PROBLEMAS ADICIONALES

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1 PROBLEMAS ADICIONALES Naturales, eteros, racioales y reales. Demostrar por iducció sobre : a) que la suma de los primeros úmeros impares es 2 ; b) las fórmulas: i) r k = r+ r, ii) k 3 = 2 (+) 2 4 ; k= k= c) las desigualdades: Hallar el mcd y el mcm de: a) 995 y 99, b) 2345 y 6789, c) 35, 35 y Simplificar: a) ( 2 ) 7, b) (3 + 2) 4 (3 2) 4, c) ( 2 ) Calcular ( ( ) + ) ( + + ( ) + ) para = 2,3,4,5 y 6 y deducir de la fórmula del biomio el valor de la suma para cualquier. Cuáto vale ( ( ) ( ) + ) 2 + ( ) ( )? 5. Cuáto vale? Cuáto vale (a k a k ), m? Es (a k )( a ) = k= k= k= k a = k= k? k= 6. Probar que 3 y 3 2 so irracioales. a k 7. Probar que si a,b,c,d > y a b < d c etoces a b < a+c sea mayores que /7 y meores que 9/3. b+d < c d. Ecotrar u racioal y u irracioal que 8. E dos partidos de balocesto sucesivos u jugador ha obteido u porcetaje de acierto e tiro de tres putos superior al de otro jugador. Implica esto que e el cojuto de los dos partidos es más alto el porcetaje del primer jugador? 9. Demostrar que la media geométrica de dos úmeros positivos e y es meor o igual que la aritmética, es decir, que y ( + y)/2, si,y >. Cuádo coicide?. Probar que: ma(,y) = 2 ( + y + y ), mi(,y) = 2 ( + y y ).. Determiar si cada afirmació es cierta o falsa: a) <y > y ; b) <y 3 < y 3 ; c) <<y 3 2 < 2 + y + y 2 < 3y 2 ; d) 5 < 2 < < 8 ; e) < 5 < 5 ; f) < 5 < 5 ; g) co + < ; h) co = 2 ; i) co = 2 ; j) La uió de itervalos ( 2, 2 N ), tiee supremo e ífimo? es abierto o cerrado? 3. Probar que si A y B so cojutos abiertos etoces A B y A B so tambié abiertos. Más e geeral, es abierto el cojuto uió de ua sucesió ifiita de cojutos abiertos?, lo es su itersecció? Deducir propiedades aálogas para cojutos cerrados. 9

2 Fucioes, sucesioes, límites y cotiuidad e R. Hallar la ecuació de la recta que pasa por (,4) y (2, 5). Hallar y dibujar la fució iversa y = f () de la fució y = f () defiida por la recta aterior. Escribir las fucioes compuestas f 2 [ f ] 2 y [ f ] 2 f Ecotrar el domiio de las siguietes fucioes: f () = ; g() = se + cos ; h() = ta ; k() = + log(+) 3. Sea C() = 2 ; R() = ; L() =. Precisar e qué itervalos es f = R C L iyectiva, hallado la f e cada itervalo. Epresar la fució g() = 2 como composició de C, R y L y precisar su domiio. 4. Si f y g so crecietes, lo es f + g? Y f g? Y f g? 5. a) Epresar se 2 y cos 2 e fució de cos. b) Epresar se y cos e fució de ta 2. c) Probar que ta 2 = se +cos. 6. Hallar (si calculadora) los siguietes valores (e el caso de que eista): cos( 3π 3 ) se π 8 se 7π 2 ta 5π 4 arcta(ta 5π 4 ) arcse(arccos) ch(log3) [cos 3π 4 ]/4 25 2/3 e 3log4 log5 log 2 64 log(log(log2)) cos(arcta7) [sh( )] π 7. a) Epresar se3 y cos3 e fució de se y cos. b) Si seα = 5 3 cuadrate, hallar cos3α y precisar e qué cuadrate está 3α. y α está e el tercer 8. Comprobar que: ch 2 sh 2 = ; ch 2 = th2 ; sh( + y) = shchy + chshy ; ch( + y) = chchy + shshy. 9. Qué forma tiee las sucesioes covergetes cuyos térmios so todos eteros?. Tiee a = se 2 π 4 7, b = 2 ( 2) y c = cos + algua subsucesió covergete?. Demostrar que {a } a > { a } a, y que {a } { a }. 2. Sea a b c. Probar que: i) a L, c L b L ; ii) b c ; iii) b a. 3. Sea: c, b, i, d y a acotada. Qué se puede afirmar sobre la covergecia de: {i + d }, {c + a }, {c i }, {i a }, {b a }, { c a }, { b c }, { i d }, {i c }, {b i }? 4. Demostrar que si {a } es acotada y sus úicos putos de acumulació so 7 y 7, y la sucesió {b } diverge hacia +, etoces la sucesió {a b } es divergete hacia Probar por iducció que k 2 ( + )(2 + ) = k= 6 y hallar el límite de Hallar ua sucesió cuyos 5 primeros térmios sea, 3 2, 5 6, 7 24, Hallar el límite de a / para todo a, si hacer uso de teoremas o demostrados. y precisar si coverge. 8. Sea f () = +2se 2 se y L = lím f (). Hallar u M tal que f () L <. si > M.

