 cuartos de hora calculamos a : a bacterias habrá después de 6 horas. 8 La población de un cierto país aumenta por término medio un % anual. Si la población actual es de millones cuál será dentro de 0 años? a millones de habitantes dentro de 0 años. 9 Una máquina envasadora pierde cada año un % de su valor. Si ha costado cuál será su valor dentro de años? a a r 8 a ( 0) 0 0 será su valor dentro de años. Unidad. Progresiones

6 Soluciones a los ejercicios y problemas 0 Una bola que rueda por un plano inclinado recorre m en el primer segundo m en el segundo 7 m en el tercero y así sucesivamente. Cuánto recorre en 0 segundos? 7 es una progresión aritmética con d. a 0 a 9 8 a m recorre en 0 s. Pág. 8 PÁGINA 8 Calcula el número de bloques necesarios para construir una torre como la de la figura de la página 70 pero que tenga 0 pisos. Los bloques de la torre están en progresión aritmética con d : 9 Hay que calcular la suma de 0 términos: a 0 a 9d 8 a (a S 0 a 0 ) 0 ( 97) 0 90 bloques. Depositamos en un banco 000 al % semestral al comienzo de un cierto año. Averigua el capital disponible al final de cada semestre durante años si no sacamos ningún dinero. Es una progresión geométrica de razón ( 0. 00) años son 6 semestres. Sus términos son: 000 0; ; ; ; ; ; 006; 07689; 08; ; 869 Si al comienzo de cada año ingresamos 000 en un banco al % anual cuánto dinero tendremos al final del sexto año? Mira el problema resuelto de la página 78. El capital disponible al final es la suma de los términos de una progresión geométrica de razón 0. S a S (0 7 6 r a ) 8 r 0 00 Calcula la fracción generatriz de estos números utilizando el método del ejercicio anterior: a) 7 ) b) ) c) 0 ) Unidad. Progresiones

7 Soluciones a los ejercicios y problemas a) 7 ) Suma de los infinitos términos de la progresión /0 /0 9 7 ) 7 b) ) /00 0 /0 900 ) Pág. 9 c) 0 ) /00 /00 0 ) R E F L E X I O N A S O B R E L A T E O R Í A 6 En la progresión se puede hallar la suma de sus infinitos 8 términos? Justifica la respuesta. No se puede hallar la suma de los infinitos términos de esa progresión geométrica porque su razón es que es mayor que. 7 Si en una progresión aritmética sabemos que a a ; podemos saber cuánto vale a 8 a 7? Por qué? a 8 a 7 suma lo mismo que a a porque: a a (a d ) (a d ) a d a 8 a 7 (a 7d ) (a 6d ) a d 8 Una empresa ofrece a un empleado un sueldo de 000 y una subida de 00 al año. Otra le ofrece el mismo sueldo con una subida del 0% anual. Razona cuál de las dos es mejor comparando el sueldo dentro de 0 años. Empresa A: a Empresa B: a () 9 79 Es mejor la oferta de la empresa B. Unidad. Progresiones