3 9. Utilizado úicamete las defiicioes probar que: a) lím (4 + cos) =, b) lím 2 = 9, y que 3 es falso: c) lím 3 = 5, d) lím 2 se =. 2. Probar que f () = 2 se, f () = y g() = 5 so cotiuas e utilizado la defiició ε-δ. E particular, determiar u δ para ε = y ε =.. 2. Describir todas las fucioes f que cumple las siguietes codicioes: a) ε δ > : a < δ f () f (a) < ε ; b) ε > δ > : a < δ f () f (a) < ε { 22. Sea f () = [ ] (parte etera), > ; g() = cos ta 2 si < 3 ; h() = ; k() =. 2 4 si 3 Determiar los putos a para los que dichas fucioes tiee límite e a ; so cotiuas e a ; posee límites laterales e a. Ver si tiee límite cuado tiede a. 23. Determiar (si eiste) los límites siguietes: e se a) lím ; b) lím log( + cos) e) lím [ ; c) lím ] ; f) lím th(ch cos) ; [ ] h) lím 2 log 3 log ; i) lím e / ; [ ] 6 se2 ; d) lím 2 + 3se4 ; j) lím sh(log) ; arcta g) lím ; k) lím Hallar (si eiste) el límite de las siguietes sucesioes: a) a = log ; b) b = ; c) c = 3! ; d) d = [ ] ; e) e = [ ] ; f) f = [ ] / ; g) g =!. 25. Supógase que f es cotiua e [a,b] y que f () es siempre racioal. Qué puede decirse acerca de f? 26. Probar que 5 = 2 tiee ua solució i) meor que 2, ii) mayor que Sea f () = log cos. Eiste c (,2) co f (c) =? Alcaza su valor míimo e [,4]? 28. Supógase f cotiua e [a,b] y sea c u úmero cualquiera. Demostrar que eiste u puto de la gráfica de f e [a,b] para el que la distacia a (c,) se hace míima. Es cierto lo aterior si sustituimos [a,b] por (a,b)? Y si sustituimos [a,b] por R? 29. Demostrar que f () = 7 5 es uiformemete cotiua e R y que g() = 2 o lo es.

4 Derivadas e R. Hallar las derivadas de las fucioes iversas (sh), (ch) y (th). 2. Demostrar que la derivada de ua fució par es impar y viceversa. Es periódica la derivada de ua fució periódica? 3. U astroauta viaja de izquierda a derecha sobre la curva y = 2. Al descoectar el cohete viajará a lo largo de la tagete a la curva e el puto e que se ecuetre. E qué puto debe descoectar para alcazar i) (4,9), ii) (4, 9)? 4. Hallar los valores a tales que la recta tagete a la gráfica de f () = ( 2 3)e e = a pase por el puto (,). 5. Probar que la tagete a la gráfica de f () = corta a la gráfica de f sólo e el propio puto (a, a ). 6. Hallar la ecuació de la elipse co sus ejes paralelos a los coordeados y cetrada e el orige que tiee por tagete la recta 5y + 4 = 25 e u puto de abscisa = Bajo qué águlos se corta las curvas y = se, y = cos? 8. Probar que f () = 2 se cos tiee eactamete dos ceros. 9. Dibujar la gráfica de f () = Determiar los valores máimo y míimo que alcaza la fució f e el itervalo [ 3,3]. Eiste algú (,2/3) para el que f () =?. Probar que: f acotada e u itervalo I f uiformemete cotiua e I. Probar que f () = ( + 2 ) es uiformemete cotiua e todo R.. Sea P() = y Q() = Hallar el mcd(p,q). Hallar las raíces de P y de Q. Realizar el producto P Q y la divisió P/Q. 2. Ver que P() = tiee raíces múltiples y hallar todas sus raíces. 3. Hallar todas las solucioes de: =, 4 + =, =. 4. Precisar cuátas raíces de los siguietes poliomios hay e los itervalos que se idica: a) P() = e (,) y e (, ) b) P() = e (,) y e (,) c) P() = 4 +8 e ( 3, 2) y e (,) d) P() = e (,) y e (, ) 5. Probar que el poliomio P() = tiee ua úica raíz real. Ecotrar, utilizado el teorema de Bolzao, u itervalo de logitud /4 e el que se ecuetre dicha raíz. Precisar el valor de la raíz utilizado el método de Newto. 6. Sea los poliomios cúbicos: i) 3 + 7, ii) , iii) Dibujar sus gráficas. Hallar sus raíces reales a partir de las fórmulas de los aputes. Hallar aproimadamete dichas raíces utilizado el método de Newto. 7. Hallar aproimadamete todas las solucioes reales de las siguietes ecuacioes: a) = ; b) = ; c) = ; d) se + cos = 2 ; e) th = ; f) log =. 2

5 8. Hallar aproimadamete los cortes co y =, los etremos y los putos de ifleió de P() = , Q() = y f () = e Aplicar el método de Newto partiedo de = a las fucioes f () = 2 y g() = Ver que f () = e /3 es cotractiva e [,2] y aproimar el úico cero de = e /3 e dicho itervalo. 2. Precisar cuátos ceros reales tiee el poliomio P() cuya derivada es P () = y tal que la recta tagete a la gráfica de P() e el puto de abscisa = pasa por (, ). 22. Dibujar las gráficas de las fucioes: a) ; b) 2 + ; c) ; d) 2 ; e) ; f) 3 2/3 + 2 ; g) 3se( 2) ; h) 4 sec ; i) + ta ; j) cos2 2 cos ; k) se ; 23. Dibujar las curvas: l) arcse ; m) e ; ) e 2 ; ñ) se(ta) ; o) log( 2 ). a) 2 + y y = ; b) 2 y + y 2 = 3 ; c) 4 2 y 2 8 = 2 ; d) 2 y 2 = Ua farola, que tiee su luz a 3 m de su base, ilumia a u peató de.75 m que se aleja a ua velocidad costate de m/s. A qué velocidad se mueve el etremo de su sombra? A qué velocidad crece dicha sombra? 25. U globo se eleva verticalmete desde el suelo a m de u observador, a ua velocidad de 2 m/s. A que ritmo crece el águlo de elevació de la líea de visió del observador cuado el globo está a ua altura de i) m, ii) m? 26. U tre parte de ua estació e líea recta hacia el orte a km/h. 2 miutos después parte otro hacia el este a 5 km/h. A qué ritmo cambia la distacia etre los trees hora después de la partida del segudo? 27. Hallar el valor míimo de la suma de los arcos tagetes de dos reales cuya suma sea. 28. Hallar los putos de la gráfica de f () = situados a mayor y meor distacia del (4,). 29. a) Precisar el úmero de raíces reales de P() = b) Determiar si el puto de la curva y = 3 más cercao al puto (,) está a la derecha o a la izquierda de = /2. 3. Hallar la forma del coo de mayor volume etre aquellos de superficie fija (base icluida). 3. U lazador de peso es capaz de lazar desde ua altura de.5 m sobre el suelo co ua velocidad de 2 m/s. Hallar el águlo co el que debe hacerlo para llegar lo más lejos posible. Qué logitud puede alcazar (tomar g= m/s 2 )? 32. Determiar los putos de la parte de la gráfica de g() = ( 2) 3 coteida e,y, para los que la recta tagete e ellos corta el eje y e el puto i) más alto, ii) más bajo. 3

6 Series, Taylor y límites idetermiados. Determiar si las siguietes series so covergetes o divergetes: a) b) 2 ( e 3 ) c) ( ) e /2 d) 7 +log!+ 3 e) 3+ f) ( 3) (2 ) g) ( ) 2+( ) 3 +( ) h) 3 cos2 i) + cos! j) se 3/2 k) ( ) ta l) arcse 2. Estudiar la covergecia de la serie a, siedo a + = ( ) 2 + /2 a y a =. 3. Precisar para qué c R coverge las series: a) ( c + c ) ; b) c Hallar la suma de la serie, co error meor que 5. = 5. Precisar los para los que coverge ( ) y hallar su suma. Para i) = 4, ii) = 4, = cuátos térmios hay que sumar para aproimar el valor eacto co error meor que 3? 6. Probar que +5 coverge y que su suma está etre.23 y.25. = [Usar los tres primeros térmios y acotar el resto mediate ua serie geométrica]. 7. Ua pelota cae desde ua altura iicial de m sobre ua superficie horizotal. Si e cada rebote alcaza u 8% de la altura aterior, qué distacia recorre hasta pararse? 8. Ua persoa y su perro camia a ua velocidad de m/s hacia su casa. A m de la puerta el perro comieza a correr yedo y viiedo de la persoa a la puerta a 4 m/s, hasta que la persoa etra e casa. Qué distacia recorre el perro desde que empieza a correr? 9. Estudiar e qué subcojutos de R coverge uiformemete las siguietes f () : a) 3 + ; b) cos ; c) / ; d) se ; e) 2 e 2.. Estudiar para qué coverge, y si lo hace uiformemete e el itervalo que se idica: a) + e [,] ; b) e 2 se e [, ) ; c) (+)2 e [,] ; d) e [,] Sumar la serie + + [+][2+] + [2+][3+] + Coverge uiformemete e [, )? 2. Escribir el poliomio P() = ordeado e potecias de ( 2). 3. Calcular P 3, el poliomio de Taylor de grado 3 e = de f () = ta. Determiar si P 3 () es mayor o meor que ta si utilizar calculadora. 4. Probar que π 4 = arcta 2 + arcta 2. Usado el desarrollo de arcta, calcular el valor de π co error meor que Calcular el valor de.2 co error meor que.. Hallar el valor de /2 a partir de u poliomio de Taylor de orde 3 y dar ua cota del error cometido. 6. Escribir la serie de Taylor de f () = 2, hallar su radio de covergecia y precisar dode la serie coicide co f. Aproimar co el poliomio de Taylor de f de orde 3 el valor de log2 dado ua cota del error cometido. log + 4

7 7. Sea P 3 () el poliomio de Tayor de orde 3 e = e de f () = log. Se comete u error meor que 3 si se aproima f (3) = log27 co el valor de P 3 (3)? 8. Hallar el desarrollo de Taylor hasta 6 de la fució f () = [ ] /2. Hallar u racioal que aproime co error meor que 2 : i) f (2), ii) f ( ). 9. Utilizado poliomios de Taylor determiar co u error meor que 3 el valor de: a) se3, b) e 2, c) log 2, d) sh( ), e) ch 2 2. Desarrollar e =, hallado su térmio geeral y su radio de covergecia, e idicado dóde coicide fució y serie: a) 2e 2 ; b) 3 2 ; c) log( 2) ; d) ; e) ( + ) Hallar los 4 primeros térmios o ulos del desarrollo e serie de Taylor e = de: a) e cos ; b) [arcta] 2 ; c) ch (+) 3 ; d) cos2 ; e) log ( + ) Hallar la suma de las siguietes series: a) e 4 ; =2 b) l (+)2 (+2) ; = c) = ( ) 2 2 (2+) ; d) =2 4 2 = Hallar los poliomios Q, Q 2 y Q 3 de iterpolació de cos e los putos siguietes: a) y π/3 ; b), π/3 y π/2 ; c), π/6, π/3 y π/2. Utilizar Q y Q 2 para aproimar el tal que cos =. 24. Hallar el A 4 de la fórmula de iterpolació de Newto para putos equidistates. Hallar el Q 4 que iterpola se 2 (π) e, /4, /2, 3/4 y. Aproimar co él se 2 (7π/2). 25. Hallar u poliomio cúbico P() tal que cos P() ( ) 3 tieda a cuado tiede a. 26. Sea f C 4. Probar que: f (a) = f (a+h) f (a h) 2h + o(h) y f (a) = f (a+h)+ f (a h) 2 f (a) h 2 + o(h). Si f () = 4, aprovechar lo aterior para aproimar f () y f () tomado h = / Calcular los siguietes límites idetermiados cuado tiede al a idicado: a = : 2 se 2, e +e 2 2 se 2 2, log[cos2] log[cos3], ch cos 2 ; a = + : [ e ( + ) /] / ; a = : loglog( ) ; a = : arcta(/) cos(/), [cos ]log, 4 [cos e /2]. 28. Hallar el límite cuado tiede a,, + de: i) log(+22 ) log(+ 2 ) arcta 2 ; ii) [cos ] ; iii) se arcta 2 ; iv) arcta sh (ch cos). 29. Hallar el límite cuado para el úico valor de a para el es fiito: i) cos e a se + log( ) ; se ii) 3 a 2. 5

8 3. Precisar para qué valores de b tiee límite b [ ] si i) +, ii). 3. Hallar el límite cuado de se2 2 2 y ta para todos los eteros e que eista. 32. Defiiedo f () para que sea cotiuas, estudiar si eiste f () y f () : a) arcta ; b) ta 33. Dibujar las gráficas de las siguietes fucioes: ; c) log(+ ) ; d) arcta(log 2 ). a) log 2 2 ; b) 6log ; c) arcta ; d) e / ; e) e ; f) 3 e 6/ ; g) th ; h) / ; i) a se, a R. 34. Sea f () = se cos. Dibujar su gráfica. Precisar para qué m eiste el límite de m f () si i), ii). 35. Sea f () = e 4/ 4/2, f () =. Determiar los putos e que f es cotiua y derivable. Hallar máimos, míimos y putos de ifleió. Hallar sus asítotas. Dibujar su gráfica. Utilizado P,, poliomio de Taylor de grado e =, dar u valor aproimado de f (.). Determiar si calculadora si el valor aproimado es mayor o meor que el eacto. 36. i) Dada g() = se 2 ( π ), evaluarla e = 4, N, y esbozar su gráfica usado estos datos. Coverge la sucesió {g( 4 )}? Posee algua subsucesió covergete? ii) Sea f () = se 2 ( π ) si, f () =. Justificar si es f cotiua y derivable e =. Determiar el límite de f cuado. Hallar los míimos de f e >. Estudiar cocavidad y coveidad. Dibujar la gráfica de f. Probar que el máimo absoluto de f e todo R se alcaza e u [2,3]. 37. Calcular el límite de las siguietes sucesioes: a) a = log ; b) b = 2 3 se 2 ; c) c = 3 ( cos )log( + ) (utilizar técicas de cálculo de límites de fucioes y justificar los pasos). 38. Usado el teorema del valor medio ecotrar el límite de la sucesió a = /3 ( + ) /3. 6

9 Itegració e R. Utilizado eclusivamete la defiició de itegral calcular d e 2 2 d. 2. Sea f acotada e [a,b]. Determiar si las siguietes implicacioes so verdaderas o falsas: f C [a,b] f itegrable e [a,b]; f decreciete e [a,b] f itegrable e [a,b]; f itegrable e [a,b] f alcaza su máimo e [a,b]; f itegrable e [a,b] b a f 2 = [ b a f ] Aproimar e co la defiició log = dt t y las desigualdades t 2/2 < t <t 9/2, t >. 4. Sea f defiida por: f () = si (,) ; f () = 3 2 si (,2) ; f () = f () = f (2) =. Hallar F() = f (t)dt y Φ() = F(t)dt para los [,2] que eista. Determiar dóde Φ tiee primera y seguda derivadas, calculado Φ y Φ. 5. Si F() = e t2 dt, hallar F (5). 6. Derivar las siguietes fucioes: a) F() = 3 se3 t dt ; b) G() = set3 dt ; c) H() = se( se( y se3 t dt)dy). 7. Determiar e qué del itervalo que se idica alcaza su máimo y su míimo las fucioes: a) F() = t dt t 2 9 e [,2] ; b) G() = + t dt t 2 +2 e R ; c) H() = te t4 dt e [,2] ; d) K() = π se2 tdt e [,4π]. 8. Siedo f () = + 3t 4 dt y g() = e 2, hallar ( f g) () y (g f ) (). 9. Calcular ( f ) () si f () = π [ + se(set)]dt.. Calcular las siguietes primitivas: a) d f) cosd 3+cos 2 b) 3 e d c) arcta d d) e d +e 2 e) d ch g) cos 5 se 2 d h) 3 (log) 2 d i) cos(log)d j) 2 d 2 +4 k) cos 2 (π)d l) e 2 cos(e )d m) se 6 d ) e log(e +)d ñ) d +e o) e 2 d p) d ( 2 ) 3/2 q) d + r) d s) d Epresar I () = d [ 2 +a 2 ] e fució de I (). Calcular d [ 2 +] 2 y d [ ] Epresar I = π/2 se d e fució de I 2. Calcular I 2, I Calcular: π semsed, π cosmcosd, π 4. Eplicar por qué el cambio de variable resultados falsos si: a) d, t = 2/3 ; b) semcosd, m, N. d + 2, t =. 5. Sea f cotiua e R y sea f ua primitiva de f Si f es impar, es ecesariamete f par? Si f es par, es ecesariamete f impar? Si f es periódica es ecesariamete f periódica? 7

10 6. Estudiar la covergecia de las siguietes itegrales impropias. Hallar su valor si se puede: a) arcta π 3 8 d b) 2 d ( ) 4/3 c) log(+ 4 )d d) cos 2 2 d e) cos e d f) d 2e g) d h) se 2 ( π )d i) se 2 d j) log d k) log(+) 2 d l) +2e cos d m) se 4 e 4 d ) d e 2 7. Sea f () = + 4arcta. Dibujar su gráfica y probar que π + 2 f 2π. Determiar si coverge la itegral impropia f. Hallar lím f. 8. Aproimar log2 = 2 o sea, m=,m = 2). d utilizado las fórmulas de los trapecios (=2, =4) y Simpso (=2, =4; 9. Aproimar e 2 d, 4 + d e 2 2. Probar las acotacioes: e i) π/2 se(se)d π 2, ii) d d utilizado Taylor y Simpso , iii) 3 8 /2 + d Sea f () = cos. Estudiar si es derivable e =. Hallar, si eiste, los valores máimo y míimo de f e el itervalo [ 4,]. Calcular 4 4 f. Probar que 7 f Estudiar para qué valores eteros de se verifica que 3 < 4+ 4 d < Hallar el valor de I = 4 6 d y u racioal que aproime I co error meor que Sea f () = Hallar ua primitiva de f. Probar que 2 f Sea f () = set2 se dt. Hallar lím. Utilizar el poliomio de Taylor de orde 3 de f e el f () orige para hallar u valor aproimado de f ( 2 ). Es meor que 2 el error cometido? 26. Sea f () = e 2 2. a) Aproimar f usado el desarrollo de Taylor hasta 4 de f. b) Sea H() = + f, [,2]. Precisar e qué alcaza sus valores máimo y míimo. c) Calcular el límite de f (t)dt, i) cuado, ii) cuado. 27. Precisar dóde f () = [ ], f () =, es derivable. Hallar im f. Probar que 2/3 f = log3 π 2 3 y aproimar la itegral por Simpso co h = 3. Determiar si coverge f. Si F() = f, hallar F (3). 28. Hallar el área de la regió acotada etre el eje y la gráfica de f () = Hallar el área de la regió ecerrada etre la gráfica de g()= y su recta tagete e =2. 3. Calcular el área de la regió iterior a la elipse 2 a 2 + y2 b 2 =. 3. Hallar el área de la regió ecerrada etre la curva y = 3 y la recta tagete a la curva e el puto de abscisa = a >. 8

11 32. Hallar el área de la regió acotada compredida etre y =, la curva 2 + y 2 = 4 y la tagete a la curva e (, 3). 33. Hallar el valor míimo, si eiste, de S(m) = 3 m d. 34. Determiar si es mayor o meor el área ecerrada por la gráfica de las fucioes i) f () = e /2, ii) g() = e 2 y el eje de las e el itervalo [,] o e el itervalo [, ). 35. Probar que el área de la regió ecerrada etre las gráficas y = 3 e y = e es meor que Describir las gráficas de las siguietes fucioes escritas e coordeadas polares: a) r = aseθ, b) r = asecθ, c) r = cos2θ, d) r = cos2θ. 37. Hallar el área de la regió acotada por el eje y la gráfica de la fució h() =, itegrado e coordeadas i) cartesiaas, ii) polares. 38. Hallar el área de la regió ecerrada etre la cardioide r =+cosθ y la circuferecia r =cosθ. 39. Hallar el área compredida etre las espirales r = 2e θ y r = e θ si i) θ [,2π], ii) θ. 4. Hallar la logitud de las curvas: i) y = log, [,e] ; ii) y = 2/3, [,]. 4. El perímetro de ua elipse de eje mayor 2a y de ecetricidad k ( k 2 ) = a2 b viee dado por 2 L = 4a π/2 k 2 se 2 θ dθ. Evaluar L itegrado térmio a térmio el desarrollo de la raíz e potecias de k 2 se 2 θ. Hallar aproimadamete el perímetro de la elipse y 2 = U sólido tiee por base el triágulo del plao y limitado por los ejes y la recta + y =. Cada secció producida por u plao perpedicular al eje es u cuadrado uo de cuyos lados está e la base. Hallar su volume. 43. Hallar el volume del toro obteido al girar u círculo de radio r e toro a ua recta, situada e el plao del círculo, que está a ua distacia d > r de su cetro. 44. Sea R la regió limitada por y = + y el eje e [,2]. a) Hallar el área de R itegrado respecto a i), ii) y. b) Hallar el volume del sólido de revolució que geera R al girar e toro i) al eje ; ii) al eje y ; iii) a la recta y =. 45. Supogamos que f () 3 si. Qué ocurre co el valor medio de f e [,b] cuado b? Justificarlo. 46. Sea ua varilla de logitud L situada e el eje co u etremo e el orige. Hallar su cetro de gravedad y su mometo de iercia respecto del orige si su desidad es { ρ() = 2 si L/2 L 2 /4 si L/2 L. 47. Ua partícula avaza por el eje co velocidad v(t) = t( +t 2 ) a m/s e el istate t. Si iicialmete está e =, para qué valores de a : i) recorre m ates de s, ii) recorre m e u tiempo fiito, iii) alcaza cualquier puto del semieje positivo e tiempo fiito? 9

12 Itroducció al cálculo e C. Escribir los complejos: i) 5i, 3 i 3, π, 4 3i, e la forma e iθ. ii) 3e 3π i, 4cos π 6 4i se π 6, ei se2, i , e la forma a + bi. 2. Calcular: i + 3 +i, ( 3 + i ), ( i +i ) 5, 4 6e iπ/3, e 3 i 2+i. 3. Si z = + iy, escribir la parte real y la parte imagiaria de: z + z + z z, z 2, e iz. 4. Determiar si las siguietes igualdades so ciertas para todo z complejo: 2Re(z) = z + z, Re(z w) = Re(z) Re(w), z = z, z 2 = z 2, se(2z) = 2sezcosz. 5. Resolver las ecuacioes: z 2 + iz + 2 =, z =, z 4 6z 2 + =, e z =, cosz = Represetar los complejos que satisface: z z = i, z z +, z = 2 z +, e z = Re(z), Arg(z 3 ) π Estudiar si f (z) = z y g(z) = z 2 so cotiuas y derivables e z =. 8. Estudiar si la fució f (z) = z que hace correspoder a cada z la raíz co argumeto pricipal más pequeño es cotiua e todo el plao complejo. 9. Demostrar que e z+w = e z e w. Probar que f (z) = e z toma todos los valores complejos meos el, que o es iyectiva y que tiee periodo 2πi.. Defiimos lz = l z + i Arg(z), z [ Arg(z) es el argumeto pricipal de z ]. Comprobar que e lz = z. Hallar l, l(2i), l( + i), l( i). Estudiar la cotiuidad de lz.. Probar que si z,w C etoces z w z w. Probar que si la sucesió compleja {a } coverge etoces tambié lo hace la sucesió real { a }. 2. Hallar (si eiste) el límite de las siguietes sucesioes de complejos: 2 /2 ( + i), ( +5i 3+2i ), 2 ( + i) ( i), ( i) 3 3, e i/(+), e (2 i)/, e ei. 3. Determiar si coverge: (4 3i)!, 2 i 2, e i/, i 2, ( i), [2 e i ] Estudiar si la serie 7 z coverge cuado i) z = 4 3i 5+i, ii) z = e 3π i. 5. Determiar la regió del plao complejo e que coverge la serie z e Hallar el radio de covergecia de las siguietes series de potecias complejas y decidir si coverge para z = i, z = i, z = ( i) 2, z = + ei, z = e i 7+3i : ( ) z 3, 2 z!,!z, i z 2, z +, i z Desarrollar e serie de Taylor e toro a z =, determiado el radio de covergecia: 3z +z 2z 2, sezcosz, se 2 z z, e z +z. 2